Die Aufgaben zu den Grundlagen werden teilweise erst später

WS 15/16 Vorlesung/Übung
Mathematik 1 : Grundlagen - Aufgaben
Die Aufgaben zu den Grundlagen werden teilweise erst später besprochen
A 1 Mengen, Segmentierung
Ein Zeitungsartikel bespricht die Ergebnisse einer Umfrage zu drei Problemkreisen. A, B, C bezeichne die Menge aller Befragten, die Frage a, b, c uneingeschränkt zustimmen. Folgende Angaben sind in dem Artikel enthalten:
Prozentuale Anteile an allen Befragten
Menge
Elementeanzahl (%)
A
26
B
26
C
51
A\B
16
C \A
43
B∩C
6
A∩B∩C
5
Sie interessieren sich vor allem für die prozentualen Anteile der Befragten,
bei denen folgende Konstellationen vorliegen:
A ∩ B, B \ C, C \ B, A ∪ B, A ∪ B ∪ C
(a) Beschreiben Sie diese Mengen mit Worten und versuchen Sie, deren Anteile (= Elementeanzahlen) direkt aus obigen Angaben zu erschließen.
(b) Verwerten Sie die Umfrageergebnisse mit Hilfe einer vollständigen Segmentierung (graphisch, Elementeanzahlen der Segmente bestimmen) und
beantworten Sie nochmals, durch direktes Ablesen aus Ihrem Diagramm:
Menge
Elementeanzahl (%)
A∩B
B\C
C \B A∪B
A∪B∪C
Hinweis: Beginnen Sie mit der feinsten“ Information (zu A ∩ B ∩ C).
”
A 2 Mengen, Fallunterscheidung
Zerlegen Sie und vereinfachen Sie die Menge A = {x ∈ R : x2 = |x|} mit
Hilfe einer Fallunterscheidung: x = 0 oder x �= 0.
Hinweis: x2 = |x|2
A 3 Prozentrechnen
(Bezeichnung: Bruttopreis = Nettopreis zzgl. Mwst.) Ein Händler verspricht
einen Preisnachlass von 5%. Dabei ist (nur hier) nicht festgelegt, ob dieser
Preisnachlass
(1) auf den Nettopreis oder (2) auf den Bruttopreis
gegeben wird.
(a) Beantworten Sie spontan, ohne Rechnung: Welcher Unterschied ergibt
sich für den Käufer (gemessen am Bruttopreis) ?
(b) Bestimmen Sie für beide Methoden (1) und (2):
Steuerwert und Bruttopreis bei einem Nettopreis von 1 Geldeinheit.
(z.B. 1 Geldeinheit = 1000 Euro)
Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg
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Mathematik 1 : Grundlagen - Aufgaben
A 4 Rechenregeln Summenzeichen
Vorübung zur Statistik
Gegeben n Zahlen (Daten) a1 , . . . , an ;
1 �n
a := n j=1 aj bezeichnet das arithmetische Mittel der Zahlen a1 , . . . , an .
�
�
um zu s2n = ( n1 ni=1 a2i ) − a2 .
Formen Sie s2n := n1 ni=1 (ai − a)2
[s2n heißt mittlere quadratische Abweichung von a ( Streuung“ dieser Zahlen)]
”
A 5 Prozentrechnen, Auflösen von Gleichungen
(a) Wieviel Euro Mehrwertsteuer s = s(i) sind in je 100 Euro Verkaufswert
einer Ware bei einem Mehrwertsteuersatz i enthalten?
Machen Sie sich eine Tabelle für einige Werte von i.
(b) Bei welchem Mehrwertsteuersatz i = i(s) sind s Euro Mehrwertsteuer in
je 100 Euro Verkaufswert einer Ware enthalten?
Machen Sie sich eine Tabelle für einige Werte von s.
A 6 Grundfunktionen: Rundung, Betrag
Skizzieren Sie über dem Bereich −2 ≤ x ≤ 3 die durch
(a) �x� und (b) |(x − 1)/2|
gegebenen Funktionen (Funktionswerte an Sprungstellen hervorheben).
�n
i
A 7 Summenformel für das Polynom
i=0 x
�93
i (q ∈ R fix).
Berechnen Sie (mit verschiedenen Umformungen):
i=17 q
A 8 Grundfunktionen, Auflösen von Gleichungen
Wenn x ≥ 0, y ≥ 0 und z > 0 vorausgesetzt ist, können dann die folgenden
Gleichungen eindeutig nach y aufgelöst werden? Wenn ja: y =?
(c) y 4/5 · x1/5 = z
(a) y · x = z
(b) y 1/2 · x1/2 = z
A 9 Logarithmus
Versuchen Sie, mit Hilfe der Rechenregeln für den Logarithmus die folgenden
Ausdrücke umzuformen (jeweils x > 1 vorausgesetzt):
(a) ln(1 + x + x2 + x3 ) (b) ln(1 + x) + ln(1 + x2 ) (c) ln(x4 − 1) − ln(x − 1)
A 10 Exponentialfunktion, Logarithmus
Gegeben f (x) = c · ed·x (c, d sind unbekannte Parameter, c > 0).
Bestimmen Sie die durch y = ln(f (x)) gegebene Funktion und skizzieren Sie
diese (z.B. im Bereich 0 ≤ x ≤ 3 und mit c = 1, d = 1/2)
Linearisierung“ exponentieller Modelle � Ökonometrie/Statistik
”
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WS 15/16 Tutorien
Mathematik 1 : Grundlagen - Aufgaben
Die Aufgaben zu den Grundlagen werden teilweise erst später besprochen.
Weitere Grundlagen-Aufgaben, insbesondere auch solche, die Mathematik 2
vorbereiten, sind in die H-Aufgaben eingemischt.
T 1 Aussagen
Bestimmen Sie hinreichende Bedingung (Voraussetzung) und notwendige Bedingung (Folgerung) bei den Aussagen:
(a) (x = −3 ⇒ x2 = 9)
(b) (x2 �= 9 ⇒ x �= −3)
(c) Für eine differenzierbare Funktion f mit f � (x0 ) �= 0 liegt an der Stelle x0
kein Extremwert vor.
(d) Ich gehe erst ins Wasser, wenn ich schwimmen kann.
T 2 Mengen, Segmentierung
Ein Projekt X mit insgesamt 10 konkreten Aufgaben (Elemente) wird in zwei
Problemkreise A, B und Unproblematisches (weder A noch B) untergliedert:
6 Aufgaben gehören zu A, 5 zu B und 3 gehören weder zu A noch zu B.
Skizzieren Sie in einem Diagramm die folgenden Segmente des Projekts und
bestimmen Sie jeweils die Anzahl der enthaltenen Aufgaben (Elementeanz.):
A, B, A ∩ B, A ∪ B, (A \ B) � (B \ A)
T 3 Mengen, Fallunterscheidung
Zerlegen und vereinfachen Sie die Menge A = {x ∈ R : (x−1)2 = |x − 1|} mit
Hilfe einer Fallunterscheidung: x = 1 oder x �= 1. Hinweis: zahl2 = |zahl|2
T 4 Prozentrechnen
Ein Steuersatz von s% wird um drei Prozentpunkte erhöht auf (s + 3)%.
Welche prozentuale Steigerung des Bruttopreises einer damit besteuerten Ware ergibt sich (nur) auf Basis dieser Erhöhung? (Bsp: Mwsteuererhöhung)
T 5 Grundfunktionen: Rundung, Betrag
Skizzieren Sie über dem Bereich −2 ≤ x ≤ 3 die durch
(a) �x�
(b) [x]
(c) |x − 1/2|
gegebenen Funktionen (Funktionswerte an Sprungstellen hervorheben).
T 6 Potenzregeln
u−5 v 5 −3
(a) ( −3 −2 0 ) =?
v u v
�
√
5
(b) x x3 =?
u−1/5 v 4/5 3/2
(c) ( −3/2 −1/2 0 ) =?
v
u
v
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WS 15/16 Tutorien
Mathematik 1 : Grundlagen - Aufgaben
T 7 Prozentrechnen
Eine Zahl z wird erst um p% erhöht und dann der erhöhte Wert wieder um
p% gesenkt.
(a) Ergebnis ? Was ändert sich, wenn erst gesenkt und danach erhöht wird ?
(b) Für welchen Wert von i = p% ergibt sich beim Ausgangswert z = 16 ein
neuer Wert von 15 ?
T 8 Summenzeichen
Vorübung zur Statistik
Zeitreihe der letzten Jahre einer gesamtwirtschaftlichen Größe (fiktive Daten)
Jahr − 2000
Wert (Mio. Euro)
j
xj
-4
13
-3
15
-2
11
-1
15
0
16
1
14
2
10
3
11
4
9
5
10
Berechnen Sie mit diesen 10 Werten (das allgemeine Symbol i, j, k für den
Index wechselt absichtlich!):
�5
1 �5
(a)
i=−4 xi und x := 10
i=−4 xi
�5
�5
2 und 1
2
(b)
x
(siehe A 4)
k=−4 k
k=−4 (xk − x)
10
(c) Indexverschiebung. Schreiben Sie die Summen in (a) einmal beginnend
�
�
bei i = 1 (als ?i=1 ??) und einmal beginnend bei i = 0 (als ?i=0 ??)
T 9 Allgemeine binomische Formel
(a) Bestimmen
�n� Sie übersichtlich (”Pascalsches Dreieck“) die Binomialkoeffizienten k , 0 ≤ k ≤ n, für n = 1, 2, . . . , 5.
(b) Schreiben Sie anhand von (a) ausführlich als Summe:
(a + b)2 , (a + b)3 , (a + b)4 , (a + b)5 , (a − b)2 , (a − b)3 , (a − b)4 , (a − b)5
(c) Berechnen Sie jeweils für n = 4, 8, 16, 32 die Summe der�
Zweierpotenzen
n
i
20 , 21 , . . . , 2n mit der Summenformel für das Polynom
i=0 x .
Vergleichen Sie dies mit der Berechnung mittels der binomischen Formel
für (1 + 1)n . Welche Zeilensummen hat Ihr Pascalschen Dreieck?
T 10 Summenformeln anwenden
Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen ist gegeben durch die
�n
Summenformel
i=1 i = n(n + 1)/2.
Berechnen Sie mit Hilfe dieser Formel:
�100
�200
�200
�2007
(a)
i=1 i,
i=1 i,
i=101 i,
i=1985 i
�n
�n
(b)
i=1 2i und
i=1 (2i − 1). Was haben Sie hier berechnet?
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