Lehrtext zu den binomischen Formeln

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Lehrtext zu den
binomischen Formeln
Meike Iwanek
Mathe Nachhilfe Böblingen
Hauptstr. 7
71034 Böblingen
Tel.: 07031 /286387
[email protected]
Math Sparks
22. Mai 2015
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1
Binomische Formeln
1 Erste binomische Formel
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Erst einmal ein Beispiel, um die Formel mit Leben zu füllen:
(x + 2)2
= (x + 2) · (x + 2)
=x·x+2·x+2·x+2·2
= x2 + 2x + 2x + 4
= x2 + 4x + 4
Wie kommt man jetzt direkt vom 1. zum 4. Schritt?
Du merkst dir folgendes:
1. erste Zahl/Variable hoch 2
2. doppeltes gemischtes Produkt, also 2x beide Zahlen/Variablen
3. zweite Zahl/Variable hoch 2
4. fertig ist deine erste binomische Formel - na war das nicht leicht?
Hier noch ein bisschen graue Theorie/Herleitung dazu:
1. Du schreibst dir (a + b)2 als (a + b) · (a + b)
2. Dann mulitiplizierst du jedes mit jedem und kommst somit auf vier Pärchen:
a·a+a·b+b·a+b·b
3. Diese fasst du dann soweit wie möglich zusammen: a2 + 2ab + b2
4. Und hier nochmal zusammengefasst: (a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + a · b + b · a + b2
= a2 + 2ab + b2
Meike Iwanek – Mathe Nachhilfe Böblingen – Math Sparks
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Binomische Formeln
2 Zweite binomische Formel
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Erst einmal ein Beispiel, um die Formel mit Leben zu füllen:
(x − 3)2
= (x − 3) · (x − 3)
= x · x + (−3) · x + (−3) · x + (−3) · (−3)
= x2 − 3x − 3x + 9
= x2 − 6x + 9
Beachte: (−1) · (−1) = (+1) und (−1) · (+1) = (−1)
Wie kommt man jetzt direkt vom 1. zum 4. Schritt?
Du merkst dir folgendes:
1. erste Zahl/Variable hoch 2
2. negatives doppeltes gemischtes Produkt, also 2x beide Zahlen/Variablen
mit MINUS davor
3. zweite Zahl/Variable hoch 2
4. fertig ist deine zweite binomische Formel - na war das nicht leicht?
Hier noch ein bisschen graue Theorie/Herleitung dazu:
1. Du schreibst dir (a − b)2 als (a − b) · (a − b)
2. Dann mulitiplizierst du jedes mit jedem und kommst somit auf vier Pärchen:
a · a + a · (−b) + (−b) · a + (−b) · (−b)
3. Diese fasst du dann soweit wie möglich zusammen: a2 − 2ab + b2
4. Und hier nochmal zusammengefasst: (a − b)2 = (a − b) · (a − b)
= a2 + a · (−b) + (−b) · a + b2 = a2 − 2ab + b2
Meike Iwanek – Mathe Nachhilfe Böblingen – Math Sparks
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Binomische Formeln
3 Dritte binomische Formel
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
Erst einmal ein Beispiel, um die Formel mit Leben zu füllen:
(x + 4) · (x − 4)
= x · x + x · (−4) + 4 · x + 4 · (−4)
= x2 − 4x + 4x − 16
= x2 − 16
Beachte: (−1) · (−1) = (+1) und (−1) · (+1) = (−1)
Wie kommt man jetzt direkt vom 1. zum 4. Schritt?
Du merkst dir folgendes:
1. erste Zahl/Variable hoch 2
2. Minus Zeichen
3. zweite Zahl/Variable hoch 2
4. fertig ist deine dritte binomische Formel - na war das nicht leicht?
Hier noch ein bisschen graue Theorie/Herleitung dazu:
1. (a + b) · (a − b)
2. Dann mulitiplizierst du jedes mit jedem und kommst somit auf vier Pärchen:
a · a + a · (−b) + b · a + b · (−b)
3. Diese fasst du dann soweit wie möglich zusammen: a2 − b2
4. Und hier nochmal zusammengefasst: (a + b) · (a − b)
= a · a + a · (−b) + b · a + b · (−b) = a2 − b2
Meike Iwanek – Mathe Nachhilfe Böblingen – Math Sparks
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