¨Ubung zur Vorlesung Statistik I für Biowissenschaften WS 2016

Übung zur Vorlesung Statistik I für
Biowissenschaften
WS 2016-2017
Übungsblatt 6
29. November 2016
Aufgabe 15 (6 Punkte:) Für 0 ≤ p ≤ 1 sei
Ω = {(z1 , z2 , z3 )|zi = 0, 1; i = 1, 2, 3}
mit
P((z1 , z2 , z3 )) = pz1 +z2 +z3 (1 − p)3−z1 −z2 −z3
der Wahrscheinlichkeitsraum, der das Zufallsexperiment “Dreimaliges unabhängiges Werfen einer nicht notwendig fairen Münze“ beschreibt. “1“ stehe für
Kopf und “0“ für Zahl.
A
Geben Sie die Ereignisse
A: “Der erste Wurf ist ’Kopf’.“
und
B: “Der zweite Wurf ist ’Zahl’.“
in Mengenschreibweise an.
B
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(B).
C
Zeigen Sie, dass A und B unabhängig sind.
Aufgabe 16 (4 Punkte): Ein fairer Würfel werde n = 75 mal geworfen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für
A
Genau 11 mal wird eine “3“ geworfen.
B
Es wird mindestens 11 mal eine “2“ geworfen.
C
Es wird genau 11 mal eine “2“ oder “3“ geworfen.
D
Der erste Wurf ist eine “6“ und dann werden noch mindestens 10 Sechsen
geworfen.
Aufgabe 17 (4 Punkte): Es sei bekannt, dass im menschlichen Genom durchschnittlich eine Ankersequenz pro 1267 bp (Basenpaare) auftritt.
A
Wie viele Anker treten durchschnittlich in 1000 bp auf? Wie viele Anker
treten durchschnittlich in einem DNA Abschnitt der Länge L bp auf? L
sei eine beliebige positive ganze Zahl.
B
Wie lange muss ein DNA Fragment mindestens sein, damit es mit einer
Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% mindestens einen Anker enthält?
Geben Sie die Länge in Anzahl L von Basenpaaren an.
Hinweis: Gehen Sie davon aus, dass die Anzahl der Anker in einem DNA
Abschnitt der Länge L poissonverteilt ist. Der Parameter λ der Poissonverteilung ist dabei die durchschnittliche Anzahl der Anker in dem DNA
Abschnitt.
Aufgabe 18 (4 Punkte): Stellen Sie die Binomialverteilung b(n, 2/n, k) der
Poissonverteilung p(k, 2) (k = 0, . . . , 10) in einem Säulendiagramm gegenüber.
Erstellen Sie für n = 10, 100, 1000 jeweils ein Diagramm. Ordnen Sie die Diagramme nebeneinander an. Zeichnen Sie die Säulen für die Wahrscheinlichkeiten der Binomial- und Possonverteilung in verschiedenen Farben. Die Säulen
sollen sich nicht überdecken. Interpretieren Sie die Graphiken.
Hinweis: Nach dem Befehl par(mfrow=c(1,3)) werden die drei nächsten Plots
nebeneinander angeordnet. Fügen Sie dem Plot mit den Wahrscheinlichkeiten
der Binomialverteilung (Befehl plot) durch den Befehl points die Wahrscheinlichkeiten der Poissonverteilung an. Zeichnen Sie die Säulen der Binomialverteilung bei k = 0, . . . , n und die der Poissonverteilung knapp daneben. Verwenden
Sie in beiden Plotbefehlen die Option type=’h’.
Schicken Sie Ihre Lösung bis spätestens Montag, den 6.12.2016 direkt an
[email protected] (Gergana Stanilova)