Zusammenfassung Theoretische Mechanik

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Zusammenfassung Theoretische Mechanik
Grundlage: Skript von Dirk-Gunnar Welsch
Mario Chemnitz
26. Juli 2007
1. Krummlinige Koordinatensysteme
Definition kovariante Basisvektoren:
~gi :=
∂~r
∂xi
Definition kontravariante Basisvektoren:
~ i
~g i := ∇x
Kronecker-Symbol:
g~i · ~g k = δik
Schreibweise eines beliebigen Vektors ~q in den jeweiligen Koordinaten:
~q = q k · ~gk = qk · ~g k
(mit q k als kontra- und qk als kovarinate Komponente von ~q)
Skalarprodukt zweier Vektoren ~q und p~
~q · p~ = qi pi = q i pi
~q · p~ = gik q i pk = g ik qi pk
gik heißt metrische Fundamentaltensor.
Dieser sieht für ein dreidimensionales Orthogonalsystem wie folgt aus:
 2

λ1
0
0
λ2 2
0 
gik =  0
0
0 λ3 2
Änderung des Ortsvektors
d~r = ~gi dxi = λi ~ei dxi = ~g i dxi
1
Bogenelement
ds2 = d~r · d~r = gik dxi dxk
(gilt nur f ür Orthogonalsystem)
= λ2i dxi2
Volumenelement
dV
dx1 dx2 dx3
|~g1 · (~g2 × ~g3 )|
|
{z
}
=
123 ...Levi−Civita−T ensor
p
√
123 =
det gik = g
√
g dx1 dx2 dx3
dV =
123 123 = 1; gik = ~gi · ~gk
Parallelität zwischen ko- und kontravarianten Basisvektoren gilt, wenn
~gi = λ2i · ~g i
Einheitsvektoren
~ei =
~gi
= λi~g i
λi
Definition Geschwindigkeit
~r˙ = ẋi ~gi
= ẋi λi ~ei
Definition Beschleunigung
~r¨ = ẋi ~g˙ i + ẍi ~gi
d i
(ẋ λi ) ~ei + ẋi λi ~e˙ i
=
dt
Beispiel Zylinderkoordinaten
x = ρ cos ϕ
ds2
~r˙
~r¨
y = ρ sin ϕ
= dρ2 + ρ2 dϕ2 + dz 2
=⇒ λρ = 1
λϕ = ρ
=
=
z=z
λz = 1
ρ̇ ~eρ + ϕ̇ρ ~eϕ + ż ~ez
ρ̈ + ϕ̇2 ρ ~eρ + (ϕ̈ρ + 2ρ̇ϕ̇) ~eϕ + z̈~ez
2
Beispiel Kugelkoordinaten
x = ρ cos ϕ sin ϑ
ds2
~r˙
~r¨
y = ρ sin ϕ sin ϑ
z = ρ cos ϑ
= dρ2 + ρ2 dϑ2 + ρ2 sin2 ϑ dϕ2
=⇒ λρ = 1
λϑ = ρ
λϕ = ρ sin ϑ
=
=
+
+
ρ̇ ~eρ + ϑ̇ρ ~eϑ + ϕ̇ρ sin ϑ ~eϕ
ρ̈ − ϑ̇2 ρ − ϕ̇2 ρ sin2 ϑ ~eρ
1 d h 2i
2
ϑ̇ρ − ϕ̇ ρ sin ϑ cos ϑ ~eϑ
ρ dt
1 d 2 2 ϕ̇ρ sin ϑ ~eϕ ϑ
ρ sin ϑ dt
2. Newton’sche Mechanik
1. Newton’sches Axiom (Trägheitsgesetz)
Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder gleichförmig geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird diesen Zustand zu
ändern.
F~ = 0 ⇒ ~r˙ = const
2. Newton’sches Axiom (Grundgesetz der Dynamik)
Die auf einen Massenpunkt (eines Körpers) wirkende Kraft ist gleich dem Produkt
aus Masse und Beschleunigung des Massenpunkts.
F~ = m · ~r¨ = p~˙ (. . . f ür m = const)
3. Newton’sches Axiom (Wechselwirkungsgesetz)
Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkungen zweier Körper
aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung.
F~12 = −F~21
4. Newton’sches Axiom (Superpositionsprinzip)
Die auf einen Massenpunkt einwirkende Kräfte lassen sich vektoriell addieren und
somit zu einer einwirkenden Gesamtkraft zusammenfassen.
X
F~ =
F~i
i
3
Konservative Kräfte
Kraft ist genau dann konservativ, wenn gilt:


rotF~ = 
∂Fz
∂y
∂Fx
∂z
∂Fy
∂x
−
−
−
∂Fy
∂z
∂Fz
∂x
∂Fx
∂y


=0
3. Bewegte Bezugssysteme
In Σ :
In Σ0 :
~r
d~r
dt
|{z}
Ortsvektor ~r = ~r(t)
Ortsvektor ~r˜ = ~r˜(t)
= ~r0 + ~r0
=
d~r0
d˜~r˜
+
+ω
~ × ~r˜
dt
dt
|{z} |{z}
~v˜
~v
~v0
|
~v
~v˜
~v0
~vF
...
...
...
...
d~v
dt
=
{z
~vF
}
Absolutgeschwindigkeit
Relativgeschwindigkeit
T ranslationsgeschwindigkeit
F ührungsgeschwindigkeit (f ür ~v˜ = 0)
d˜~v˜ d~v0 d~ω ˜
~
+
× ~r + ω
~ × (ω × ~r˜) + |2~ω{z
× ~v˜}
+
|
{z
}
dt |{z}
dt
dt
~acor
~az
~a
| 0
{z
}
~aF
~a0 . . .
~az . . .
~acor . . .
~aF . . .
T ranslationsbeschleunigung
Zentrif ugalbeschleunigung
Coriolisbeschleunigung
F ührungsbeschleunigung (f ür ~v˜ = 0; zeitl. Ableitung der F ührungsgeschwindigkeit)
Grundgleichung der Dynamik
¨
˙
m~r˜ = F~ − m~r¨0 − mω
~˙ × ~r˜ − m~ω × (~ω × ~r˜) − 2m~ω × ~r˜
4
4. Erhaltungssätze
1. Impulsbilanz
Die zeitliche Änderung des Impulses ist gleich der einwirkenden Gesamtkraft.
d~p
= F~
dt
Aus der Impulsbilanz folgt für F~ = 0 der Impulserhaltungssatz:
d~p
=0
dt
⇒
p~ = const
2. Energiebilanz
m~r¨ = F~
| · ~r˙
d 1 ˙ 2
¨
˙
m~r · ~r =
m ~r = F~ · ~r˙ =: P
dt 2
Die zeitliche Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Leistung der einwirkenden Gesamtkraft.
dT
=P
dt
Unter der Einbeziehung eines Potentials U (konservative Kraft) folgt:
i
~ · ~r˙ = − ∂U dx = − dU
P = F~ · ~r˙ = −∇U
∂xi dt
dt
Hieraus folgt der Energieerhaltungssatz:
d
(T + U ) = 0
dt
⇒
T + U = E = const
Berechnung des Potentials einer konservativen Kraft
F~ = −gradU
1. Möglichkeit
Z
U =−
5
F~ d~r
2. Möglichkeit
Z
∂U
Fx = −
∂x
∂U
Fy = −
∂y
∂U
Fz = −
∂z
→
U =−
Fx dx + f1 (y, z)
Z
→
U =−
Fy dy + f2 (x, z)
Z
→
U =−
Fz dz + f3 (x, y)
Für ein Massenpunktsystem gilt:
• Die gesamte kinetische Energie des MP-Systems ergibt sich aus der Summe der kin.
Energie des Gesamtkörpers (Energie des Massenmittelpunktes) und der kin.
Energien aller MPs in demselben Körper“.
”
N
1 2 X1
2
T = mṙc +
mν r̃˙ν
2
2
ν=1
• Die gesamte potentielle Energie des MP-Systems ergibt sich aus der Summe der auf
jeden einzelnen Massenpunkt wirkenden externe pot. Energie (bspw. Erdanziehung)
und aller pot. Energien die zwischen den Massenpunkten wirken (bspw.
Anziehungskräfte).
N
N
X
1 X
Uνµ (rνµ ) +
Uν (rν )
U=
2 ν,µ=1
ν=1
3. Drehimpulsbilanz
~r × |
m~r¨ = F~
¨ × ~r = d ~r × ~r˙ = ~r × F~ =: M
m~r
dt
Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem einwirkenden Gesamtdrehmoment.
~
dL
~
=M
dt
~ = 0 der Drehimpulserhaltungssatz:
Aus der Drehimpulsbilanz folgt für M
~
dL
=0
dt
⇒
6
~ = const
L
Für Massenpunktsysteme gilt:
Die zeitliche Änderung des Gesamtdrehimpulses eines MP-Systems ist gleich dem
Gesamtdrehmoment der äußeren Kräfte, sofern die inneren Zentralkräfte sind.
~
dL
~ ext
=M
dt
4. Massenmittelpunktsatz (Schwerpunktsatz)
Dieser Satz findet nur in Massenpunktsystemen Anwendung. In solchen gilt (2. N.A. für
N Körper):
N
X
ext
¨
~
~
Fν = mν ~rν = Fν +
F~νµ
µ=1
Summation über die N Bewegungsgleichungen ergibt:
N
X
mν ~r¨ν =
ν=1
N
X
N X
N
X
F~νext +
ν=1
F~νµ
ν=1 µ=1
|
{z
}
~νµ =−F
~µν
=0 weil F
=
N
X
F~νext = F~ ext
ν=1
M it p~ =
N
X
p~ν =
ν=1
N
X
mν ~r˙ν f olgt :
ν=1
d~p
= F~ ext
dt
Die zeitliche Änderung des Gesamtimpulses eines MP-Systems ist gleich der Resultante der auf das System einwirkenden äußeren Kräfte
P
P
Aus ~rc = m1
mν ~rν und m =
mν ergibt sich für den Gesamtimpuls
X
p~ =
mν ~r˙ν = m~r˙c
und somit für den Schwerpunktsatz:
m~r¨c = F~ ext
Der Massenmittelpunkt eines MP-Systems bewegt sich so, als ob in ihm die gesamte
Masse des Systems konzentriert wäre und an ihm die Resultante aller äußeren Kräfte
wirkte.
7
5. Virialsatz
Der zeitliche Mittelwert der kinetischen Energie ist gleich dem halben Virial des
MP-Systems.
T =
1X
1X
~ νU
mν ṙν2 =
~rν · ∇
2
2
5. Das D’Alembert’sche Prinzip
Arten von Nebenbedingungen:
• Holonome NB sind Zwangsbedingungen, die als Gleichungen formulierbar sind.
Sie sind weiter unterteilt in:
– Skleronome (starre) Zwangsbedingungen, wenn diese nicht explizit von der
Zeit abhängen.
– Rheonome (fließende) Zwangsbedingungen, wenn diese explizit von der Zeit
abhängen.
3N
X
∂fk
∂fk
dxi +
dt = 0
fk (~x, t) = 0 ⇒ dfk =
∂xi
∂t
i=1
• Anholonome NB sind Zwangsbedingungen, die nicht in dieser Form formulierbar
sind, z.B. Ungleichungen. Bspw.:
– Beschränkung des Massenpunktes auf einen Raumbereich
– Abhängigkeit der Beschränkungen von der Geschwindigkeit
– D.h. es existiert keine Funktion fk , sodass gilt
dfk =
3N
X
fki (~x, t)dxi + fk0 (~x, t)dt = 0
i=1
Virtuelle Verrückungen
Unter einer virt. Verrückung δ~ri verstehen wir eine gedachte Ortsveränderung der i-ten
Punktmasse, die folgende Bedingungen erfüllt:
1. δ~ri ist infinitisimal klein,
2. δ~ri ist mir den Nebenbedingungen vereinbar,
3. δ~ri ist nur für δt = 0 definiert, d.h. Verrückung erfolgt zu einem festen Zeitpunkt.
8
D’Alembert’sches Prinzip
Zwangskräfte leisten bei virtuellen Verrückungen keine Arbeit.
3N
X
F̃i ∂xi =
i=1
3N
X
(mi ẍi − Fi ) ∂xi = 0
i=1
Gleichgewichtsfall (ẍi = 0) ⇒ Prinzip der virtuellen Arbeit
Ein MP-System ist nur dann im Gleichgewicht, wenn die gesamte virtuelle Arbeit
der am System angreifenden eingeprägten Kräfte verschwindet bzw. nicht positiv
ist.
3N
X
Fi ∂xi ≤ 0
i=1
Die Erhaltungsstze bleiben weiterhin gültig, wenn unter den einwirkenden Kräften alle
wirkenden Kräfte verstanden werden.
X
F~νµ
F~ν = F~νext +
µ
6. Lagrange’sche Mechanik
Lagrange’sche Gleichungen I. Art
Aus dem D’Alembert’schen Prinzip und anholonomen Bedingungen
3N
X
fki dxi + fk0 dt = 0
(k = 1, 2, . . . , r)
i=1
folgt mit δt = 0 und nach einem Durchmultiplizieren mit einem Lagrange’schen
Multiplikator λk :
!
3N
r
X
X
mi ẍi − Fi −
λk fki ∂xi = 0
(3N − r = f )
i=1
k=1
⇒ Lagrange-Gleichung I.Art:
mi ẍi = Fi +
r
X
λk fki
k=1
9
(i = 1, 2, . . . , 3N )
Für die Zwangskräfte gilt:
F̃i =
r
X
λk fki
k=1
Speziell für holonome Bedingungen gilt:
F̃i =
r
X
k=1
λk
∂fk
∂xi
Lagrange’sche Gleichungen II. Art
d ∂L ∂L
−
= 0
dt ∂ q̇i ∂qi
(i = 1, 2, . . . , f )
M it L = T − U
Zyklische Koordinaten
. . . sind generalisierte Koordinaten, von den die Lagrange-Funktion nicht abhängt. Sie
geben Anlass zu Erhaltungssätzen:
∂L
=0
∂qi
⇒
⇒
d ∂L
=0
dt ∂ q̇i
∂L
= const
∂ q̇i
7. Hamilton’sche Mechanik
Hamilton’sche Prinzip (Prinzip der kleinsten Wirkung)
Die von einem MP-System (im Konfigurationsraum) tatsächlich durchlaufene Bahnkurve zeichnet sich gegenüber den zugelassenen Vergleichsbahnen dadurch aus, dass
für sie die Wirkung einen Extremwert - meist ein Minimum - annimmt. (∂S = 0)
Zugelassene Vergleichsbahnen sind in ihrem Verlauf nur in ihren Endpunkten invariant
zur eigentlichen Bahn, und diese entsprechen auch den Endpunkten der tatsächlichen
Bahn.
Wikipedia:
Das Prinzip besagt, dass für ein physikalisches System mit einer Lagrange-Funktion L das
Wirkungsintegral
Z
S(q) =
L dt
10
minimal (oder stationär) sein muss. Die Integration erfolgt dabei über einen festen
Zeitbereich und für genau eine formell mögliche Realisierung des Systems, q genannt. Von
allen möglichen Realisierungen q finden in der Natur nach dem Prinzip der stationären
Wirkung genau solche qstat statt, bei denen S(qstat ) stationär ist.
Hamilton-Funktion
H=
f
X
pi q̇i − L
i=1
Die in Aufgaben gesuchte Hamilton-Funktion hängt in der Regel nur von qi , pi und t ab.
Somit ist ein Weg zu finden um q̇i zu ersetzen und die Hamilton-Funktion neu
aufzuschreiben.
Hängt die Hamilton-Funktion nicht explizit von der Zeit ab, ist diese gerade die Energie
des Systems.
dH
∂H
=0 →
=0 →
H = T + U = const
∂t
dt
Kanonische Gleichungen
ṗi = −
∂H
,
∂qi
q̇i =
∂H
∂pi
Andere nützliche Gleichungen
∂H
∂L
=− ,
∂t
∂t
11
pi =
∂L
∂ q̇i
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