Repetition MB2, LU9

LU12 & LU13: Quadratwurzeln und Satz von Pythagoras
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Quadratwurzel
Die Wurzel einer Zahl a ist diejenige Zahl x, die mit sich
selbst multipliziert wieder die Zahl a ergibt:
x a
wenn
Vereinbarung: Die Wurzel einer Zahl ist immer positiv!
x2  a
Beispiele: 1. 100 
10
da
102 = 100
2. 0,36 
0,6
da
0,62 = 0,36
4
3.
9
2
3
da
4. 16p6=
4p3
da




2
2   4
3 
9
(4p3)2 = 16p6
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Irrationale Zahlen
Zahlen, die sich nicht als Bruch darstellen lassen, heissen
irrationale Zahlen. Die irrationalen Zahlen ergeben zusammen mit den rationalen Zahlen die reellen Zahlen .
Beispiele:
  3,14159...
Eigenschaften:
► Irrationale Zahlen sind nicht abbrechend.
2  1,41421...
► Irrationale Zahlen sind nicht periodisch.
Zahlenmengen:
107
3
-3
0
2,25 6,0

0,3
Irrationale
Zahlen
LU12 & LU13: Quadratwurzeln und Satz von Pythagoras
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Rechnen mit Wurzeln
Addition,
Subtraktion:
ab ≠
? a  b
25  16  41
169  25  144  12
Multiplikation:
ab =
?
a b
4  49  4  49  2  7  14
2  32  2  32  64  8
Division:
Potenzen:
a:b =
?
a: b
a2b  ab
19 : 76  19  1  1  1
4
4 2
76
1086  1043
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Wurzelreduktionen 1: Ziel und Vorgehen
► Ausdrücke mit Wurzeln werden immer so umgeformt, dass
unter dem Wurzelzeichen eine möglichst kleine, natürliche
Zahl oder ein möglichst einfacher Ausdruck steht.
► Nicht aufgehende Wurzeln werden stehen gelassen.
Vorgehen
Wurzelausdruck als Produkt schreiben, wobei ein
Faktor quadratisch ist. Die Wurzel aus dem
quadratischen Faktor kann dann gezogen werden.
Beispiele
1.
12  4  3  4  3  2 3
2. 72a3  36a2  2a  36a2  2a  6a 2a
3.






4p3  8p2q2  4p2  p  2q2 
 4p2  p  2q2  2p p  2q2
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Wurzelreduktionen 2: Beispiele
1.
20 
45  4  5 2 5
2.
275 
25  11  25  11  5 11
3.
1000 
100 10  100  10  10 10
4.
18y7 
9y6  2y  9y6  2y  3y3 2y
5.
s2  2st  t2 




6.
49y5  98y6 
49y4   y  2y2   7y2 y  2y2
st
2




st






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Satz von Pythagoras
Rechtwinkliges Dreieck - Begriffe
Hypotenuse
.
Liegt dem rechten Winkel gegenüber.
Katheten Schliessen
den rechten Winkel ein.
Satz von Pythagoras
b2
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die
Summe der Quadrate über den Katheten
gleich dem Quadrat über der Hypotenuse.
Ist c Hypotenuse, dann gilt:
a2 + b2 = c2
C
.
a2
B
A
c2
Auflösen nach a, b, c: c  a2  b2 ; a  c2  b2 ; b  c2  a2
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Satz von Pythagoras - Beispiele
Berechne jeweils die Länge der Strecke x. Wurzelterme soweit
wie möglich vereinfachen!
.
8
6
x .
x
13
.
7a
12
x  132 122  25  5
x
x  (7a)2  (6a)2
6a
 13a2  a 13
x  62  82  100  10
3a
22
x
x
14
Rechteck
2
2
x  22  14  36  6
2a
gleichschenkliges
Dreieck
x  (3a)2  a2  8a2  2a 2
5a
x
Quadrat
x  (5a)2  (5a)2
 50a2  5a 2