¨Ubung zur Vorlesung ” Diskrete Strukturen II“

Timo Kötzing
SS 2014
Übung zur Vorlesung Diskrete Strukturen II“
http://www.theinf.uni-jena.de/Lehre/SS+2014/Diskrete+Strukturen+II-p-174.html
”
Aufgabenblatt 11.B Abgabe am Mittwoch, den 02.07.2014, 12:15 Uhr
Dieses Blatt ist eine Bonusserie für all diejenigen, die gute Beweise schreiben
können (für alle anderen gibt es Übungsblatt 11.A)..
Aufgabe 1 (Bonusaufgabe, 1/2 Klausurpunkt) Wir zeigen das Lemma von
Sperner. Sei Dazu ein beliebiges Dreieck gegeben, und eine bliebige Unterteilung in
Unterdreiecke. Wir färben nun die Knoten des Graphen beliebig mit drei Farben (das
muss keine Färbung sein, bei der adjazente Knoten unterschiedliche Farben haben),
nach folgenden Regeln. Die drei Ecken des Hauptdreiecks haben unterschiedliche Farben; die Knoten auf dem Rand des Hauptdreicks haben die Farbe von einer der Ecken.
Das Lemma von Sperner sagt nun, dass ein solches Dreieck eine Fläche (Unterdreieck) hat, wo die Knoten von allen Ecken unterschiedlich gefärbt sind. Die folgende
Zeichnung ist ein Beispiel.
Übersetze das Problem in eine Graphtheoretische Fragestellung bei der die Flächen
des Dreiecks die Knoten des Graphen sind und nutze diese Übersetzung um das Lemma
von Sperner zu zeigen.
Aufgabe 2 (Bonusaufgabe, 1/2 Klausurpunkt) Lese die Definition und die
Lösung für das Briefträgerproblem unter http: // de. wikipedia. org/ wiki/
Brieftr% C3% A4gerproblem . Zeige, dass diese Lösung tatsächlich eine Lösung ist,
also dass immer eine minimale Tour aller Kanten gefunden wird.
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Diskrete Strukturen II
Timo Kötzing
Aufgabe 3 (Bonusaufgabe, 1/2 Klausurpunkt) Für jede Menge mit n Elementen, wie viele Möglichkeiten gibt es, m Elemente
auszuwählen? Schulmathematik gibt
n
diese Anzahl als den Binomialkoeffizienten m
an. Wir wollen die Vandermonde’sche
Gleichung zeigen, welche wie folgt lautet:
X
r n+m
m
n
∀m, n, r ∈ N :
=
.
r
k
r
−
k
i=0
Definiere eine Menge M und errechne ihre Mächtigkeit in zwei unterschiedlichen
Weisen ( double counting“) um diese Gleichung zu zeigen.
”
Aufgabe 4 (Bonusaufgabe, 1/2 Klausurpunkt) In dieser Aufgabe benutzen wir
einen intuitiven Wahrscheinlichkeitsbegriff, zum Beispiel auch wie in der Schule vermittelt. Bei Bedarf, siehe
http: // de. wikipedia. org/ wiki/ Wahrscheinlichkeitstheorie
oder beliebige weitere Quellen, die Google leicht findet. für diese Aufgabe braucht ihr
zusätzlich ein grundlegendes Verständnis der Konzepte Zufallsvariable“ und Erwar”
”
tungswert“, sowie der berühmten Chernoff-Ungleichung
http: // de. wikipedia. org/ wiki/ Chernoff-Ungleichung .
Da könnt ihr euch ein bisschen einlesen. Ein häufig verwendetes Modell um Zufallsgraphen zu erzeugen ist das sogenannte G(n, p) Zufallsgraphenmodell (n ∈ N, p ∈ [0, 1]).
Hierbei wird ein Graph auf n Knoten dadurch zufällig erzeugt, dass jede Kante unabhängig mit Wahrscheinlichkeit p im Graphen enthalten ist. Der erwartete Knotengrad eines beliebigen Knotens in einem Zufallsgraphen nach dem G(n, p)-Modell
ist (n − 1)p, wovon du dich jetzt überzeugen solltest. Mit der Chernoff-Ungleichung
kann man auch zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Knoten einen um 50%
höheren Knotengrad hat, höchstens
exp(−pn/12)
ist. Wir nehmen ab jetzt an, dass p eine Konstante ist, zum Beispiel 1/2, 9/10 oder
1/1000 (aber nicht 1 oder 0). Wir wollen uns anschauen, was asymptotisch passiert
für wachsende n. Dann ist also der Knotengrad asymptotisch mit Wahrscheinlichkeit
0 um 50% über dem Erwartungswert (da exp(−pn/12) gegen 0 geht, für n gegen
unendlich).
Zeige nun, dass, mit Wahrscheinlichkeit mindestens 1/2, es eine Komponente der
Größe mindestens n/2 gibt (asymptotisch).
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