Lehrtext zu den binomischen Formeln Meike Iwanek Mathe Nachhilfe Böblingen Hauptstr. 7 71034 Böblingen Tel.: 07031 /286387 [email protected] Math Sparks 22. Mai 2015 Teile dieses PDF auch gerne mit deinen Freunden und meld dich doch zu meinem Newsletter unter: http://mathsparks.de/newsletter/ an, dann verpasst du in Zukunft keine News mehr rund um die Mathematik. Danke :) (Nachhilfe-)Schulen dürfen dieses PDF frei verwenden und vervielfältigen, wenn sie meinen Namen und Webseite erwähnen. 1 Binomische Formeln 1 Erste binomische Formel (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Erst einmal ein Beispiel, um die Formel mit Leben zu füllen: (x + 2)2 = (x + 2) · (x + 2) =x·x+2·x+2·x+2·2 = x2 + 2x + 2x + 4 = x2 + 4x + 4 Wie kommt man jetzt direkt vom 1. zum 4. Schritt? Du merkst dir folgendes: 1. erste Zahl/Variable hoch 2 2. doppeltes gemischtes Produkt, also 2x beide Zahlen/Variablen 3. zweite Zahl/Variable hoch 2 4. fertig ist deine erste binomische Formel - na war das nicht leicht? Hier noch ein bisschen graue Theorie/Herleitung dazu: 1. Du schreibst dir (a + b)2 als (a + b) · (a + b) 2. Dann mulitiplizierst du jedes mit jedem und kommst somit auf vier Pärchen: a·a+a·b+b·a+b·b 3. Diese fasst du dann soweit wie möglich zusammen: a2 + 2ab + b2 4. Und hier nochmal zusammengefasst: (a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + a · b + b · a + b2 = a2 + 2ab + b2 Meike Iwanek – Mathe Nachhilfe Böblingen – Math Sparks 2 Binomische Formeln 2 Zweite binomische Formel (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 Erst einmal ein Beispiel, um die Formel mit Leben zu füllen: (x − 3)2 = (x − 3) · (x − 3) = x · x + (−3) · x + (−3) · x + (−3) · (−3) = x2 − 3x − 3x + 9 = x2 − 6x + 9 Beachte: (−1) · (−1) = (+1) und (−1) · (+1) = (−1) Wie kommt man jetzt direkt vom 1. zum 4. Schritt? Du merkst dir folgendes: 1. erste Zahl/Variable hoch 2 2. negatives doppeltes gemischtes Produkt, also 2x beide Zahlen/Variablen mit MINUS davor 3. zweite Zahl/Variable hoch 2 4. fertig ist deine zweite binomische Formel - na war das nicht leicht? Hier noch ein bisschen graue Theorie/Herleitung dazu: 1. Du schreibst dir (a − b)2 als (a − b) · (a − b) 2. Dann mulitiplizierst du jedes mit jedem und kommst somit auf vier Pärchen: a · a + a · (−b) + (−b) · a + (−b) · (−b) 3. Diese fasst du dann soweit wie möglich zusammen: a2 − 2ab + b2 4. Und hier nochmal zusammengefasst: (a − b)2 = (a − b) · (a − b) = a2 + a · (−b) + (−b) · a + b2 = a2 − 2ab + b2 Meike Iwanek – Mathe Nachhilfe Böblingen – Math Sparks 3 Binomische Formeln 3 Dritte binomische Formel (a + b) · (a − b) = a2 − b2 Erst einmal ein Beispiel, um die Formel mit Leben zu füllen: (x + 4) · (x − 4) = x · x + x · (−4) + 4 · x + 4 · (−4) = x2 − 4x + 4x − 16 = x2 − 16 Beachte: (−1) · (−1) = (+1) und (−1) · (+1) = (−1) Wie kommt man jetzt direkt vom 1. zum 4. Schritt? Du merkst dir folgendes: 1. erste Zahl/Variable hoch 2 2. Minus Zeichen 3. zweite Zahl/Variable hoch 2 4. fertig ist deine dritte binomische Formel - na war das nicht leicht? Hier noch ein bisschen graue Theorie/Herleitung dazu: 1. (a + b) · (a − b) 2. Dann mulitiplizierst du jedes mit jedem und kommst somit auf vier Pärchen: a · a + a · (−b) + b · a + b · (−b) 3. Diese fasst du dann soweit wie möglich zusammen: a2 − b2 4. Und hier nochmal zusammengefasst: (a + b) · (a − b) = a · a + a · (−b) + b · a + b · (−b) = a2 − b2 Meike Iwanek – Mathe Nachhilfe Böblingen – Math Sparks 4