Fachsystematik

 Wahl des fachsystematischen Schwerpunktes (alle Lehrämter) Thema 1: Funktionales Denken und Veränderung Thema 2: Daten, Zufall und Statistik Thema 3: Komplexe Zahlen Thema 4: Zahlentheorie Thema 5: Algebra Thema 6: Codierung und Kryptologie Thema 7: Diskrete Mathematik Thema 8: Lineare Algebra Thema 9: Elementare Topologie Stand 07.06.2015 PH Karlsruhe Institut für Mathematik und Informatik Staatsexamensthemen Fachsystematik Stand 2014‐11 Thema 1 Funktionales Denken und Veränderung Inhalte: ‐ Supremum, Supremumsprinzip ‐ Euklidischer Abstand, Umgebungen, Hausdorff‐Eigenschaft ‐ Reelle Funktionen, Monotonie, Umkehrfunktion ‐ Folgen o geometrische, arithmetische Folgen und Teilfolgen o Beschränktheit und Konvergenz von Folgen (‐lontik) o Konvergenzsätze und –kriterien o Häufungswerte o Intervallschachtelungen ‐ unendliche Reihe o geometrische, arithmetische und harmonische Reihe o Konvergenz von unendlichen Reihen o Konvergenzsätze und –kriterien ‐ Funktionen o Stetigkeit von Funktionen (‐‐Definition) o Nullstellen‐ und Zwischenwertsatz von Bolzano o Extremalsatz o Differenzierbarkeit o Mittelwertsätze Kompetenzen: ‐ Folgen und Reihen auf Konvergenz untersuchen ‐ Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit untersuchen ‐ Definitionen wiedergeben und passend anwenden ‐ Wichtige Sätze in Fachsprache wiedergeben und begründen ‐ Beispiele und Gegenbeispiele angeben können ‐ Gegebene Aussagen in Bezug auf Definitionen bzw. auf Wahrheit prüfen ‐ Techniken des Beweisens (auch: Widerspruch, Induktion) situationsgerecht auswählen und sicher durchführen ‐ Komplexe Beweise nachvollziehen und Beweisideen angeben ‐ Logische Fehler in Beweisen finden ‐ Bezüge zum Unterricht herstellen ‐ Formeln herleiten und begründen (ggf. auf unterschiedlichen Repräsentationsarten) ‐ Fachsprache sicher verwenden Veranstaltungen: ‐ Mathematik 1 ‐ Fachdidaktik (Funktionen) ‐ Fachsystematik (Funktionales Denken und Veränderung) Literatur: ‐ Borys (2013). Skriptum zur Vorlesung „Funktionales Denken und Veränderung“ ‐ Büchter, A., Henn, H.‐W., & Padberg, F. (2010). Elementare Analysis. Spektrum Akademischer Verlag ‐ Dobner, H.‐J. & Engelmann, B. (2007). Analysis 1. Grundlagen und Differenzialrechnung. München Wien: Fachbuchverlag Leipzig im Carl‐Hanser‐Verlag ‐ Heuser, H. (2009). Lehrbuch der Analysis Teil 1 (17. Auflage). Vieweg+Teubner ‐ Junek, H. (1998). Analysis. Teubner PH Karlsruhe Institut für Mathematik und Informatik Staatsexamensthemen Fachsystematik Stand 2014‐11 Thema 2 Daten, Zufall und Statistik Inhalte: ‐ Zufall philosophisch betrachtet und Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung ‐ Beschreibende Statistik: Skalen, Mittelwerte und Streuungsmaße und ihre Eigenschaften ‐ Wahrscheinlichkeitsräume: Zufallsexperimente und Axiomensystem ‐ Empirisches Gesetz der großen Zahlen ‐ Kombinatorik: Produktregel und kombinatorische Grundaufgaben ‐ Laplace‐Wahrscheinlichkeit, mehrstufige Zufallsexperimente und Pfadregeln ‐ Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit ‐ Zufallsvariable, Erwartungswert und Varianz ‐ Bernoulli‐Experimente und Binomialverteilung ‐ Chi‐Quadrat‐Test ‐ Empirische Datenerhebung ‐ Diagrammtypen ‐ Bivariante Datenverteilungen ‐ Regression, Korrelation und Varianzanalyse ‐ Kontingenzanalyse ‐ Rangkorrelation Kompetenzen: ‐ Definitionen wiedergeben, anwenden, Beispiele und Gegenbeispiele angeben ‐ Sätze wiedergeben, anschaulich begründen, Beispiele und Gegenbeispiele angeben ‐ Problemlösekompetenz zeigen: Gegebene Aussagen auf Wahrheit prüfen ‐ Transferleistungen: Wissen, Fähigkeiten und Fertigkeiten auf neue Probleme anwenden ‐ Fachsprache beherrschen und sicher anwenden ‐ Erworbenes Wissen mit veränderten Parametern wiedergeben ‐ Statistische Darstellungen analysieren können ‐ Geeignete statische Verfahren zur Datenaufbereitung auswählen und verwenden können Veranstaltungen: ‐ Fachsystematik (Daten und Zufall) ‐ Mathematik Didaktische Forschung I ‐ Statistik Literatur: ‐ Maier, P. H. (2014). Daten und Zufall – Statistik, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit (Vorlesungsskript) ‐ Kütting, H. & Sauer, Martin J. (2011). Elementare Stochastik ‐ Mathematische Grundlagen und didaktische Konzepte. Reihe: Mathematik Primarstufe. (Springer‐Verlag / Spektrum – Akademischer Verlag) Heidelberg & Berlin, 3. Auflage ‐ Borys, Th. (2014). Beschreibende Statistik (Vorlesungsskript) ‐ Burkschat, M., u.a. (2004). Beschreibende Statistik. Berlin Heidelberg: Springer‐Verlag PH Karlsruhe Institut für Mathematik und Informatik Staatsexamensthemen Fachsystematik Stand 2014‐11 Thema 3 Komplexe Zahlen Inhalte: ‐ Körper der komplexen Zahlen o Historische Entstehung o Von den natürlichen Zahlen zu den komplexen Zahlen o Körper der komplexen Zahlen o Rechnen mit komplexen Zahlen ‐ Geometrische Darstellung komplexer Zahlen o Gaußsche Zahlenebene o Betrag komplexer Zahlen o Polarkoordinaten o Formeln von Moivre und Euler ‐ Algebraische Eigenschaften der komplexen Zahlen o Quadratische Wurzeln und Gleichungen o Einheitswurzeln o Allgemeine Wurzeln o Kubische Gleichungen o Fundamentalsatz der Algebra Kompetenzen: ‐ mit komplexen Zahlen rechnerisch und algebraisch umgehen können ‐ Unterschiede und Gemeinsamkeiten von reellen Zahlen und komplexen Zahlen herausarbeiten können ‐ Definitionen wiedergeben und passend anwenden ‐ Wichtige Sätze in Fachsprache wiedergeben und begründen können ‐ Beispiele und Gegenbeispiele angeben können ‐ Gegebene Aussagen in Bezug auf Definitionen bzw. auf Wahrheit prüfen ‐ Techniken des Beweisens (auch: Widerspruch, Induktion) situationsgerecht auswählen und sicher durchführen können ‐ Komplexe Beweise nachvollziehen und Beweisideen angeben können ‐ Formeln herleiten und begründen (ggf. auf unterschiedlichen Repräsentationsarten) ‐ Fachsprache sicher verwenden Veranstaltungen: ‐ Mathematik 1 ‐ Fachsystematik (Algebra) ‐ Fachsystematik (komplexe Zahlen) Literatur: ‐ Engel, J. (2009) Komplexe Zahlen und ebene Geometrie. München: Oldenbourg ‐ Bewersdorff, J. (2009): Algebra für Einsteiger. Wiesbaden: Vieweg+Teubner ‐ Arens, T., Hettlich, F., Karpfinger, Ch., Kockelkorn, U., Lichtenberger, K., Stachel, H. (2010): Mathematik (2. Auflage). Heidelberg: Spektrum, Akad. Verl. PH Karlsruhe Institut für Mathematik und Informatik Staatsexamensthemen Fachsystematik Stand 2014‐11 Thema 4 Zahlentheorie Inhalte: ‐ Konstruktion der natürlichen Zahlen ‐ Geometrische Reihe ‐ Binomialkoeffizienten ‐ Stellenwertsysteme ‐ Primzahlen (auch: Satz Euklid; Mersennesche & Fermatsche Primzahlen) ‐ Hauptsatz der Arithmetik ‐ Teilbarkeit ‐ Kongruenzen und Restklassen (auch: Nullteiler, Restklassensysteme) ‐ Chinesischer Restsatz ‐ (multiplikative) Zahlentheoretische Funktionen (Teilerfunktion, Teilersumme, Phi‐Funktion) Kompetenzen: ‐ Definitionen widergeben und passend anwenden ‐ Wichtige Sätze in Fachsprache widergeben und begründen können ‐ Beispiele und Gegenbeispiele angeben ‐ Gegebene Aussagen in Bezug auf Definitionen bzw. auf Wahrheit prüfen ‐ Techniken des Beweisens (auch: Widerspruch, Induktion) situationsgerecht auswählen und sicher durchführen ‐ Komplexe Beweise nachvollziehen und Teilschritte begründen können ‐ Logische Fehler in Beweisen finden ‐ Bezüge zum Unterricht herstellen ‐ Formeln herleiten und begründen (ggf. auf unterschiedlichen Repräsentationsarten) ‐ Fachsprache sicher verwenden Veranstaltungen: ‐ Mathematik 1 ‐ Fachdidaktik (Zahlen und Operationen 1) ‐ Fachdidaktik (Zahlen und Operationen 2) ‐ Fachsystematik (Zahlentheorie) Literatur: ‐ Reiss, K. & Schmieder, G. (2000). Basiswissen Zahlentheorie. ‐ Padberg, F. (2010). Zahlentheorie und Arithmetik. Heidelberg: Spektrum PH Karlsruhe Institut für Mathematik und Informatik Staatsexamensthemen Fachsystematik Stand 2014‐11 Thema 5 Algebra Inhalte: ‐ Gruppen, Satz von Lagrange, Nebenklassen, Homomorphismen, Kern und Bild ‐ Abzählbarkeit, Überabzählbarkeit ‐ Reelle Zahlen, Körper, angeordnete Körper ‐ Ringe, Nullteiler, adjungieren, Polynomringe ‐ Konstruktionen mit Zirkel und Lineal ‐ Algebraische und transzendente Zahlen ‐ Komplexe Zahlen, algebraische und geometrische Addition und Multiplikation ‐ Konjugiert komplex, Vollständigkeit der komplexen Zahlen ‐ Fundamentalsatz der Algebra mit Beweis Kompetenzen: ‐ Definitionen wiedergeben und passend anwenden ‐ Wichtige Sätze in Fachsprache wiedergeben und begründen ‐ Beispiele und Gegenbeispiele angeben ‐ Gegebene Aussagen in Bezug auf Definitionen bzw. auf Wahrheit prüfen ‐ Techniken des Beweisens (auch: Widerspruch, Induktion) situationsgerecht auswählen und sicher durchführen ‐ Komplexe Beweise nachvollziehen und Beweisideen angeben ‐ Logische Fehler in Beweisen finden ‐ Bezüge zum Unterricht herstellen ‐ Formeln herleiten und begründen (ggf. auf unterschiedlichen Repräsentationsarten) ‐ Fachsprache sicher verwenden Veranstaltungen: ‐ Mathematik 1 ‐ Fachsystematik (Komplexe Zahlen) ‐ Fachsystematik (Algebra) Literatur: ‐ Rosebrock, S. (2010). Geometrische Gruppentheorie, 2. Auflage, vieweg+teubner. ‐ Henn, H.‐W. (2012). Geometrie und Algebra im Wechselspiel, 2. Auflage, vieweg+teubner ‐ J. Kramer. (2008). Zahlen für Einsteiger. vieweg Verlag. ‐ C. Karpfinger, K. Meyerberg. (2009). Algebra. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg. PH Karlsruhe Institut für Mathematik und Informatik Staatsexamensthemen Fachsystematik Stand 2014‐11 Thema 6 Codierung und Kryptologie Inhalte: ‐
Begriffsbestimmung: Codierung ‐
spezielle Alphabete und Codes o Blindenschrift o Flaggenalphabet o Morsecode o Strichcodes o Binäre Codes o Datenkompression o Codierungen bei der Bildbearbeitung ‐
Terminologie der Kryptologie ‐
Symmetrische Verschlüsselungsverfahren o Transpositionsverfahren o Monoalphabetischen Verschlüsselungen o Polyalphabetische Verschlüsselungen ‐
Asymmetrische Verfahren o Einwegfunktionen o Schlüsseltauschverfahren nach Diffie‐Hellman o RSA‐Verschlüsselung Kompetenzen: ‐ Definitionen wiedergeben und passend anwenden ‐ Wichtige Sätze in Fachsprache wiedergeben und begründen können ‐ Beispiele und Gegenbeispiele angeben können ‐ Gegebene Aussagen in Bezug auf Definitionen bzw. auf Wahrheit prüfen ‐ Bezüge zum Unterricht herstellen ‐ Formeln herleiten und begründen (ggf. auf unterschiedlichen Repräsentationsarten) ‐ Fachsprache sicher verwenden Veranstaltungen: ‐ Mathematik 1 ‐ Fachsystematik (Codierung und Kryptologie) Literatur: ‐ Borys, T. (2011): Codierung und Kryptologie – Facetten einer anwendungsorientierten Mathematik im Bildungsprozess. Teuber + Vieweg Wiesbaden ‐ Schulz, R.‐H. (2003): Codierungstheorie. 2. Auflage, Friedr.Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlag GmbH Wiesbaden ‐ Beutelspacher, A.; Neumann, H.; Schwarzpaul, T. (2005): Kryptographie in Theorie und Praxis, Friedrich Vieweg & Sohn/GWV Fachverlag Wiesbaden ‐ Reiss, K. & Schmieder, G. (2000). Basiswissen Zahlentheorie. PH Karlsruhe Institut für Mathematik und Informatik Staatsexamensthemen Fachsystematik Stand 2014‐11 Thema 7 Diskrete Mathematik Inhalte: ‐ Kombinatorik, Permutationen, Variationen, Kombinationen je mit und ohne Wiederholung ‐ Binomialkoeffizienten ‐ Inklusion‐Exklusion, Schubfachprinzip ‐ Graphen, Bäume, Euler‐Charakteristik ‐ Plättbare Graphen, Färbungen ‐ 5‐Farbensatz mit Beweis ‐ Minimale aufspannende Bäume (Algorithmus von Prim) ‐ Travelling Salesman Problem und NP‐Vollständige Probleme ‐ Adjazenzmatrizen Kompetenzen: ‐ Definitionen wiedergeben und passend anwenden ‐ Wichtige Sätze in Fachsprache wiedergeben und begründen ‐ Beispiele und Gegenbeispiele angeben ‐ Gegebene Aussagen in Bezug auf Definitionen bzw. auf Wahrheit prüfen ‐ Techniken des Beweisens (auch: Widerspruch, Induktion) situationsgerecht auswählen und sicher durchführen ‐ Komplexe Beweise nachvollziehen und Beweisideen angeben ‐ Logische Fehler in Beweisen finden ‐ Bezüge zum Unterricht herstellen ‐ Formeln herleiten und begründen (ggf. auf unterschiedlichen Repräsentationsarten) ‐ Fachsprache sicher verwenden Veranstaltungen: ‐ Mathematik 1 ‐ Fachsystematik (Daten und Zufall) ‐ Fachsystematik (Diskrete Mathematik) Literatur: ‐ Matoušek/Nešetril. Diskrete Mathematik. Springer Verlag, 2002. ‐ W.D. Wallis. A Beginner’s Guide to Graph Theory. Birkhäuser, 2000. ‐ P. Gritzmann / R. Brandenberg. Das Geheimnis des kürzesten Weges. Springer Verlag, 2005. PH Karlsruhe Institut für Mathematik und Informatik Staatsexamensthemen Fachsystematik Stand 2014‐11 Thema 8 Lineare Algebra Inhalte: ‐ Vektoren, Skalarprodukt, Norm, Winkel ‐ Gleichungen von Geraden und Ebenen ‐ Matrizen, lineare Gleichungssysteme, Elementarmatrizen, Inverse Matrizen, GL(n,R) ‐ Vektorräume über reellen Zahlen und Teilräume ‐ Lineare (Un‐)Abhängigkeit, Basis, Dimension, Basistransformationen ‐ Rang von Matrizen ‐ Affine Räume, Koordinatensysteme ‐ Lineare Abbildungen, Kern und Bild ‐ Zusammenhang von Gleichungssystemen und linearen Abbildungen Kompetenzen: ‐ Definitionen wiedergeben und passend anwenden ‐ Wichtige Sätze in Fachsprache wiedergeben und begründen ‐ Beispiele und Gegenbeispiele angeben ‐ Gegebene Aussagen in Bezug auf Definitionen bzw. auf Wahrheit prüfen ‐ Techniken des Beweisens (auch: Widerspruch, Induktion) situationsgerecht auswählen und sicher durchführen ‐ Komplexe Beweise nachvollziehen und Beweisideen angeben ‐ Logische Fehler in Beweisen finden ‐ Bezüge zum Unterricht herstellen ‐ Formeln herleiten und begründen (ggf. auf unterschiedlichen Repräsentationsarten) ‐ Fachsprache sicher verwenden ‐ Sachverhalte algebraisch und geometrisch interpretieren Veranstaltungen: ‐ Mathematik 1 ‐ Mathematik 2 ‐ Fachsystematik (Lineare Algebra) Literatur: ‐ Lang, Serge; Introduction to Linear Algebra; Springer Verlag (1986) ‐ Filler, A.; Elementare Lineare Algebra; Spektrum Akademischer Verlag (2011). ‐ Beutelsbacher, A.; Lineare Algebra; vieweg Verlag (2001). PH Karlsruhe Institut für Mathematik und Informatik Staatsexamensthemen Fachsystematik Stand 2014‐11 Thema 9 Elementare Topologie Inhalte: ‐ Topologische Räume ‐ Inneres, Abschluss, Rand ‐ Metrische Räume ‐ Stetige Abbildungen, Kreisfunktionen und Abbildungsgrad ‐ Euler‐Charakterisitk, kompakte Räume ‐ Homotopie ‐ Fixpunktsätze ‐ Einbettungen ‐ Flächenklassifikation ‐ Fundamentalsatz der Algebra mit Beweis ‐ 3‐Mannigfaltigkeiten und die Struktur des Universums Kompetenzen: ‐ Definitionen wiedergeben, anwenden, Beispiele und Gegenbeispiele angeben ‐ Sätze wiedergeben, anschaulich begründen, Beispiele und Gegenbeispiele angeben ‐ Problemlösekompetenz zeigen: Gegebene Aussagen auf Wahrheit prüfen ‐ Transferleistungen: Wissen, Fähigkeiten und Fertigkeiten auf neue Probleme anwenden ‐ Fachsprache beherrschen und sicher anwenden ‐ Erworbenes Wissen mit veränderten Parametern wiedergeben ‐ Bezüge zum Unterricht herstellen ‐ Bezüge zwischen Geometrie und Topologie herstellen Veranstaltungen: ‐ Mathematik 1 & 2 ‐ Elementare Topologie Literatur: ‐ Adams/Franzosa; Introduction to Topology, Prentice Hall (2007) ‐ J. Weeks; The shape of space; Chapman and Hall (2001) ‐ J. Scott Carter; How surfaces intersect in space; World Scientific (1995) ‐ Jean‐Pierre Petit: Die Abenteuer des Anselm Wüßtegern, Das Topologikon. Vieweg Verlag (1995) ‐ B. v. Querenburg, Mengentheoretische Topologie, 3. Auflage, Springer (2000)