Fourier-Transformation Nutzen 1: Integrale bestimmen

Analysis 3 Übung
Sven Grützmacher
Fourier-Transformation
Das eigentliche Ziel für uns Mathematiker bei diesem Thema hier ist das lösen von PDEs, partiellen Differentialgleichungen.
Dazu benötigen wir grob die beiden folgenden Dinge
Definition 2 (Schwartzraum). Der Schwarzraum S ist definiert als (α, β multiindizes)
S = f ∈ C ∞ sup {|xα (∂β f )(x)|} < ∞
Definition 1 (Fourier-Transformation).
Die FT von f ∈ L 1 (Rn ) ist gegeben durch
F(f )(p) = fˆ(p) =
1
(2n)n/2
Z
f (x)e−ihp,xi dλ(x)
x
Rn
Klingt ser wirr, heißt aber nur, dass f auch nach multiplizieren mit Polynomen oder Ableiten immer noch beschränkt
ist.
Diese hat ein paar nette rechnerische Eigenschaften (siehe
VL, etc)
Die Frage ist was uns das bringt. Packen wir diese beiden Dinge zusammen erhalten wir sehr
nette Werkzeuge!
Fourier-Inversion
Ableitungsverhalten
aka wir können alles auch wieder Rückgängig machen. Für
f ∈ S gilt fˆ ∈ S und
Für f ∈ S ist auch xα f (x) und ∂α f (x) in S (α multiindex)
Und es gilt
f (x) =
1
(2n)n/2
Z
d
ˆ
∂
i f (p) = ipi f (p)
fˆ(p)eihp,xi dλ(p)
ˆ
x\
i f (x)(p) = i∂i f (p)
Das heißt Ableitungen werden zu Multiplikationen!
Rn
Wichtig!f , fˆ getauscht UND VZ-Wechsel bei estuf f !
Nutzen 1: Integrale bestimmen
Die linke Seite davon ist z.B.: nützlich um gewisse Integrale zu bestimmen.
Aufgabe 1. Bestimme die FT von f (x) = e
−|x|
und zeige, dass
Hinweis: Splitte Integral ins positive und negative Zahlen auf.
Z∞
0
dx
π
=
.
1 + x2
2
Nutzen 2: einfache PDE lösen
Das Zusammenspiel davon kann man nun aber auch zum Lösen von PDEs nutzen, was in grob wie folgt läuft
PDE in u
F(·)
ODE in û
ODE lösen
F −1 (·)
û
u(x)
Beispiel 1. Das erste Beispiel ist mal eine ODE:
Lösen Sie die gewöhnliche Differentialgleichung
u − u00 = e−|x| , x ∈ R
mit Hilfe der Fouriertransformation.
Das zweite Beispiel lasse ich euch mal als Aufgabe ;) (oder es passiert in der Übung)
Aufgabe 2. Sei b ∈ R eine positive Zahl. Wir untersuchen mit Hilfe der Fouriertransformation
das Dirichletproblem uxx + uyy = 0 auf dem streifen x ∈ R, 0 < y < b, wobei die Randbedingungen durch u(x, 0) = 0, u(x, b) = g(x) gegeben sind. (Sie dürfen annehmen, dass alle
relevanten Fouriertransformationen existieren).
a) Bestimmen Sie die bezüglich x Fouriertransformierte û der Lösung u.
b) Wenden Sie den Umkehrsatz für die Fouriertransformation an, um die Formel für u zu erhalten (Versuchen Sie aber nicht explizit zu integrieren).