Konstruktion von Positionsbäumen - www2.inf.h

2. Suffix-Bäume
Konstruktion von Positionsbäumen
Ansätze zur Konstruktion von Positionsbäumen
Grundlegender Ansatz: Induktive Konstruktion, d.h. man konstruiert
! .
sukzessive
Problem: Die Zwischenbäume
ren.
brauchen nicht zu existie-
# " $&%$&% $.
')(*+ existiert nicht, da Position 3 keinen Pos.-Id. in $,%-$
Beispiel:
hat.
Wie kann man diese Schwierigkeiten umgehen?
(a) Man konstruiert den Baum von rechts nach links (anstatt von links
nach rechts), d.h.
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./" .0"1!
.,23/" ,23',
2. Suffix-Bäume
87
Konstruktion von Positionsbäumen
..
." 4,
..
5" !
(b) Man hängt jeweils ein $-Zeichen an, d.h.
(-
..
( Nachteil: sehr hoher Aufwand
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2. Suffix-Bäume
Konstruktion von Positionsbäumen
(c) Man spiegelt den Text und die Definition des Begriffs Pos.-Id. und
geht wie unter (a) vor.
Nachteil: unnatürliche Umgehensweise
(d) Man verzichtet darauf, daß die Zwischenbäume Positionsbäume
sind.
☞ Wir untersuchen die Ansätze (a) und (d).
6
(a) : Rechts-Links-Konstruktion
6
(b) : Links-Rechts-Konstruktion
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2. Suffix-Bäume
Konstruktion von Positionsbäumen
Rechts-Links-Konstruktion von Positionsbäumen
Bemerkung: Für jeden Teilstring
sitionsbaum.
7
Ausgehend von dem Positionsbaum für
823
7 $ wie folgt:
Positionsbaum für
$ existiert der zugehörige Po-
4
$ konstruiert man den
Von der Wurzel aus durchläuft man einen Pfad mit den Markierungen
29 , bis man:
(a) ein Blatt
:
erreicht.
– Das Blatt : sei mit ; markiert.
– Der bisherige Positionsidentifikator für
Stelle <>=@? vor.
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;
kommt also auch an der
90
Sowohl A ;
als auch A <= ?
2. Suffix-Bäume
–
Konstruktion von Positionsbäumen
sind zu verlängern, bis sie sich un-
terscheiden.
– Dementsprechend wird der Pfad von dem erreichten Blatt aus
verlängert.
– Es entstehen zwei neue Blätter mit den Markierungen <B=@? und ; .
(b) einen inneren Knoten : erreicht, von dem aus keine Kante mit der
benötigten Markierung ausgeht.
– Es ist ein neues Blatt :&C an : anzuhängen.
– Dieses Blatt erhält die Markierung <>=D? .
– Die Kantenmarkierung zur Kante : : C ist das letzte Zeichen von
A <B=@? .
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2. Suffix-Bäume
Konstruktion von Positionsbäumen
Veranschaulichung für (a):
E'F
G HIKJLHINMO
R S
[
T
R
Y
E
F
GPJQHINJQHIKMO
R S
T U
U
R
Z
W
U
X
S
T
V
\
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T
R
T U
[
R
U
Y
U
R
Z
W
U
X
V
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2. Suffix-Bäume
Konstruktion von Positionsbäumen
Veranschaulichung für (b):
]
^
_a`bKcQ`bNde
h i
q
j
h
o
]
^
_a`f`bNcg`bNde
h i
q i
j
r
h k
o l
j k
k
h
p
m
k
n
l
h
j k
p
m
k
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6
n
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2. Suffix-Bäume
Konstruktion von Positionsbäumen
Ein Positionsbaum wächst also von einem Blatt aus weiter nach unten,
– bis sich eine Unterscheidung der Positionsidentifikatoren ergibt
– und der Pfad sich in zwei Blätter aufspaltet,
6
oder von einem Zwischenknoten wächst ein neues Blatt heraus.
Aufwandsabschätzung:
6
Der Gesamtaufwand zur Konstruktion eines Positionsbaums für
einen String der Länge s ist:
t Textalgorithmen — FH Bonn-Rhein-Sieg, SS 02
< A
uv/w w
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2. Suffix-Bäume
Konstruktion von Positionsbäumen
Bemerkungen:
6
6
Nachteil der Rechts-Links-Konstruktion: Die gesamte Zeichenreihe
muß bekannt sein, bevor sich der Positionsbaum konstruieren läßt.
6
Beim Entwickeln von Text möchte man aber u.U. schon vorher Textstellen identifizieren und Korrekturen vornehmen.
6
Einen Positionsbaum für den umgekehrten Text aufzubauen wäre unnatürlich.
Kann ein Positionsbaum auch effizient von links nach rechts konstruiert werden?
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2. Suffix-Bäume
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Konstruktion von Positionsbäumen
Links-Rechts-Konstruktion von Positionsbäumen
6
6
Ziel ist es, ein sogenanntes on-line Verfahren für die Konstruktion von
Positionsbäumen zu entwickeln.
6
Da für Teilstrings der Positionsbaum nicht existiert, muß man partielle
Positionsbäume betrachten.
Ein partieller Positionsbaum enthält für genau diejenigen Positionen
des Textes einen Positionsidentifikator, für die es einen solchen Positionsidentifikator gibt.
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2. Suffix-Bäume
Beispiel 2.7.
$,%*%-$
Der partielle Positionsbaum für
Konstruktion von Positionsbäumen
sieht wie folgt aus:
y
x
y
y
x
z
|
{
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6
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2. Suffix-Bäume
Konstruktion von Positionsbäumen
6
Für Positionsbäume gilt eine sehr einfache und wichtige Verschachtelungseigenschaft, die beschreibt, wie sich Positionsidentifikatoren
überlappen können.
Die wesentliche Aussage hierzu liefert das folgende MonotonieLemma.
Lemma 2.7. [Monotonie-Lemma] Es sei
Positionsidentifikator A < endet. Dann gilt:
<5~;
">
die Position, bei der der
} < } ; Beweis. Annahme: Es gibt in einem String
} ; .
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} <
Positionen </~; mit
} <
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2. Suffix-Bäume
Konstruktion von Positionsbäumen
Veranschaulichung:
6 A < " 7 K
<
ist der kürzestmögliche String, der die Position
eindeutig bestimmt.
6
Somit kommt
6 -
Kv K29
noch an anderer Stelle vor.
Kv 23 .
6 Somit ist nicht eindeutig in . Widerspruch.
ist Substring von

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6
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2. Suffix-Bäume
Konstruktion von Positionsbäumen
Wir fassen Intervalle von Positionen zusammen, deren Pos.-Id. an
derselben Stelle enden. Dies deuten wir so an:
¡¢
,gg,4
4gg4
6
g g

Graphisch dargestellt ergibt sich dann die folgende Verschachtelung
für die Positionsidentifikatoren:
£¥¤¦£
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§
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2. Suffix-Bäume
Konstruktion von Positionsbäumen
Prinzip der Links-Rechts-Konstruktion
6
Man nehme an, wir haben den partiellen Positionsbaum für den
¨ .
String
6 : sei die erste Postion, für die kein Positionsidentifikator existiert, d.h.
©©*v¨ ist nicht eindeutig in .
ª«®¯8ª«g²¯9³³³
6 Der Anfang von A : 6
ª «g¬v®¯°ª«g¬¯ ³³³
©))©v´ .
ist
ª«g±K¯
Diesem Anfang entspricht ein Knoten im partiellen Positionsbaum.
Dieser Knoten sei mit : markiert.
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2. Suffix-Bäume
Konstruktion von Positionsbäumen
Konstruktionsschritt:
6
6
Bei der Hinzunahme von
wird nun versucht, die Markierung
im partiellen Positionsbaum weiter nach unten zu verschieben.
:
Hierbei können die folgenden Fälle auftreten:
(1) Der mit
Kv .
für
:
markierte Knoten verfügt über eine ausgehende Kante
Kv
markierten Kante. Jetzt
Dann bewegt man : längs der mit
können die folgenden Fälle auftreten:
(1.1) Der jetzt mit : markierte Knoten ist ein innerer Knoten.
Dann ist nichts weiter zu tun.
(1.2) Der jetzt mit : markierte Knoten ist ein Blatt mit Markierung µ .
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Dann ist A µ
2. Suffix-Bäume
Konstruktion von Positionsbäumen
um ein Zeichen zu verlängern, d.h. an das bisherige Blatt wird ein neuer Knoten angehängt und die Markierung µ
wandert zu dem neuen Blatt.
(2) Der mit : markierte Knoten hat keine ausgehende Kante, die mit
v markiert ist.
Kv
Dann wird ein neues Blatt und eine neue ausgehende und mit
markierte Kante zu diesem Blatt angelegt.
Das neue Blatt wird mit : markiert.
Es gilt nun zu prüfen, ob Positionsidentifikatoren für die Positionen
:·¶ ? :¸¶ ¹ existieren. Hierzu sind neue Blätter in den Baum
einzutragen.
Es sei :º¶D» die erste Position für die nun kein Pos.-Id. existiert.
Dann ist noch :¶¼»
einzutragen.
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2. Suffix-Bäume
Konstruktion von Positionsbäumen
Fall 1.1:
½¿¾ÁÀÃÂ
½¿¾ÁÀÃÂ
È
½Ä¾ÁÀÃÅfÆÇÂ
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½Ä¾ÁÀÃÅfÆÇÂ
È
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2. Suffix-Bäume
Konstruktion von Positionsbäumen
Fall 1.2:
ÉLÊÌËÎÍ
ÉLÊÌËÎÍ
Ï
ÉLÊÌËÎÐÒÑÍ
Ï
ÉLÊfÔÊÌÕÎÍÖÍ
ÉLÊÌËÎÐÑÍ
Ó
Ó
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Konstruktion von Positionsbäumen
Fall 2:
×ÄØÚÙÃÛ
Ü
×¿ØÁÙÃÛ
×ÄØÚÙÃÝfÞÛ
Ü
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2. Suffix-Bäume
Konstruktion von Positionsbäumen
Bemerkungen:
6
6
Man kann den Eingabestring jederzeit mit einem $ abschließen.
Dann wird mit dem angegebenen Verfahren der zugehörige Positionsbaum fertig konstruiert.
Folgende Kosten treten bei der Konstruktion auf:
A : wird um
ein Zeichen verlängert.
t
Aufwand:
?
(1.2) A : und A t µ werden um je ein Zeichen verlängert.
?
Aufwand:
(2) A : wird um
ein Zeichen verlängert.
t
?
Aufwand:
:#¶á» =â? und das Auffinden von
Das Einfügen von :#¶ß? :#¶à¹
:°¶â» kostet proportional zur Länge von A :°¶1? A :°¶ã» .
(1.1)
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2. Suffix-Bäume
Konstruktion von Positionsbäumen
Der Gesamtaufwand zum Aufbau eines Positoinsbaums für einen
String der Länge s ist also:
t 6
< A
uv w w
Damit ist die Links-Rechts-Konstruktion nicht aufwendiger als die
Rechts-Links-Konstruktion.
6
Sprachliche Texte haben häufig die Eigenschaft, daß
gilt. Dann ergibt sich für den Gesamtaufwand:
Aw < åw ä1ægçèw w
t w wÖægçèw w
6 Im Worst-Case beträgt der Aufwand t s ( .
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