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Fachhochschule Düsseldorf
Mathematik für Ingenieure
Vorlesungsmanuskript Mathematik I/II
Prof. Dr.-Ing. W. Scheideler
1
EINFÜHRUNG IN DIE ALGEBRA
1.1
Definitionen
1-6
1.2
Binomischer Lehrsatz
1-8
1.3
Polynome
1-9
1.4
Betragsgleichungen
1-12
1.5
Ungleichungen
1-13
1.6
Lineare Gleichungssysteme
1-15
1.7
Komplexe Zahlen
1-19
1.7.1 Alternative Darstellungsformen komplexer Zahlen
1.7.2 Exponentielle Darstellung komplexer Zahlen
2
1-6
FUNKTIONEN
1-21
1-27
2-28
2.1
Definition
2-28
2.2
Darstellungsformen
2-28
2.2.1 Analytische Darstellung
2.2.2 Parameterdarstellung
2.3
Funktionseigenschaften
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.3.5
Symmetrie
Monotonie
Beschränktheit
Periodizität
Umkehrfunktionen
2-28
2-29
2-30
2-30
2-31
2-31
2-32
2-32
2.4
Nullstellen
2-34
2.5
Lineare Funktionen
2-35
Punkt - Steigungs - Form
2.5.2 2 - Punkte – Form
2.5.3 Achsenabschnittsform
2-35
2-35
2-35
2.6
Quadratische Funktionen
2-36
2.7
Polynomfunktionen höheren Gerades
2-37
2.8
Funktionswertberechnung eines Polynoms mit dem Horner - Schema
2-38
2.9
Trigonometrische Funktionen
2-40
2.9.1 Darstellung im rechtwinkligen Dreieck
2.9.2 Winkelmaße
2.9.3 Verallgemeinerung der Winkelfunktionen am Einheitskreis
2-40
2-40
2-40
Mathematik für Ingenieure
Prof. Dr.-Ing. W. Scheideler
1-2
Vorlesungsmanuskript Mathematik I/II
2.9.4 Wichtige Beziehungen zwischen den Trigonometrischen Funktionen
2.9.5 Verallgemeinerung der Sinusfunktion
2.10 Arkusfunktionen
2.10.1
2.10.2
2.10.3
2.10.4
Die Arkussinusfunktion
Die Arkuskosinusfunktion
Die Arkustangensfunktion
Eigenschaften der Arkusfunktion
2-48
2-49
2-49
2-49
2-51
2.11 Trigonometrische Gleichungen
2-51
2.12 Exponentialfunktionen
2-52
2.13 Logarithmusfunktionen
2-56
2.13.1
2.13.2
2.13.3
2.13.4
Grundsätzliches
Rechenregeln für Logarithmen
Umrechnung auf andere Basen:
Exponential - und Logarithmusgleichungen
2.14 Hyperbelfunktionen
2.14.1
2.14.2
2.14.3
2.14.4
Verhalten der Hyperbelfunktionen im „Unendlichen“
Symmetrie der Hyperbelfunktionen:
Graphische Darstellung der Hyperbelfunktionen
Wichtige Beziehungen zwischen den hyperbolischen Funktionen
2.15 Areafunktionen
2.15.1
2.15.2
2.15.3
2.15.4
Die Areasinushyperbolicus - Funktion
Die Areacosinushyperbolicus - Funktion
Die Areatangenshyperbolicus - Funktion
Die Areacotangenshyperbolicus - Funktion
2.16 Gebrochene rationale Funktionen
2.16.1
2.16.2
2.16.3
2.17.1
2.17.2
Algebraische Gleichung n - ten Grades
Die Gleichungen der Kegelschnitte
2.18 Die Behandlung von Gleichungen
2.18.1
2.18.2
2.18.3
2.18.4
2-56
2-56
2-57
2-58
2-59
2-60
2-60
2-61
2-61
2-63
2-63
2-64
2-64
2-65
2-65
Allgemeine Definitionen
2-65
Nullstellen, Pole und Definitionslücken gebrochener rationaler Funktionen 2-66
Verhalten von gebrochenen rationalen Funktionen im Unendlichen
2-70
2.17 Algebraische Funktionen
3
2-43
2-44
Lineare Gleichungen
Quadratische Gleichungen:
Gleichungen höheren Grades
Nichtäquivalente Umformungen
DIFFERENTIALRECHNUNG
72
72
72
78
78
79
80
84
3-86
3.1
Grundlegende Überlegungen
3-86
3.2
Geometrische Interpretation des Grenzwertes
3-87
3.3
Ableitungen wichtiger Grundfunktionen
3-89
Mathematik für Ingenieure
Prof. Dr.-Ing. W. Scheideler
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.3.4
3.3.5
3.4
Ableitung der Potenzfunktion
Ableitung der Sinus – Funktion
Ableitung der Kosinus - Funktion
Ableitung der Logarithmus - Funktion
Zur Ableitung von Arkusfunktionen
Ableitungsregeln
3.4.1
3.4.2
3.4.3
3.4.4
3.4.5
3.4.6
3.4.7
4
Faktorregel
Summenregel
Produktregel
Kettenregel
Quotientenregel
Implizite Differentiation
Logarithmische Ableitung
EINFÜHRUNG IN DIE INTEGRALRECHNUNG
3-89
3-90
3-91
3-92
3-94
3-94
3-94
3-94
3-95
3-96
3-96
3-96
3-98
4-100
4.1
Grundlegende Überlegungen
4-100
4.1
Elementare Integrationsregeln
4-102
4.2
Eigenschaften der durch Integration gewonnenen Funktion
4-103
4.2
Methoden der analytischen Integration
4-107
4.2.1 Integration durch Substitution
4.2.2 Partielle Integration
4.3
5
1-3
Vorlesungsmanuskript Mathematik I/II
Uneigentliche Integrale
VEKTORALGEBRA
4-107
4-110
4-114
5-116
5.1
Grundsätzliche Betrachtungen
5-116
5.2
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
5-118
5.3
Betrag oder Länge eines Vektors
5-119
5.4
Skalarprodukt zweier Vektoren
5-120
5.5
Vektorielles Produkt
5-126
5.6
Rechengesetze der Vektoralgebra
5-130
5.6.1
5.6.2
5.6.3
5.6.4
Skalarprodukt
Projektion eines Vektors b auf den Vektor a
Kreuzprodukt
Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes P
5-130
5-132
5-132
5-134
5.7
Linearkombinationen von Vektoren
5-134
5.8
Das Spatprodukt
5-137
5.9
Geradengleichung in Vektorform
5-138
Mathematik für Ingenieure
Prof. Dr.-Ing. W. Scheideler
1-4
Vorlesungsmanuskript Mathematik I/II
5.10 Ebenengleichung
6
ANWENDUNG DER INFINITESIMALRECHNUNG
6-144
6.1
Newton-Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen
6-144
6.2
Entwicklung von Funktionen in Taylorreihen
6-147
6.2.1 Grundlagen
6.2.2 Beispiele zur Entwicklung von Funktionen in Taylorreihen
6.3
7
5-142
6-147
6-151
Berechnung der Grenzwerte unbestimmter Ausdrücke
6-153
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
7-157
7.1
Grundbegriffe
7-157
7.2
Differentialgleichungen 1. Ordnung
7-157
7.3
Separierbare Differentialgleichung 1. Ordnung
7-159
7.4
Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
7-162
7.5
Differentialgleichung 2. Ordnung
7-168
7.5.1 Grundbegriffe
7-168
7.5.2 Linerare homogen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten7-169
7.5.3 Auffinden irgendeiner Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
7-184
8
FUNKTIONEN MIT MEHREREN VARIABLEN
8-187
8.1
Grundlagen
8-187
8.2
Darstellung von Funktionen mit mehreren Variablen
8-187
8.3
Partielle Ableitungen
8-189
8.4
Funktionsgleichungen dreidimensionaler Körper
8-191
8.4.1 Einführung
8.4.2 Ebenengleichung
8.4.3 Rotationskörper
8-191
8-191
8-192
8.5
Partielle Ableitungen von Funktionen mit beliebiger Anzahl von Variablen8-193
8.6
Vollständiges Differential
8-194
8.7
Tangentialebene bei Funktionen mit zwei Variablen
8-195
8.8
Richtungsableitung
8-196
8.9
Anwendung der Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen8196
8.9.1 Integralrechnung bei Funktionen mit zwei Variablen
8-196
Mathematik für Ingenieure
Prof. Dr.-Ing. W. Scheideler
1-5
Vorlesungsmanuskript Mathematik I/II
8.9.2 Allgemeine Hinweise zur Auswertung von Doppelintegralen
9
MATRIZENRECHNUNG
8-201
9-205
9.1
Allgemeine Einführung
9-205
9.2
Determinante und Cramersche Regel
9-224
9.3
Inverse Matrix
9-225
9.4
Differentiation in Matrizengleichungen
9-227
9.5
Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix
9-231