Optimierung für Nichtmathematiker Übung 11

Technische Universität Chemnitz
Chemnitz, 2. Januar 2017
Prof. Dr. R. Herzog, T. Etling, Dr. D. Shklyarov, A. Stötzner
Optimierung für Nichtmathematiker
Übung 11
Aufgabe 25: Kürzester Weg
Bei größeren Drahtlosnetzwerken werden Daten häufig von einem Sender zu einem
Empfänger entlang von Pfaden über mehrere Knoten geschickt. Hier spielt u. a. die
Verlässlichkeit eines solchen Pfades eine Rolle, da bei Fehlern das Datenpaket erneut
versendet werden muss. Die einzelnen Kanten zwischen den Knoten haben jeweils eine
bekannte Wahrscheinlichkeit für die fehlerfreie Übertragung eines Datenpaketes (siehe
Abbildung 1). Die einzelnen Übertragungen über mehrere Kanten eines Pfades werden
dabei als voneinander unabhängige Ereignisse angesehen. Für gegebene Sender- und
Empfängerknoten ist ein Pfad durch das Netzwerk gesucht, welcher eine möglichst
geringe Fehlerwahrscheinlichkeit hat.
0.98
4
1
6
0.98
8
0.9
0.98
3
0.9
7
5
0.9
2
0.9
9
2
0.9
9
0.9
8
0.9
0.99
5
0.9
3
0.97
7
1
0.9
0.9
0.9
8
4
4
9
Abbildung 1: Graph des Drahtlosnetzwerkes mit den Kanten und ihren Wahrscheinlichkeiten für eine fehlerfreie Übertragung. Der Sendeknoten ist 1 und der
Empfängerknoten ist 9.
(a) Wie lautet die mathematische Optimierungsaufgabe? Wie kann die Zielfunktion
umformuliert werden, sodass eine lineare Optimierungsaufgabe entsteht?
(b) Lösen Sie die Aufgabe in Matlab mit Hilfe von linprog. Informationen über
das Drahtlosnetzwerk können in der Datei Daten_Drahtlosnetzwerk.m auf der
1
Homepage gefunden werden. Stellen Sie den Lösungspfad mit Hilfe von Graphviz
dar.
Aufgabe 26: Strukturoptimierung
Ein ebenes ideales Tragwerk soll bezüglich seines Gewichts optimiert werden. Das
Tragwerk sei durch einen Graphen beschrieben (Gelenke des Tragwerks = Knoten,
Stäbe = Kanten). Die Positionen p1 , . . . , pm ∈ R2 der Gelenke und die Kantenmenge
E seien gegeben. Desweiteren sind die in bestimmten Knoten angreifenden Kräfte
gegeben sowie die Knoten bekannt, die gelagert sind.
• Die Kraft in einem Stab zwischen den Knoten i und j wird mit xij ∈ R bezeichnet
und kann nur entlang des Stabes wirken. Dabei entsprechen positive xij einer
Zugbelastung und negative xij einer Druckbelastung des Stabes.
• In jedem Knoten soll ein Kräftegleichgewicht bezüglich der x- und y-Komponente
gelten. In dieses Gleichgewicht gehen alle Stäbe des Gelenkes sowie die dort evtl.
von außen angreifende Kräfte ein.
• Für gelagerte Knoten entfallen die Gleichungen für das Kräftegleichgewicht, da
hier das Gleichgewicht automatisch durch das Lager hergestellt ist.
• Das Gewicht eines Stabes zwischen den Gelenken i und j ist (bei fester Länge)
proportional zum Flächeninhalt Fij seines Stabquerschnitts. Das Gewicht soll
aber zur Vereinfachung nur in der Zielfunktion berücksichtigt werden, nicht in
den Kräftegleichgewichten der Knoten.
• Die Flächeninhalte Fij werden für jeden Stab so gewählt, dass nur eine bestimmte
maximale Spannung in dem Stab wirkt. Damit ergibt sich die Proportionalität
|xij | = λ Fij , wobei zur Vereinfachung der Proportionalitätsfaktor λ = 1 gesetzt
wird.
(a) Wie lauten die Gleichungen für das Kräftegleichgewicht in den einzelnen Knoten?
(b) Wie lautet die Zielfunktion, mit der man den Wunsch nach der Minimierung des
Gesamtgewichts des Tragwerks zum Ausdruck bringt?
(c) Wie kann man |xij | umformulieren, damit sich ein lineares Optimierungsproblem
ergibt?
2
(d) Lösen Sie die Aufgabe in Matlab mit Hilfe von linprog. Mit dem Skript tw_bsp.m von unserer Homepage können die Gelenkpositionen pos, die Kantenmenge
E, die angreifenden Kräfte b sowie die gelagerten Knoten lager geladen werden.
Zur Darstellung eines Tragwerks mit Stabkräften im Vektor x kann die Funktion
plot_tragwerk(pos,E,solution,lager,b) genutzt werden.
(e) Auf der Homepage finden Sie auch weitere Beispiele für Tragwerke, wo die Zahl
der möglichen Kanten erheblich größer ist: tw_traeger.m und tw_bruecke.m.
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