5.4 Die Welleneigenschaften von Elektronen
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Inhaltsverzeichnis Verzeichnis der Java–Applets 9 Vorwort und Danksagungen 11 1 Elektromagnetismus 13 1.1 13 13 13 15 17 18 18 20 1.2 Elektrizitätslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Der Begriff der Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Der Begriff des elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Die elektrische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Die elektrische Stromstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Der Zusammenhang von Ladung und Stromstärke . . . 1.1.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7 Das Phänomen der elektrischen Influenz . . . . . . . . . 1.1.8 Der Zusammenhang von Energie, Arbeit, Kraft und Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.9 Klausur Nr. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.10 Musterlösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.11 Die Kapazität eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . 1.1.12 Einfluss von Dielektrika auf elektrische Felder . . . . . . 1.1.13 Das Coulomb–Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.14 Arbeit, Energie und Leistung im homogenen elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.15 Bewegung elektrisch geladener Teilchen im homogenen elektrisch geladenen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Eigenschaften von Magnetfeldern . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Definition der magnetischen Flussdichte . . . . . . . . . 1.2.3 Die Lorentzkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Exkurs: Vektorielle Darstellung von physikalischen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Bewegung geladener Teilchen im Magnetfeld . . . . . . 1.2.6 Teilchenbeschleuniger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Klausur Nr. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 24 26 36 37 38 39 41 46 46 47 50 52 54 57 61 1 Inhaltsverzeichnis 1.3 1.4 2 Schwingungen 2.1 2.2 2.3 2.4 3 Mechanische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Gedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Gekoppelte Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Erzwungene Schwingungen — Resonanz . . . . . . . . . Klausur Nr. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Musterlösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektromagnetische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Der Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Ungedämpfte elektromagnetische Schwingungen . . . . 2.4.3 Die Differentialgleichung für die ungedämpfte elektromagnetische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Analogie Schwingkreis — Federpendel . . . . . . . . . . 2.4.5 Gedämpfte elektromagnetische Schwingungen . . . . . . 2.4.6 Mathematischer Exkurs: Exponentialfunktionen . . . . . 2.4.7 Zur Lösung der Differentialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung . . . . . . . . . . . . . Wellen 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 2 1.2.8 Musterlösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.9 Der Hall–Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.10 Das Magnetfeld einer langen Spule . . . . . . . . . . . . Die elektrische Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Erster Grundversuch zur Induktion . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Zweiter Grundversuch zur Induktion . . . . . . . . . . . 1.3.3 Zusammenfassung und Verallgemeinerung der beiden Grundversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Warum das Minuszeichen in der Formel für Uind ? . . . . 1.3.5 Beispielaufgaben zum Induktionsgesetz . . . . . . . . . . 1.3.6 Praktische Anwendung der Induktion . . . . . . . . . . . Die Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Das Phänomen der Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Berechnung der Induktivität einer Spule . . . . . . . . . 1.4.3 Wie viel Energie ist im magnetischen Feld gespeichert? . 64 71 73 74 74 75 76 77 80 82 83 83 84 85 89 89 89 90 100 101 102 105 109 114 114 115 117 118 120 122 124 127 Mechanische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.1.1 Beschreibende Grundgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Herleitung der Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Mathematische Beschreibung stehender Wellen . . . . . . . . . . 131 Typische Phänomene bei Wellen — Versuche in der Wellenwanne 133 Inhaltsverzeichnis 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4 3.6 3.7 3.8 4 Optik 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 5 Das Huygens’sche Prinzip / Beugung am Spalt . . . . . 133 Beugung und Interferenz am Doppelspalt . . . . . . . . . 135 Wie kommen Interferenzminima und –maxima zustande? 135 Wie kommt es überhaupt, dass es Stellen gibt, an denen immer Maxima bzw. Minima entstehen? . . . . . . . . . 136 3.5.5 Wo entstehen die Interferenzmaxima bzw. –minima beim Doppelspalt? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Der DOPPLER–Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 3.6.1 Der akustische DOPPLER–Effekt . . . . . . . . . . . . . . 141 3.6.2 Der optische DOPPLER–Effekt . . . . . . . . . . . . . . . 142 Klausur Nr. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Musterlösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Historische Entwicklung der Modellvorstellungen vom Licht Interferenz durch Beugung am Doppelspalt . . . . . . . . . . . Interferenz durch Beugung des Lichtes am Gitter . . . . . . . . Das Auflösungsvermögen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Das Auflösungsvermögen beim menschlichen Auge . . 4.4.2 Das Auflösungsvermögen beim Linsenfernrohr . . . . 4.4.3 Das Auflösungsvermögen beim Mikroskop . . . . . . . Interferenzen an dünnen Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Newton–Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Interferenzen an planparallelen dünnen Schichten . . . 157 . . . . . . . . . . Quantenphysik 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 Der Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Entstehung von Röntgenbremsstrahlung . . . . . . . . . . Der Compton–Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Nichtrelativistische Abschätzung des Compton–Effekts 5.3.2 Relativistische Herleitung der Compton–Formel . . . . Die Welleneigenschaften von Elektronen . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Die Bragg’sche Reflexionsbedingung . . . . . . . . . . 5.4.2 Das Experiment mit der Elektronenbeugungsröhre . . Das Unschärfeprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Das Phänomen der akustischen Unschärfe . . . . . . . 5.5.2 Heisenbergs Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Neuinterpretation der Beugung von Quanten . . . . . Klausur Nr. 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Musterlösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 161 163 164 168 169 169 170 170 173 175 . . . . . . . . . . . . . . . 175 178 181 182 182 185 188 189 190 191 191 195 197 199 204 3 Inhaltsverzeichnis 6 Atomphysik 213 6.1 6.2 213 Antike Vorstellungen vom Aufbau der Materie . . . . . . . . . . Die Geburtsstunde der Chemie: Neuformulierung der antiken Atomtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Das Rosinenkuchenmodell von J. J. Thomson . . . . . . . . . . . 6.4 Das Planetenmodell“ von E. Rutherford . . . . . . . . . . . . . ” 6.5 Das Schalenmodell“ von N. Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . ” 6.5.1 Der Franck–Hertz–Versuch als Stütze für das Schalenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Welche weiteren Phänomene konnten erklärt werden? . 6.5.3 Exkurs: Berechnung der potentiellen Energie in zentralen Kraftfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.4 Berechnungen für das Wasserstoffatom . . . . . . . . . . 6.5.5 Grenzen des Bohr’schen Atommodells . . . . . . . . . . 6.6 Erweiterung zum Bohr–Sommerfeld–Modell . . . . . . . . . . . 6.6.1 Die Quantenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Die Verteilung der Elektronen in der Hülle . . . . . . . . 6.6.3 Grenzen und Probleme des Atommodells von Bohr und Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Klausur Nr. 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Musterlösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Von den halbklassischen zum modernen quantenmechanischen Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.1 Zur historischen Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.2 Die Born’sche Interpretation der Wellenfunktion . . . . . 6.9.3 Das Potentialtopfmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.4 Anwendungen des Potentialtopfmodells . . . . . . . . . 6.9.5 Die Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10 Feynman’s Perspektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11 Der Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11.1 Was ist ein Laser? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11.2 Wie erzeugt ein Laser ein Lichtbündel“ ? . . . . . . . . . ” 6.11.3 So schaukelt sich der Laser selbst auf . . . . . . . . . . . 6.11.4 Die Entwicklung des Lasers: Vom Maser zum Laser . . . 6.11.5 Der erste Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11.6 Die verschiedenen Laserarten . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11.7 Detaillierte Beschreibung des He–Ne–Lasers . . . . . . . 6.11.8 Eigenschaften des Laserlichtes . . . . . . . . . . . . . . . 6.11.9 Holographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 216 219 220 223 225 227 229 231 235 236 237 242 243 244 250 261 261 262 262 264 266 268 269 273 273 273 274 275 276 276 278 280 280 Inhaltsverzeichnis Anhang 289 A Naturkonstanten 289 B Lesenswerte Literatur — eine subjektive, unvollständige Liste B.1 B.2 B.3 B.4 Populäre Darstellungen fachphysikalischer Gebiete Historisches und Biographisches . . . . . . . . . . . Philosophisches, Wissenschaftstheorie . . . . . . . . Literarisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 292 293 294 C H. R. Pagels: Cosmic Code 295 D E. Segrè: Endlich eine richtige Quantenmechanik 327 E H. C. v. Baeyer: Fermis Lösung 351 F J. D. Watson: Die Doppelhelix 357 G J. Trefil: Physik in der Berghütte 361 Index 377 174 5 Quantenphysik 5.1 Der Photoeffekt Bestrahlt man bestimmte Materialien mit Licht, so werden aus diesem Stoff je nach Eigenschaft des Lichtes Elektronen herausgelöst. Dieses Phänomen wird deutlich in dem folgenden Versuch 1: Z in kp latte _ + U V -L am p e E lektro sko p Eine Zinkplatte befindet sich in Kontakt mit einem Elektroskop und ist zusätzlich mit dem Minuspol einer Hochspannungsquelle verbunden. Das Elektroskop zeigt also einen bestimmten, gleichbleibenden Ausschlag. Nun bestrahlen wir diese Zinkplatte mit dem Licht einer UV–Lampe. Wir beobachten, dass der Ausschlag des Elektroskops schlagartig auf Null absinkt. Es werden also während der Bestrahlung mit dem UV–Licht Elektronen aus der Zinkplatte herausgelöst. Beim Abschalten der UV–Lampe stellen wir sofort den gleichen Ausschlag auf dem Elektroskop fest wie vor Einschalten des Lichtes. Schlussfolgerung: Das UV–Licht ist also in der Lage, aus einer Zinkplatte Elektronen zu lösen. Das Licht transportiert also Energie, die dazu verwendet“ ” wird, die Elektronen gegen die Anziehung des Kerns abzulösen. Dass Gleiches nicht für Protonen gilt, kann mit dem gleichen Versuch und dem Anschluss der Zinkplatte an den Pluspol der Hochspannungsquelle bewiesen 175 5 Quantenphysik werden. Es zeigt sich nach Einschalten des Lichtes keine Änderung des Ausschlages des Elektroskops. Wenn wir bisher davon ausgegangen sind, dass Licht eine Welle ist, so müsste man aufgrund der Welleneigenschaften sagen können, dass es egal ist, welches Licht man verwendet. Man müsste nur die Intensität des Lichtes so lange steigern, bis die Wellen des Lichtes die entsprechend hohe Energie besitzen, um die Elektronen aus den Atomen zu lösen, da die Energie einer Welle proportional zur Intensität ist. Diese These kann jedoch nicht für Licht zutreffen, was entsprechende Experimente mit verschiedenen Lichtquellen in Versuch 1 zeigen. Licht kann also nicht einfach als Welle angesehen werden. E INSTEIN fand im Jahre 1905 eine Lösung für dieses Problem: Licht lässt sich in einer endlichen Zahl von sogenannten Energiequanten (Photonen) lokalisieren. Licht verhält sich wie ein Strom von Teilchen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen und unteilbar sind. Jedes einzelne Photon von monochromatischem, also einfarbigem Licht, hat laut E INSTEIN die Energie W = h· f. Diese Gleichung begründet die experimentell erhaltenen Ergebnisse. Es ist also nicht die Intensität, welche proportional zur Energie des Lichtes ist, sondern die Frequenz. Eine Erhöhung der Intensität bewirkt lediglich eine Erhöhung der Zahl der Quanten, die in einem bestimmten Zeitabschnitt eine bestimmte Fläche durchdringen, nicht aber die Energie der einzelnen Quanten. In der obigen Gleichung bedeutet h = 6, 626 · 10−34 Js eine Naturkonstante, das sogenannte P LANCK’sche Wirkungsquantum. Zur Bestimmung der kinetischen Energie der herausgelösten Elektronen betrachten wir nun die sogenannte Gegenfeldmethode: Versuch 2: R in g an o d e P h o to kath o d e L am p e F arb filter _ + UG 176 5.1 Der Photoeffekt Die Photokathode wird mit einem bestimmten Material beschichtet, aus dem sich auf Grund des Photoeffekts Elektronen herauslösen lassen. Nun bestrahlen wir die Kathode mit Licht. Hat das Licht ausreichend Energie, also eine ausreichend hohe Frequenz, so lösen sich Elektronen aus der Kathode und werden von der Ringanode angezogen. Um nun die kinetische Energie zu bestimmen, legen wir eine variable Gegenspannung UG an, welche wir so lange erhöhen, bis keine Elektronen mehr die Ringanode erreichen. Die entsprechende Gegenspannung gibt uns nun nach der Formel Wkin = e ·UG die kinetische Energie der Elektronen an. Dieses Experiment führen wir unter Austausch des Farbfilters mehrmals durch. Die Farbfilter bewirken eine Veränderung der Frequenz des Lichtes. Wir erhalten für verschiedene Frequenzen verschiedene kinetische Energien. Erhöhen wir jetzt die Intensität des Lichtes, so lässt sich beobachten, dass die kinetische Energie der herausgelösten Elektronen nicht wächst, es werden lediglich mehr Elektronen aus der Kathode ausgelöst. Trägt man die Gegenspannung Umax , bei der der Photostrom auf Null zurückgegangen ist, gegen die Frequenz f des Lichtes auf, mit dem die Photokathode bestrahlt wurde, so erhält man angenähert eine Gerade. Dies lässt sich folgendermaßen erklären: Der Photoeffekt kann energetisch durch die Gleichung Emax = h f −Wa beschrieben werden. In Worten ausgedrückt: Die maximale kinetische Energie der ausgelösten Photoelektronen lässt sich berechnen als die Differenz der Energie eines einzelnen Photons und der für die Ablösung des Elektrons benötigten Energiemenge (Ionisierungsenergie). Dividiert man diese Gleichung auf beiden Seiten durch die Elektronenladung e, so erhält man den Zusammenhang Umax ( f ) = h · f −Ua . e Umax ( f ) ist also eine Funktion, die linear von der Variablen f abhängt. Man kann also durch die im Koordinatensystem eingetragenen Messwerte eine ausgleichende Gerade legen und dann deren Steigung berechnen. Da die Steigung aber nach der obigen linearen Funktionsgleichung mit dem Quotienten h identisch ist, kann man abschließend h ermitteln, indem man die aus der e Ausgleichsgeraden erhaltene Steigung mit e multipliziert. 177 5 Quantenphysik Das Applet Photoeffekt I“ ermöglicht eine virtuelle Durchführung des Expe” rimentes zum Photoeffekt. Alternativ gibt es noch ein weiteres Applet, Photoeffekt II“, mit dem man das ” Experiment simulieren kann. 5.1.1 Zusammenfassung I — Unvereinbarkeit des Photoeffektes mit dem Wellenmodell des Lichts Folgende Erscheinungen beim Photoeffekt widersprechen der Vorstellung von Licht als elektromagnetischer Welle: 1. Die Existenz einer unteren Grenzfrequenz bzw. oberen Grenzwellenlänge, ab der der Photostrom einsetzt. 2. Die Unabhängigkeit der kinetischen Energie der herausgelösten Elektronen von der Intensität des verwendeten Lichts. 178 5.1 Der Photoeffekt 3. Der Photostrom setzt — Licht geeigneter Frequenz vorausgesetzt — trägheitslos, d. h. unmittelbar nach Lichteinfall ein. Die obigen Erscheinungen werden durch folgende Versuche bestätigt: zu 1. Bestrahlt man eine Photokathode mit Licht verschiedener Wellenlängen, so werden Elektronen nur durch Licht mit einer Frequenz, die größer ist als die vom Material der Photokathode abhängige Grenzfrequenz, herausgelöst. zu 2. Mit Hilfe der sog. Gegenfeldmethode kann man die maximale kinetische Energie der herausgelösten Photoelektronen bestimmen. Die zugehörige Gegenspannung Umax bleibt unverändert, auch wenn man die Intensität des einfallenden Lichts, z. B. durch Verbreiterung eines im Lichtstrahl stehenden Spaltes oder Verringerung des Abstandes der Lichtquelle, vergrößert. Die Existenz einer für das Abbremsen der Photoelektronen erforderlichen frequenzabhängigen Gegenspannung Umax deutet darauf hin, dass die herausgelösten Elektronen eine kinetische Energie besitzen, die je nach verwendeter Lichtfrequenz einen gewissen Höchstwert nicht überschreitet. Wie oben angedeutet, hängt dieser Höchstwert jedoch in keiner Weise von der verwendeten Lichtintensität ab! zu 3. Wird die Photokathode mit einer periodischen Folge von (geeigneten) Lichtblitzen bestrahlt, so folgt der Photostrom augenblicklich dem Pulsrhythmus der Lichtblitze, d. h. der Photostrom setzt in einer unmessbar kurzen Zeit nach Lichteinfall ein. Warum widersprechen die obigen Erscheinungen dem Wellenmodell des Lichtes? zu 1. Zur Auslösung eines Elektrons wird eine bestimmte Energie, die Austritts- oder Ablöseenergie, benötigt. Nach der Wellenvorstellung vom Licht ist dessen Energiedichte proportional zur Lichtintensität bzw. zum Quadrat der maximalen elektrischen Feldstärke der Lichtwelle. Die Auslösung von Elektronen könnte man sich damit so vorstellen, dass die Elektronen in dem schwingenden elektrischen Feld eine der Feldstärke proportionale Kraft erfahren und so zum Mitschwingen angeregt werden. Dabei nehmen sie aus dem Feld Energie auf und können, wenn sie genügend Energie angesammelt“ haben, das Metall verlassen. ” Bei einer Erhöhung der Intensität müssten also bei jeder beliebigen Frequenz irgendwann Elektronen ausgelöst werden. Dass dies bei Frequenzen unterhalb der Grenzfrequenz nicht der Fall ist, lässt sich im Rahmen der Vorstellung vom Licht als einer elektromagnetischen Welle nicht verstehen. 179 5 Quantenphysik zu 2. Wie bereits erläutert, würde man durch eine Erhöhung der Lichtintensität die zur Verfügung stehende Energie vergrößern. Demgemäß müssten die schnellsten ausgelösten Elektronen noch schneller werden, d. h. die Gegenspannung Umax würde sich erhöhen. Dies ist aber im Widerspruch zu diesem Erklärungsversuch nicht der Fall. zu 3. Die in der Erläuterung zu Punkt 1. erwähnte Ansammlung“ von Ener” gie würde, insbesondere bei geringen Lichtintensitäten, bedeuten, dass es eine gewisse Zeit in Anspruch nehmen würde, bis ein Elektron genügend Energie zum Verlassen der Metalloberfläche besitzt. So kann man zum Beispiel durch Berechnungen zeigen, dass es bei einer 100 W–Glühlampe, die aus einem Meter Entfernung eine Caesium–Photoschicht bestrahlt, eine knappe Stunde dauern würde, bis ein (!) Elektron genügend Energie zum Verlassen der Caesiumkathode angesammelt hätte! Hier ergibt sich also ein weiterer Widerspruch zum Wellenmodell. II — Einsteinsche Deutung des Photoeffekts (1905) 1. Bei der Ausbreitung von Licht ist die Energie nicht kontinuierlich (z. B. durch eine Welle) über den Raum verteilt, sondern in einer endlichen Zahl von Energiequanten lokalisiert. Licht verhält sich (hier) wie ein Strom von Korpuskeln/Teilchen (Lichtquanten oder Photonen genannt), die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, unteilbar sind und nur als Ganzes erzeugt oder absorbiert werden können. 2. In monochromatischem (einfarbigem) Licht der Frequenz f besitzt jedes Lichtquant die Energie W = h · f , wobei h das Plancksche Wirkungsquantum ist. 3. Bei gleicher Frequenz bedeutet eine Erhöhung der Lichtintensität eine Vergrößerung der Anzahl der in einer bestimmten Zeit eine bestimmte Fläche durchdringenden Lichtquanten, aber nicht die Erhöhung der Energie der einzelnen Quanten. 4. Ein Elektron absorbiert jeweils nur die Energie eines Lichtquants. Zur Ablösung eines Elektrons von der Photokathode ist mindestens eine für das jeweilige Kathodenmaterial charakteristische Ablöseenergie erforderlich. Der diesen Wert übersteigende Anteil der absorbierten Energie wird dann in Bewegungsenergie des Elektrons umgesetzt, d. h. aufgrund der Energieerhaltung gilt der Zusammenhang Wphoton = Wkin,max +Wabl öse bzw. Wkin,max = h · f −Wabl öse . 180 5.2 5.2 Die Entstehung von Röntgenbremsstrahlung Die Entstehung von Röntgenbremsstrahlung Den Aufbau einer Röntgenröhre zeigt Anode die nebenstehende Abbildung: In einer bis zum Glühen erhitzten Kathode werden freie Elektronen erzeugt, die von einer starken BeschleunigungsR ön tgen str. spannung UB beschleunigt werden, _+ bis sie schließlich auf die Anode tref- U B L eu ch tsch irm fen. Beim Durchlaufen der Beschleunigungsspannung gewinnen die ElekE lektro n tronen eine Energie von W = e ·UB . Treffen die Elektronen nun auf das Anodenmaterial, so werden sie dort G lü h kath o d e abgebremst und geben ihre gesamH eizsp an n u n g te Energie an die Atome der Anode ab. Diese Energie wird zum Teil in Form von Schwingungsenergie von der Anode aufgenommen, was bedeutet, dass diese sich stark erhitzt und eventuell gekühlt werden muss. Eine andere Möglichkeit ist die, dass die Energie in Form von Photonen an die Außenwelt abgegeben wird. In diesem Fall handelt es sich dann um Röntgenstrahlung, und zwar in diesem Fall um die sogenannte Bremsstrahlung. Dieser Prozess ist in gewisser Weise eine Umkehrung des Photoeffekts, da beim Photoeffekt Elektronen mit Hilfe von Photonen, und bei der Röntgenstrahlung Photonen durch Elektronen freigesetzt werden. Es gibt zu unterschiedlichen Beschleunigungsspannungen eine jeweils unterschiedliche untere Grenzwellenlänge, die von den Photonen nicht unterschritten wird (siehe auch Aufgabe 4, Klausur Nr. 5). Diese kürzestmögliche Wellenlänge haben die Photonen genau dann, wenn sie auf die Art entstanden sind, dass ein Elektron seine gesamte Energie e · UB auf einen Schlag abgegeben und in ein Photon umgewandelt hat. Für die kürzestmögliche Grenzwellenlänge gilt: λgrenz = h·c e ·UB Je nach der Wellenlänge der vorliegenden Röntgenstrahlung unterscheidet man zwischen harter und weicher Röntgenstrahlung. Kurzwellige Röntgenstrahlen mit einer Wellenlänge kleiner als 1 Picometer nennt man hart, weil sie aus energiereicheren Quanten bestehen als weiche Röntgenstrahlen. Im elektromagnetischen Spektrum gibt es noch energiereichere und damit kurzwelligere elektromagnetische Strahlungsarten. Hierzu zählt die bei radioakti- 181 5 Quantenphysik ven Zerfällen entstehende Gammastrahlung sowie die noch energiereichere kosmische Strahlung (auch Höhenstrahlung genannt). 5.3 Der Compton–Effekt Der oben beschriebene Photoeffekt hätte sicherlich nicht ausgereicht, um die mittlerweile hundert Jahre alte Vorstellung, bei Licht handele es sich um eine elektromagnetische Welle, zu erschüttern. Es hätte sicherlich immer wieder Zweifler gegeben, die der Interpretation von Einstein entgegengesetzt hätten, es gäbe sicherlich auch eine Möglichkeit, den Photoeffekt im Rahmen des Wellenmodells vom Licht zu erklären, man habe sie nur bisher nicht gefunden. Es bedurfte daher noch weiterer experimenteller Hinweise auf den Teilchenaspekt bei der modellhaften Beschreibung der Natur des Lichtes. Ein wichtiges Phänomen wird in diesem Abschnitt beschrieben, nämlich der sogenannte C OMPTON–Effekt. Hierbei handelt es sich um die Tatsache, dass Röntgenstrahlung, die an einem Streukörper gestreut wird, gleichzeitig mit ihrer Richtungsänderung ihre Wellenlänge zum langwelligeren Ende des Spektrums hin verändert. Die einzige Möglichkeit, die beobachtete Abhängigkeit der Wellenlängenverschiebung physikalisch zu erklären, besteht darin, dass man die Röntgenstrahlung ebenfalls auffasst, als ob sie aus Teilchen besteht, und dass diese Röntgenphotonen mit den Elektronen des Streukörpers Stoßprozesse durchführen, die einen Energieverlust der Röntgenphotonen und damit eine Vergrößerung der Wellenlänge zur Folge haben. Eine Formel für die Wellenlängenverschiebung ∆λ lässt sich auf zwei verschiedene Arten und Weisen herleiten, wobei mit der einfacheren nichtrelativistischen Rechnung begonnen werden soll, die uns einen Eindruck von der Größenordnung von ∆λ verschaffen soll. Für eine Berechnung der Abhängigkeit von ∆λ vom Streuwinkel θ benötigen wir eine komplexere Berechnung, die die Erkenntnisse der Relativitätstheorie einbeziehen muss. 5.3.1 Nichtrelativistische Abschätzung des Compton–Effekts Die beim Compton–Effekt vorliegenγ′ de Situation muss man sich schematisch wie nebenstehend abgebildet vorstellen: me Ein (Röntgen-)photon trifft auf ein (ruhendes) Elektron innerhalb eines Streukörpers. Bei dem stattfindenden elastischen Stoß verändert das Photon seine Richtung, das Elektron nimmt Energie auf und bewegt sich von γ 182 θ 5.3 Der Compton–Effekt seinem Platz fort, und das gestreute Photon hat eine größere Wellenlänge als vor dem Stoß. Wir nehmen im Folgenden vereinfachend an, dass das Photon zentral auf das Elektron trifft, was zur Folge hat, dass es rückwarts zurückgestreut wird (θ = 180o ). Da es sich um einen elastischen Stoß handelt, gelten sowohl der Energieals auch der Impulserhaltungssatz, und man kann daher die beiden folgenden nichtrelativistischen Beziehungen aufstellen: E = hf 1 Energie nach dem Stoß : E0 = me v2 + h f 0 2 hf Impuls vor dem Stoß : p = c hf0 0 Impuls nach dem Stoß : p = me v + c Energie vor dem Stoß : Die Energie- und Impulserhaltung führt auf das folgende Gleichungssystem: 1 me v2 + h f 0 2 hf0 = me v − c hf = (5.1) hf c (5.2) Das Minuszeichen auf der rechten Seite der zweiten Gleichung erklärt sich dadurch, dass das Photon nach Voraussetzung zurückgestreut wird, d. h. man muss den Impuls negativ rechnen. Eine äquivalente Umformung der Gleichungen ergibt zunächst h · ( f − f 0) = 1 me v2 2 h · ( f + f 0 ) = me v c (5.3) (5.4) 5.4 ergibt umgeformt v= h h 2h f · ( f + f 0) ≈ ·2f = me c me c me c Bei der Näherung ist man davon ausgegangen, dass sich die Frequenz bei der Streuung nicht allzu stark ändert, so dass man f ≈ f 0 setzen kann. Setzt man den vorigen Ausdruck für v in 5.3 ein, so ergibt sich 1 4h2 f 2 2h2 f 2 h · ( f − f 0 ) = me · 2 2 = . 2 me c me c2 183 5 Quantenphysik Nun berücksichtigt man noch die Beziehung f = c und führt mehrere äquivaλ lente Umformungen durch: c c 2hc2 2h − 0 = = 2 2 λ λ me c λ me λ2 0 λ −λ 2h c· = | λ · λ0 ≈ λ2 0 2 λ·λ me λ 2h c · ∆λ = me 2h ∆λ = me c Zusammengefasst kann man sagen, dass die Wellenlängenänderung, die sich bei einem rückgestreuten Photon ergibt, nichtrelativistisch den Wert m2h anec nimmt. Wegen der Rückstreuung ist dies die größte Wellenlängenänderung, die beim Compton–Effekt möglich ist. Bei anderen Winkeln als θ = 180o ergeben sich kleinere Wellenlängenänderungen ∆λ, wie wir im folgenden Abschnitt in der genaueren Rechnung noch sehen werden. Man könnte sich in diesem Zusammenhang fragen, warum der Compton– Effekt nur an Röntgenphotonen sichtbar wird: Bei Photonen des sichtbaren Spektrums würde sich die Wellenlängenänderung nicht bemerkbar machen, weil sie von der Größenordnung her vernachlässigbar wäre. Das gleiche gilt für den Stoß von Photonen auf Protonen bzw. Neutronen, die ja rein theoretisch auch für die Wellenlängenveränderung beim Compton–Effekt verantwortlich sein könnten. Dies zeigt die folgende Überlegung: In der folgenden Tabelle sind die Massen der für das Zustandekommen des Compton–Effekts in Frage kommenden Teilchen aufgelistet: Teilchen Elektron Proton Neutron Photon (sichtbares Licht, λ = 600 nm) Röntgenphoton (λ = 70 pm) Masse 9, 109 · 10−31 kg 1, 673 · 10−27 kg 1, 675 · 10−27 kg 3, 681 · 10−36 kg 3, 155 · 10−32 kg Beim Betrachten der Tabelle fällt auf, dass die Massen von Röntgenphotonen und Elektronen die gleiche Größenordnung besitzen. Aus der Theorie der Stoßprozesse, die in Jahrgang 11 behandelt wurde, wissen wir, dass die Energieübertragung beim elastischen Stoß zweier Körper maximal ist (bei einem zentralen Stoß sogar 100% beträgt), wenn die beiden Körper die gleiche Masse haben. Stößt also ein Röntgenphoton auf ein Elektron, so gibt es auf Grund seiner vergleichbaren Masse einen beträchtlichen Teil seiner kinetischen Energie an das Elektron ab. Der Energieverlust des Röntgenphotons resultiert in einer 184 5.3 Der Compton–Effekt Vergrößerung seiner Wellenlänge. Würde ein wesentlich leichteres Photon aus dem sichtbaren Spektrum (s.o.) auf ein Elektron treffen, so wäre diese Situation von dem Massenverhältnis der beteiligten Körper vergleichbar mit dem Stoß einer Hummel auf einen Kleinwagen. So wie die Hummel im Falle eines elastischen Stoßes wie ein Flummi von dem PKW abprallen würde und keine messbare Energiemenge auf das Auto übertragen könnte, könnte auch das Photon aus dem sichtbaren Spektralbereich keine wesentliche Energiemenge auf das Elektron (und damit noch viel weniger auf Protonen bzw. Neutronen) übertragen. Damit bliebe die Wellenlänge des Lichtphotons erhalten und es käme zu keiner messbaren Wellenlängenverschiebung. Wie soeben dargelegt wurde, macht sich die durch den Compton–Effekt hervorgerufene Wellenlängenverschiebung am stärksten bemerkbar, wenn die Massen der am elastischen Stoß beteiligten Körper identisch sind. Man kann also ganz leicht die Frage beantworten, bei welcher Wellenlänge der einfallenden Röntgenphotonen die (relative) Wellenlängenänderung maximal ist. Diese Fragestellung ist wie oben erläutert äquivalent mit der Frage, für welche Wellenlänge die Röntgenphotonen die gleiche Masse wie Elektronen haben. Für die Masse der Röntgenphotonen gilt die Formel mPhoton = h . λ·c Gleichsetzen mit me und Umformen nach λ ergibt me = h h ⇐⇒ λ = . λ·c me · c Einsetzen der Naturkonstanten ergibt λ = 2, 4 pm. Abschließend sei noch erwähnt, dass der Ausdruck meh· c auch Compton–Wellenlänge λC genannt wird. Der genaue Wert der Compton–Wellenlänge beträgt λC = 2, 4263 · 10−12 m. 5.3.2 Relativistische Herleitung der Compton–Formel Im Folgenden lassen wir die Spezialisierung auf den Fall der Rückstreuung fallen, das heißt wir betrachten den oben unteruchten Streuprozess für allgemeine Winkel θ. Außerdem setzen wir für den Impuls bzw. die Energie der beteiligten Körper die relativistischen Beziehungen hierfür an. Da wir nun mit allgemeinem Winkel θ rechnen, benötigen wir eine zusätzliche Vorkenntnis aus dem Gebiet der Trigonometrie, nämlich den Kosinussatz. Dieser ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auf allgemeine (d. h. nicht unbedingt notwendig rechtwinklige) Dreiecke und besagt, dass für die Länge 185 5 Quantenphysik der Dreiecksseiten bei konventioneller Bezeichnung der Ecken und Seiten die folgende Beziehung gilt: a2 = b2 + c2 − 2bc · cos α Man erkennt leicht, dass für den Fall α = 90o der Kosinussatz in den Satz des Pythagoras für ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse a übergeht. Daneben sei der besseren Übersicht halber bereits die relativistische Beziehung für die Energie erwähnt, die wir in der nachstehenden Herleitung der Formel für den Compton–Effekt verwenden. Diese lautet: 2 Erel = E02 + (cp)2 , mit E0 = m0 c2 Der Impuls der Photonen steht mit ihrer Energie in Beziehung über die Formel p= E hf = . c c Der Energieerhaltungssatz liefert also relativistisch die Gleichung q q 2 0 0 2 2 h f + me c = h f + E0 + (cpe ) = h f + m2e c4 + c2 p2e , bzw. umgeformt h f − h f 0 + me c2 2 = m2e c4 + c2 p2e . Die Impulsvektoren vor bzw. nach dem Stoß sind in der nebenstehenden Skizze dargestellt. In dieser Skizze erkennt man leicht den Kosinussatz und man gelangt zu der Gleichung (5.5) p ' ph θ p ph p 'e 0 p2e = p2ph + p02 ph − 2p ph p ph · cos θ. Setzt man diesen Ausdruck für p2e in 5.5 ein, so ergibt sich nach Ausquadrieren der Klammer: 2 0 h2 f 2 + h2 f 02 + m2e c4 + 2h f me c2 − 2h f 0 me c2 − 2h2 f f 0 = m2e c4 + c2 p2ph + c2 p02 ph − 2c p ph p ph · cos θ hf Ersetzt man die Impulse der Photonen durch c , so erhalten wir h2 f 2 + h2 f 02 + m2e c4 + 2h f me c2 − 2h f 0 me c2 − 2h2 f f 0 = m2e c4 + h2 f 2 + h2 f 02 − 2h2 f f 0 · cos θ. Entledigt man sich der Terme, die auf beiden Seiten der Gleichung vorkommen und dividiert durch 2, so vereinfacht sich diese zu h f me c2 − h f 0 me c2 − h2 f f 0 = −h2 f f 0 · cos θ. 186 5.3 Der Compton–Effekt Die weiteren Umformungen bis zum Erhalt des gesuchten Ausdrucks für die Wellenlängenänderung ∆λ folgen ohne weitere Kommentare: me c2 · ( f − f 0 ) f − f0 f · f0 1 1 − f0 f c c 0− f f ∆λ = λ − λ0 = h f f 0 · (1 − cos θ) h = · (1 − cos θ) me c2 h = · (1 − cos θ) | · c me c2 h c = · (1 − cos θ) | = λ me c f h = · (1 − cos θ) me c Man beachte, dass wie bei der nichtrelativistischen Herleitung im vorigen Abschnitt die Compton–Wellenlänge λC = mhe c in dem Ausdruck für ∆λ auftaucht. Für den Fall der Rückstreuung (θ = 180o ) ergibt sich cos θ = −1, ∆λ = 2λC und damit genau der gleiche Wert, den wir im vorigen Abschnitt erhalten haben. Die von uns erhaltene Formel für die Veränderung der Wellenlänge, ∆λ = h · (1 − cos θ), me c ist übrigens sehr gut durch Experimente bestätigt und kann zur Bestimmung des Wirkungsquantums h dienen. Das Applet Der Compton–Effekt“ simuliert ” die Beobachtungen, die man beim Compton–Effekt macht. 187 Quantenphysik Außerdem ist bemerkenswert, dass in der Formel nur die Wellenlängenänderung ∆λ, aber nicht die Wellenlänge λ auftaucht. Das bedeutet, dass die Wellenlängenänderung von der Wellenlänge des einfallenden Photons unabhängig ist. Die Abhängigkeit der Wellenlängenänderung vom Streuwinkel wird in der nebenstehenden Grafik veranschaulicht. 5.4 5 Wellenlängenänderung in pm 5 4 3 2 1 0 0 50 100 150 200 250 Streuwinkel in Grad 300 350 Die Welleneigenschaften von Elektronen Im Jahre 1923 kam der französische Adlige Luois de Broglie, der zur damaligen Zeit in Physikerkreisen vollkommen unbekannt war, auf eine geniale Idee: Wenn es möglich war, den bis dahin als Welle akzeptierten Licht auch Teilcheneigenschaften zuzuschreiben, indem man die Wellenlänge über die Formel λ = hp mit dem Impuls dieser Photonen genannten Lichtteilchen verknüpfte, so sprach nichts dagegen, die gleiche Formel bzw. λ = mh· v anzuwenden1 , um massebehafteten Teilchen eine Wellenlänge zuzuordnen. Heute sprechen wir in der Tat von der de Broglie–Wellenlänge von Teilchen, zum Beispiel von Elektronen. Um die Welleneigenschaften von Materie, die auf diese Weise vorhergesagt worden war, ohne sie jemals vorher experimentell beobachtet zu haben, beobachten zu können, benötigte man Teilchen, deren Masse bzw. Impuls so klein war, dass sich eine genügend große Wellenlänge ergab (siehe obige Formel), um Interferenzerscheinungen beobachten zu können. So ergibt sich etwa bei einem Elektron, das sich mit 500 Kilometern pro Sekunde bewegt, eine de Broglie–Wellenlänge von 1,45 nm, während ein Mensch mit einer Masse von 70 kg, der sich bemüht, sich nicht zu bewegen, und der trotzdem eine Zitterbewegung“ von 1 mm/s nicht vermeiden kann, eine Wel” lenlänge von 9, 46 · 10−33 m besitzt. Hiermit sind natürlich beim besten Willen keine Beugungsexperimente möglich, da wir ja schon von früher wissen, dass eine Beugung nur an regelmäßigen Strukturen (zum Beispiel Spalte, Gitter, usw.) möglich sind, deren Abmessungen von der gleichen Größenordnung sind wie die Wellenlänge des zu beugenden Objektes. Auf den ersten Blick sollte man meinen, dass es ebenfalls nicht leicht fallen sollte, ein Beugungsgitter mit einem Spaltabstand in der Größenordnung von 1 Unter Berücksichtigung der relativistischen Massezunahme schnell bewegter Teilchen erq h v2 gibt sich die Formel λ = m0 · v · 1 − c2 . 188 5.4 Die Welleneigenschaften von Elektronen Nanometern herzustellen, aber schon bald nach de Broglies Vorhersage2 , nämlich im Jahre 1927 gelang Davisson, Germer und G. Thomson (dem Sohn von J. Thomson, der später noch Erwähnung finden wird) der experimentelle Nachweis der Beugung von Elektronenwellen, womit de Broglie schlagartig berühmt wurde.3 Es wäre tatsächlich schwierig gewesen, ein Beugungsgitter mit den oben genannten Abmessungen per Hand herzustellen, aber die erwähnten findigen Köpfe machten sich zunutze, dass es in der Natur bereits Strukturen gibt, die sich im Abstand von Nanometern regelmäßig wiederholen, und zwar bei Kristallen4 . Wie kann man nun diese naturgegebenen Beugungsgitter ausnutzen, um Interferenzerscheinungen bei Elektronen nachzuweisen? Hierzu betrachten wir zunächst die sogenannte Bragg–Reflexion. 5.4.1 Die Bragg’sche Reflexionsbedingung Beschießt man einen regelmäßig gebauten Kristall mit Elektronen–, Röntgenstrahlen oder anderen Strahlen mit geeigneter Wellenlänge und variiert dabei den Einstrahlwinkel der Strahlen, so stellt man fest, dass die Strahlen nur unter bestimmten Winkeln vollkommen reflektiert werden. Diese besonderen Winkel nennt man Glanzwinkel. Zwischen den Glanzwinkeln gibt es auch Winkel, bei denen die Reflexion nur schwach oder überhaupt nicht zu erkennen ist. Um dieses Phänomen erklären zu können, betrachten wir uns zunächst den Aufbau eines regelmäßigen Kristalls bei Einfall der Strahlen: Der erste Wellenzug der heraustretenden Strahlen hat zum zweiten Wellenzug den Gangunterschied 2 · s. Bei einem Gangunterschied von einem ganzzahligen Vielfachen von λ registrieren wir eine besonders kräftige Reflexion, da die 2 Strenggenommen hatten Davisson und Kunsman bereits in den Jahren 1921–23 von Elektronenwellen hervorgerufene Interferenzerscheinungen beobachtet, aber nicht als solche erkannt. 3 Wir verweisen an dieser Stelle auf das Java–Applet Elektronenbeugung am Einzelspalt“. ” 4 Nebenbei sei bemerkt, dass es im Jahre 1961 dem Physiker Jönsson gelang, einen Elektronenstrahl an einem (ausreichend klein dimensionierten) Doppelspalt zu beugen. 189 5 Quantenphysik beiden Wellenzüge konstruktiv miteinander interferieren. In diesem Fall handelt es sich bei entsprechendem Winkel ϑ also um den Glanzwinkel. Ist der Gangunterschied hingegen ein Vielfaches von λ 2 , so interferieren die austretenden Strahlen destruktiv miteinander, d. h. sie heben sich gegenseitig auf. Für die Glanzwinkel gilt also der Zusammenhang (siehe Abbildung): 2·s = n·λ (n ∈ IN) Mit sin ϑ = s ⇐⇒ s = sin ϑ · d d ergibt sich insgesamt die Bragg’sche Reflexionsbedingung 2 · sin ϑ · d = n · λ 5.4.2 Das Experiment mit der Elektronenbeugungsröhre Die Bragg–Reflexion kann nun in einem Experiment mit einer Elektronenbeugungsröhre ausgenutzt werden, um die Tatsache, dass Teilchen auch Welleneigenschaften haben können, experimentell zu beweisen. In der Elektronenbeugungsröhre wird ein Strahl von beschleunigten Elektronen auf eine Graphitfolie geschossen. Der reflektierte Elektronenstrahl wird auf einem Leuchtschirm (ähnlich dem Fernsehschirm bei einer Braun’schen Röhre) sichtbar gemacht. Man erkennt, dass die reflektierten Elektronen nur in bestimmten Bereichen auf dem Leuchtschirm auftreffen, d. h. unter bestimmten Ablenkungswinkeln, erkennbar an zwei konzentrischen Kreisen, die auf dem Leuchtschirm entstehen (siehe Abbildung). Dies lässt sich noch mit dem Konzept der Glanzwinkel aus dem vorhergehenden Abschnitt erklären, es handelt sich also hierbei um Interferenzmaxima. Versucht man jedoch die Tatsache, dass genau zwei Kreise zu beobachten sind, damit zu erklären, dass es sich um das Maximum erster bzw. zweiter Ordnung handelt, so erleidet man damit Schiffbruch. Man stellt nämlich beim Anwenden der einschlägigen aus der Beugungstheorie bekannten Formeln fest, dass das Maximum zweiter Ordnung (abgesehen davon, dass es deutlich schwächer sein müsste als das Maximum erster Ordnung) außerhalb der Leuchtschicht des Schirmes liegen müsste. 190 5.5 Das Unschärfeprinzip 0,213 n m Die Erklärung des Vorhandenseins zweier Maxima erster Ordnung, die beide gleich intensiv sind, liegt in der Struktur der Graphitkristalle begründet (siehe nebenstehende Skizze). Durch die Graphitkristalle las- 0,123 n m sen sich nämlich auf zwei verschiedene Weisen parallele Netzebenen legen, für die sich eine jeweils unterschiedliche Gitterkonstante ergibt. Aus diesem Grunde erhält man auch zwei Interferenzmaxima für unterschiedliche Glanzwinkel. Ein weiterer Effekt, den man mit Hilfe der oben abgebildeten Versuchsapparatur erzeugen kann, besteht darin, dass die beiden beobachtbaren Ringe auf dem Leuchtschirm kleiner werden, wenn man die Beschleunigungsspannung vergrößert. Dies lässt sich ebenfalls leicht verständlich erklären: Wenn man die Beschleunigungsspannung vergrößert, so werden die Elektronen schneller und ihr Impuls vergrößert sich dementsprechend. Ein größerer Impuls bedeutet jedoch nach der Formel λ = hp , dass die de Broglie–Wellenlänge der Elektronen kleiner wird. Setzt man nun das kleinere λ in die Bragg’sche Reflexionsbedingung 2d · sin θn = n · λ ein, so erkennt man, dass sich mit der Wellenlänge auch die Glanzwinkel verkleinern (weil sin θn kleiner wird), und damit auch der Radius der beobachtbaren Kreise. 5.5 5.5.1 Das Unschärfeprinzip Das Phänomen der akustischen Unschärfe Aus der Akustik bekannt ist das Phänomen der Schwebung: Wenn man zwei Stimmgabeln anschlägt, die leicht gegeneinander verstimmt sind, die also eine leicht unterschiedliche Frequenz haben, hört man einen Ton, der in gleichmäßigen Abständen in der Lautstärke abnimmt und wieder anschwillt. Die Frequenz, mit der sich Lautstärkeminima und -maxima abwechseln, nennt man Schwebungsfrequenz. Diese ist identisch mit der Differenz der beiden Frequenzen der Stimmgabeln: fSchwebung = f2 − f1 = ∆ f Die Schwebung entsteht schlicht und ergreifend aus der Überlagerung (Superposition) der beiden Schallwellen, die von den Stimmgabeln emittiert werden. Man kann sich das Lauter- und Leiserwerden des Tones mathematisch veranschaulichen, indem man mit Hilfe eines Funktionenplotters die beiden Graphen zweier Sinusfunktionen addiert, die gleiche Amplitude und eine leicht unterschiedliche Periode haben, z. B. s1 (t) = 2 · sin (2π · f1 · t) und s2 (t) = 2 · sin (2π · f2 · t) , 191 5 Quantenphysik 4 4 3 3 Intensität/Lautstärke Intensität/Lautstärke mit f1 = 100 Hz und f2 = 90 Hz. In der nachfolgenden Abbildung finden wir diese beiden Graphen links bzw. rechts: 2 1 0 -1 -2 -3 -4 2 1 0 -1 -2 -3 0 0.02 0.04 0.06 Zeit in s 4 0.08 0.1 -4 0 0.02 0.04 0.06 Zeit in s 0.08 0.1 Intensität/Lautstärke 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 0 0.05 0.1 Zeit in s 0.15 0.2 15 15 10 10 Intensität/Lautstärke Intensität/Lautstärke Unter den beiden Graphen der Einzelschwingungen ist die resultierende Schwingung abgebildet, die sich ergibt, wenn man s1 und s2 addiert, d. h. die Schallwellen der beiden Stimmgabeln überlagert. Man sieht ganz deutlich, wie die Amplitude der Resultierenden zwischen den Werten 0 und 4 schwankt. Im Lautstärkeminimum der Schwebung löschen sich die beiden Einzelwellen gegenseitig durch destruktive Interferenz aus, im Lautstärkemaximum addieren sich die beiden Amplituden (konstruktive Interferenz). Eine interessante Beobachtung ergibt sich, wenn man die Anzahl der Stimmgabeln erhöht. Die linke Abbildung zeigt drei Stimmgabeln mit einer Frequenz von 90, 95 und 100 Hertz, die alle gleichzeitig angeschlagen werden. Die rechte Abbildung zeigt die resultierende Schallwelle bei sechs Stimmgabeln mit einem jeweiligen Frequenzunterschied von 2 Hertz. 5 0 -5 -10 -15 5 0 -5 -10 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Zeit in s -15 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Zeit in s Es ergibt sich also, dass zu bestimmten Zeitpunkten Wellenzüge mit besonders hoher Intensität entstehen, dazwischen liegen Momente, wo kaum eine 192 5.5 Das Unschärfeprinzip Wellenbewegung stattfindet. Je mehr Stimmgabeln an der Erzeugung der Gesamtwelle beteiligt sind, desto länger ist der zeitliche Abstand zwischen zwei solchen Wellenpaketen. Man kann sich also leicht vorstellen, dass nur noch ein einziges Wellenpaket erzeugt wird, wenn man unendlich viele Stimmgabeln bzw. Erregerzentren überlagert. 25 25 20 20 20 15 15 15 10 5 0 -5 -10 10 5 0 -5 -10 -15 -15 -20 -20 -25 0 0.05 0.1 Zeit in s 0.15 0.2 ∆ f = 10 Hz; ∆t = 0, 05 s Intensität/Lautstärke 25 Intensität/Lautstärke Intensität/Lautstärke Ein weiterer interessanter Effekt ergibt sich, wenn man das Frequenzintervall, aus dem die verschiedenen Töne stammen, verändert. In der ersten Abbildung wurden unendlich viele Erreger5 , deren Frequenz aus dem Intervall [90;100] Hertz stammt, überlagert, in der zweiten Abbildung handelt es sich um das Intervall [95;105] Hertz, die dritte Abbildung zeigt das Intervall [98;102] Hertz. -25 10 5 0 -5 -10 -15 -20 0 0.05 0.1 Zeit in s 0.15 0.2 ∆ f = 5 Hz; ∆t = 0, 10 s -25 0 0.05 0.1 Zeit in s 0.15 0.2 ∆ f = 2 Hz; ∆t = 0, 25 s Wie man sieht, wird das Wellenpaket zeitlich umso länger, je kleiner das betreffende Frequenzintervall ist. Multipliziert man die Frequenzunschärfe, d. h. die Variationsbreite der Frequenz, mit der Zeitunschärfe, d. h. der zeitlichen Dauer, bis das Wellenpaket verklungen ist, so stellt man fest, dass man in allen Fällen den Wert 0,5 erhält: ∆ f · ∆t = 1 2 Die letzte Gleichung nennt man akustische Unschärferelation. Ihre Allgemeingültigkeit lässt sich mathematisch begründen: Wir gehen zunächst von fünf Stimmgabeln aus, deren Frequenzen gleichmäßig über ein bestimmtes Intervall verteilt sind. Die sinusförmige Schwingung der Schallwellen lässt sich mit der kreisförmigen Bewegung eines Uhrzeigers vergleichen: Bei voller Auslenkung steht der Zeiger auf zwölf, bei voller negativer Auslenkung auf sechs Uhr. Die Geschwindigkeit, mit der sich die fünf Zeiger der Stimmgabeln drehen, ist unterschiedlich, und zwar genau in dem Maße, wie die Frequenz der Stimmgabeln unterschiedlich ist. 5 aus praktischen Gründen zeigt die Abbildung genaugenommen den Wellenzug für elf Erreger 193 5 Quantenphysik Wenn wir nun den Zeitpunkt suchen, wann die resultierende Auslenkung bei Überlagerung der fünf 72° Einzelauslenkungen minimal, also gleich Null ist, so suchen wir den Moment, wann fünf Vektoren, deren Richtungen sich jeweils um einen bestimmten Winkel unterscheiden, zusammen addiert den 72° Nullvektor ergeben. Wie die nebenstehende Abbildung zeigt, ist dies dann der Fall, wenn der Winkel gleich 360o : 5 = 72o beträgt. Wir suchen nun einen Ausdruck für den Zeitpunkt ∆t, wann die resultierende Auslenkung gleich Null ist. Hierzu schreiben wir zunächst die Gleichungen für die Auslenkung zweier frequenzmäßig benachbarter Stimmgabeln auf: s1 (t) = smax · sin(ω1 · t) = smax · sin(2π · f1 · t) sowie s2 (t) = smax · sin(ω2 · t) = smax · sin(2π · f2 · t) Wir setzen hierbei und in Zukunft voraus, dass die einzelnen Stimmgabeln eine gleich große Amplitude haben. Da die zweite Stimmgabel wie oben gesagt von der Frequenz her zur ersten benachbart ist, gilt für ihre Frequenz f2 = f1 + 2∆ f . 4 Damit erhalten wir für die Auslenkung der zweiten Stimmgabel den Ausdruck 2·∆f 4π · ∆ f s2 (t) = smax · sin 2π · f1 + · t = smax · sin 2π · f1 · t + ·t 4 4 Handelt es sich an Stelle von 5 Stimmgabeln um n Stück, so lautet die allgemeine Gleichung 2·∆f 4π · ∆ f s2 (t) = smax · sin 2π · f1 + · t = smax · sin 2π · f1 · t + ·t . n−1 n−1 Vergleicht man die Ausdrücke für s1 und s2 , so stellt man fest, dass der zweite Summand in der Klammer lediglich eine additive Konstante darstellt, die die f Bedeutung einer Phasenverschiebung hat, d. h. der Term 4π·∆ n−1 · t gibt an, um welchen Winkel die beiden Vektoren (nach der obigen Sprechweise die Zei” ger“ ) gegeneinander verdreht sind. Weiter oben hatten wir gesagt, dass das Minimum bei fünf Erregerzentren dann entsteht, wenn die Phasenverschiebung 360o : 5 beträgt, im Bogenmaß also bei 2π 5 . Bei n Erregern entsteht das Minimum also, wenn die Bedingung 4π · ∆ f 2π · ∆t = n−1 n 194 5.5 Das Unschärfeprinzip erfüllt ist. ∆t ist hierbei der genaue Zeitpunkt, zu dem das Minimum entsteht (siehe die obigen Abbildungen). Die obige Gleichung wird nun umgeformt zu n · 4π · ∆ f · ∆t = 2π. n−1 Da es bei der akustischen Unschärferelation um die Verhältnisse in einem einzigen Wellenpaket geht, muss man in der letzten Gleichung von unendlich vielen Erregerzentren ausgehen, weil, wie wir mit Hilfe der drei Abbildungen oben gesehen haben, nur unendlich viele Erreger ein einzelnes Wellenpaket erzeugen. Lässt man also n gegen unendlich gehen, vereinfacht sich die letzte Gleichung n wegen limn→∞ n−1 = 1 zu 4π · ∆ f · ∆t = 2π, nach Division durch 4π erhält man die zu beweisende akustische Unschärferelation ∆ f · ∆t = 5.5.2 1 2 Heisenbergs Unschärferelation Die akustische Unschärferelation lässt sich nun recht einfach auf die quantenmechanischen Messgrößen übertragen. So ergibt sich zum Beispiel für die vom Photoeffekt her bekannte Gleichung W = h · f folgende Überlegung: Da man die Frequenz von Photonen nur ungenau bestimmen kann (Ungenauigkeiten in der Messapparatur usw.), dann ergibt sich daraus automatisch eine Ungenauigkeit in der Bestimmung ihrer Energie, und zwar gilt: ∆W = h · ∆ f Da auf Grund der akustischen Unschärferelation außerdem immer ∆ f · ∆t = 21 gelten muss, kann man in der obigen Gleichung für ∆ f einsetzen und man erhält schließlich insgesamt h ∆W · ∆t = . 2 Diese Gleichung ist noch relativ schwierig in ihrer Bedeutung zu interpretieren. Interessanter und auch wichtiger ist die folgende Überlegung: Für den Impuls eines quantenmechanischen Teilchens gilt die Formel p= h · f. c Auch hier spielt wieder die Frequenz eine Rolle, so dass sich aus einer Unsicherheit in der Bestimmung des Impulses (∆p) automatisch eine Unschärfe 195 5 Quantenphysik der Frequenz (und damit auch der de Broglie–Wellenlänge) ergibt, die man diesem Quant zuordnen könnte: ∆p = h ·∆f c Diese Gleichung lässt sich mit Hilfe der akustischen Unschärferelation nun weiter umformen: ∆p = h ∆x ∆t ·∆f h · ∆t ·∆f ∆x h 1 = · ∆x 2 = Insgesamt ergibt sich nach einer Termumstellung die Heisenberg’sche Unschärferelation h ∆p · ∆x ≥ , 2 die in ihrer Form der akustischen Unschärferelation ähnelt, die aber auf Grund der anderen Variablen eine andere Interpretation erfahren muss. Diese Ungleichung wurde im Jahre 1927 von Werner Heisenberg erstmals aufgestellt und besagt in Alltagssprache folgendes: Man kann den Ort und den Impuls (und damit auch die Geschwindigkeit) eines Quants niemals gleichzeitig mit absoluter Genauigkeit bestimmen, selbst dann nicht, wenn man für beide Größen hundertprozentig genaue Messapparaturen zur Verfügung hätte. Es liegt in der Natur der Quanten, dass sie entweder verwischen (also ortsunscharf) werden, wenn man ihren Impuls genauer bestimmt, oder dass ihr Impuls nur noch ungenauer zu bestimmen ist, wenn man versucht, ihren Ort zu einem bestimmten Zeitpunkt möglichst genau zu messen. (Heisenberg’sches Unschärfeprinzip) Die Heisenberg’sche Unschärferelation findet man in unterschiedlichen Quellen in verschiedener Form, so zum Beispiel auch als ∆p · ∆x ≥ h . 4π Diese Form hängt davon ab, unter welchen Grundannahmen die Ungleichung hergeleitet wurde. Das oben verbalisierte Heisenberg’sche Unschärfeprinzip bleibt davon aber unberührt. Zum besseren Verständnis soll hier noch ein Beispiel aus dem Alltag angeführt 196 5.5 Das Unschärfeprinzip werden. Dieses Phänomen hat zwar mit dem Heisenberg’schen Unschärfeprinzip nichts zu tun, weil es sich hierbei nicht um Quantenobjekte handelt, es soll jedoch das Dilemma verdeutlichen, in dem ein Quantenphysiker im Umgang mit Mikroobjekten steckt: Wenn man einen rollenden Ball mit einer Fotokamera aufnimmt, hat man die Wahl zwischen zwei Einstellungen: Entweder man fotografiert mit einer kurzen Belichtungszeit, was zur Folge hat, dass der Ball scharf abgebildet wird, weshalb man eine genaue Aussage über seinen Ort zum Aufnahmezeitpunkt machen kann. Im Gegenzug kann man jedoch nichts über die Geschwindigkeit des Balles sagen, denn er könnte genausogut an diesem Ort in Ruhe gelegen haben. Die zweite Möglichkeit ist die Wahl einer langen Belichtungsdauer. Dann kann man zwar auf Grund der Länge der Spur auf dem Bild Schlussfolgerungen über die Geschwindigkeit des Balles ziehen, aber das Bild des Balles wird verschwommen und man kann keine genaue Aussage mehr über den Ort des Balles machen. Zum Abschluss soll noch einmal betont werden, dass das Heisenberg’sche Unschärfeprinzip nur für Mikroobjekte von Bedeutung ist und daher in unserer Alltagswelt zwar nicht ungültig, aber unauffällig ist. Dies liegt daran, dass das Produkt der Orts- und Impulsunschärfe eine winzig kleine Zahl ist (ca. 10−34 Js). Nur bei Teilchen mit einer winzig kleinen Masse kann ∆p so klein werden, dass für ∆x eine Größe herauskommt, die nicht vernachlässigbar und auch noch merkbar für den Beobachter ist. Der Leser kann ja einmal zu Übungszwecken ausrechnen, wie groß seine Ortsunschärfe ist, wenn er auf seinem Stuhl sitzt und seine Geschwindigkeit bis auf 1 mm s genau angeben kann. Er wird feststellen, dass sein Ort mit einer so großen Genauigkeit angegeben werden kann, dass man selbst mit den genauesten Messgeräten, geschweige denn mit dem bloßen Auge, nicht feststellen könnte, dass er in Wirklichkeit einen leicht verschwommenen Umriss hat. In dem Buch von G. G AMOV, das im Literaturverzeichnis zu finden ist, wird das fiktive Bild einer Welt entworfen, in der für das Wirkungsquantum h ein drastisch erhöhter Wert gilt. Die Konsequenzen für das alltägliche Leben wären in der Tat beachtlich. G AMOV schildert eine Safari im Quantendschungel“, in ” der der Ort der Tiger so stark verschmiert“ ist, dass die Jäger nicht wissen, ” wohin sie zielen sollen. 5.5.3 Neuinterpretation der Beugung von Quanten Die Heisenberg’sche Unschärferelation ermöglicht eine neuartige Erklärung des Phänomens der Beugung von Quantenobjekten an genügend klein dimensionierten Spalten: 197 5 Quantenphysik Die beiden Abbildungen machen deutlich, warum Quantenobjekte (z. B. Elektronen, Photonen) beim Durchqueren von Spalten gebeugt werden: ∆x ∆x p v orh er p v orh er S p a lt ∆p S p a lt ∆p p n ach h er = ? p n ach h er = ? S ch irm S ch irm Wenn man den Spalt enger macht, legt man damit den Ort des Quants mit einer größeren Genauigkeit fest, denn das Teilchen muss ja den Spalt passiert haben, um auf dem Leuchtschirm nachgewiesen zu werden. Damit ist also ∆x verkleinert worden. Der Effekt, den wir bei den diversen Beugungsexperimenten beobachtet haben, ist nun, dass bei engerem Spalt das Interferenzmuster breiter wird6 . Das bedeutet, dass die Bewegungsrichtung der Quanten nach Durchquerung des Spaltes nicht mehr so genau angegeben werden kann wie vorher, das heißt, dass bei engerem Spalt und damit kleinerem ∆x die Impulsunschärfe ∆p größer geworden ist, wie es das Heisenberg’sche Unschärfeprinzip ja auch verlangt. Dieses Phänomen kann auch mit Hilfe des Java–Applets Elektronenbeugung ” am Einzelspalt“, näher betrachtet werden. 6 Hierzu 198 siehe auch noch einmal das Java–Applet Beugung am Einzelspalt“. ”
