Vorlesung Elmar Langetepe SS11

Zusammenfassung:
Kernberechnung/Graphengrundlagen
Elmar Langetepe
University of Bonn
Algorithmische Geometrie
c Elmar Langetepe
Kern/Graphen 01.06.11 SS ’11
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Beispiel: Wichtige Teilfolgen auswählen
Aus maximaler Teilfolge: es, es+1, . . . , et
f0
:= es


 erste Kante e hinter fi mit α(fi, e) > 0,
fi+1 :=
falls fi noch vor et liegt,

 undefiniert sonst.
b
et
Algorithmische Geometrie
a
es
c Elmar Langetepe
Kern/Graphen 01.06.11 SS ’11
2
Beispiel: Wichtige Teilfolgen auswählen
Aus maximaler Teilfolge: es, es+1, . . . , et
b0
:= et


 letzte Kante e vor bi mit α(e, bi) > 0,
bi+1 :=
falls bi noch hinter es liegt,

 undefiniert sonst.
b
et
Algorithmische Geometrie
a
es
c Elmar Langetepe
Kern/Graphen 01.06.11 SS ’11
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Nur Kanten aus B oder F!
Theorem 4.25 Sei P ein einfaches Polygon mit maximalem
Drehwinkel < 3π. Dann gehört jede für den Kern wesentliche Kante
von P zur Folge F oder zur Folge B.
Beweis! Kante e0 6=∈ F ∪ B trägt nicht zum Kern bei!
Zwischen zwei Kanten aus B und F !
bj
e0
H-(fi)
H-(fi)
fi
fi
H-(bj)
(i)
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e0
H+(fi) ! H+(bj)
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Kern/Graphen 01.06.11 (ii)
SS ’11
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Kern in linearer Zeit
Theorem 4.26 Der Kern eines einfachen Polygones mit n Ecken kann
in Zeit und Platz O(n) berechnet werden.
Beweis:
• Maximale Teilfolge αmax: Sweep Maximum Subvektor O(n)
• Daraus die Folgen F und B: Je O(n)
• Schnitt der Halbebenen der Folgen F und B, sortiert nach
Steigung: Je O(n)
• Schnitt zweier konvexer Mengen: Untere/Obere Kontur
X-monotoner Ketten in jeweils O(n)
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Grundlagen Graphentheorie: Definitionen
•
•
•
•
•
•
Definition: Graph, Menge V , E ⊆ V × V , G = (V, E)
Gerichteter Graph: Orientierung der Kanten
Schlingen: Kanten (p, p) zulassen
Mehrfache Kanten: (p, q), (p, q)
Schlichte Graphen: Ohne Schlingen und mehrfache Kanten
Geometrische Realisation: G = (V, E) in IR2 abbilden
Knoten auf verschiedene Punkte abbilden
Kanten auf einfache Wege abbilden
Ergebnis: Geometrischer Graph G0 = (V 0, E 0)
• Geometrischer Graph kreuzungsfrei:
(Kanten)schnittfreie Realisation
• G = (V, E) planar: Es ex. kreuzungsfreie geometrische Realisation
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Geom. Realisation: Planare Graphen
• Äquivalente Realisationen: G0 = (V 0, E 0) und G00 = (V 00, E 00)
(V 0, E 0) durch verschieben der Punkte, Verformung der Wege in
(V 00, E 00) überführen, ohne Wege über Knoten zu heben
• Nur i) und ii) sind äquivalent!
t
t
s
t
p
r
q
p
s
r
(ii)
(i)
s
r
p
q
s
r
(iii)
q
r
(iv)
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q
t
t
p
p
q
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Kern/Graphen 01.06.11 s
(v)
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Kreuzungfr. geometr. Graph: Bezeichnungen
•
•
•
•
v Anzahl Knoten (Vertex)
e Anzahl Kanten (Edge)
f Anzahl Flächen (Face) (Zs.-hangskomp. von IR2 \ G)
c Anzahl Zusammenhangskomponenten von G (Component)
p
q
Algorithmische Geometrie
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Kern/Graphen 01.06.11 r
SS ’11
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Kreuzungfreier geometrischer Graph: Eulerformel
Theorem 1.1 Sei G ein kreuzungfreier geometrischer Graph im IR2.
Dann gilt: v-e+f=c+1.
Beweis: Strukturelle Induktion! Graphen aufbauen!
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Einfache nützliche Folgerungen
Korollar 1.2 Sei G ein kreuzungfreier geometrischer Graph, dessen
Knoten den Grad ≥ 3 haben. Es gilt:
2
v ≤ e
3
v ≤ 2(f − c − 1) < 2f
e ≤ 3(f − c − 1) < 3f.
Der Rand einer Fläche hat im Mittel ≤ 6 Kanten.
Beweis: Zählargumente!
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Buch Kapitel
Kapitel 4.4 Seite 199 mitte – S. 202 unten
Kapitel 1.2.2 Seite 12 unten – S. 16 mitte
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