Topologie, schriftliches¨Ubungsblatt 6

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Topologie, schriftliches Übungsblatt 6
Eine gerichtete Menge ist eine nicht leere Menge N , versehen mit einer Quasiordnung ≤ auf N ,
mit der Eigenschaft, dass es für l, m ∈ N ein n ∈ N gibt mit l ≤ n und m ≤ n.
Ein Netz in einem topologischen Raum X ist eine Abbildung von einer gerichteten Menge nach
X.
Ein Punkt x ∈ X ist ein Grenzwert des Netzes f : N → X, wenn es für alle offene x enthaltende
Mengen U gilt:
(∃m ∈ N )(∀n ≥ m)f (n) ∈ U
Ein Punkt x ∈ X ist ein Häufungswert des Netzes f : N → X, wenn es für alle offene x
enthaltende Mengen U gilt:
(∀m ∈ N )(∃n ≥ m)f (n) ∈ U
1. Sei N eine gerichtete Menge. Für m ∈ N sei ↑ (n) die Menge {n ∈ N |n ≥ m}. Sei F
die Menge aller Teilmengen von N , die eine Menge der Form ↑ (n) enthalten. Sei f eine
Abbildung von N in einen Topologischen Raum X.
(a) Beweisen Sie, dass F ein Filter ist.
(b) Beweisen Sie, dass x ∈ X genau dann ein Grenzwert von f ist (als Netz betrachtet)
wenn es ein Grenzwert von f (F) ist.
(c) Beweisen Sie, dass x ∈ X genau dann ein Häufungswert von f ist (als Netz betrachtet)
wenn es ein Häufungswert von f (F) ist.
2. Sei F ein Filter auf einem topologischen Raum X. Sei f : F → X eine Abbildung von F
nach X mit f (A) ∈ A für A ∈ F. Wir betrachten F als gerichtete Menge bezüglich der
Relation ⊇.
(a) Beweisen Sie, dass jeder Grenzwert von F auch ein Grenzwert von f ist (als Netz
betrachtet).
(b) Beweisen Sie, dass jeder Häufungswert von f (als Netz betrachtet) auch ein Häufungswert
von F ist.
3. Sei A eine maximale Menge von Teilmengen von X mit der endlichen Durchschnittseigenschaft. Beweisen Sie, dass A ein Ultrafilter ist.
4.∗ Sei [0, 1]N die Menge aller Folgen in [0, 1]. Beweisen Sie, dass es eine Abbildung l : [0, 1]N →
[0, 1] gibt, mit den Eigenschaften:
• Für alle x ∈ [0, 1]N ist l(x) ein Häufungswert von x.
• l((λxn + (1 − λ)yn )n∈N ) = λl(x) + (1 − λ)l(y) für x, y ∈ [0, 1]N und λ ∈ [0, 1].
• l((xn yn )n∈N ) = l(x)l(y) für x, y ∈ [0, 1]N .
[Hinweis: Betrachten Sie einen Ultrafilter auf N, der keine Singletons enthält].
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