Zusammenfassung Theoretische Mechanik
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Zusammenfassung Theoretische Mechanik
Grundlage: Skript von Dirk-Gunnar Welsch
Mario Chemnitz
26. Juli 2007
1
Krummlinige Koordinatensysteme
Definition kovariante Basisvektoren:
~gi :=
∂~r
∂xi
Definition kontravariante Basisvektoren:
~ i
~g i := ∇x
Kronecker-Symbol:
g~i · ~g k = δik
Schreibweise eines beliebigen Vektors ~q in den jeweiligen Koordinaten:
~q = q k · ~gk = qk · ~g k
(mit q k als kontra- und qk als kovarinate Komponente von ~q)
Skalarprodukt zweier Vektoren ~q und p~
~q · p~ = qi pi = q i pi
~q · p~ = gik q i pk = g ik qi pk
gik heißt metrische Fundamentaltensor.
Dieser sieht für ein dreidimensionales Orthogonalsystem wie folgt aus:
λ1 2
0
0
gik = 0
λ2 2
0
0
0 λ3 2
Änderung des Ortsvektors
d~r = ~gi dxi = λi ~ei dxi = ~g i dxi
Bogenelement
ds2
= d~r · d~r = gik dxi dxk
= λ2i dxi2
(gilt nur f ür Orthogonalsystem)
Volumenelement
dV
=
|~g1 · (~g2 × ~g3 )|
|
{z
}
dx1 dx2 dx3
ǫ123 ...Levi−Civita−T ensor
ǫ123
=
dV
=
p
√
det gik =
√
g
g dx1 dx2 dx3
1
ǫ123 ǫ123 = 1; gik = ~gi · ~gk
Parallelität zwischen ko- und kontravarianten Basisvektoren gilt, wenn
~gi = λ2i · ~g i
Einheitsvektoren
~ei =
~gi
= λi~g i
λi
Definition Geschwindigkeit
~r˙
= ẋi ~gi
= ẋi λi ~ei
Definition Beschleunigung
~r¨ = ẋi ~g˙ i + ẍi ~gi
d i
(ẋ λi ) ~ei + ẋi λi ~e˙ i
=
dt
Beispiel Zylinderkoordinaten
x = ρ cos ϕ
ds2
=
=⇒
~r˙
~r¨
=
=
Beispiel Kugelkoordinaten
y = ρ sin ϕ
dρ2 + ρ2 dϕ2 + dz 2
λρ = 1
λϕ = ρ
=
=⇒
~r˙
=
~r¨
=
+
+
2
λz = 1
ρ̇ ~eρ + ϕ̇ρ ~eϕ + ż ~ez
ρ̈ + ϕ̇2 ρ ~eρ + (ϕ̈ρ + 2ρ̇ϕ̇) ~eϕ + z̈~ez
x = ρ cos ϕ sin ϑ
ds2
z=z
y = ρ sin ϕ sin ϑ
z = ρ cos ϑ
dρ2 + ρ2 dϑ2 + ρ2 sin2 ϑ dϕ2
λρ = 1
λϑ = ρ
λϕ = ρ sin ϑ
ρ̇ ~eρ + ϑ̇ρ ~eϑ + ϕ̇ρ sin ϑ ~eϕ
ρ̈ − ϑ̇2 ρ − ϕ̇2 ρ sin2 ϑ ~eρ
1 d h 2i
ϑ̇ρ − ϕ̇2 ρ sin ϑ cos ϑ ~eϑ
ρ dt
d 2 2 1
ϕ̇ρ sin ϑ ~eϕ ϑ
ρ sin ϑ dt
Newton’sche Mechanik
1. Newton’sches Axiom (Trägheitsgesetz)
Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder gleichförmig geradlinigen Bewegung, wenn er
nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird diesen Zustand zu ändern.
F~ = 0 ⇒ ~r˙ = const
2
2. Newton’sches Axiom (Grundgesetz der Dynamik)
Die auf einen Massenpunkt (eines Körpers) wirkende Kraft ist gleich dem Produkt aus Masse und
Beschleunigung des Massenpunkts.
F~ = m · ~r¨ = p~˙ (. . . f ür m = const)
3. Newton’sches Axiom (Wechselwirkungsgesetz)
Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkungen zweier Körper aufeinander
sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung.
F~12 = −F~21
4. Newton’sches Axiom (Superpositionsprinzip)
Die auf einen Massenpunkt einwirkende Kräfte lassen sich vektoriell addieren und somit zu einer
einwirkenden Gesamtkraft zusammenfassen.
F~ =
X
F~i
i
Konservative Kräfte
Kraft ist genau dann konservativ, wenn gilt:
rotF~ =
∂Fz
∂y
∂Fx
∂z
∂Fy
∂x
−
−
−
3
∂Fy
∂z
∂Fz
∂x
∂Fx
∂y
=0
3
Bewegte Bezugssysteme
In Σ :
Ortsvektor ~r = ~r(t)
Ortsvektor ~r˜ = ~r˜(t)
′
In Σ :
~r
d~r
dt
|{z}
=
=
~r0 + ~r′
d˜~r˜
d~r0
+ω
~ × ~r˜
+
dt
dt
|{z} |{z}
˜
~
v
~
v
~
v0
{z
|
~
vF
}
~v . . .
~v˜ . . .
~v0 . . .
Absolutgeschwindigkeit
Relativgeschwindigkeit
T ranslationsgeschwindigkeit
~vF
...
F ührungsgeschwindigkeit (f ür ~v˜ = 0)
d~v
dt
=
ω ˜
d˜~v˜ d~v0 d~
~
+
ω × ~v˜
+
× ~r + ω
~ × (ω × ~r˜) + 2~
{z
} | {z }
|
dt |{z}
dt
dt
~
acor
~
az
~
a0
~a0
~az
|
{z
~
aF
}
~acor
...
...
...
T ranslationsbeschleunigung
Zentrif ugalbeschleunigung
Coriolisbeschleunigung
~aF
...
F ührungsbeschleunigung (f ür ~v˜ = 0; zeitl. Ableitung der F ührungsgeschwindigkeit)
Grundgleichung der Dynamik
¨
˙
m~r˜ = F~ − m~r¨0 − mω
~˙ × ~r˜ − m~
ω × (~
ω × ~r˜) − 2m~
ω × ~r˜
4
4
4.1
Erhaltungssätze
Impulsbilanz
Die zeitliche Änderung des Impulses ist gleich der einwirkenden Gesamtkraft.
d~
p
= F~
dt
Aus der Impulsbilanz folgt für F~ = 0 der Impulserhaltungssatz:
d~
p
=0
dt
4.2
⇒
p~ = const
Energiebilanz
m~r¨ = F~
| · ~r˙
d 1 ˙ 2
m~r¨ · ~r˙ =
m ~r = F~ · ~r˙ =: P
dt 2
Die zeitliche Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Leistung der einwirkenden Gesamtkraft.
dT
=P
dt
Unter der Einbeziehung eines Potentials U (konservative Kraft) folgt:
i
~ · ~r˙ = − ∂U dx = − dU
P = F~ · ~r˙ = −∇U
∂xi dt
dt
Hieraus folgt der Energieerhaltungssatz:
d
(T + U ) = 0
dt
⇒
T + U = E = const
Berechnung des Potentials einer konservativen Kraft
F~ = −gradU
1. Möglichkeit
U =−
2. Möglichkeit
∂U
∂x
∂U
Fy = −
∂y
∂U
Fz = −
∂z
Fx = −
Z
F~ d~r
→
U =−
→
U =−
→
U =−
Für ein Massenpunktsystem gilt:
5
Z
Z
Z
Fx dx + f1 (y, z)
Fy dy + f2 (x, z)
Fz dz + f3 (x, y)
• Die gesamte kinetische Energie des MP-Systems ergibt sich aus der Summe der kin. Energie
des Gesamtkörpers (Energie des Massenmittelpunktes) und der kin. Energien aller MPs in
demselben Körper“.
”
N
X
1
1
2
T = mṙc2 +
mν r̃˙ν
2
2
ν=1
• Die gesamte potentielle Energie des MP-Systems ergibt sich aus der Summe der auf jeden
einzelnen Massenpunkt wirkenden externe pot. Energie (bspw. Erdanziehung) und aller pot.
Energien die zwischen den Massenpunkten wirken (bspw. Anziehungskräfte).
U=
4.3
N
N
X
1 X
Uν (rν )
Uνµ (rνµ ) +
2 ν,µ=1
ν=1
Drehimpulsbilanz
~r × |
m~r¨ = F~
¨ × ~r = d ~r × ~r˙ = ~r × F~ =: M
m~r
dt
Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem einwirkenden Gesamtdrehmoment.
~
dL
~
=M
dt
~ = 0 der Drehimpulserhaltungssatz:
Aus der Drehimpulsbilanz folgt für M
~
dL
=0
dt
⇒
~ = const
L
Für Massenpunktsysteme gilt:
Die zeitliche Änderung des Gesamtdrehimpulses eines MP-Systems ist gleich dem Gesamtdrehmoment der äußeren Kräfte, sofern die inneren Zentralkräfte sind.
~
dL
~ ext
=M
dt
4.4
Massenmittelpunktsatz (Schwerpunktsatz)
Dieser Satz findet nur in Massenpunktsystemen Anwendung. In solchen gilt (2. N.A. für N Körper):
F~ν = mν ~r¨ν = F~νext +
N
X
µ=1
6
F~νµ
Summation über die N Bewegungsgleichungen ergibt:
N
X
mν ~r¨ν
=
N
X
N
N X
X
F~νext +
ν=1
ν=1
F~νµ
ν=1 µ=1
|
{z
}
~νµ =−F
~µν
=0 weil F
=
N
X
F~νext = F~ ext
ν=1
M it p~ =
N
X
p~ν =
mν ~r˙ν f olgt :
ν=1
ν=1
d~
p
dt
N
X
= F~ ext
Die zeitliche Änderung des Gesamtimpulses eines MP-Systems ist gleich der Resultante der auf
das System einwirkenden äußeren Kräfte
P
P
1
Aus ~rc = m
mν ~rν und m = mν ergibt sich für den Gesamtimpuls
p~ =
und somit für den Schwerpunktsatz:
X
mν ~r˙ν = m~r˙c
m~r¨c = F~ ext
Der Massenmittelpunkt eines MP-Systems bewegt sich so, als ob in ihm die gesamte Masse des
Systems konzentriert wäre und an ihm die Resultante aller äußeren Kräfte wirkte.
4.5
Virialsatz
Der zeitliche Mittelwert der kinetischen Energie ist gleich dem halben Virial des MP-Systems.
T =
4.6
1X
1X
~ νU
mν ṙν2 =
~rν · ∇
2
2
Das D’Alembert’sche Prinzip
Arten von Nebenbedingungen:
• Holonome NB sind Zwangsbedingungen, die als Gleichungen formulierbar sind. Sie sind
weiter unterteilt in:
– Skleronome (starre) Zwangsbedingungen, wenn diese nicht explizit von der Zeit
abhängen.
– Rheonome (fließende) Zwangsbedingungen, wenn diese explizit von der Zeit abhängen.
fk (~x, t) = 0
⇒
dfk =
3N
X
∂fk
i=1
7
∂xi
dxi +
∂fk
dt = 0
∂t
• Anholonome NB sind Zwangsbedingungen, die nicht in dieser Form formulierbar sind, z.B.
Ungleichungen. Bspw.:
– Beschränkung des Massenpunktes auf einen Raumbereich
– Abhängigkeit der Beschränkungen von der Geschwindigkeit
– D.h. es existiert keine Funktion fk , sodass gilt
dfk =
3N
X
fki (~x, t)dxi + fk0 (~x, t)dt = 0
i=1
Virtuelle Verrückungen
Unter einer virt. Verrückung δ~ri verstehen wir eine gedachte Ortsveränderung der i-ten Punktmasse, die folgende Bedingungen erfüllt:
1. δ~ri ist infinitisimal klein,
2. δ~ri ist mir den Nebenbedingungen vereinbar,
3. δ~ri ist nur für δt = 0 definiert, d.h. Verrückung erfolgt zu einem festen Zeitpunkt.
D’Alembert’sches Prinzip
Zwangskräfte leisten bei virtuellen Verrückungen keine Arbeit.
3N
X
F̃i ∂xi =
i=1
3N
X
i=1
(mi ẍi − Fi ) ∂xi = 0
Gleichgewichtsfall (ẍi = 0) ⇒ Prinzip der virtuellen Arbeit
Ein MP-System ist nur dann im Gleichgewicht, wenn die gesamte virtuelle Arbeit der am System
angreifenden eingeprägten Kräfte verschwindet bzw. nicht positiv ist.
3N
X
i=1
Fi ∂xi ≤ 0
Die Erhaltungsstze bleiben weiterhin gültig, wenn unter den einwirkenden Kräften alle wirkenden
Kräfte verstanden werden.
X
F~νµ
F~ν = F~νext +
µ
5
Lagrange’sche Mechanik
Lagrange’sche Gleichungen I. Art
Aus dem D’Alembert’schen Prinzip und anholonomen Bedingungen
3N
X
fki dxi + fk0 dt = 0
i=1
8
(k = 1, 2, . . . , r)
folgt mit δt = 0 und nach einem Durchmultiplizieren mit einem Lagrange’schen Multiplikator λk :
!
r
3N
X
X
(3N − r = f )
λk fki ∂xi = 0
mi ẍi − Fi −
i=1
k=1
⇒ Lagrange-Gleichung I.Art:
mi ẍi = Fi +
r
X
(i = 1, 2, . . . , 3N )
λk fki
k=1
Für die Zwangskräfte gilt:
F̃i =
r
X
λk fki
k=1
Speziell für holonome Bedingungen gilt:
F̃i =
r
X
k=1
λk
∂fk
∂xi
Lagrange’sche Gleichungen II. Art
d ∂L
∂L
−
dt ∂ q̇i
∂qi
= 0
(i = 1, 2, . . . , f )
M it L = T − U
Zyklische Koordinaten
. . . sind generalisierte Koordinaten, von den die Lagrange-Funktion nicht abhängt. Sie geben Anlass
zu Erhaltungssätzen:
∂L
d ∂L
=0
⇒
=0
∂qi
dt ∂ q̇i
⇒
6
∂L
= const
∂ q̇i
Hamilton’sche Mechanik
Hamilton’sche Prinzip (Prinzip der kleinsten Wirkung)
Die von einem MP-System (im Konfigurationsraum) tatsächlich durchlaufene Bahnkurve zeichnet sich
gegenüber den zugelassenen Vergleichsbahnen dadurch aus, dass für sie die Wirkung einen Extremwert
- meist ein Minimum - annimmt. (∂S = 0)
Zugelassene Vergleichsbahnen sind in ihrem Verlauf nur in ihren Endpunkten invariant zur
eigentlichen Bahn, und diese entsprechen auch den Endpunkten der tatsächlichen Bahn.
Wikipedia:
Das Prinzip besagt, dass für ein physikalisches System mit einer Lagrange-Funktion L das Wirkungsintegral
Z
S(q) =
L dt
9
minimal (oder stationär) sein muss. Die Integration erfolgt dabei über einen festen Zeitbereich
und für genau eine formell mögliche Realisierung des Systems, q genannt. Von allen möglichen
Realisierungen q finden in der Natur nach dem Prinzip der stationären Wirkung genau solche
qstat statt, bei denen S(qstat ) stationär ist.
Hamilton-Funktion
H=
f
X
i=1
pi q̇i − L
Die in Aufgaben gesuchte Hamilton-Funktion hängt in der Regel nur von qi , pi und t ab. Somit
ist ein Weg zu finden um q̇i zu ersetzen und die Hamilton-Funktion neu aufzuschreiben.
Hängt die Hamilton-Funktion nicht explizit von der Zeit ab, ist diese gerade die Energie des
Systems.
∂H
dH
H = T + U = const
=0 →
=0 →
∂t
dt
Kanonische Gleichungen
ṗi = −
∂H
,
∂qi
q̇i =
∂H
∂pi
Andere nützliche Gleichungen
∂H
∂L
=−
,
∂t
∂t
10
pi =
∂L
∂ q̇i
