Blatt 03.1: Scheinkräfte

Fakultät für Physik
T1: Klassische Mechanik, SoSe 2017
Dozent: Ulrich Schollwöck
Übungen: Nils-Oliver Linden, Dennis Schimmel,
Andreas Swoboda
https://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/sose_17/T1_theor_
mechanik/index.html
Blatt 03.1: Scheinkräfte
Ausgabe: Freitag, 05.05.17;Abgabe: Freitag, 12.05.17, 13:00
Hausaufgabe 1: Galilei-Transformation [3]
(a) Die Systeme B und B’ seien zwei relativ zueinander bewegte kartesische Koordinatensystem mit parallelen Achsen. Die Position eines Teilchens werde zu einer Zeit t in B
beschrieben durch
r(t) = (6α1 t2 − 4α2 t)ex − 3α3 t3 ey + 3α4 ez
und in B’ durch
r 0 = (6α1 t2 + 3α2 t)ex − (3α3 t3 − 11α5 )ey + 4α6 tez
Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich B’ relativ zu B? Welche Beschleunigung erfährt
das Teilchen in B und in B’ ? B sei ein Inertialsystem. Ist dann auch B’ ein Inertialsystem?
(b) In einem Inertialsystem K breite sich eine elektromagnetische Welle aus, die der Wellengleichung u(r, t) = 0 genügt, wobei
∂2
∂2
∂2
1 ∂2
≡
+
+
−
∂x2 ∂y 2 ∂z 2 c2 ∂t2
auch d’Alembert Operator genannt wird. Betrachten Sie die einfache GalileiTransformation K → K 0 :
x0 = x − v0 t,
y 0 = y,
z 0 = z,
t0 = t,
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(v0 = const). Wie lautet die Wellengleichung im Koordinatensystem K 0 ? Unter welcher
Bedingung ist die Wellengleichung näherungsweise forminvariant?
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Hausaufgabe 2: Scheinkräfte in beschleunigten Bezugssystemen [7]
Betrachten Sie ein ebenes Karussell, das sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω in die
mathematisch positive Drehrichtung um die z-Achse bewegt. Eine Person, die im Abstand R
vom Zentrum auf dem Karussell sitzt, stösst zum Zeitpunkt t = 0 eine Scheibe in Richtung
des Zentrums des Karussells. Die Person gibt der Scheibe dabei eine Anfangsgeschwindigkeit
v00 relativ zum Karussell. Die Scheibe gleite reibungslos.
(a) Die Bewegung der Scheibe soll zunächst im Inertialsystem I, das nicht mit dem Karussell
rotiert untersucht werden. Finden sie die Lösung für die Teilchenbahn und zeigen Sie
durch Transformation ihrer gefundene Lösung in das Karussell-System, dass dort gilt
x0 =(R − v00 t) cos(ωt) + ωRt sin(ωt)
y 0 = − (R − v00 t) sin(ωt) + ωRt cos(ωt),
(2)
wobei x0 und y 0 die Koordinaten des Teilchens im rotierenden System bezeichnen.
(b) Stellen Sie nun alternativ die Bewegungsgleichungen im Bezugssystem des Karussells auf.
Wählen Sie dieses Bezugssystem so, das der Ursprung im Zentrum des Karussells liegt
und die Anfangsgeschwindigkeit der Scheibe in die negative x0 -Richtung zeigt.
(c) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen für die Koordinaten x0 , y 0 des rotierenden Bezugssystems (Sie können dazu die Koordinaten zu einer komplexen Größe w = x0 + iy 0
zuammenfassen). Zeigen Sie, dass für die Person auf dem Karussell die Bewegung der
Scheibe für kleine Zeiten (entwickeln Sie in niedrigster nicht-konstanter Ordnung in t)
durch eine Parabel beschrieben wird.
Hausaufgabe 3: Perle auf rotierendem Draht [5]
Eine Perle gleite reibungsfrei auf einem geraden Draht, der, von einem Motor bewegt, mit
konstanter Winkelgeschwindigkeit ω in der horizontalen (x, y)-Ebene rotiert.
(a) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen in einem rotierenden Bezugsystem mit x0 -Achse
entlang des Drahtes auf. Berücksichtigen Sie dabei, dass der Draht eine Kraft FD auf die
Perle ausüben kann (in welche Richtung?).
(b) Lösen Sie die Bewegungsgleichung für x0 für Anfangsbedingungen x0 (0) = x0 , ẋ0 (0) = 0
und berechnen Sie die kinetische Energie der Perle.
(c) Der Energiezuwachs der Perle wird durch die Kraft, die der Draht auf sie ausübt, verursacht. Berechnen Sie FD aus der Bewegungsgleichung und berechnen Sie die Arbeit, die
der Draht an der Perle verrichtet.
Hausaufgabe 4: Infinitesimale Drehungen [2]
Zeigen Sie, dass die Drehmatrizen um die x-, y- und z-Achsen, jeweils um einen infinitesimalen
Winkel , folgende Beziehungen erfüllen:
Rx ()Ry () − Ry ()Rx () = Rz (2 ) − 1 + O(3 ).
Hinweis: Entwickeln Sie dazu zuächst jede der Drehmatrizen bis zur zweiten Ordnung in .
[Gesamtpunktzahl Hausaufgaben: 17]
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