Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik für

WS 2007/08
Blatt 4
INSTITUT FÜR STOCHASTIK
UNIVERSITÄT KARLSRUHE
Dr. B. Klar
Übungen zur Vorlesung
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
für Studierende der Informatik
Aufgabe 12:
Es sei Ω = {(i, j) : i, j ∈ {1, 2, 3, 4}}. Die Zufallsvariablen X : Ω → R bzw. Y : Ω → R seien
definiert durch
X(i, j) := i
und
Y (i, j) := j
und die gemeinsame Zähldichte von X und Y fX,Y : Ω → R durch fX,Y (i, j) := c · (i + j) mit
einem noch zu bestimmenden c ∈ R.
a) Bestimmen Sie c ∈ R so, dass fX,Y eine Zähldichte auf Ω wird.
b) Bestimmen Sie fX und fY .
c) Welche Werte nimmt die Zufallsvariable Z := X · Y an?
d) Berechnen Sie P(Z ≤ 9).
Aufgabe 13:
Eine Lieferung von 1000 Bauteilen eines bestimmten Typs darf laut Liefervertrag höchstens
3% Ausschuss haben. Um dies zu überprüfen, werden nacheinander 20 Bauteile rein zufällig
entnommen, getestet und die Lieferung abgelehnt, wenn unter den getesteten Bauteilen mindestens ein defektes ist.
a) Wie groß ist bei diesem Prüfverfahren die Wahrscheinlichkeit ungerechtfertigter Reklamation, indem eine Lieferung zurückgewiesen wird, obwohl sie den Lieferbedingungen
entspricht? Führen Sie ihre Rechnungen für den Fall durch, dass die Lieferung genau 30
defekte Bauteile, also 3% Ausschuss, enthält und ein getestetes Bauteil nicht noch einmal
getestet werden kann.
b) Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn im Gegensatz dazu ein getestetes Bauteil
wieder in die Lieferung zurückgelegt wird und erneut getestet werden kann?
c) Welche Werte ergeben sich in a) und b), wenn die Lieferung genau 10000 Bauteile enthält
und darunter genau 300 defekte Bauteile sind?
Aufgabe 14:
An einer E-Mail-Adresse treffen täglich X Spam-Mails ein. Aus Erfahrung weiß man, dass
X eine Zufallsvariable ist mit der Poisson-Verteilung P o(α) für ein α > 0. Weiter treffen
täglich genau c erwünschte E-Mails ein, c ∈ N.
a) Drücken Sie Y := Gesamtzahl der E-Mails, die täglich an der E-Mail-Adresse eintref”
fen“ mit Hilfe von X und c aus. Welche Werte kann Y annehmen? Bestimmen Sie die
Zähldichte von Y .
b) Bestimmen Sie P(Y ≤ 6) für den Fall α = 6 und c = 4.
c) Angenommen, X sei eine Zufallsvariable mit der Binomialverteilung Bin(100, 0.06). Bestimmen Sie wieder P(Y ≤ 6) für den Fall c = 4 und vergleichen Sie das Ergebnis mit
dem Ergebnis aus b), d.h. wie groß ist der prozentuale Unterschied beider Wahrscheinlichkeiten?
Aufgabe 15:
Ein Programm soll (auf Korrektheit) getestet werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem
Testdurchlauf ein (Laufzeit-) Fehler gefunden wird, sei p > 0. X sei die zufällige Anzahl der
Testdurchläufe ohne Fehler, bis der erste Fehler gefunden wird.
a) Welche Verteilung hat X?
b) Das Programm wird so lange getestet, bis ein Fehler gefunden wird, höchstens jedoch c
mal. Sei Y dabei die zufällige Anzahl der Testdurchläufe. Berechnen und skizzieren Sie
die Zähldichte der Zufallsvariablen Y für p = 0.1 und c = 7.
c) Z := 50 · Y + 100 seien die zufälligen Kosten für den Test. Berechnen Sie P(Z ≥ 200) für
p = 0.1 und c = 7.
d) Wie groß muss c ∈ N mindestens sein, damit für den Fall p = 0.1 ein Laufzeitfehler
mindestens mit Wahrscheinlichkeit 90% gefunden wird?