Einführung Einführung

Einführung
Die Problem-Formulierung
z Gesuchte, unbekannte Größe q=q(x,y,z) genügt einem
PDE-System
L( q) = 0 auf Ω ⊂ ℜn
z
z
L beschreibt die Physik (Erhaltungssätze etc.)!!
Die Verbindung der PDE zum konkreten Problem
(„Realität“), d.h. dem zu lösenden Problem erfolgt über
Randbedingungen
l ( q) = 0 auf ∂Ω ⊂ ℜn −1
z
∂Ω ist der Rand von Ω.
Einführung
Die Problem-Formulierung
z Gesuchte, unbekannte Größe q=q(x,y,z) genügt einem
PDE-System
n
L( q) = 0 auf Ω ⊂ ℜ
z
z
L beschreibt die Physik (Erhaltungssätze etc.)!!
Die Verbindung der PDE zum konkreten Problem
(„Realität“), d.h. dem zu lösenden Problem erfolgt über
Randbedingungen
l ( q) = 0 auf ∂Ω ⊂ ℜn −1
z
z
∂Ω ist der Rand von Ω.
Eine analytische Lösung für q(x,y,z)
ist praktisch nicht berechenbar!
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Einführung
Die exakte Berechnung von q ist somit nicht möglich, aber
man kann eine Näherung formulieren in der Form:
N
r
r
N r
q( x ) ≈ q ( x ) ≡ ∑ Ψα ( x )Qα
α =1
Die exakte Lösung und die Näherung unterscheiden sich!
r
r
r
q( x ) = q N ( x ) + e N ( x )
Die sogenannte „schwache Formulierung“ (weak statement)
r
WS N ≡ ∫ Ψβ ( x ) L( q N )dτ ≡ 0
Ω
für alle Test-Funktionen Ψβ minimiert den Fehler!
Einführung
Falls die Integrale der schwachen Formulierung berechnet
werden können, verschwindet die x-Abhängigkeit!
Æ Die schwache Formulierung WSN erzeugt eine
algebraische Formulierung der Form:
r r
WS N ⇒ [ Matrix ] Q = b
Nach Einsetzen der Randbedingungen kann das (reduzierte)
algebraische Gleichungssystem für die unbekannten {Qα}
gelöst und damit die Näherungslösung
N
r
r
r
q( x ) ≈ q N ( x ) ≡ ∑ Ψα ( x )Qα
α =1
angegeben werden.
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Einführung
Bestimmung der Test-Funkionen Ψβ
Hier kommen die „Finiten Elemente“ ins Spiel!
Diskretisiere Ω in finite Elemente: Ω ⇒ Ω h = ∪e Ω e
r
r
r
q N ( x ) ≡ q h ( x ) = ∪e qe ( x )
WS N ≡ WS h ⇒ {Q} an den Knoten!
Einführung - Zusammenfassung
Für beliebige Geometrien und Nicht-Linearitäten
Problem Formulierung: L( q) = 0 auf Ω ⊂ ℜn + Randbed .
Näherung:
N
r
r
r
q( x ) ≈ q N ( x ) ≡ ∑ Ψα ( x )Qα
Fehler-Minimierung:
r
WS ≡ ∫ Ψβ ( x ) L( q N )dτ ≡ 0
α =1
N
Ω
h
FE Diskretisierung:
Ω ⇒ Ω = ∪e Ω e
r
r
r
q N ( x ) ≡ q h ( x ) = ∪e {N ( x )}T {Q}e
FE WSh:
[ Matrix ] {Q} = {b}
Fehlerquantisierung:
Ωh Verfeinerungen
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