Sommersemester 2016 Tobias Roßmann Elementare Zahlentheorie

Sommersemester 2016
Tobias Roßmann
Elementare Zahlentheorie
Blatt 1
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Abgabe bis 12 Uhr am 18. April 2016 im Postfach Ihres Tutors.
Wichtig:
Sofern Sie diese Veranstaltung als unbenotete Studienleistung einbringen möchten,
vermerken Sie dies bitte deutlich auf Ihrer Abgabe.
Aufgabe 1 (2+2 Punkte).
(i) Seien a, g ∈ N mit g > 1. Zeigen Sie: Es gibt eine eindeutige Folge b0 , b1 , . . . ganzer
Zahlen mit 0 6 bi < g für i > 0 und
a=
∞
X
bi g i .
i=0
P∞
Bemerkung: Wir nennen i=0 bi g i die g-adische Entwicklung von a und die bi
die g-adischen Ziffern von a. Offenbar gibt es ein N ∈ N0 mit bN 6= 0 und bi = 0
für i > N . Man schreibt dann auch (bN bN −1 · · · b0 )g := b0 + b1 g + · · · + bN g N . Für
g = 10 erhalten wir die gewohnte Dezimalentwicklung bzw. Dezimalschreibweise.
(ii) Seien g, n ∈ N mit g > 1. Bestimmen Sie die g-adische Entwicklung von g n − 1.
Aufgabe 2 (1+1+2 Punkte). Sei n ∈ N. Zeigen Sie:
(i) Aus 2 - n folgt 8 | (n2 − 1).
(ii) Aus 3 - n folgt 3 | (n2 − 1).
(iii) 42 | (n7 − n).
Aufgabe 3 (2+2 Punkte).
(i) Sei n ∈ Z. Zeigen Sie, dass ggT(3n + 2, 5n + 3) = 1.
(ii) Seien a, b ∈ Z mit ggT(a, b) = 1. Zeigen Sie, dass ggT(a + b, a − b) ∈ {1, 2} und dass
beide Fälle auftreten.
Definition. Für b1 , . . . , bn ∈ Z setze
Zb1 + · · · + Zbn := a1 b1 + · · · + an bn : a1 , . . . , an ∈ Z .
Aufgabe 4 (2+2 Punkte).
(i) Seien n > 2 und b1 , . . . , bn ∈ Z. Zeigen Sie, dass
ggT(b1 , . . . , bn ) = ggT(b1 , ggT(b2 , . . . , bn )).
(ii) Zeigen Sie, dass Zb1 + · · · + Zbn = Z ggT(b1 , . . . , bn ).