5.4 Die Welleneigenschaften von Elektronen

Inhaltsverzeichnis
Verzeichnis der Java–Applets
9
Vorwort und Danksagungen
11
1
Elektromagnetismus
13
1.1
13
13
13
15
17
18
18
20
1.2
Elektrizitätslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Der Begriff der Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Der Begriff des elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Die elektrische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Die elektrische Stromstärke . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Der Zusammenhang von Ladung und Stromstärke . . .
1.1.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7 Das Phänomen der elektrischen Influenz . . . . . . . . .
1.1.8 Der Zusammenhang von Energie, Arbeit, Kraft und Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.9 Klausur Nr. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.10 Musterlösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.11 Die Kapazität eines Kondensators . . . . . . . . . . . . .
1.1.12 Einfluss von Dielektrika auf elektrische Felder . . . . . .
1.1.13 Das Coulomb–Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.14 Arbeit, Energie und Leistung im homogenen elektrischen
Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.15 Bewegung elektrisch geladener Teilchen im homogenen
elektrisch geladenen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Eigenschaften von Magnetfeldern . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Definition der magnetischen Flussdichte . . . . . . . . .
1.2.3 Die Lorentzkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Exkurs: Vektorielle Darstellung von physikalischen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Bewegung geladener Teilchen im Magnetfeld . . . . . .
1.2.6 Teilchenbeschleuniger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Klausur Nr. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
24
26
36
37
38
39
41
46
46
47
50
52
54
57
61
1
Inhaltsverzeichnis
1.3
1.4
2
Schwingungen
2.1
2.2
2.3
2.4
3
Mechanische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Gedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Gekoppelte Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Erzwungene Schwingungen — Resonanz . . . . . . . . .
Klausur Nr. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Musterlösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektromagnetische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Der Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Ungedämpfte elektromagnetische Schwingungen . . . .
2.4.3 Die Differentialgleichung für die ungedämpfte elektromagnetische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Analogie Schwingkreis — Federpendel . . . . . . . . . .
2.4.5 Gedämpfte elektromagnetische Schwingungen . . . . . .
2.4.6 Mathematischer Exkurs: Exponentialfunktionen . . . . .
2.4.7 Zur Lösung der Differentialgleichung der gedämpften
elektromagnetischen Schwingung . . . . . . . . . . . . .
Wellen
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
2
1.2.8 Musterlösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.9 Der Hall–Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.10 Das Magnetfeld einer langen Spule . . . . . . . . . . . .
Die elektrische Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Erster Grundversuch zur Induktion . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Zweiter Grundversuch zur Induktion . . . . . . . . . . .
1.3.3 Zusammenfassung und Verallgemeinerung der beiden
Grundversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Warum das Minuszeichen in der Formel für Uind ? . . . .
1.3.5 Beispielaufgaben zum Induktionsgesetz . . . . . . . . . .
1.3.6 Praktische Anwendung der Induktion . . . . . . . . . . .
Die Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Das Phänomen der Selbstinduktion . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Berechnung der Induktivität einer Spule . . . . . . . . .
1.4.3 Wie viel Energie ist im magnetischen Feld gespeichert? .
64
71
73
74
74
75
76
77
80
82
83
83
84
85
89
89
89
90
100
101
102
105
109
114
114
115
117
118
120
122
124
127
Mechanische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.1.1 Beschreibende Grundgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Herleitung der Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Mathematische Beschreibung stehender Wellen . . . . . . . . . . 131
Typische Phänomene bei Wellen — Versuche in der Wellenwanne 133
Inhaltsverzeichnis
3.5.1
3.5.2
3.5.3
3.5.4
3.6
3.7
3.8
4
Optik
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
5
Das Huygens’sche Prinzip / Beugung am Spalt . . . . . 133
Beugung und Interferenz am Doppelspalt . . . . . . . . . 135
Wie kommen Interferenzminima und –maxima zustande? 135
Wie kommt es überhaupt, dass es Stellen gibt, an denen
immer Maxima bzw. Minima entstehen? . . . . . . . . . 136
3.5.5 Wo entstehen die Interferenzmaxima bzw. –minima beim
Doppelspalt? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Der DOPPLER–Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.6.1 Der akustische DOPPLER–Effekt . . . . . . . . . . . . . . 141
3.6.2 Der optische DOPPLER–Effekt . . . . . . . . . . . . . . . 142
Klausur Nr. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Musterlösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Historische Entwicklung der Modellvorstellungen vom Licht
Interferenz durch Beugung am Doppelspalt . . . . . . . . . . .
Interferenz durch Beugung des Lichtes am Gitter . . . . . . . .
Das Auflösungsvermögen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Das Auflösungsvermögen beim menschlichen Auge . .
4.4.2 Das Auflösungsvermögen beim Linsenfernrohr . . . .
4.4.3 Das Auflösungsvermögen beim Mikroskop . . . . . . .
Interferenzen an dünnen Schichten . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Newton–Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Interferenzen an planparallelen dünnen Schichten . . .
157
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Quantenphysik
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
Der Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Entstehung von Röntgenbremsstrahlung . . . . . . . . . .
Der Compton–Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Nichtrelativistische Abschätzung des Compton–Effekts
5.3.2 Relativistische Herleitung der Compton–Formel . . . .
Die Welleneigenschaften von Elektronen . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Die Bragg’sche Reflexionsbedingung . . . . . . . . . .
5.4.2 Das Experiment mit der Elektronenbeugungsröhre . .
Das Unschärfeprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Das Phänomen der akustischen Unschärfe . . . . . . .
5.5.2 Heisenbergs Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Neuinterpretation der Beugung von Quanten . . . . .
Klausur Nr. 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Musterlösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
161
163
164
168
169
169
170
170
173
175
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
175
178
181
182
182
185
188
189
190
191
191
195
197
199
204
3
Inhaltsverzeichnis
6
Atomphysik
213
6.1
6.2
213
Antike Vorstellungen vom Aufbau der Materie . . . . . . . . . .
Die Geburtsstunde der Chemie: Neuformulierung der antiken
Atomtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Das Rosinenkuchenmodell von J. J. Thomson . . . . . . . . . . .
6.4 Das Planetenmodell“ von E. Rutherford . . . . . . . . . . . . .
”
6.5 Das Schalenmodell“ von N. Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . .
”
6.5.1 Der Franck–Hertz–Versuch als Stütze für das Schalenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Welche weiteren Phänomene konnten erklärt werden? .
6.5.3 Exkurs: Berechnung der potentiellen Energie in zentralen Kraftfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.4 Berechnungen für das Wasserstoffatom . . . . . . . . . .
6.5.5 Grenzen des Bohr’schen Atommodells . . . . . . . . . .
6.6 Erweiterung zum Bohr–Sommerfeld–Modell . . . . . . . . . . .
6.6.1 Die Quantenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2 Die Verteilung der Elektronen in der Hülle . . . . . . . .
6.6.3 Grenzen und Probleme des Atommodells von Bohr und
Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Klausur Nr. 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Musterlösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9 Von den halbklassischen zum modernen quantenmechanischen
Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9.1 Zur historischen Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9.2 Die Born’sche Interpretation der Wellenfunktion . . . . .
6.9.3 Das Potentialtopfmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9.4 Anwendungen des Potentialtopfmodells . . . . . . . . .
6.9.5 Die Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10 Feynman’s Perspektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11 Der Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11.1 Was ist ein Laser? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11.2 Wie erzeugt ein Laser ein Lichtbündel“ ? . . . . . . . . .
”
6.11.3 So schaukelt sich der Laser selbst auf . . . . . . . . . . .
6.11.4 Die Entwicklung des Lasers: Vom Maser zum Laser . . .
6.11.5 Der erste Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11.6 Die verschiedenen Laserarten . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11.7 Detaillierte Beschreibung des He–Ne–Lasers . . . . . . .
6.11.8 Eigenschaften des Laserlichtes . . . . . . . . . . . . . . .
6.11.9 Holographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
216
219
220
223
225
227
229
231
235
236
237
242
243
244
250
261
261
262
262
264
266
268
269
273
273
273
274
275
276
276
278
280
280
Inhaltsverzeichnis
Anhang
289
A Naturkonstanten
289
B Lesenswerte Literatur — eine subjektive, unvollständige Liste
B.1
B.2
B.3
B.4
Populäre Darstellungen fachphysikalischer Gebiete
Historisches und Biographisches . . . . . . . . . . .
Philosophisches, Wissenschaftstheorie . . . . . . . .
Literarisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
291
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
291
292
293
294
C H. R. Pagels: Cosmic Code
295
D E. Segrè: Endlich eine richtige Quantenmechanik
327
E
H. C. v. Baeyer: Fermis Lösung
351
F
J. D. Watson: Die Doppelhelix
357
G J. Trefil: Physik in der Berghütte
361
Index
377
174
5 Quantenphysik
5.1
Der Photoeffekt
Bestrahlt man bestimmte Materialien mit Licht, so werden aus diesem Stoff je
nach Eigenschaft des Lichtes Elektronen herausgelöst. Dieses Phänomen wird
deutlich in dem folgenden
Versuch 1:
Z in kp latte
_
+
U V -L am p e
E lektro sko p
Eine Zinkplatte befindet sich in Kontakt mit einem Elektroskop und ist zusätzlich mit dem Minuspol einer Hochspannungsquelle verbunden. Das Elektroskop zeigt also einen bestimmten, gleichbleibenden Ausschlag. Nun bestrahlen wir diese Zinkplatte mit dem Licht einer UV–Lampe. Wir beobachten, dass
der Ausschlag des Elektroskops schlagartig auf Null absinkt. Es werden also
während der Bestrahlung mit dem UV–Licht Elektronen aus der Zinkplatte
herausgelöst. Beim Abschalten der UV–Lampe stellen wir sofort den gleichen
Ausschlag auf dem Elektroskop fest wie vor Einschalten des Lichtes.
Schlussfolgerung: Das UV–Licht ist also in der Lage, aus einer Zinkplatte Elektronen zu lösen. Das Licht transportiert also Energie, die dazu verwendet“
”
wird, die Elektronen gegen die Anziehung des Kerns abzulösen.
Dass Gleiches nicht für Protonen gilt, kann mit dem gleichen Versuch und dem
Anschluss der Zinkplatte an den Pluspol der Hochspannungsquelle bewiesen
175
5
Quantenphysik
werden. Es zeigt sich nach Einschalten des Lichtes keine Änderung des Ausschlages des Elektroskops.
Wenn wir bisher davon ausgegangen sind, dass Licht eine Welle ist, so müsste
man aufgrund der Welleneigenschaften sagen können, dass es egal ist, welches Licht man verwendet. Man müsste nur die Intensität des Lichtes so lange
steigern, bis die Wellen des Lichtes die entsprechend hohe Energie besitzen,
um die Elektronen aus den Atomen zu lösen, da die Energie einer Welle proportional zur Intensität ist.
Diese These kann jedoch nicht für Licht zutreffen, was entsprechende Experimente mit verschiedenen Lichtquellen in Versuch 1 zeigen. Licht kann also
nicht einfach als Welle angesehen werden.
E INSTEIN fand im Jahre 1905 eine Lösung für dieses Problem:
Licht lässt sich in einer endlichen Zahl von sogenannten Energiequanten (Photonen)
lokalisieren. Licht verhält sich wie ein Strom von Teilchen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen und unteilbar sind. Jedes einzelne Photon von monochromatischem,
also einfarbigem Licht, hat laut E INSTEIN die Energie
W = h· f.
Diese Gleichung begründet die experimentell erhaltenen Ergebnisse. Es ist also nicht die Intensität, welche proportional zur Energie des Lichtes ist, sondern
die Frequenz. Eine Erhöhung der Intensität bewirkt lediglich eine Erhöhung
der Zahl der Quanten, die in einem bestimmten Zeitabschnitt eine bestimmte Fläche durchdringen, nicht aber die Energie der einzelnen Quanten. In der
obigen Gleichung bedeutet h = 6, 626 · 10−34 Js eine Naturkonstante, das sogenannte P LANCK’sche Wirkungsquantum.
Zur Bestimmung der kinetischen Energie der herausgelösten Elektronen betrachten wir nun die sogenannte Gegenfeldmethode:
Versuch 2:
R in g an o d e
P h o to kath o d e
L am p e
F arb filter
_
+
UG
176
5.1
Der Photoeffekt
Die Photokathode wird mit einem bestimmten Material beschichtet, aus dem
sich auf Grund des Photoeffekts Elektronen herauslösen lassen. Nun bestrahlen wir die Kathode mit Licht. Hat das Licht ausreichend Energie, also eine
ausreichend hohe Frequenz, so lösen sich Elektronen aus der Kathode und
werden von der Ringanode angezogen. Um nun die kinetische Energie zu bestimmen, legen wir eine variable Gegenspannung UG an, welche wir so lange
erhöhen, bis keine Elektronen mehr die Ringanode erreichen. Die entsprechende Gegenspannung gibt uns nun nach der Formel
Wkin = e ·UG
die kinetische Energie der Elektronen an. Dieses Experiment führen wir unter Austausch des Farbfilters mehrmals durch. Die Farbfilter bewirken eine
Veränderung der Frequenz des Lichtes. Wir erhalten für verschiedene Frequenzen verschiedene kinetische Energien. Erhöhen wir jetzt die Intensität
des Lichtes, so lässt sich beobachten, dass die kinetische Energie der herausgelösten Elektronen nicht wächst, es werden lediglich mehr Elektronen aus
der Kathode ausgelöst.
Trägt man die Gegenspannung Umax , bei der der Photostrom auf Null zurückgegangen ist, gegen die Frequenz f des Lichtes auf, mit dem die Photokathode
bestrahlt wurde, so erhält man angenähert eine Gerade. Dies lässt sich folgendermaßen erklären:
Der Photoeffekt kann energetisch durch die Gleichung Emax = h f −Wa beschrieben werden. In Worten ausgedrückt: Die maximale kinetische Energie der ausgelösten Photoelektronen lässt sich berechnen als die Differenz der Energie
eines einzelnen Photons und der für die Ablösung des Elektrons benötigten
Energiemenge (Ionisierungsenergie).
Dividiert man diese Gleichung auf beiden Seiten durch die Elektronenladung
e, so erhält man den Zusammenhang
Umax ( f ) =
h
· f −Ua .
e
Umax ( f ) ist also eine Funktion, die linear von der Variablen f abhängt. Man
kann also durch die im Koordinatensystem eingetragenen Messwerte eine ausgleichende Gerade legen und dann deren Steigung berechnen. Da die Steigung aber nach der obigen linearen Funktionsgleichung mit dem Quotienten
h identisch ist, kann man abschließend h ermitteln, indem man die aus der
e
Ausgleichsgeraden erhaltene Steigung mit e multipliziert.
177
5
Quantenphysik
Das Applet Photoeffekt I“ ermöglicht eine virtuelle Durchführung des Expe”
rimentes zum Photoeffekt.
Alternativ gibt es noch ein weiteres Applet, Photoeffekt II“, mit dem man das
”
Experiment simulieren kann.
5.1.1
Zusammenfassung
I — Unvereinbarkeit des Photoeffektes mit dem Wellenmodell des Lichts
Folgende Erscheinungen beim Photoeffekt widersprechen der Vorstellung von
Licht als elektromagnetischer Welle:
1. Die Existenz einer unteren Grenzfrequenz bzw. oberen Grenzwellenlänge,
ab der der Photostrom einsetzt.
2. Die Unabhängigkeit der kinetischen Energie der herausgelösten Elektronen von der Intensität des verwendeten Lichts.
178
5.1
Der Photoeffekt
3. Der Photostrom setzt — Licht geeigneter Frequenz vorausgesetzt — trägheitslos, d. h. unmittelbar nach Lichteinfall ein.
Die obigen Erscheinungen werden durch folgende Versuche bestätigt:
zu 1. Bestrahlt man eine Photokathode mit Licht verschiedener Wellenlängen,
so werden Elektronen nur durch Licht mit einer Frequenz, die größer ist
als die vom Material der Photokathode abhängige Grenzfrequenz, herausgelöst.
zu 2. Mit Hilfe der sog. Gegenfeldmethode kann man die maximale kinetische
Energie der herausgelösten Photoelektronen bestimmen. Die zugehörige
Gegenspannung Umax bleibt unverändert, auch wenn man die Intensität
des einfallenden Lichts, z. B. durch Verbreiterung eines im Lichtstrahl stehenden Spaltes oder Verringerung des Abstandes der Lichtquelle, vergrößert.
Die Existenz einer für das Abbremsen der Photoelektronen erforderlichen
frequenzabhängigen Gegenspannung Umax deutet darauf hin, dass die herausgelösten Elektronen eine kinetische Energie besitzen, die je nach verwendeter Lichtfrequenz einen gewissen Höchstwert nicht überschreitet.
Wie oben angedeutet, hängt dieser Höchstwert jedoch in keiner Weise von
der verwendeten Lichtintensität ab!
zu 3. Wird die Photokathode mit einer periodischen Folge von (geeigneten)
Lichtblitzen bestrahlt, so folgt der Photostrom augenblicklich dem Pulsrhythmus der Lichtblitze, d. h. der Photostrom setzt in einer unmessbar
kurzen Zeit nach Lichteinfall ein.
Warum widersprechen die obigen Erscheinungen dem Wellenmodell des Lichtes?
zu 1. Zur Auslösung eines Elektrons wird eine bestimmte Energie, die Austritts- oder Ablöseenergie, benötigt. Nach der Wellenvorstellung vom Licht
ist dessen Energiedichte proportional zur Lichtintensität bzw. zum Quadrat der maximalen elektrischen Feldstärke der Lichtwelle.
Die Auslösung von Elektronen könnte man sich damit so vorstellen, dass
die Elektronen in dem schwingenden elektrischen Feld eine der Feldstärke
proportionale Kraft erfahren und so zum Mitschwingen angeregt werden. Dabei nehmen sie aus dem Feld Energie auf und können, wenn sie
genügend Energie angesammelt“ haben, das Metall verlassen.
”
Bei einer Erhöhung der Intensität müssten also bei jeder beliebigen Frequenz irgendwann Elektronen ausgelöst werden. Dass dies bei Frequenzen unterhalb der Grenzfrequenz nicht der Fall ist, lässt sich im Rahmen
der Vorstellung vom Licht als einer elektromagnetischen Welle nicht verstehen.
179
5
Quantenphysik
zu 2. Wie bereits erläutert, würde man durch eine Erhöhung der Lichtintensität die zur Verfügung stehende Energie vergrößern. Demgemäß müssten
die schnellsten ausgelösten Elektronen noch schneller werden, d. h. die
Gegenspannung Umax würde sich erhöhen. Dies ist aber im Widerspruch
zu diesem Erklärungsversuch nicht der Fall.
zu 3. Die in der Erläuterung zu Punkt 1. erwähnte Ansammlung“ von Ener”
gie würde, insbesondere bei geringen Lichtintensitäten, bedeuten, dass es
eine gewisse Zeit in Anspruch nehmen würde, bis ein Elektron genügend
Energie zum Verlassen der Metalloberfläche besitzt. So kann man zum
Beispiel durch Berechnungen zeigen, dass es bei einer 100 W–Glühlampe,
die aus einem Meter Entfernung eine Caesium–Photoschicht bestrahlt, eine knappe Stunde dauern würde, bis ein (!) Elektron genügend Energie
zum Verlassen der Caesiumkathode angesammelt hätte! Hier ergibt sich
also ein weiterer Widerspruch zum Wellenmodell.
II — Einsteinsche Deutung des Photoeffekts (1905)
1. Bei der Ausbreitung von Licht ist die Energie nicht kontinuierlich (z. B.
durch eine Welle) über den Raum verteilt, sondern in einer endlichen Zahl
von Energiequanten lokalisiert. Licht verhält sich (hier) wie ein Strom von
Korpuskeln/Teilchen (Lichtquanten oder Photonen genannt), die sich mit
Lichtgeschwindigkeit bewegen, unteilbar sind und nur als Ganzes erzeugt
oder absorbiert werden können.
2. In monochromatischem (einfarbigem) Licht der Frequenz f besitzt jedes
Lichtquant die Energie W = h · f , wobei h das Plancksche Wirkungsquantum ist.
3. Bei gleicher Frequenz bedeutet eine Erhöhung der Lichtintensität eine Vergrößerung der Anzahl der in einer bestimmten Zeit eine bestimmte Fläche
durchdringenden Lichtquanten, aber nicht die Erhöhung der Energie der einzelnen Quanten.
4. Ein Elektron absorbiert jeweils nur die Energie eines Lichtquants. Zur
Ablösung eines Elektrons von der Photokathode ist mindestens eine für
das jeweilige Kathodenmaterial charakteristische Ablöseenergie erforderlich. Der diesen Wert übersteigende Anteil der absorbierten Energie wird
dann in Bewegungsenergie des Elektrons umgesetzt, d. h. aufgrund der
Energieerhaltung gilt der Zusammenhang Wphoton = Wkin,max +Wabl öse bzw.
Wkin,max = h · f −Wabl öse .
180
5.2
5.2
Die Entstehung von Röntgenbremsstrahlung
Die Entstehung von Röntgenbremsstrahlung
Den Aufbau einer Röntgenröhre zeigt
Anode
die nebenstehende Abbildung:
In einer bis zum Glühen erhitzten Kathode werden freie Elektronen erzeugt,
die von einer starken BeschleunigungsR ön tgen str.
spannung UB beschleunigt werden,
_+
bis sie schließlich auf die Anode tref- U B
L eu ch tsch irm
fen. Beim Durchlaufen der Beschleunigungsspannung gewinnen die ElekE lektro n
tronen eine Energie von W = e ·UB .
Treffen die Elektronen nun auf das
Anodenmaterial, so werden sie dort
G lü h kath o d e
abgebremst und geben ihre gesamH eizsp an n u n g
te Energie an die Atome der Anode
ab. Diese Energie wird zum Teil in Form von Schwingungsenergie von der
Anode aufgenommen, was bedeutet, dass diese sich stark erhitzt und eventuell gekühlt werden muss. Eine andere Möglichkeit ist die, dass die Energie in
Form von Photonen an die Außenwelt abgegeben wird. In diesem Fall handelt
es sich dann um Röntgenstrahlung, und zwar in diesem Fall um die sogenannte Bremsstrahlung.
Dieser Prozess ist in gewisser Weise eine Umkehrung des Photoeffekts, da beim
Photoeffekt Elektronen mit Hilfe von Photonen, und bei der Röntgenstrahlung
Photonen durch Elektronen freigesetzt werden.
Es gibt zu unterschiedlichen Beschleunigungsspannungen eine jeweils unterschiedliche untere Grenzwellenlänge, die von den Photonen nicht unterschritten wird (siehe auch Aufgabe 4, Klausur Nr. 5). Diese kürzestmögliche Wellenlänge haben die Photonen genau dann, wenn sie auf die Art entstanden
sind, dass ein Elektron seine gesamte Energie e · UB auf einen Schlag abgegeben und in ein Photon umgewandelt hat.
Für die kürzestmögliche Grenzwellenlänge gilt:
λgrenz =
h·c
e ·UB
Je nach der Wellenlänge der vorliegenden Röntgenstrahlung unterscheidet man
zwischen harter und weicher Röntgenstrahlung.
Kurzwellige Röntgenstrahlen mit einer Wellenlänge kleiner als 1 Picometer
nennt man hart, weil sie aus energiereicheren Quanten bestehen als weiche
Röntgenstrahlen.
Im elektromagnetischen Spektrum gibt es noch energiereichere und damit kurzwelligere elektromagnetische Strahlungsarten. Hierzu zählt die bei radioakti-
181
5
Quantenphysik
ven Zerfällen entstehende Gammastrahlung sowie die noch energiereichere kosmische Strahlung (auch Höhenstrahlung genannt).
5.3
Der Compton–Effekt
Der oben beschriebene Photoeffekt hätte sicherlich nicht ausgereicht, um die
mittlerweile hundert Jahre alte Vorstellung, bei Licht handele es sich um eine elektromagnetische Welle, zu erschüttern. Es hätte sicherlich immer wieder
Zweifler gegeben, die der Interpretation von Einstein entgegengesetzt hätten,
es gäbe sicherlich auch eine Möglichkeit, den Photoeffekt im Rahmen des Wellenmodells vom Licht zu erklären, man habe sie nur bisher nicht gefunden.
Es bedurfte daher noch weiterer experimenteller Hinweise auf den Teilchenaspekt bei der modellhaften Beschreibung der Natur des Lichtes. Ein wichtiges Phänomen wird in diesem Abschnitt beschrieben, nämlich der sogenannte C OMPTON–Effekt. Hierbei handelt es sich um die Tatsache, dass Röntgenstrahlung, die an einem Streukörper gestreut wird, gleichzeitig mit ihrer Richtungsänderung ihre Wellenlänge zum langwelligeren Ende des Spektrums hin
verändert. Die einzige Möglichkeit, die beobachtete Abhängigkeit der Wellenlängenverschiebung physikalisch zu erklären, besteht darin, dass man die
Röntgenstrahlung ebenfalls auffasst, als ob sie aus Teilchen besteht, und dass
diese Röntgenphotonen mit den Elektronen des Streukörpers Stoßprozesse
durchführen, die einen Energieverlust der Röntgenphotonen und damit eine Vergrößerung der Wellenlänge zur Folge haben. Eine Formel für die Wellenlängenverschiebung ∆λ lässt sich auf zwei verschiedene Arten und Weisen
herleiten, wobei mit der einfacheren nichtrelativistischen Rechnung begonnen
werden soll, die uns einen Eindruck von der Größenordnung von ∆λ verschaffen soll. Für eine Berechnung der Abhängigkeit von ∆λ vom Streuwinkel θ
benötigen wir eine komplexere Berechnung, die die Erkenntnisse der Relativitätstheorie einbeziehen muss.
5.3.1
Nichtrelativistische Abschätzung des Compton–Effekts
Die beim Compton–Effekt vorliegenγ′
de Situation muss man sich schematisch wie nebenstehend abgebildet vorstellen:
me
Ein (Röntgen-)photon trifft auf ein
(ruhendes) Elektron innerhalb eines
Streukörpers. Bei dem stattfindenden elastischen Stoß verändert das
Photon seine Richtung, das Elektron nimmt Energie auf und bewegt sich von
γ
182
θ
5.3
Der Compton–Effekt
seinem Platz fort, und das gestreute Photon hat eine größere Wellenlänge als
vor dem Stoß.
Wir nehmen im Folgenden vereinfachend an, dass das Photon zentral auf das
Elektron trifft, was zur Folge hat, dass es rückwarts zurückgestreut wird (θ =
180o ). Da es sich um einen elastischen Stoß handelt, gelten sowohl der Energieals auch der Impulserhaltungssatz, und man kann daher die beiden folgenden
nichtrelativistischen Beziehungen aufstellen:
E = hf
1
Energie nach dem Stoß : E0 =
me v2 + h f 0
2
hf
Impuls vor dem Stoß : p =
c
hf0
0
Impuls nach dem Stoß : p = me v +
c
Energie vor dem Stoß :
Die Energie- und Impulserhaltung führt auf das folgende Gleichungssystem:
1
me v2 + h f 0
2
hf0
= me v −
c
hf =
(5.1)
hf
c
(5.2)
Das Minuszeichen auf der rechten Seite der zweiten Gleichung erklärt sich
dadurch, dass das Photon nach Voraussetzung zurückgestreut wird, d. h. man
muss den Impuls negativ rechnen.
Eine äquivalente Umformung der Gleichungen ergibt zunächst
h · ( f − f 0) =
1
me v2
2
h
· ( f + f 0 ) = me v
c
(5.3)
(5.4)
5.4 ergibt umgeformt
v=
h
h
2h f
· ( f + f 0) ≈
·2f =
me c
me c
me c
Bei der Näherung ist man davon ausgegangen, dass sich die Frequenz bei der
Streuung nicht allzu stark ändert, so dass man f ≈ f 0 setzen kann.
Setzt man den vorigen Ausdruck für v in 5.3 ein, so ergibt sich
1
4h2 f 2 2h2 f 2
h · ( f − f 0 ) = me · 2 2 =
.
2
me c
me c2
183
5
Quantenphysik
Nun berücksichtigt man noch die Beziehung f = c und führt mehrere äquivaλ
lente Umformungen durch:
c c
2hc2
2h
− 0 =
=
2
2
λ λ
me c λ
me λ2
0
λ −λ
2h
c·
=
| λ · λ0 ≈ λ2
0
2
λ·λ
me λ
2h
c · ∆λ =
me
2h
∆λ =
me c
Zusammengefasst kann man sagen, dass die Wellenlängenänderung, die sich
bei einem rückgestreuten Photon ergibt, nichtrelativistisch den Wert m2h
anec
nimmt. Wegen der Rückstreuung ist dies die größte Wellenlängenänderung,
die beim Compton–Effekt möglich ist. Bei anderen Winkeln als θ = 180o ergeben sich kleinere Wellenlängenänderungen ∆λ, wie wir im folgenden Abschnitt in der genaueren Rechnung noch sehen werden.
Man könnte sich in diesem Zusammenhang fragen, warum der Compton–
Effekt nur an Röntgenphotonen sichtbar wird: Bei Photonen des sichtbaren
Spektrums würde sich die Wellenlängenänderung nicht bemerkbar machen,
weil sie von der Größenordnung her vernachlässigbar wäre. Das gleiche gilt
für den Stoß von Photonen auf Protonen bzw. Neutronen, die ja rein theoretisch auch für die Wellenlängenveränderung beim Compton–Effekt verantwortlich sein könnten. Dies zeigt die folgende Überlegung:
In der folgenden Tabelle sind die Massen der für das Zustandekommen des
Compton–Effekts in Frage kommenden Teilchen aufgelistet:
Teilchen
Elektron
Proton
Neutron
Photon (sichtbares Licht, λ = 600 nm)
Röntgenphoton (λ = 70 pm)
Masse
9, 109 · 10−31 kg
1, 673 · 10−27 kg
1, 675 · 10−27 kg
3, 681 · 10−36 kg
3, 155 · 10−32 kg
Beim Betrachten der Tabelle fällt auf, dass die Massen von Röntgenphotonen und Elektronen die gleiche Größenordnung besitzen. Aus der Theorie der
Stoßprozesse, die in Jahrgang 11 behandelt wurde, wissen wir, dass die Energieübertragung beim elastischen Stoß zweier Körper maximal ist (bei einem
zentralen Stoß sogar 100% beträgt), wenn die beiden Körper die gleiche Masse
haben. Stößt also ein Röntgenphoton auf ein Elektron, so gibt es auf Grund seiner vergleichbaren Masse einen beträchtlichen Teil seiner kinetischen Energie
an das Elektron ab. Der Energieverlust des Röntgenphotons resultiert in einer
184
5.3
Der Compton–Effekt
Vergrößerung seiner Wellenlänge.
Würde ein wesentlich leichteres Photon aus dem sichtbaren Spektrum (s.o.)
auf ein Elektron treffen, so wäre diese Situation von dem Massenverhältnis der
beteiligten Körper vergleichbar mit dem Stoß einer Hummel auf einen Kleinwagen. So wie die Hummel im Falle eines elastischen Stoßes wie ein Flummi
von dem PKW abprallen würde und keine messbare Energiemenge auf das
Auto übertragen könnte, könnte auch das Photon aus dem sichtbaren Spektralbereich keine wesentliche Energiemenge auf das Elektron (und damit noch
viel weniger auf Protonen bzw. Neutronen) übertragen. Damit bliebe die Wellenlänge des Lichtphotons erhalten und es käme zu keiner messbaren Wellenlängenverschiebung.
Wie soeben dargelegt wurde, macht sich die durch den Compton–Effekt hervorgerufene Wellenlängenverschiebung am stärksten bemerkbar, wenn die
Massen der am elastischen Stoß beteiligten Körper identisch sind. Man kann
also ganz leicht die Frage beantworten, bei welcher Wellenlänge der einfallenden Röntgenphotonen die (relative) Wellenlängenänderung maximal ist. Diese
Fragestellung ist wie oben erläutert äquivalent mit der Frage, für welche Wellenlänge die Röntgenphotonen die gleiche Masse wie Elektronen haben.
Für die Masse der Röntgenphotonen gilt die Formel
mPhoton =
h
.
λ·c
Gleichsetzen mit me und Umformen nach λ ergibt
me =
h
h
⇐⇒ λ =
.
λ·c
me · c
Einsetzen der Naturkonstanten ergibt λ = 2, 4 pm.
Abschließend sei noch erwähnt, dass der Ausdruck meh· c auch Compton–Wellenlänge λC genannt wird. Der genaue Wert der Compton–Wellenlänge beträgt
λC = 2, 4263 · 10−12 m.
5.3.2
Relativistische Herleitung der Compton–Formel
Im Folgenden lassen wir die Spezialisierung auf den Fall der Rückstreuung
fallen, das heißt wir betrachten den oben unteruchten Streuprozess für allgemeine Winkel θ. Außerdem setzen wir für den Impuls bzw. die Energie der
beteiligten Körper die relativistischen Beziehungen hierfür an. Da wir nun mit
allgemeinem Winkel θ rechnen, benötigen wir eine zusätzliche Vorkenntnis
aus dem Gebiet der Trigonometrie, nämlich den Kosinussatz. Dieser ist eine
Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auf allgemeine (d. h. nicht unbedingt notwendig rechtwinklige) Dreiecke und besagt, dass für die Länge
185
5
Quantenphysik
der Dreiecksseiten bei konventioneller Bezeichnung der Ecken und Seiten die
folgende Beziehung gilt:
a2 = b2 + c2 − 2bc · cos α
Man erkennt leicht, dass für den Fall α = 90o der Kosinussatz in den Satz des
Pythagoras für ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse a übergeht.
Daneben sei der besseren Übersicht halber bereits die relativistische Beziehung
für die Energie erwähnt, die wir in der nachstehenden Herleitung der Formel
für den Compton–Effekt verwenden. Diese lautet:
2
Erel
= E02 + (cp)2 ,
mit E0 = m0 c2
Der Impuls der Photonen steht mit ihrer Energie in Beziehung über die Formel
p=
E hf
= .
c
c
Der Energieerhaltungssatz liefert also relativistisch die Gleichung
q
q
2
0
0
2
2
h f + me c = h f + E0 + (cpe ) = h f + m2e c4 + c2 p2e ,
bzw. umgeformt
h f − h f 0 + me c2
2
= m2e c4 + c2 p2e .
Die Impulsvektoren vor bzw. nach
dem Stoß sind in der nebenstehenden Skizze dargestellt. In dieser Skizze erkennt man leicht den
Kosinussatz und man gelangt zu
der Gleichung
(5.5)
p ' ph
θ
p ph
p 'e
0
p2e = p2ph + p02
ph − 2p ph p ph · cos θ.
Setzt man diesen Ausdruck für p2e in 5.5 ein, so ergibt sich nach Ausquadrieren
der Klammer:
2
0
h2 f 2 + h2 f 02 + m2e c4 + 2h f me c2 − 2h f 0 me c2 − 2h2 f f 0 = m2e c4 + c2 p2ph + c2 p02
ph − 2c p ph p ph · cos θ
hf
Ersetzt man die Impulse der Photonen durch c , so erhalten wir
h2 f 2 + h2 f 02 + m2e c4 + 2h f me c2 − 2h f 0 me c2 − 2h2 f f 0 = m2e c4 + h2 f 2 + h2 f 02 − 2h2 f f 0 · cos θ.
Entledigt man sich der Terme, die auf beiden Seiten der Gleichung vorkommen und dividiert durch 2, so vereinfacht sich diese zu
h f me c2 − h f 0 me c2 − h2 f f 0 = −h2 f f 0 · cos θ.
186
5.3
Der Compton–Effekt
Die weiteren Umformungen bis zum Erhalt des gesuchten Ausdrucks für die
Wellenlängenänderung ∆λ folgen ohne weitere Kommentare:
me c2 · ( f − f 0 )
f − f0
f · f0
1 1
−
f0 f
c
c
0−
f
f
∆λ = λ − λ0
= h f f 0 · (1 − cos θ)
h
=
· (1 − cos θ)
me c2
h
=
· (1 − cos θ) | · c
me c2
h
c
=
· (1 − cos θ) | = λ
me c
f
h
=
· (1 − cos θ)
me c
Man beachte, dass wie bei der nichtrelativistischen Herleitung im vorigen Abschnitt die Compton–Wellenlänge λC = mhe c in dem Ausdruck für ∆λ auftaucht.
Für den Fall der Rückstreuung (θ = 180o ) ergibt sich cos θ = −1, ∆λ = 2λC und
damit genau der gleiche Wert, den wir im vorigen Abschnitt erhalten haben.
Die von uns erhaltene Formel für die Veränderung der Wellenlänge,
∆λ =
h
· (1 − cos θ),
me c
ist übrigens sehr gut durch Experimente bestätigt und kann zur Bestimmung
des Wirkungsquantums h dienen. Das Applet Der Compton–Effekt“ simuliert
”
die Beobachtungen, die man beim Compton–Effekt macht.
187
Quantenphysik
Außerdem ist bemerkenswert, dass in
der Formel nur die Wellenlängenänderung ∆λ, aber nicht die Wellenlänge λ
auftaucht. Das bedeutet, dass die Wellenlängenänderung von der Wellenlänge des einfallenden Photons unabhängig ist. Die Abhängigkeit der Wellenlängenänderung vom Streuwinkel wird
in der nebenstehenden Grafik veranschaulicht.
5.4
5
Wellenlängenänderung in pm
5
4
3
2
1
0
0
50
100
150
200
250
Streuwinkel in Grad
300
350
Die Welleneigenschaften von Elektronen
Im Jahre 1923 kam der französische Adlige Luois de Broglie, der zur damaligen Zeit in Physikerkreisen vollkommen unbekannt war, auf eine geniale Idee:
Wenn es möglich war, den bis dahin als Welle akzeptierten Licht auch Teilcheneigenschaften zuzuschreiben, indem man die Wellenlänge über die Formel
λ = hp mit dem Impuls dieser Photonen genannten Lichtteilchen verknüpfte,
so sprach nichts dagegen, die gleiche Formel bzw. λ = mh· v anzuwenden1 , um
massebehafteten Teilchen eine Wellenlänge zuzuordnen.
Heute sprechen wir in der Tat von der de Broglie–Wellenlänge von Teilchen, zum
Beispiel von Elektronen. Um die Welleneigenschaften von Materie, die auf diese Weise vorhergesagt worden war, ohne sie jemals vorher experimentell beobachtet zu haben, beobachten zu können, benötigte man Teilchen, deren Masse
bzw. Impuls so klein war, dass sich eine genügend große Wellenlänge ergab
(siehe obige Formel), um Interferenzerscheinungen beobachten zu können.
So ergibt sich etwa bei einem Elektron, das sich mit 500 Kilometern pro Sekunde bewegt, eine de Broglie–Wellenlänge von 1,45 nm, während ein Mensch
mit einer Masse von 70 kg, der sich bemüht, sich nicht zu bewegen, und der
trotzdem eine Zitterbewegung“ von 1 mm/s nicht vermeiden kann, eine Wel”
lenlänge von 9, 46 · 10−33 m besitzt. Hiermit sind natürlich beim besten Willen keine Beugungsexperimente möglich, da wir ja schon von früher wissen,
dass eine Beugung nur an regelmäßigen Strukturen (zum Beispiel Spalte, Gitter, usw.) möglich sind, deren Abmessungen von der gleichen Größenordnung
sind wie die Wellenlänge des zu beugenden Objektes.
Auf den ersten Blick sollte man meinen, dass es ebenfalls nicht leicht fallen
sollte, ein Beugungsgitter mit einem Spaltabstand in der Größenordnung von
1 Unter
Berücksichtigung der relativistischen
Massezunahme schnell bewegter Teilchen erq
h
v2
gibt sich die Formel λ = m0 · v · 1 − c2 .
188
5.4
Die Welleneigenschaften von Elektronen
Nanometern herzustellen, aber schon bald nach de Broglies Vorhersage2 , nämlich im Jahre 1927 gelang Davisson, Germer und G. Thomson (dem Sohn von J.
Thomson, der später noch Erwähnung finden wird) der experimentelle Nachweis der Beugung von Elektronenwellen, womit de Broglie schlagartig berühmt wurde.3
Es wäre tatsächlich schwierig gewesen, ein Beugungsgitter mit den oben genannten Abmessungen per Hand herzustellen, aber die erwähnten findigen
Köpfe machten sich zunutze, dass es in der Natur bereits Strukturen gibt, die
sich im Abstand von Nanometern regelmäßig wiederholen, und zwar bei Kristallen4 .
Wie kann man nun diese naturgegebenen Beugungsgitter ausnutzen, um Interferenzerscheinungen bei Elektronen nachzuweisen? Hierzu betrachten wir
zunächst die sogenannte Bragg–Reflexion.
5.4.1
Die Bragg’sche Reflexionsbedingung
Beschießt man einen regelmäßig gebauten Kristall mit Elektronen–, Röntgenstrahlen oder anderen Strahlen mit geeigneter Wellenlänge und variiert dabei
den Einstrahlwinkel der Strahlen, so stellt man fest, dass die Strahlen nur unter
bestimmten Winkeln vollkommen reflektiert werden. Diese besonderen Winkel nennt man Glanzwinkel. Zwischen den Glanzwinkeln gibt es auch Winkel,
bei denen die Reflexion nur schwach oder überhaupt nicht zu erkennen ist.
Um dieses Phänomen erklären zu können, betrachten wir uns zunächst den
Aufbau eines regelmäßigen Kristalls bei Einfall der Strahlen:
Der erste Wellenzug der heraustretenden Strahlen hat zum zweiten Wellenzug
den Gangunterschied 2 · s. Bei einem Gangunterschied von einem ganzzahligen Vielfachen von λ registrieren wir eine besonders kräftige Reflexion, da die
2 Strenggenommen
hatten Davisson und Kunsman bereits in den Jahren 1921–23 von Elektronenwellen hervorgerufene Interferenzerscheinungen beobachtet, aber nicht als solche erkannt.
3 Wir verweisen an dieser Stelle auf das Java–Applet Elektronenbeugung am Einzelspalt“.
”
4 Nebenbei sei bemerkt, dass es im Jahre 1961 dem Physiker
Jönsson gelang, einen Elektronenstrahl an einem (ausreichend klein dimensionierten) Doppelspalt zu beugen.
189
5
Quantenphysik
beiden Wellenzüge konstruktiv miteinander interferieren. In diesem Fall handelt es sich bei entsprechendem Winkel ϑ also um den Glanzwinkel. Ist der
Gangunterschied hingegen ein Vielfaches von λ
2 , so interferieren die austretenden Strahlen destruktiv miteinander, d. h. sie heben sich gegenseitig auf.
Für die Glanzwinkel gilt also der Zusammenhang (siehe Abbildung):
2·s = n·λ
(n ∈ IN)
Mit
sin ϑ =
s
⇐⇒ s = sin ϑ · d
d
ergibt sich insgesamt die Bragg’sche Reflexionsbedingung
2 · sin ϑ · d = n · λ
5.4.2
Das Experiment mit der Elektronenbeugungsröhre
Die Bragg–Reflexion kann nun in einem Experiment mit einer Elektronenbeugungsröhre ausgenutzt werden, um die Tatsache, dass Teilchen auch Welleneigenschaften haben können, experimentell zu beweisen.
In der Elektronenbeugungsröhre wird ein Strahl von beschleunigten Elektronen auf eine Graphitfolie geschossen. Der reflektierte Elektronenstrahl wird
auf einem Leuchtschirm (ähnlich dem Fernsehschirm bei einer Braun’schen
Röhre) sichtbar gemacht. Man erkennt, dass die reflektierten Elektronen nur in
bestimmten Bereichen auf dem Leuchtschirm auftreffen, d. h. unter bestimmten Ablenkungswinkeln, erkennbar an zwei konzentrischen Kreisen, die auf
dem Leuchtschirm entstehen (siehe Abbildung). Dies lässt sich noch mit dem
Konzept der Glanzwinkel aus dem vorhergehenden Abschnitt erklären, es handelt sich also hierbei um Interferenzmaxima. Versucht man jedoch die Tatsache, dass genau zwei Kreise zu beobachten sind, damit zu erklären, dass
es sich um das Maximum erster bzw. zweiter Ordnung handelt, so erleidet
man damit Schiffbruch. Man stellt nämlich beim Anwenden der einschlägigen
aus der Beugungstheorie bekannten Formeln fest, dass das Maximum zweiter
Ordnung (abgesehen davon, dass es deutlich schwächer sein müsste als das
Maximum erster Ordnung) außerhalb der Leuchtschicht des Schirmes liegen
müsste.
190
5.5
Das Unschärfeprinzip
0,213 n m
Die Erklärung des Vorhandenseins zweier
Maxima erster Ordnung, die beide gleich intensiv sind, liegt in der Struktur der Graphitkristalle begründet (siehe nebenstehende Skizze). Durch die Graphitkristalle las- 0,123 n m
sen sich nämlich auf zwei verschiedene Weisen parallele Netzebenen legen, für die sich
eine jeweils unterschiedliche Gitterkonstante ergibt. Aus diesem Grunde erhält man
auch zwei Interferenzmaxima für unterschiedliche Glanzwinkel.
Ein weiterer Effekt, den man mit Hilfe der oben abgebildeten Versuchsapparatur erzeugen kann, besteht darin, dass die beiden beobachtbaren Ringe auf
dem Leuchtschirm kleiner werden, wenn man die Beschleunigungsspannung
vergrößert. Dies lässt sich ebenfalls leicht verständlich erklären:
Wenn man die Beschleunigungsspannung vergrößert, so werden die Elektronen schneller und ihr Impuls vergrößert sich dementsprechend. Ein größerer
Impuls bedeutet jedoch nach der Formel λ = hp , dass die de Broglie–Wellenlänge
der Elektronen kleiner wird. Setzt man nun das kleinere λ in die Bragg’sche
Reflexionsbedingung 2d · sin θn = n · λ ein, so erkennt man, dass sich mit der
Wellenlänge auch die Glanzwinkel verkleinern (weil sin θn kleiner wird), und
damit auch der Radius der beobachtbaren Kreise.
5.5
5.5.1
Das Unschärfeprinzip
Das Phänomen der akustischen Unschärfe
Aus der Akustik bekannt ist das Phänomen der Schwebung: Wenn man zwei
Stimmgabeln anschlägt, die leicht gegeneinander verstimmt sind, die also eine
leicht unterschiedliche Frequenz haben, hört man einen Ton, der in gleichmäßigen Abständen in der Lautstärke abnimmt und wieder anschwillt. Die Frequenz, mit der sich Lautstärkeminima und -maxima abwechseln, nennt man
Schwebungsfrequenz. Diese ist identisch mit der Differenz der beiden Frequenzen der Stimmgabeln:
fSchwebung = f2 − f1 = ∆ f
Die Schwebung entsteht schlicht und ergreifend aus der Überlagerung (Superposition) der beiden Schallwellen, die von den Stimmgabeln emittiert werden.
Man kann sich das Lauter- und Leiserwerden des Tones mathematisch veranschaulichen, indem man mit Hilfe eines Funktionenplotters die beiden Graphen zweier Sinusfunktionen addiert, die gleiche Amplitude und eine leicht
unterschiedliche Periode haben, z. B.
s1 (t) = 2 · sin (2π · f1 · t)
und
s2 (t) = 2 · sin (2π · f2 · t) ,
191
5
Quantenphysik
4
4
3
3
Intensität/Lautstärke
Intensität/Lautstärke
mit f1 = 100 Hz und f2 = 90 Hz. In der nachfolgenden Abbildung finden wir
diese beiden Graphen links bzw. rechts:
2
1
0
-1
-2
-3
-4
2
1
0
-1
-2
-3
0
0.02
0.04
0.06
Zeit in s
4
0.08
0.1
-4
0
0.02
0.04
0.06
Zeit in s
0.08
0.1
Intensität/Lautstärke
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
0.05
0.1
Zeit in s
0.15
0.2
15
15
10
10
Intensität/Lautstärke
Intensität/Lautstärke
Unter den beiden Graphen der Einzelschwingungen ist die resultierende Schwingung abgebildet, die sich ergibt, wenn man s1 und s2 addiert, d. h. die Schallwellen der beiden Stimmgabeln überlagert. Man sieht ganz deutlich, wie die
Amplitude der Resultierenden zwischen den Werten 0 und 4 schwankt. Im
Lautstärkeminimum der Schwebung löschen sich die beiden Einzelwellen gegenseitig durch destruktive Interferenz aus, im Lautstärkemaximum addieren
sich die beiden Amplituden (konstruktive Interferenz).
Eine interessante Beobachtung ergibt sich, wenn man die Anzahl der Stimmgabeln erhöht. Die linke Abbildung zeigt drei Stimmgabeln mit einer Frequenz
von 90, 95 und 100 Hertz, die alle gleichzeitig angeschlagen werden. Die rechte Abbildung zeigt die resultierende Schallwelle bei sechs Stimmgabeln mit
einem jeweiligen Frequenzunterschied von 2 Hertz.
5
0
-5
-10
-15
5
0
-5
-10
0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Zeit in s
-15
0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Zeit in s
Es ergibt sich also, dass zu bestimmten Zeitpunkten Wellenzüge mit besonders hoher Intensität entstehen, dazwischen liegen Momente, wo kaum eine
192
5.5
Das Unschärfeprinzip
Wellenbewegung stattfindet. Je mehr Stimmgabeln an der Erzeugung der Gesamtwelle beteiligt sind, desto länger ist der zeitliche Abstand zwischen zwei
solchen Wellenpaketen. Man kann sich also leicht vorstellen, dass nur noch ein
einziges Wellenpaket erzeugt wird, wenn man unendlich viele Stimmgabeln
bzw. Erregerzentren überlagert.
25
25
20
20
20
15
15
15
10
5
0
-5
-10
10
5
0
-5
-10
-15
-15
-20
-20
-25
0
0.05
0.1
Zeit in s
0.15
0.2
∆ f = 10 Hz; ∆t = 0, 05 s
Intensität/Lautstärke
25
Intensität/Lautstärke
Intensität/Lautstärke
Ein weiterer interessanter Effekt ergibt sich, wenn man das Frequenzintervall,
aus dem die verschiedenen Töne stammen, verändert. In der ersten Abbildung
wurden unendlich viele Erreger5 , deren Frequenz aus dem Intervall [90;100]
Hertz stammt, überlagert, in der zweiten Abbildung handelt es sich um das
Intervall [95;105] Hertz, die dritte Abbildung zeigt das Intervall [98;102] Hertz.
-25
10
5
0
-5
-10
-15
-20
0
0.05
0.1
Zeit in s
0.15
0.2
∆ f = 5 Hz; ∆t = 0, 10 s
-25
0
0.05
0.1
Zeit in s
0.15
0.2
∆ f = 2 Hz; ∆t = 0, 25 s
Wie man sieht, wird das Wellenpaket zeitlich umso länger, je kleiner das betreffende Frequenzintervall ist. Multipliziert man die Frequenzunschärfe, d. h.
die Variationsbreite der Frequenz, mit der Zeitunschärfe, d. h. der zeitlichen
Dauer, bis das Wellenpaket verklungen ist, so stellt man fest, dass man in allen
Fällen den Wert 0,5 erhält:
∆ f · ∆t =
1
2
Die letzte Gleichung nennt man akustische Unschärferelation. Ihre Allgemeingültigkeit lässt sich mathematisch begründen:
Wir gehen zunächst von fünf Stimmgabeln aus, deren Frequenzen gleichmäßig
über ein bestimmtes Intervall verteilt sind. Die sinusförmige Schwingung der
Schallwellen lässt sich mit der kreisförmigen Bewegung eines Uhrzeigers vergleichen: Bei voller Auslenkung steht der Zeiger auf zwölf, bei voller negativer
Auslenkung auf sechs Uhr. Die Geschwindigkeit, mit der sich die fünf Zeiger
der Stimmgabeln drehen, ist unterschiedlich, und zwar genau in dem Maße,
wie die Frequenz der Stimmgabeln unterschiedlich ist.
5 aus
praktischen Gründen zeigt die Abbildung genaugenommen den Wellenzug für elf Erreger
193
5
Quantenphysik
Wenn wir nun den Zeitpunkt suchen, wann die resultierende Auslenkung bei Überlagerung der fünf
72°
Einzelauslenkungen minimal, also gleich Null ist,
so suchen wir den Moment, wann fünf Vektoren,
deren Richtungen sich jeweils um einen bestimmten Winkel unterscheiden, zusammen addiert den
72°
Nullvektor ergeben. Wie die nebenstehende Abbildung zeigt, ist dies dann der Fall, wenn der Winkel gleich 360o : 5 = 72o beträgt.
Wir suchen nun einen Ausdruck für den Zeitpunkt ∆t, wann die resultierende
Auslenkung gleich Null ist. Hierzu schreiben wir zunächst die Gleichungen
für die Auslenkung zweier frequenzmäßig benachbarter Stimmgabeln auf:
s1 (t) = smax · sin(ω1 · t) = smax · sin(2π · f1 · t)
sowie
s2 (t) = smax · sin(ω2 · t) = smax · sin(2π · f2 · t)
Wir setzen hierbei und in Zukunft voraus, dass die einzelnen Stimmgabeln eine gleich große Amplitude haben. Da die zweite Stimmgabel wie oben gesagt
von der Frequenz her zur ersten benachbart ist, gilt für ihre Frequenz
f2 = f1 +
2∆ f
.
4
Damit erhalten wir für die Auslenkung der zweiten Stimmgabel den Ausdruck
2·∆f
4π · ∆ f
s2 (t) = smax · sin 2π · f1 +
· t = smax · sin 2π · f1 · t +
·t
4
4
Handelt es sich an Stelle von 5 Stimmgabeln um n Stück, so lautet die allgemeine Gleichung
2·∆f
4π · ∆ f
s2 (t) = smax · sin 2π · f1 +
· t = smax · sin 2π · f1 · t +
·t .
n−1
n−1
Vergleicht man die Ausdrücke für s1 und s2 , so stellt man fest, dass der zweite
Summand in der Klammer lediglich eine additive Konstante darstellt, die die
f
Bedeutung einer Phasenverschiebung hat, d. h. der Term 4π·∆
n−1 · t gibt an, um
welchen Winkel die beiden Vektoren (nach der obigen Sprechweise die Zei”
ger“ ) gegeneinander verdreht sind.
Weiter oben hatten wir gesagt, dass das Minimum bei fünf Erregerzentren
dann entsteht, wenn die Phasenverschiebung 360o : 5 beträgt, im Bogenmaß
also bei 2π
5 . Bei n Erregern entsteht das Minimum also, wenn die Bedingung
4π · ∆ f
2π
· ∆t =
n−1
n
194
5.5
Das Unschärfeprinzip
erfüllt ist. ∆t ist hierbei der genaue Zeitpunkt, zu dem das Minimum entsteht
(siehe die obigen Abbildungen). Die obige Gleichung wird nun umgeformt zu
n
· 4π · ∆ f · ∆t = 2π.
n−1
Da es bei der akustischen Unschärferelation um die Verhältnisse in einem einzigen Wellenpaket geht, muss man in der letzten Gleichung von unendlich
vielen Erregerzentren ausgehen, weil, wie wir mit Hilfe der drei Abbildungen
oben gesehen haben, nur unendlich viele Erreger ein einzelnes Wellenpaket
erzeugen.
Lässt man also n gegen unendlich gehen, vereinfacht sich die letzte Gleichung
n
wegen limn→∞ n−1
= 1 zu
4π · ∆ f · ∆t = 2π,
nach Division durch 4π erhält man die zu beweisende akustische Unschärferelation
∆ f · ∆t =
5.5.2
1
2
Heisenbergs Unschärferelation
Die akustische Unschärferelation lässt sich nun recht einfach auf die quantenmechanischen Messgrößen übertragen. So ergibt sich zum Beispiel für die vom
Photoeffekt her bekannte Gleichung W = h · f folgende Überlegung:
Da man die Frequenz von Photonen nur ungenau bestimmen kann (Ungenauigkeiten in der Messapparatur usw.), dann ergibt sich daraus automatisch eine
Ungenauigkeit in der Bestimmung ihrer Energie, und zwar gilt:
∆W = h · ∆ f
Da auf Grund der akustischen Unschärferelation außerdem immer ∆ f · ∆t = 21
gelten muss, kann man in der obigen Gleichung für ∆ f einsetzen und man
erhält schließlich insgesamt
h
∆W · ∆t = .
2
Diese Gleichung ist noch relativ schwierig in ihrer Bedeutung zu interpretieren. Interessanter und auch wichtiger ist die folgende Überlegung:
Für den Impuls eines quantenmechanischen Teilchens gilt die Formel
p=
h
· f.
c
Auch hier spielt wieder die Frequenz eine Rolle, so dass sich aus einer Unsicherheit in der Bestimmung des Impulses (∆p) automatisch eine Unschärfe
195
5
Quantenphysik
der Frequenz (und damit auch der de Broglie–Wellenlänge) ergibt, die man
diesem Quant zuordnen könnte:
∆p =
h
·∆f
c
Diese Gleichung lässt sich mit Hilfe der akustischen Unschärferelation nun
weiter umformen:
∆p =
h
∆x
∆t
·∆f
h · ∆t
·∆f
∆x
h 1
=
·
∆x 2
=
Insgesamt ergibt sich nach einer Termumstellung die Heisenberg’sche Unschärferelation
h
∆p · ∆x ≥ ,
2
die in ihrer Form der akustischen Unschärferelation ähnelt, die aber auf Grund
der anderen Variablen eine andere Interpretation erfahren muss. Diese Ungleichung wurde im Jahre 1927 von Werner Heisenberg erstmals aufgestellt und
besagt in Alltagssprache folgendes:
Man kann den Ort und den Impuls (und damit auch die Geschwindigkeit)
eines Quants niemals gleichzeitig mit absoluter Genauigkeit bestimmen,
selbst dann nicht, wenn man für beide Größen hundertprozentig genaue
Messapparaturen zur Verfügung hätte. Es liegt in der Natur der Quanten,
dass sie entweder verwischen (also ortsunscharf) werden, wenn man ihren
Impuls genauer bestimmt, oder dass ihr Impuls nur noch ungenauer zu bestimmen ist, wenn man versucht, ihren Ort zu einem bestimmten Zeitpunkt
möglichst genau zu messen.
(Heisenberg’sches Unschärfeprinzip)
Die Heisenberg’sche Unschärferelation findet man in unterschiedlichen Quellen in verschiedener Form, so zum Beispiel auch als
∆p · ∆x ≥
h
.
4π
Diese Form hängt davon ab, unter welchen Grundannahmen die Ungleichung
hergeleitet wurde. Das oben verbalisierte Heisenberg’sche Unschärfeprinzip
bleibt davon aber unberührt.
Zum besseren Verständnis soll hier noch ein Beispiel aus dem Alltag angeführt
196
5.5
Das Unschärfeprinzip
werden. Dieses Phänomen hat zwar mit dem Heisenberg’schen Unschärfeprinzip nichts zu tun, weil es sich hierbei nicht um Quantenobjekte handelt,
es soll jedoch das Dilemma verdeutlichen, in dem ein Quantenphysiker im
Umgang mit Mikroobjekten steckt:
Wenn man einen rollenden Ball mit einer Fotokamera aufnimmt, hat man die
Wahl zwischen zwei Einstellungen: Entweder man fotografiert mit einer kurzen Belichtungszeit, was zur Folge hat, dass der Ball scharf abgebildet wird,
weshalb man eine genaue Aussage über seinen Ort zum Aufnahmezeitpunkt
machen kann. Im Gegenzug kann man jedoch nichts über die Geschwindigkeit des Balles sagen, denn er könnte genausogut an diesem Ort in Ruhe gelegen haben. Die zweite Möglichkeit ist die Wahl einer langen Belichtungsdauer.
Dann kann man zwar auf Grund der Länge der Spur auf dem Bild Schlussfolgerungen über die Geschwindigkeit des Balles ziehen, aber das Bild des Balles
wird verschwommen und man kann keine genaue Aussage mehr über den Ort
des Balles machen.
Zum Abschluss soll noch einmal betont werden, dass das Heisenberg’sche
Unschärfeprinzip nur für Mikroobjekte von Bedeutung ist und daher in unserer Alltagswelt zwar nicht ungültig, aber unauffällig ist. Dies liegt daran,
dass das Produkt der Orts- und Impulsunschärfe eine winzig kleine Zahl ist
(ca. 10−34 Js). Nur bei Teilchen mit einer winzig kleinen Masse kann ∆p so klein
werden, dass für ∆x eine Größe herauskommt, die nicht vernachlässigbar und
auch noch merkbar für den Beobachter ist.
Der Leser kann ja einmal zu Übungszwecken ausrechnen, wie groß seine Ortsunschärfe ist, wenn er auf seinem Stuhl sitzt und seine Geschwindigkeit bis auf
1 mm
s genau angeben kann. Er wird feststellen, dass sein Ort mit einer so großen
Genauigkeit angegeben werden kann, dass man selbst mit den genauesten
Messgeräten, geschweige denn mit dem bloßen Auge, nicht feststellen könnte,
dass er in Wirklichkeit einen leicht verschwommenen Umriss hat.
In dem Buch von G. G AMOV, das im Literaturverzeichnis zu finden ist, wird
das fiktive Bild einer Welt entworfen, in der für das Wirkungsquantum h ein
drastisch erhöhter Wert gilt. Die Konsequenzen für das alltägliche Leben wären
in der Tat beachtlich. G AMOV schildert eine Safari im Quantendschungel“, in
”
der der Ort der Tiger so stark verschmiert“ ist, dass die Jäger nicht wissen,
”
wohin sie zielen sollen.
5.5.3
Neuinterpretation der Beugung von Quanten
Die Heisenberg’sche Unschärferelation ermöglicht eine neuartige Erklärung
des Phänomens der Beugung von Quantenobjekten an genügend klein dimensionierten Spalten:
197
5
Quantenphysik
Die beiden Abbildungen machen deutlich, warum Quantenobjekte (z. B. Elektronen, Photonen) beim Durchqueren von Spalten gebeugt werden:
∆x
∆x
p v orh er
p v orh er
S p a lt
∆p
S p a lt
∆p
p n ach h er = ?
p n ach h er = ?
S ch irm
S ch irm
Wenn man den Spalt enger macht, legt man damit den Ort des Quants mit
einer größeren Genauigkeit fest, denn das Teilchen muss ja den Spalt passiert
haben, um auf dem Leuchtschirm nachgewiesen zu werden. Damit ist also
∆x verkleinert worden. Der Effekt, den wir bei den diversen Beugungsexperimenten beobachtet haben, ist nun, dass bei engerem Spalt das Interferenzmuster breiter wird6 . Das bedeutet, dass die Bewegungsrichtung der Quanten
nach Durchquerung des Spaltes nicht mehr so genau angegeben werden kann
wie vorher, das heißt, dass bei engerem Spalt und damit kleinerem ∆x die Impulsunschärfe ∆p größer geworden ist, wie es das Heisenberg’sche Unschärfeprinzip ja auch verlangt.
Dieses Phänomen kann auch mit Hilfe des Java–Applets Elektronenbeugung
”
am Einzelspalt“, näher betrachtet werden.
6 Hierzu
198
siehe auch noch einmal das Java–Applet Beugung am Einzelspalt“.
”