Skript Woche 03/04

2.3. ELEKTRISCHES POTENTIAL UND ENERGIE
2.3
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Elektrisches Potential und Energie
Aus der Mechanik wissen wir, dass die Arbeit ∆Q, die an einem Massepunkt verrichtet wird,
wenn dieser um einen (kleinen) Vektor ∆r verschoben wird, sich zu
∆Q = −F · ∆r
(2.12)
= − |F| |∆r| · cos α
errechnet. Sind ∆r und F entgegengesetzt, verrichten wir also Arbeit an dem Massepunkt, sind
sie jedoch parallel verrichtet der Massepunkt Arbeit an uns.
PSfrag replacements
∆r
+Q
−Q
d
α
F
Wenn ∆r parallel zu ex ist
∆U = −Fx (x, y, z) ∆x
(2.13)
Es gibt Kräfte bzw. Wechselwirkungen, für die es eine eindeutige Funktion gibt, sodass
!
∆U !!
.
Fx = − lim
∆x→0 ∆x !
y,z=const
(2.14)
Kräfte, deren drei Komponenten sich als Ableitungen einer Stammfunktion U (x, y, z) gemäß
Gleichung 2.14 schreiben lassen (implizit ∆x → 0), heißen konservative Kräfte:
Fx
!
∆U !!
= − lim −
∆x→0
∆x !y,z=const
∂
= − U (x, y, z).
∂x
(2.15a)
(2.15b)
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KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Hierbei ist Gleichung (2.15b) die Kurzschreibweise zu Gleichung (2.15a). Man spricht von einer
partiellen Ableitung einer Funktion, wenn eine Ableitung gemäß Gleichung (2.15) gebildet wird.
Analog gilt z.B. für eine partielle Ableitung nach der y Komponente:
∂ U (x, y, z) = lim
∆y→0
U (x, y + ∆y, z) − U (x, y, z)
.
∆y
Nicht alle Kräfte lassen sich (in offensichtlicher Weise) als Ableitungen von einer skalaren Funktion schreiben. Beispiele sind alle Kräfte, die von der Geschwindigkeit abhängen, wie z.B. die
Stoke’sche Reibungskraft, oder - wie wir später sehen - die Kraft auf eine bewegte Ladung in
einem Magnetfeld.
Die Stammfunktion einer konservativen Kraft heißt potentielle Energie
• 1. Beispiel:
Betrachten wir einen Massepunkt im Schwerefeld der Erde, das wir in der Nähe der Erd-
oberfläche als konstant annehmen können. Das Schwerefeld bewirkt eine Kraft der Größe
PSfrag replacements
F = −m · g · ez , wobei m die Masse ist, g ≈ 9.8 m/s2 ist die Erdbeschleunigung, ez ein
+Q
Einheitsvektor senkrecht zur Erdoberfläche.
−Q
g
d
F = −m g · ez
Die potentielle Energie, die diese Kraft bewirkt, ist
U (x, y, z) = m · g · z + U0 ,
wobei z die Höhe des Massepunktes bezeichnet.
”Beweis”:
Fz
sowie:
Fx
!
∂U
∆U !!
=−
= − lim
!
∆z→0 ∆z
∂z
x,y=const
∂U
=−
=0
∂x
= −m · g
2.3. ELEKTRISCHES POTENTIAL UND ENERGIE
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Analoge Betrachtungen wie für ... gilt für ein Teilchen vor einer homgen geladenen Platte.
PSfrag replacements
Äquipotentiallinien
sind Bereiche konstanter potentieller Energie.
+Q
g
−Q
d
• 2. Beispiel:
U (x, y)
PSfrag replacements
+Q
−Q
d
x
y
1 2
kr
2
#
1 " 2
=
k x + y2 + z2
2
U =
∂U
= −k · x
∂x
∂U
Fy = −
= −k · y
∂y
∂U
Fz = −
= −k · z
∂z
Fx = −
(2.16)
Daraus folgt die Newtonsche Bewegungsgleichung:
m ẍ = −k x
m ÿ = −k y
m z̈ = −k z
⇒ in kompakter Vektorschreibweise: m r̈ = −k r
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KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Die Lösung der Bewegungsgleichung ist Inhalt der Dynamik.
Zentralpotential
Hängt eine potentielle Energie U (x, y, z) nur vom ”Abstand” r =
Potential ”Zentralpotential”
$
x2 + y 2 + z 2 ab, heißt das
Spezialfälle von Zentralpotentialen:
U = const. · r n
n=
2
entspricht dem harmonischen Oszillator
(2.17)
n = −1 elektrisches Pot. einer Punktladung/Gravitationspotential
Kräfte aus Zentralpotentialen:
∂
U (r)
∂x
dU ∂r
= −
dr ∂x
Fx = −
(2.18)
U hängt nur von einer Variablen, nämlich r ab. r selbst hängt jedoch von 3 Variablen ab (⇒
partielle Ableitung).
Nebenrechnung (mit U aus 2.17):
dU
= n · const · r n−1
dr
∂r
∂ $ 2
=
x + y2 + z2
∂x
∂x
11
=
· 2x
2r
x
=
r
y, z = const
Einsetzen in 2.18 liefert für die Kraft
"
# x
⇒ Fx = − n · const · r n−1 ·
r
2.3. ELEKTRISCHES POTENTIAL UND ENERGIE
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Zwei Spezialfälle:
• n = 2; const=
k
2
%
k
⇒ Fx = − 2 · r2−1
2
• n = −1; const=
&
x
= −k x
r
(2.19)
Q1 · Q2
4 π ε0
Fx
Fy
Fz
'
(
Q1 · Q2 (−1)−1 x
= − (−1) ·
r
4 π ε0
r
Q1 · Q2 1 x
=
4 π ε0 r 2 r
y
##
##
=
r
z
##
##
=
r
⇒
F=
Q1 · Q2 1 r
4 π ε0 r 2 r
(2.20)
(2.21)
⇒ Die potentielle Energie zweier Ladungen ist
U (r) =
Q1 · Q2 1
4 π ε0 r
(2.22)
Definiere das Potential, das eine elektrische Ladung Q hat, die im Ursprung sitzt als:
U=
Q 1
4 π ε0 r
(2.23)
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KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
PSfrag replacements
Äquipotentiallinie ⊥ E
+Q
−Q
Q
E-Feld
d
[U ] =
J
[Energie]
= = Volt
[Ladung]
C
S.I.-Einheit
Die abgeleitete Einheit eV also ”Elektronenvolt” ist gängig aber keine S.I.-Einheit. Sie ermöglicht
aber schnelles Umrechnen in S.I. Einheiten:
1 eV = 1 e · 1 V
Das eV ist eine sinnvolle Einheit für viele elementare Prozesse. Eine Energie von 13.6 eV bedarf es, um atomaren Wasserstoff zu ionisieren. Die Energie elektromagnetischer Strahlung im
sichtbaren Bereich liegt bei 1.6 eV bis 3.4 eV. Die thermische Energie bei Raumtemperatur
(T = 300 K) ist circa 1/40 eV.