Theoretische Physik kompakt für das Lehramt
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Theoretische Physik kompakt für das Lehramt Von Prof. Dr. Karl Schilcher Oldenbourg Verlag München Inhaltsverzeichnis Vorwort und Einführung 1 Newtonsche Mechanik 1.1 Kinematik . . . . . 1.2 Der reelle Vektorraum jRn 1.3 Euklidische Struktur . . . 1.4 Bewegung eines Massenpunktes 1.5 Newtonsche Gesetze Arueit und Energie . 1.6 1. 7 Zweikörpersystem . . . . . . . . 1.8 Systeme von mehreren Massenpunkten v 1 1 1 2 4 5 6 8 10 2 Prinzipien der Mechanik 2.1 Einführung............ 2.2 Zwangsbedingungen . 2.3 Das Prinzip der virtuellen Arbeit 2.4 Statik (Systeme im Gleichgewicht) 2.5 Das d'Alembertsche Prinzip (Dynamik) 2.6 Variation einer Funktion . . . . 2.7 Das Hamiltonsche Prinzip . . . 2.8 Anhang: Das totale Differential 15 15 3 Die Lagrangesehen Bewegungsgleichungen 3.1 Die Lagrangesehen Gleichungen . 3.2 Forminvarianz der Lagrangeschen Gleichungen. 3.3 Beispiele.. . 3.4 Verallgemeinerte Potentiale . . . . . . . . . . . 3.5 Lagrangesche Gleichungen und allgemeine Zwangsbedingungen 29 4 Symmetrien und Erhaltungssätze 4.1 Verallgemeinerte Impulse. 4.2 Zyklische Koordinaten 4.3 Noether-Theorem 4.4 Impulserhaltung . . . . 41 41 42 44 45 17 18 19 21 23 24 26 29 31 32 35 37 XIV 4.5 4.6 Inhaltsverzeichnis Drehimpulserhaltung Hamilton-Funktion . 46 47 Hamiltonsche Mechanik 5.1 Legendre-Transformation. 5.2 Die Hamiltonschen Gleichungen 5.3 Der Phasenraum . Das Prinzip der kleinsten Wirkung im Phasenraum 5.4 5.5 Liouvillesches Theorem . . . 5.6 Die Poissonschen Klammern 49 49 51 6 Kanonische Transformationen 6.1 Punkt- und kanonische Transformationen . 6.2 Kanonische Transformationen und Poisson-Klammern 6.3 Infinitesimale kanonische Transformationen 6.4 Hamilton-Jacobi-Gleichung . 61 61 65 67 69 7 Drehungen 7.1 Drehmatrix . . . . . . . . 7.2 Infinitesimale Drehungen. 7.3 Drehgruppe . 7.4 Drehungen und Observable 7.5 Tensoren . . . 7.6 Tensoralgebra . 71 71 73 75 78 79 82 8 Rotierende Koordinatensysteme 8.1 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Winkelgeschwindigkeit . 8.3 Geschwindigkeit im rotierenden Koordinatensystem 8.4 Bewegungsgleichung im rotierenden Koordinatensystem 8.5 Das Foucaultsche Pendel 8.6 Euler-Winkel . . . . . 85 85 86 Dynamik starrer Körper 9.1 Starre Körper 9.2 Trägheitstensor 9.3 Die Eulerschen Kreiselgleichungen 9.4 Der kräftefreie Kreisel 97 97 5 9 . . . . 10 Relativitätstheorie 10.1 Postulate . 10.2 Einfache Lorentz-Transformation 10.3 Intervalle, 4-Abstände . . . . .. 10.4 Transformation der Geschwindigkeiten . 10.5 4-Vektoren 10.6 Homogene Lorentz-Transformation .. 54 55 56 58 89 90 92 93 98 101 103 107 107 108 110 112 113 113 Inhaltsverzeichnis 10.7 10.8 10.9 10.10 10.11 10.12 Infinitesimale Lorentz- Transformationen 4-Tensoren. . . . . . . . . . . . . . . . . Kovarianz der Naturgesetze . Lorentzkovariante Kinematik eines Massenpunktes Kovariantes Wirkungsprinzip Streuung von Teilchen xv 116 120 122 123 125 128 11 Maxwell-Gleichungen 11.1 Relativistische Dynamik . 11.2 Transformationsverhalten von E und iJ 11.3 Der elektromagnetische Feldtensor 11.4 4-Potentiale . 11.5 Homogene Maxwell-Gleichungen 11.6 Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen. 11. 7 Eichtransformationen . . . . . . . . . . . 11.8 Differentialgleichungen für die Potentiale 11.9 Poyntingsches Theorem 11.10 Das Ohmschen Gesetz . . . 11.11 Lagrange~che Formulierung 131 131 135 136 138 138 139 141 141 142 144 146 12 Elektrostatik 12.1 Das elektrostatische Feld. 12.2 Das Coulombsehe Gesetz. 12.3 Die Green-Funktion . . . . 12.4 Multipolentwicklung in der Elektrostatik 149 149 150 154 155 13 Der Energie-Impuls-Tensor 13.1 Der Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes. 13.2 Stromdichte von bewegten Punktladungen . . . . 13.3 Energie-Impuls-Tensor eines geladenen Teilchens 13.4 Drehimpulserhaltung . . . . 13.5 Noether-Theorem für Felder 159 159 161 163 165 166 14 Elektromagnetische Strahlung 14.1 Green-Funktionen, Retardierte Potentiale 14.2 Multipolentwicklung der retardierten Potentiale 14.3 Elektrische Dipolstrahlung EI 14.4 Lineare Antennen . 169 169 173 176 180 15 Strahlung einer bewegten Punktladung 15.1 Lienard-Wiechertsche Potentiale 15.2 Lienard-Wiechert-Felder . 15.3 Strahlung im Ruhsystem (zur Zeit TO) 15.4 Allgemeinere Beispiele . . . . . . . . . 185 186 189 192 194 XVI Inhaltsverzeichnis 16 Maxwell-Gleichungen in Materie 16.1 Mittelung . 16.2 Mikroskopisches Modell . . . . 197 197 . 199 17 Ebene Elektromagnetische Wellen 17.1 Die Wellengleichung .. 17.2 Polarisation . 17.3 Brechuug und Reflexion 17.4 Die Fresnelsche Formeln 207 207 210 212 18 Allgemeine Relativitätstheorie 18.1 Gravitation in der klassischen Mechanik 18.2 Allgemeine Koordinatentransformationen 18.3 Die kovariante Ableitung. 18.4 Der Krürnmungstensor . . 18.5 Geodäten . 18.6 Die Einstein-Gleichungen 18.7 Die Schwarzschild-Lösung 219 219 220 19 Komplexe Vektorräume 19.1 Vektoren . N 19.2 Der komplexe Vektorraum C 19.3 Skalarprodukt . 19.4 Basis . 19.5 Lineare Operatoren 19.6 Inverser Operator. 19.7 Der adjungierte Operator 19.8 Unitäre Operatoren . . . . 19.9 Eigenwerte und Eigenvektoren . 19.10 Erwartungswert . 19.11 Operatoridentitäten 19.12 Die Spur eines Operators. 19.13 Produktraum . 19.14 Der Hilbertsche Funktionenraum ll} 19.15 Vollständigkeit in ll} . 19.16 Konvergenz . 19.17 Lineare Operatoren im Hilbertschen Funktionenraum . 19.18 Nicht-Normierbare Basen . 245 20 Grundlagen der Quantenmechanik 20.1 Zustände und Observable in der klassischen Mechanik 20.2 Postulate der Quantenmechanik. 20.3 Dynamik . . . . . 20.4 Heisenberg-Bild . 20.5 Schrödinger-Bild . 20.6 Energie-Eigenzustände 267 267 268 274 276 276 279 214 225 227 230 231 237 245 246 246 249 250 252 252 254 254 257 257 258 259 260 261 262 263 264 Inhaltsverzeichnis XVII 21 Quantentheorie des Spins 21.1 Das Stern-Gerlach Experiment . . . . . 21.2 Der zweidimensionale ZWitandsraum :c 2 21.3 Spin-Operatoren . 21.4 Spinpräzession . 21.5 Allgemeinere Zwei-Zustandssysteme . . 21.6 Photonen 283 284 286 288 294 298 301 22 Quanteninformation und Verschränkung 22.1 Qubits . 22.2 Verschränkung . 22.3 Die Bellsche Ungleichung. 305 305 306 308 23 Der harmonische Oszillator 23.1 Energieeigenwerte . . . 23.2 Zeitliche Entwicklung. 23.3 Kohärente Zustände . 315 315 24 Orts24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 24.6 24.7 24.8 329 329 332 335 und Impulsdarstellung Der Ortsoperator . . . . . . . . . . . . Translationen und der Impulsoperator Der Hamilton-Differentialoperator .. Beispiel: Der harmonische Oszillator Beispiel: Bahndrehimpuls Beispiel: Starrer Rütator . Impulsraum . . . . . . . . . . . . . . Anhang: Polynommethode für den Harmonischen Oszillator 25 Der Dichteoperator 25.1 Der Dichteoperator für reine Zustände . . . . . 25.2 Der Dichte-Operator für statistische Gemische. 25.3 Dichtematrix für Spin-~-Systeme . 25.4 Eigenschaften der allgemeinen Dichtematrix . . 25.5 Die Dichtematrix in der Ortsdarstellung . . . . 25.6 Zeitliche Entwicklung eines gemischten Ensembles. 25.7 Dichte-Operator für Teilsysteme . 25.8 Von Neumansches Messpostulat 25.9 Dekohärenz . . . . . . . . . . . . 26 Die Feynmansche Quantenmechanik 26.1 Der Propagator . . . . . . . . . . . 27 Symmetrien in der Quantenmechanik 27.1 Das Wignersche Theorem 27.2 Unitäre Transformationen 27.3 Symmetrie . 322 324 337 339 340 342 343 347 347 349 351 354 355 356 357 359 361 363 . 363 369 369 370 372 Inhaltsverzeichnis XVIII 27.4 27.5 27.6 27.7 27.8 27.9 27.10 27.11 Drehungen in der klassischen Mechanik. Drehungen in der Quantenmechanik Observable und Drehungen . . . . . Drehimpuls-Vertauschungsrelationen Endliche Drehungen . . . . . . . . . Darstellungen von Spin-~-Systemen . Neutronen-Interferenz . Drehinvarianz und Drehimpulserhaltung 374 376 376 378 379 380 382 384 28 Eigenwertproblem von Drehimpulsoperatoren 28.1 Drehimpuls-Eigenvektoren . 28.2 Leiteroperatoren . 28.3 Eigenwerte von j2 und Jz 28.4 Bestimmung des Normierungsfaktors 28.5 Matrixdarstellung des Drehoperators 28.6 Drehmatrix und Euler-Winkel . 28.7 Entartungen . 28.8 Ganzzahlige und Halbzahlige j 385 385 386 387 388 389 390 391 392 29 Addition von Drehimpulsen 29.1 Produktraum . . 29.2 Spin-Bahn-Kopplung 29.3 Clebsch-Gordan-Koeffizienten 29.4 Zwei Spin-~-Systeme . . . . . 393 393 394 397 399 30 Bahndrehimpuls in der Ortsdarstellung 30.1 Bahndrehimpuls . . . . . . . . 30.2 Drehimpuls-Eigenfunktionen. 30.3 Bestimmung der Yi m (e, cjJ) 403 403 407 409 31 Das Wasserstoffatom 31.1 Zentralpotentiale 31.2 Das Wasserstoff-Atom 411 411 · 413 32 Diskrete Symmetrien 32.1 Rauspiegelungen: Parität. 32.2 Zeitumkehr . 417 · 422 33 Zeitunabhängige Störungstheorie 33.1 Nicht-Entarteter Fall 33.2 Entartung.... . 429 429 · 432 34 Feinstrukt ur des Wasserstoffatoms 34.1 Spin-Bahn-Kopplung . . . 34.2 Relativistische Korrektur . . 34.3 Darwin-Term 435 436 438 439 417 Inhaltsverzeichnis 35 Identische Teilchen 35.1 Permutationssymmetrie 35.2 Das Heliumatom . . . . XIX 443 443 . 445 36 Quanten-Statistische Mechanik 36.1 Einführung . . . . . . 36.2 Entropie............ 36.3 Stationäre Ensembles. . . . . 36.4 Systeme von nicht-wechsclwirkenden Teilchen 451 451 453 455 462 37 Quantenfelder 37.1 Felder und Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37.2 Quantisierung von Feldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37.3 Beobachtbarkeit, Realität und Vollständigkeit in der Quantentheorie 469 469 471 482 Index 485
