Lösung
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Aufgabensammlung
Mathematik II
Wirtschaftsingenieurwesen
DHBW Stuttgart
Campus Horb
Dozent
Dipl. Math. (FH) Roland Geiger
Aufgabensammlung
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis ........................................................................................................2
Lösungen im Internet ...................................................................................................4
Lineare Optimierung ....................................................................................................6
Simplex-Algorithmus (rechnerisch) ............................................................................ 47
Simplex-Algorithmus (Pivot-Tabelle) .......................................................................... 62
Dualer Simplex-Algorithmus ....................................................................................... 73
Diverse zu Linearer Optimierung ................................................................................ 91
Differentialgleichung .................................................................................................. 95
Nummerische Lösungsverfahren .............................................................................. 112
Grundlagen .............................................................................................................. 120
Lagemaße ................................................................................................................. 129
Streumaße ............................................................................................................... 142
Wahrscheinlichkeitsrechnung .................................................................................. 155
Baumdiagramme .................................................................................................. 155
Pfadregel .............................................................................................................. 164
Mengenalgebra .................................................................................................... 166
Kombinatorik ........................................................................................................ 168
Vermische Aufgaben ............................................................................................. 176
Binomialverteilung ................................................................................................... 198
Normalverteilung ..................................................................................................... 219
Indexberechnung ..................................................................................................... 233
Regressionsrechnung/Korrelationsrechnung ............................................................ 238
Angewandte Statistik ............................................................................................... 247
Klausurvorbereitung................................................................................................. 251
Testklausur01 ........................................................................................................... 300
Testklausur02 ........................................................................................................... 313
Testklausur03 ........................................................................................................... 330
Anhang ..................................................................................................................... 341
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Manuskript
Mathematik I+II
Lösungen im Internet
Wirtschaftsingenieurwesen
DHBW Stuttgart
Campus Horb
Dozent
Dipl. Math. (FH) Roland Geiger
Aufgabensammlung
Lösungen im Internet
www.cs-geiger.de/wiw.htm
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Manuskript
Mathematik I+II
Lineare Algebra
Wirtschaftsingenieurwesen
DHBW Stuttgart
Campus Horb
Dozent
Dipl. Math. (FH) Roland Geiger
Aufgabensammlung
Lineare Optimierung
Aufgabe 1:
Lösen Sie folgende linearen Optimierungsmodelle mit der zeichnerischen Methode.
a) Z:
NB:
Max
z=4x+3y
x 3y 9
x 2y 2
NNB: x, y 0
b) Z:
Max
z=x+y
5x y 10
NB:
x 2y 6
x y 1
NNB: x, y 0
c) Z:
Max
z=x - y
2x y 0
NB:
x 2y 1
2x y 2
NNB: x, y 0
d) Z:
NB:
Max
z=2x + y
x y 1
x 3y 6
NNB: x, y 0
Lösung:
a)
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Aufgabensammlung
b)
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Aufgabensammlung
c)
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Aufgabensammlung
d)
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Aufgabensammlung
Aufgabe 2:
Lösen Sie folgende linearen Optimierungsmodelle mit der zeichnerischen Methode.
Lösung:
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
Aufgabe 3:
Lösen Sie folgende linearen Optimierungsmodelle mit der zeichnerischen Methode.
Lösung:
Aufgabe 4:
Lösen Sie folgende linearen Optimierungsmodelle mit der zeichnerischen Methode.
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Aufgabensammlung
Lösung:
Aufgabe 5:
Lösen Sie folgende linearen Optimierungsmodelle mit der zeichnerischen Methode.
Lösung:
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
Aufgabe 6:
Ein Landwirt möchte 40 Hektar seiner landwirtschaftlichen Ackerfläche (AF) mit Weizen
bzw. Kartoffeln anbauen.
Bei Weizen liegt der Arbeitsaufwand bei 7 Akh (Arbeitskraftstunden) pro Hektar, bei
Kartoffeln beträgt der Arbeitsaufwand 21 Akh/ha. Er kann neben seiner Hofarbeit
höchstens 420 Akh im Jahr aufwenden.
Der Anbau von 1ha Weizen kostet 2000,-Euro, der von 1ha Kartoffeln 3500,-Euro. Der
Landwirt hat insgesamt 87.500,-Euro Kapital zur Verfügung.
Der Landwirt hat beim Verkauf seiner Erzeugnisse pro Hektar einen Reinerlös von
2500,-Euro beim Weizen und 4000,-Euro bei den Kartoffeln.
Wie viel wird er von beidem anbauen, wenn er möglichst viel Gewinn erzielen will?
Lösung:
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
Endergebnis:
Werden 35 Hektar mit Weizen angebaut und 5 Hektar mit Kartoffeln, so ist der Verkaufserlös maximal und beträgt 107.500,-Euro.
Der Gewinn des Landwirtes ist dann der Differenzbetrag aus den Investitionskosten
und Verkaufserlös und beträgt 20.000,-Euro
Aufgabe 7:
1. Änderung:
Bearbeite die Aufgabe erneut, wenn die Bedingungen für die Ackerfläche, Arbeitsaufwand und Kosten gleich bleiben, aber sich der Erlös beim Verkauf wie folgt ändert:
Reinerlös von 2400,-Euro/ha beim Weizen und 4200,-Euro/ha bei den Kartoffeln.
Lösung:
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
Aufgabe 8:
2. Änderung:
Eine weitere Abwandlung der Aufgabenstellung ergibt sich, indem die Bedingungen für
die Ackerfläche und den Arbeitsaufwand gleich bleiben, sich die Kosten beim Anbau
und der Erlös beim Verkauf wie folgt ändern:
Der Anbau von 1ha Weizen kostet 2100,-Euro, der von 1ha Kartoffeln 3000,-Euro. Der
Landwirt hat insgesamt 85.000,-Euro Kapital zur Verfügung.
Der Landwirt hat beim Verkauf seiner Erzeugnisse pro Hektar einen Reinerlös von
2500,-Euro beim Weizen und 4000,-Euro bei den Kartoffeln.
Lösung:
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Aufgabensammlung
Endergebnis:
Werden ca. 22,7 Hektar mit Weizen angebaut und 12,4 Hektar mit Kartoffeln, so ist
der Verkaufserlös E maximal und beträgt 106.350,-Euro.
Der Gewinn des Landwirtes ist dann der Differenzbetrag aus den Investitionskosten
und Verkaufserlös und beträgt 21.350,-Euro
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Aufgabensammlung
Aufgabe 9:
Ein Gärtner möchte einen 100 qm großen Garten mit Rosen und/oder Nelken bepflanzen.
Er möchte max. 720 Euro an Arbeits- und Materialkosten investieren und höchstens
60qm für Nelken reservieren.
Folgende Tabelle enthält weitere Daten des Problems.
Rosen
Nelken
Arbeits- und Materialkosten (in Euro/qm)
6
9
Gewinn
1
2
Wie viele qm sollen mit jeder Sorte bepflanzt werden, damit ein maximaler Gewinn
erzielt wird?
Lösung:
x1: mit Rosen zu bepflanzende Fläche
x2: mit Nelken zu bepflanzende Fläche
Damit erhalten wir folgendes Modell
Max
Z=x1+2x2
x 1 x 2 100
6x 1 9x 2 720
x 2 60
x1 , x 2 0
Zielfunktion umgeformt
x1 X2
1
Z Z
1 2
P(30,60) Z=150
Aufgabe 10:
Gegeben sei folgendes LP mit einem positiven Parameter 𝛽𝑖 .
Z:
Max
z=2x1 +x2
2x1 5x2 0
NB:
x1 2x2 9
2x1 x2 i
NNB: x 1 , x 2 0
Bestimmen Sie für 𝛽1 = 18, 𝛽2 = 12 𝑢𝑛𝑑 𝛽3 = 6jeweils mit der graphischen Methode
die optimalen Lösungen.
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Aufgabensammlung
Lösung:
Aufgabe 11:
Ein Transportunternehmer hat für einen Auftrag 8Kleintransporter ( KlTr) und 3 LKWZüge verfügbar. Es gelten folgende Restriktionen (Beschränkungen):
Pro KlTr.
Pro LKW
Insgesamt verfügbar
Paletten
2
3
24
Fahrer
1
2
10
Gewinn
1000
6000
Max!
Ermitteln Sie mit Hilfe der graphischen Lösung den maximalen Gewinn?
Lösung:
Variablen: (gesuchte Größen)
x: Anzahl der einzusetzenden Kleintransporter
y: Anzahl der einzusetzenden LKW
Ungleichungen:
Beschränkung KlTr (1) x < 8
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Aufgabensammlung
Beschränkung LKW (2) y < 3
max. verf. Paletten (3) 2x + 3y < 24
max. verf. Fahrer (4) x + 2y < 10
Zielfunktion (ZF): 1000x + 6000y = Gewinn max!
Nichtnegativitätsbedingungen: x > 0, y > 0.
Ungleichung (1) und (2) sagen aus, dass max. 3 Kleintiertransporter (KlTr) und
max. 8 LKW eingesetzt werden können.
Ungleichung (3) und (4) beschreiben, dass höchstens 24 Paletten bzw. 10 Fahrer zur
Verfügung stehen.
Die Zielfunktion ZF beschreibt, wie aus x und y die zu maximierende Größe auszurechnen ist.
Jede NB besitzt eine Halbebene als Lösungsmenge. Der schraffierte Bereich 0ABCD
ist der Durchschnitt aller Halbebenen (=Lösungsmenge = zulässiger Be reich).
NB (3) trägt nichts zur Eingrenzung der Lösungsmenge bei!
Ermittlung des Optimums:
Wir tragen zunächst eine Gerade ein, die die Richtung der ZF 1000x + 6000y = G
(G: Gewinn) angibt (bei uns 1000x+6000y = 6000).
Je größer die rechte Seite G, desto weiter rechts (oben) liegt dieseGerade. Daher ist
die Zielfunktion so lange nach rechts oben zuverschieben, bis ein einziger (Ec k-)
Punkt des zulässigen Bereiches gerade noch erreicht wird.
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Aufgabensammlung
Dieser ist das Optimum.
Bei uns: Optimum bei x=4 KlTr und y=3 LKW-Zügen.
Durch Einsetzen in ZF: optimalen Gewinn = 1000*4+6000*3= 22.000,--
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Aufgabensammlung
Aufgabe 12:
Formulieren Sie zur Lösung der folgenden Probleme jeweils ein LP und bestimmen Sie
graphisch eine optimale Lösung!
a) Eine Bergwerksgesellschaft besitzt zwei verschiedene Gruben (bzw. Minen), in denen
bestimmte Erzarten gefördert werden. Die Gruben befinden sich in verschiedenen Landesteilen und verfügen über unterschiedliche Kapazitäten. Nach dem Brechen werden
bei Erz drei Klassen unterschieden, grob-, mittel- und feinkörniges Erz. Nach jeder Erzart besteht eine gewisse Nachfrage.
Die Bergwerksgesellschaft konzentriert sich darauf, einem Hüttenwerk wöche ntlich
mindestens 12t grob-, 8t mittel- und 24t feinkörniges Erz zu liefern.
Die Betriebskosten für die Gruben sind 200 GE pro Tag bei Grube 1 und 160 GE bei
Grube 2.
In der Grube 1 werden dabei pro Tag 6t grob-, 2t mittel- und 4t feinkörniges Erz gefördert, während die zweite Grube eine tägliche Leistung von 2t grob -, 2t mittel und 12t
feinkörnigem Erz hat.
Wie viele Tage sollte jede der Gruben pro Woche befahren werden, um die Aufträge
der Firma auf wirtschaftliche Weise zu erfüllen?
b) Der Automobilfabrikant Dingeldein stellt in zwei Werken Personenkraftwagen (PKW)
und Lastkraftwagen (LKW) her.
Im ersten Werk, in dem die grundlegenden Montagearbeiten durchgeführt werden,
werden fünf Mann-Tage pro LKW und zwei Mann-Tage pro PKW benötigt.
Im zweiten Werk, in dem die Endmontage erfolgt, sind pro PKW und pro LKW je drei
Mann-Tage notwendig.
Die Kapazität des ersten Werkes beträgt 180 und die des zweiten Werkes 135 Mann Tage pro Woche.
Wie viele PKW und LKW sollte der Fabrikant herstellen, um seinen Gewinn zu maximieren?
Als weitere Information ist bekannt, dass der Fabrikant an einem LKW 3000 GE und an
einem PKW 2000 GE verdient.
Lösung:
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Aufgabensammlung
Aufgabe 13:
Eine Jugendgruppe beschließt, Zelte einzukaufen. In einem Sonderangebot werden
zwei verschiedene Sorten von Zelten für jeweils 10 und 15 Personen preiswert angeboten.
Von den 10-Personenzelten sind noch 5 und von den 15-Personenzelten nur noch 4
vorrätig. Die Zelte für 10 Personen kosten 200 Euro je Stück und diejenigen für 15 Personen insgesamt 400 Euro je Stück. Die Jugendgruppe kann insgesamt höchstens 1800
Euro für die Zelte ausgeben.
Wie viele 10- und 15-Personenzelte kann die Jugendgruppe kaufen, damit eine möglichst große Anzahl von Jugendlichen in den Zelten untergebracht werden kann?
Lösung:
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Aufgabensammlung
Diese Aufgabenstellung ist in zwei Teile unterteilt:
Zunächst erfahren wir Bedingungen, die die Lösung beeinflussen, danach wird das
Ziel bestimmt. Um die Lösung übersichtlicher zu gestalten ordnen wir zu nächst den
beiden Zelten Variablen zu, nämlich
x = 10-Personenzelte
y = 15-Personenzelte
Der nächste Schritt besteht in dem Umformen der Bedingungen in mathematische
Formeln. Dadurch erhalten wir folgende Ungleichungen:
x >= 0
y >= 0
(da von beiden Zelten ja eine Anzahl größer null oder auch gar keines gekauft wird)
x <= 5
y <= 4
(da höchstens 5 bzw. 4 Zelte gekauft werden können)
Außerdem wissen wir, dass der Jugendgruppe nur 1800 Euro zur Verfügung stehen
und dass die Zelte 200 Euro bzw. 400 Euro kosten.
Daraus ergibt sich folgende Ungleichung:
200x+400y<=1800
Diese Bedingung formen wir zur besseren Handhabung in
x+2y<=9 um.
Um diese Voraussetzungen in ein Koordinatensystem einzufügen, werden sie zunächst in Gleichungen umgewandelt:
x=0
y=0
x=5
y=4
x+2y=9
Graphische Lösung
In einem Koordinatensystem sieht das dann folgendermaßen aus:
Dadurch erhalten wir die hier gelb gefärbte, denn nur die Punkte dieses Bereiches
erfüllen die Bedingungen.
Von diesen zulässigen Lösungen muss nun das Wertepaar (x/y) bestimmt werden,
mit dem die Jugendgruppe die meisten Personen unterbringen kann.
Dafür stellen wir zunächst die sog. Zielfunktion auf:
10*x+15*y=Z
Seite 28 von 355
Aufgabensammlung
(wobei Z die Menge der Personen ist)
Durch Umstellen dieser Zielfunktion mit drei Variablen erhalten wir die Formel
x
y
1
Z Z
10 15
Wählen von Z=60
die wir in das Koordinatensystem einfügen.
Jetzt geben wir beliebige Werte für Z ein, bis eine Funktion nur noch einen Punkt
mit der Menge der zulässigen Lösungen gemeinsam hat. Dieser Punkt kennzeichnet
das Wertepaar, mit dem die meisten Personen untergebracht werden können (siehe
roter Kreis).
Das hier abzulesende Ergebnis P(5,2) (5 Zehnpersonenzelte und 2 Fünfzehnpersonenzelte) lässt sich auch rechnerisch überprüfen, indem man die Probe macht:
5*200 Euro+2*400 Euro=1800 Euro
Aufgabe 14:
Ein Hersteller produziert zwei Sortimente eines Artikels, der aus Teilen besteht, die
geschnitten, zusammengebaut und fertig gestellt werden müssen.
Der Unternehmer weiß, dass er so viele Artikel verkaufen kann, wie er produziert. Sortiment 1 benötigt 25 Minuten zum Zerschneiden, 60 Minuten zum Zu sammenbau und
68 Minuten, um es verkaufsfertig zu machen. Es erzielt 30 Euro Gewinn. Für Sortiment
2 braucht man 75 Minuten zum Schneiden, 60 Minuten für den Zusammenbau und 34
Minuten, zur Fertigstellung. Dieses Sortiment erzielt einen Gewinn von 40 Euro. Es stehen nicht mehr als 450 Minuten zum, Zerschneiden, 480 Minuten zum Zusammenbau
und 476 Minuten zum Fertigstellen pro Tag zur Verfügung.
Nun stellt sich dem Unternehmer die Frage, wie viele Artikel von jedem Sortiment jeden Tag produziert werden müssen, um den Gewinn zu maximieren.
Lösung:
Als erstes müssen wir wieder die Angaben in Ungleichungen umändern und Variablen verteilen.
Es seien x die Anzahl der Artikel aus Sortiment 1 und y die Anzahl der Artikel aus
Sortiment zwei.
Die Werte für x und y können nicht negativ sein, sondern nur Beträge größer oder
gleich null annehmen:
x >= 0
y >= 0
Die Zuschneide-, Zusammenbau- und Fertigstellungszeiten führen zu folgenden Ungleichungen:
25x+75y <= 450
x+3y<=18
60x+60y <= 480
x+y<=8
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Aufgabensammlung
68x+34y <= 476
2x+y<=14
Graphische Lösung:
In einer Grafik repräsentieren diese drei Ungleichungen die Flächen unterhalb den
vorgegebenen Linien, während die ersten beiden Ungleichungen genau auf den Achsen liegen, und damit die Fläche abgrenzen:
Das Problem besteht nun darin, Werte für x und y zu finden, die alle Randbedingungen erfüllen und den Gewinn maximieren. Um dies zu erreichen müssen wir zunächst wieder die Zielfunktion aufstellen:
30*x+40*y = Z
Nun wird diese Funktion in eine Form umgeschrieben, die in ein Koordinatensystem
eingetragen werden kann.
x
y
1 Man wählt z=120
Z
Z
30 40
Jetzt gibt man wieder beliebige Werte für Z ein, bis eine der entstehenden Funktionen den möglichen Bereich nur noch in einem Punkt schneidet. Dieser Punkt kennzeichnet das Wertepaar, mit dem eine optimale Anzahl an Sortimenten hergestellt
wird.
Dieses Ergebnis (3 / 5) lässt sich wieder mit der Probe überprüfen:
3*30 Euro+5*40 Euro=290 Euro. Der Unternehmer sollte also drei Artikel aus Sortiment 1 und fünf Artikel aus Sortiment 2 herstellen, um die Arbeitszeit optimal auszunutzen und den Gewinn dabei zu maximieren.
Aufgabe 15:
Eine kleine Motoradfabrik baut und verkauft die beiden Typen Mofa und Lofa. Während
die Produktionskosten für ein Mofa 5.000 Euro betragen, belaufen s ie sich bei der Lofa
nur auf 3.000 Euro pro Stück. Insgesamt können pro Tag nicht mehr als 30.000 Euro für
die Produktion ausgegeben werden.
Für die Fertigung der Mofas rechnet die Arbeitsvorbereitung mit einer Arbeitszeit von
30 Stunden, für die der Lofas setzt sie hingegen 60 Stunden an. Pro Tag stehen maximal
480 Arbeitsstunden zur Verfügung. Vom Mofa sollen pro Tag maximal 3 Stück gefertigt
werden.
Marktanalysen zeigen, dass pro Tag mindestens 4 Lofas abgesetzt werden müssen und
unbegrenzt Mofas abgesetzt werden können. Der Verkaufspreis der Lofas liegt bei
5.000 Euro, der der Mofas bei 10.000 Euro pro Stück.
Wie viel Mofas und Lofas sollen täglich produziert werden, um das Umsatzmaximum zu
erreichen? Wie groß ist dieser maximale Umsatz?
Lösung:
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
Aufgabe 16:
Eine Tischlerei erhält einen Auftrag, für den unterschiedliche Holzplatten mit der folgenden Stückzahl zu verwenden sind:
10 Platten der Größe A,
12 Platten der Größe B,
8 Platten der Größe C,
4 Platten der Größe D.
Die Tischlerei bezieht dazu aus einem Sägewerk zwei Holzplattentypen I und II, die auf
vorgegebene Weise (Abbildung 1) zu zerschneiden sind.
Abbildung 1: Zerlegung der Holzplattentypen.
Der Preis einer Platte des Typs I beträgt 300 Euro und der einer Platte des Typs II 200
Euro. Aus Lager- und Verkaufsgründen sollten nicht mehr als 16 Platten der Größe D
und nicht mehr als 5 Platten der Größe E gelagert werden.
Es ist zu ermitteln, wie viel Platten I und II gekauft werden müssen, damit der Auftrag
ausgeführt werden kann und der Gesamteinkaufspreis der Platten so gering wie möglich ausfällt.
Lösung:
Das gegebene Problem ist dergestalt, dass wir es graphisch in d er Ebene lösen können. Dazu werden zuerst kalkülmäßig die Zielfunktion und die Nebenbedingungen
formuliert. Die Nebenbedingungen sind Ungleichungen. Die graphische Veranschaulichung der Nebenbedingungen ergibt Schnitte von Halbebenen, deren Ergebnis im vorliegenden Fall ein begrenztes Gebiet ist, der so genannte zulässige Bereich
(Abbildung 2). Der zulässige Bereich enthält alle Punkte der Ebene, deren Koordinaten die Nebenbedingungen erfüllen. Als Repräsentation der Zielfunktion wird eine
Optimierungsgerade eingeführt. Diese wird so lange parallel in Optimierungsrichtung verschoben (der Absolutwert der verschobenen Gerade muss kleiner werden,
weil die Zielfunktion minimiert werden soll), bis die Optimierungsgerade eben noch
den zulässigen Bereich tangiert. Dieser "letzte" Berührungspunkt der Optimierungsgerade mit dem zulässigen Bereich ist der optimale Punkt, seine Koordinaten sind
die gesuchten Werte x und y.
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Aufgabensammlung
Lineare Funktionen besitzen die Eigenschaft der Konvexität. Daher können wir den
Sachverhalt nutzen, dass der "letzte" gemeinsame Punkt der Optimierungsgerade
mit dem zulässigen Bereich ein Eckpunkt ist. Es reicht demzufolge aus, die Gerade
in alle Eckpunkte parallel zu verschieben und dabei den Absolutwert der Gerade,
die Ordinate des Schnittpunktes mit der Ordinatenachse, zu betrachten (Abbildung
2).
Es bezeichne x die Anzahl der einzukaufenden Platten des Typs I, es bezeichne y die
Anzahl der einzukaufenden Platten des Typs II.
Modellieren wir die im Aufgabentext angegebenen Aussagen in Formeln, e ntsteht
das folgende Optimierungsproblem. Die zugehörige Zielfunktion lautet:
G = 300 x + 200y = Min!
(1)
Als Nebenbedingungen ergeben sich die Ungleichungen
(A)
2x + y ≥ 10
(B)
x + 2y ≥ 12
(C)
x+y≥8
(D)
2y ≥ 4
(D')
2y ≤ 16
(E)
x≤5
(N)
x, y ≥ 0, x, y ganzzahlig
Zur besseren graphischen Darstellbarkeit wird (1) und (2) umgeformt, es entsteht
als Zielfunktion
y = - 3/2x+G*
Als Nebenbedingungen entstehen die Ungleichungen für ganze x und y
(A)
y ≥ -2x + 10
(B)
y ≥ -0,5x+ 6
(C)
y ≥ -x +
(D)
y≥2
(D')
y≤8
(E)
0 ≤ -x + 5
(N)
x, y ≥ 0.
8
Durch den Eintrag in ein Koordinatensystem in der Ebene gelangen wir nun zum
zulässigen Bereich durch den Schnitt der Halbebenen, die in (4) definiert sind (Abbildung 2).
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Aufgabensammlung
Abbildung 2: Ermittlung des zulässigen Bereichs.
Als Eckpunkte des zulässigen Bereiches ergeben sich die Koordinatentupel P 1 =(5, 8),
P 2 =(5, 3.5), P 3 =(1, 8), P 4 =(2, 6) und P 5 =(4, 4). Da an eine Lösung des Optimierungsproblems die Forderung der Ganzzahligkeit gestellt wird, werden die Eckpunkte mit
nichtganzzahligen Koordinaten (im Beispiel P 2 ) nicht weiter berücksichtigt.
Zeichnen wir im Koordinatensystem eine Schar von Parallelen, die verschiedenen
G* entsprechen, so dass jeweils die (ganzzahligen!) Eckpunkte des zulässigen Bereichs auf den Geraden liegen (Abbildung 3), ergeben sich die Absolutwerte der Geraden mit G 1 * = 15.5; G 3 * = 9.5; G 4 * = 9 und G 5 * = 10.
Betrachten wir aufgrund der Minimierung von G * die Optimierungsrichtung in Richtung der negativen y-Achse, erkennen wir, dass G * den Minimalwert annimmt und
gerade noch den zulässigen Bereich in dem Eckpunkt (x, y) = (2, 6) tangiert, wenn
G* = G 4 * = 9 gilt.
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Aufgabensammlung
Abbildung 3: Suchen der Optimalstelle durch Minimierung.
Also besitzt das lineare Optimierungsproblem folgende Lösung: Es sind genau 2 Platten des Typs I und 6 Platten des Typs II einzukaufen, der Einkaufswert beträgt G =
1800 DM.
Graphische Lösungen bieten sich bei zweidimensionalen Problemen aber auch an,
wenn nur die Nebenbedingungen linear sind und die Zielfunktion beispielsweise
quadratisch auftritt. Nicht unerwähnt bleiben soll das graphische Lösen dreidimensionaler linearer Optimierungsprobleme. Einfache räumliche Aufgaben unterstreichen die Komplexität der mathematischen Optimierung, schulen das Vorstellungsvermögen und sind in komplizierterer Form ein hervorragender Einstieg in vieldimensionale Problematiken, hinarbeitend auf die Simplexmethode.
Aufgabe 17:
Ein Viehzuchtbetrieb füttert Rinder mit zwei tiermehlfreien Futtersorten A und B (z.B.
Rüben und Heu). Die Tagesrationen eines Rindes müssen die Nährstoffe 1,2 und 3 im
Umfang von mindestens 6,12 bzw. 4 g enthalten. Die Nährstoffgehalte in g pro kg und
Preise in GE pro kg der beiden Sorten zeigt die folgende Tabelle:
Sorte A
Sorte B
Tagesbedarf
Nährstoff 1
2
1
6
Nährstoff 2
2
4
12
Nährstoff 3
0
4
4
Preis in GE/kg
5
7
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Aufgabensammlung
Wie viele kg von Sorte A bzw. B muss jede Tagesration enthalten, wenn sie unter Einhaltung der Nährstoffbedingungen die Kosten minimal sein sollten.
Lösung:
Mit den Variablen
x1 : kg von Sorte A pro Tagesration
x2 : kg von Sorte B pro Tagesration
lautet das Optimierungsproblem
Min
Z=5 x 1 +7x 2
unter den Nebenbedingungen
2x1 x2 6
2x1 4 x2 12
4 x2 4
x1, x2 0
Umformung der Zielfunktion
Z 5x1 7x2
x1 x2
1
Z Z
5 7
P(2,2), Z=24 GE
Aufgabe 18:
Ein neues Schulgebäude mit einer Bodenfläche von 3000 m² soll so mit einem Kunststoffbelag versehen werden, dass die Anschaffungskosten möglichst gering sind. Mindestens 800 m² sollen mit dem Kunststoff A belegt werden. Für die restliche Fläche
kommen die Kunststoffbeläge B und C in Frage.
Die Lieferungs- und Verlegekosten betragen bei Kunststoff A 30 Euro/m²,
Die Lieferungs- und Verlegekosten betragen bei Kunststoff B 15 Euro/m²
Die Lieferungs- und Verlegekosten betragen bei Kunststoff A 10 Euro/m²
Die Reinigungskosten betragen pro Jahr bei Kunststoff A 5 Euro/m²
Die Reinigungskosten betragen pro Jahr bei Kunststoff B 8 Euro/m²
Die Reinigungskosten betragen pro Jahr bei Kunststoff C 10 Euro/m²
Für die Reinigungskosten stehen im Jahr ein Höchstbetrag von 20.000 Euro zur Verfügung.
Wie sind die Beläge auszuwählen?
Lösung:
Es sei x 1 die Anzahl der m², die mit dem Kunststoff A
Es sei x 2 die Anzahl der m², die mit dem Kunststoff B
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Aufgabensammlung
Es sei x 3 die Anzahl der m², die mit dem Kunststoff C
belegt werden.
Dann gilt:
1) x1, x2, x3 0
x1 x2 x3 3.000
2) x1 800
5x1 8x2 10x3 20.000
3) 30x1 15x2 10x3 Z Min
Wir können dieses mathematische Modell mit drei Variablen leicht auf ein mathematisches Modell mit zwei Variablen zurückführen, wenn wir beachten, dass
x1 x2 x3 3.000
ist. Eliminieren wir
x3 3.000 x1 x2
so erhalten wir nach dem einsetzen
1) x1, x2 0
x1 800
2) x1 x2 3.000
5x1 2x2 10.000
20x1 5x2 30.000 Z Min
3) 5x2 20x1 30.000
x2 4x1 6.000
Es wird die grafische Lösung gewählt.
Dabei stellen wir fest, dass die Werte nur abgeschätzt werden können und nicht
genau vorliegen.
Für das Zeichnen der Zielgerade ergibt sich eine Steigung von -4.
Wir erhalten als Lösung x1 1.333; x2 1.667; x3 0; ZMin 64.995
Aufgabe 19:
Ein Unternehmen gewinnt aus drei Rohstoffen (R 1 , R2 , R3 ) zwei Mineralien (M 1,M 2 ). Eine
Tonne M 1 wird aus 6 Tonnen R 1, 4 Tonnen R2 und 4 Tonnen R3 hergestellt; eine Tonne
M 2 ergibt sich aus 3 Tonnen R 1, 4 Tonnen R 2 und 12 Tonnen R 3. Pro Woche stehen maximal 60 Tonnen R 1, 44 Tonnen R 2 und 84 Tonnen R 3 zur Verfügung. Eine Tonne M 1 bzw.
M 2 wirft einen Gewinn von 200 € bzw. 300 € ab.
a) Lösen Sie dieses Problem grafisch. (6,5)
b) Was würde sich für das Optimum ergeben, wenn zusätzlich zu den obigen Voraussetzungen verlangt würde, dass von M 2 mindestens 8 Tonnen erzeugt werden müssten?
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Aufgabensammlung
Lösung:
Das entsprechende lineare Optimierungsproblem lautet in Grundform:
Max Z = 200x 1 +300x 2
x1
x
2 1
Z
Z
200 300
6x1 +3x2 <60
4x1 +4x2 <44
4x1 +12x2 <84
x1 ,x2 >=0
Grafische Lösung für a)
Der Grafik entnimmt man, dass der Optimalpunkt in dieser Aufgabe eindeutig der
Schnittpunkt der zweiten und der dritten Nebenbedingungsgeraden ist. Diesen bestimmt
man
als
Lösung
des
linearen
Gleichungssystems:
Hieraus ergibt sich die optimale Lösung x* = (x 1 *, x 2*) = (6,5).
D.h. es ist unter den beschriebenen Bedingungen gewinnmaximal 6 Tonnen des Minerals 1 und 5 Tonnen des Minerals 2 herzustellen.
Der maximaleGewinnbeträgt G* = 200[€/to]×6[to] + 300[€/to]×5[to] = 2700,-€. Die
Rohstoffe R 2 und R 3 werden bei dieser Produktion vollständig verbraucht. (geometrisch: das Optimum ist der Schnittpunkt von NB2 und NB3), während von Rohstoff
1 noch Restkapazität verbleibt.
Lösung für b)
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Aufgabensammlung
Die Nebenbedingungen widersprechen sich.
Dies führt dazu, dass der zulässige Bereich leer ist.
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Aufgabensammlung
Aufgabe 20:
Ein Student ernährt sich ausschließlich von Obst und Gemüse, die er möglichst kostengünstig einkaufen will. Dabei muss er darauf achten, die erforderlichen Mindestmengen an Eiweiß, Fett und Energie zu sich zu nehmen.
Die Preise für Obst und Gemüse und die Nährstoffzusammensetzungen in Mengeneinheiten je 100 g Obst bzw. 100g Gemüse ebenso wie die täglichen Nährstoffmindestmengen entnimmt man der folgenden Tabelle:
Lösen Sie dieses Problem grafisch.
Lösung:
Das
entsprechende
lineare
Optimierungsproblem
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lautet
in
Grundform
Aufgabensammlung
Der Grafik entnimmt man, dass der Optimalpunkt in dieser Aufgabe eindeutig der
Schnittpunkt der zweiten und der dritten Nebenbedingungsgeraden ist. Diesen bestimmt man als Lösung des linearen Gleichungssystems:
Hieraus ergibt sich die optimale Lösung x* = (x 1 *,x2*) = (8,3).
D.h. es ist unter den beschriebenen Bedingungen kostenminimal, die Mahlzeiten
aus 500g Obst und 300g Gemüse zusammenzusetzen.
Der minimalen Kosten betragen K* = 1[€/100g]×8[100g] + 2[€/100g]×3[100g] = 14,€. Der tägliche Mindestbedarf an Fett und Energie wird durch diese Zusammensetzung genau gedeckt. (geometrisch: das Optimum ist der Schnittpunkt von NB2 und
NB3), während mehr als das Mindestmaß an Eiweiß in den Mahlzeiten enthalten ist.
Aufgabe 21:
Ein Kleinbetrieb fertigt für ein Versandhaus Tische in zwei Ausführungen. Ein Tisch der
Ausführung A benötigt 3 Stunden Arbeitszeit, 100 Einheiten Material und er wirft 60 €
Gewinn ab. Ein Tisch der Ausführung B benötigt 2 Stunden Arbeitszeit, er hat 100 Einheiten Materialverbrauch, und der Gewinn beträgt 20 €.
Pro Woche stehen höchstens 240 Arbeitsstunden und genau 10.000 Einheiten Material
(die wegen fehlender Lagermöglichkeiten auch verbraucht werden müssen) zur Verfügung; außerdem können von Ausführung A aus Kapazitätsgründen maximal 60 Tische
gefertigt werden. Gesucht sind die gewinnmaximalen Produktionsmengen.
Formulieren Sie ein entsprechendes lineares Optimierungsproblem und lösen Sie es
grafisch.
Lösung:
Kontrollvariablen:
x1 := Menge Tisch A in Stck.
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Aufgabensammlung
x2 := Menge Tisch B in Stck.
Damit ergibt sich folgende Aufgabe:
Bei der Lösung dieser Aufgabe ist zu beachten, dass die NB1 lediglich eine Gerade
beschreibt, so dass der zulässige Bereich lediglich ein Teil dieser Lin ie sein kann.
Der Grafik entnimmt man, dass der Optimalpunkt in dieser Aufgabe eindeutig der
Schnittpunkt der ersten und der zweiten Nebenbedingungsgeraden ist. Diesen bestimmt
man
als
Lösung
des
linearen
Gleichungssystems:
Hieraus ergibt sich die optimale Lösung x* = (x1*,x2*) = (40,60).
D.h. es ist unter den beschriebenen Bedingungen gewinnmaximal 40 Tische vom
Typ A und 60 Tische vom Typ B herzustellen.
Der maximale Gewinn beträgt G* = 60[€/Stck]×40[Stck] + 20[€/Stck]×60[Stck] =
2700€. Material und Arbeitszeit werden bei dieser Produktion vollständig verbraucht.
Die Kapazität für x1 wird nicht erschöpft.
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Aufgabensammlung
Aufgabe 22:
Die Lösung des folgenden Optimierungsproblems ist ganzzahlig. Bestimmen Sie diese
Lösung grafisch. Schraffieren Sie dazu den zulässigen Bereich, und kreisen Sie den Optimalpunkt ein. Welchen Wert nimmt die Zielfunktion im Optimum an?
Lösung:
Der Grafik entnimmt man, dass der Optimalpunkt in dieser Aufgabe eindeutig der
Schnittpunkt der ersten und der dritten Nebenbedingungsgeraden ist. Offensichtlich ist x 2=4. Dieser Wert ist in die erste Nebenbedingung (mit Gleichheit gelesen)
einzusetzen:
Hieraus ergibt sich die optimale Lösung x* = (x 1 *,x2*) = (2,4).
Der maximale Wert der Zielfunktion beträgt G* = 2×2 + 8×4 = 36.
Die Nebenbedingungen 1 und 3 werden mit Gleichheit erfüllt.
Die Nebenbedingungen 2 und 4 mit " ".
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Aufgabensammlung
Aufgabe 23:
In einer Möbelfabrik sollen Holzplatten zu unterschiedlich langen Brettern zersägt werden. Die Bretter werden als Zwischenböden in Schränken benötigt. Gesägt wird nach
den Plänen I und II. Die Maße in den Plänen sind in der Einheit Meter angegeben.
Zum Zusammenbau der Schränke werden mindestens 1200 Stück von den 0,8 m langen
Brettern, mindestens 2400 Stück von den 0,6 m langen Brettern und mindestens 1050
Stück von den 0,9 m langen Brettern benötigt.
Der Abfall, der pro Platte entsteht, ist bei den Plänen I und II unterschiedlich.
Wie oft muss jeweils nach den Plänen I und II zugeschnitten werden, damit der Abfall
möglichst klein wird?
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Aufgabensammlung
Lösung:
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
Simplex-Algorithmus (rechnerisch)
Aufgabe 24:
Lösen Sie folgendes LOP-Problem mit dem Simplex-Algorithmus.
Z:
Max
Z=3x1 +2x2
2x1 x2 100
NB:
x1 x2 80
x1 40
NNB: x1, x2 0
Lösung:
Wählen wir die Schlupfvariablen als Basisvariablen und die Variablen x 1 und x 2 (die
Strukturvariablen des Problems) als Nichtbasisvariablen, so erhalten wir als erste
zulässige Lösung:
2x1 x2 x3 100
x1 x2 x4 80
x1 x5 40
Durch Umformung ergibt sich folgende Darstellung:
x3 100 2x1 x2
x4 80 x1 x2
x5 40 x1
Z 0 3x1 2x2
Dadurch folgt die erste zulässige Lösung:
x3 100
x4 80
x5 40
x1 x2 0
Z 0
Aus den obigen Gleichungen wird ersichtlich:
Der Gewinn Z wächst um 3 GE, wenn x 1 um 1 ME erhöht wird, und wächst um 2 GE,
wenn x 2 um 1 ME erhöht wird.
Als neue Basisvariable wählt man diejenige bisherige Nichtbasisvariable, die pro ME
die größte Verbesserung des Zielfunktionswertes verspricht. In unserem Beispiel
wird daher x 1 neue Basisvariable.
x1 kann maximal den Wert 40 annehmen, wenn keine andere Variable negativ werden soll (damit bleibt x 3 =20 > 0; x 4 =10 > 0; x 5 wird 0 und neue Nichtbasisvariable,
x2 bleibt Nichtbasisvariable.
Damit erhalten wir eine zweite zulässige Basislösung:
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Aufgabensammlung
Man erhält sie durch einsetzen von x 1 =40-x5 in die Gleichungen der ersten zulässigen Basislösung.
x3 100 2(40 x5 ) x2 20 x2 2x5
x4 80 (40 x5 ) x2 40 x5 x2
x5 40 x1 x1 40 x5
Z 0 3(40 x5 ) 2x2 120 2x2 3x5
Damit ergeben sich folgende Zwischenlösungen:
x1 40 x5
x3 20 x2 2x5
x4 40 x5 x2
x2 x5 0
Z 120 2x2 3x5
Vergleichen wir die gefundene Zwischenlösung (x 1 =40; x 2 =0; x3 =20; x 4 =40; x 5 =0)
Als neue Basisvariable wählt man diejenige bisherige Nichtbasisvariable, die pro ME
die größte Verbesserung des Zielfunktionswertes verspricht. In unserem Beispiel
wird daher x 2 neue Basisvariable.
x2 kann maximal den Wert 20 annehmen, wenn keine andere V ariable negativ werden soll (x 1 =40; x 2 =20; x3 =0; x 4 =20; x 5 =0) und neue Nichtbasisvariable, x 3 bleibt
Nichtbasisvariable.
Man erhält sie durch einsetzen von x2 20 x3 2x5 in die Gleichungen der ersten
zulässigen Basislösung.
x1 40 x5
x3 20 x2 2x5 x2 20 x3 2x5
x4 40 x5 (20 x3 2x5 ) 20 x3 x5
x2 x5 0
Z 120 2(20 x3 2x5 ) 3x5 160 2x3 x5
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Aufgabensammlung
Damit ergeben sich folgende Zwischenlösungen:
x1 40 x5
x2 20 x3 2x5
x4 20 x3 x5
x2 x5 0
Z 160 2x3 x5
Als neue Basisvariable wählt man diejenige bisherige Nichtbasisvariable, die pro ME
die größte Verbesserung des Zielfunktionswertes verspricht. In unserem Beispiel
wird daher x 5 neue Basisvariable.
x5 kann maximal den Wert 20 annehmen, wenn keine andere Variable negativ werden soll (x 1 =20; x 2 =60; x3 =0; x 4 =0; x 5 =20) und neue Nichtbasisvariable, x 4 bleibt
Nichtbasisvariable.
Man erhält sie durch einsetzen von x5 20 x3 x 4 in die Gleichungen der ersten
zulässigen Basislösung.
x1 40 (20 x3 x4 ) 20 x3 x4
x2 20 x3 2(20 x3 x4 ) 60 x3 x4
x4 20 x3 x5 x5 20 x3 x4
x2 x4 0
Z 160 2x3 20 x3 x4 180 x3 x4
Damit ergeben sich folgende Zwischenlösungen:
x1 20 x3 x4
x2 60 x3 x4
x5 20 x3 x4
x3 x4 0
Z 180 x3 x4
Diese Basislösung mit x 1 =20; x 2 =60; x3 =0; x 4 =0; x 5 =20 und Z=180 ist optimal, denn
eine Erhöhung von x 3 bzw. x 4 würde zu einer Verminderung des Gewinns führen.
Aufgabe 25:
Lösen Sie folgendes LOP-Problem mit dem Simplex-Algorithmus.
Z:
Max
Z=x1 +3x2
x1 x2 15
NB:
x2 12
3x1 2x2 36
x1 10
NNB: x1, x2 0
Lösung:
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Aufgabensammlung
Wählen wir die Schlupfvariablen als Basisvariablen und die Variablen x 1 und x 2 (die
Strukturvariablen des Problems) als Nichtbasisvariablen, so erhalten wir als erste
zulässige Lösung:
x1 x2 x3 15
x2 x4 12
3x1 2x2 x5 36
x1 x6 10
Durch Umformung ergibt sich folgende Darstellung:
x3 15 x1 x2
x4 12 x2
x5 36 3x1 2x2
x6 10 x1
Z 0 x1 3x2
Dadurch folgt die erste zulässige Lösung:
x3 15
x4 12
x5 36
x6 10
x1 x2 0
Z 0
Aus den obigen Gleichungen wird ersichtlich:
Der Gewinn Z wächst um 1 GE, wenn x 1 um 1 ME erhöht wird, und wächst um 3 GE,
wenn x 2 um 1 ME erhöht wird.
Als neue Basisvariable wählt man diejenige bisherige Nichtbasisvariable, die pro ME
die größte Verbesserung des Zielfunktionswertes verspricht. In unserem Beispiel
wird daher x 1 neue Basisvariable.
x2 kann maximal den Wert 12 annehmen, wenn keine andere Variable negativ werden soll (damit bleibt x 1 =0; x2 =12; x 3 =15; x 4 =; x 4 wird 0 und neue Nichtbasisvariable,
x2 bleibt Nichtbasisvariable x 5 =36; x 6 =10.
Damit erhalten wir eine zweite zulässige Basislösung:
Man erhält sie durch einsetzen von x 2 =12-x4 in die Gleichungen der ersten zulässigen Basislösung.
x3 15 x1 (12 x4 ) 3 x1 x4
x4 12 x2 x2 12 x4
x5 36 3x1 2(12 x4 ) 12 3x1 2x4
x6 10 x1
Z 0 x1 3(12 x4 ) 36 x1 3x4
Damit ergeben sich folgende Zwischenlösungen:
Seite 50 von 355
Aufgabensammlung
x2 12 x4
x3 3 x1 x4
x5 12 3x1 2x4
x6 10 x1
Z 36 x1 3x4
Vergleichen wir die gefundene Zwischenlösung (x 1 =0; x 2 =12; x3 =3; x 4 =0; x 5 =12;
x6 =10)
Aus den obigen Gleichungen wird ersichtlich:
Der Gewinn Z wächst um 1 GE, wenn x 1 um 1 ME erhöht wird, und wächst um -3 GE,
wenn x 2 um 1 ME erhöht wird.
Als neue Basisvariable wählt man diejenige bisherige Nichtbasisvariable, die pro ME
die größte Verbesserung des Zielfunktionswertes verspricht. In unserem Beispiel
wird daher x 1 neue Basisvariable.
x1 kann maximal den Wert 3 annehmen, wenn keine andere Variable negativ werden soll (damit bleibt x 1 =3; x2 =12; x 3 =15; x 4 =; x 4 wird 0 und neue Nichtbasisvariable,
x2 bleibt Nichtbasisvariable x 5 =36; x 6 =10.
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Aufgabensammlung
Damit erhalten wir eine zweite zulässige Basislösung:
Man erhält sie durch einsetzen von x 1 =3-x 3 +x 4 in die Gleichungen der ersten zulässigen Basislösung.
x2 12 x4
x3 3 x1 x4 x1 3 x3 x4
x5 12 3(3 x3 x4 ) 2x4 3 3x3 3x4
x6 10 (3 x3 x4 ) 7 x3 x4
Z 36 (3 x3 x4 ) 3x4 39 x3 2x4
Damit ergeben sich folgende Zwischenlösungen:
x1 3 x3 x4
x2 12 x4
x5 3 3x3 3x4
x6 7 x3 x4
Z 39 x3 2x4
Diese Basislösung mit x 1 =3; x 2 =12; x 3 =0; x 4 =0; x5 =3; x 6 =7 und Z=39 ist optimal, denn
eine Erhöhung von x 3 bzw. x 4 würde zu einer Verminderung des Gewinns führen.
Aufgabe 26:
Gegeben sei das LOP
Z:
Max
z=2.000x 1 +3.000x 2
x1 6
NB:
2x 1 x 2 16
x 1 4x 2 36
NNB: x 1 , x 2 0
Lösung:
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Aufgabensammlung
Seite 53 von 355
Aufgabensammlung
Seite 54 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 27:
Eine Jugendgruppe beschließt, Zelte einzukaufen. In einem Sonderangebot werden
zwei verschiedene Sorten von Zelten für jeweils 10 und 15 Personen preiswert angeboten. Von den 10-Personenzelten sind noch 5 und von den 15-Personenzelten nur noch
4 vorrätig. Die Zelte für 10 Personen kosten 200 Euro je Stück und diejenigen für 15
Personen insgesamt 400 Euro je Stück. Die Jugendgruppe kann insgesamt höchstens
1800 Euro für die Zelte ausgeben.
Wie viele 10- und 15-Personenzelte kann die Jugendgruppe kaufen, damit eine möglichst große Anzahl von Jugendlichen in den Zelten untergebracht werden kann?
Lösung:
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
Seite 57 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 28:
Ein Hersteller produziert zwei Sortimente eines Artikels, der aus Teilen besteht, die
geschnitten, zusammengebaut und fertig gestellt werden müssen.
Der Unternehmer weiß, dass er so viele Artikel verkaufen kann, wie er produziert. Sortiment 1 benötigt 25 Minuten zum Zerschneiden, 60 Minuten zum Zusammenbau und
68 Minuten, um es verkaufsfertig zu machen. Es erzielt 30 Euro Gewinn. Für Sortiment
2 braucht man 75 Minuten zum Schneiden, 60 Minuten für den Zusammenbau und 34
Minuten, zur Fertigstellung. Dieses Sortiment erzielt einen Gewinn von 40 Euro. Es stehen nicht mehr als 450 Minuten zum, Zerschneiden, 480 Minuten zum Zusammenbau
und 476 Minuten zum Fertigstellen pro Tag zur Verfügung.
Nun stellt sich dem Unternehmer die Frage, wie viele Artikel von jedem Sortiment jeden Tag produziert werden müssen, um den Gewinn zu maximieren.
Lösung:
Als erstes müssen wir wieder die Angaben in Ungleichungen umändern und Variablen verteilen.
Es seien x die Anzahl der Artikel aus Sortiment 1 und y die Anzahl der Artikel aus
Sortiment zwei.
Die Werte für x und y können nicht negativ sein, sondern nur Beträge größer oder
gleich null annehmen:
x >= 0
y >= 0
Die Zuschneide-, Zusammenbau- und Fertigstellungszeiten führen zu folgenden Ungleichungen:
25x+75y <= 450
x+3y<=18
60x+60y <= 480
x+y<=8
68x+34y <= 476
2x+y<=14
Graphische Lösung:
In einer Grafik repräsentieren diese drei Ungleichungen die Flächen unterhalb den
vorgegebenen Linien, während die ersten beiden Ungleichungen genau auf den Achsen liegen, und damit die Fläche abgrenzen:
Das Problem besteht nun darin, Werte für x und y zu finden, die alle Randbedingungen erfüllen und den Gewinn maximieren. Um dies zu erreichen müssen wir zunächst wieder die Zielfunktion aufstellen:
30*x+40*y = Z
Nun wird diese Funktion in eine Form umgeschrieben, die in ein Koordinatensystem
eingetragen werden kann.
x
y
1 Man wählt z=120
Z
Z
30 40
Seite 58 von 355
Aufgabensammlung
Jetzt gibt man wieder beliebige Werte für Z ein, bis eine der entstehenden Funktionen den möglichen Bereich nur noch in einem Punkt schneidet. Dieser Punkt kennzeichnet das Wertepaar, mit dem eine optimale Anzahl an Sortimenten hergestellt
wird.
Dieses Ergebnis (3 / 5) lässt sich wieder mit der Probe überprüfen:
3*30 Euro+5*40 Euro=290 Euro. Der Unternehmer sollte also drei Artikel aus Sortiment 1 und fünf Artikel aus Sortiment 2 herstellen, um die Arbeitsze it optimal auszunutzen und den Gewinn dabei zu maximieren.
Aufgabe 29:
Ein Unternehmen gewinnt aus drei Rohstoffen (R 1 , R2 , R3 ) zwei Mineralien (M 1,M 2 ). Eine
Tonne M 1 wird aus 6 Tonnen R 1, 4 Tonnen R2 und 4 Tonnen R3 hergestellt; eine Tonne
M 2 ergibt sich aus 3 Tonnen R1, 4 Tonnen R 2 und 12 Tonnen R 3. Pro Woche stehen maximal 60 Tonnen R 1, 44 Tonnen R 2 und 84 Tonnen R 3 zur Verfügung. Eine Tonne M 1 bzw.
M 2 wirft einen Gewinn von 200 € bzw. 300 € ab.
Lösen Sie dieses Problem.
Lösung:
Das entsprechende lineare Optimierungsproblem lautet in Grundform:
Max Z = 200x 1 +300x 2
x1
x
2 1
Z
Z
200 300
6x1 +3x2 <60
4x1 +4x2 <44
4x1 +12x2 <84
x1 ,x2 >=0
Grafische Lösung für a)
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Aufgabensammlung
Der Grafik entnimmt man, dass der Optimalpunkt in dieser Aufgabe eindeutig der
Schnittpunkt der zweiten und der dritten Nebenbedingungsgeraden ist. Diesen bestimmt
man
als
Lösung
des
linearen
Gleichungssystems:
Hieraus ergibt sich die optimale Lösung x* = (x 1 *, x 2*) = (6,5).
D.h. es ist unter den beschriebenen Bedingungen gewinnmaximal 6 Tonnen des Minerals 1 und 5 Tonnen des Minerals 2 herzustellen.
Der maximaleGewinnbeträgt G* = 200[€/to]×6[to] + 300[€/to]×5[to] = 2700,-€. Die
Rohstoffe R 2 und R 3 werden bei dieser Produktion vollständig verbraucht. (geometrisch: das Optimum ist der Schnittpunkt von NB2 und NB3), während von Rohstoff
1 noch Restkapazität verbleibt.
Aufgabe 30:
Ein Kleinbetrieb fertigt für ein Versandhaus Tische in zwei Ausführungen. Ein Tisch der
Ausführung A benötigt 3 Stunden Arbeitszeit, 100 Einheiten Material und er wirft 60 €
Gewinn ab. Ein Tisch der Ausführung B benötigt 2 Stunden Arbeitszeit, er hat 100 Einheiten Materialverbrauch, und der Gewinn beträgt 20 €.
Pro Woche stehen höchstens 240 Arbeitsstunden und genau 10.000 Einheiten Material
(die wegen fehlender Lagermöglichkeiten auch verbraucht werden müssen) zur Verfügung; außerdem können von Ausführung A aus Kapazitätsgründen maximal 60 Tische
gefertigt werden. Gesucht sind die gewinnmaximalen Produktionsmengen.
Formulieren Sie ein entsprechendes lineares Optimierungsproblem und lösen Sie es.
Lösung:
Kontrollvariablen:
x1 := Menge Tisch A in Stck.
x2 := Menge Tisch B in Stck.
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Aufgabensammlung
Damit ergibt sich folgende Aufgabe:
Bei der Lösung dieser Aufgabe ist zu beachten, dass die NB1 lediglich eine Gerade
beschreibt, so dass der zulässige Bereich lediglich ein Teil dieser Linie sein kann.
Der Grafik entnimmt man, dass der Optimalpunkt in dieser Aufgabe eindeutig der
Schnittpunkt der ersten und der zweiten Nebenbedingungsgeraden ist. Diesen bestimmt
man
als
Lösung
des
linearen
Gleichungssystems:
Hieraus ergibt sich die optimale Lösung x* = (x1*,x2*) = (40,60).
D.h. es ist unter den beschriebenen Bedingungen gewinnmaximal 40 Tische vom
Typ A und 60 Tische vom Typ B herzustellen.
Der maximale Gewinn beträgt G* = 60[€/Stck]×40[Stck] + 20[€/Stck]×60[Stck] =
2700€. Material und Arbeitszeit werden bei dieser Produktion vollständig verbraucht.
Die Kapazität für x1 wird nicht erschöpft.
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Aufgabensammlung
Simplex-Algorithmus (Pivot-Tabelle)
Aufgabe 31:
Lösen Sie folgendes LOP-Problem mit dem Simplex-Algorithmus in Pivot-TabellenForm.
Z:
Max
Z=x1 +3x2
x1 x2 15
x2 12
NB:
3x1 2x2 36
x1 10
NNB: x1, x2 0
Lösung:
BV
x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
x3
1
1
1
0
0
0
15
x4
0
[1]
0
1
0
0
12
x5
3
2
0
0
1
0
36
x6
1
0
0
0
0
1
10
Z
-1
-3
0
0
0
0
0
BV
x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
x3
[1]
0
1
-1
0
0
3
x2
0
1
0
1
0
0
12
x5
3
0
0
-2
1
0
12
(3)3*(1)
x6
1
0
0
0
0
1
10
(4)(1)
Z
-1
0
0
3
0
0
36
Z+(1)
BV
x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
x1
1
0
1
-1
0
0
3
x4
0
1
0
1
0
0
12
x5
0
0
-3
1
1
0
3
x6
0
0
-1
1
0
1
7
Z
0
0
1
2
0
1
39
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(1)(2)
(3)*2(2)
3*(2)Z
Aufgabensammlung
L {x1 3; x2 12; Z 39}
Seite 63 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 32:
Folgendes Problem der Produktionsprogrammplanung:
Auf zwei Maschinen A und B werden zwei Produkte 1 und 2 gefertigt. Die technischen
Produktionskoeffizienten, Maschinenkapazitäten und Deckungsbeiträge (DB) pro ME
jedes Produktes sind der folgenden Tabelle zu entnehmen.
Technische
Produktionskoeffizienten
Produkt 1
Produkt 2
Maschinenkapazität
Maschine A
1
2
8
Maschine B
3
1
9
DB/ME
6
4
Gesucht sei unter den gegebenen Restriktionen das Produktionsprogramm mit dem
maximalen Deckungsbeitrag. Wenden Sie hier für den Simplex-Algorithmus in PivotDarstellung an.
Lösung:
Lösung:
BV
x1
x2
x3
x4
b
x3
1
2
1
0
8
(1)-(2)/3
x4
[3]
1
0
1
9
/3
Z
-6
-4
0
0
0
2*(2)+Z
BV
x1
x2
x3
x4
b
x2
0
[5/3]
1
-1/3
5
*3/5
x1
1
1/3
0
1/3
3
(2)-(1)/5
Z
0
-2
0
2
18
(1)*6/5+Z
BV
x1
x2
x3
x4
b
x2
0
1
3/5
-1/5
3
x1
1
0
-1/5
6/15
2
Z
0
0
6/5
8/5
24
L {x1 2; x2 3; Z 24 }
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Aufgabensammlung
Aufgabe 33:
Es ist ein Produktionsproblem mit folgenden Bedingungen gegeben:
Z:
Max
Z=120x 1 +90x 2
x1 x2 1000
x1 600
NB:
x2 800
3x1 2x2 2400
NNB: x1, x2 0
Lösung:
BV
x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
x3
1
1
1
0
0
0
1000
x4
[1]
0
0
1
0
0
600
x5
0
1
0
0
1
0
800
x6
3
2
0
0
0
1
2400
4-3*(2)
Z
120
-90
0
0
0
0
0
120*(2)+Z
BV
x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
x3
0
1
1
-1
0
0
400
x1
1
0
0
1
0
0
600
x5
0
1
0
0
1
0
800
30,5*(4)
x2
0
[2]
0
-3
0
1
600
/(2)
Z
0
-90
0
120
0
0
72.000
45*(4)+Z
BV
x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
x3
0
0
1
[1/2]
0
1/2
100
*2
x1
1
0
0
1
0
0
600
2-2*(1)
x5
0
0
0
3/2
1
1/2
500
(3)-3*(1)
x2
0
1
0
-3/2
0
1/2
300
(4)+3*(1)
Z
0
0
0
-15
0
45
99.000
30*(1)+Z
Seite 65 von 355
(1)-(2)
(1)0,5*(4)
Aufgabensammlung
BV
x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
x4
0
0
2
1
0
-1
200
x1
1
0
-2
0
0
1
400
x5
0
0
-3
0
1
1
200
x2
0
1
3
0
0
-1
600
Z
0
0
30
0
0
30
102.000
L {x1 400; x2 600; Z 102.000}
Aufgabe 34:
Ein Maximumproblem mit folgenden Bedingungen ist gegeben:
Z:
Max
Z=2x1 +x2 +3x 3 +x4
2x1 4 x2 x4 20
x1 x2 5x3 x4 30
NB:
x2 x3 x4 10
NNB: x1, x2 , x3 , x4 0
Lösung: x 1 =10; x 2 =0; x 3 =4; x4 =0; Z=32
Lösung:
BV
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
b
x5
2
4
0
1
1
0
0
20
x3
1
1
[5]
1
0
1
0
30
/5
x7
0
1
1
1
0
0
1
10
(3)-(2)/5
Z
-2
-1
-3
-1
0
0
0
0
(2)*3/5+Z
BV
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
b
x5
[2]
4
0
1
1
0
0
20
/2
x6
1/5
1/5
1
1/5
0
1/5
0
6
2-0,1*(1)
x7
1/5
4/5
0
4/5
0
1/5
1
4
3+0,1*(1)
Z
7/5
2/5
0
2/5
0
3/5
1
18
0,7*(1)+Z
BV
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
b
x1
1
2
0
1/2
1/2
0
0
10
Seite 66 von 355
Aufgabensammlung
x6
0
-1/5
1
1/10
1/10
1/5
0
4
x7
0
6/5
0
9/10
1/10
1/5
1
6
Z
0
12/5
0
3/10
7/10
3/5
1
32
L {x1 10; x2 0; Z 32}
Seite 67 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 35:
Ein Maximums-Problem mit zwei Variablen
Z:
Max
Z=x1 +3x2
4x1 5x2 60
x1 10
NB:
x2 8
NNB: x1, x2 0
Lösung: x 1 =5; x 2 =8; Z=29
Lösung:
Dies stellen wir in einem Tableau dar:
BV
x1
x2
x3
x4
x5
b
x3
4
5
1
0
0
60
x4
1
0
0
1
0
10
X2
0
[1]
0
0
1
8
Z
-1
-3
0
0
0
0
BV
x1
x2
x3
x4
x5
b
x1
[4]
0
1
0
-5
20
/4
x4
1
0
0
1
0
10
(2)(1)/4
x2
0
1
0
0
1
8
Z
-1
0
0
0
3
24
BV
x1
x2
x3
x4
x5
b
x1
1
0
1/4
0
-5/4
5
x4
0
0
1/4
1
5/4
5
x2
0
1
0
0
1
8
Z
0
0
¼
0
7/4
29
L {x1 5; x2 8; Z 29}
Seite 68 von 355
1-5*(3)
3*(3)+Z
(1)/4+Z
Aufgabensammlung
Aufgabe 36:
Ein Maximums-Problem mit zwei Variablen
Z:
Max
Z=4000x 1 +3000x 2
x1 x2 100
2x1 x2 160
NB:
x1 2x2 160
NNB: x1, x2 0
Lösung: x 1 =60; x 2 =40 Z=360.000
Lösung:
Dies stellen wir in einem Tableau dar:
BV
x1
x2
x3
x4
x5
b
x3
1
1
1
0
0
100
(1)-(2)/2
x4
[2]
1
0
1
0
160
/2
x5
1
2
0
0
1
160
(3)-(2)/2
Z
4000
3000
0
0
0
0
2000*(2)+Z
BV
x1
x2
x3
x4
x5
b
x3
0
[1/2]
1
-1/2
0
20
*2
x1
1
1/2
0
1/2
0
80
(2)-(1)
x5
0
3/2
0
-1/2
1
80
(3)-3*(1)
Z
0
1000
0
2000
0
320.000
2000*(1)+Z
BV
x1
x2
x3
x4
x5
b
x2
0
1
2
-1
0
40
x1
1
0
-1
1
0
60
x5
0
0
-3
1
1
20
Z
0
0
2000
1000
0
360.000
L {x1 60; x2 40; Z 360.000}
Seite 69 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 37:
Ein Maximums-Problem mit zwei Variablen
Z:
Max
Z=5x1 +2x2 +4x3
x1 x2 2x3 28
2x1 3x2 x3 50
NB:
x1 12
x2 x3 13
NNB: x1, x2 , x3 0
Lösung: x 1 =12; x 2 =0; x 3 =8 Z=92
Lösung:
Dies stellen wir in einem Tableau dar:
BV
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
b
x4
1
1
2
1
0
0
0
28
(1)-(3)
x5
2
3
1
0
1
0
0
50
(2)-2*(3)
x6
[1]
0
0
0
0
1
0
12
x7
0
1
1
0
0
0
1
13
Z
-5
-2
-4
0
0
0
0
0
BV
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
b
x4
0
1
[2]
1
0
-1
0
16
/2
x5
0
3
1
0
1
-2
0
26
(2)(1)/2
x1
1
0
0
0
0
1
0
12
x7
0
1
1
0
0
0
1
13
(4)-
Z
0
-2
-4
0
0
5
0
60
2*(1)+Z
BV
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
b
x3
0
1/2
1
1/2
0
1/2
0
8
x5
0
5/2
0
1/2
1
3/2
0
18
x1
1
0
0
0
0
1
0
12
x7
0
1/2
0
1/2
0
1/2
1
5
Seite 70 von 355
5*(3)+Z
(1)/2
Aufgabensammlung
Z
0
0
0
2
0
L {x1 12; x2 0; x3 8; Z 92}
Seite 71 von 355
3
0
92
Aufgabensammlung
Aufgabe 38:
Ein Maximums-Problem mit zwei Variablen
Z:
Max
Z=x1 +3x2
x1 x2 15
x2 12
NB:
3x1 2x2 36
x1 10
NNB: x1, x2 0
Lösung: x 1 =3; x 2 =12; Z=39
Lösung:
Dies stellen wir in einem Tableau dar:
BV
x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
x3
1
1
1
0
0
0
15
x4
0
[1]
0
1
0
0
12
x5
3
2
0
0
1
0
36
x6
1
0
0
0
0
1
10
Z
-1
-3
0
0
0
0
0
BV
x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
x3
[1]
0
1
-1
0
0
3
x2
0
1
0
1
0
0
12
x5
3
0
0
-2
1
0
12
(3)3*(1)
x6
1
0
0
0
0
1
10
(4)(1)
Z
-1
0
0
3
0
0
36
(1)+Z
BV
x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
x1
1
0
1
-1
0
0
3
x2
0
1
0
1
0
0
12
x5
0
0
3
1
1
0
3
x6
0
0
-1
1
0
1
7
Z
0
0
1
2
0
0
39
L {x1 3; x2 12; Z 39}
Seite 72 von 355
(1)-(2)
(3)-2*(2)
3*(2)+Z
Aufgabensammlung
Dualer Simplex-Algorithmus
Aufgabe 39:
Lösen Sie folgende Aufgabe mit dem Simplex-Algorithmus.
Z:
Max
z=x1 +3x2
x1 6
x1 x 2 4
2 x 1 x 2 16
NB:
x 1 4 x 2 36
NNB: x 1 , x 2 0
Lösung:
Es wird zunächst der mögliche Lösungsbereich ermittelt.
Anschließendes Umformen der Zielfunktion:
x1
x
2 1
Z
Z
1
3
z. B. Vorgabe Z=12
x1 x 2
1
12 4
Der optimale Punkt ist P(4,8).
Dadurch ergibt sich für Z=28
Aufgabe 40:
Lösen Sie folgende Aufgabe mit dem Simplex-Algorithmus.
Z:
Max
z=8x 1 +4x2
3x 1 5x 2 32
4x 1 4x 2 32
NB:
5x 1 2x 2 28
NNB: x 1 , x 2 0
Lösung:
Es wird zunächst der mögliche Lösungsbereich ermittelt.
Anschließendes Umformen der Zielfunktion:
x1 x 2
1
Z Z
8 4
Seite 73 von 355
Aufgabensammlung
z. B. Vorgabe Z=24
x1 x 2
1
3
6
Dieses LOP unterscheidet sich von den vorangehenden dadurch, dass sich in einem
Punkt mehr als zwei Geraden (hier alle zu den drei Restriktionen gehörenden Geraden) schneiden. Solche Probleme werden als ausgeartet, entartet oder degeneriert
bezeichnet.
Der optimale Punkt ist P(4,4).
Dadurch ergibt sich für Z=48
Aufgabe 41:
Lösen Sie folgende linearen Optimierungsmodelle mit der zeichnerischen Methode.
a) Z:
Max
z=4x+3y
x 3y 9
NB:
x 2y 2
NNB: x, y 0
b) Z:
Max
z=x + y
5x y 10
x 2y 6
NB:
x y 1
NNB: x, y 0
c) Z:
Max
z=2x + y
x y 1
NB:
x 3y 6
NNB: x, y 0
Lösung:
a)
Seite 74 von 355
Aufgabensammlung
b)
Seite 75 von 355
Aufgabensammlung
c)
Seite 76 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 42:
Lösung:
Seite 77 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 43:
Seite 78 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
Seite 79 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 44:
Lösung:
Seite 80 von 355
Aufgabensammlung
Seite 81 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 45:
Lösung:
Seite 82 von 355
Aufgabensammlung
Seite 83 von 355
Aufgabensammlung
Seite 84 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 46:
Lösung:
Seite 85 von 355
Aufgabensammlung
Seite 86 von 355
Aufgabensammlung
Seite 87 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 47:
Lösung:
Seite 88 von 355
Aufgabensammlung
Seite 89 von 355
Aufgabensammlung
Seite 90 von 355
Aufgabensammlung
Diverse zu Linearer Optimierung
Aufgabe 48:
Auf den Malediven soll eine neue Hotelanlage entstehen. Die Investoren wollen eine
Fläche von 6.4000 m² mit maximal 90 Bungalows bebauen. Zur Auswahl stehen folgende Bungalow-Typen:
Bungalow für
2 Personen
Bungalow für
4 Personen
Bungalow für
6 Personen
Größe
60 m²
80 m²
90 m²
Einnahmen pro
Tag
45 Euro
60 Euro
90 Euro
Das geplante hoteleigene Restaurant fasst 300 Personen, so dass Bungalows für eine
Gästeanzahl von maximal 300 Personen gebaut werden sollen.
a) Die Investoren planen in einem ersten Szenario nur Bungalows für 2 und 4 Personen.
Wie viele Bungalows für 2 Personen können gebaut werden, wenn die Einnahmen maximiert werden sollen? Verwenden Sie die graphische Lösungsmethode.
b) In einem zweiten Szenario sind neben den 2- und 4-Personen-Bungalows noch 6Personen-Bungalows zugelassen. Alle anderen Bedingungen bleiben gleich. Bestimmen
Sie mittels des Simplexverfahrens in Tabellenform, wie viele Bungalows der verschiedenen Größen gebaut werden müssen, um möglichst hohe Einnahmen zu erzielen.
Lösung:
x= Anzahl der 2-Personen-Bungalows
y-Anzahl der 4-Personen-Bungalows
Es gelten folgende Einschränkungen:
𝑥 + 𝑦 ≤ 90
60𝑥 + 80𝑦 ≤ 6400
2𝑥 + 4𝑦 ≤ 300
Zu maximieren sind die Einnahmen Z=45x+60y
Grafische Lösung
Seite 91 von 355
Aufgabensammlung
Um die maximalen Einnahmen zu bestimmen wird die Zielfunktion in das Koordinatensystem eingezeichnet.
Damit ergibt sich folgende Lösung:
A(20|65)
oder
B(40|50)
In die Zielfunktion eingesetzt ergibt sich:
Z=45x+60y=45∙20+60∙65=4800 [GE]
Z=45x+60y=45∙40+60∙50=4800 [GE]
b)
x= Anzahl der 2-Personen-Bungalows
y-Anzahl der 4-Personen-Bungalows
z-Anzahl der 6-Personen-Bungalows
Es gelten folgende Einschränkungen:
Seite 92 von 355
Aufgabensammlung
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 90
60𝑥 + 80𝑦 + 90𝑧 ≤ 6400
2𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 ≤ 300
Zu maximieren sind die Einnahmen Z=45x+60y+90z
Einführung von Schlupfvariablen:
Seite 93 von 355
Aufgabensammlung
Seite 94 von 355
Aufgabensammlung
Differentialgleichung
Aufgabe 49:
Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung.
y a y
Lösung:
dy
ay
dx
1
dy a dx
y
1
y dy a dx
ln y a x c
y e ax c
y e ax e c c1e ax
Aufgabe 50:
Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung.
y y 2
Lösung:
dy
1 y 2
dx
1
dy 1dx
y2
1
y
y
2
2
dy 1dx
dy 1dx
y 1 x c
y
1
xc
Aufgabe 51:
Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung.
95-355
Aufgabensammlung
y
x
y
Lösung:
dy x
dx y
y dy x dx
ydy xdx
1 2 1 2
y x c
2
2
y 2 x 2 2c
y 2 x 2 c1
Aufgabe 52:
Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung.
y x y
Lösung:
dy
x y
dx
1
dy xdx
y
1
y dy xdx
1
ln y x 2 c
2
1
y e2
x 2 c
y e e
c
y k e
x2
2
x2
2
Aufgabe 53:
Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung.
y
y
x
96-355
Aufgabensammlung
Lösung:
dy y
dx x
1
1
dy dx
y
x
1
1
y dy x dx
ln y ln x c
y x ec
y kx
Aufgabe 54:
Es ist die Differentialgleichung (1 e x ) y y e x unter Beachtung der Forderung zu lösen, dass die Lösungskurve durch den Punkt P 1 (1,1) gehen soll.
Lösung:
Eine derartige Bedingung wird als Anfangsbedingung für die Lösung der Differenzialgleichung bezeichnet.
Wir suchen zunächst das allgemeine Integral von
(1 e x ) y y e x
y y
y
ex
(1 e x )
dy
ex
dx (1 e x )
ex
ydy
dx
(1 e x )
ydy
ex
dx
(1 e x )
1 2
y ln( 1 e x ) c
2
y 2 ln( 1 e x ) 2c
y 2 ln(1 e x ) c1
Nun wenden wir uns der Forderung zu, dass die Lösungskurve y=f(x) durch den
Punkt P 1 (1,1) gehen soll. Da der Punkt P1 auf der Lösungskurve liegen soll, erfüllen
seine Koordinaten deren Funktionsgleichung
97-355
Aufgabensammlung
1 2
1 ln( 1 e1 ) c
2
1
1
ln( 1 e1 ) c oder c ln( 1 e1 )
2
2
Das gesuchte partikuläre Integral der Differenzialgleichung lautet also
1
y 2 ln( 1 e x ) 2 ln( 1 e)
2
1 ex
y 2 ln
1 e
2
1
Aufgabe 55:
Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung.
(1 y 2 )dx xydy 0
98-355
Aufgabensammlung
Lösung:
(1 y 2 )dx xydy
1
y
dx
dy
x
(1 y 2 )
1
y
x dx (1 y
2
)
dy
1
ln x ln( 1 y 2 ) c
2
xe
1
ln(1 y 2 ) c
2
Aufgabe 56:
Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung.
y
y
x
für x>0, y>0
Lösung:
Hier ist g ( x )
1
x
und
h( y) y
dy
y
dx
x
1
1
dy dx
y
x
1
1
y dy x dx
ln y ln x c
ln xy c
Aufgabe 57:
Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung.
y x y 2 0
Lösung:
dy
xy 2
dx
1
dy xdx
y2
99-355
Aufgabensammlung
1
dy xdx
y2
1 1 2
x c
y 2
1 x 2 2c
y
2
y
2
x 2c
2
Aufgabe 58:
Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung.
y 1 x y
Lösung:
y 1 x y
Substitution:
x y(x) z(x) 1 y z y 1 z
Einsetzen:
1 z 1 z
z z
dz
z
dx
1
z dz dx
ln z x c
ln z ( x c)
z e xc e c e x c1 e x
Rücksubstitution:
z c1 e x
x y c1 e x
y x c1 e x
Probe:
y 1 c1 e x 1 x x c e x 1 c1 e x
Aufgabe 59:
Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung.
100-355
Aufgabensammlung
2x 2
dy
y
dx
Lösung:
dy
y
dx
2x 2
1
1
dy 2 dx
y
2x
1
ln y x 1 c
2
1
x 1 c
2
ye
ye
ye
1
c
2x
1
2x
y c1 e
ec
1
2x
Aufgabe 60:
Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung.
(1 x 2 ) xy y 1 y 2
Lösung:
y
dy
1
2
1 y dx x (1 x 2 )
y
1
dy
dx
2
1 y
x (1 x 2 )
y
1 y
2
dy
1
dx
x (1 x 2 )
1
1
ln( 1 y 2 )
dx
2
x (1 x 2 )
Hier Partialbruchzerlegung:
A Bx C
x 1 x2
A Ax 2 Bx 2 Cx
x (1 x 2 )
101-355
Aufgabensammlung
x 2 (A B) Cx A
x (1 x 2 )
A 1; C 0; B 1
1
1
x
ln( 1 y 2 )
dx
2
x 1 x2
1
1
ln( 1 y 2 ) ln x ln( 1 x 2 ) c
2
2
ln(1 y 2 ) 2 ln x ln(1 x 2 ) 2 c
Nun sei 2 c ln c1 c1 0
ln( 1 y 2 ) ln
x 2 c1
1 x2
x 2 c1
(1 y )
1 x2
2
y2
x 2 c1
1
1 x2
x 2 c1
y
1
1 x2
Aufgabe 61:
Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung.
y x y 2 0
Lösung:
dy
xy 2
dx
1
dy xdx
y2
1
dy xdx
y2
1 1 2
x c
y 2
1 x 2 2c
y
2
y
2
x 2c
2
Aufgabe 62:
102-355
Aufgabensammlung
Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung.
dy t 2
dt y 2
103-355
Aufgabensammlung
Lösung:
y 2 dy t 2 dt
y dy t dt
2
2
y3 t 3
c
3
3
y3 t 3 3c
y 3 t 3 c1
Aufgabe 63:
Lösen Sie bitte folgende DGL:
𝑦′ ∙ 𝑦 + 𝑥 = 0
Lösung:
104-355
Aufgabensammlung
Aufgabe 64:
Ermitteln Sie die partikuläre Lösung, die die gegebene Anfangsbedingung erfüllen:
𝑦′ ∙ 𝑦2 + 𝑥2 − 1 = 0
𝑚𝑖𝑡 𝑥0 = 2; 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 = 1
Lösung:
105-355
Aufgabensammlung
Aufgabe 65:
Lösen Sie folgende lineare Differentialgleichung:
2
2x 2 1
y
y e x ln( x ), x 0
x
'
Geben Sie die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung an.
Wie lautet die Lösung der inhomogenen Gleichung, für die gilt y(1)=1?
Lösung:
106-355
Aufgabensammlung
107-355
Aufgabensammlung
Aufgabe 66:
Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung.
y x y 2 0
Lösung:
dy
xy 2
dx
1
dy xdx
y2
1
dy xdx
y2
1 1 2
x c
y 2
1 x 2 2c
y
2
108-355
Aufgabensammlung
y
2
x 2c
2
Aufgabe 67: (5)
Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem:
Lösung:
Aufgabe 68:
Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung y' (x) 2 y - 5 und bestimmen Sie
3
mit dem gebenden Anfangswert 𝑦(0) = 2 die dazugehörige Differentialgleichung.
Lösung:
109-355
Aufgabensammlung
Aufgabe 69:
Geben Sie die Lösung der folgenden Differentialgleichungen zu dem gegebe nen Anfangswert an.
y’(x)∙y(x) = x 2 + 3 mit y(0) = 0
Lösung:
y’(x)∙y(x) = x 2 + 3
𝑑𝑦
∙ 𝑦 = 𝑥² + 3
𝑑𝑥
𝑦 𝑑𝑦 = 𝑥² + 3 𝑑𝑥
110-355
Aufgabensammlung
∫ 𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥² + 3 𝑑𝑥
1
1
𝑦² = 𝑥³ + 3𝑥 + 𝑐
2
3
2
𝑦 = √ 𝑥³ + 6𝑥 + 2𝑐
3
y(0)=0 c=0
2
𝑦 = √3 𝑥³ + 6𝑥
111-355
Aufgabensammlung
Nummerische Lösungsverfahren
Aufgabe 70:
Bestimme die Nullstellen mit dem Bisektionsverfahren.
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 5𝑥 − 30
Lösung:
Aufgabe 71:
Bestimme die Nullstellen mit dem Bisektionsverfahren.
Lösung:
112-355
Aufgabensammlung
Aufgabe 72:
Berechnen Sie mit dem Newton-Verfahren eine Nullstelle der Funktionen (auf sechs
Stellen genau):
a) f(x) = sin(x)–x2 +1
(Startwert x 0 = 3)
b) f(x) = x 3 +x-1
(Startwert x 0 = 1)
113-355
Aufgabensammlung
c) f(x) = sin(x) +x-1
(Startwert x 0 = 1)
d) f(x) = tan(x) - x 3
(Startwert x 0 = 0,3)
Lösung:
a)
f´(x) = cos(x) -2x
x1 = 1,875695
x2 = 1,489586
x3 = 1,412926
x4 = 1,409630
x5 = 1,409624
x6 = 1,409624
f´(x) = 3x 2 +1
b)
f´(x) = 3x 2 +1
x1 =0,750000
x2 = 0,686047
x3 = 0,682339
x4 = 0,682338
x5 = 0,682338
c)
f´(x) = cos(x)+1
x1 = 0,453698
x2 = 0,510580
x3 = 0,510973
x4 = 0,510973
d)
f´(x) = (1/ cos 2 (x))-3x 2 x (1/2 +k), k eine ganze Zahl
x1 =-0,041940
x2 = 0,000099
x3 = 0
x4 = 0
Aufgabe 73:
Mit Hilfe des Newton-Verfahren möchte man eine Nullstelle der Funktion
114-355
Aufgabensammlung
f a(x) = ax 3 – x2 + 2x – a,
a > 0,
im Intervall I= [0;1] bestimmen. Mit dem Startwert z 1 =1 erhält man das Folgeglied
z 2 = 2/3.
Bestimmen Sie den Parameter a!
Lösung:
Aufgabe 74:
Ein Wasserbehälter ist mit zwei Zuflussrohren A und B versehen, die ihn zusammen in
12 Min füllen. Wird der Behälter nur von A befüllt, so dauert dies 10 Min länger, als
wenn er alleine von Rohr B befüllt werden würde.
Wie lange brauchen also A bzw. B um den Wasserbehälter alleine zu füllen?
Lösung:
115-355
Aufgabensammlung
Aufgabe 75:
Berechnen Sie die Nullstellen dieser Funktion mit Hilfe des Sekantenverfahrens:
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 𝑥 − 2
Lösung:
Aufgabe 76:
Bestimmen Sie die Nullstellen der folgende Funktion f(x) = x - cos(x) mit Hilfe der Regula
Falsi.
Lösung:
Der Graph hat folgende Form:
Mit der Wahl a = 0 und b = 1 ergibt sich:
116-355
Aufgabensammlung
Also ist x *=0.7391 eine gute Näherung.
Aufgabe 77:
Bestimmen Sie die Nullstellen der folgende Funktion f(x) = 2 - e x mit Hilfe der Regula
Falsi.
Lösung:
Der Graph hat hier die Form:
Mit der Wahl a = 1 und b = 0 ergibt sich:
Also ist x *=0.6931 eine gute Näherung.
Aufgabe 78:
Berechnen Sie mit der Sehnen-Trapezregel folgendes Integral:
3
∫
1
1
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
Lösung:
117-355
Aufgabensammlung
118-355
Aufgabensammlung
Angewandte Statistik
Wirtschaftsingenieurwesen
DHBW Stuttgart
Campus Horb
Dozent
Dipl. Math. (FH) Roland Geiger
Aufgabensammlung
Grundlagen
Aufgabe 79:
Beim wiederholten werfen eines Spielwürfels wurde bei
80%
aller Würfe eine Augenzahl 5
65%
aller Würfe eine Augenzahl 4
45%
aller Würfe eine Augenzahl 3
30%
aller Würfe eine Augenzahl 2
5%
aller Würfe eine Augenzahl 1
festgestellt.
Mit welchen relativen Häufigkeiten fielen die einzelnen Augenzahlen.
Lösung:
100%
aller Würfe eine Augenzahl 6 mit
20%
80%
aller Würfe eine Augenzahl 5 mit
15%
65%
aller Würfe eine Augenzahl 4 mit
20%
45%
aller Würfe eine Augenzahl 3 mit
15%
30%
aller Würfe eine Augenzahl 2 mit
25%
5%
aller Würfe eine Augenzahl 1 mit
5%
Aufgabe 80:
Was ist die Grundgesamtheit?
Lösung:
Die Grundgesamtheit ist die Menge aller interessanten Daten.
Aufgabe 81:
Welche Arten von Skalen kennen Sie?
Lösung:
Nominalskala (Ausprägungen sind Namen oder Bezeichnungen)
Ordinalskala (wenn Ausprägungen zusätzlich eine Rangfolge zum Ausdruck bringen.
metrische Skala (Intervallskala und Verhältnisskala) (wenn Differenzen und Verhältnisse von Merkmalausprägungen sinnvoll sind).
Aufgabe 82:
Was heißt es, wenn diskrete Merkmale vorliegen?
Seite 120 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
Wenn die Ausprägungen nur isolierte Zahlwerte annehmen können.
Aufgabe 83:
Was ist eine Klassenhäufigkeit?
Lösung:
Die Häufigkeiten, mit welchen Stichprobenwerte auf die einzelnen Klassen entfallen.
Seite 121 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 84:
Bei einer Messung von Pflanzen traten folgende Längenmessungen auf:
4,6
5,5
6,2
6,5
6,5
6,4
6,5
6,2
5,4
5,7
5,1
5,5
5,9
6,4
5,9
6,5
6,2
5,9
5,1
6,2
Füllen Sie anhand der festgestellten Längenmessungen die folgende Tabelle aus:
Länge a i
Absolute
Häufigkeit n i
relative Häufigkeit h i
Absolute Summenhäufigkeit
Relative Summenhäufigkeit
4,6
1
0,05
1
0,05
5,1
2
0,10
3
0,15
5,4
1
0,05
4
0,20
5,5
2
0,10
6
0,30
5,7
1
0,05
7
0,35
5,9
3
0,15
10
0,50
6,2
4
0,20
14
0,70
6,4
2
0,10
16
0,80
6,5
4
0,20
20
1,00
Aufgabe 85:
Welche Zufallsexperimente sind in der Statistik von Interesse?
Lösung:
Von Interesse sind solche Zufallsexperimente, die wiederholt (theoretisch sogar beliebig oft) durchgeführt werden können.
Aufgabe 86:
Im Rahmen einer klinischen Studie wird die Wirksamkeit einer therapeutischen Maßnahme an 22 Patienten untersucht. Bei n 1 = 14 Patienten ist die Therapie erfolgreich.
Welche Darstellung der entsprechenden relativen Häufigkeit ist am sinn vollsten, für
jemanden, der sich mit Statistik auskennt und für jemanden der von Statistik keine Ahnung hat.
1)
h 1 = 64%
Seite 122 von 355
Aufgabensammlung
Die richtige Lösung anzugeben mag für manchen Leser schwierig sein, denn eigentlich ist keine einzige der Antworten A - E gänzlich falsch. Bei 22 Beobachtungseinheiten würde man mit einer Prozentangabe eine Genauigkeit vortäuschen, die nicht
vorhanden ist. Deshalb ist die Antworten A nicht sinnvoll.
2)
h 1 = 0,63636
Die richtige Lösung anzugeben mag für manchen Leser schwierig sein, denn eigentlich ist keine einzige der Antworten A - E gänzlich falsch. Bei 22 Beobachtungseinheiten würde man mit 5 Dezimalstellen eine Genauigkeit vortäuschen, die nicht vorhanden ist. Deshalb ist die Antworten B nicht sinnvoll.
3)
h 1 = 14 / 22
Die Angabe C ist präzise und sinnvoll - und verheimlicht dennoch nicht, dass die
Berechnung der Häufigkeit auf einer relativ kleinen Anzahl von Beobachtungseinheiten basiert. Die richtige Lösung anzugeben mag für manchen Leser schwierig
sein, denn eigentlich ist keine einzige der Antworten A - E gänzlich falsch. Gefragt
ist jedoch nicht nach einer richtigen Häufigkeitsangabe, sondern nach einer sinnvollen. Bei 22 Beobachtungseinheiten würde man mit einer Prozentangabe oder einer Häufigkeit mit 5 Dezimalstellen eine Genauigkeit vortäuschen, die nicht vorhanden ist. Deshalb sind die Antworten A und B nicht sinnvoll. Die Antworten D und E
sind zwar richtig, aber zu unpräzise.
4)
h 1 liegt über 50 %.
Die richtige Lösung anzugeben mag für manchen Leser schwierig sein, denn eigentlich ist keine einzige der Antworten A - E gänzlich falsch. Die Antworten D ist zwar
richtig, aber zu unpräzise.
5)
h 1 = beträgt zwischen 60 % und 70 %.
Die richtige Lösung anzugeben mag für manchen Leser schwierig sein, denn eigentlich ist keine einzige der Antworten A - E gänzlich falsch. Die Antworten E ist zwar
richtig, aber zu unpräzise.
Aufgabe 87:
Bei einer Fabrikationskontrolle wurden 480 elektrische Widerstände untersucht, 12
waren defekt. Bei einer nächsten Kontrolle waren von 700 Widerständen 14 nicht in
Ordnung. Welche Kontrolle ergab das bessere Ergebnis? (14 von 700)
Lösung:
hi
n i 12
0,025
n 480
hi
n i 14
0,02
n 700
14 von 700
Aufgabe 88:
In zwei Städten wurden je 60 Personen nach der Anzahl ihrer Kinobesuche in den letzten 6 Monaten gefragt. Man erhielt die folgenden Daten:
Seite 123 von 355
Aufgabensammlung
Kinobesuche/6 Monate 0 1
2
3
4
Zahl der Personen in A 6 8
8 11 14 11 2
Zahl der Personen in B 5 7 12 12 12
5 6
7 5
Erstellen Sie für diese Umfrage eine Häufigkeitstabelle. Stellen Sie in dieser die absolute und relative Häufigkeit sowie die absolute und relative Summenhäufigkeit dar.
Lösung:
Stadt A
Anzahl
abs. H.
rel. H.
abs. SH
rel. SH
0
6
6/60
6
6/60
1
8
8/60
14
14/60
2
8
8/60
22
22/60
3
11
11/60
33
33/60
4
14
14/60
47
47/60
5
11
11/60
58
58/60
6
2
2/60
60
60/60
60
1
Anzahl
abs. H.
rel. H.
abs. SH
rel. SH
0
5
5/60
5
5/60
1
7
7/60
12
12/60
2
12
12/60
24
24/60
3
12
12/60
36
36/60
4
12
12/60
48
48/60
5
7
7/60
55
55/60
6
5
5/60
60
60/60
60
1
Stadt B
Aufgabe 89:
Jemand schlägt vor, die Daten der beiden Untersuchungen zusammenzufassen.
Folgen Sie dem Vorschlag und erstellen Sie eine neue Häufigkeitstabelle.
Lösung:
Seite 124 von 355
Aufgabensammlung
Anzahl
abs. H.
rel. H.
abs. SH
rel. SH
0
11
11/120
11
11/120
1
15
15/120
26
26/120
2
20
20/120
46
46/120
3
23
23/120
69
69/120
4
26
26/120
95
95/120
5
18
18/120
113
113/120
6
7
7/120
120
120/120
120
1
Aufgabe 90:
Erläutern Sie die Bedeutung des Skalenniveaus statistischer Daten!
Lösung:
Anhand des Skalenniveaus muss untersucht werden, welche statistischen Berechnungen überhaupt erlaubt sind.
Aufgabe 91:
Geben Sie das Skalenniveau folgender Merkmale an
a) Jahresumsatz eines Unternehmens
b) Körperlänge von männlichen Schülern
c) Nationalität von Sportlern
d) Geschlecht der Studierenden der HS Anhalt
e) Haushaltsgröße
f) Schulnoten von 1 bis 6
Lösung:
a) metrische Skala
b) metrische Skala
c) Nominalskala
d) Nominalskala
e) Ordinalskala
f) Ordinalskala
Seite 125 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 92:
Folgende Körpergrößen wurden von Schülern in der vierten Klasse gemessen:
140; 145; 135; 139; 139; 130; 134; 144; 138; 140; 140; 152; 148
Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle. In diese soll die absolute Häufigkeit, die relative
Häufigkeit, die absolute Summenhäufigkeit und die relative Summenhäufigkeit eingetragen werden.
Lösung:
Abs.
Rel.
Häufigkeit
Summenhäufigkeit
Summenhäufigkeit
1
1/13
1
1/13
134
1
1/13
2
2/13
135
1
1/13
3
3/13
138
1
1/13
4
4/13
139
2
2/13
6
6/13
140
3
3/13
9
9/13
144
1
1/13
10
10/13
145
1
1/13
11
11/13
148
1
1/13
12
12/13
152
1
1/13
13
13/13
abs.
rel.
Häufigkeit
130
Größe
13
Aufgabe 93:
Bei einem Gedächtnisexperiment werden 40 Probanden 30 Gegenstände vorgelegt, die
sie hinterher auswendig niederzuschreiben haben. Die folgende Aufzählung listet auf,
an wie viele der Gegenstände sich jeder einzelne Proband erinnert hat:
12
20
23
0
14
16
12
10
30
12
14
9
6
22
14
29
1
10
11
22
15
16
12
13
15
17
2
14
22
9
11
14
18
19
20
6
8
10
12
14
a)Welches Skalenniveau liegt vor (Anzahl erinnerte Gegenstände)?
b) Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle.
Seite 126 von 355
Aufgabensammlung
c) Wie viel Prozent der Probanden haben sich an 20 oder weniger Gegenstände erinnert?
Seite 127 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
a) metrische Skala
b)
Anzahl
Abs. H.
Rel. H.
Abs. SH
Rel. SH
0
1
2,5%
1
2,5%
1
1
2,5%
2
5,0%
2
1
2,5%
3
7,5%
6
2
5,0%
5
12,5%
8
1
2,5%
6
15,0%
9
2
5,0%
8
20,0%
10
3
7,5%
11
27,5%
11
2
5%
13
32,5%
12
5
12,5%
18
45,0%
13
1
2,5%
19
47,5%
14
6
15%
25
62,5%
15
2
5,0%
27
67,5%
16
2
5,0%
29
72,5%
17
1
2,5%
30
75,0%
18
1
2,5%
31
77,5%
19
1
2,5%
32
80,0%
20
2
5,0%
34
85,0%
22
3
7,5%
37
92,5%
23
1
2,5%
38
95,0%
29
1
2,5%
39
97,5%
30
1
2,5%
40
100,0%
40
100,00%
c) 85%
Seite 128 von 355
Aufgabensammlung
Lagemaße
Aufgabe 94:
Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
1) Der Mittelwert wird wesentlich stärker von Ausreißern beeinflusst als der Median.
Der Mittelwert wird von Ausreißern stark beeinflusst, während Ausreißer bei der
Berechnung des Medians kaum eine Rolle spielen.
Die Aussage ist also nicht falsch.
2) Die Berechnung des Mittelwerts setzt ein quantitatives Merkmal
voraus.
Generell können bei quantitativen Merkmalen der Mittelwert und der Median als
Lagemaße berechnet werden.
Die Aussage in Antwort B ist also nicht falsch.
3) Der Mittelwert und der Median sind Lagemaße.
Generell können bei quantitativen Merkmalen der Mittelwert und der Median als
Lagemaße berechnet werden.
Die Aussage in Antwort C ist also nicht falsch.
4) Bei schiefen Verteilungen weichen der Mittelwert und der Median
der ab.
voneinan-
Wenn diese beiden Maße voneinander abweichen, ist die Stichprobenverteilung
schief.
Die Aussage in Antwort D ist also nicht falsch.
5) Wenn die Berechnung des Medians erlaubt ist, kann auch der Mittelwert berechnet
werden.
Bei ordinalskalierten Merkmalen kann der Median berechnet werden, der Mittelwert dagegen nicht.
Aufgabe 95:
Welche der folgenden Aussagen, bezüglich der Eigenschaften des Medians, ist richtig?
(In der Grundgesamtheit sind mehr als 2 Werte enthalten)
1) Der Median bleibt in jedem Fall unverändert, wenn alle Werte außerhalb des Intervalls x 2s aus der Stichprobe entfernt werden.
Wenn man einen oder mehrere Werte aus der Stichprobe entfernt, ändert sich deren Umfang und damit eventuell auch der Median.
2) zum größten Wert eine positive Zahl addiert wird.
Ganz genau. Die Aussage in Antwort B ist richtig, denn addiert man zum größten
Wert eine positive Zahl, bleibt dies der größte Wert. Die Rangzahlen und der Median
ändern sich dadurch nicht.
3) alle Werte mit der gleichen Zahl multipliziert werden.
Seite 129 von 355
Aufgabensammlung
Nein, das ist sie nicht.
Wenn man alle Werte mit der gleichen Zahl multipliziert, ändert sich der Median in
der gleichen Weise (obgleich dessen Rang unverändert bleibt).
4) zu allen Werten eine Konstante addiert wird.
Nein, diese Aussage ist falsch.
Wenn man zu allen Werten eine Zahl addiert, ändert sich der Median in der gleichen
Weise (obgleich dessen Rang unverändert bleibt).
5) man einen Ausreißer weglässt
Die Aussage in Antwort E ist falsch.
Wenn man einen oder mehrere Werte aus der Stichprobe entfernt, ändert sich deren Umfang und damit eventuell auch der Median.
Aufgabe 96:
Beantworten Sie die Frage jeweils nur mit ja oder nein.
Zu den Daten 18, 13, 16, 13, 19, 12 ist der Median kleiner als der arithmetische Mittelwert.
JA
Zu den Daten 18, 13, 16, 13, 19, 12 ist der Modalwert kleiner als der arithmetische
Mittelwert.
JA
Zu den Daten 18, 13, 16, 12, 19, 19 ist der arithmetische Mittelwert kleiner als der
Modalwert.
JA
Zu den Daten 19, 18, 19, 12, 12, ist der arithmetische Mittelwert kleiner als der Median.
JA
Zu den Daten 18, 13, 16, 12, 19, 19, 19 ist der Median kleiner als der Modalwert.
JA
Zu den Daten 18, 13, 16, 13, 19, 12, 22 ist der Modalwert kleiner als der Median.
JA
Zu den Daten 188, 130, 160, 121, 190, 190 ist der arithmetische Mittelwert kleiner als
der Modalwert.
JA
Aufgabe 97:
Für die Stadt Mosburg wurden die durchschnittlichen Monatstemperaturen der Sommermonate jeden Jahres ermittelt.
Seite 130 von 355
Aufgabensammlung
1995
1996
1997
1998
1999
Juni
15,0 °C
15,6 °C
17,1 °C
17,2 °C
17,6 °C
Juli
20,9 °C
16,0 °C
18,1 °C
16,8 °C
17,8 °C
August
19,2 °C
18,0 °C
21,0 °C
17,1 °C
18,5 °C
a) In welchem Jahr war die Durchschnittstemperatur aller drei Monate am höchsten?
(1997)
b) In welchem Jahr war die Durchschnittstemperatur aller drei Monate am geringsten?
(1996)
Lösung:
Summe
55,1
49,6
56,2
51,1
53,9
Mittelwert
18,4
16,5
18,7
17,0
18,0
am
am
niedrigsten
höchsten
Aufgabe 98:
Ein Hersteller von Glühlampen behauptet in einem Werbespot, dass die von ihm produzierten Glühlampen eine durchschnittliche Lebensdauer von 1450 Stunden haben. In
einem Test wurden für zehn wahllos herausgegriffene Glühlampen folgende Lebensdauern ermittelt:
2039 h; 1510 h; 1786 h; 1456 h; 922 h; 1294 h; 1509 h; 1555 h; 657 h; 1594 h.
Was meinen Sie zu dieser Werbung?
Lösung:
x
2039 1510 1786 1456 922 1294 1509 1555 657 1594 14322
1432 ,2
10
10
Runde 2% Abweichung bei einer kleinen Stichprobe ist akzeptabel.
Aufgabe 99:
Die Punktzahlen, die ein Student bei sechs Klausuren erreichte, waren 84, 91, 72, 68,
87 und 78.
a) Man bestimme das arithmetische Mittel der Punktzahl. (80)
b) Man bestimme den Median der Punktzahlen (81)
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Aufgabensammlung
Lösung:
a) x
84 91 72 68 87 78 480
80
6
6
b) Die Reihe geordnet: 68,72,78,84,87,91
Da die Anzahl der Werte gerade ist, gibt es zwei Werte in der Mitte, 78 und 84,
1
deren Mittelwert 78 84 81
2
Seite 132 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 100:
Man bestimme den Mittelwert, den Median und den Modus der Zahlenmenge:
3,5,2,6,5,9,5,2,8,6. (5,1; 5; 5)
Lösung:
Die Reihe geordnet: 2,2,3,5,5,5,6,6,8,9
x
35 2 6595 28 6
5,1
10
Median:
1
5 5 5
2
Modus: 5 (die am häufigsten vorkommende Zahl)
Aufgabe 101:
Man bestimme das geometrische Mittel (6,43) und das arithmetische Mittel (7) der
Zahlen 3,5,6,6,7,10,12
Lösung:
Geometrisches Mittel:
x g 7 3 5 6 6 7 10 12 7 453 .600 6,43
x
Arithmetische Mittel:
3 5 6 6 7 10 12
7
7
Aufgabe 102:
Man bestimme das harmonische Mittel der Zahlen 3,5,6,6,7,10,12. (5,87)
Lösung:
7
n 1
1 1 1 1 1 1 1
i1 x 3 5 6 6 7 10 12
i
7
2940
xh
5,87
140 84 70 70 60 42 35 501
420
xH
n
Aufgabe 103:
Wenn die Abschlussklausur einer Vorlesung dreimal so hoch gewertet wird wie eine
Kurzklausur und ein Student bei der Abschlussklausur eine Punktzahl vom 85 und bei
den Kurzklausuren Punktezahlen von 70 und 90 erhalten hat. Wie hoch ist die durchschnittliche Punktzahl? (83)
Lösung:
Seite 133 von 355
Aufgabensammlung
Die Lösung erfolgt über gewogenes (gewichtetes) arithmetisches Mittel
x
1 70 1 90 3 85 415
83
11 3
5
Aufgabe 104:
Berechnen Sie das arithmetische Mittel folgender Stichprobenwerte.
2,3,6,5,2,8,7,2,4,3,1,3,0 (3,54)
Lösung:
Summe der Einzelwerte / Anzahl der Werte (46/13=3,54)
Aufgabe 105:
Bei einem Versuch mit Sommerweizen erzielte man folgende Körnererträge pro Parzelle (auf 10ggenau gemessen):
640, 530, 700, 850, 950, 710, 780, 670, 730, 820, 740, 770.
Berechne für den Körnerertrag:
a) das arithmetische Mittel x (740,83),
x (735).
b) den Median ~
Lösung:
(a) x
(b) 530
640 530 700 850 950 710 780 670 730 820 740 770
740 ,83
12
640
670
700
710
730
740
730 740
~
x
735
2
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770
780
820
850
950
Aufgabensammlung
Aufgabe 106:
Von 20 Schülern wurde die Körpergröße gemessen:
165 cm; 158 cm; 163 cm; 169 cm; 147 cm; 172 cm; 158 cm; 177 cm; 1 51 cm; 142 cm;
166 cm; 170 cm; 151 cm; 183 cm; 160 cm; 175 cm; 149 cm; 168 cm; 171 cm; 166 cm
(Teile die Werte in Klassen von 140 - 150 cm, 150 - 160 cm ... ein! Wenn ein Wert auf
einer Klassengrenze liegt, soll er zur unteren Klasse gerechnet werden.)
Berechnen Sie das gewichtete arithmetische Mittel. Rechnen Sie hier mit den Klassenmitten. (162,5)
Lösung:
Klasseneinteilung:
Klassen
Klassenmitte
Anzahl
gew.
Mittel
140-150
145
3
3*145
150-160
155
5
5*155
160-170
165
7
7*165
170-180
175
4
4*175
180-190
185
1
1*185
20
3250
Summe
3 145 5 155 7 165 4 175 1185
20
3250
162,5
20
Gewichtetes arithm. Mittel:
x
x = 162,5;
Aufgabe 107:
Ein Wanderer legte einen Weg von zwei Kilometern Länge zurück. Den ersten Kilometer
ging er mit einer Geschwindigkeit von 6 km pro Stunde, den zweiten mit einer solchen
von 4 km pro Stunde. Wie groß war seine Durchschnittsgeschwindigkeit? (4,8)
Lösung:
Seite 135 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 108:
Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? (55,38)
Lösung:
Seite 136 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 109:
Bestimmen Sie aus folgender Urliste (Pulsmessung) den Modalwert und Median. (-;
68,5)
Berechnen Sie die durchschnittliche Pulsfrequenz aller Schüler und vergleichen Sie
diese mit dem Median der Urliste. (69,1)
Lösung:
Aufgabe 110:
Die 32 Schüler einer Klasse haben ein Durchschnittsgewicht von 74 kg.
Nach langer Krankheit hat ein Schüler 24 kg abgenommen.
a) Um wie viel ändert sich der Mittelwert? (73,25)
b) Wie ändert sich der Mittelwert, wenn sich bei einer Datenreihe mit n Elementen ein
Datenwert um a vergrößert, bzw. verkleinert? (± a/n)
Lösung:
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Aufgabensammlung
Aufgabe 111:
In einem Unternehmen sind 10 Frauen in einer Putzkolonne auf 325 € - Basis beschäftigt. Der Chef stellt einen Vorarbeiter ein, der 2800 € pro Monat verdienen soll.
Welche Auswirkungen ergeben sich dadurch auf den Modalwert, dem Median und das
arithmetische Mittel der Monatseinkommen aller Mitarbeiter?
Lösung:
Der Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt, das sind die 325 € mit der
absoluten Häufigkeit 10. Er bleibt unverändert.
Auch der Median bleibt unverändert, die 2800 € liegen weit außerhalb der Mitte.
Der Mittelwert ändert sich von 325 € auf (3250€ + 2800 €) / 11 = 550 €
Aufgabe 112:
Dreizehn Studenten geben ihre monatlichen Ausgaben in € wie folgt an:
a) Berechnen Sie das arithmetische Mittel (1150), den Median (950) und den Modalwert (800). Interpretieren Sie diese Merkmale inhaltlich.
b) Erklären Sie, warum sich die Lagemaße unterscheiden.
c) Welche Maßzahl charakterisiert Ihrer Meinung nach die Stichprobe am besten?
Seite 138 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
Seite 139 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 113:
Der systolische Blutdruck bei gesunden Männern zwischen 20 und 30 Jahren ist symmetrisch verteilt mit µ = 120 mmHg und Sigma = 10 mmHg.
Wie sind dann die Mittelwerte verteilt, die aus den Blutdruckwerten von 25 zufällig
ausgewählten Studenten berechnet werden?
Welche der Antworten ist richtig?
a) Genauso verteilt wie die Blutdruckwerte der Studenten.
b) Normalverteilt mit µ = 120 mmHg und unbekannter Varianz.
c) Normalverteilt mit µ = 120 mmHg und σ = 0,4 mmHg.
d) Normalverteilt mit µ = 120 mmHg und σ = 2 mmHg.
e) Über die Verteilung der Mittelwerte kann nichts ausgesagt werden.
Lösung:
a) Nein, das sind sie nicht.
Nach dem zentralen Grenzwertsatz sind Mittelwerte normalverteilt.
b) Die Aussage in Antwort B stimmt so nicht.
Nach dem zentralen Grenzwertsatz sind Mittelwerte normalverteilt. Das ist richtig.
Aber die Varianz kann berechnet werden.
c) Oh, nein. Nach dem zentralen Grenzwertsatz sind Mittelwerte normalverteilt. Das
ist richtig. Aber die Varianz berechnet sich nicht nach der Formel σ / n.
d) Ja, das sind sie. Die Aussage in Antwort D ist richtig, denn nach dem zentralen
Grenzwertsatz sind Mittelwerte normalverteilt mit dem Erwartungswert µ und der
Varianz σ2 / n.
e) Nach dem zentralen Grenzwertsatz sind Mittelwerte, falls der Stichprobenumfang n ausreichend groß ist, normalverteilt. Eine Aussage über die Verteilungsform
ist also möglich.
Aufgabe 114:
Ein Botendienst bringt jeden Tag Post von der Betriebszentrale zu einer bestimmten
Filiale.
Der Fahrer notierte an zehn Tagen die benötigte Zeit in Minuten:
32, 27, 29, 25, 34, 28, 36, 30, 32, 39
a.) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Fahrzeiten. (31,2)
b.) Berechnen Sie den Median der Fahrzeiten. (31)
Seite 140 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
a) 31,2
b) 31
Aufgabe 115:
Der Umsatz eines Unternehmens entwickelte sich in den Jahren 2001 bis 2004 jeweils
mit folgenden jährlichen Veränderungsraten:
t
2001
2002
2003
2004
r
8%
15%
-4%
12%
Berechnen Sie den durchschnittlichen jährlichen Wachstumsfaktor. (7,5%)
Lösung:
4
𝑥𝑔𝑒𝑜 = √1,08 ∙ 1,15 ∙ 0,96 ∙ 1,12 = 1,075
Seite 141 von 355
Aufgabensammlung
Streumaße
Aufgabe 116:
Beantworten Sie die Frage nur mit ja oder nein.
Die Standardabweichung einer Zufallsgröße kann nicht negativ sein.
Lösung:
JA
Aufgabe 117:
Nach einer Vordiplomprüfung werden die Noten eines erfahrenen Prüfers mit denen
eines unerfahrenen Prüfers verglichen. Es ergaben sich die folgenden Noten:
Erfahrener
2
3
1
2
4
1
5
1
1
4
Unerfahrener
2
1
3
2
3
3
2
3
2
3
3
Untersuchen Sie, ob es in der Varianz einen Unterschied bei den Prüfern gibt. Interpretieren Sie das Ergebnis.(1,43; 0,66)
Lösung:
Erfahrener:
x
24
2,4
10
(2 2,4)2 (1 2,4)2 ... (1 2,4)2 20,40
2,04
10
10
2
1,43
Unerfahrener:
x
27
2,45
11
2
(2 2,45) 2 (3 2,45) 2 ... (3 2,45) 2
0,43
11
0,66
Aufgabe 118:
Seite 142 von 355
Aufgabensammlung
Es sind folgende Zahlen gegeben:
17, 45, 38, 27, 6, 48, 11, 57, 34, 22.
Bestimmen Sie die Spannweite? (51)
Lösung:
Sortieren: 6,11,17,22,27,34,38,45,48,57
Spannweite=57-6=51
Aufgabe 119:
In einer Arbeit erzielten Schüler folgende Punktzahlen:
49
53
54
56
56
57
57
59
61
62
67
69
72
72
73
73
75
75
76
78
81
81
84
85
86
88
89
90
Bestimmen Sie das untere, mittlere und obere Quartil.(57; 72,5; 81)
Seite 143 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
a) Weitere häufig verwendete Werte sind das 25%- und 75%-Perzentil, die das untere und das obere Viertel der Verteilung markieren. Man bezeichnet sie daher auch
als untere und obere Quartile bzw. als erstes und drittes Quartil (der Median ist das
zweite Quartil). Als Schreibweise sind Q1, Q2 und Q3 ebenso möglich wie Q25, Q50
und Q75.
Sortierung der Werte der Reihenfolge nach:
Dies ist ja bereits geschehen:
Es ist n=28 und 0,25n=7, 0,5n=14, 0,75n=21
So erhält man die Lösung durch einfaches Abzählen.
Aufgabe 120:
Gegeben sind folgende Studiendauern von Absolventen zweier Studienfächer A und B:
A:
12, 14, 9, 19, 10, 9, 11
B:
14, 11, 11, 12, 12, 11, 13, 12
a) Geben Sie jeweils die Extremwerte, die Spannweite, den Modalwert, den Median
und das arithmetische Mittel an. Was lässt sich zusammenfassend über die Lage der
beiden Verteilungen A und B im Vergleich sagen?
b) Berechnen Sie für A die Stichproben-Varianz und die Standardabweichung.
c) Berechnen Sie für B die Schiefe.
Lösung:
a)
A: Extremwerte 9, 19;
arithmetisches. Mittel 12
Spannweite
10;
Modalwert
9;
Median
11;
B: Extremwerte 11, 14; Spannweite 3; Modalwert 11, 12; Median 12;
arithmetisches. Mittel 12
Die Mittelwerte stimmen überein, das liegt aber v. a. an dem „Ausreißer“ 19 in A.
Bei der Berechnung des Median spielt ein solcher Ausreißer keine große Rolle, deshalb äußert sich in dem kleineren Median von A die Tatsache, dass eigentlich die
Verteilung A eher links von B liegt.
b) Var = 10,8571; Std = 3,29501
c) Std = 1,07; Schiefe 0 (bei Modalwert 12)
Aufgabe 121:
Berechnen Sie auch die Varianz und die Standardabweichung aus den folgenden Stichprobenwerten. 23, 34, 22, 41 (62,5; 7,9)
Lösung:
Arithmetischer Mittelwert=120/4=30
Seite 144 von 355
Aufgabensammlung
Varianz: sigma2=(23-30)2 + (34-30)2 +(22-30)2 +(41-30)2 ]= 49 + 36 + 64 + 121 =
62,5
Standardabweichung: sigma= Wurzel aus 62,5 = 7,9
Aufgabe 122:
Zehn Frauen wurden nach ihrer Körpergröße (in cm) gefragt. Es ergaben sich folgende
Nennungen.
168, 170, 161, 168, 162, 172, 164, 167, 170, 158
Berechnen oder stellen Sie folgende Größen zusammen:
Geordnete Urliste, Mittelwert (166), Median (167,5), Modus (168; 170), Varianz, Standardabweichung (4,313), Spannweite (14) und Quartile (162; 170).
Stellen Sie die Ergebnisse in einem Boxplot dar.
Lösung:
Urliste:
168, 170, 161, 168, 162, 172, 164, 167, 170, 158
Geordnete Urliste:
158, 161, 162, 164, 167, 168, 168, 170, 170, 172
Mittelwert:
= (158+161+162+164+167+168+168+170+170+172)/10 = 166
~
Median: x = (167+168)/2 = 167,5
Modus: 168 und 170
Varianz und Standardabweichung:
V(x) = 23
s = 4,80
Spannweite: xS= 172 - 158 = 14
Quartile:
Qu = 162 (liegt in der Mitte der unteren Hälfte)
Qo = 170 (liegt in der Mitte der oberen Hälfte)
Seite 145 von 355
Aufgabensammlung
Boxplot-Diagramm
Seite 146 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 123:
Dieselben Frauen gaben auch ihre Schuhgröße an.
Es ergaben sich folgende Nennungen: 39, 39, 38, 38, 37, 41, 38, 38, 40, 37
Berechnen oder stellen Sie folgende Größen zusammen:
Geordnete Urliste, Mittelwert (38,5), Median (38), Modus (38), Varianz, Standardabweichung (1,2), Spannweite (4) und Quartile (38; 39).
Lösung:
Urliste:
39, 39, 38, 38, 37, 41, 38, 38, 40, 37
Hier rechnen wir besser mit den relativen Häufigkeiten:
Schuhgröße
Hi
hi
37
2
0,2
38
4
0,4
39
2
0,2
40
1
0,1
41
1
0,1
Mittelwert:
x = 37·0,2 + 38·0,4 + 39·0,2 + 40·0,1 + 41·0,1 = 38,5
~
Median: x = 38
Modus: 38
Varianz und Standardabweichung:
2 = 37²·0,2 + 38²·0,4 + 39²·0,2 + 40²·0,1 + 41²·0,1 - 38,5² = 1,45
=
1,45 1,20
Spannweite: xs 41 37 4 = 41 - 37 = 4
Quartile:
Seite 147 von 355
Aufgabensammlung
Unsortierte Liste: 39, 39, 38, 38, 37, 41, 38, 38, 40, 37
Sortierte Liste: 37, 37, 38, 38, 38, 38, 39, 39, 40, 41
Qu = 38, Qo = 39
Aufgabe 124:
Eine Wetterstation liefert die Tagestemperaturen (in 0 C ), gemessen um 12:00, für die
30 Tage eines Monats
a) Berechnen Sie die durchschnittliche Tagestemperatur.
b) Berechnen Sie den Median, den Quartilsabstand und die Spannweite.
c) Über viele Jahre gemittelt lagen die Durchschnittstemperaturen für diesen Monat
bei 18,5 0 C.Haben sich die klimatischen Verhältnisse geändert?
Lösung:
Im Jahr der Messung lag die Durchschnittstemperatur bei 19,7 0 C, also um 1,2 0 C
höher als der Durchschnitt der Durchschnittswerte, die über viele Jahre gemessen
wurden ( 18,5 0 C ).Da wir aber nichts über die Streuung der gemittelten Durchschnittswerte wissen, lässt sich keine Aussage über eine klimatische Veränderung
machen.
Aufgabe 125:
Seite 148 von 355
Aufgabensammlung
Schüler erfragen die Preise für zwei Zubehörteile für ihren Computer in verschiedenen
Läden der Stadt. Die festgestellten Stückpreise lassen sich der folgenden Liste entnehmen.
a) Berechnen Sie jeweils die Standardabweichung.
b) Welcher Preis schwankt stärker?
Lösung:
a)
b) Die Preise für Teil B schwanken stärker.
Aufgabe 126:
In einer Firma werden Schrauben gefertigt, sie sollen 80 mm lang sein.
Bei einer Qualitätskontrolle werden aus der Produktion 90 Schrauben entnommen und
deren Länge gemessen.
Seite 149 von 355
Aufgabensammlung
a) Stellen Sie die Häufigkeitsverteilung durch eine Häufigkeitstabelle dar.
b) Bestimmen Sie die durchschnittliche Länge der Schrauben und bestimmen Sie die
Standardabweichung.
c) Bestimmen Sie die Länge d, für die etwa 50% der Messwerte kleiner und etwa 50%
der Messwerte größer als d sind. Wie nennt man diesen Wert? Berechnen Sie den Quartilsabstand.
d) Als Ausschuss gilt, wenn die Länge einer Schraube um mehr als 0,5 mm von der
Normlänge 80 mm abweicht. Mit wie viel Prozent Ausschuss ist für die Produktion zu
rechnen? Beurteilen Sie die Fertigungsqualität.
Lösung:
a)
b)
Seite 150 von 355
Aufgabensammlung
c)
d)
Aufgabe 127:
Seite 151 von 355
Aufgabensammlung
Die Frage "Wie viel Geld gibst du pro Monat fürs Telefonieren mit dem Handy aus?"
(Merkmalsausprägung "ganze Zahlen in Euro") stammt aus einer Fragebogenaktion,
die in der Projektzeit 2002 von der 2D des Realgymnasiums in Bruneck durchgeführt
wurde. Befragt wurden 33 Jungen und 32 Mädchen.
Urliste Jungen
32, 24, 14, 6, 50, 12, 15, 28, 38, 35, 24, 17, 10, 60, 6, 18, 25, 42, 33, 2 2, 25, 16, 22, 20,
24, 35, 16, 40, 17, 40, 5, 20, 48
Urliste Mädchen
22, 38, 10, 18, 30, 12, 35, 13, 45, 23, 16, 25, 50, 20, 14, 22, 16, 20, 24, 45, 14, 18, 23,
40, 13, 22, 15, 20, 15, 24, 14, 20
Berechnen Sie für beide Gruppen jeweils das arithmetische Mittel, den Median, den
Modus, das obere und untere Quartil, die Spannweite und die Standardabweichung.
Vergleichen sie anschließend die Werte und ziehen Sie Ihre Schlüsse daraus.
Lösung:
Seite 152 von 355
Aufgabensammlung
Seite 153 von 355
Aufgabensammlung
Seite 154 von 355
Aufgabensammlung
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Baumdiagramme
Aufgabe 128:
Eine Urne enthalte 5 rote Kugeln und eine schwarze Kugel. Nacheinander werden zwei
Kugeln durch Ziehen ohne Zurücklegen gezogen.
Stellen Sie den Stichprobenraum in einem Baumdiagramm dar.
Lösung:
Aufgabe 129:
In einer Obstkiste befinden sich 10 rote Tomaten und 20 gelbe Tomaten gleich er Größe
und gleicher Form. Aus der Kiste werden blind nacheinander drei Tomaten entnommen
(ohne zurücklegen).
Zeichnen Sie das Baumdiagramm und geben Sie die Ergebnismenge S an.
Lösung:
Ergebnismenge
Aufgabe 130:
Zwei Schüler A und B spielen gegeneinander Poolbillard. Gewinner ist derjenige, der als
erster zwei Spiele gewinnt. Zeichnen Sie das Baumdiagramm und geben Sie die Ergebnismenge S an.
Seite 155 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
Ergebnismenge
Aufgabe 131:
Eine Urne enthalte 30 Kugeln, 10 schwarze und 20 weiße. Es wird durch Ziehen mit
Zurücklegen der Reihe nach 3 Kugeln entnommen und ihre Farbe schwarz (s) bzw. weiß
(w) der Reihe nach notiert, z. B. wss.
Stellen Sie dieses Zufallsexperiment in einem Baum dar und tragen Sie die Übergangswahrscheinlichkeiten ein.
Lösung:
Aufgabe 132:
Eine Münze, die so belegt ist, dass P(Z)=2/3 und P(W)=1/3, wird geworfen. Erscheint
Zahl, dann wird eine der Zahlen 1 bis 9 zufällig ausgewählt; erscheint Wappen, dann
wählt man eine der Zahlen 1 bis 5. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit p an, dass man
eine gerade Zahl (G) auswählt. (0,4296)
Seite 156 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
Baumdiagramm:
P(E )
2 4 1 2 58
3 9 3 5 135
Aufgabe 133:
Schachtel A enthält 9 Zettel mit den Zahlen 1 bis 9, Schachtel B enthält 5 Zettel mit den
Zahlen 1 bis 5. Aus einer zufällig ausgewählten Schachtel wird zufällig ein Zettel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zettel aus Schachtel A gezogen
wurde, wenn die Zahl darauf gerade ist? (0,5263)
Lösung:
Anzahl der möglichen Fälle:
4 1
10
9 2
P
4 1 2 1 19
9 2 5 2
Aufgabe 134:
Seite 157 von 355
Aufgabensammlung
In einer Urne befinden sich eine blaue und sieben rote Kugeln. Für den weiteren Spielverlauf liegen drei blaue Kugeln bereit.
Es gilt folgende Regel: zieht man eine blaue Kugel, so wird sie in die Urne zurückgelegt.
Zieht man eine rote Kugel, so legt man sie beiseite und stattdessen eine blaue Kugel in
die Urne. Es wird dreimal gezogen.
Zeichnen Sie ein vollständiges Baumdiagramm und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A: die erste Kugel ist blau
B: nur die erste Kugel ist blau
C: genau eine Kugel ist blau
D: mindestens eine Kugel ist blau
E: höchstens eine Kugel ist blau
Lösung:
P(A) = 1/8
P(B) = 21/256
P(C) = 63/128
P(D) = 151/256
P(E) = 231/256
Aufgabe 135:
Der Schülerrat eines Berufskollegs besteht aus 3 Schülern und 2 Schülerinnen. Es wird
ausgelost, wer in diesem Jahr Vorsitzender und Stellvertreter wird. Zuerst wird der Vorsitzende und dann der Stellvertreter ausgelost.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird je eine Schülerin Vorsitzende und eine Schülerin Stellvertreterin?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine Schülerin Vorsitzende und ein Schüler
Stellvertreter?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine Schülerin Stellvertreterin?
Lösung:
Es handelt sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment, das durch ein Urnenmodell
simuliert werden kann. In der Urne befinden sich 5 Kugeln, 2 rote stehen für Schülerin und 3 schwarze stehen für Schüler. Nacheinander werden zwei Kugeln aus der
Urne gezogen (Ziehen ohne zurücklegen). Ein Baumdiagramm veranschaulicht diesen Sachverhalt.
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Aufgabensammlung
a)
b)
c)
Aufgabe 136:
In einer Urne befinden sich 3 rote und 2 gelbe Kugeln. Nacheinander werden zwei Kugeln mit zurücklegen gezogen.
a) Erstellen Sie das Baumdiagramm und die Wahrscheinlichkeitsverteilung als Tabelle
und als Diagramm.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse
A: Die gezogenen Kugeln haben ungleiche Farben.
B: Mindestens eine der gezogenen Kugel ist gelb.
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Aufgabensammlung
Lösung:
a)
b)
A:
B:
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Aufgabensammlung
Aufgabe 137:
In einer Urne befinden sich 3 rote und 4 gelbe Kugeln. Nacheinander werden zwei Kugeln ohne zurücklegen gezogen.
a) Erstellen Sie das Baumdiagramm und die Wahrscheinlichkeitsverteilung als T abelle
und als Diagramm.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse
A: Die zweite gezogene Kugel ist rot.
B: Beide Kugeln haben die gleiche Farbe.
Lösung:
a)
b)
A:
B:
Aufgabe 138:
In einem Gefäß sind 50 gleichartige Kugeln, davon 20 rote und 30 blaue.
Es werden 3 Kugeln gezogen mit Zurücklegen.
Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis?
a) A: Alle Kugeln sind blau.
b) B: Eine Kugel ist blau, zwei sind rot.
c) C: Eine Kugel ist rot, zwei sind blau.
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Aufgabensammlung
d) D: Höchstens eine Kugel ist rot.
Lösung:
Aufgabe 139:
Bei der Produktion von Tongefäßen hat man erfahrungsgemäß 20% Ausschuss.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das bei der Herstellung von vier Gefäßen drei
brauchbar sind? (0,4096)
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das bei der Herstellung von vier Gefäßen zwei
brauchbar sind? (0,1536)
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das bei der Herstellung von vier Gefäßen mindestens drei brauchbar sind? (0,8192)
Lösung:
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
Pfadregel
Aufgabe 140:
Bei der Produktion eines bestimmten Massenartikels sind erfahrungsgemäß etwa 70%
der gefertigten Stücke einwandfrei, 15% sind nur in der Form, 10% nur in der Farbe und
5% in Form und Farbe fehlerhaft. Die Herstellung des Stücks kann als Zufallsexperiment
aufgefasst werden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Artikel nur in Form oder Farbe einen Fehler aufweist? (0,25)
Lösung:
P(A)=0,15 + 0,10 = 0,25
Aufgabe 141:
Beim Basketball trifft Peter mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 %, Anne mit 70 %. Jeder wirft ein Mal.
a) Ist es wahrscheinlicher, dass sie zusammen 0 oder 2 Treffer erzielen? (0,18;0,28)
b)
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer mit dem Ergebnis aus a) direkt an. (0,54)
Lösung:
a)
𝑥 = 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑇𝑟𝑒𝑓𝑓𝑒𝑟
𝑃(𝑋 = 0) = 0,6 ∙ 0,3 = 0,18
𝑃(𝑋 = 2) = 0,4 ∙ 0,7 = 0,28
Es ist wahrscheinlicher, dass sie zweimal treffen
b)
𝑃(𝑋 = 1) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) − 𝑃(𝑋 = 2) = 1 − 0,18 − 0,28 = 0,54
Aufgabe 142:
Karin hat in einen Korb mit 6 gekochten Eiern 4 rohe dazugelegt. Ihre Schwester nimmt
für das Frühstück 3 Eier heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens
ein rohes Ei dabei ist? (0,8333)
Lösung:
𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) = 1 −
6 5 4
1 5
∙ ∙ =1− =
10 9 8
6 6
Aufgabe 143:
Aus einem gemischten Kartenspiel mit 32 Karten wird einmal gezogen.
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Aufgabensammlung
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis "Karo" oder das Ereignis
"Bube" eintritt.
Lösung:
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Aufgabensammlung
Mengenalgebra
Aufgabe 144:
Eine Klasse enthält 10 Schüler und 20 Schülerinnen. Jeweils die Hälfte davon hat braune
Augen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person
ein Schüler ist oder braune Augen hat. (0,6667)
Lösung:
Es sei A={Schüler} und B={braune Augen}
P(A)
10 1
15 1
5 1
P(b)
P( A B)
30 3 ,
30 2 ,
30 6
P P(A B) P(A ) P(B) P(A B)
1 1 1 2
3 2 6 3
Aufgabe 145:
In einem Abiturjahrgang am Berufskolleg sind 100 Schüler/innen, davon haben 87 Spanisch (S) und 75 Französisch (F) gelernt, 70 beherrschen beide Fremdsprachen.
a) Wie viele Schüler/innen lernten Französisch oder Spanisch? (oder be deutet hier
Französisch, Spanisch oder beides) (92)
b) Ein Schüler/in wird zufällig ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass er/sie Spanisch oder Französisch gelernt hat. (oder bedeutet hier Französisch, Spanisch oder beides) (0,92)
Lösung:
a) Man kann nun nicht einfach die Zahlen für Spanisch und Französisch addieren,
denn dann käme man auf eine Schülerzahl von 87 + 75 = 162.
Das ist deshalb falsch, weil man die Schüler/innen die Spanisch und Französisch gelernt haben damit doppelt zählt.
87 Schüler/innen mit Spanisch davon 70 mit Spanisch und Französisch, also 17 nur
mit Spanisch 75 Schüler/innen mit Französisch davon 70 mit Spanisch und Französisch, also 5 nur mit Französisch
Die 70 Schüler/innen mit Spanisch und Französisch sind sowohl in den 87 mit Spanisch als auch in den 75 mit Französisch enthalten. Addiert man die Anzahl der Schüler/innen mit Spanisch (87) und die Anzahl der Schüler/innen mit Französisch (75),
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Aufgabensammlung
so hat man die Anzahl der Schüler/innen mit Spanisch und Französisch doppelt gezählt. Daher muss man 70 von der Summe (162)subtrahieren.
Anzahl der Schüler/innen mit Spanisch oder Französisch:
Das bedeutet, 8 Schüler/innen lernten in der Gymnasialen Oberstufe keine der beiden Fremdsprachen.
b)
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Aufgabensammlung
Kombinatorik
Aufgabe 146:
Wie groß ist die Anzahl der möglichen Stichproben vom Umfang k=3 aus einer Grundgesamtheit von n=12 Elementen (mit und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, bzw.
mit und ohne Wiederholungen)?
Lösung:
Aufgabe 147:
In einen Urne liegen 10 Kugeln mit den Nummern 1 bis 10. Man zieht eine Kugel zufällig,
notiert ihre Nummer und legt sie dann wieder zurück. Wie viele verschiedene Zahlenfolgen erhält man, wenn man 6-mal zieht? (1.000.000)
Lösung:
Geordnete Stichprobe mit zurücklegen
𝑛𝑘 = 106 = 1.000.000
Aufgabe 148:
In einer Urne liegen 10 Kugeln mit den Nummern 1 bis 10. Man zieht nacheinander 6
Kugeln ohne Zurücklegen und notiert ihre Nummern in der Reihenfolge, in der sie erscheinen. Wie viele Möglichkeiten gibt es? (151.200)
Lösung:
Geordnete Stichprobe mit zurücklegen
𝑛!
10!
=
= 151.200
(𝑛 − 𝑘)! (10 − 6)!
Aufgabe 149:
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Aufgabensammlung
In einer Urne sind 10 Kugeln mit den Nummern 1 bis 10. Es werden mit einem Griff 6
Kugeln gezogen. Wie viele Möglichkeiten gibt es? (210)
Lösung:
Ohne Reihenfolge und ohne zurücklegen
(
10
) = 210
6
Aufgabe 150:
Eine Fußballmannschaft besteht bekanntlich aus 11 Spielern Der Trainer will für Elfmeterschießen 5 Spieler aus seiner Mannschaft auswählen. Wie viele Möglichkeiten hierfür gibt es? (462)
Lösung:
Ohne Reihenfolge und ohne zurücklegen
(
11
) = 462
5
Aufgabe 151:
16 Personen wollen mit einem Autobus fahren, der genau 5 freie Plätze hat. Wie viele
Möglichkeiten gibt es die 5 Plätze zu besetzen, wenn die verschiedenen Anordnungen
der Personen nicht berücksichtigt werden? (4368)
Lösung:
Ohne Reihenfolge und ohne zurücklegen
(
16
) = 4.368
5
Aufgabe 152:
Eine Fußballmannschaft besteht bekanntlich aus 11 Spielern Der Trainer entscheidet
sich dafür, 5 Spieler der Mannschaft für das Elfmeterschießen auszuwählen und gleichzeitig die Reihenfolge festzulegen, in welcher die 5 Spieler zum Elfmeter antreten sollen. Wie viele Möglichkeiten gibt es für dieses Auswahlverfahren? (55.440)
Lösung:
Mit Reihenfolge und ohne zurücklegen
𝑛!
11!
=
= 55.440
(𝑛 − 𝑘)! (11 − 5)!
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Aufgabensammlung
Aufgabe 153:
Ein Autofahrer muss auf seiner Fahrt 4 Ampeln passieren. Jede Ampel hat 3 Phasen:
grün, orange, rot. Die Ampeln sind nicht aufeinander abgestimmt. Berechnen Sie die
Anzahl der Möglichkeiten. (81)
Lösung:
Geordnete Stichprobe mit zurücklegen
𝑛𝑘 = 34 = 81
Aufgabe 154:
Bei einem Kombinationsschloss sind die einzelnen Einstellungen durch 3 -ziffrige Zahlen
mit Ziffern aus 1 bis 9 möglich. Berechnen Sie die Anzahl der möglichen Einstellungen.
(729)
Lösung:
𝑛𝑘 = 93 = 729
Aufgabe 155:
Es sollen 5 unterscheidbare Kugeln auf 9 unterscheidbare Urnen verteilt werden. In
einer Urne darf höchstens eine Kugel liegen. Wie viele Verteilungen gibt es? (15.120)
Lösung:
Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen
𝑛!
9!
=
= 15.120
(𝑛 − 𝑘)! (9 − 5)!
Aufgabe 156:
Für ein Projekt sollen aus 7 Bewerbern ein Projektleiter und ein Stellvertreter bestimmt
werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es? (42)
Lösung:
Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen
𝑛!
7!
=
= 42
(𝑛 − 𝑘)! (7 − 2)!
Aufgabe 157:
Auf wie viele Arten können sich 4 Leute auf vier Sessel sitzen? (24)
Lösung:
geordnete Vollerhebung
Seite 170 von 355
Aufgabensammlung
𝑛! = 4! = 24
Aufgabe 158:
Jemand hat die aus massivem Gold hergestellten Ziffern 1, 9, 8 und 7 geerbt; wie viele
verschiedene vierstellige Zahlen kann er bilden? (24)
Lösung:
geordnete Vollerhebung
𝑛! = 4! = 24
Aufgabe 159:
Auf wie viele Arten können die Buchstaben des Wortes „AFFE“ angeordnet werden?
(12)
Lösung:
geordnete Vollerhebung mit k nicht unterscheidbaren Elementen
4!
= 12
2!
Aufgabe 160:
In einer Schachtel befinden sich 4 gute und 4 schlechte Äpfel. Wie viele Möglichkeiten
gibt es bei zufälliger Auswahl, wenn jeweils 4 gute und 4 schlechte nicht unterscheidbar
sind? (70)
Lösung:
geordnete Vollerhebung mit k nicht unterscheidbaren Elementen
8!
= 70
4! ∙ 4!
Seite 171 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 161:
Wie viele 4-stellige Zahlwörter (in Dezimalschreibweise) bestehen aus lauter verschiedenen Ziffern (0 bis 9 zugelassen)? (3.024)
Lösung:
geordnete Stichprobe ohne zurücklegen.
𝑛!
10!
=
= 5.040
(𝑛 − 𝑘)! (10 − 4)!
Aufgabe 162:
Auf wie viele Arten kann man 36 Spielkarten auf 4 Spieler verteilen?
Lösung:
Ohne Reihenfolge und ohne zurücklegen
(
36
) = 58.905
4
Aufgabe 163:
In einer Mathematik-Klausur werden 10 Aufgaben gestellt. Die Klausur wird bestanden,
wenn die ersten drei Aufgaben und mindestens 4 der verbleibenden Aufgaben richtig
gelöst werden. Auf wie viel verschiedene Arten lässt sich die Minimalforderung erfüllen? (35)
Lösung:
𝑛
3
7
( ) = ( ) ∙ ( ) = 35
𝑘
3
4
Aufgabe 164:
Einer Gruppe von 15 Schülern werden 3 Theaterkarten angeboten. Auf wie viele Arten
können die Karten verteilt werden, wenn sich die Karten auf nummerierte Sitzplätze
beziehen und jeder Schüler nur eine Karte bekommen kann? (2730)
Lösung:
Durch die nummerierten Sitzplätze ergibt sich eine Reihenfolge ohne zurücklegen.
𝑛!
15!
=
= 2730
(𝑛 − 𝑘)! (15 − 3)!
Aufgabe 165:
Aus einer Schulklasse von 23 Schülern soll eine Abordnung von 5 Schülern zum Direktor
geschickt werden. (33.649)
Auf wie viele Arten kann diese Abordnung gebildet werden?
Seite 172 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
Ungeordnete Stichprobe ohne zurücklegen
(
23
) = 33.649
5
Aufgabe 166:
Für das Elfmeterschießen muss der Trainer 5 der 11 Spieler auf dem Platz benennen.
Wie viele Möglichkeiten hat er bei
a) der Bestimmung der Kandidaten? (462)
b) der Bestimmung der Reihenfolge der Schützen, nachdem die Kandidaten gewählt
wurden? (120)
Lösung:
a) Ungeordnete Stichprobe ohne zurücklegen
11
) = 462
5
b) Geordnete Vollerhebung
(
5! = 120
Seite 173 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 167:
Das Glücksrad in der Abbildung wird zweimal gedreht. Beide Ziffernergebnisse bilden
eine zweistellige Zahl.
Bewerten Sie die folgenden Aussagen und kreuzen Sie an:
richtig
falsch
a) Die Zahl 44 hat die größte Chance.
b) Die Zahl 11 hat die geringste Chance.
c) Die Chance für die Zahl 11 ist kleiner als für die Zahl 23.
d) Die Chance für alle so erhaltenen 2-stelligen Zahlen ist
gleich groß.
Lösung: a)falsch, b)falsch, c)falsch, d)richtig
Aufgabe 168:
Sechs Dozenten treffen sich zum Statistik-Stammtisch im Cafè Neckarblick. In wie viel
verschiedenen Reihenfolgen können sie sich an die Theke setzen? (720)
Lösung:
n!
Geordnete Vollerhebung:
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
Aufgabe 169:
Für zehn verschiedene Fertigungsmaschinen stehen zehn verschiedene innerbetriebliche Standorte zur Verfügung. Wie groß ist die Anzahl der möglichen Kombinationen,
wenn jeder Standort unterschiedliche Rahmenbedingungen bereitstellt und es gilt
diese 10 unterschiedlichen Maschinen an diesen unterschiedlichen Standorten zu platzieren? (3.628.800)
Lösung:
Geordnete Vollerhebung
10!=3.628.800
Aufgabe 170:
10 verschiedene Personen sollen in einer Reihe aufgestellt werden. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es? (3.628.800)
Lösung:
Seite 174 von 355
Aufgabensammlung
10! = 3628800 (geordnete Vollerhebung)
Aufgabe 171:
Auf wie viele Arten kann ein Ausschuss mit 3 Männern und 2 Frauen aus 7 Männern
und 5 Frauen gebildet werden? (350)
Lösung:
Die Männer können aus den 7 auf
7
( )
3
und die 2 Frauen aus den 5 auf
5
( )
2
Arten ausgewählt werden.
Also gibt es:
7
5
( ) ∙ ( ) = 350
3
2
Möglichkeiten für die Zusammensetzung des Ausschusses.
Aufgabe 172:
Wie viele dreistellige Zahlen kann man mit Hilfe der sechs Ziffern 2, 3, 5, 6, 7 und 9
bilden, wenn man keine der Zahlen zurücklegt? (120)
Lösung:
Es gibt 6 ∙ 5 ∙ 4 = 120 Möglichkeiten.
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Aufgabensammlung
Vermische Aufgaben
Aufgabe 173:
Glückskreisel
Die oben abgebildeten Glückskreisel werden gedreht.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten für jede Zahl der einzelnen Kreisel an.
Lösung:
Beim ersten Kreisel ist die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Zahl 0,1.
Beim zweiten Kreisel ist die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Zahl 0,25.
Beim dritten Kreisel ist die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Zahl 0,25.
Beim vierten Kreisel ist die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Zahl 0,125.
Aufgabe 174:
Gegeben seinen 100 Lose, von denen 2 Hauptgewinne, 8 Einzelgewinne und 90 Nieten
sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 15 zufällig gezogenen Losen
genau 3 Einzelgewinne und 12 Nieten sind.
Lösung:
Anz. der Möglichkeiten aus den 2 Hauptgewinnen genau 0 zu ziehen:
2
1
0
Anzahl der Möglichkeiten aus den 8 Einzelgewinnen genau 3 zu ziehen:
8
3
Anzahl der Möglichkeiten aus den 90 Nieten genau 12 zu ziehen:
90
12
Anzahl der Möglichkeiten aus den insg. 100 Losen genau 15 zu ziehen:
100
15
Also ergibt sich insgesamt:
Seite 176 von 355
Aufgabensammlung
2 8 90 8 90
0 3 12 3 12 0,06054
100
100
15
15
Aufgabe 175:
Gegeben seinen 100 Lose, von denen 2 Hauptgewinne, 8 Einzelgewinne und 90 Nieten
sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 10 zufällig gezogenen Losen
genau 1 Hauptgewinn, 2 Einzelgewinne und 7 Nieten sind.
Lösung:
Anzahl der Möglichkeiten aus den 2 Hauptgewinnen genau 1 zu ziehen:
2
1
Anzahl der Möglichkeiten aus den 8 Einzelgewinnen genau 2 zu ziehen:
8
2
Anzahl der Möglichkeiten aus den 90 Nieten genau 7 zu ziehen:
90
7
Anzahl der Möglichkeiten aus den insg. 100 Losen genau 10 zu ziehen:
100
10
Also ergibt sich insgesamt:
2 8 90
1 2 7 0,02417
100
10
Aufgabe 176:
Die Wahrscheinlichkeit für eine Knabengeburt (K) sei 0,52, für eine Mädchengeburt (M)
dementsprechend 0,48. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Geburtenfolge? (a)
6,75%, b) 5,75%)
a) KKMK bzw. KMKK
b) MMMK bzw. KMMM?
Lösung:
a) 0,52 ∙ 0,52 ∙ 0,48 ∙ 0,52 = 0,52 ∙ 0,48 ∙ 0,52 ∙ 0,52 = 0,0675
Seite 177 von 355
Aufgabensammlung
b) 0,48 ∙ 0,48 ∙ 0,48 ∙ 0,52 = 0,52 ∙ 0,48 ∙ 0,48 ∙ 0,48 = 0,0575
Aufgabe 177:
Wie groß ist bei zufälliger Wahl die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse mit 10
Mädchen und 15 Burschen
a) beide Klassensprecher Mädchen sind? (0,15)
b) beide Klassensprecher Burschen sind? (0,35)
Seite 178 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
a)
10
)
45
9
𝑃(𝑀) = 2 =
=
= 0,15
25
( ) 300 60
2
b)
(
15
) 105 21
𝑃(𝑀) = 2 =
=
= 0,35
25
( ) 300 60
2
(
Aufgabe 178:
Die Zwillinge Peter und Paul sind wieder einmal für die Stundenwiederholung in Mathematik nicht vorbereitet. Sie wissen, dass der Lehrer dafür stets 2 Schüler zufällig
auswählt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) sowohl Peter als auch Paul,
b) Peter, aber nicht Paul,
c) Paul, aber nicht Peter,
d) Peter,
e) Paul,
f) weder Peter noch Paul
zur Stundenwiederholung drankommen, wenn insgesamt 20 Schüler anwesend sind?
(a) 0,005263 b) 0,0947 c) 0,0947 d) 0,1 e) 0,1 f) 0,8053)
Lösung:
a)
2
18
( )∙( )
2
2 = 0,0053
20
( )
2
b)
1
1
18
( )∙( )∙( )
1
0
1 = 0,0947
20
( )
2
c)
1
1
18
( )∙( )∙( )
1
0
1 = 0,0947
20
( )
2
d)
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Aufgabensammlung
1
19
( )∙( )
1
1 = 0,1
20
( )
2
e)
1
19
( )∙( )
1
1 = 0,1
20
( )
2
f) Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten mit Peter und Paul
2
18
( )∙( )
0
2 = 0,8053
20
( )
2
Aufgabe 179:
Eine Familie hat zwei Kinder. Die Geburtswahrscheinlichkeit für Jungen und Mädchen
sei 0,5. Jungen- und Mädchengeburten seinen unabhängig voneinander. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Jungen sind, wenn
a) keine sonstigen Angaben vorliegen; (0,25)
b) bekannt ist, dass ein Kind ein Junge ist; (0,33)
c) bekannt ist, dass das älteste Kind ein Junge ist(0,5).
(Geburtsreihenfolge beachten)
Lösung:
Es gibt 4 gleichmögliche Fälle: (J,J); (J,M); (M,J); (M,M)
a) Fall 1 günstig, alle 4 Fälle möglich W(J,J) 1/4
b) Fall 1 günstig, die ersten 3 Fälle möglich
W(J,J) = 1/3
c) Fall 1 günstig, die ersten 2 Fälle möglich
W(J,J) = ½
Aufgabe 180:
Ein Student muss in einer Klausur 8 von 10 Fragen richtig beantworten.
(a) Wie viel Möglichkeiten hat er? (45)
(b) Wie viele sind es, wenn er die ersten 3 Fragen richtig beantworten muss? (21)
(c) Wenn er mindestens 4 der ersten 5 Fragen richtig beantwortet? (35)
Lösung:
(a) Die 8 Fragen können auf
(
10
10
) ∙ ( ) = 45Arten ausgewählt werden.
8
2
Seite 180 von 355
Aufgabensammlung
(b) Wenn er die ersten drei Fragen richtig beantwortet hat, gibt es für die restlichen
noch
7
( ) = 21Möglichkeiten
5
(c) Wenn er die ersten Fragen richtig beantwortet, gibt es für die restlichen noch
5
( ) = 10Möglichkeiten.
3
Beantwortet er nur 4 der ersten 5 Fragen richtig, wofür es
5
( ) = 5Möglichkeiten gibt, so kann er die 4 anderen Fragen aus den restlichen 5
4
auf
5
( ) = 5 Arten auswählen.
4
Also hat er in diesem Fall 5 ∙ 5 = 25 Möglichkeiten.
Insgesamt gibt es demnach 35 Möglichkeiten.
Aufgabe 181:
Aus einem Skatspiel werden nacheinander zwei der der 32 Karten gezogen. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den beiden gezogenen Karten genau
ein As befindet? (0,2258)
Lösung:
Die Gesamtanzahl der möglichen Ausgänge ist
32
) = 496
2
Es gibt
(
4
( )
1
Möglichkeiten, ein As zu ziehen und dazu jeweils
28
)
1
Möglichkeiten, eine weitere Karte zu ziehen, die kein As ist.
(
Das betrachtete Zufallsergebnis tritt also bei
4
28
( ) ∙ ( ) = 112
1
1
Ausgängen ein, und die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist
𝑃(ein As) =
112
496
Aufgabe 182:
Seite 181 von 355
Aufgabensammlung
(a) Auf wie viele Arten können 3 Jungen und 2 Mädchen in einer Reihe sitzen? (120)
(b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Jungen und auch die Mädchen zusammen
sitzen möchten. (24)
Lösung:
(a) Für die fünf Personen gibt es 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 Möglichkeiten.
(b) Aufgeteilt nach Geschlecht gibt es 2 Möglichkeiten: JJJMM oder MMJJJ.
In beiden Fällen können die Jungen 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 und die Mädchen 2 ∙ 1 = 2 Sitzordnungen bilden.
Insgesamt haben wir 2 ∙ 6 ∙ 2 = 24 mögliche Sitzanordnungen.
Aufgabe 183:
5 Personen, 2 männliche m 1 und m 2 und 3 weibliche w 1 , w2 und w3 , bestreiten ein
Schachturnier. Die Personen gleichen Geschlechts besitzen die gleichen Gewinnwahrscheinlichkeiten, und es ist doppelt so wahrscheinlich, dass ein Mann gewinnt, als dass
eine Frau gewinnt.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt eine Frau das Turnier? (0,4286)
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt m 1 oder w1 das Turnier? (0,4286)
Lösung:
Es sei P(w1)= P(w2)= P(w3)=p und P(m1)= P(m2)=2p. Da die Summe der Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt, folgt
𝑝 + 𝑝 + 𝑝 + 2𝑝 + 2𝑝 = 1 𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑝 =
1
7
Wir suchen
1
1
1
3
(a) P({w1,w2,w3})=P(w1)+ P(w2)+ P(w3)= 7 + 7 + 7 = 7
2
1
3
(b) P({m1,w1})=P(m1)+P(w1)= 3 + 3 = 7
Aufgabe 184:
Zwei Karten werden zufällig aus einem Rommé-Spiel (52 Karten) gezogen. Bestimme
die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass (a) beide Karos sind (0,0588), (b) eine Karo und
eine Herz ist (0,1275).
Lösung:
Es gibt
52
) = 1326
2
Möglichkeiten, 2 Karten aus 52 zu ziehen.
(
(a) Es gibt
Seite 182 von 355
Aufgabensammlung
13
)
2
Möglichkeiten, 2 Karos aus 13 Karo zu ziehen:
(
78
1326
(b) Da es 13 Karo und 13 Herz gibt, erhalten wir 13 ∙ 13 = 169 Möglichkeiten, ein
Karo und ein Herz zu ziehen:
𝑃(𝐴) =
𝑃(𝐵) =
169
13
=
1326 102
Aufgabe 185:
Drei Glühbirnen werden zufällig aus 15 Glühbirnen, von denen 5 defekt sind, ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass
(a) keine (0,2637),
(b) genau eine (0,4945),
(c) mindestens eine der 3 defekt ist (0,7363).
Lösung:
Es gibt
15
) = 455
3
Möglichkeiten, 3 Glühbirnen aus 15 auszuwählen.
(
(a) Da 15-5=10 nicht defekt sind, gibt es
10
) = 120
3
Möglichkeiten, 3 nicht defekte auszuwählen:
(
120
455
(b) Wir haben 5 defekte und
𝑃(𝐴) =
10
) = 45
2
verschiedene Paare von nicht defekten Glühbirnen, also gibt es 5 ∙ 45 = 225 Möglichkeiten, 3 auszuwählen, von denen genau eine defekt ist:
(
225
455
(c) Das betrachtete Ereignis ist das Gegenereignis des Ereignisses in (a), also gilt:
𝑃(𝐴) =
𝑃(𝐶) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 −
120 335
=
455 455
Aufgabe 186:
Seite 183 von 355
Aufgabensammlung
Aus 10 Kärtchen, die von 1 bis 10 durchnummeriert sind, werden 2 zufällig gezogen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass die Summe der beiden darauf stehenden Zahlen ungerade ist, wenn
(a) beide zusammen (0,5556),
(b) eine nach der anderen ohne zurücklegen (0,5556),
(c) eine nach der anderen mit zurücklegen gezogen wird (0,5).
Lösung:
(a) Es gibt
10
) = 45
2
Möglichkeiten, 2 Kärtchen aus 10 auszuwählen (ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen).
(
Die betrachtete Summe ist ungerade, wenn die eine Zahl gerade und die andere
ungerade ist. Da wir 5 Gerade und 5 ungerade Zahlen haben, gibt es 5 ∙ 5 = 25 Möglichkeiten, dass die Summe ungerade ist:
25 5
=
45 9
(b) Wir haben jetzt eine geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen mit
𝑃(𝐴) =
10!
= 90
8!
beide Kärtchen zu ziehen.
Es gibt 25 Möglichkeiten, zuerst eine gerade Zahl und dann eine ungerade Zahl zu
ziehen, sowie 25 für den umgekehrten Fall:
25 + 25
90
(c) 10 ∙ 10 = 100 Möglichkeiten des Ziehens mit Zurücklegen. Wie unter (b) erhalten
wir 25 + 25 = 50 günstige Fälle:
𝑃(𝐵) =
𝑃(𝐶) =
25 + 25 1
=
100
2
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Aufgabensammlung
Aufgabe 187:
Zwei homogene Würfel werden geworfen. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit p dafür
an, dass die Summe 10 oder größer ist, wenn eine 5 auf
(a) dem ersten (0,3333),
(b) mindestens einem Würfel erscheint (0,2727).
Lösung:
(a) Erscheint eine 5 auf dem ersten Würfel, dann erhalten wir als reduzierten Stichprobenraum
A {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),} .
Für das betrachtete Ereignis gibt es dann also 2 günstige Fälle:
(5,5), (5,6) .
Also
2 1
=
6 3
(b) Erscheint mindestens auf einem der Würfel eine 5, dann erhält man wieder einen reduzierten Stichprobenraum mit 11 Elementen:
𝑃(𝐴) =
B {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6,5)} .
Drei Fälle sind günstig:
(5,5), (6,5), (5,6) .
Also
𝑃(𝐵) =
3
11
Aufgabe 188:
Drei homogene Münzen werden geworfen. Bestimme sie Wahrscheinlichkeit p, dass
bei allen Zahl oben liegt, wenn dies bei
(a) der ersten (0,25),
(b) bei einer der Münzen dies der Fall ist (0,1429).
Lösung:
Der Stichprobenraum hat 8 Elemente:
S {ZZZ, ZZW, ZWZ, ZWW, WZZ, WZW, WWZ, WWW}
(a) In diesem Fall ist der reduzierte Stichprobenraum durch
A {ZZZ, ZZW, ZWZ, ZWW}
gegeben. Da wir einen günstigen Fall bei vier möglichen haben, folgt
Seite 185 von 355
Aufgabensammlung
1
4
(b) Hier ist der reduzierte Stichprobenraum gleich
𝑃(𝐴) =
B {ZZZ, ZZW, ZWZ, ZWW, WZZ, WZW, WWZ} .
Also ergibt sich
𝑃(𝐵) =
1
7
Aufgabe 189:
Zwei homogene Würfel werden geworfen, und man erfährt, dass die beiden oben liegenden Zahlen verschieden sind. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit p an, dass
(a) die Augensumme 6 ist (0,1333),
(b) eine 1 erscheint (0,3333),
(c) die Augensumme 4 oder weniger beträgt (0,1333).
Lösung:
Von den 36 möglichen Ergebnissen des Wurfs scheiden die 6 mit gleicher Augenzahl
aus. Also hat der reduzierte Stichprobenraum 30 Elemente.
(a) Für die Augensumme 6 gibt es 4 Möglichkeiten: (1,5), (2,4), (4,2), (5,1). (Die
Möglichkeit (3,3) fällt ja weg. Also gilt
4
2
=
30 15
(b) Für eine 2 haben wir 10 Möglichkeiten: (1,2),(1,3),(1,4), (1,5), (1,6) und (2,1),
(3,1), (4,1),(5,1), (6,1). Daraus folgt:
𝑃(𝐴) =
10 1
=
30 3
(c) Das betrachtete Ereignis kann auf 4 Arten eintreten: (3,1), (1,3), (2,1), (1,2).
𝑃(𝐵) =
Also
𝑃(𝐶) =
4
2
=
30 15
Aufgabe 190:
Ein Mann bekommt aus einem normalen Kartenspiel mit 52 Karten 4 Karo und dann
noch 3 Karten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass mindestens eine dieser Karten ein Karo ist? (0,4716)
Lösung:
Da er bereits 4 Karo hat, bleiben 52-4=48 Karten übrig, von denen 13-4=9 Karo sind.
Die nächsten 3 Karten kann er auf
Seite 186 von 355
Aufgabensammlung
48
) = 17.296
3
Arten bekommen. Da noch 48-9=39 Nicht-Karo da sind, kann er auf
(
39
) = 9.139
3
Arten 3 Nicht-Karo bekommen. Also ist die Wahrscheinlichkeit q, kein weiteres Karo
zu bekommen:
(
9.139
17.296
damit folgt
𝑃(𝐴) =
𝑃(𝐵) = 1 −
9.139
8.157
=
17.296 17.296
Aufgabe 191:
Vier Personen, genannt Nord, Ost, Süd und West, erhalten je 13 Karten von einem normalen Kartenspiel mit 52 Karten.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass Nord genau 2 Asse hat, wenn Süd keines
hat? (0,3082)
(b) Nord und Süd haben zusammen 9 Herz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass
Ost und West genau je 2 Herz haben? (0,4070)
Lösung:
(a) Nord, Ost und West bekommen zusammen 39 Karten, darunter 4 Asse. Nord
kann 13 der 39 Karten auf
39
) Arten erhalten, sowie 2 der 4 Asse auf
13
4
( ) Arten.
2
Für seine 11 restlichen Nicht-Asse (von insgesamt 39-4=35 Karten) gibt es
(
35
) Möglichkeiten. also folgt:
11
4
35
( )∙( )
2
11 = 650
𝑃(𝐴) =
35
2.109
( )
11
(b) Auf Ost und West werden 26 Karten verteilt, darunter 4 Herz. Es gibt
(
26
) Möglichkeiten, Ost 13 Karten zu geben. (wir brauchen nur Ost zu betrachten,
13
da West dann die restlichen Karten erhält.)
(
Es gibt
4
22
( ) Arten, dass Ost 2 der 4 Herz bekommt, und ( ) Möglichkeiten,
2
11
dass er 11 der 26-4=22 Nicht Herz erhält. Also:
Seite 187 von 355
Aufgabensammlung
4
22
( ) ∙ ( ) 234
2
11 =
𝑃(𝐵) =
26
575
( )
13
Aufgabe 192:
In einer Gruppe sind 12 Jungen und 4 Mädchen. Es werden 3 Personen zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass es 3 Jungen sind? (0,3929)
Lösung:
16
12
) = 560 Arten 3 Personen aus 16 auswählen, sowie auf ( ) =
3
3
220 Arten 3 Jungen; damit folgt:
Man kann auf (
𝑃(𝐴) =
220
560
Aufgabe 193:
Ein Mann bekommt nacheinander 5 Karten aus einem normalen Kartenspiel mit 52 Karten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass alle Kreuz sin d? (0,000495)
Lösung:
52
)
5
13
Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten beträgt: ( )
5
Somit ergibt sich eine Gesamtwahrscheinlichkeit
Die Anzahl der gesamten Möglichkeiten beträgt: (
13
( )
33
𝑃(𝐴) = 5 =
52
( ) 66.640
5
Aufgabe 194:
Zur Führerscheinprüfung werden die Personen einer Gruppe nacheinander zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit p, dass abwechselnd ein Mann und eine
Frau geprüft werden, wenn
(a) 4 Männer und 3 Frauen (0,0286),
(b) 3 Männer und 3 Frauen da sind (0,1).
Lösung:
(a) Zuerst wird eine Frau ausgewählt, dann ist das betrachtete Ereignis unmöglich.
Andererseits ist die Wahrscheinlichkeit, einen Mann als ersten Prüfling auszuwäh4
3
len, gleich 7. Ist der erste ein Mann, so ergibt sich 6 als Wahrscheinlichkeit, dass der
zweite eine Frau ist, da unter den restlichen 6 Personen noch drei Frauen sind.
(usw.)
Seite 188 von 355
Aufgabensammlung
P
4 3 3 2 2 1 1 1
7 6 5 4 3 2 1 35
(b) Es gibt zwei sich ausschließende Möglichkeiten: Zuerst ein Mann oder zuerst
eine Frau. Ist der erste Prüfling ein Mann, dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeit
P1
für
das
betrachtete
Ereignis
mit
dem
Multiplikationssatz:
3 3 2 2 1 1 1
P1
6 5 4 3 2 1 20 .
Ist der erste Prüfling eine Frau, erhalten wir die analoge Wahrscheinlichkeit P2.
1
1
2
1
Also 𝑃 = 𝑃1 + 𝑃2 = 20 + 20 = 20 = 10
Aufgabe 195:
Karton A enthält 8 Glühbirnen von denen 3 defekt sind, Karton B enthält 5, darunter 2
defekte. Jedem Karton wird zufällig eine Glühbirne entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass
(a) beide Glühbirnen defekt sind (0,15),
(b) eine defekt und eine nicht defekt ist (0,475).
Lösung:
(a) Die Wahrscheinlichkeit, zwei defekte Glühbirnen zu entnehmen, ist
3 2 3
P
8 5 20 .
(b) Die Wahrscheinlichkeit eine nicht defekte und eine defekte Glühbirne zu erhalten ergibt sich aus:
5 2 3 3 10 9 19
8 5 8 5 40 40 40
Aufgabe 196:
Von 20 gelieferten Glühbirnen sind 4 defekt. Es wird eine Stichprobe mit drei Birnen
entnommen (ohne Zurücklegen). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) keine defekte Birne in der Stichprobe (0,4912)
b) mindestens eine defekte Birne in der Stichprobe (0,5088)
Lösung:
Da die Anordnung der Stichprobe keine Rolle spielt und die Proben nicht zurückgelegt werden, wird mit Kombinationen ohne Wiederholung gerechnet.
20
) = 1.140
3
a) Mögliche Kombinationen (
günstige Kombinationen (
16
) = 1.140
3
Seite 189 von 355
Aufgabensammlung
P(keine defekte Lampe in der Probe) =
560
= 0,4912
1.140
560
b) P(mindestens eine defekte) = 1 − 1.140 = 0,5088
Aufgabe 197:
Eine Lieferung von 20 Bauelementen enthält 10% Ausschuss. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Stichprobe vom Umfang n=3 ausschließlich einwandfreie
Bauelemente enthält? (0,7158)
Lösung:
Die 20 Bauelemente bestehen aus 18 "guten" und 2 "schlechten".
18
)
3
20
mögliche Kombinationen ( )
3
günstige Kombinationen (
Wahrscheinlichkeit 𝑃(𝐴) =
18
)
3
20
( )
3
(
= 0,7158
Seite 190 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 198:
Die Tabelle zeigt Frauen und Männer einer Firma, unterteilt in Raucher und Nichtraucher.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit jemanden anzutreffen der raucht. (0,66)
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit eine Frau anzutreffen. (0,33)
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit eine Raucherin anzutreffen. (0,133)
d) Sie Treffen eine Frau an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie Ra ucherin? (0,4)
Lösung
Um die Wahrscheinlichkeiten bestimmen zu können, benötigen wir die relativen
Häufigkeiten der Ereignisse. Im vorigen Beispiel gab es Rundungsfehler. Um die se
möglichst zu vermeiden, sollte man die relativen Häufigkeiten und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten in Bruchform darstellen.
Seite 191 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 199:
Ein Statistisches Institut will ermittelt haben, dass bei 53% aller Geburten das Baby
männlichen Geschlechtes ist.
Wie groß ist danach die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mutter aufeinanderfolgend 2
Jungen zur Welt bringt?
Lösung:
Urne mit 100 Kugeln.
53 blaue (für Jungen) und 47 rosa (für Mädchen).
Zweimal ziehen mit Zurücklegen.
Gesuchte Wahrscheinlichkeit:
Aufgabe 200:
Im Lager einer Töpferei befinden sich 100 frisch gefertigte Tontöpfe. Man weiß, dass
20% davon fehlerhaft sind. Vier Tontöpfe werden zufällig entnommen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das die vier entnommenen Töpfe fehlerfrei sind?
(0,4033)
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das von den vier entnommenen Töpfen drei fehlerfrei sind? 0,4191)
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das von den vier entnommenen Töpfen mindestens drei fehlerfrei sind? (0,8224)
Lösung:
Seite 192 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 201:
Bei einer Produktionskontrolle wird ein bestimmter Fehler in 10% der Fälle übersehen.
Deshalb wird das Produkt von drei verschiedenen Personen kontrolliert. Bestimmen Sie
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein unbrauchbares Produkt
a) Spätestens bei der 2. Kontrolle als unbrauchbar erkannt wird. (0,99)
b) Erst bei der 3. Kontrolle als unbrauchbar erkannt wird. (0,009)
c) Nicht als unbrauchbar erkannt wird. (0,001)
Lösung:
Aufgabe 202:
In einer Fabrik wird Porzellangeschirr hergestellt. Jedes Teil wird nacheinander in verschiedenen Kontrollgängen auf Form, Farbe und Oberflächenbeschaffenheit geprüft.
Erfahrungsgemäß muss bei 25% die Form beanstandet werden. Die Farbkontrolle passieren 85% der Teile ohne Beanstandung. In 20% aller Fälle genügt die Oberfläche nicht
den Ansprüchen der 1. Wahl. Nur wenn alle drei Kontrollen ohne Beanstandung durchlaufen sind, kann ein Teil als 1. Wahl verkauft werden. Ein Teil ist 2. Wahl, wenn die
Seite 193 von 355
Aufgabensammlung
Qualität an nur einer Kontrollstelle nicht ausreicht. Alle übrigen Porzellanteile gelten
als Ausschussware.
a) Stellen Sie die dreifache Kontrolle in einem Baumdiagramm dar.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Teil 1. Wahl ist? (0,51)
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Teil 2. Wahl ist? (0,3875)
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Teil Ausschuss ist? (0,1025)
Lösung:
Aufgabe 203:
In der Lotterie A gibt es von 10000 Losen 4500 Gewinne. in der Lotterie B sind unter
15000 Losen 9500 Gewinne. Jemand kauft von jeder Lotterie ein Los.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in beiden Lotterien gleichzeitig zu gewinnen?
E1: Gewinn in beiden Lotterien. (0,285)
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit nichts zu gewinnen? E2: Gewinn in keiner Lotterie? (0,202)
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in mindestens einer Lotterie zu gewinnen? E3:
Gewinn in mindestens einer Lotterie. (0,798)
Lösung:
Seite 194 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 204:
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kandidat im Examen die Note 2 erreicht, sei 0,4. Das
Ereignis"8. Semester und Note 2" trete mit der Wahrscheinlichkeit 0,09 ein. Wie wahrscheinlich ist es dann, dass ein Student, der mit der Note 2 abgeschlossen hat, im 8.
Semester ist?
Lösung:
Seite 195 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 205:
Beim Würfelspiel „Fuchs und Hase“ wird mit einem roten und einem blauen Würfel
zugleich geworfen. Der Fuchs darf um so viel Felder vorrücken, wie der rote Würfel
Augen zeigt, der Hase um so viele Felder, wie der blaue Augen zeigt.
Der Hase hat drei Felder Vorsprung. Es wird einmal gewürfelt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Ereignisse:
a) Fuchs und Hase treffen auf dasselbe Feld
b) Der Fuchs überholt den Hasen
c) Der Hase vergrößert den Vorsprung
d) Der Fuchs nähert sich dem Hasen
Lösung:
3
=
36
3
b)
=
36
15
c)
=
36
9
d)
=
36
a)
1
12
1
12
5
12
1
4
Aufgabe 206:
In einer Lostrommel liegen 20 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 20. Es wird eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer Kugel mit
a) einer ungeraden Zahl,
b) einer Primzahl,
c) einer Zahl kleiner als 4?
Lösung:
1
2
2
b)
5
3
c)
20
a)
Aufgabe 207:
Aus einer Urne wird eine Kugel gezogen. Die Urne enthält
Seite 196 von 355
Aufgabensammlung
a) 10 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 10
b) 100 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 100.
Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl auf der gezogenen Kugel
die Ziffer 5 nicht enthält (durch 5 teilbar ist).
Lösung:
9 1
( )
10 5
81 1
b)
( )
100 5
a)
Seite 197 von 355
Aufgabensammlung
Binomialverteilung
Aufgabe 208:
Nach Angaben des Geschäftsführers des Reisebüros werden ca . 10 % der gebuchten
Reisen von den Kunden wieder abgesagt. Da die Reiserücktrittsversicherungen nur in
seltenen Fällen zahlen und die Kunden nicht mit Kosten für abgesagte Reisen ver ärgert
werden sollen, verfährt der Geschäftsführer nach dem Overbooking-Prinzip: Das bedeutet, dass das Reisebüro für die Herbstferien nicht nur 90 Betten an seine Kunden
weiter vermietet, sondern 100, damit auch nach Absagen durch die Kunden das Hotel
möglichst voll belegt ist. Tatsächlich hat das Reisebüro bis August 2001 d ie gesamten
100 Plätze verkauft.
A) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gebuchten Hotelbetten nicht ausreichen?
B) Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss der Geschäftsführer damit rechnen, dass
mehr als 4 Betten im Hotel in den Herbstferien nicht belegt sind?
Lösung:
A) Die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Binomialverteilung.
Es handelt sich im Urnenmodell um ein Ziehen mit Zurücklegen (n = 100) bei einer
Absagewahrscheinlichkeit von p = 0,1. Die Zufallsvariable X bezeichnet die Anzahl
der Absagen bei 100 Reservierungen. Die Hotelbetten reichen nicht aus, wenn weniger als 10 Kunden absagen:
P(X 9) = 45,13 % Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 45 % reichen die Hotelbetten nicht aus.
B) Im Hotel sind mehr als 4 Betten frei, falls mehr als 14 Gäste absagen:
P(X > 14) = 1 - P(X 14) = 7,26 %
Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 7 % sind mehr als 4 Betten im Hotel nicht
belegt.
Aufgabe 209:
Allergische Krankheiten nehmen in Deutschland weiter zu
Unter der obigen Überschrift meldete das Robert-Koch-Institut in Berlin im März 2000
folgende Zahlen:
„Fast 10 Millionen Bundesbürger im Alter von 18 bis 80 Jahren haben oder hatten schon
einmal einen allergischen Schnupfen (Heuschnupfen). Von Bronchialasthma sind mindestens 6% (ca. 3,5 Millionen) aller erwachsenen Männer und Frauen in Deutschland
betroffen. Die Häufigkeit von Nahrungsmittelallergien beträgt ebenfalls rund 6% und
an Neurodermitis waren oder sind etwa 3% aller 18- bis 80-Jährigen erkrankt. Die genannten allergischen Krankheiten sind in den alten Bundesländern weiter verbreitet als
in den neuen Bundesländern.“
In Bad Oeynhausen leben ca. 35.000 Erwachsene zwischen 18 und 80 Jahren. Mit wie
vielen Bronchialasthmakranken muss man rechnen? Wie viele leiden von ihnen an Neurodermitis?
Seite 198 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
1.Lösungsmöglichkeit: n =35.000; p = 0,06 E(X) = n . p = 35.000 . 0,06 = 2100
2. Lösungsmöglichkeit: 6% von 35.000 Personen sind 2100 Personen
Es ist in Bad Oeynhausen mit 2100 Asthmakranken und mit 1050 Leuten, die an
Neurodermitis erkrankt sind, zu rechnen.
Aufgabe 210:
Ein Jäger trifft sein Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit 40%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er bei zehn Schüssen mehr als sechs Treffer?
Lösung:
Ein Jäger trifft sein Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit 40%. Mit welcher W ahrscheinlichkeit erzielt er bei zehn Schüssen mehr als sechs Treffer?
Aufgabe 211:
Bei einem Automaten gewinnt man in 30% aller Spiele. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man a) bei 10 Spielen, b) bei 20 Spielen achtmal gewinnt?
Lösung
Bei einem Automaten gewinnt man in 30% aller Spiele. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei 10 Spielen achtmal gewinnt?
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Aufgabensammlung
Aufgabe 212:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bienenvolk einen harten Winter überlebt, ist
0,4. ein Imker besitzt 6 Völker. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2
einen harten Winter überleben?
Lösung:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bienenvolk einen harten Winter überlebt, ist
0,4. Ein Imker besitzt 6 Völker. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens
2 einen harten Winter überleben?
Aufgabe 213:
Für einen Einsatz von 0,50 Cent an den Spielleiter darf der Spieler zwei ideale Würfel
mit jeweils den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 einmal gleichzeitig werfen. Zeigen beide
Würfel dieselbe Augenzahl 1, 2, 3, 4 oder 5 (Pasch), so erhält der Spieler 1 Euro, bei
zweimal Augenzahl 6 (Sechserpasch) sogar 3 Euro.
In allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung durch den Spielleiter.
Ein Schüler führt dieses Spiel zehnmal aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse
D: genau zweimal Sechserpasch,
E: höchstens dreimal ohne Auszahlung?
Lösung:
2
8
10 1 35
PD 0,027716 2,77%
2 36 36
n 10
p
5
6
5
PE PX 3 b(0 - 3;10; )
6
0,00029
0,029%
Seite 200 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 214:
Eine Firma bezieht Bauteile T aus zwei verschiedenen Werkstätten. Erfahrungsgemäß
sind 90% dieser Bauteile T 1 aus der Werkstatt 1 intakt und 80% dieser Bauteile T 2 aus
der Werkstatt 2 intakt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 20 ausgewählten Bauteilen (es kann nicht unterschieden werden, aus welcher Werkstatt die Teile kommen) drei defekte zu erhalten?
Lösung:
n 20
p 0,28
PX 2 b(0 2;20;0,28) 0,0663
Aufgabe 215:
An einer Schule mit 900 Schülern wird monatlich eine Schülerzeitung herausge geben.
Im Durchschnitt wird diese Zeitung von 80% der Schüler gekauft.
In der Redaktion arbeiten 15 Schüler, von denen jeder mit einer Wahrscheinlichkeit
von 0,1 bei jeder Sitzung fehlt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A: "Alle Mitglieder der Redaktion sind anwesend"
B: "Es fehlen weniger als ein Drittel der Redakteure"
C: "Bei drei aufeinanderfolgenden Sitzungen fehlt jeweils höchstens ein Redakteur"
Lösung:
n 15
p 0,1
P A B
P B B
15
0,1
15
0,1
15
0
15
0,1 0,9 0,20589 20,6 %
0
X 0
X 4 0,98728 98,7 %
3
15
3
P C B X 1 0,54904 0,1655 16,6 %
0,1
Seite 201 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 216:
Im Mittelalter wurden Goldmünzen als Zahlungsmittel verwendet. Von der Gesamtmenge war 1% Falschgeld im Umlauf. Falsche Münzen konnte man verbiegen. Äußerlich
waren echte und falsche Goldmünzen nicht zu unterscheiden.
Der Schatzmeister des Landes Stochastika bewahrte die Goldmünzen in Kästen zu je
100 Stück auf. Dabei interessierten ihn folgende Ereignisse:
A: "In einem Kasten waren genau 2 falsche Münzen."
B: "In einem Kasten waren mehr als 2 und höchstens 4 falsche Münzen."
Berechnen Sie die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
Lösung:
n 100
p 0,01
100
P A 0,012 0,99 98 0,1849 18,5%
2
oder:
P A B
100
X 2 0,18486 18,5%
0,01
P B P 2 X 4
B
100
X 4 B
0,01
100
X 2
0,01
0,99657 0,92063 7,6 %
Aufgabe 217:
Bei der Herstellung von gefärbten Gummibällen treten Farb- und Materialfehler unabhängig voneinander auf. Farbfehler treten bei 2% der hergestellten Menge auf. Nur
90% der produzierten Bälle sind fehlerfrei. Alle produzierten Bälle werden in Kartons
zu je 10 Stück verpackt und an Warenhäuser versandt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Karton höchstens ein Ball fehlerhaft ist?
Lösung:
n 10
p 0,1
10
P X 1 B X 1
0,1
0,7361 73,6 %
10
10
P X 1 0,10 0,9 10 0,11 0,9 9 0,7361
0
1
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Aufgabensammlung
Aufgabe 218:
Ein Unternehmer zahlt einem Taucher der Südsee für jede abgelieferte Muschel 5 Cent
(1 Euro = 100 Cent). Erfahrungsgemäß haben 16% dieser Muscheln genau eine Perle.
Die übrigen haben keine Perle.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Unternehmer für 1 Euro, den er
dem Taucher zahlt, genau 3 Perlen erhält?
Lösung:
n 20
p 0,16
P X 3 B
20
0,16
20
3
17
0,16 0,84 0,241 24,1%
3
X 3
Aufgabe 219:
Eine gezinkte Münze zeigt in 70% aller Fälle Kopf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass bei 50 Würfen:
a) mehr als 35 mal,
b) mindestens 40 mal,
c) höchstens 25 mal,
d) weniger als 30 mal,
e) genau 35 mal Kopf fällt?
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Aufgabensammlung
Lösung:
a) 44,68%
b) 7,89%
c) 0,24%
d) 4,78%
e) 12,24%
Aufgabe 220:
Eine Behandlungsmethode führt in 60% alle Fälle zu guten Erfolgen ohne erkennbare
Nebenwirkungen für den Patienten, in 20% der Fälle treten jedoch schwere Nebenwirkungen auf.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Behandlung von 100 Patienten
a) in mehr als der Hälfte der Fälle erfolgreich,
b) bei höchstens 20 Patienten mit schweren Nebenwirkungen,
c) bei weniger als 37 Patienten ohne erkennbare Wirkungen verläuft?
Lösung:
a) 97,29%
b) 55,95%
c) 99,99%
Aufgabe 221:
Der Betreiber eines Glücksrades mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 10% hat noch
18 Sachgewinne übrig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei 100 Spielen
nicht mehr genügend Gewinne ausgeben kann?
Lösung:
0,46%
Aufgabe 222:
1968 hatte die Bundesrepublik Deutschland 60 184 000 Einwohner. Darunter waren 28
558 000 männlich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) unter 50 Personen höchstens 15 Frauen sind (0,00017268)
Lösung:
Seite 204 von 355
Aufgabensammlung
a)
Aufgabe 223:
Ein dressiertes Versuchstier betätigt auf ein Lichtsignal hin einen Hebel mit der Wahrscheinlichkeit 23 . Dieses Signal wird 72-mal gegeben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Versuchstier dabei
a) den höchstens Hebel 60-mal,(0,9995)
b) mindestens 40 und höchstens 60-mal betätigt?( 0,9811)
Lösung:
a)
b)
a) 0,9995 b) 0,9811
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Aufgabensammlung
60 0,5 48
39 0,5 48
P(40 X 60) P X 60 P X 39
4
4
3,13 2,13 0,99913 1 0,98341 0,98254
Aufgabe 224:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10 Würfen mit einer fairen Münze weniger als 9-mal „Kopf“ erscheint. (98,9%)
Lösung:
Binomialverteilung mit n = 10 und p = 0,5
P(X < 9) = 1 – P(X 9)
P(X 9) = P(X = 9) + P(X = 10) = b(10;10;0,5) + b(9;10;0,5)
= P10;9 + P10;10 =
10
10
0,510 0,50 0,59 0,51
10
9
10!
10!
0,510 0,50
0,59 0,51
10!(10 10)!
9!(10 9)!
= 0,001 + 0,01 = 0,011
Oder man bildet mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung Geordnete Stichproben mit
zurücklegen:
10 1
211
Oben eingesetzt ergibt sich für P(X < 9) = 1 – 0,011 = 0,989 = 98,9%
Die Wahrscheinlichkeit bei 10 Münzwürfen weniger als 9 Mal „Kopf“ zu erhalten ist
98,9%.
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Aufgabensammlung
Aufgabe 225:
Eine homogene Münze wird 6-mal geworfen (bzw. 6 homogene Münzen einmal); es sei
Zahl gleich Erfolg. Dann gilt: n=6 und p=q=1/2.
(a) Die Wahrscheinlichkeit, dass genau zweimal Zahl auftritt (also k=2). (23,44%)
(b) Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens viermal Zahl auftritt (als o k=4,5 oder 6).
(34,38%)
(c) Die Wahrscheinlichkeit, dass keinmal Zahl auftritt (also alles Misserfolge). (1,6%)
Lösung:
Anzahl der Versuche: n=6
Anzahl der Treffer: k=2
WN für Zahl: p=0,5
WN für Wappen: q=0,5
n
6
b(2;6;0,5) b(k; n; p) p k (1 p) n k 0,5 2 (1 0,5) 62 0,2344
k
2
(a)
(b) n=6; k=4,5,6; p=0,5; q=0,5
n
b(4;6;0,5) b(5;6;0,5) b(6;6;0,5) p k (1 p) n k 0,2344 0,093 0,016 0,3434
k
(c) Die Wahrscheinlichkeit, dass keinmal Zahl auftritt ist q6=0,016.
Aufgabe 226:
In einem Autobus befinden sich 30 Personen. Im Durchschnitt sind aus der Sicht der
Zöllner 10% Schmuggler. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl
von 3 Personen keinen, genau einen, genau zwei, genau drei Schmuggler zu erwischen?
(72,9%; 24,3%; 2,7%; 0,1%)
Lösung:
n = 3, p = 0.1, k = 0,1,2,3
n
b(0;3;0,1) p k (1 p) n k 0,729
k
n
b(1;3;0,1) p k (1 p) n k 0,243
k
n
n
b(2;3;0,1) p k (1 p) n k 0,027 b(3;3;0,1) p k (1 p) n k 0,001
k
k
Aufgabe 227:
In einer Schule befinden sich 750 Schüler. 30% sind fehlsichtig. Der Schularzt untersucht die ersten Klassen (123 Schüler).
Wie groß ist die W, genau 35 fehlsichtige Schüler zu erhalten? (7,4%)
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Aufgabensammlung
Lösung:
n=123; k=35; p=0,3
n
b(35;123;0,3) p k (1 p) n k 0,074
k
Aufgabe 228:
Der Anteil der Linkshänder wird mit 1% der Bevölkerung angenommen. Berechne die P
dafür, dass in einer Klasse mit 29 Schülern
(a) genau 2 Linkshänder, (3%)
(b) mindestens 3 Linkshänder sitzen. (0,2985%)
Lösung:
(a) n=29; k=2; p=0,01
n
b(2;29;0,01) p k (1 p) n k 0,03
k
(b)
n
b(3;29;0,01) p k (1 p) n k 0,0028
k
n=29; k=4; p=0,01
n
b(4;29;0,01) p k (1 p) n k 1,85 10 4
k
p=0,0028+0,000185=0,002985
Ab Anzahl der Treffer = 4 vernachlässigbar klein.
Aufgabe 229:
Beim Pfeilwerfen rechnet man bei 100 Würfen mit 9 Volltreffern. Wie groß ist die P,
dass ein Schütze mit 25 Würfen genau 3 Volltreffer erzielt. Schätze das Ergebnis vorher
ab! (21%)
Lösung:
n=25; k=3; p=0,09
n
b(3;25;0,09) p k (1 p) n k 0,21
k
Aufgabe 230:
Eine Mannschaft gewinnt jedes Spiel mit der Wahrscheinlichkeit 2 3 . Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass sie
Seite 208 von 355
Aufgabensammlung
(a) genau 2 (29,63%)
(b) mindestens1, (98,77%)
(c) über die Hälfte (59,26%)
von 4 Spielen gewinnt?
Lösung:
2
1
(a) n=4; k=2; p= 3 ; q= 3
n
2
8
b(2;4; ) p k (1 p) n k
3
27
k
2
1
(b) n=4; K=0; p= 3 ; q= 3
2 n
1
b(0;4; ) p k (1 p) n k
3 k
81 Alle vier Spiele zu verlieren.
P 1
Also ist
1 80
81 81 die Wahrscheinlichkeit, mindestens ein Spiel zu gewinnen.
(c) Die Mannschaft muss 3 oder 4 Spiele gewinnen. Es folgt:
2
2
32 16 48 16
b(3;4; ) b(4;4; )
3
3
81 81 81 27
Aufgabe 231:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass in einer Familie mit 6 Kindern
(a) 3 Jungen und 3 Mädchen, (31,25%)
(b) weniger Jungen als Mädchen sind? (34,38%)
Wir nehmen dabei an, dass Jungen- und Mädchengeburten gleichwahrscheinlich sind.
Lösung:
1
(a) n=6; k=3;p=q= 2
1 n
5
b(3;6; ) p k (1 p) n k
2 k
16
(b) Das Ergebnis ist 0, 1, 2 Jungen, also
1
1
1
11
b(0;6; ) b(1;6; ) b(2;6; )
2
2
2
32
Aufgabe 232:
Seite 209 von 355
Aufgabensammlung
Eine Maschine ist defekt geworden und produziert mit der Wahrscheinlichkeit p=0,8
defekte Geräte. Der laufenden Produktion werden 20 Geräte entnommen. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit findet man darunter
a) genau 3 gute (20,54%)
b) höchstens 1 gutes Gerät (6,92%)
c) genau 15 defekte? (17,46%)
d) Mindestens 17 defekte Geräte (41,14%)
Lösung:
Aufgabe 233:
In einem Lostopf ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn 0,4. Wie oft muss man
mindestens ziehen, um mit mindestens 90 % Wahrscheinlichkeit mindestens einen Gewinn zu bekommen? (5)
Lösung:
Seite 210 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 234:
In einem Lostopf ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn 0,4. Wie oft muss man
mindestens ziehen, um mit mindestens 90 % Wahrscheinlichkeit mindestens vier Gewinne zu bekommen? (15)
Lösung:
Seite 211 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 235:
Eine Lieferung Kondensatoren trägt die Aufschrift: Verbilligte Lieferung, da mit 10%
Wahrscheinlichkeit ein Transistor defekt sein kann.
Händler Lehmann testet die Lieferung und misst bei vielen Kondensatoren die Kapazität, um festzustellen, ob sie brauchbar sind.
Um eine Entscheidung treffen zu können, will er von uns wissen, wie oft er mindestens
testen muss, um mit 75% Wahrscheinlichkeit mindestens 5 defekte Kondensatoren zu
finden. (50)
Lösung:
0,2971
Aufgabe 236:
Zwei Drittel einer Jugendgruppe wohnt in der Stadt. Es werden zufällig Jugendliche
ausgewählt. Wie viele muss man mindestens auswählen, um mit mindestens 96 %
Wahrscheinlichkeit mindestens 9 Stadtkinder zu bekommen? (19)
Lösung:
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Aufgabensammlung
Aufgabe 237:
Ein Händler erhält von einem neuen Lieferanten eine Sendung mit 1000 Glühbirnen.
Er will testen, ob dieser Lieferant zuverlässig ist. Dessen Angabe lautete: Eine Glühlampe ist zu 95% Wahrscheinlichkeit gut.
Der Händler beschließt folgendes Testverfahren:
Zunächst prüft er 25 Glühlampen. Sind darunter höchstens 2 defekte, nimmt er di e
Sendung an. Findet er mehr als 5 defekte, schickt er sie zurück. Bei 3 bis 5 defektenwill
er einen ungünstigen Zufall ausschließen und testet weitere 50 Glühbirnen.
Sind darunter höchstens 3 defekte, dann nimmt er die Sendung an, in jedem anderen
Fall wird sie zurückgeschickt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt er die Sendung an? (96,86%)
Lösung:
Seite 213 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 238:
Eine Mischung Vogelfutter besteht aus runden und länglichen Körnern. Da die runden
wertvoller aber auch teurer sind, will ein Kunde testen, ob die Angabe, dass 40% der
Körner im Vogelfutter "Birdywell" rund sind, auch glaubhaft ist.
Er entnimmt 50 Körner rein zufällig. X sei die Zahl der runden Körner.
Berechne P(X = 12) sowie ein zum Erwartungswert symmetrisches Intervall, in dem X
mit 80% Wahrscheinlichkeit liegt. (16-24)
Lösung:
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Aufgabensammlung
Aufgabe 239:
Die Firma Lampo bezieht Glühbirnen von den Herstellern A und B. Von A werden 70%
und von B 30% gekauft. Die Qualitätsangabe von A lautet: Im Mittel können 3 % der
Birnen defekt sein, bei B sollen es 6 % sein.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter 50 zufällig entnommenen Glühbirnen mindestens 35 vom Hersteller A? (56,92%)
b) In welchem zur Erwartungswert E(X) symmetrischen Intervall muss die Zufallsvariable X = "Zahl der von A gelieferten Birnen" liegen, damit die Wahrscheinlichkeit, so
viele Glühbirnen von A ausgewählt zu haben, etwa 72 % beträgt? (n=50) (Lösung:
72,04%)
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter 72 von A gelieferten Glühbirnen
mehr als 2 defekte? (36,72%)
d) Wie viel Prozent aller Glühbirnen, die Lampo bezieht, sind bei der Auslieferung defekt? (3,9%)
e) Dem Lager wird eine Glühbirne zufällig entnommen. Sie ist defekt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit stammt sie vom Hersteller A? (53,85%)
Lösung:
Seite 215 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 240:
In einer Urne befinden sich 5 weiße und 3 schwarze Kugeln. Wir ziehen 5 mal nacheinander mit Zurücklegen.
a) Welche Verteilungsfunktion beschreibt das Zufallsexperiment? Welche Parameter
beschreiben diese Verteilung und welche Werte besitzen sie in diesem Beispiel? Welche Werte µ bzw. 2besitzen Erwartungswert bzw. Varianz?
b) Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten 0, 1, 2, 3, 4 oder 5 schwarze Kugeln zu ziehen? Wie lauten die entsprechenden Werte für weiße Kugeln?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 3 weiße Kugeln zu erhalten. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 1, aber höchstens 2 schwarze Kugeln zu ziehen.
Lösung:
Seite 216 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 241:
In einer Fabrik werden serienmäßig Schrauben mit einem Ausschussanteil von 2% hergestellt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit finden wir in einer Zufallsstichprobe von 5
Schrauben genau0, 1, 2, 3, 4 bzw. 5 unbrauchbare? Welches Ergebnis leiten wir daraus
für brauchbare Schrauben her? Welche Werte µ bzw. s 2 besitzen Erwartungswert bzw.
Varianz?
Lösung:
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Aufgabensammlung
Seite 218 von 355
Aufgabensammlung
Normalverteilung
Aufgabe 242:
Messprotokoll über die Messung des Durchmessers einer zylindrischen Scheibe.
K
1
2
3
4
5
6
d [cm]
5,61
5,59
5,50
5,68
5,65
5,52
Gesucht : Mittelwert des Durchmessers sowie die Streuung der Einzelwerte (Standardabweichung).
Lösung:
d
1 6
1
dK 33,55 5,59 cm
6 K 1
6
Mittelwert
:
Streuung :
6
1
SR
(dK d)2
(6 1) K1
1
0,02508 0,07 cm
5
Aufgabe 243:
Die Äpfel in einer Lieferung wiegen durchschnittlich 180 g, mit einer Standardabweichung von 50 g. Man kann annehmen, dass das Gewicht eine normalverteilte Zufallsvariable ist. Wie viel Prozent der Äpfel wiegen
a) weniger als 150 g
b) mehr als 175 g
c) zwischen 200 und 250 g?
Lösung:
a) 27,43%
b) 53,98%
c) 26,38%
Aufgabe 244:
Eine Maschine füllt Mehl in Säckchen ab. Sie ist auf ein Füllgewicht von 1005 g eingestellt, die Standardabweichung beträgt 4 g. Wie viel Prozent aller Säckche n enthalten
weniger als 1000 g?
Lösung:
10,56%
Aufgabe 245:
Die Lebensdauer eines Ersatzteils ist normalverteilt, mit 𝑥̅ = 180 Tage und 𝜎 = 40 Tage.
Seite 219 von 355
Aufgabensammlung
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer weniger als 3 Monate
beträgt? (1 Monat = 30 Tage)
b) Bei wie viel Prozent aller Teile weicht die Lebensdauer um weniger als 1 Monat vom
Erwartungswert ab (d.h., sie liegt zwischen 5 und 7 Monaten)?
Lösung:
a) 0,0122
b) 54,67%
Aufgabe 246:
Eine Maschine erzeugt Holzplatten, die im Mittel 30 mm dick sind. Die Stan dardabweichung beträgt 0,6 mm.
a) Bei wie viel Prozent aller Platten liegt die Dicke zwischen 29,5 und 30,5 mm?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Platte dicker als 31 mm ist?
Lösung:
a) 59,35%
b) 0,0475
Aufgabe 247:
Wie schwer muss ein Neugeborenes sein (das Gewicht von neugeborenen Kindern sei
normalverteilt mit 𝑥̅ = 3200 g und 𝜎 = 800 g.), damit es
a) zu den 15% schwersten (4032)
b) zu den 25% leichtesten gehört? (2664)
c) In welchem symmetrischen Bereich [𝜇 − 𝜀, 𝜇 + 𝜀] liegen die Gewichte von 90% aller
Neugeborenen? (3200+1312)
Runden Sie jeweils auf 1g.
Lösung:
a)> 4030 g
b) < 2660 g
c) [1888 g, 4512 g]
Aufgabe 248:
Die Köpergröße eines bestimmten Jahrgangs ist normalverteilt mit den Werten = 95
cm und =7cm. (Man sagt dazu auch „die Körpergröße ist (95cm, 7cm) verteilt.)
(76%;8%;71%)
Wie viel Prozent dieser Kinder sind im Mittel
a) kleiner als 1 m,
Seite 220 von 355
Aufgabensammlung
b) größer als 1,05,
c) zwischen 88 cm und 103 cm?
Lösung:
a)
b)
c)
Aufgabe 249:
Das Gewicht von neugeborenen Kindern sei normalverteilt mit μ = 3200 g und σ=800
g.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Neugeborenes
a) mehr als 3000 g (59,87%)
b) weniger als 2500 g (18,94%)
c) zwischen 4000 und 5000 g wiegt? (14,65%)
Lösung:
a) 0,5987
b) 0,1894
c) 0,1465
Aufgabe 250:
Die Äpfel in einer Lieferung wiegen durchschnittlich 180 g, mit einer Standardabweichung von 50 g. Man kann annehmen, dass das Gewicht eine normalverteilte Zufallsvariable ist. Wie viel Prozent der Äpfel wiegen
a) weniger als 150 g (27,43%)
b) mehr als 175 g (53,98%)
c) zwischen 200 und 250 g? (26,38%)
Seite 221 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
a) 27,43%
b) 53,98%
c) 26,38%
Aufgabe 251:
Eine Maschine füllt Mehl in Säckchen ab. Sie ist auf ein Füllgewicht von 1005 g eingestellt, die Standardabweichung beträgt 4 g. Wie viel Prozent aller Säckchen enthalten
weniger als 1000 g? (10,56%)
Lösung:
10,56%
Aufgabe 252:
a) 10% der Äpfel aus Aufgabe 250: werden aussortiert, weil sie zu leicht sind. Wie
schwer kann ein Apfel höchstens sein, wenn er aussortiert wird? (<116)
b) In welchem symmetrischen Bereich [μ-ε, μ+ε] liegen die Gewichte von 50 % aller
Äpfel? (146-214)
Lösung:
a) < 116 g
b) [146 g, 214 g]
Aufgabe 253:
Eine Maschine stellt Nägel her. Die Länge der Nägel ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 8,00 cm und der Standardabweichung σ = 0,15 cm.
a) Bei wie viel Prozent der Nägel weicht die Länge höchstens um = 0,20 cm vom Erwartungswert μ ab? (81,65%)
b) Wie sind die Toleranzgrenzen festgelegt, wenn man weiß, dass 90% der Produktion
zum Verkauf freigegeben werden? (8±0,25)
Lösung:
a) 81,65%
b) 8 ± 0,25 cm
Aufgabe 254:
Die Lufttemperatur T im Juni sei normalverteilt mit dem Mittelwert 20 Grad und der
Standardabweichung 3 Grad. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass sie zwischen
21 und 26 Grad liegt? (34,79%)
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Aufgabensammlung
Lösung:
Mittelwert=20
Standardabweichung=3
Transformation (+z):
21 20
0,33 z 0,33
3
Transformation (+z):
26 20
2,00 z 2,00
3
Aus Tabelle F(0,33)=0,6293 und F(2)=0,9772
Gesuchtes Intervall:
0,9772-0,6293=0,3479
Aufgabe 255:
Das Gewicht G von 800 Schülern ist normalverteilt mit dem Mittelwert 66 kg und der
Standardabweichung 5 kg. Bestimme die Anzahl N von Schülern mit einem Gewicht (a)
zwischen 65 und 70 kg (294), (b) über 72 kg (92)
Lösung:
Mittelwert=66
Standardabweichung=5
(a)
Transformation (-z):
65 66
0,2 z 0,2
5
Seite 223 von 355
Aus Tabelle F(0,2)=0,4207
Aufgabensammlung
Transformation (+z):
70 66
0,8 z 0,8
5
Aus Tabelle
F(0,8)=0,7881
Gesuchtes Intervall: 0,7881-0,4207=0,3674
Anzahl der Schüler
N=0,3674*800=294 Schüler
(b)
Transformation (+z):
72 66
1,2 z 1,2
5
Aus Tabelle F(1,2)=0,8849
Gesuchtes Intervall. 1-0,8849=0,1151
Anzahl der Schüler: N=0,1151*800=92
Aufgabe 256:
Die Partikelgröße X eines Mahlgutes sei eine normalverteilte Zufallsgröße mit 𝜇 =
1 𝑚𝑚und 𝜎 = 0,25 𝑚𝑚. Wie groß ist der Anteil des Mahlgutes mit
(a) von höchstens 0,5 mm (2,28%)
(b) von mindestens 0,75 mm (84,13%)
(c) zwischen 0,9 und 1,1 mm (31,08%)
Lösung:
Seite 224 von 355
Aufgabensammlung
Mittelwert=1
Standardabweichung=0,25
(a)
Transformation (-z):
0,5 1
2 z 2
0,25
Aus Tabelle F(2)=0,0228
0,75 1
1 z 1
0,25
Aus Tabelle F(1)=0,1587
(b)
Transformation (-z):
Gesuchtes Intervall: 1-0,1587=0,8413
(c)
Transformation (-z):
0,9 1
0,4 z 0,4
0,25
Aus Tabelle F(0,4)=0,3108
Transformation (+z):
1,1 1
0,4 z 0,4
0,25
Aus Tabelle F(0,4)=0,3108
Gesuchtes Intervall: 0,3108
Aufgabe 257:
Seite 225 von 355
Aufgabensammlung
Ein Hersteller von Distanzplättchen gibt an, dass die Dicke der von ihm gefertigten
Plättchen normalverteilt ist. Auch Mittelwert und Standardabweichung sind ihm aus
langjähriger Erfahrung bekannt: 𝜇 = 3,25 𝑚𝑚und 𝜎 = 0,25 𝑚𝑚.
Ein Kunde fragt an, ob Unterlegscheiben innerhalb der folgenden Toleranz geliefert
werden können: Mindestwert: 3,00 mm und Höchstwert: 3,60 mm
Der Hersteller kann die Plättchen nach ihren Dicken sortieren.
Wie viel Prozent seiner Fertigung muss er anderweitig verkaufen, wenn er diesen Kunden beliefert? (23,95%)
Lösung:
Mittelwert=3,25mm
Standardabweichung=0,15mm
Transformation: (-z):
Transformation: (+z):
3−3,25
0,25
=1
3,6−3,25
0,25
Aus Tabelle F(1,00)=0,1587
= 1,4 Aus Tabelle F(1,40)=0,9192
Gesuchtes Intervall: 0,9192-0,1587=0,7605
Damit folgt 1-0,7605=0,2395
Aufgabe 258:
Die Brenndauer von Leuchtstoffröhren ist normalverteilt mit folgenden Parametern:
𝜇 = 900 ℎ und𝜎 = 100 ℎ.
Bestimmen Sie die Anteile für Lampen, die
(a) weniger als 650 h brennen (0,62%)
(b) länger als 1200 h brennen (0,14%)
(c) zwischen 750 h und 1050 h lang brennen (86,64%)
(d) weniger als 800 h oder länger als 1200 h brennen (16,01%)
Seite 226 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
Mittelwert=900 h
Standardabweichung=100 h
(a)
Transformation: (-z):
650 900
2,5 z 2,5
100
Aus Tabelle F(2,5)=0,0062
1200 900
3 z 3
100
Aus Tabelle F(3)=0,9986
(b)
Transformation: (+z):
Gesuchtes Intervall: 1-0,9986=0,0014
(c)
Transformation: (-z):
750 900
1,5 z 1,5
100
Seite 227 von 355
Aus Tabelle F(1,5)=0,8664
Aufgabensammlung
1050 900
1,5 z 1,5
100
Aus Tabelle F(1,5)=0,8664
Transformation: (-z):
800 900
1 z 1
100
Aus Tabelle F(1)=0,1587
Transformation: (+z):
1200 900
3 z 3
100
Transformation: (+z):
(d)
Aus Tabelle F(3)=0,9986
Gesuchtes Intervall:
1-0,9986=0,0014
0,1587+0,0014=0,1601
Aufgabe 259:
Ein über lange Zeit beobachteter Härteprozess von Werkstücken ergab für die Härtewertefolgende Parameter: 𝜇 = 58,0 𝐻𝑅𝐶und 𝜎 = 1,0 𝐻𝑅𝐶. Sie bekommen von Ihrem
Fertigungsleiter den Auftrag, die folgenden Werte zu bestimmen:
Bis zu welchem Höchstwert G 0 liegen die HRC-Werte in der künftigen Fertigung
(a) mit 75%-iger Wahrscheinlichkeit (58,67)
(b) mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit (59,64)
(c) mit 99%-iger Wahrscheinlichkeit (60,33)
Ab welchem Mindestwert G u liegen die HRC-Werte
(d) mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit (57,16)
(e) mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit (56,36)
(f) mit 99%-iger Wahrscheinlichkeit (55,67)
Seite 228 von 355
Aufgabensammlung
In welchen symmetrischen Intervallen G u bis G 0 liegen die HRC-Härtewerte in der künftigen Fertigung
(g) mit 60%-iger Wahrscheinlichkeit (57,16-58,84)
(h) mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit (56,04-59,96)
(i) mit 99%-iger Wahrscheinlichkeit (55,43-60,58)
Lösung:
Mittelwert= 58
Standardabweichung=1,0
Diese Aufgabe erfordert den umgedrehten Rechenweg wie die vorherigen Aufgaben.
(a)
Gesuchtes Intervall: 0,7500
Dieses aus der Tabelle ergibt 0,67
z
x
x z 0,67 1,0 58,0 58,67
(b)
Gesuchtes Intervall: 0,9500
Dieses aus der Tabelle ergibt 1,64
z
x
x z 1,64 1,0 58,0 59 ,64
(c)
Gesuchtes Intervall: 0,9900
Dieses aus der Tabelle ergibt 2,33
z
x
x z 2,33 1,0 58,0 60 ,33
(d)
Seite 229 von 355
Aufgabensammlung
Gesuchtes Intervall: 1-0,8=0,2
Dieses aus der Tabelle ergibt 0,84
z
x
x z 0,84 1,0 58,0 57 ,16
(e)
Gesuchtes Intervall: 1-0,95=0,05
Dieses aus der Tabelle ergibt 1,64
z
x
x z 1,64 1,0 58,0 56 ,36
(f)
Gesuchtes Intervall: 1-0,99=0,01
Dieses aus der Tabelle ergibt 2,33
z
x
x z 2,33 1,0 58,0 55,67
(g)
Gesuchtes Intervall: 0,6000
Dieses aus der Tabelle ergibt 0,84
z
x
x z 0,84 1,0 58,0 58,84
z
x
x z 0,84 1,0 58,0 57 ,16
Seite 230 von 355
Aufgabensammlung
(h)
Gesuchtes Intervall: 0,9500
Dieses aus der Tabelle ergibt 1,96
z
x
x z 1,96 1,0 58,0 59 ,96
z
x
x z 1,96 1,0 58,0 56 ,04
(i)
Gesuchtes Intervall: 0,9900
Dieses aus der Tabelle ergibt 2,58
z
x
x z 2,58 1,0 58,0 60 ,58
z
x
x z 2,58 1,0 58,0 55,426
Aufgabe 260:
Bei Antritt des Grundwehrdienstes wird unter anderem die Körpergröße der jungen
Soldaten festgestellt. Wir wollen annehmen, dass die Körpergröße normalverteilt ist
und ein Mittelwert μ = 178,6 cm und eine Standardabweichung σ = 7,5 cm bestimmt
wurde.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Grundwehrdiener
a) kleiner als 172cm
b) größer als 187 cm
c) zwischen 175 und 181 cm groß ist?
Lösung:
µ = 178,6cm
σ = 7,5 cm
N(178,6, 7,5)
a)P(X<172)
Z= = = -0,88 (Auf der Seite Tabelle finden sie die Normalverteilungstabelle, der wir
entnehmen können, dass dem Argument k= -0,88 der Wert F(-k) = 0,1894 zugeordnet ist.)
F(-z)= 0,1894
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Grundwehrdiener kleiner als
172 cm ist, beträgt daher 18,94 %.
Seite 231 von 355
Aufgabensammlung
b) P(X > 187)
Z= = =1,12 (Auf der Seite Tabelle finden sie die Normalverteilungstabelle, der wir
entnehmen können, dass dem Argument k= 1,12 der Wert F(k) = 0,8686 zugeordnet
ist.)
F(z)= 0,8686
F(-z)= 1 - 0,8686 = 0,1314
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Grundwehrdiener größer als
187 cm ist, beträt 13,14 %.
c) P(175 < X < 181)
𝑥−𝜇
𝑍=
𝜎
𝑥−𝜇
𝑍1 =
= 0,32
𝜎
𝑥−𝜇
𝑍2 =
= −0,48
𝜎
F1(z) = 0,6255
F2(-z) = 0,3156
F1 - F2 = 0,3099
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Grundwehrdiener zwischen
175 und 181 cm groß ist, beträgt 30,99 %.
Seite 232 von 355
Aufgabensammlung
Indexberechnung
Aufgabe 261:
Ein Unternehmen erzielte für seine Produkte i=1, 2, 3 in den Jahren 1995 (t=0) und
2000 (t=1) folgende Preise und Absatzmengen:
Produkt i
1995
2000
Preis p i
Menge m i
Preis p i
Menge m i
1
3
3.000
2
1.000
2
5
2.000
6
4.000
3
2
5.000
2
5.000
Man berechne den Umsatzindex sowie die Preis- und Mengenindizes nach Laspeyres
und Paasche für die Berichtsperiode 2000 und die Basisperiode 1995.
Lösung:
Umsatzindex:
n
p
U1995, 2000
i 1
n
i
2000
p
i 1
i
1995
n
L
P1995
, 2000
i
2000
i
m1995
p
i
1995
i
m1995
p
i
2000
m i2000
p
i
1995
m i2000
i 1
n
n
i 1
n
i 1
n
L
M1995
, 2000
p
i 1
n
i
1995
p
i 1
i
1995
m i2000
2 3.000 6 2.000 2 5.000 28.000
0,966
3 3.000 5 2000 2 5.000 29.000
2 1.000 6 4.000 2 5.000 36.000
1,091
3 1.000 5 4.000 2 5.000 33.000
3 1.000 5 4.000 2 5.000 33.000
1,138
3 3.000 5 2000 2 5.000 29.000
i
m1995
n
P
M 1995
, 2000
p
i
2000
i
m2000
p
i
2000
i
m2000
i 1
n
i 1
2 1.000 6 4.000 2 5.000 36.000
1,241
3 3.000 5 2.000 2 5.000 29.000
i
m1995
p
i 1
P
P1995
, 2000
m i2000
2 1.000 6 4.000 2 5.000 36.000
1,286
2 3.000 6 2.000 2 5.000 28.000
Aufgabe 262:
Für die Spareinlagen der Bürger in einer bestimmten Region zum jeweiligen Jahresende
Seite 233 von 355
Aufgabensammlung
liegen folgende Indexwerte vor:
Jahr
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
1,000
0,983
1,044
1,125
1,165
1,280
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1,000
1,072
1,130
1,163
1,126
Verketten Sie diese beiden Reihen so, dass sich eine Index - Reihe von 1980 bis 1989
mit dem Basisjahr 1985 ergibt.
Seite 234 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
Für die Jahre 1980 bis 1984 ergeben sich die Indizes zum Basisjahr 1985 :
1,28 1,372 1,446 1,489 1,441
0,781 0,768 0,816 0,879 0,910 1,00
P85,80
P80,80
P85,81
P80,81
P80,85
P80,85
1,000
0,781
1,280
0,983
0,768
1,280
mit : P85,85 1,000
Aufgabe 263:
Aus Veröffentlichungen des Statistischen Bundesamtes ist der Preisindex für die Lebenshaltung in der Bedarfsgruppe Haushaltführung wie folgt ausgewiesen:
1985
1986
1987
1988
1989
1990
100,0
101,1
102,2
103,3
104,9
107,3
Basieren Sie diesen Index vom Jahr 1985 auf das Jahr 1990 um.
Lösung:
P90;85
100
100 % 93,2
107,3
1985
1986
1987
1988
1989
1990
93,2
94,2
95,2
96,3
97,8
100,0
Aufgabe 264:
Die Preise p und die Mengen m für einen Warenkorb aus vier Gütern sind für die Jahre
2002 und 2003 in der unteren Tabelle angegeben:
Gut 1
Gut 2
Gut 3
Gut 4
P
M
P
M
P
M
P
M
2002
6
40
55
11
7
140
1,6
405
2003
7,3
56
59
12,8
6
180
1,8
415
1.
2.
a) Bestimmen Sie für 2003 zur Basis 2002 den Preisindex nach Laspeyres und
Paasche.
Seite 235 von 355
Aufgabensammlung
3.
b) Bestimmen Sie dazu auch den Mengenindex nach Laspeyres und Paasche, sowie den Umsatzindex.
Lösung:
a)
n
L
P2002
, 2003
p
i
2003
m i2002
p
i
2002
m i2002
i 1
n
i 1
n
P
P2002
, 2003
p
i
2003
m i2003
p
i
2002
m i2003
i 1
n
i 1
7,3 40 59 11 6 140 1,8 405 2.510
1,01496
6 40 55 11 7 140 1,6 405 2.473
7,3 56 59 12,8 6 180 1,8 415 2.991
1,01459
6 56 55 12,8 7 180 1,6 405 2.948
b)
n
M L2002, 2003
p
i
2002
m i2003
p
i
2002
m i2002
i 1
n
i 1
n
M P2002, 2003
p
i
2003
m i2003
p
i
2003
m i2002
i 1
n
i 1
n
U 2002, 2003
i
2003
m i2003
p
i
2002
m i2002
i 1
6 56 55 12,8 7 180 1,6 415 2.964
1,19854
6 40 55 11 7 140 1,6 405
2.473
7,3 56 59 12,8 6 180 1,8 415 2.991
1,19163
7,3 40 59 11 6 140 1,8 405
2.510
p
i 1
n
7,3 56 59 12,8 6 180 1,8 415 2.991
1,20946
6 40 55 11 7 140 1,6 405
2.473
Aufgabe 265:
Für den durchschnittlichen monatlichen Fleischwarenverbrauch eines repräsentativen
Haushalts gibt das Statistische Bundesamt folgende Zahlen an:
Fleischwaren
1986
1988
kg
Euro/kg
kg
Euro/kg
Wurst, Wurstwaren
5,290
11,86
4,745
11,77
Schinken, Speck
1,032
15,91
1,049
15,90
Wurstkonserven
0,320
7,78
0,392
7,60
Berechnen Sie den Preisindex und den Mengenindex für das Berichtsjahr 1988 zum Basisjahr 1986 nach Paasche und interpretieren Sie das Ergebnis.
Seite 236 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
ptqt = 4,74511,77 + 1,04915,90 + 0,3927,60 = 75,5070
p0qt = 4,74511,86 + 1,04915,91 + 0,3927,78 = 76,0151
Was 1988 gekauft wurde kostet 0,67 % weniger als 1986
ptq0 = 5,29011,77 + 1,03215,90 + 0,3207,60 = 81,1041
Für das, was man 1988 bezahlt, erhält man 6,9 % weniger Ware
Aufgabe 266:
Aus Veröffentlichungen des Statistischen Bundesamtes ist der Preisindex für die Lebenshaltung in der Bedarfsgruppe Haushaltführung wie folgt ausgewiesen:
1985
1986
1987
1988
1989
1990
100,0
101,1
102,2
103,3
104,9
107,3
Basieren Sie diesen Index vom Jahr 1985 auf das Jahr 1990 um. (93,2; 94,2; 95,2; 96,3;
97,8; 100)
Lösung:
P90;85
100
100 % 93,2
107,3
1985
1986
1987
1988
1989
1990
93,2
94,2
95,2
96,3
97,8
100,0
Aufgabe 267:
Die Preise p und die Mengen q für einen Warenkorb aus vier Gütern sind für die Jahre
2003 und 2004 in der folgenden Tabelle angegeben:
a) Bestimmen sie zur Basis 2003 den Preisindex nach Laspeyres (1,01496).
b) Berechnen sie dazu auch den Umsatzindex (1,20946).
Seite 237 von 355
Aufgabensammlung
Regressionsrechnung/Korrelationsrechnung
Aufgabe 268:
Sechs Personen werden zu ihrem Alter und ihrem Einkommen befragt:
Nettoeinkommen
yi
500
600
1100
1500
2200
3100
Alter
xi
20
21
25
28
36
44
Berechnen Sie die Regressionsgerade und den Korrelationskoeffizienten.
Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten von Bravais-Pearson:
Lösung:
Erstellen einer Arbeitstabelle:
Arbeiter
yi
xi
( y i y) ( x i x ) ( y i y) ( x i x ) ( x i x)² ( y i y)²
1
500
20
-1.000
-9
9.000
81
10.000
2
600
21
-900
-8
7.200
64
8.100
3
1.100
25
-400
-4
1.600
16
1.600
4
1.500
28
0
-1
0
1
0
5
2.200
36
700
7
4.900
49
4.900
6
3.100
44
1.600
15
24.000
225
25.600
46.700
436
50.200
Berech.
y
9000
1.500
6
x
174
29
6
n
b
(x
i 1
x ) ( y i y)
n
(x
i 1
Bestimmung von b:
Bestimmung von a:
i
i
x) 2
46.700
107,11
436
a y bx 1.500 107 ,11 29 1.605,9
Die Regressionsgerade lautet: y 1.605,9 107,1x
Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten vonBravais-Pearson:
n
r
(x
i 1
n
(x
i 1
i
x )( y i y)
n
i
x ) 2 ( y i y) 2
46.700
0,99821
436 50.200
11
Interpretation:
Zwischen dem Nettoeinkommen und dem Altere besteht ein sehr hoher korrelativer
Zusammenhang
Seite 238 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 269:
Eine renommierte Sektkellerei möchte einen hochwertigen Rieslings sekt auf den Markt
bringen.
Für die Festlegung des Abgabepreises soll zunächst eine Preis-Absatz-Funktion ermittelt werden. Dazu wurde in n = 6 Geschäften ein Testverkauf durchgeführt. Man erhielt
sechs Wertepaare mit dem Ladenpreis x (in Euro) einer Flasche und die verkaufte
Menge y an Flaschen:
Laden
i
1
2
3
4
5
6
Preis einer Flasche xi 20 16 15 16 13 10
verkaufte Menge
yi 0
3
7
4
6
10
Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten von Bravais-Pearson:
Lösung:
Erstellen einer Arbeitstabelle:
x
xi
yi
( y i y)
(x i x)
( y i y) ( x i x )
( x i x)²
( y i y)²
20
0
-5
5
-25
25
25
16
3
-2
1
-2
1
4
15
7
2
0
0
0
4
16
4
-1
1
-1
1
1
13
6
1
-2
-2
4
1
10
10
5
-5
-25
25
25
-55
56
60
90
15
6
y
30
5
6
n
b
Bestimmung von b:
Bestimmung von a:
(x
i 1
i
x ) ( y i y)
n
(x
i 1
i
x)2
55
0,9821
56
a y bx 5 (0,98) 15 19,70
Die Regressionsgerade lautet: y 19,70 0,98x
Jetzt noch die Weiterentwicklung berechnen.
Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten vonBravais-Pearson:
Seite 239 von 355
Aufgabensammlung
n
r
(x
i 1
i
x )( y i y)
n
n
i 1
11
( x i x ) 2 ( y i y) 2
55
0,949
56 60
Interpretation:
Zwischen dem Nettoeinkommen und dem Altere besteht eine sehr hohe negative
korrelativer Zusammenhang. Dies bedeutet einen gegenläufigen Zusammenhang
zwischen x und y. Steigt x, fällt y und umgekehrt.
Aufgabe 270:
Ein Kaufhaus möchte eine Aussage über den Preis X (in Euro) und den Absatz Y (in 100
Stück) eines Gutes machen. Um einen Zusammenhang zwischen beideb Größen zu ermitteln, legt das Kaufhaus den Preis X in 5 Filialen unterschiedlich fest.
X
3
4
5
6
12
Y
14
13
10
7
6
a) Berechnen Sie die Regressionsgerade.
b) Interpretieren Sie das Ergebnis.
c) Welchen Absatz kann das Unternehmen bei Unterstellung des linearen Zusammenhangs im Durchschnitt erwarten, wenn es den Preis auf 2 Euro senkt?
Lösung:
Seite 240 von 355
Aufgabensammlung
Seite 241 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 271:
Von 4 Kfz sind das Alter und die Bremswege bei einer Vollbremsung von 100 km/h zum
Stillstand gegeben:
a) Bestimmen Sie die Regressionsgerade und den Korrelationskoeffizienten.
b) Sie den erwarteten mittleren Bremsweg für 15 Jahre alte Fahrzeuge.
Lösung:
Aufgabe 272:
Von 10 Schüler/innen kennt man die Mathematik- und Englischnoten. Ermitteln Sie die
Gleichung der Regressionsgeraden und den Korrelationskoeffizienten und interpretieren das Ergebnis.
Mathematik (x): 1, 3, 4, 1, 4, 3, 5, 3, 3, 2
Englisch (y): 2, 2, 1, 4, 2, 5, 2, 4, 1, 3
Lösung:
y = -0,362x + 3,651; r = -0,345
negative Korrelation (je besser die Mathematiknote, umso schlechter die Englischnote), der Zusammenhang ist allerdings nur schwach
Aufgabe 273:
Von folgenden österreichischen Städten sind die Seehöhe und die Jahresmitteltemperatur in einem bestimmten Zeitraum bekannt:
Wien: 203 m, 9,1°
Salzburg: 437 m, 8,6°
Innsbruck: 579 m, 8,4°
Graz: 342 m, 9,4°
Klagenfurt: 448 m, 8,1°
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Aufgabensammlung
Ermitteln Sie die Gleichung der Regressionsgeraden und den Korrelationskoeffizienten
und interpretieren Sie das Ergebnis.
Welche Durchschnittstemperatur ist für einen Ort in 1000 m Seehöhe zu erwarten?
In welcher Höhe müsste ein Ort liegen, an dem die Durchschnittstemperatur 10° beträgt?
Lösung:
y = -0.00264x + 9,78; r = -0,7; 7,1°; -82,6 m (!)Je höher der Ort liegt, umso kälter (Aufgrund der wenigen Daten kann man keine genaue Aussage machen!)
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Aufgabensammlung
Aufgabe 274:
Die 10-Jahres-Mittel der Lufttemperatur in Astana betrugen
1900 - 1909: 9.0°
1910 - 1919: 9.1°
1920 - 1929: 9.1°
1930 - 1939: 9.4°
1940 - 1949: 9.1°
1950 - 1959: 9.5°
1960 - 1969: 9.4°
1970 - 1979: 9.7°
1980 - 1989: 9.8°
1990 - 1999: 10.5°
Welche Durchschnittstemperatur ist demnach für die Jahre 2000 - 2009 zu erwarten?
Nehmen Sie für die Jahresintervalle jeweils die Klassenmitte.
Lösung:
10,2°
Aufgabe 275:
In einem Düngeversuch mit k=9 Düngungsstufen x i erhielt man Erträge y i. Im (X, Y)Koordinatensystem zeigt sich, dass die Vermutung des linearen Verlaufs berechtigt ist.
Wertetabelle zum Düngungsversuch
Berechnen Sie die Regressionsgerade.
Lösung:
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Aufgabensammlung
Aufgabe 276:
Die zeitliche Entwicklung des Mineralwasserverbrauchs pro Kopf entwickelte sich in
Westdeutschland wie folgt:
Bestimmen Sie die Reproduktionsgüte und die Prognosegüte für das Modell der linearen Einfachregression. Stellen Sie dazu die Regressionsgerade auf, und berechnen Sie
den Korrelationskoeffizienten.
Lösung:
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
Angewandte Statistik
Aufgabe 277:
Welche Faktoren beeinflussen den Markterfolg eines Unternehmens?
Lösung:
Durch die Marktanalyse können Marktstrukturen erkannt werden (Momentaufnahme), durch die Marktbeobachtung werden Veränderungen der Marktverhältnisse aufgedeckt. Dabei richtet sich die Aufmerksamkeit auf die Nachfrage (den Bedarf), das Angebot (die Konkurrenz) und die eigenen Absatzwege (die Distribution).
Aufgabe 278:
Was versteht man unter einer Absatzmarktorientierung?
Lösung:
• Kundenorientierung
• Konkurrenten Orientierung
• Einbeziehung gesellschaftlicher und ethischer Belange
Aufgabe 279:
Was ist Sekundärforschung?
Lösung:
Methode der Informationsgewinnung, bei der man auf bereits vorhandenes Da tenmaterial zurückgreift, das für das zu lösende Entscheidungsproblem aufbereitet
wird.
Aufgabe 280:
Was ist Primärforschung?
Lösung:
Methode der Informationsgewinnung, bei der die Daten aktuell, maßgeschneidert
auf das zu lösende Entscheidungsproblem im Feld erhoben werden.
Aufgabe 281:
Was sind Die Vorteile der Sekundärforschung?
Lösung:
Vorteile Sekundärforschung: Schnell, kostengünstig
Aufgabe 282:
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Aufgabensammlung
Was sind die Vorteile einer Primärforschung?
Lösung:
Vorteile Primärforschung: Aktuell, auf das Problem maßgeschneidert, Ablauf voll
kontrollierbar, Wettbewerbsvorsprung durch Exklusivität
Aufgabe 283:
Was sind interne Informationsquellen der Sekundärforschung?
Lösung:
Rechnungswesen (insbes. Kostenrechnung und Betriebsstatistik)
Aufgabe 284:
Was sind externe Informationsquellen der Sekundärforschung?
Lösung:
Amtliche Statistik, nichtamtliche Statistik, Kammern, Verbände, Gewerkschaften,
Parteien, Parlamente, Behörden, Handelsregister, Fachliteratur, Branchen-adressbücher, Auskunfteien, Datenbanken, u.w.m.
Aufgabe 285:
Beschreiben Sie die Methode Beobachtung der Primärforschung allgemein und geben
Sie dazu ein Beispiel an.
Lösung:
Beobachtung:= Systematische Aufzeichnung sinnlich wahrnehmbarer Sachverhalte
im Moment ihres Auftretens durch dritte Personen
Bsp.: Kundenlaufstudie, Regalbeobachtung, Passanten-/Verkehrsfrequenzzählung
Aufgabe 286:
Beschreiben Sie die Methode Befragung der Primärforschung allgemein und geben Sie
dazu ein Beispiel an.
Lösung:
Arten:
Mündlich
Schriftlich
Telephonisch
Elektronisch
Seite 248 von 355
Aufgabensammlung
• Freies/standardisiertes Interview
• Omnibusbefragung
Aufgabe 287:
Was versteht man unter einem Markttest?
Lösung:
Unter dem Markttest versteht man den probeweisen Verkauf von Erzeugnissen unter kontrollierten Bedingungen in einem begrenzten Markt.
Aufgabe 288:
Was ist die Experimentelle Primärforschung?
Lösung:
Methode der Datenerhebung bei der unter Kontrolle von Störvariablen die Wirkung
einer aktiven Manipulation einer oder mehrerer unabhängiger Variablen auf eine
oder mehrere abhängige Variablen untersucht wird.
Aufgabe 289:
Was versteht man unter einer Panelforschung?
Lösung:
Wiederholte bzw. regelmäßig durchgeführte Analyse einer konstanten Stichprobe
zum Zwecke des Erkennens von Trends und Trendbrüchen.
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Statistik
Klausurvorbereitung
Wirtschaftsingenieurwesen
DHBW Stuttgart
Campus Horb
Dozent
Dipl. Math. (FH) Roland Geiger
Klausurvorbereitung
Aufgabe 290:
Um welche Art von Skalen handelt es bei den folgenden Merkmalen?
a) Geschlechter,
b) Farben,
c) Nationalitäten,
d) Religionen,
e) Postleitzahlen.
Lösung:
Bei allen Merkmalen handelt es sich um eine Nominalskala.
Aufgabe 291:
Geben Sie an, auf welchem Skalenniveau die folgenden Untersuchungsmerkmale gemessen werden:
a) Augenfarbe von Personen
b) Produktionsdauer
c) Alter von Personen
d) Kalenderzeit ab Christi Geburt
e) Preis einer Ware in EUR
f) Matrikelnummer
g) Körpergröße in cm
h) Platzierung in einem Schönheitswettbewerb
i) Gewicht von Gegenständen in kg
j) Schwierigkeitsgrad einer Klettertour
k) Intensität von Luftströmungen
251-355
Aufgabensammlung
Lösung:
a) Nominalskala
b) metrische Skala
c) metrische Skala
d) metrische Skala
e) metrische Skala
f) Ordinalskala
g) metrische Skala
h) Ordinalskala
i) metrische Skala
j) metrische Skala
k) metrische Skala
Aufgabe 292:
Im 6. Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schüler und Schülerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema „Lieblingssportarten“ durchgeführt. Die Ergebnisse finden Sie in der
Tabelle. Vervollständigen Sie die Tabelle:
Sportart
Anzahl der Nennungen
Fußball
21
Handball
12
Skaten
44
Turnen
10
Schwimmen
13
Summe:
Absolute Häufigkeit
100
Lösung:
Aufgabe 293:
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Relative Häufigkeit
Aufgabensammlung
Es sei bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit eines irreparablen Defekts an einer in drei
Jahren abzuschreibenden Werkzeugmaschine während des ersten Quartals der Nutzung 0,5 %, während des 2. – 4. Quartals je 1,5 % und während der folgenden 8 Quartale
je 2,5 % beträgt.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Maschine im ersten Jahr irreparabel defekt?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Maschine in den ersten beiden Jahren irreparabel defekt?
Lösung:
a) W(A B) = W(A) + W(B) 0,5 % + 3 * 1,5 % = 5 %
b) 0,5 % + 3 * 1,5 % + 4 * 2,5 % = 15 %
Aufgabe 294:
Ein Behälter soll so mit schwarzen und weißen Kugeln gefüllt werden, dass die Chance,
eine weiße Kugel zu ziehen, doppelt so groß ist wie die, eine schwarze Kugel zu ziehen.
Wie viele schwarze und weiße Kugeln müssten hineingelegt werden, wenn insgesamt
15 Kugeln im Behälter sein sollen? (w=10,s=5)
Lösung:
(w=10;s=5)
Aufgabe 295:
Peter trainiert Weitsprung. Im letzten Training sprang er nacheinander: 4,12 m; 3,95
m; 4,27 m; 3,62 m; 3,82 m; 3,50 m; 4,04 m; 3,80 m.
Wie groß war der Unterschied zwischen dem weitesten Sprung und seiner durchschnittlichen Sprungweite bei diesem Training? (0,36;3,89)
Seite 253 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
x
4,12 3,95 4,27 3,62 3,82 3,50 4,04 3,80 31,12
3,89
8
8
4,27 3,89 0,36
Aufgabe 296:
Kathi, mag gerne die rosaroten Steine, die sich in einem kleinen Stoffsack mit insgesamt
125 Steinen befinden (rosarote gibt es 32 Stück). Kathi nimmt hintereinander 28 Steine
aus dem Sack.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie (1) nur rosarote, (2) keine rosarote,
(3) genau 10 rosarote, (4) mehr als 10 rosarote Steine aus dem Sack zieht. [5,6 10 -24 ;
0,00007166; 0,05365; 0,20857]
b) Mit vielen rosaroten Steinen kann sie rechnen? Berechne auch die Standardabweichung. [7,17 ; 2,04]
Lösung:
a)
(1)
N: Elementzahl der GG (125)
M: Zahl der Elemente mit einer bestimmten Eigenschaft. (32)
n: Zahl der Elemente der Stichprobe (28)
x: Zahl der Kugeln erster Sorte (28)
32 125−32
𝑀 𝑁−𝑀
)
( )∙(
) ( )∙(
𝑥
𝑛−𝑥
28−28
g(x;N,M,n)=g(28;125,32,28)=
= 28 125
𝑁
( )
(
)
𝑛
28
=
(
32 93
)∙( )
28 0
125 =5,6
(
)
28
(2)
N: Elementzahl der GG (125)
M: Zahl der Elemente mit einer bestimmten Eigenschaft. (32)
n: Zahl der Elemente der Stichprobe (28)
x: Zahl der Kugeln erster Sorte (0)
g(x;N,M,n)=g(0;125,32,28)= 0,00007166
(3)
N: Elementzahl der GG (125)
M: Zahl der Elemente mit einer bestimmten Eigenschaft. (32)
n: Zahl der Elemente der Stichprobe (28)
x: Zahl der Kugeln erster Sorte (10)
g(x;N,M,n)=g(10;125,32,28)= 0,073188
(4)
Seite 254 von 355
10-24
Aufgabensammlung
N: Elementzahl der GG (125)
M: Zahl der Elemente mit einer bestimmten Eigenschaft. (32)
n: Zahl der Elemente der Stichprobe (28)
x: Zahl der Kugeln erster Sorte (>10)
g(x;N,M,n)=g(11-28;125,32,28)=
𝑀 𝑁−𝑀
9 28−9
( )∙(
) ( )∙(
)
𝑥
𝑛−𝑥
4
8−4
=
𝑁
28
( )
( )
𝑛
8
=
9 19
( )∙( )
4 4
28
( )
8
= 0,1571
b)
𝑀
32
Erwartungswert: 𝐸(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑁 = 28 ∙ 125 = 7,168
Standardabweichung:
𝑠 = √𝑛 ∙
𝑀
𝑁
𝑀
𝑁−𝑛
𝑁
𝑁−1
∙ (1 − ) ∙
= √28 ∙
32
125
∙ (1 −
32
125
)∙
125−28
125−1
=2,04249
Aufgabe 297:
Ist es wahrscheinlicher, bei vier Würfen mit einem Würfel mindestens eine Sechs zu
werfen oder bei 24 Würfen mit je zwei Würfeln mindestens eine Doppel -Sechs? (51,8%
- 4 Würfe; 49,1% - 24 Würfe)
Lösung:
Zwei Binomialverteilungen:
4-mal Würfeln mit einem Würfel: n = 4 und p = 1/6
P(X≥1) = 1 – P(X=0)
4 0 4
4!
4
0
P(X=0) = 16 56
16 56 0,482
0!(4 0)!
0
P(X>1) = 1 – 0,482 = 0,518 = 51,8% (= Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs)
24-mal Würfeln mit zwei Würfeln: n = 24 und p = 1/36
P(X≥1) = 1 – P(X=0)
24 0 35 24
24!
0 35 24
P(X=0) = 361 36
361 36
0,509
0!(24 0)!
0
P(X>1) = 1 – 0,509 = 0,491 = 49,1% (= Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Doppel-Sechs)
Es ist wahrscheinlicher bei vier Würfen mit einem Würfel mindestens eine Sechs zu
würfeln.
Aufgabe 298:
Bei einem Experiment soll die Experimentalgruppe aus 8 Personen bestehen, und zwar
zur Hälfte aus Männern und Frauen. Die Chance, eine Frau oder einen Mann als Proband(in) zu erhalten sei gleich groß. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die angestrebte Experimentalgruppe zustande kommt? (27,3%)
Seite 255 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
Binomialverteilung n=8; p=0,5; k=4
8
8!
P(X=4) = 0,5 4 0,5 4
0,5 4 0,5 4 0,273 = 27,3%
4
4!(8 4)!
Die Wahrscheinlichkeit, dass die angestrebte Experimentalgruppe zustande kommt
ist 27,3%
Aufgabe 299:
Die Studentin A und der Student B bearbeiten eine Statistik-Klausur. Jede/r von ihnen
hat eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 60%. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a)
beide die Klausur bestehen
genau einer von beiden die Klausur
besteht
c) A die Klausur besteht, B aber nicht
b)
d)
keiner von beiden besteht?
Lösung:
a) beide die Klausur bestehen 0,6 * 0,6 = 0,36
b) genau einer von beiden die Klausur besteht 0,6 * 0,4 + 0,4 * 0,6 =0,48
c) A die Klausur besteht, B aber nicht [2]
d) keiner von beiden besteht? [2]
0,6 * 0,4 = 0,24
0,4 * 0,4 = 0,16
Aufgabe 300:
Ein Schornsteinfegermeister weiß aus langjähriger Erfahrung, dass 25% seiner Kunden
eine Reinigung des Brennofens wünschen (Ereignis A). Bei 40% der Kunden muss eine
Emissionsmessung durchgeführt werden. Bei 18% der Kunden wird sowohl eine Reinigung als auch eine Emissionsmessung vorgenommen. Der Schornsteinfegermeister besucht einen Kunden, der eine Reinigung des Brennofens wünscht.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch eine Emissionsmessung dur chgeführt
werden muss?
Lösung:
W ( B| A)
W ( A B)
0,18
0,72
W ( A)
0,25
Aufgabe 301:
Angenommen, an einer Klausur nehmen 20 Personen teil. Die Wahrscheinlichkeit, die
Klausur zu bestehen, betrage 70 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 5
Studierende die Klausur nicht bestehen? (17,9%).
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Aufgabensammlung
Lösung:
Binomialverteilung n=20; p=0,3 (q=0,7); k=5
20
20!
P(X=5) = 0,35 0,715
0,35 0,715 0,179
5
5!(20 5)!
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau fünf Leute durchfallen ist 17,9%
Aufgabe 302:
Bei einer Krankenkasse sind 40% der Versicherten männlichen Geschlechts. Es wird unter den Mitgliedern eine Zufallsstichprobe vom Umfang n=20 gezogen. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit weist diese Stichprobe:
a)
genau 14 Männer auf und (0,49%)
b)
zwischen 12 und 20 Männer auf (12 und 20 jeweils eingeschlossen (5 ,7%).
Lösung:
Binomialverteilung mit den Parametern: n=20; p=0,4; (q=0,6)
20
20!
0,414 0,6 6 0,0049 = 0,49%
a) P(X=14) = 0,414 0,6 6
14
14
!
(
20
14
)!
b) Gesucht ist P(12X20)
P(12X20) = P(X=12) + P(X=13) + P(X=14) + P(X=15) + P(X=16) + P(X=17) + P(X=18)
+ P(X=19) + P(X=20)
Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten müssen alle wie unter (a) beschrieben berechnet und addiert werden. Das Ergebnis lautet:
P(12X20) = 0,0355+0,0146 + 0,0049 + 0,0013 + 0,0003 + 0,0000 + 0,0000 + 0,0000
+ 0,0000 = 0,0566 = 5,7%
Aufgabe 303:
In einer Packung Glaskugeln befinden sich stets 20 Kugeln, darunter sind blaue und
andersfarbige. Da die blauen sehr beliebt sind, überprüft der Händler deren Anteil.
Er stellt fest, dass im Mittel 5 blaue Kugeln pro Packung enthalten sind.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält eine Packung dann 7 blaue Kugeln? (11.24%).
b) Eine Packung mit 7 blauen Kugeln Inhalt ist eine Edelpackung. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man unter 10 Packungen sogar 3 Edelpackungen? (7,4%).
Lösung:
Seite 257 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 304:
Ein Zahlenrad enthält 10 Felder mit den Aufschriften 0 bis 9. Wie oft muss man das Rad
mindestens drehen, um mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit mindestens einmal
das Feld mit der Zahl 0 zu bekommen?
Lösung:
Aufgabe 305:
In einer Urne befinden sich sieben schwarze und drei weiße Kugeln. Es wird zunächst
eine Kugel entnommen, registriert und zurückgelegt. Danach wird eine zweite Kugel
entnommen und registriert. Für die so entstandenen Paarungen sollen die Wahrscheinlichkeiten P(ss), P(sw), P(ws), P(ww) berechnet werden.
Seite 258 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
1. Kugel
2. Kugel
beide Kugeln
P(s)=7/10 P(s)=7/10
P(s s)=49/100
P(s)=7/10 P(s)=3/10
P(s w)=21/100
P(w)=3/10
P(w)=7/10
P(w s)=21/100
P(w)=3/10
P(w)=3/10
P(w w)=9/100
Summe : P=(100/100)=1
Aufgabe 306:
a) Bei einem fairen Würfel ist es wahrscheinlicher, eine gerade Zahl zu würfeln, als eine
unter vier.
b) Bei einem fairen Würfel ist es wahrscheinlicher eine ungerade Zahl zu würfeln, als
eine über vier.
c) Bei einem fairen Würfel ist es wahrscheinlicher, eine gerade Zahl zu würfeln, als eine
Zahl über drei.
d) Bei einem unfairen Würfel ist die Wahrscheinlichkeit, eine 3 zu werfen, immer gleich
eins minus der WK, keine 3 zu werfen.
e) Bei einem unfairen Würfel ist die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu werfen, immer gleich
eins minus der WK, keine 1 zu würfeln.
f) Ein Würfel ist genau dann fair, wenn die Wahrscheinlichkeit eine vier zu werfen genau 1/6 beträgt.
g) Wenn die Wahrscheinlichkeit, eine Eins zu würfeln, genau 1/6 ist, dann kann der
Würfel dennoch unfair sein.
h) Wenn die Wahrscheinlichkeit, eine Vier zu würfeln, nicht genau 1/6 ist, dann ist der
Würfel unfair.
i) Wenn die Wahrscheinlichkeit, eine Vier zu würfeln, genau 1/6 ist, dann muss der
Würfel fair sein.
j) Bei einem zweimaligen Werfen eines fairen Würfels ist es gleich wahrscheinlich, eine
6 und eine 4 zu würfeln.
Lösung:
a) Bei einem fairen Würfel ist es wahrscheinlicher, eine gerade Zahl zu würfeln, als
eine unter vier. NEIN
b) Bei einem fairen Würfel ist es wahrscheinlicher eine ungerade Zahl zu würfeln,
als eine über vier.
JA
c) Bei einem fairen Würfel ist es wahrscheinlicher, eine gerade Zahl zu würfeln, als
eine Zahl über drei.
NEIN
d) Bei einem unfairen Würfel ist die WK, eine 3 zu werfen, immer gleich eins minus
der WK, keine 3 zu werfen.
JA
Seite 259 von 355
Aufgabensammlung
e) Bei einem unfairen Würfel ist die WK, eine 6 zu werfen, immer gleich eins minus
der WK, keine 1 zu würfeln. NEIN
f) Ein Würfel ist genau dann fair, wenn die WK eine vier zu werfen genau 1/6 beträgt.
NEIN
g) Wenn die WK, eine Eins zu würfeln, genau 1/6 ist, dann kann der Würfel dennoch
unfair sein.
JA
h) Wenn die WK, eine Vier zu würfeln, nicht genau 1/6 ist, dann ist der Würfel unfair.
JA
i) Wenn die WK, eine Vier zu würfeln, genau 1/6 ist, dann muss der Würfel fair sein.
NEIN
j) Bei einem zweimaligen Werfen eines fairen Würfels ist es gleich wahrscheinlich,
eine 6 und eine 4 zu würfeln.?
JA
Aufgabe 307:
Aus einem Skatspiel mit 32 Karten wird eine Karte gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für
a) eine rote Karte (0,5)
b) ein As
c) eine Dame oder einen König
d) einen schwarzen Buben
Lösung:
Aufgabe 308:
In eine Bibliothek kommen durchschnittlich 3 Benutzer pro Stunde. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass in der nächsten Stunde 5 Benutzer kommen?
Seite 260 von 355
Aufgabensammlung
Seite 261 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
Wir können die Angabe etwa so auffassen, dass in einer Woche (40 Stunden) 120
Benutzer kommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Benutzer in der
nächsten Stunde kommt, beträgt 1/40. Daher ist λ = 120/40 = 3. Es handelt sich hier
um einen sogenannten Poisson-Prozess der Dichte 3. Wir erhalten für die gesuchte
Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 309:
Von 20 gelieferten Glühbirnen sind 4 defekt. Es wird eine Stichprobe mit drei Birnen
entnommen (ohne Zurücklegen). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) keine defekte Birne in der Stichprobe (0,4912)
b) mindestens eine defekte Birne in der Stichprobe (0,5088)
Lösung:
Da die Anordnung der Stichprobe keine Rolle spielt und die Proben nicht zurückgelegt werden, wird mit Kombinationen ohne Wiederholung gerechnet.
Mögliche Kombinationen
20 20 19 18
1140
: C(20,3)
3
1
2
3
für a) günstige Kombinationen
16 16 15 14
560
: C(16,3)
1 2 3
3
560
0,4912
1140
P(keine defekte Lampe in der Probe) :
P(a)
P(mindestens eine defekte)
P(b) 1 P(a) 0,5088
:
Aufgabe 310:
In einer Klasse mit 28 Schülern haben 9 Schüler die Mathematikhausübung nicht gemacht. Prof. F. kontrolliert bei 8 Schülern die Hausübung.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Prof. F. (1) genau 4, (2) alle 8, (3) mehr als
3, (4) höchstens 5 Schüler ohne Hausübung erwischt. [0,1571; 0,0000029; 0,20126;
0,99516]
b) Mit wie viel Schülern ohne Hausübung kann der Lehrer rechnen? Berechne auch die
Standardabweichung. [2,57; 1,14]
Lösung:
N: Elementzahl der GG (28)
M: Zahl der Elemente mit einer bestimmten Eigenschaft. (9)
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Aufgabensammlung
n: Zahl der Elemente der Stichprobe (8)
x: Zahl der Kugeln erster Sorte (4;8;>3;<=5)
a)
𝑀 𝑁−𝑀
9 28−9
( )∙(
) ( )∙(
)
𝑥
𝑛−𝑥
4
g(x;N,M,n)=g(4;28,9,8)=
= 288−4
𝑁
( )
( )
𝑛
8
=
9 19
( )∙( )
4 4
28
( )
8
= 0,1571
𝑀 𝑁−𝑀
9 28−9
( )∙(
) ( )∙(
)
𝑥
𝑛−𝑥
8
8−8
=
𝑁
28
( )
( )
𝑛
8
=
9 19
( )∙( )
8 0
28
( )
8
= 0,0000029
g(x;N,M,n)=g(8;28,9,8)=
g(x;N,M,n)=g(0-4;28,9,8)=0,20126
g(x;N,M,n)=g(4;28,9,8)=0,99516
b)
𝑀
9
Erwartungswert: 𝐸(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑁 = 8 ∙ 28 = 2,57
Standardabweichung:
𝑀
𝑀
𝑁−𝑛
9
9
28−8
𝑠 = √𝑛 ∙ 𝑁 ∙ (1 − 𝑁 ) ∙ 𝑁−1 = √8 ∙ 28 ∙ (1 − 28) ∙ 28−1=1,14
Aufgabe 311:
Ein Versicherungsvertreter schließt mit 5 Kunden, die alle das gleiche Alter besitzen,
Lebensversicherungsverträge ab. Nach der Sterbetafel beträgt die Wahrscheinlichkeit
für jeden der 5 Kunden, die nächsten 30 Jahre zu überleben, 0,60. Berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach 30 Jahren
a) genau 2 Kunden, (0,2304)
b) alle 5 Kunden und (0,07776)
c) wenigstens 2 Kunden noch am Leben sind. (0,91296)
Lösung:
Binomialverteilung
Zuf. Ereignis A - die nächsten 30 Jahre überleben
P(A) = p = 0,60
Zufallsgröße X - Anzahl der überlebenden Kunden n = 5
a)
5
P ( X 2) 0,6²(1 0,6) 5 2 0,2304
2
b)
5
P( X 5) 0,65 (1 0,6) 55 0,07776
5
P( X 2) 1 P( X < 2) 1 P( X 0) P( X 1) 1 0,01024 0,0768 0,91296
Aufgabe 312:
Die Standardabweichung einer Zufallsgröße kann nicht negativ sein.
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Aufgabensammlung
Ist diese Aussage richtig?
Lösung:
JA
Aufgabe 313:
a) Bei einer fairen Münze ist die Wahrscheinlichkeit, bei zweimaligem Wurf beide Male
Kopf zu erhalten, gleich groß wie die, nie Kopf zu werfen.
b) Bei einer fairen Münze ist die Wahrscheinlichkeit, bei zweimaligem Wurf nie Zahl zu
erhalten, gleich
groß wie die für genau zweimal Zahl.
Lösung:
a) JA
b) JA
Seite 264 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 314:
Von 10 Schüler/innen kennt man die Mathematik- und Englischnoten. Ermitteln Sie die
Gleichung der Regressionsgeraden und den Korrelationskoeffizienten und interpretieren Sie das Ergebnis.
Mathematik (x): 1, 3, 4, 1, 4, 3, 5, 3, 3, 2
Englisch (y): 2, 2, 1, 4, 2, 5, 2, 4, 1, 3
Lösung:
y = -0,362x + 3,651; r = -0,345
negative Korrelation (je besser die Mathematiknote, umso schlechter die Englischnote), der Zusammenhang ist allerdings nur schwach
Aufgabe 315:
In einem Düngeversuch mit k=9 Düngungsstufen x i erhielt man Erträge y i . Im (X, Y)Koordinatensystem zeigt sich, dass die Vermutung des linearen Verlaufs berechtigt ist.
Wertetabelle zum Düngungsversuch
Berechnen Sie Regressionsgerade. (y = 12,317 + 2,967x)
Lösung:
Regressionskoeffizient: b = 2,967
Regressionskonstante: a = 12,317
Regressionsgerade: y = 12,317 + 2,967x
Aufgabe 316:
a) Sind die folgenden Merkmale qualitativ, quantitativ-diskret oder quantitativ-stetig?
(1) Zahl der Studenten in einem Hörsaal
(2) Automarke
(3) Füllgewicht
(4) Länge eines Werkstücks
(5) Betriebsart
(6) Zahl der Beschäftigten eines Betriebes
b) Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch?
(1) Häufbare Merkmale sind qualitative Merkmale.
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Aufgabensammlung
(2) Quantitativ-diskrete Merkmale sind solche, bei denen die Merkmalsausprägungen
(Merkmalswerte) in einem bestimmten Intervall alle reellen Zahlen annehmen können.
(3) Die Verhältnisskala stellt das höchste Messniveau dar.
(4) Die Ordinalskala stellt die einfachste Form des Messens dar. Sie dient hauptsächlich
zur Klassifizierung der Merkmalsausprägungen.
Lösung:
a) Merkmalsarten: qualitativ, quantitativ-diskret, quantitativ-stetig
(1) quantitativ-diskret
(2) qualitativ
(3) quantitativ-stetig
(4) quantitativ-stetig
(5) qualitativ
(6) quantitativ-diskret
b) Aussagen: Richtig (R) / Falsch (F)
(1) R
(2) F
(3) R
(4) F
Aufgabe 317:
Die Firma Haushalt AG, spezialisiert auf die Herstellung von Haushaltprodukten, hat ein
neuartiges Teppichreinigungsmittel entwickelt. Bevor der Vertrieb in der gesamten
Schweiz aufgenommen wird, soll ein Marktforschungsinstitut den Zusammenhang von
Verkaufspreis und Absatz des neuen Produktes bestimmen.
Dazu geht das Marktforschungsinstitut wie folgt vor:
15 weit auseinanderliegende kleinere bis mittlere Ortschaften werden als Testmarkt ausgewählt, wobei auf eine möglichst repräsentative Bevölkerungsstruktur
geachtet wird. In jeder dieser Ortschaften ist die Filiale des Großverteilers KKK
bereit, am Test mitzuwirken.
Als Testmengen werden pro 100 Haushaltungen 30 Packungen des Reinigungsmittels disponiert.
Der Test ist auf vier Wochen angelegt.
Die Werbung erfolgt nur mittels regionaler Werbeträger.
Nach Ablauf der vier Wochen wird festgestellt, welcher Prozentsatz der disponierten Packungen verkauft worden ist. Diese Prozentzahl wird als Maß für den Durchsetzungserfolg des Produktes auf den einzelnen Testmärkten interpretiert.
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Aufgabensammlung
Auf den einzelnen Testmärkten werden unterschiedliche Preise angesetzt.
Bestimmen Sie Regressionsgerade.
Welcher Durchsetzungserfolg ist bei einem Preis von Fr. 4.- zu erwarten?
Ergebnis der Untersuchung:
Lösung:
Aufgabe 318:
Adolf und Harald wollen Euro in die Schweiz schmuggeln. Sie befinden sich in einem
Bus mit weiteren 23 Reisenden, die kein Schwarzgeld bei sich haben. An der Grenze
werden drei Personen ausgewählt und genau durchsucht.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden
a) weder Adolf noch Harald,
b) Adolf und Harald,
c) nur Adolf erwischt?
Lösung:
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Aufgabensammlung
Aufgabe 319:
x-Werte: 1 2 3 4 (n = 4)
y-Werte: 1 2 4 5
Berechnen Sie die Regressionsgerade. (f(x) = 1.4x - 0.5)
Lösung:
Mittelwert x = 1 (1+2+3+4) = 2.5
Mittelwert y = 1 (1+2+4+5) = 3
2
2
2
2
Varianz der x-Werte =((1 - 2.5) + (2 - 2.5) + (3 - 2.5) + (4 - 2.5) ) =
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Aufgabensammlung
2
2
2
2
Varianz der y-Werte s=((1 - 3) + (2 - 3) + (4 - 3) + (5 - 3) ) =
Kovarianz cxy = 31 ((-1.5) · (-2) + (-0.5) · (-1) + 0.5 · 1 + 1.5 · 2) =
Steigung a = xy , Achsenabschnitt b = 3 - 1.4 · 2.5 = -0.5
Die Gleichung der Regressionsgeraden g heißt also y = f(x) = 1.4x - 0.5
Aufgabe 320:
Bei einer Jahrmarktbude wird folgendes Spiel angeboten:
Beim Werfen zweier Laplace - Würfel erhält der Spieler 1 € für Augensumme 10, 3 €
für Augensumme 11 und 6 € für Augensumme 12 ausbezahlt. Sonst bezahlt der Spieler
0,5 €.
Spiel 1: X kennzeichne den Reingewinn des Spielers.
Eine zweite Jahrmarktbude bietet ein 2. Spiel an.
Beim Werfen zweier Laplace - Würfel erhält der Spieler 0,5 € für Augensumme 10, 4 €
für Augensumme 11 und 5,5 € für Augensumme 12 ausbezahlt. Sonst bezahlt der Spieler 0,5 €.
Spiel 2: Y kennzeichne den Reingewinn des Spielers beim 2. Spiel.
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktionen der Zufallsvariablen X und Y in tabellarischer Form an
b) Welcher Reingewinn ist im Durchschnitt bei Spiel 1 bzw. Spiel 2 zu erwarten?
c) Welches Spiel sollte ein risikofreudiger Spieler und welches ein risikoscheuer Spieler
spielen? (Begründung mit Hilfe der Varianz bzw. Standardabweichung).
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Aufgabensammlung
Lösung:
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Aufgabensammlung
Aufgabe 321:
Folgende Aussagen sind bei einer Ordinalskala möglich:
a) A ist größer als B.
b) A ist doppelt so groß wie B.
c) A und B unterscheiden sich um einen bestimmten Betrag.
d) A und B sind identisch.
Beantworten Sie die Fragen mit ja oder nein.
Lösung:
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Aufgabensammlung
Aufgabe 322:
Eine Lieferung enthält N = 100 Transistoren, die aus einer Massenproduktion mit 5%
Ausschuss stammen. Bei der Anlieferung der Ware wird vom Kunden eine Abnahmekontrolle in Form einer Stichprobe vom Umfang n = 4 ohne Zurücklegen durchgeführt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält die durchgeführte Stichprobe nur einwandfreie
Ware?
Lösung:
Aufgabe 323:
Bauer Ewald hat 150 Rinder. Davon sind 100 aus Großbritannien, 50 aus deutschen
Landen.
Von den britischen Rindern sind 80 gesund, die anderen britischen Rinder leiden an
Rinderseuche BSE. Angenommen, Bauer Ewald holt zufällig ein Rind von der Weide:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieses Rind ein britisches mit BSE ist?
(13,33%)
Lösung:
Baumdiagramm
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Aufgabensammlung
100 20
0,1333
150 100
Aufgabe 324:
Einer Urne mit 8 weißen und 2 schwarzen Kugeln werden nacheinander und ohne Zurücklegen 2 Kugeln entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man
bei der ersten Ziehung eine weiße und bei der zweiten Ziehung eine schwarze Kugel
erhält? (17,77%)
Lösung:
Bei der ersten Ziehung befinden sich 10 Kugeln in der Urne (8w und 2s).
Absolute Wahrscheinlichkeit P(w )
8
0,8
10
Nachdem die weiße Kugel gezogen ist, verbleiben 9 Kugeln (7w und 2s).
Bedingte Wahrscheinlichkeit P(s | w )
Gesamtwahrscheinlichkeit :
P(ws)
2
0,2222
9
8 2 8
0,1777
10 9 45
Aufgabe 325:
In einer Urne befinden sich 4 weiße und 6 schwarze Kugeln. Eine Kugel wird entnommen und dafür eine der anderen Farbe zurückgelegt. Danach wird eine zweite Kugel
entnommen. Gesucht wird die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a)
die zuletzt entnommene Kugel weiß ist
b)
beide gezogenen Kugeln gleichfarbig sind
c)
ben.
beide Kugeln weiß sind, wenn bekannt ist, dass beide Kugeln dieselbe Farbe ha-
Lösung:
zu a)
P(xw)=P(sw)+P(ww)=0,30+0,12= 0,42
zu b)
P(xx) =P(ss) +P(ww)=0,30+0,12= 0,42
zu c)
P(ww|xx)=(P(ww)/(P(ss)+P(ww))=(0,12/0,42)= 0,2857
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Aufgabensammlung
Aufgabe 326:
Eine Befragung über das Alter, in dem mit dem Rauchen begonnen wurde, ergab folgende Häufigkeiten:
a)
Bestimmen Sie die relativen Häufigkeiten.
Lösung:
Aufgabe 327:
Ein Elektrohändler bekommt vom Großhandel eine Lieferung von 20 Staubsaugern. Der
Händler will jeden Staubsauger überprüfen. Nachdem er 8 Geräte überprüft hat, sind
bereits 6 davon fehlerhaft. Er vermutet daraufhin, dass 3 / 4 der Lieferung fehlerhaft
ist.
Angenommen, seine Vermutung stimmt, dann sind 15 von 20 Geräten fehlerhaft. wie
groß ist dann die Wahrscheinlichkeit P (A), dass unter 8 herausgegriffenen Geräten aus
der Menge G genau 6 fehlerhaft sind?
Lösung:
Für den Versuch H 1 = "Herausgreifen von 8 Elementen aus der Menge G von 20
Elementen" gibt es
n 20
k 8 = 125.970 Möglichkeiten.
F sei die Menge der fehlerhaften Geräte, = 15
F sei die Menge der fehlerfreien Geräte, = 5
Um die Wahrscheinlichkeit für die Vermutung A zu berechnen, muss man aus H1
jene "Teil-Teilmengen" herausfinden, die genau 6 Elemente aus F und 2 Elemente
aus F enthalten. Diese Teilmenge von H1 sei H2 . H2 ist eine Vereinigungsmenge
von:
6-elementige Teilmenge aus F (15)
2-elementige Teilmenge aus F (5)
H2 lässt sich berechnen mit
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Aufgabensammlung
n n 15 5
k k 6 2
Nun kann man (letztlich mit der Formel von BAYES) die Wahrscheinlichkeit für A
berechnen
15 5
6 2 5005 10
P(A)
0,397
125970
20
8
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 8 geprüften Geräten genau 6 fehlerhaft sind
(wenn 3 / 4 aller Geräte fehlerhaft sind), beträgt ca. 39,7 %.
Aufgabe 328:
a) Welches Messniveau (Skalenniveau) haben folgende Merkmale:
1) Schulform
2) Reaktionszeit
3) Soziale Schichtung
4) Fachgebiete an der Hochschule
b) Welche der folgenden Aussagen ist richtig oder falsch:
1) Die Höhe des arithmetischen Mittels wird von Extremwerten beeinflusst
2) Das Merkmal "Zahl der Kinder pro Familie" ist ein quantitativ-stetiges Merkmal
3) Die Spannweite kann bereits bei nominalskalierten Daten bestimmt werden
4) Wenn der häufigste Wert (D) größer ist als der Zentralwert (Z) un d der Zentralwert
wiederum größer als das arithmetische Mittel, dann handelt es sich um links -schiefe
Verteilung
c) Die jährliche Zuwachsrate der Produktion eines bestimmten Haushaltsgerätes entwickelte sich in 5 Jahren wie folgt: 10%, 20%; 5%, 8%, 15%. Wie groß ist die durchschnittliche jährliche Zuwachsrate für den gesamten Zeitraum?
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Aufgabensammlung
Lösung:
Aufgabe 329:
Ein Spielautomat besteht aus 3 Glücksrädern, zwei kleinen und einem großen. Jedes
Rad ist in vier gleich große Kreissektoren unterteilt. Jeder der 4 Sektoren eines Rades
kann mit derselben Wahrscheinlichkeit oben stehen bleiben. Der Einsatz für ein Spiel
ist 20 Cent. Für jeden der beiden kleinen Sektoren 1, der oben stehen bleibt, werden
20 Cent ausgezahlt, für den großen Sektor 1 gibt es 30 Cent.
Welche Gewinnmöglichkeiten gibt es und wie groß sind ihre Wahrscheinlichkeiten?
Lösung:
Es gibt insgesamt 4 3 = 64 verschiedene Ergebnisse. Da aber 3 von 4 Feldern jedes
Rades keinen Gewinn bringen, kann man sie zu einem Ereignis G zusammenfassen.
Demnach sieht ein Baumdiagramm so aus (neben den Pfaden stehen jeweils die
gleichwertigen Tripel = möglichen Ergebnisse):
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Aufgabensammlung
Die Wahrscheinlichkeiten errechnen sich, indem man die Anzahl der gleichwertigen
Tripel für ein Ereignis (Zahlen ganz rechts neben dem Baumdiagramm) dividiert
durch die Gesamtanzahl der Ergebnisse (=64).
1. Pfad
(1 / 64)
50 Cent
2. Pfad
(3 / 64)
30 Cent
3. Pfad
(3 / 64)
20 Cent
4. Pfad
(9 / 64)
0
5. Pfad
(3 / 64)
30 Cent
6. Pfad
(9 / 64)
10 Cent
7. Pfad
(9 / 64)
0
8. Pfad
(27 / 64)
- 20 Cent
Aufgabe 330:
Die PDS erhielt bei der Europawahl 1999 in Brandenburg 25,8 Prozent der abgegebenen
Stimmen, 1994 waren es 22,6 Prozent. Nehmen sie zu der Pressemeldung Stellung, die
PDS habe in Brandenburg zwischen 1994 und 1999 „zugelegt“. (Zur Information: In beiden Jahren waren 2 Mill. Brandenburger/innen wahlberechtigt; zur Wahl gingen 1999
620.000 Bürgerinnen und Bürger, 1994 waren es 850.000. Für die Stellungnahme müssen Sie nicht unbedingt konkrete Rechenoperationen anstellen ...)
Lösung:
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Aufgabensammlung
- Der Begriff „zulegen“ muss präzisiert werden.
- Die PDS hat im Prozentanteil der Wählerstimmen zugelegt (politikrelevant für Sitzverteilung)
- Die Zahl der Wähler, die für die PDS ihre Stimme abgegeben haben ist gesunken,
d.h. die PDS hat relativ zur gesamten Wahlbevölkerung verloren (Wahlbeteiligung
ist zurückgegangen).
Aufgabe 331:
Bei einer Zufallsstichprobe von Berliner Studenten (n=100) wurden u. a. die Wohndauer
in Berlin (in Jahren) und die Anzahl der bekannten Hörfunkprogramme erhoben.
Bei der Anzahl der bekannten Hörfunkprogramme wurde ein arithmetisches Mittel von
4,2 und ein Median von 3,0 berechnet. Die Standardabweichung lag bei 1,8. Was lässt
sich aufgrund dieser Werte über die Verteilung sagen?
Lösung:
Die Verteilung ist linkssteil/rechtsschief (da der Median kleiner ist als das Arithmetische Mittel). Die Standardabweichung ist ohne Vergleichswert nicht aussagekräftig.
Aufgabe 332:
Im Fachbereich Psychologie soll ein Experiment zur Wirksamkeit von Autowerbung auf
Studenten höherer Semester durchgeführt werden. Man versucht, Studenten zur Teilnahme am Experiment zu gewinnen. Y sei ein Geldbetrag, der den Studenten für die
Teilnahme geboten wurde und X die Anzahl der Teilnehmer für diesen Betrag. Es ergaben sich folgende Gruppen:
Y
0
5
10
15
20
25
30
35
X
15
20
25
30
35
40
35
40
a) Bestimmen Sie den Mittelwert und die Standardabweichung der Teilnehmerzahl.
b) Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten und interpretieren Sie ihn.
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Aufgabensammlung
Lösung:
a) Arithmetisches Mittel für X:
= 30 ; Standardabweichung für X: sx = 8,6 6.
Das heißt, die mittlere Teilnehmerzahl ist 30. (Tipp: n = 8, weil es 8 Gruppen gibt es handelt sich hier nicht um klassierte Daten (es gibt kein k)!)
b) AM für Y: = 17,5 ; s für Y: sy = 11,46.
Das heißt, der mittlere gebotene Geldbetrag ist gleich 17,5. Die beiden Standardabweichungen lassen sich nicht interpretieren.
Der Korrelationskoeffizient r ist 0,945. Dies deutet auf einen starken linearen Zusammenhang hin, d.h. es besteht ein fast 100%iger Zusammenhang zwischen dem
angebotenen Geldbetrag und der Anzahl der Teilnehmer im Experiment. Genauer:
Der Zusammenhang ist positiv, d.h. je mehr Geld geboten wird, desto mehr Teilnehmer kommen und umgekehrt.
Aufgabe 333:
Eine Befragung nach der Anzahl der Kinder pro Familie ergab folgendes Ergebnis:
a) Woraus besteht die Stichprobe?
Welches Merkmal wurde untersucht?
Welche Merkmalsausprägungen traten auf?
b) Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle.
Lösung:
Aufgabe 334:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10 Würfen mit einer fairen Münze weniger als 9 mal „Kopf“ erscheint.
Lösung:
Binomialverteilung mit n = 10 und p = 0,5 (B10; 0,5)
P(X < 9) = 1 – P(X ³ 9)
P(X ³ 9) = P(X = 9) + P(X = 10) = P10;9 + P10;10 =
Seite 279 von 355
Aufgabensammlung
= 0,001 + 0,01 = 0,011
Oben eingesetzt ergibt sich für P(X < 9) = 1 – 0,011 = 0,989 = 98,9%
Die Wahrscheinlichkeit bei 10 Münzwürfen weniger als 9 Mal „Kopf“ zu erhalten ist
98,9%
Aufgabe 335:
Bei der Produktion von Schaltelementen für die Telekom treten erfahrungsgemäß 5%
fehlerhafte Stücke auf. Jede Lieferung von 2000 Elementen wird durch Entnahme von
20 Schaltelementen geprüft. Sind in der Stichprobe mehr als 2 Stücke fehlerhaft, wird
die gesamte Lieferung zurückgeschickt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine
Sendung zurückgeschickt wird, obwohl die Fehlerquote nur bei 5% liegt.
Lösung:
x = 2 (2 Elemente fehlerhaft)
N = 2000 (2000 Elemente)
Hypergeometrischeverteilung
P (x > 2) = 1 – P(x = 1) – P(x = 2) – P(x = 0) = 0,755 = 7,55%
Aufgabe 336:
Angenommen, an einer Klausur nehmen 20 Personen teil. Die Wahrscheinlichkeit, die
Klausur zu bestehen, betrage 70 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 5
Studierende die Klausur nicht bestehen?
Lösung:
Binomialverteilung n=20; p=0,3 (q=0,7); (B20;0,3); x=5
P(X=5) =
0,179
Þ Die Wahrscheinlichkeit, dass genau fünf Leute durchfallen ist 17,9%
Lösung:
E(Y)=27+23+35+15=100
V(Y)=100
Aufgabe 337:
In einem Krankenhaus werden die Geburtskrankheiten Gelbsucht und Allgemeine Infektionen mit den Wahrscheinlichkeiten 0,05 und 0,1 angegeben. Beide Krankheiten
gleichzeitig treten mit der Wahrscheinlichkeit 0,03 auf. Mit welch er Wahrscheinlichkeit hat ein Kind eine Geburtskrankheit?
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Aufgabensammlung
Lösung:
W(A B) = W(A) + W(B) – W(A B)
W(A B) = 0,05 + 0,1 – 0,03 = 0,12 = 12 %
Aufgabe 338:
Im Rahmen einer Studie wird das Körpergewicht von 100 zufällig ausgewählten Personen festgestellt. Die Angaben sind in der folgenden Tabelle angegeben:
xi*
52,5 57,5 62,5 67,5 72,5 77,5 82,5 87,5 92,5
hi
1
3
6
27
33
17
8
0
5
a) Angenommen, das Idealgewicht betrage 70 kg. Um wie viel Prozent weicht das
durchschnittliche Körpergewicht dieser zufällig ausgewählten Personen von der Normgröße ab?
b) Welches Körpergewicht wird von 50% der Personen nicht unterschritten?
c) Welches Körpergewicht kommt am häufigsten vor?
Lösung:
Lösung:
Binomialverteilung mit den Parametern: n=20; p=0,4; (q=0,6); (B 20;0,4 );
20
20!
0,414 0,6 6 0,0049 = 0,49%
a) P(X=14) = 0,414 0,6 6
14
14!(20 14)!
Seite 281 von 355
Aufgabensammlung
b) Gesucht ist P(12X20) (Wegen der unklaren Aufgabenformulierung wäre aber
auch die Interpretation P(12<X<20) möglich.)
P(12X20) = P(X=12) + P(X=13) + P(X=14) + P(X=15) + P(X=16) + P(X=17) + P(X=18)
+ P(X=19) + P(X=20)
Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten müssen alle wie unter (a) beschrieben berechnet und addiert werden. Das Ergebnis lautet:
P(12X20) = 0,0355+0,0146 + 0,0049 + 0,0013 + 0,0003 + 0,0000 + 0,0000 + 0,0000
+ 0,0000 = 0,0566 = 5,7%
(Anmerkung: Diese Aufgabe ist schlecht gestellt, da die Werte extrem klein werden
(fast null) Keine Klausuraufgabe!)
c) Auch dies ist keine Klausuraufgabe und muss nicht gerechnet werden!! Wer’s
dennoch versucht hat: Die Verteilungsfunktion gibt Auskunft über die kumulier ten
Häufigkeiten, d.h. F(x) gibt an der Stelle x=12 die Wahrscheinlichkeit für 0 X12 an
(=P(0X12)).
P(0X12) = 1 – P(13<X<20) = 1 – {P(X=13) + P(X=14) + P(X=15) + P(X=16) + P(X=17)
+ P(X=18) + P(X=19) + P(X=20)} = 0,9789 = 97,9%
Aufgabe 339:
Bei welchen Punktdiagrammen erscheint dir das Berechnen einer Regressionsgeraden
nicht sinnvoll? (Begründung!!!)
Lösung:
f
Aufgabe 340:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Skatspiel von 32 Karten
a) entweder eine Herz-Karte oder ein Bild (Bube, Dame, König) zu ziehen?
b) entweder eine Zahl (7, 8, 9, 10) oder ein Bild (Bube, Dame, König) zu ziehen ?
Lösung:
a) W(A B) = W(A) + W(B) – W(A B) 8/32 + 12/32 – 3/32 = 17/32
b) W(A B) = W(A) + W(B)
16/32 + 12/32
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= 28/32
Aufgabensammlung
Aufgabe 341:
Das Einkommen von den 500 Angehörigen der Firma F wird durch folgende Tabelle beschrieben:
Bestimmen Sie die dazugehörige Lorenzkurve!
Lösung:
Lösung:
Seite 283 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
a)
Seite 284 von 355
Aufgabensammlung
Seite 285 von 355
Aufgabensammlung
b)
c)
Seite 286 von 355
Aufgabensammlung
Seite 287 von 355
Aufgabensammlung
Seite 288 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
Seite 289 von 355
Aufgabensammlung
Seite 290 von 355
Aufgabensammlung
Seite 291 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 342:
Der Betrieb ABC hat im vergangenen Jahr den Artikel D jeweils in bestimmten Stückzahlen zu den untenstehenden Gesamtkosten produziert.
Der Leiter des Rechnungswesens interessiert sich für die Aufteilung der Gesamtkosten
in variable und fixe Kosten.
Seite 292 von 355
Aufgabensammlung
a) Ermitteln Sie mittels linearer Regression die Kostenfunktion K(x) = ax + b.
b) Beantworten Sie die folgenden Fragen:
(1)Wie hoch sind die fixen Kosten?
(2) Wie hoch sind die variablen Stückkosten?
(3) Welche Gesamtkosten gehören zu einer Stückzahl von 2.500?
(4) Welche Stückzahl gehört zu Fr. 6.500.- Gesamtkosten?
Lösung:
a)
b)
Aufgabe 343:
Computer eines bestimmten Typs weisen bei der Endprüfung zwei Arten von Fehlern
auf: A = lose Kabelverbindung mit einer Wahrscheinlichkeit P(A) = 0,4 und B = defekter
Seite 293 von 355
Aufgabensammlung
Prozessor mit einer Wahrscheinlichkeit P(B) = 0,15. Mit einer Wahrscheinlichkeit von
0,05 treten beide Fehler gleichzeitig auf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein
Computer fehlerfrei ist?
Seite 294 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
W( A B ) = W( A ) + W( B ) – W( A B )
W( A B ) = 0,6 + 0,85 – 0,95 = 0,5 = 50 %
Aufgabe 344:
Beim Abiturball gibt es 500 Lose, von denen 180 Gewinnlose sind. Der stolze Vater einer
Abiturientin kauft 40 Lose.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er (1) kein , (2) genau 20, (3) lauter Gewinnlose gekauft hat. [6,89 10 -9 ; 0,02218; 8,15 10 -20
b) Mit wie viel Gewinnlosen kann der Vater rechnen? [14,4; 2,9]
Lösung:
a)
N: Elementzahl der GG (500)
M: Zahl der Elemente mit einer bestimmten Eigenschaft. (180)
n: Zahl der Elemente der Stichprobe (40)
x: Zahl der Kugeln erster Sorte (0;20;40)
g(x;N,M,n)=g(0;500,180,40)=
180 500−180
𝑀 𝑁−𝑀
)∙(
)
( )∙(
) (
0
𝑥
𝑛−𝑥
40−0
=
𝑁
500
( )
(
)
𝑛
40
=
(
180 320
)∙(
)
0
40
500
(
)
40
g(x;N,M,n)=g(20;500,180,40) = 0,02218
g(x;N,M,n)=g(40;500,180,40) = 8,15 10−20
b)
𝑀
180
Erwartungswert: 𝐸(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑁 = 40 ∙ 500 = 14,4
Standardabweichung:
𝑀
𝑀
𝑁−𝑛
180
180
𝑠 = √𝑛 ∙ 𝑁 ∙ (1 − 𝑁 ) ∙ 𝑁−1 = √40 ∙ 500 ∙ (1 − 500) ∙
500−40
Lösung:
Seite 295 von 355
500−1
=2,9
= 6,89 ∙ 10−9
Aufgabensammlung
100
Lösung:
Seite 296 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 345:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Skatspiel von 32 Karten
a) entweder eine Herz-Karte oder ein Bild (Bube, Dame, König) zu ziehen?
b) entweder eine Zahl (7, 8, 9, 10) oder ein Bild (Bube, Dame, König) zu ziehen?
Lösung:
a) W(A B) = W(A) + W(B) – W(A B) 8/32 + 12/32 – 3/32 = 17/32
b) W(A B) = W(A) + W(B)
16/32 + 12/32
= 28/32
Aufgabe 346:
Von den 10 Blitzbirnen einer Schachtel sind 4 schon benutzt worden. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit sind unter 5 zufällig entnommenen Blitzbirnen
a)
genau 3 unbenutzte?
b)
mindestens 3 unbenutzte?
Lösung:
Seite 297 von 355
Aufgabensammlung
Seite 298 von 355
Statistik
Testklausur 01
Wirtschaftsingenieurwesen
DHBW Stuttgart
Campus Horb
Dozent
Dipl. Math. (FH) Roland Geiger
Testklausur01
Aufgabe 1:
In einem Behälter liegen blaue, weiße und rote Kugeln, wobei der Anteil der blauen
Kugeln 20 % beträgt, der der weißen 10 %. Aus diesem Karton werden rein zufällig
Kugeln mit Zurücklegen entnommen.
a) (8) Es werden 15 Kugeln entnommen. Berechne Sie die Wahrscheinlichkeit zu diesen
Ereignissen:
A: Es werden nur blaue Kugeln entnommen
B: Man erhält mindestens 5 weiße
C: Es werden höchstens 10 rote gezogen
D: Jede zweite Kugel ist rot
b) (5) Wie viele Kugeln muss man mindestens ziehen, um mit mindestens 50% Wahrscheinlichkeit mindestens 2 weiße zu ziehen?
c) (2) Mit wie vielen roten Kugeln kann man unter 100 Kugeln rechnen?
Lösung:
a)
b)
Seite 300 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 2:
Studenten werden nach dem Mensabesuch gefragt, welches Essen sie gewählt haben.
12 Befragte haben Stammessen genommen, 6 Wahlessen, 6 Salat und 3 Eintopf.
Welches Skalenniveau liegt vor (gewähltes Essen)?
Lösung:
Nominalskala
Aufgabe 3:
Um das Sozialverhalten von Studenten besser einschätzen zu können, werden 8 Studenten danach befragt, wie viele Personen sie zu ihrer letzten Geburtstagsfeier eingeladen haben. Es wurden folgende Angabe gemacht (ein Wert pro befragten Studenten):
10
10
34
16
1
16
0
150
a) (3) Bestimmen Sie die Extremwerte (Maximum, Minimum) und den Modalwert.
b) (2) Berechnen Sie das arithmetische Mittel.
c) (1) Berechnen Sie den Median
d) (4) Berechnen Sie das untere und obere Quartil.
Seite 301 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
Geordnete Liste:
0
1
10
10
16
16
34
150
a) Min=0; Max=150
b) Mittelwert=29,625
c) Median=13
d) Qu =3,25; Q o=29,5
Aufgabe 4:
In einer Urne befinden sich 4 weiße und 6 schwarze Kugeln. Eine Kugel wird entnommen und dafür eine der anderen Farbe zurückgelegt. Danach wird eine zweite Kugel
entnommen. Gesucht wird die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a)
(3) die zuletzt entnommene Kugel weiß ist
b)
(3) beide gezogenen Kugeln gleichfarbig sind
c)
(3) beide Kugeln weiß sind, wenn bekannt ist, dass beide Kugeln dieselbe Farbe
haben.
Lösung:
zu a)
P(xw)=P(sw)+P(ww)=0,30+0,12= 0,42
zu b)
P(xx) =P(ss) +P(ww)=0,30+0,12= 0,42
zu c)
P(ww|xx)=(P(ww)/(P(ss)+P(ww))=(0,12/0,42)= 0,2857
Aufgabe 5:
Eine Warenlieferung besteht aus 250 Kondensatoren, die auf drei Maschinen vom gleichen Typ hergestellt wurden.
Maschine A: produziert 80 Stück bei 2 defekten Kondensatoren (Ausschuss)
Maschine B: produziert 50 Stück bei 1 defekten Kondensator
(Ausschuss)
Maschine C: produziert 120 Stück bei 3 defekten Kondensatoren (Ausschuss)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein der Lieferung entnommener Kondensator defekt ist.
Seite 302 von 355
Aufgabensammlung
Lösung
P(d)
6
0,024
250
Aufgabe 6:
Welche der folgenden Angaben sind richtig, welche sind falsch?
richtig
falsch
Eine relative Häufigkeit beinhaltet mehr Information als eine
absolute Häufigkeit.
Die relative Häufigkeit unterscheidet sich von der prozentualen lediglich durch den Faktor 10.
Je größer der Anstieg der Regressionsgraden, desto größer
ist der Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient
Ist der Anstieg der Regressionsgraden positiv, dann ist auch
der Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient positiv
Der Preisindex nach Paasche unterstellt, dass im jeweiligen Berichtsjahr dieselben Güter gekauft worden
wären, wie im Basisjahr.
Der Preisindex nach Paasche unterstellt, dass in der
Basisperiode bereits dieselben Güter gekauft worden
wären, wie in der Berichtsperiode.
Der Preisindex nach Paasche unterscheidet sich vom
Preisindex nach Laspeyres dadurch, dass die Gewichtung der Preisverhältnisse anders als bei diesem erfolgt.
Der Preisindex nach Paasche ist ein gewogenes geometrisches Mittel von Preisverhältnissen
richtig
falsch
X
Lösung:
Seite 303 von 355
Aufgabensammlung
Eine relative Häufigkeit beinhaltet mehr Information als eine absolute Häufigkeit.
X
Die relative Häufigkeit unterscheidet sich von der prozentualen lediglich durch den
Faktor 10.
X
Je größer der Anstieg der Regressionsgraden, desto größer ist der Bravais -PearsonKorrelationskoeffizient
X
Ist der Anstieg der Regressionsgraden positiv, dann ist auch der Bravais -PearsonKorrelationskoeffizient positiv
X
Der Preisindex nach Paasche unterstellt, dass im jeweiligen Berichtsjahr dieselben
Güter gekauft worden wären, wie im Basisjahr.
X
Der Preisindex nach Paasche unterstellt, dass in der Basisperiode bereits dieselben
Güter gekauft worden wären, wie in der Berichtsperiode. X
Der Preisindex nach Paasche unterscheidet sich vom Preisindex nach Laspeyres
dadurch, dass die Gewichtung der Preisverhältnisse anders als bei diesem erfolgt.
X
Der Preisindex nach Paasche ist ein gewogenes geometrisches Mittel von Preisverhältnissen
X
Aufgabe 7:
Ein Glücksrad enthält zehn gleich große Sektoren, von denen 4 rot und 6 weiß gefärbt
sind. Es sei X die Anzahl der roten Sektoren, die man bei 20 Drehungen erhält und Y die
Zahl der weißen Sektoren.
a) (3) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man genau 13 rote Felder?
b) (3) genau 12 weiße Felder ?
c) (5) mindestens 11 rote Felder ?
d) (3) zwischen 10 und 13 weiße Felder ? (jeweils die Grenzen ausgeschlossen)
e) (5) Berechne den Erwartungswert E(X) für die Zahl der roten Felder. Bestimme das
zu E(X) symmetrische Intervall, in dem mit mindestens 80 % Wahrscheinlichkeit die
Felder rot sind.
(Anleitung: Ein solches Intervall hat die Form [E−k;E+k]
f) (5) Wie oft muss man mindestens drehen, um mit mindestens 40 % Wahrscheinlichkeit mindestens 8 rote Sektoren zu erhalten?
Lösung:
a)
b)
Seite 304 von 355
Aufgabensammlung
c)
d)
e)
f)
Seite 305 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 8:
Der Intelligenzstrukturtest 70-Plus ist so normiert, dass die Testwerte normalverteilt
sind mit μ = 100 und = 10. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus
der Population gezogene Person einen Testwert hat, ...
a)
(3) der über 130 liegt?
b)
(3) der zwischen 115 und 125 liegt?
c)
(3) Wie hoch muss der Testwert einer Person mindestens sein, damit diese Person zu den 30% der Personen mit den höchsten Testwerten gehört?
Lösung:
a)
Transformation:
130 100
3 -> 0,9986 -> 1-0,9986=0,0014
10
b)
Seite 306 von 355
Aufgabensammlung
Transformation:
115 100
1,5 -> 0,9332
10
125 100
2,5 -> 0,9938
10
0,9938-0,9332=0,0606
c)
Suche 0,7 in Tabelle: 0,52 ->
0,52
x 100
x 100 0,52 10 100 5,2 105 ,2
10
Aufgabe 9:
Zwischen den Kosten/Stück und der Produktionshöhe existiert ein Zusammenhang, der
sich wie folgt darstellt:
Produkt
Kosten pro Stück
Stückzahl
A
2,5
320
B
1,0
500
C
2,5
300
D
5,8
80
E
3,0
350
F
4,0
120
G
3,0
300
H
4,3
90
J
3,0
400
Seite 307 von 355
Aufgabensammlung
a) (8) Stellen Sie eine lineare Gleichung auf, die den Zusammenhang zwischen Kosten/Stück und der Produktionshöhe darstellt.
b) (2) Ermitteln Sie den Korrelationskoeffizienten und interpretieren Sie das Ergebnis
Lösung:
a)
xi
yi
x²
y²
x²*y²
2,5
320
0,73
46,67
0,54
2177,78
-34,22
1
500
2,23
226,67
4,99
51377,78
-506,22
2,5
300
0,73
26,67
0,54
711,11
-19,56
5,8
80
2,57
193,33
6,59
37377,78
-496,22
3
350
0,23
76,67
0,05
5877,78
-17,89
4
120
0,77
153,33
0,59
23511,11
-117,56
3
300
0,23
26,67
0,05
711,11
-6,22
4,3
90
1,07
183,33
1,14
33611,11
-195,56
3
400
0,23
126,67
0,05
16044,44
-29,56
3,23
273,33
14,54
171400,00
-1423,00
n
b
(x
i 1
i
x ) ( y i y)
n
(x
i 1
i
x)2
1423,00
97,868
14,54
a y bx 273,33 (97,868) 3,23 42,78
b)
Seite 308 von 355
Aufgabensammlung
n
r
(x
i 1
n
(x
i 1
i
x )( y i y)
n
i
x ) 2 ( y i y) 2
- 1423,00
- 1423,00
0,9014
14,54 171400 1578,66
11
r=-1 maximaler reziproker Zusammenhang, d.h. mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit
nehmen die Y-Werte tendenziell ab, wenn die Werte der Variablen X zunehmen.
Aufgabe 10:
Eine Maschine produziert Scheiben mit einem Durchmesser-Mittelwert 50mm und einer Standardabweichung von 1,5mm. Eine Scheibe gilt dann als verwendbar, wenn ihr
Durchmesser vom Sollwert nicht mehr als ein Betrag c abweicht. Welche Toleranzgrenze c ist zulässig, wenn im Mittel höchstens 6 % Ausschuss erzeugt werden soll!
Lösung:
Seite 309 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 11:
Ein Händler für Bürotechnik verkauft in den Jahren 2000 und 2001 drei Arten von Kopierern in folgenden Mengen:
Jahr
Typ A
Typ B
Typ C
Menge
Preis
Menge
Preis
Menge
Preis
2000
32
2000
15
5000
4
25000
2001
28
2100
18
4800
5
24000
2002
32
2200
19
4500
6
26000
2003
44
3000
25
5100
8
33000
Bestimmen Sie jeweils den Preis und Mengenindex zu Laspeyres und Paasche zum Basisjahr 2000 und dem Berichtsjahr 2001.
Lösung:
Laspeyres:
Paasche:
IP0t ( L)
67200 72000 96000
235200
0,9841
64000 75000 100000 239000
IM 0t ( L)
56000 90000 125000
271000
1,1339
64000 75000 100000
239000
IP0t ( P )
58800 86400 120000
265200
0,9786
56000 90000 125000 271000
IM 0t ( P )
58800 86400 120000
265200
1,1276
67200 72000 96000
235200
Aufgabe 12:
Eine Maus startet in einem Versuchslabyrinth und muss sich an 8 Abzweigungen zwischen links und rechts entscheiden. Umkehren kann sie nicht.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit läuft sie
a) genau 4 mal rechts
b) genau 5 mal in die gleiche Richtung
c) mindestens 6 mal links
Lösung:
Seite 310 von 355
Aufgabensammlung
Seite 311 von 355
Statistik
Testklausur02
Wirtschaftsingenieurwesen
DHBW Stuttgart
Campus Horb
Dozent
Dipl. Math. (FH) Roland Geiger
Testklausur02
Aufgabe 1:
Im 6. Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schüler und Schülerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema „Lieblingssportarten“ durchgeführt. Die Ergebnisse finden Sie in der
Tabelle. Vervollständigen Sie die Tabelle:
Sportart
Anzahl der
Nennungen
Fußball
21
Handball
12
Skaten
44
Turnen
10
Schwimmen
13
Absolute
Häufigkeit
Relative
Häufigkeit
Absolute
Summen
häufigkeit
Relative
Summen
häufigkeit
Lösung:
Aufgabe 2:
Ein Statistikkurs besteht aus 7 Studenten. Am Ende des Kurses wird eine Abschlussklausur geschrieben. Die maximale erreichbare Punktzahl dieser Klausur beträgt 129
Punkte. Hiervon erreichten die Studenten jeweils die folgenden Punktzahlen:
Berechnen Sie
a) das arithmetische Mittel der erreichten Punkte
b) den Median der erreichten Punkte
c) den Modus der erreichten Punkte
d) die Spannweite der erreichten Punkte
e) die durchschnittliche absolute Abweichung der erreichten Punkte
313-355
Aufgabensammlung
f) die Varianz und die Standardabweichung der erreichten Punkte
Nehmen Sie an, die Studenten hätten gegenüber der Ausgangsverteilung jeweils 3
Punkte mehr erreicht: Wie hoch wäre dann
g) das arithmetische Mittel der erreichten Punkte
h) die Varianz und die Standardabweichung der erreichten Punkte
Nehmen Sie an, alle Studenten hätten gegenüber der Ausgangsverteilung jeweils 10%
höhere Punkte erreicht: Wie hoch wäre dann
i) das arithmetische Mittel der erreichten Punkte
j) die Varianz und die Standardabweichung der erreichten Punkte
Lösung:
g)
h)
i)
Seite 314 von 355
Aufgabensammlung
j)
Aufgabe 3:
Die Köpergröße eines bestimmten Jahrgangs ist normalverteilt mit den Werten
= 95 cm und =7cm.
Wie viel Prozent dieser Kinder sind im Mittel
a) kleiner als 1 m,
b) größer als 1,05,
c) zwischen 88 cm und 103 cm?
Lösung:
a)
b)
c)
Aufgabe 4:
Beantworten Sie folgende Fragen einfach mit ja oder nein
Der Preisindex nach Paasche ist immer größer als der Umsatzindex.
Der Preisindex nach Paasche ist immer eine Zahl über eins.
Der Preisindex nach Laspeyres ist immer eine Zahl über eins.
Der Preisindex nach Laspeyres ist immer eine Zahl unter eins.
Der Preisindex nach Laspeyres benützt die Mengen der Basisperiode 0.
Der Preisindex nach Laspeyres ist immer größer als jener nach Paasche.
Der Preisindex kann auch unter eins liegen.
Der Umsatzindex kann auch kleiner sein als der Preisindex nach Laspeyres.
Der Umsatzindex kann größer sein als der Preisindex nach Laspeyres.
Der Umsatzindex ist immer größer als der Preisindex mach Laspeyres.
Seite 315 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
Der Preisindex nach Paasche ist immer größer als der Umsatzindex.
NEIN
Der Preisindex nach Paasche ist immer eine Zahl über eins.
NEIN
Der Preisindex nach Laspeyres ist immer eine Zahl über eins.
NEIN
Der Preisindex nach Laspeyres ist immer eine Zahl unter eins.
NEIN
Der Preisindex nach Laspeyres benützt die Mengen der Basisperiode 0.
JA
Der Preisindex nach Laspeyres ist immer größer als jener nach Paasche.
NEIN
Der Preisindex kann auch unter eins liegen.
JA
Der Umsatzindex kann auch kleiner sein als der Preisindex nach Laspeyres.
JA
Der Umsatzindex kann größer sein als der Preisindex nach Laspeyres.
JA
Der Umsatzindex ist immer größer als der Preisindex mach Laspeyres.
NEIN
Aufgabe 5:
Eine Maschine produziert Scheiben mit einem Durchmessermittelwert 50 mm und einer Standardabweichung von 1,5 mm. Eine Scheibe gilt dann als verwendbar, wenn ihr
Durchmesser vom Sollwert (Durchmessermittelwert) nicht mehr als den Betrag c abweicht. Welche Toleranzgrenze c ist zulässig, wenn im Mittel höchstens 6 % Ausschuss
erzeugt werden soll?
Lösung:
Seite 316 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 6:
In einem Korb liegen 3 Äpfel, davon ist einer wurmstichig. Dem Korb werden 2 Äpfel
mit einem Griff entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, den wurmstichigen
Apfel hierbei zu erhalten?
Lösung:
2
3
Seite 317 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 7:
a) Ordnen Sie bitte den drei Buchstaben in der folgenden Graphik die Lagemaße Modus,
Median und arithmetisches Mittel zu.
b) Wie nennt man eine solche Häufigkeitsverwaltung?
Lösung:
a: Modus
b: Median
c: Mittelwert
Lösungsgedanke: Die Graphik stellt eine Häufigkeitsverteilung dar; demnach muss
der Modus, d.h. d = max f(x i), im höchsten Punkt der Verteilung dargestellt werden.
Der Median wird, verdeutlicht man sich seine Berechnungsweise, weniger stark
durch Ausreißer der Daten "gestört" als das arithmetische Mittel (AM), d.h. der Median von 10, 50, 5000 ist 50, wohingegen das AM = 1686,7 ist (vgl. auch Aufgabe 3)
- also sollte der Median "links" von AM sein. Unter "Ausreißen" soll hier der Wert
5000 verstanden werden, da er sich schon sehr stark von den beiden vorherigen
Werten abhebt. Damit kann man sagen, dass in einer solchen linkssteilen Verteilung immer die Abfolge Modus, Median, AM vorherrscht.
Aufgabe 8:
Ein Geschäft verkauft Packungen mit Murmeln, die laut Aufdruck zu 30% rote, 50%
klare und 20 % blaue Kugeln enthalten. Diese Angaben sind Mittelwerte, denn die Mischungen sind nicht konstant gleich.
a) Einer solchen Packung werden nacheinander 10 Kugeln entnommen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A: Man erhält nur klare Kugeln
B: Man findet genau 1 klare Kugeln
C: Man findet genau 2 rote Kugeln
D: Man findet höchstens 1 blaue Kugel.
E: Man findet nacheinander 5 klare Kugeln, die anderen sind bunt.
F: Man findet abwechselnd bunte und klare Kugeln.
Seite 318 von 355
Aufgabensammlung
b) Wie viele Kugeln muss man mindestens entnehmen, um mit 99% Wahrscheinlichkeit
mindestens eine blaue zu finden?
c) Klaus und Anne führen ein Spiel durch. Sie ziehen so lange eine Kugel, bis einer gewonnen hat. Dabei beginnt Anne und sie gewinnt mit blau, nach Anne zieht Klaus, e r
gewinnt mit rot. Berechne die Gewinn-Wahrscheinlichkeit wenn sie maximal 5 Spielrunden durchführen. Dies setzt voraus, dass genügend viele Kugeln vorhanden sind.
Lösung:
Seite 319 von 355
Aufgabensammlung
b)
c)
Seite 320 von 355
Aufgabensammlung
Seite 321 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 9:
Im Bundesland S wird der Preisindex für die Lebenshaltung aus verschiedenen Gütern
und Preisen aus den Bereichen Nahrung, Kleidung und Wohnung berechnet. Als repräsentativ hat das Statistische Landesamt dafür die folgenden drei Güter angesehen:
Brot, Socken und Strom. Die 1990, 1991 und 1992 erworbenen Mengen und Preise s ind
wie folgt:
a) Bestimmen Sie den Laspeyres-Preisindex und den Paasche-Preisindex für die Lebenshaltung für 1992 auf der Basis von 1990 und erklären Sie die Bedeutung der errechneten Indexzahl.
b) Nach Kritik der Fachpresse, der Warenkorb sei nicht geeignet, insbesondere die Berücksichtigung der Socken sei lebensfremd, entschließt sich das Statistische Landesamt
statt des Bereichs "Kleidung" den Bereich "Unterhaltung" in den Preisindex aufzunehmen. Dafür wird das Gut "Videokassetten" einbezogen. Für Videos gibt es folgende Beobachtungen:
Bestimmen Sie den neuen Laspeyres-Preisindex und den neuen Paasche-Preisindex für
die Lebenshaltung für 1992 auf der Basis von 1990.
Lösung:
Aufgabe 10:
Seite 322 von 355
Aufgabensammlung
In einer Stadt mit 800.000 Einwohnern sind von den 308.000 männlichen Einwohnern
5.000 im Schützenverein und von den 492.000 weiblichen Einwohnern 600 im Schützenverein.
Die relative Häufigkeit der Männer unter den Mitgliedern im Schützenverein ist
(1) 5000/308000
(2) 5000/800000
(3) 5600/800000
(4) 5000/5600
Nur eine der Antworten ist richtig. Sie müssen Ihre Antwort nicht begründen.
Lösung:
4
Seite 323 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 11:
Die Größe der Männer einer bestimmten Bevölkerung sei ( x 175 cm, s=5 cm) - normalverteilt. Autos, Betten usw. sind auf eine maximale Größe von - sagen wir einmal 190 cm ausgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand zu groß für diesen
Standard ist?
Lösung:
z
190 175
3
5
1 0,9986 0,0014 0,14%
Aufgabe 12:
Ein Spielautomat enthält drei zylindrische Räder, die unabhängig voneinander laufen
und anhalten können. Jedes Rad enthält auf der Außenfläche 20 Felder und zwar 12
Felder mit der Zahl 1, 6 mit der 2 und 2 mit der Zahl 5.
a) Der Automat wird 1-mal angeworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
A: die Zahl 555 erscheint (Hauptgewinn)
B: eine Zahl größer als 300 erscheint
C: eine Zahl mit der Quersumme 8,
b) Nun wird zwanzigmal nacheinander gespielt und nur immer die linke erste
Ziffer betrachtet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt als erste Ziffer
D: die Zahl 5 höchstens einmal vor ?
E: abwechselnd eine gerade und eine ungerade Zahl vor
c) Wie oft muss man mindestens drehen, um mit mindestens 98% Wahrscheinlichkeit
als erste Zahl mindestens eine 5 zu bekommen?
Lösung:
a) Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ziffern sind p(1) = 0,6 ; p(2 ) = 0,3 und
p(5) = 0,1.
A: P(A) = 0,1 3 = 0,001
B: Hier muss lediglich als erste Ziffer “5” erscheinen, die zweite und dritte Ziffer ist
dann beliebig. Daher folgt P(B) = 0,1.
C: Eine Zahl aus den Ziffern 1, 2 und 5 hat genau dann die Quersumme 8, wenn jed e
dieser Ziffern genau einmal vorkommt. Diese drei Ziffern kann man auf 3! = 6 Arten
anordnen, also gibt es 6 Zahlen mit der Quersumme 8.
P(C) =6 * 0,6*0,3*0,1 =0,108
Seite 324 von 355
Aufgabensammlung
Lösung:
a)
b)
Seite 325 von 355
Aufgabensammlung
Seite 326 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 13:
14 zufällig ausgewählte Männer gaben folgende Schuhgrößen und Körperhöhen (cm)
an:
Schuhgröße (x)
Körpergröße (y)
42,0
175
45,0
188
42,5
178
45,5
189
43,0
182
39,0
169
42,0
182
41,0
171
41,5
171
42,5
179
42,0
173
40,0
174
42,0
176
45,0
184
Berechnen Sie Regressionsgerade und den Korrelationskoeffizienten.
Lösung:
Schuhgröße
(x)
Körpergröße
(y)
xi-x
42
175
45
yi-y
(xix)(yiy)
(xix)^2
(yiy)^2
-0,36
-2,93
1,05
0,13
8,58
188
2,64
10,07
26,62
6,98
101,43
42,5
178
0,14
0,07
0,01
0,02
0,01
45,5
189
3,14
11,07
34,80
9,88
122,58
43
182
0,64
4,07
2,62
0,41
16,58
39
169
-3,36
-8,93
29,97
11,27
79,72
42
182
-0,36
4,07
-1,45
0,13
16,58
41
171
-1,36
-6,93
9,40
1,84
48,01
41,5
171
-0,86
-6,93
5,94
0,73
48,01
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Aufgabensammlung
42,5
179
0,14
1,07
0,15
0,02
1,15
42
173
-0,36
-4,93
1,76
0,13
24,29
40
174
-2,36
-3,93
9,26
5,56
15,43
42
176
-0,36
-1,93
0,69
0,13
3,72
45
184
2,64
6,07
16,05
6,98
36,86
593
2491
136,86
44,21
522,93
42,36
177,93
b=
3,10
a=
41,07
r=
0,90
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Statistik
Testklausur03
Wirtschaftsingenieurwesen
DHBW Stuttgart
Campus Horb
Dozent
Dipl. Math. (FH) Roland Geiger
Testklausur03
Aufgabe 1:
In einer Kiste liegen ideale Würfel dieser Bauart:
Es gibt Würfel W 1 , die tragen an der Stelle x eine 1, Würfel der Sorte W 2 tragen dort
eine 2, und schließlich gibt es eine dritte Art W 3 mit der Zahl 3 für x.
a) Mit diesen Würfeln werden einige Experimente durchgeführt:
A: (5) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man mit W 1 bei 5-maligem Würfeln die
Augensumme von höchstens 8?
B: (5) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man bei 12-mal würfeln mit W 3 genau 6
Zweier, 4 Einser und 2 Dreier?
C: (5) Nun wird 300-mal mit W 2 gewürfelt. Mit wie viel Zweiern kann man rechnen?
b) Eine Schülergruppe plant für das Schulfest ein Würfelspiel. Sein Einsatz ist zunächst
mit x Euro noch offen. Der Spieler würfelt zuerst mit W 1 , und dann mit W 2 und schließlich mit W 3 . Er bezahlt einen Einsatz von zunächst noch nicht festgelegten x Euro.
Folgender Gewinnplan soll angewandt werden:
Hat der Spieler 3 Einsen gewürfelt, erhält er das Quadrat seines Einsatzes ausbezahlt,
erzielt er drei Zweien, dann werden 18 € ausbezahlt, erzielt er drei verschiedene Zahlen, dann erhält er seinen Einsatz zurück.
(A) (5) Berechne den Erwartungswert des Reingewinns des Spielers in Abhängigkeit
vom Einsatz: E(x). Wir groß müsste der Einsatz sein, wenn das Spiel fair werden sollte?
(B) (5) Welchen Einsatz müsste der Veranstalter verlangen, um auf lange Sicht den bestmöglichsten Verdienst zu haben? Wie groß ist dann sein mittlerer Verdient pro Spiel?
330-355
Aufgabensammlung
Lösung:
b)
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
Aufgabe 2:
Zwei Kaugummiautomaten werden mit bunten Kaugummikugeln gefüllt.
Automat 1 enthält zur Hälfte weiße Kugel, 40 % sind rot, der Rest blau.
Automat 2 hat 40 % weiße, 33 % rote und 27% blaue Kugeln.
a) Franz entnimmt dem Automat 1 genau 20 Kugeln Mit welcher Wahrscheinlichkeit
erhält dabei
A: (4) genau 4 rote Kugeln?
B: (4) mindestens 8 weiße Kugeln?
(4) Wie oft muss Franz mindestens eine Kugel aus dem Automat 1 entnehmen, damit
er mit mindestens 90% Wahrscheinlichkeit mindestens 5 rote erhält?
b) Nun testet Franz den zweiten Automaten und entnimmt diesem 10 Kugeln.
(1) (3) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält er genau 4 weiße Kugeln (Ereignis E)?
Lösung:
0,1316=0,8684
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Aufgabensammlung
Aufgabe 3:
Mit zwei idealen Würfeln wird folgendes Spiel veranstaltet:
Nach einem Einsatz von 2 € wird einmal mit beiden Würfeln geworfen.
Erzielt man einen Pasch (zwei gleiche Zahlen), erhält man 5 € ausbezahlt, bei der Augendifferenz 5 gleich 10 € und bei der Augendifferenz 1 erhält man seinen Einsatz zurück.
(5) Berechne die Erwartungswerte für Auszahlung und Reingewinn.
(2) Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair?
Lösung:
Aufgabe 4:
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Aufgabensammlung
Transistoren werden mit einer Fehlerquote von 5 % hergestellt. In einer Lieferung befinden sich 30 Transistoren. Der Empfänger testet 7 davon.
a) (3) Er will die Lieferung annehmen, wenn er darunter höchstens 1 defekten Transistor findet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit geschieht dies?
b) (3) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet er genau 2 defekte Transistoren?
Lösung:
Seite 335 von 355
Aufgabensammlung
Aufgabe 5:
In Sikinien gibt es einen Park, in dem drei braune und zwei rote Eichhörnchen leben.
Ihnen stehen zum Sonnenbaden 8 verschiedene Bäume zur Verfügung.
Jedes Eichhörnchen wählt sich seinen Baum zufällig aus.
a) (3) Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese 5 Eichhörnchen auf die 8 Bäume
zu verteilen?
b) (3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf keinem Baum mehr als ein
Eichhörnchen liegt?
c) (3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E: Ein rotes und zwei
braune Eichhörnchen sonnen sich gemeinsam auf einem Baum, während
die anderen je einen Baum für sich haben?
Lösung:
32.768
Aufgabe 6:
(a)(4) Welches Messniveau (Skalenniveau) haben folgende Merkmale:
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Aufgabensammlung
1.
Schulform
2.
Reaktionszeit
3.
Soziale Schichtung
4.
Fachgebiete an der Hochschule
(b)(4) Welche der folgenden Aussagen ist richtig oder falsch:
1.
Die Höhe des arithmetischen Mittels wird von Extremwerten beeinflusst
2.
Das Merkmal "Zahl der Kinder pro Familie" ist ein quantitativ-stetiges Merkmal
3.
Die Spannweite kann bereits bei nominalskalierten Daten bestimmt werden
4.
Wenn der häufigste Wert (D) größer ist als der Zentralwert (Z) und der Zentralwert wiederum größer als das arithmetische Mittel, dann handelt es sich um links schiefe Verteilung
(c)(2) Die jährliche Zuwachsrate der Produktion eines bestimmten Haushaltsgerätes
entwickelte sich in 5 Jahren wie folgt: 10%, 20%; 5%, 8%, 15%. Wie groß ist die durchschnittliche jährliche Zuwachsrate für den gesamten Zeitraum?
(d)(2) Erläutern Sie den Unterschied zwischen Bestandsmassen und Bewegungsmassen
(Die Antworten sind jeweils kurz zu begründen)
Lösung:
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
Aufgabe 7:
In einer Kantine wurden an verschiedenen Tagen die verkauften Mittagessen an die
Mitarbeiter gezählt:
Bestimmen Sie bitte
a)(2) die relative Häufigkeit der Tage.
b)(3) die absolute sowie die relative Summenhäufigkeit und beschreiben kurz was diese
hier aussagen.
c)(3) die Spannweite, das arithmetische Mittel und den Median der verkauften Mittagessen.
Lösung:
Aufgabe 8:
In einem Bauernhof wird gemessen, wie in verschiedenen Jahren die Kirsch ernte in
Tonnen von der Anzahl der Kirschpflücker abhängt. Es soll ein linearer Zusammenhang
überprüft werden:
a)(6) Bitte ermitteln Sie die lineare Regressionsgerade
b)(3) Zu welcher Erntemenge führen 50 Kirschpflücker – vorausgesetzt der Bauernhof
verfügt über genug Bäume. Bestimmen Sie den exakten und den auf Tonnen gerundeten Betrag.
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Aufgabensammlung
Lösung:
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Aufgabensammlung
Anhang
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
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Aufgabensammlung
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