Häufigkeitsanalyse der Überlebenszeiten experimentell infizierter

Häufigkeitsanalyse der Überlebenszeiten experimentell infizierter Mäuse
V o n FRANZ J .
GEKS
Aus der bakteriologischen Abteilung der A s t a - W e r k e A.-G., Chemische Fabrik,
Brackwede (Westf.)
(Leiter: Dr. med. Franz J. Geks)
(Z. Naturforschg. 7 b, 313—320 [1952]; eingegangen am 18. Januar 1952)
Es wird über eine Häufigkeitsanalyse der Überlebenszeiten tödlich infizierter Tiere berichtet.
Bei der tödlichen Infektion von Mäusen mit Tuberkelbakterien, Streptokokken, Pneumokokken
und Tryp. equiperd. ist die Überlebenszeit weder über numerischer noch über logarithmischer
Abszisse normal verteilt. Die beobachteten Abweichungen von der Normalverteilung werden
durch den Einfluß einer konstanten Zeitgröße (Subtraktionskonstanten) erklärt. Eine Methode
zur arithmetischen Bestimmung der Subtraktionskonstanten wird angegeben.
B
ei
chemotherapeutischen
Untersuchungen
wird
häufig die Uberlebenszeit der infizierten Tiere als
Kriterium für den Nachweis einer Wirkung herangezogen. Als Vergleichswert werden dabei folgende
statistische Parameter verwendet: das arithmetische
Mittel oder der Medianwert der Uberlebenszeiten (letztere auch Absterbezeiten genannt) sowie das arithmetische Mittel der R e z i p r o k w e r t e 8 . Ein solches
Vorgehen setzt eine Kenntnis der Häufigkeitsverteilung der Überlebenszeiten voraus. Um hierüber
eigene Erfahrung zu sammeln, führte ich zunächst
bei Mäusetuberkuloseversuchen, und zwar an Kontrollgruppen ( = unbehandelte Tiere, die eine sicher
tödliche Infektionsdosis erhalten haben) eine entsprechende Analyse durch. Hierbei beobachtete ich
eine besondere Art der Häufigkeitsverteilung, über
die nachstehend .berichtet wird.
Im ersten Versuch waren 63 weiße männliche
Mäuse (16—18 g schwer) mit 1 mg eines humanen
mäusepathogenen Tuberkelbakterienstammes infiziert
worden. Tab. 1, Spalte 1—3 gibt die Zahl und den
Prozentsatz der bis zu den einzelnen Tagen insgesamt gestorbenen Tiere wieder.. Trägt man die
Uberlebenszeiten als Summenkurve in ein Wahrscheinlichkeitsnetz ein, so findet man, daß über numerischer Abszisse (Abb. 1, Kurve I) die Punktfolge
deutlich nach oben konvex gebogen ist *. Uber
1 L. C a v a 11 i u. G. M a g n i, Zbl. Bakteriol. I. Orig.
150, 25 [1943],
2 R. D o n o v i c k , C. M. M c K e e , W. P. J a m b o r
u. G. R a k e , Amer. Rev. Tubercul. 60, 109—120 [1949].
3 D. H a m r e , J. B e r n s t e i n u. R. D o n o v i c k ,
J. Bacteriol. 59, 675—680 [1950],
4 C. M. M c K e e ,
G. R a k e , R. D o n o v i c k u.
W. P. J a m b o r , Amer. Rev. Tubercul. 60, 90—108
[1949].
logarithmischer Abszisse (Abb. 1, Kurve II) verschwindet die Krümmung weitgehend, so daß die
Punkte einer Geraden gut angenähert sind.
Mit Hilfe der /2-Methode läßt sich nun prüfen, ob durch
die Einführung der logarithmischen Abszisse eine befriedigende Annäherung der Punkte an eine Gerade (d. h. an
die Normalverteilung) erfolgt ist. Für den vorliegenden
Versuch ist y} — 0,211 mit 5 Freiheitsgraden, dem ein
P > 99% entspricht. Die Übereinstimmung mit einer Normalverteilung ist demnach gut; ein Ergebnis, mit dem man
sich in der Regel zufrieden gibt.
Trotzdem gewinnt man bei der Kurve über logarithmischer Abszisse den Eindruck, daß die geringen
Abweichungen von der Geraden systematisch sind.
Die Punkte fügen sich nämlich zwanglos in eine leicht
gebogene Kurve ein (Abb. 1, Kurve II (
). Da sich
— was hier vorweggenommen sei — bei Wiederholungen immer der gleiche Kurvenverlauf ergab,
kam ich zu der Uberzeugung, daß diese, wenn auch
an sich nur geringen Abweichungen nicht zufällig
sind. Abweichungen dieser Art lassen sich vielmehr
statistisch durch den Einfluß einer konstanten Größe
erklären. Subtrahiert man z. B. von einer an sich lognormal verteilten Variablen eine konstante Größe, so
erhält man prinzipiell gleiche Kurvenbilder wie in
Abb. 1, II. Tatsächlich gelingt es auch, die geringgradige Krümmung über logarithmischer Abszisse
5 A. R. M a r t i n , J. Pathol. Bacteriol. 57, 580—585
[1940].
6 R. P r i g g e , Klin. Wschr. 1941, 633—637.
7 R. R a k e , W. P. J a m b o r , C. M. M c K e e ,
F. P a n s y , F. Y. W i s e l o g i e u. R. D o n o v i c k ,
Amer. Rev. Tubercul. 60, 121—130 [1949].
8 G. P. Y o u m a n s u. A. S. Y o u m a n s , Amer. Rev.
Tubercul. 64, 541—550 [1951].
* Wenn die Punkte im Wahrscheinlichkeitsnetz eine
Gerade bilden, dann liegt eine Normalverteilung vor.
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126
log Tage (H)
13'
1,30
0,81 087
093 099 1,05 1,11
log (Tage - nfi) (M)
Abb. 1. Eintragung der Überlebenszeiten von 63 tuberkuloseinfizierten Mäusen in ein Wahrscheinlichkeitsnetz,
und zwar bei Kurve I über numerischer, bei Kurve II über
logarithmischer und bei Kurve III ebenfalls über logarithmischer Abszisse, aber unter entsprechender Berücksichtigung der Subtraktionskonstanten (Zahlenunterl. s. Tab. 1).
log Tage (E) —
1.28
1.32
1,36
1.10
1,11
118
W
151
1,17
1
2
X
z>
3
2%
4
log X
5
log (x—10,5)
17
18
19
20
21
22
23
24
25
5
17
30
44
54
58
61
62
63
7,95
27
47,6
70
85,5
92
97
98,5
100
1,231
1,255
1,279
1,301
1,322
1,342
1,362
1,380
1,398
0,813
0,875
0,929
0,978
1,021
1,061
1,097
1,130
1,161
Tab. 1. Versuch vom 17. April 1951. 63 Mäuse mit 1 mg
Myc. tubercul. i.v. infiziert. Spalte 1 = Überlebenszeit in
Tagen, Spalte 2 = Summenhäufigkeit = Zahl der bis zu
dem angegebenen Zeitpunkt insgesamt gestorbenen Tiere,
Spalte 3 -- prozentuale Summenhäufigkeit — Prozentsatz
der "bis zu dem angegebenen Zeitpunkt insgesamt gestorbenen Tiere.
X
1
2
2"
3
2%
4
logx
5
log (x—14)
19
20
21
22
23
24
25
26
27
30
34
43
3
10
16
22
33
40
43
46
48
49
50
51
5,9
19,6
31,4
43,2
64,7
78,5
84,5
90,4
94,0
96,2
98,0
100,0
1,279
1,301
1,322
1,342
1,362
1,380
1,398
1,415
1,431
1,477
1,531
0,699
0,778
0,845
0,903
0,954
1,0
1,041
1,079
1,114
1,204
1,301
Tab. 2. Versuch vom 7. Sept. 1951. 51 Mäuse mit 1 mg
Myc. tubercul. H37 Rv i.v. infiziert. Erklärung s.Tab. 1.
1
2
X
0,7
22
21
26
28
30
32
Tage (I)
OS
31
—
0.9
10
1,1
log (Tage-11)
12
13
(M)-*
Abb. 2.
1J5
log Stunden (R)IUP 1,15 150 155 160
22,5
23,5
24,5
25,5
26,5
27,5
28,5
29,5
30,5
31,5
33,5
36,5
38,5
42,5
2
5
8
14
19
21
29
31
33
37
38
39
41
42
3
2%
4
logx
4,75
11,9
19,1
33,2
45
50
69
74
78,5
88
90,5
95,2
97,5
100
1,352
1,371
1,389
1,407
1,423
1,439
1,455
1,470
1,484
1,498
1,525
1,562
1,585
5
log
(x—16,5)
0,778
0,845
0,903
0,954
1,0
1,041
1,079
1,114
1,146
1,176
1,230
1,301
1,342
Tab. 3. Versuch vom 1. August 1951. 42 Mäuse mit 0,2 ml
einer 4 X 10—4 verdünnten etwa 24-stdg. Bouillonkultur
von Strept. Aronson i.p. infiziert. Spalte 1 = Überlebenszeit in Stdn., Spalte 2 und Spalte 3 siehe Tab. 1.
Abb. 2. Eintragung der Überlebenszeiten von 51 tuberkuloseinfizierten Mäusen {Myc. tubercul. H 37 Rv) in ein
Wahrscheinlichkeitsnetz. Abszisseneinteilung wie in Abb. 1
(Zahlenunterlagen s. Tab. 2).
265
305
31,5
Stunden (I) —-
385
0,7
A b b . 3.
08
09
10
1.1 12
V
log (Stunden - 16.5) (HI) —«
Abb. 3. Eintragung der Überlebenszeiten von 42 streptokokkeninfizierten Mäusen (4 X 10 4 verdünnte Bouillonkultur) in ein Wahrscheinlichkeitsnetz. Abszisseneinteilung
wie in Abb. 1 (Zahlenunterlagen s. Tab. 3).
in Abb. 1, II zum Verschwinden zu bringen,
wenn man die Überlebenszeit jeder einzelnen Maus um eine konstante Subtraktionsgröße (und zwar in diesem Fall 10,5 Tage)
vermindert und sie dann in Logarithmen
auf der Abszisse abträgt (Abb. 1, Kurve III).
Für die Erzielung einer Normalverteilung
muß man also die Abszisse nicht nach „logx",
sondern nach „log (x—a)" unterteilen, wobei
a die konstante Zeitgröße ist, die im folgenden als Subtraktionskonstante
bezeichnet
wird. In den bereits erwähnten, praktisch
unter gleichen Bedingungen durchgeführten
Wiederholungen schwankte die Subtraktionskonstante zwischen 10 und 11 Tagen*.
13
n
1,1
i
0,1
0,lY,
22
26
30
31
Stundend)
log Stunden
1,5
(E)—lß
1
0J5
1
Ofi 0,7
38
—
0,8
17
r
09
1.0 1.1 12
V
log (Stunden - 19) (M)
12
Derartige Beobachtungen lassen sich nicht
Abb. 4. Eintragung der Überlebenszeiten von 47 streptoan Stichproben von 10 oder 20 Tieren festkokkeninfizierten Mäusen (2 X 10—4 verdünnte Bouillonkultur) in ein Wahrscheinlichkeitsnetz. Abszisseneinteilung
stellen bzw. nachprüfen. Die nach meinen
wie in Abb. 1 (Zahlenunterlagen s. Tab. 4).
Erfahrungen notwendige Mindestzahl beträgt
40 Tiere. Besser und sicherer auszuwerten sind
Gruppen zu 60 oder 70 Tieren. — Meine ersten Beobachtungen über die Subtraktionskonstante stammen aus Ver1
2
3
4
5
6
suchen, in denen alle infizierten Tiere starben. Wie die
X
2 % 2 °/o (2 Stdn.) log X log (x—19)
Verhältnisse bei Versuchen sind, in denen nur ein Teil
der Tiere der Infektion erliegt, muß weiteren Unter21,5
1
2,13
—
—
suchungen vorbehalten bleiben. Auf Grund meiner bis22,0
2,13
1,34
0,477
22,5
3
6,38
herigen Erfahrungen sind die gleichen Beobachtungen
23,0
4
8,5
aber auch dann noch zu machen, wenn die Rate der über23,5
7
14,9
lebenden Tiere 2—3% nicht übersteigt. Im weiteren Ver24,0
8
17,0
17,0
1,38
0,698
lauf wird hierfür auch ein Beispiel gebracht.
24,5
10
21,3
25,0
15
31,9
Mit der Verteilung der Überlebenszeit tuberkulose25,5
17
36,2
infizierter Mäuse haben sich auch M c K e e , R a k e ,
26,0
18
38,4
38,4
0,845
1,41
19
26,5
40,5
D o n o v i c k und J a m b o r 4 befaßt. Ihre Versuchs27,0
23
49,0
methodik weist aber gegenüber der meinen folgende
26
27,5
55,3
Unterschiede auf:
27
28,0
57,5
57,5
1,44
0,954
29
28,5
61,8
1. M c K e e und Mitarbeiter verwenden den
30,0
30
64,0
64,0
1,041
1,47
31,0
31
66,0
Stamm H 37 Rv, sowie den Stamm Ravenel.
32
32,0
68,0
68,0
1,50
1,113
2. Sie infizieren mit einer Kultur aus Tween-halti32,5
33
70,3
ger Nährlösung, während ich die Tuberkelbak33,0
34
72,5
36
33,5
76,7
terien vom Einährboden entnehme und durch
34,0
39
83,0
83,0
1,53
1,176
Schütteln mit Quarzsand homogenisiere.
41
34,5
87,4
—
—
36,0
87,4
1,55
1,230
3. Sie verwenden Inzuchtmäuse, während ich ge42
36,5
89,5
wöhnliche weiße Zuchtmäuse zur Verfügung
38,0
43
91,5
91,5
1,57
1,278
hatte.
39,0
44
93,6
—
—
40,0
93,6
1,60
1,322
An z. Tl. sehr großen Stichproben fanden die ame40,5
45
96,0
—
—
42,0
96,0
1,62
1,361
rikanischen Autoren im Gegensatz zu meinen Be—
—
44,0
96,0
obachtungen eine Normalverteilung über numerischer
44,5
46
98,0
Abszisse. Ob dieser auffällige Unterschied auf die
45,0
47 100
100,0
46,0
—
—
abweichenden Versuchsbedingungen zurückzuführen
ist, habe ich nicht klären können.
Tab. 4. Versuch vom 25. Juli 1951. 47 Mäuse mit 0,2 ml
* Ein Verfahren zur Bestimmung der Subtraktionskoneiner 2 X 10—4 verdünnten etwa 24-stdg. Bouillonkultur
stanten wird am Schluß der Arbeit angegeben.
von Strept. Aronson i.p. infiziert. Erklärung siehe Tab. 3.
—
7,32
1
7,10
1
log Stunden (E)
m
7,56
1
1
1
i
1
•
161
1
log(Stunden -21)
31
fluß der Subtraktionskonstanten (s. Tab. 2 u.
Abb. 2). Bei diesem Versuch habe ich darüber
hinaus Mäuse eines anderen Züchters verwendet, um so die Abhängigkeit meiner Beobachtung von den Mäusen eines bestimmten
Züchters auszuschließen.
1,72
1 1—
(M)-
38
12
16
50
Stunden (I) —,
Abb. 5. Eintragung der Überlebenszeiten von 71 streptokokkeninfizierten Mäusen (0,66 X 10~4 verdünnte Bouillonkultur) in ein Wahrscheinlichkeitsnetz. Abszisseneinteilung wie in Abb. 1 (Zahlenunterlagen s. Tab. 5).
1
X
22
22,5
23,5
24
24,5
25
25,5
26
26,5
27
27,5
28
28,5
29
29,5
30
30,5
31,5
32,5
33,5
35,5
36,5
37,5
38,5
40,5
45,5
49,5
2
ZI n
3
2%
4
log*
1
3
5
6
8
13
21
22
27
33
35
41
45
47
48
50
51
55
58
59
60
61
65
66
67
68
69
1,41
4,2
7,05
8,45
11,4
18,3
29,6
31,0
38,0
46,5
49,3
57,7
63,4
66,2
67,5
70,5
71,8
77,5
81,7
83,2
84,5
85,9
91,6
93,0 •
94,4
95,8
97,2
1,342
1,352
1,371
1,380
1,389
1,398
1,407
1,415
1,423
1,431
1,439
1,447
1,455
1,462
1,470
1,477
1,484
1,498
1,512
1,525
1,550
1,562
1,574
1,585
1,607
1,658
1,695
5
log
(X—21)
0,000
0,176
0,398
0,477
0,544
0,602
0,653
0,699
0,740
0,778
0,813
0,845
0,875
0,903
0,929
0,954
0,978
1,021
1,061
1,097
1,161
1,190
1,217
1,243
1,290
1,389
1,455
Tab. 5. Versuch vom 27. Nov. 1951. 71 Mäuse mit 0,2 ml
einer 0,66 X 10—4 verdünnten etwa 24-stdg. Bouillonkultur von Strept. Aronson i.p. infiziert. Erklärung s. Tab. 3.
Eine Nachprüfung meiner Ergebnisse mit dem
Stamm H 37 Rv* zeigte in gleicher Weise den Ein* Herrn Dr. William S t e e n k e n jr. vom Trudeau
Laboratory, Trudeau/N.Y., danke idi audi an dieser
Stelle für die Überlassung des Stammes.
Bei dem in Abb. 2 wiedergegebenen Versuch
weichen im Endteil der Kurve zwei Überlebenszeiten von der theoretischen Verteilung ab. Dieser
Versuch wurde trotzdem zur Veröffentlichung ausgewählt, um zu zeigen, daß infolge des geringen
Umfanges der Kollektive nicht alle Versuche
„klassisch" ausfallen. Es wäre leidit, aus dem vorhandenen Material nur Abbildungen nach Art der
ersten zusammenzustellen. Hierdurch würde aber
ein falsches Bild entstehen. Wichtig ist, daß
immer das Prinzip der Verteilung erkennbar
bleibt. Abweichungen von der theoretischen Beziehung wird man verständlicherweise am ehesten
im Anfangs- oder Endteil der Kurve finden, da
hier die Klassen gering besetzt sind.
Um die Realität der Subtraktionskonstanten weiter
zu erhärten, habe ich als Gegenstück zu der chronischen Tuberkuloseinfektion in gleicher Weise die Verteilung der Überlebenszeiten bei einer akuten experimentellen Infektion analysiert. Hierzu wählte ich die
intraperitoneale Infektion der weißen Maus mit
Streptococcus
Aronson aus. Wie aus den Abb. 3, 4
und 5 und den entspr. Tab. 3, 4 und 5 ersichtlich ist,
kommt es auch hier erst zu einer Normalverteilung,
wenn man von der individuell unterschiedlichen
Überlebenszeit der einzelnen Mäuse eine konstante
Zeitgröße subtrahiert und die verminderte Überlebenszeit in Logarithmen auf der Abszisse abträgt.
Da die Tiere bei dieser Infektion nur kurze Zeit
leben, ist natürlich die Subtraktionskonstante ebenfalls klein und beträgt nur Stunden.
In Abb. 3 und 4 weichen die Punkte nur unwesentlich
von der theoretischen Verteilung ab. Die Abb. 4 basiert
auf der in Tab. 4, Spalte 4, angegebenen Klasseneinteilung von je 2 Stdn. Es soll dadurch gezeigt werden, daß
trotz relativ grober Klasseneinteilung das Verteilungsprinzip noch eindeutig erkennbar ist. Auffällig ist bei diesem Versuch, daß die Kurve zwischen der 30. und 33. Stde.
von der theoretischen Verteilung abweicht und von der
34. Stde. ab wieder ungestört verläuft. Es sieht so aus, als
ob während dieses begrenzten Zeitraumes durch einen
störenden Einfluß der Tod der Tiere verspätet eingetreten
ist. In Abb. 5 sind sämtliche Ableseergebnisse (s. Tab. 5)
eingetragen. Bei diesem Versuch war zunächst alle Va Stde.
und während der Nacht stündlich die Zahl der gestorbenen Tiere notiert worden. Im Gegensatz zu Abb. 2 weichen hier die beiden ersten Beobachtungswerte stärker
von der theoretischen Verteilung ab. Ferner haben in diesem Versuch 2 von insgesamt 71 Tieren (— 2,82%) die Infektion überlebt.
Bei den Streptokokken-Versuchen sind unterschiedliche Infektionsdosen verwendet worden. Es ist auffallend, daß die Subtraktionskonstanten ebenfalls
verschieden sind. Die Differenz bei den letzteren
dürfte mit den Unterschieden bei den Infektionisdosen
ursächlich zusammenhängen. Es liegen aber zu wenig
Versuche vor, um über die Abhängigkeit beider Größen voneinander eine allgemein gültige Aussage zu
machen.
Für die vorliegenden Versuche ergibt sich im gewöhnlichen Koordinatensystem eine praktisch lineare Beziehung
zwischen der Subtraktionskonstanten und der Infektionsdosis (Abb. 6, Kurve I); im halblogarithmischen Koordinatensystem weichen die Punkte von der eingezeichneten
Geraden etwas ab (Abb. 6, Kurve II). Wegen der wenigen
zugrunde liegenden Versuche kann nach meiner Ansicht
eine Entscheidung für eine der beiden eingezeichneten
funktionalen Beziehungen nicht getroffen werden. Darüber hinaus sind die angegebenen Verdünnungen
nicht exakt vergleichbar, da nicht (z. B. durch
Keimzahlbestimmungen) nachgewiesen ist, daß
die an den verschiedenen Versuchstagen verwendeten Bouillonkulturen unter sich gleich waren.
20»
Inf-Dosis
WW*
-3691
-31398
log M- Dosis —
Abb. 6. Abhängigkeit der Subtraktionskonstanten von der
Infektionsdosis bei den mit Streptokokken infizierten Mäusen; Kurve I über numerischer, Kurve II über logarithmischer Abszisseneinteilung.
log Stunden (H) •
1.1 1,2 1,3 IM
Mit der Häufigkeitsanalyse der Uberlebenszeiten bei einer akuten experimentellen Infektion haben sich C a v a 11 i und M a g n i 9
bereits befaßt. Sie konnten bei der Pneumokokkeninfektion der Maus weder über numerischer noch über logarithmischer Abszisse
eine Normalverteilung der Überlebenszeit
nachweisen. Dagegen erzielten sie in ihrem
Fall bei der Anwendung der Reziprokwerte
eine gute Annäherung an eine Gerade. Die
11,5 18J5 225 26,5
Oft Oß
OB
1P 1.2
Autoren betonen allerdings, daß „nicht für
Stundend)
log (Stunden - 9) QU)
alle Kollektive mit einer Normalverteilung
Abb. 7. Versuch von C a v a l l i und M a g n i 1 . Eintrader Reziprokwerte gerechnet werden kann".
gung der Überlebenszeiten von 191 mit je 108 Pneumokokken infizierten Mäusen in ein Wahrscheinlichkeitsnetz.
Rechnet man den in Frage kommenden VerAbszisseneinteilung wie in Abb. 1 (die Zahlenunterlagen
such, bei dem alle Tiere an der Infektion gewurden der Tab. 1 der Originalarbeit entnommen.
storben waren, durch, so findet man auch hier
eine Normalverteilung, wenn man die SubtraktionsB e s p r e c h u n g der E r g e b n i s s e
konstante einführt (Abb. 7).
Auf dem mir ferner liegenden Gebiet der Trypanosomeninfektion fand ich eine Bestätigung meiner
Beobachtungen. L i l j e s t r a n d 1 0 hat bei SalvarsanAuswertungen die Überlebenszeit der mit Tryp. equiperd. infizierten Mäuse ausgewertet. Auch er konnte
erst eine Normalverteilung feststellen, wenn von der
Überlebenszeit jeder einzelnen Maus eine Zeitkonstante (und zwar hier 52 Stdn.) subtrahiert wurde
(Abb. 8 und Tab. 6).
Bei der Tuberkulose- und der Streptokokken-Infektion der weißen Maus sowie bei gleich angelegten
Versuchen anderer Autoren bei Pneumokokken- und
Tryp. equiperd. - infizierten Mäusen wurde nachgewiesen, daß die Überlebenszeiten einer Gruppe von Tieren, die eine sicher tödliche Infektionsdosis erhalten
haben, weder über numerischer noch über logarithmischer Abszisse normal verteilt sind. Es gelingt aber,
eine Normalverteilung nachzuweisen, wenn man von
» L. C a v a l l i u. G. M a g n i , Zbl. Bakteriol. I. Orig.
150, 353—371 [1943],
10 A. L i l j e s t r a n d , J. Pharmacy Pharmacol. 1,
78—86 [1949],
log Stunden (E) -
60
70
Stunden (I)
0,8
10
13
1.6
log (Stunden - 52) (M) —
Abb. 8. Versuch von L i 1 j e s t r a n d 10. Eintragung der
Überlebenszeit von 40 mit Trypanos. cquiperd. infizierten
Mäusen in ein Wahrscheinlichkeitsnetz. Abszisseneinteilung wie in Abb. 1 (Zahlenunterlagen s. Tab. 6).
1
X
56
58
60
61
62
63
64
65
66
67
68
71
73
76
78
86
95
103
2
Zn
3
2 °/o
4
logx
5
log (x—52)
1
2
4
9
10
15
16
20
• 21
22
27
29
31
33
34
35
38
39
2,5
7,5
12,5
22,5
25 "
37,5
40
50
52,5
55
67,5
72,5
77,5
82,5
85
87,5
95
97,5
1,748
1,763
1,778
1,785
1,792
1,799
1,806
1,812
1,819
1,826
1,832
1,851
1,863
1,880
1,892
1,934
1,978
2,013
0,602
0,778
0,903
0,954
1,000
1,041
1,079
1,114
1,146
1,176
1,204
1,279
1,322
1,380
1,415
1,531
1,633
1,708
Tab. 6. Versuch von L i 1 j e s t r a n d 10. 40 Mäuse mit je
3,5 X 106 Trypanos. equiperd. i.p. infiziert. In der Originalarbeit ist der Versuch nur durch eine graphische Darstellung wiedergegeben, aus der die Zahlen dieser Tabelle
abgelesen wurden. Erklärung siehe Tab. 3.
der Überlebenszeit eines jeden Tieres eine konstante
Zeitgröße (Subtraktionskonstante)
abzieht und die
verminderte Überlebenszeit in Logarithmen auf der
Abszisse abträgt. Da sich der Einfluß der SubtrakK. D a e v e s u. A. B e c k e l , Auswertung von Betriebszahlen und Betriebsversuchen durch Großzahl-Forschung. Verlag Chemie, Berlin W 35 [1942].
12 F. J. G e k s , Mikrobiologenkongreß in Münster. Zbl.
Bakteriol. I. Orig. 1952 (im Druck).
13 Ph. E. S a r t w e l l , Amer. J. Hyg. 51, 310—315
[1950].
11
tionskonstanten bei verschiedenen Infektionen nachweisen läßt, verdient diese Beobachtung allgemeines Interesse. Nach den
bisher vorliegenden Befunden ist die Subtraktionskonstante von der Infektionsart und
der Infektionsdosis abhängig. Ob sie tatsächlich konstant ist, kann noch nicht mit
Sicherheit geschlossen werden. Wenn sie
eine Streuung besitzt, so kann diese im Vergleich zur Gesamtstreuung nur gering sein,
da man andernfalls sogenannte Mischverteilungen beobachten müßte, die sich graphisch
völlig anders darstellen 11 .
Auf Grund der Beobachtungen bei den
genannten Infektionen kann man folgendes
aussagen: Bei einer Gruppe von gleichmäßig
infizierten Tieren läßt sich die Zeitspanne von
der Infektion bis zum Tod in 2 Abschnitte
aufteilen. Der eine dieser beiden Abschnitte
ist praktisch für alle Tiere gleich (bleibt also
Es liegt nahe, die Subtraktionskonstante als eine experimentell exakt faßbare „Inkubationszeit" zu deuten.
An anderer Stellei 2 habe ich diesen Gedanken mit aller
Vorsicht geäußert. Diese „Inkubationszeit" würde dann
nur noch dosenabhängig sein und nicht individuellen
Schwankungen unterliegen. Mit dem klinischen Begriff
der Inkubationszeit ist eine solche Vorstellung, wie audi
eindeutig aus den Untersuchungen von S a r t w e 11 i3
hervorgeht, nicht vereinbar.
Über die Verteilung der Überlebenszeit bei toxikologischen Untersuchungen, wie sie von Pharmakologen häufig
vorgenommen werden, habe ich in der mir zugänglichen
Literatur nur wenig Angaben gefundenltK 14—17. Nach
diesen Ergebnissen scheint es so zu sein, als wenn hier
14 C. J. B l i s s , Ann. appl. Biol. 24, 815—852 [1937],
15 G. E. P. Box u. H. C u l l u m b i n n e , Brit. J. Pharmacol. 2, 27 [1947].
iß G o o d w i n u. M a r s h a 11, J. Pharmacol. 84, 12
[1945], zitiert nach *<>.
17 W. L. M. Pe r r y , The Design of Toxicity Tests,
Medical Research Council, Special Report Ser. No. 270.
London, His Majesty's Stationery Office 1950.
eine Normalverteilung über logarithmischer Abszisse vorliegt.
B e s t i m m u n g der S u b t r a k t i o n sk o n s t a n t e n (a)
Eine einfache, meist allerdings etwas zeitraubende,
dafür aber sichere Methode benutzt den rein empirischen Weg: Man probiert so lange verschiedene Zeitgrößen aus, bis die graphische Darstellung eine befriedigende Annäherung an eine Gerade ergibt. Dieses Verfahren hat vor dem rechnerischen den Vorteil,
daß es auch in den Fällen zu verwertbaren Ergebnissen führt, in denen die beobachteten Werte von der
theoretischen Verteilung abweichen.
Die arithmetische Bestimmung der Subtraktionskonstanten geschieht mit Hilfe von Formel (1). Die
hierfür notwendigen Größen x, s und y0 werden nach
den Gin. (2), (3) und (4) bestimmt. Für Gl. (4) ist
außerdem die Schiefe g nach (5) zu berechnen.
a = x
yo
i = jy J i
s = ± j/S
(Subtraktionskonstante)
(1)
(arithmetisches Mittel)
(2)
fr
N—1
(Streuung)
i/o
g
fr-*)3
N-s 3
(Schiefe)
a
=
(6)
(2 + X)
a = x—a
(7)
Wenn bei der beobachteten Häufigkeitsverteilung
einzelne Werte besonders im Anfangs- oder Endteil
der Kurve herausfallen, so kann die rechnerisch ermittelte Schiefe von der Schiefe der zugrunde liegenden Verteilung beträchtlich abweichen. Wegen (4)
bzw. (6) kann man dadurch unsinnige Werte für a erhalten. In solchen Fällen führt allein das graphische
Verfahren zum Ziel.
B e s t i m m u n g der S u b t r a k t i o n sk o n s t a n t e n f ü r d e n irr T a b . 1
wie de rge geb en e n Versuch
Für die Berechnung der statistischen Parameter muß
man von den Klassenmitten ausgehen; daher sind die
Zahlen in Spalte 1 der Tab. 7 gegenüber den entsprechenden Zahlen der Tab. 1 um eine halbe Einheit verschoben.
(3)
+ 1
2
muß, um die Subtraktionskonstante zu erhalten (7).
In der Sprache von G e b e 1 e i n und H e i t e würde
die Subtraktionskonstante als „ein von Null verschiedener Fluchtpunkt" zu bezeichnen sein.
1
2
3
4
5
6
X
(4)
Klassenmitte
n
d
nd
nd2
nd3
(5)
16,5
17,5
18,5
5
12
13
— 3
—2
—1
19,5 '
20,5
21,5
22,5
23,5
24,5
14
10
4
3
1
1
0
1
2
3
4
5
15
24
13
52
45
48
13
—
—
—
—
0
10
8
9
4
5
36
— 52
0
10
16
27
16
25
0
10
32
81
64
125
312
— 244
— 16
200
68
—
—
—
—
135
96
13
244
Das Ausrechnen der erforderlichen Größen kann
man sich, wie an dem Beispiel weiter unten gezeigt
wird, erleichtern, wenn man nicht mit den Abweichungen vom arithmetischen Mittel, sondern mit den
Abweichungen von einem angenommenen Mittel
arbeitet, wie es in jedem Lehrbuch der Statistik angegeben ist.
Die Berechnung von y0 erübrigt sich, wenn man
eine bei G e b e 1 e i n und H e i t e 18 auf S. 47 abgedruckte Tabelle benutzt. Mit der Schiefe g (dort
mit q bezeichnet) geht man in die Tabelle ein und
liest einen dazugehörigen Wert k ab (Zwischenwerte
habe ich interpoliert, obschon das nicht ganz exakt
ist). Dann berechnet man nach Formel (6) eine Größe
a, die man vom arithmetischen Mittel x subtrahieren
Die Rechnung wird, wie oben angegeben, mit Hilfe eines
angenommenen Mittelwertes A (siehe z. B. W e b e r 1 » )
durchgeführt:
N = 2 n = 63
18 H. G e b e l e i n
u. H. J. H e i t e , Statistische Urteilsbildung. Springer-Verlag, Heidelberg [1951].
19 E. W e b e r ,
Grundriß der biologischen Statistik,
Verlag G. Fischer, Jena 1948.
63
Tab. 7. n = Anzahl der gestorbenen Tiere in den einzelnen. Klassen, A = angenommener Mittelwert, d = Abweichung von A in ganzen Zahlen.
b = 2
—
16
63
nd
N
!/o =
= — 0,254
a = 19,246 —
= 19,246
200
62
ö
y 0,6232
I 0,623
+ 1 +
v 4
.
j/ 0^232
+ 1
= 0,205
= 19,5 — 0,254 • 1
-1/
+
1
= 1,1077 — 0,9029
x = A + b • Klassenbreite
= +1 /2>*1
~ ]/ N— 1
0,623
2
1,778
0,205
= 10,573
b2 • Klassenbreite
/. = 1,042 (aus der Tab. bei Gebelein
u. Heite 7 , S.47, entnommen)
— (— 0,2542) • 1
—
a
1,778
1 778
( 2 +
= öÄ
W42
>
= 8,682
-(
a = 19,246 — 8,682
N
N
= 10,564.
3 ( - 0 , 2 5 4 ) - ^ + 2 (-0,254^) : 1 • 7783
Die rechnerisch ermittelten Werte für a stimmen bis auf
eine minimale Differenz, die auf die Benutzung der Tabelle zurückzuführen ist, überein. Für die graphische Darstellung in Abb. 1 wurde der Wert auf 10,5 abgerundet.
= 3,50:5,62
= 0,623
NOTIZEN
Die Basenreaktion des Chromhexacarbonyls
Von W a l t e r H i e b e r und W i l h e l m A b e c k
Anorganisch-chemisches Laboratorium
der Technischen Hochschule München
(Z. Naturforschg. 7 b, 320—321 [1952]; eingegangen am 9. Mai 1952)
Während das bei der Basenreaktion des Eisenpentacarbonyls
gebildete „Carbonylat"-Anion mit Säuren Carbonylwasserstoff liefert, entspr.
e(CO) 5 + 4 OH~ ->• 2 H 2 0 + CO s
+ [Fe(CO)4]2~+2Fe(CO)4H, ,
wird bei" Einwirkung alkoholischer Alkalilauge auf Chromhexacarbonyl bei höherer Temperatur mit H+-Ionen kein flüchtiges Carbonylhydrid gebildet, sondern ein CO-ärmeres
Carbonyl.
Dasselbe liegt im alkalischen Reaktionsmedium zunächst als
orangerotes Hydroxoanion vor, das beim Ansäuern in einen gelben
Aquokomplex übergeht. Im übrigen wird das CO-ärmere Carbonyl
durch sein chemisches Verhalten, z. B. gegen Säuren, Luftsauerstoff, Amine, auch Isonitrile u. a. in ähnlicher Weise charakterisiert
wie die amin- und alkoholhaltigen Carbonyle der Eisenmetalle.
Die Hexacarbonyle der Chromgruppe reagieren nicht
mit wäßrigen Alkalilaugen d. h. es entstehen hierbei im
1 W. H i e b e r
u. E. R o m b e r g ,
Chem. 221, 326 [1935].
Z. anorg. allg.
Gegensatz zum Eisenpentacarbonyl und Kobalttetracarbonyl keine Carbonylwasserstoffe2. Erst wenn man alkoholische Lauge bei höherer Temperatur unter Sauerstoffausschluß auf die Hexacarbonyle einwirken läßt, setzt
eine Reaktion ein, bei der je nach den Bedingungen gelbe
bis orangerote Lösungen unter Bildung entsprechend gefärbter kristalliner Reaktionsprodukte entstehen.
Besonders die Reaktion des Chromhexacarbonyls mit
alkoholischer Kalilauge wird schon seit einiger Zeit eingehend von uns untersucht. Während sie bei gewöhnlidrer
Temperatur nur außerordentlich langsam und spurenhaft
unter schwacher Gelbfärbung der Lösung verläuft, tritt
oberhalb von 65° in verhältnismäßig kurzer Zeit vollständige Umsetzung des Cr(CO)6 ein, und bei 95° ist die
Reaktion nach 30—40 Min. beendet. Mit steigender Temperatur vertieft sich die Farbe der Lösung über Orange
nach Rot unter stetig zunehmender Abseheidung von gelben bis orangefarbenen Kristallen. Gasanalytische Untersudxungen zeigen, daß sofort mit einsetzender Reaktion
ein Teil des Wasserstoffs frei wird. Seine Menge steigt
mit der Reaktionstemperatur und erreicht bei 60—70°
etwa Va Mol H., pro Mol Cr(CO)6, während sich aus der
orangeroten Reaktionslösung nach dem Ansäuern 1 Mol
CO.,/Cr austreiben läßt; ein eitifach gebautes, flüchtiges
Carbonylhydrid, wie z. B. Cr(CO)5H2, tritt hierbei nicht
auf. Vielmehr verläuft, wenn man zunächst eine der