Statik - Ing. E. Loisidis

Stand: September 2005
Statik
Skriptum
Internet: www.loisidis.com
1
Vorwort
Zur
Ablegung
der
Befähigungsprüfung
für
das
bewilligungspflichtige gebundene Baumeistergewerbe bzw.
das Zimmermeistergewerbe sind umfangreiche Kenntnisse
auf den Gebieten Mathematik/Darstellende Geometrie, Statik
und Entwurfslehre u. a. erforderlich. Das Fachgebiet Statik
umfasst die Baustatik einschließlich der Festigkeitslehre und
die
Bemessungsverfahren
im
Stahl-,
Holz-
und
aus
Statik
und
Stahlbetonbau.
Die
Einteilung
der
Unterkapitel
Festigkeitslehre ist an die Vortragsreihe gebunden, kann
aber hie und da leicht davon abweichen. Dieses Skriptum
soll nicht die eigene Mitschrift ersetzten, besonders weil
Beispiele fehlen, die zum Verständnis einen nützlichen
Beitrag leisten, sondern dem interessierten Leser eine
Vertiefung und Verfestigung des erworbenen Wissens
gewähren. Zu diesem Zweck wurde im Anhang eine
Literaturliste angefertigt, die einen schnellen und leichten
Zugang zu den einzelnen Problemstellungen ermöglicht.
Hochgestellte Fußnoten markieren die Zugehörigkeit und
bilden gemeinsam mit dem Literaturverzeichnis ein sehr
nützliches Nachschlagewerk.
Innsbruck, im September 2005
Dipl.-Ing. Emanuel Loisidis
2
Inhaltsverzeichnis:
Allgemeines _____________________________________________ 5
I. Statik der festen bzw. starren Körper_____________________ 15
I.1.
Kraftsysteme________________________________________________16
I.1.1
zentrales ebenes Kraftsystem ______________________________________ 16
I.1.2
algemeines ebenes Kraftsystem ____________________________________ 18
I.2.
Graphische Behandlung ______________________________________21
I.3. Statisch bestimmte Träger _____________________________________22
I.3.1 Arten der Auflagerung _____________________________________________ 22
I.3.2 Träger auf zwei Stützen ____________________________________________ 22
I.3.2.1 Bestimmung der Auflagerreaktionen _______________________________________ 22
I.3.2.2 Die inneren Kräfte ( Schnittkräfte ) ________________________________________ 23
I.3.3 Gerberträger (Gelenksträger) _______________________________________ 24
I.3.4 Dreigelenkbogen _________________________________________________ 25
I.3.4.1 graphische Behandlung des Dreigelenksbogen ______________________________ 25
I.3.4.2 rechnerische Behandlung des Dreigelenksbogen _____________________________ 26
I.4 Fachwerke ___________________________________________________27
I.4.1 graphische Behandlung ____________________________________________ 27
I.4.2 rechnerische Behandlung __________________________________________ 28
I.5 Ermittlung statischer Bestimmtheit_______________________________31
I.6 Statische Berechnung __________________________________________33
I.7 Statisch unbestimmte Systeme __________________________________34
I.7.1 Winkler_________________________________________________________ 34
I.7.2 Clapeyron (Dreimomentengleichung) _________________________________ 34
I.7.3 CROSS, Iterationsverfahren ________________________________________ 35
I.7.4 Kraftgrößenmethode ______________________________________________ 38
3
II. Festigkeitslehre ______________________________________ 40
II.1. Einführung, Allgemeines ______________________________________40
II.2. Elastizitätstheorie____________________________________________41
II.3. Bemessungsverfahren________________________________________43
II.3.1 Geometrisch bedingte Größen ______________________________________ 43
II.3.1.1
II.3.1.2
II.3.1.3
II.3.1.4
II.3.1.5
II.3.1.6
Schwerpunkt ________________________________________________________ 43
Trägheitsmoment ____________________________________________________ 43
Trägheitsradius ______________________________________________________ 44
Polares Trägheitsmoment______________________________________________ 45
Deviationsmoment (Zentrifugalmoment)___________________________________ 45
Widerstandsmoment __________________________________________________ 45
II.3.2 Spannungsnachweise_____________________________________________ 46
II.3.2.1
II.3.2.2
II.3.2.3
II.3.2.4
II.3.2.5
II.3.2.6
II.3.2.7
II.3.2.8
Normal- und Schubspannung ___________________________________________ 46
Einaxiale Biegespannung ______________________________________________ 46
Zweiaxiale Biegespannung _____________________________________________ 46
Einaxiale Biegespannung und Normalspannung ____________________________ 47
Zweiaxiale Biegespannung und Normalspannung ___________________________ 47
Kernfläche eines Querschnittes _________________________________________ 47
Versagen der Zugzone ________________________________________________ 48
Schubspannung _____________________________________________________ 48
II.3.3 Stabilitätsnachweis (Knickung) _____________________________________ 49
II.3.3.1 Knicken ____________________________________________________________ 50
II.3.3.2 Biegeknicken________________________________________________________ 50
II.3.4 Gebrauchstauglichkeitsnachweis (Biegelinie)___________________________ 51
II.3.5 Torsion ________________________________________________________ 52
II.3.5.1
II.3.5.2
II.3.5.4
II.3.5.4
Stäbe mit Kreisquerschnitt____________________________________________ 52
Rechecksquerschnitt II.3.5.3
Dünnwandige Walzprofile _________________ 52
Dünnwandige Hohlquerschnitte________________________________________ 52
Dünnwandige Kastenquerschnitte______________________________________ 52
4
BAU-/ ZIMMERMEISTERKURS
Mathe und DG
Statik
Festigkeitslehre
Statik
Stahlbetonbau
Entwurf
Stahlbau
Kaufm.,...
Holzbau
Das zentrale ebene KS
Einführung, Allg.
Einleitung, Allg.
Einführung, Allg.
Grundlagen, Allg.
Das allg. ebene KS
Geometr. bed. Größen
Bewehrter Beton
Verbindungsmittel
Verbindungsmittel
Stat. best. Träger
Elastizitätstheorie
Beanspr. auf Druck
Beanspruchungsarten
Biegung m. Längskr.
Brandschutz
Tiefbau
Grundlagen
Fachwerke
Beanspruchungsarten
zentr. Druck
Ermittlung stat. Best.
Stützenfüsse
Biegung
Statische Berechnung
Brandschutz
Biegung u. Querkr.
Stat. unbest. Systeme
Biegung m. Längskr.
Wasser- und Erddruck
Flachdecken
Fundamente
Sonderfälle
Träger u. Scheiben
5
Statik
Lehre vom Gleichgewicht der Kräfte
Wozu dient sie?
- Wirtschaftliche Bemessung von Tragwerken
(wird immer wichtiger)
- Bestimmung von Formänderungen
(Kontrolle ob zulässige Werte überschritten werden)
6
Bauwerk
Für den Menschen zur Nutzung und zum Schutz
Besteht aus:
- Abdeckung (Haut, Fassade)
- Tragwerk
tragende Struktur, für die statische Berechnung am wichtigsten
- Ausbau
für die Lastaufstellung von Bedeutung, Komfort
- Boden (Gründung)
Wirkung des Bodens auf das Tragwerk!
7
Tragwerk
Für die Ableitung der Kräfte und Lasten
kann eben oder räumlich ausgebildet sein.
- Stabwerk
Stäbe sind biegesteif miteinander verbunden
- Fachwerk
Stäbe in den Knoten gelenkig miteinander verbunden
- Flächentragwerk
Scheiben, Platten und Schalen; aufwendig bei Berechnung
8
Baustatik
Statik der Baukonstruktionen
unterteilt sich in
- Stabstatik
für uns am bedeutendsten
- Flächenstatik
Berechnung meist mittels EDV, FE - Programme
- Statik auf Körper
Kontinuumsmechanik, z.B. bei Flüssigkeiten ⇒ räumlicher
Spannungszustand (erheblicher Mehraufwand)
Ihrer Handhabung nach unterscheidet man:
- Graphische Statik
Seileckkonstruktionen, Stützlinienermittlung bei Bögen, usw.
- Rechnerische Statik
- Starrkörperstatik
ohne Berücksichtigung der elastischen Formänderung
- Elastostaik
mit Berücksichtigung der elastischen Formänderung
- Graphische und Rechnerische Verfahren
- Experimentelle Statik
Modellversuche, Dehnungsmessungen, Spannungsoptik
9
Einwirkungen
Direkte Einwirkung (mechanisch)
Lasten:
Kräfte:
- Massenkräfte
- Freie Kräfte
statisch und dynamisch
- Schwerkräfte
- Abspannkräfte
ruhend und veränderlich
- Eigengewicht
- Wind
- Nutzlast
- Anfahrkräfte
- Verkehrslasten
- Fliehkräfte
- Schnee
- Erdbeben
Indirekte Einwirkung
(nicht mechanisch, geometrisch)
- Feuchte
- Temperatur
- Strahlung
10
Geschichtliche Entwicklung
Naturwissenschaften
Chemie
Physik
Biologie
...
Mechanik
Bewegung von Körpern
und der damit verknüpften
Kräften
Statik
Dynamik
Körper in Ruhe und
im Gleichgewicht
Körper in
Bewegung
Kinematik
Kinetik
Bewegungslehre
Bewegungen und
Kräfte
NORMEN
ÖNormen
DIN
Deutsches Institut
für Normung
...
EC
Eurocode
11
ÖNormen
Formalnormen
Planungsnormen
Verfahrensnormen
Vertragsnormen
Werkstoffnormen
ÖNORMEN
B 3350
B 4000
B 4100
B 4400
EC 3
B 4700
Wände aus Ziegeln
Belastungsannahmen
Holzbau
Erd- und Grundbau
ÖNorm ENV 1993-1-1
Stahlbetonbau
B 4600
B 4010
B 4430/1
Eigenlasten v. Bauteilen
Flächengründungen
Stahlbau
Eurocode-nahe
Berechnung u. Bemessung
B 4011
B 4430/2
Teil 2
B 4710-1
Lagergüter
Pfahlgründungen
Berechnung d. Tragwerke
Betonherstellung
B 4012 / B 4016
B 4431
Teil 3
Nutzlasten im Hochbau
Setzungsberechnungen
Wöhlerfestigkeitsnachweis
B 4013
B 4432
Teil 4
Schnee- und Eislasten
Grundbruchberechnungen
Stabilitätsnachweis
B 4014
Teil 7
Statische Windkräfte
Ausführung d. Stahltragw.
B 4015
Teil 11
Erdbebenkräfte
Schraubenverbindungen
12
ÖNormen
A
B
Allgemeines
Bauwesen
C
E
Chemie
Elektrotechnik
F
G
Feuerlösch- u.
Rettungswesen
Grundstoffe
H
K
Haustechnik
Krankenhauseinrichtung
L
M
Land- u. Forstwirtschaft
Maschinenbau
O
S
Optik
Sonstige
Normengebiete
V
Z
Verkehrswesen
Arbeitssicherheitstechnik
13
EUROCODE
EC 1
EC 2
EC 3
EC4
Lastannahmen
Stahlbetonkonstr.
Stahlkonstruktion
Verbundbau
EC 5
Grundlagen der stat.
Berechnung
Grundregeln des
Stahlbetonbaues
Holzkonstruktionen
Annahmen über den
Brandwiderstand
Stahlbetonbrücken
Mauerwerksbau
Lastannahmen für
Silos und Tanks
Konstruktionen aus
unbewehrtem Beton
Grundbau
Verkehrslasten von
Straßenbrücken
Leichbeton
Konstruktionen
Bauen in erdbeb.gef. G.
Verkehrslasten von
Eisenbahnbrücken
Vorspannung ohne
Verbund
Aluminiumkonstruktion
Schneelast
Annahmen
Brandsicherheitstechn.
Vorkehrungen
Windlast
Annahmen
.....
EC 6
EC 7
EC 8
EC9
Erddruck, Wasserdr.,
Eisdruck, ...
.....
14
Begriffe: Statik, Bauwerk, Tragwerk, usw. 1
Geschichtliche Entwicklung 2
Normen 3
I. Statik der festen bzw. starren Körper
Grundgesetze (Newton´sche Axiome):
1. Jeder Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen
Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird den
Zustand zu ändern.
2. Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der Kraft proportional, d. h.
Kraft ist Masse mal Beschleunigung F = m * a.
3. Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich. Dieses Reaktionsprinzip
besagt, dass Kräfte immer paarweise auftreten (Aktion = Reaktion).
Die Kraft:
Sie ist eine vektorielle Größe und ist gegeben durch
- Betrag
- Richtungssinn
- Lage der Wirkungslinie
F
R
WL
Eine Kraft, wie die Schwerkraft z.B., kann längs der Wirkungslinie beliebig verschoben
werden. Es ist nur von Interesse zu wissen, wo die Kraft am Körper angreift. Dieser
Punkt wird als Angriffspunkt bezeichnet. Die so genannte Einzelkraft ist nur eine
Idealisierung von Volumskräften und flächenhaft verteilten Kräften. Diese
Idealisierung stimmt aber bei kleinen Angriffsflächen gut mit der Wirklichkeit überein.
VEKTOR „gerichtete Größe“
SKALAR „nicht gerichtete Größe“,
Zahl + Einheit (z.B. 1 kg oder 4 €)
Einheit der Kraft:
1 Newton (N)
1 N ist jene Kraft, die der Masse 1 kg die
Beschleunigung 1 m/s2 erteilt.
15
Gruppen von Kräften nennt man KRAFTSYSTEME.
Wir unterscheiden:
a) ebene Kraftsysteme, (2-D)
b) räumliche Kraftsysteme, (3-D)
Haben alle Kräfte eines Systems ein und denselben Angriffspunkt (die
Wirkungslinien sämtlicher Kräfte gehen durch einen Punkt), so sprechen wir von
einem zentralen Kraftsystem.
Ist das nicht der Fall, so sagen wir es liegt ein allgemeines Kraftsystem vor.
I.1. Kraftsysteme
I.1.1 zentrales ebenes Kraftsystem
grafische Behandlung:
Körper
F1
F1
F2
R
F2
R
Lageplan
Kräfteplan
Kräfteparallelogramm
Krafteck
16
Körper
F1
F1
F2
F4
F2
F3
R
R1,2
F3
R1,2,3
R
F4
Lageplan
Kräfteplan
Kräfteparallelogramm
Krafteck
Bei der Reduktion eines zentralen ebenen Kraftsystems sind zwei Ergebnisse
möglich.
1. Das Kraftsystem reduziert sich auf eine einzelne Kraft, das bedeutet das Krafteck
ist offen.
2.
Das Kraftsystem ist im Gleichgewicht, d.h. Krafteck ist geschlossen R = 0.
Drei Kräfte sind nur dann im Gleichgewicht, wenn sich ihre Wirkungslinien in
einem Punkt schneiden.
rechnerische Behandlung:
Zerlegung von Kräften wird notwendig. Der Ursprung des Koordinatensystems wird
im Schnittpunkt der Kräfte angenommen.
Ein zentrales ebenes Kraftsystem ist im Gleichgewicht wenn, R = 0, das ist dann der
Fall, wenn sowohl Ry als auch Rz Null sind. Die Gleichgewichtsbedingungen lauten
daher
∑F
∑F
iy
=0
iz
=0
17
I.1.2 allgemeines ebenes Kraftsystem
grafische Behandlung:
Es gibt verschiedene Möglichkeiten die Resultierende eines solchen Kraftsystems zu
ermitteln.
1.
Mit Hilfe von Teilresultierenden, diese Methode ist aber nur begrenzt möglich
Körper
F1
F1
F3
F2
F2
R
R
R1,2
2.
F3
Lageplan
Kräfteplan
Kräfteparallelogramm
Krafteck
Mit Hilfe des Seilecks, dazu zeichnet man für die Kräfte Fi das Krafteck aus dem
sich bereits Größe und Richtung von R ergeben. Nun wählt man einen beliebigen
Punkt 0, welcher Pol des Kraftecks genannt wird und zieht von diesen die
Verbindungslinien zu sämtlichen Eckpunkten des Kraftecks. Diese
Verbindungslinien werden Polstrahlen genannt. Nun zeichnet man im Lageplan die
Parallelen zu den Polstrahlen, welche Seilstrahlen heißen nach folgender Regel.
Wenn zwei Polstrahlen im Kräfteplan (Krafteck) eine Kraft einschließen, dann
schneiden sich die Parallelen im Lageplan auf dieser Kraft. Der Schnittpunkt des
ersten und letzten Seilstrahles ist ein Punkt der Wirkungslinie von R. Der
Polygonzug der Seilstrahlen im Lageplan der dabei entsteht wird Seileck4 genannt.
18
Körper
0
Seilstrahlen
F1
F3
Polstrahlen
F1
0
3
1
F2
2
R
F2
1
R
2
Pol
3
F3
Lageplan
Kräfteplan
Seileck – „offen“
Krafteck – „offen“
Körper
Seilstrahlen
Polstrahlen
F2
1
0
2
2
F1
F2
F1
0
Pol
1
Lageplan
Kräfteplan
Seileck – „offen“
Krafteck – „geschlossen“
Körper
0
Seilstrahlen
F1
F3
Polstrahlen
F1
0
3
4
1
F2
F4
2
F2
1
F4
4
2
F3
Pol
3
Lageplan
Kräfteplan
Seileck – „geschlossen“
Krafteck – „geschlossen“
19
Die Reduktion eines allgemeinen ebenen Kraftsystems kann zu folgenden
Ergebnissen führen:
1. Krafteck offen und Seileck offen ergibt eine Resultierende (Einzelkraft)
2. Krafteck geschlossen und Seileck offen ergibt ein Kräftepaar (Drehmoment)
3. Krafteck geschlossen und Seileck geschlossen bedeutet, es herrscht
Gleichgewicht
Eine wichtige Anwendung findet das Seileck bei der graphischen Bestimmung der
5
Auflagerreaktionen und des Momentenverlaufes an einem Biegeträger.
Moment einer Kraft:
Körper
M = F ⋅a
[ Nm ]
S
Moment eines Kräftepaares:
F
M = F ⋅a
a
F
a
[ Nm ]
-F
Kräftepaare die das gleiche Moment haben sind gleichwertig, d.h. das Produkt aus
Kraft mal Abstand bleibt gleich.
F ⋅a = K ⋅b
[ Nm ]
F
a
K
b
-F
-K
Beliebig viele Kräftepaare können durch ein einziges ersetzt werden, dessen
Moment M gleich der algebraischen Summe der Momente Mi der einzelnen
Kräftepaare ist.
n
M 1 + M 2 +...+ M n = ∑ M i = M
i =1
20
rechnerische Behandlung:
Wir wählen einen beliebigen Reduktionspunkt O und machen diesen zum Ursprung
eines Koordinatensystems, dann zerlegen wir sämtliche Kräfte Fn in x und y
Komponenten und denken uns sämtliche Kräfte nach O parallel verschoben.
Das dabei entstehende Moment verschiebt die Resultierende um den Abstand a.
a=
M
R
[ Nm/N ]
oder [ m ]
I.2. Grafische Behandlung
Ermittlung des Kraftecks und das Seileckverfahren sind der Mitschrift zu entnehmen.
Eine große Bedeutung kommt der grafischen Behandlung bei der Ermittlung der
Stabkräfte eines Fachwerks zu (siehe Kapitel I.4 Fachwerke).
21
I.3. Statisch bestimmte Träger
I.3.1 Arten der Auflagerung
- bewegliches Auflager
- festes Auflager
- eingespannte Auflager
I.3.2 Träger auf zwei Stützen
Stabachse
A
B
I.3.2.1 Bestimmung der Auflagerreaktionen
a) grafische Lösung
F
F
B
A
A
B
F2
F1
A
A
0
F1
0
1
S
1
Pol
S
B
F2
B
2
2
S … Schlusslinie
22
b) rechnerische Ermittlung der Auflagerreaktionen
Auflagerreaktionen und Lasten müssen ein Kraftsystem bilden das im Gleichgewicht
ist. Für dieses Kraftsystem müssen daher die drei Gleichgewichtsbedingungen erfüllt
sein.
∑F
∑F
∑M
iy
=0
iz
=0
i
∑H =0
∑V = 0
∑M =0
i
i
= 0
i
Da wir mit Hilfe der drei Gleichgewichtsbedingungen sämtliche unbekannte
Auflagerkräfte bestimmen können, sagen wir - Der Träger ist statisch bestimmt.
I.3.2.2 Die inneren Kräfte ( Schnittkräfte )
F2
F1
A
F3
Stabachse
Schnitt s – s
an der Stelle
x
B
F2
F1
M(x)
N(x)
M(x)
A
Stabachse
x
N ...
V, Q ...
M ...
F3
N(x)
V(x)
Normalkraft
Querkraft
Moment
V(x)
B
sind Schnittkräfte
an der Stelle x(s)
(In Wirklichkeit gibt es keine drei Wirkungen sondern nur eine Einzige).
Ein Moment ist positiv, wenn die Zugfasern unten sind (bei Rahmen innen Zug
ist).
23
I.3.3 Gerberträger (Gelenksträger)
F2
F1
F3
G
Stabachse
A
Stabachse
C
B
∑H
∑V
∑M
∑M
i
= 0
i
= 0
i
G
= 0
= 0
F3
GH
GV
F2
F1
Einhängeträge
r
C
GV
GH
A
Grundträger
B
Durch den Einbau von Gelenken werden die Träger statisch bestimmt! Der Grad der
statischen Unbestimmtheit von Durchlaufträgern entspricht der Anzahl der
Innenstützen (gleich Anzahl der erforderlichen Gelenke).6
24
I.3.4 Dreigelenkbogen/ -rahmen
7
Der Vorteil des Dreigelenkbogens liegt in seiner Unempfindlichkeit gegenüber
Verschiebungen
des
Widerlagers
und
seiner
Zwängungsfreiheit
bei
Wärmeeinwirkungen. Es treten somit keine Zusatzspannungen auf.
F2
G .......... Scheitelgelenk
A, B ..... Kämpfergelenke
G
F3
F1
Ka, Kb ... Kämpferdrücke
l ............ Stützweite
Stabachse
Stabachse
A
B
Ka
Kb
l
N ... wirkt in Richtung der Bogenachse und ist negativ, wenn sie eine Druckkraft ist
V, Q ... wirkt normal zur Bogenachse
M ... positiv, wenn innen Zug ist
I.3.4.1 graphische Behandlung des Dreigelenksbogen
Das dabei entstehende Seileck nennt man Stützlinie. Die Stützlinie8 ist stets gleich der
Wirkungslinie der Resultierenden der am Bogen aufeinander folgenden äußeren
Kräfte. So ergibt sich bei Belastung des Tragwerks mit Einzelkräften ein Polygonzug,
bei verteilter Last eine stetig gekrümmte Kurve.
Bestimmung von M, N und V im Dreigelenkbogen. Das Moment ist positiv, wenn die
Stützlinie oberhalb der Bogenachse verläuft und negativ, wenn sie unterhalb
liegt.
25
Stützlinie
G
F2
A
F1
F1
Stützlinie
Stabachse
Stabachse
F2
B
A
B
Kb
Ka
l
I.3.4.2 rechnerische Behandlung des Dreigelenksbogen
1
A = ⋅ ∑ Fi ⋅ xi ′
l
1
B = ⋅ ∑ Fi ⋅ xi
l
q
Ersatzträger
A
B
q
G
Stabachse
Stabachse
A
B
Ka
Kb
l
A,B,M undV bedeuten Auflager- und Schnittkräfte am Ersatzträger, M, N und V
die Schnittkräfte am Bogen.
26
I.4 Fachwerke
Es gibt ebene und räumliche Fachwerke. Während ein vollwandiger Träger
Biegemomente, Querkräfte und Normalkräfte aufnimmt, treten in den
Fachwerksstäben nur Normalkräfte auf, die als Stabkräfte bezeichnet werden.
Zur Bestimmung der Stabkräfte, betrachten wir das Fachwerk als „ideales“
Fachwerk:
1)
2)
3)
4)
In den Knoten sind die Stäbe mit reibungsfreien Gelenken angeschlossen.
Die Stabachsen sind gerade.
Die Stabanschlüsse sind zentrisch.
Die Belastungen bestehen aus Einzellasten, die nur in den Knoten angreifen.
Unter diesen Voraussetzungen treten in den Stäben nur Normalkräfte ( Zug- und
Druckkräfte ) auf.
Zugkräfte sind positiv
Druckkräfte sind negativ
I.4.1 graphische Behandlung
CREMONA Plan
(gezeichneter Rundschnitt)
F1
F2
O1
D1
D2
D4
D1
D3
U1
F1
S
U1
D2
U2
D3
A
D5
D6
0
A
D5
O1
U2
1
Pol
B
F2
D4
D6
2
B
3,0
1,5
1,5
27
-
Fachwerk muss statisch bestimmt sein (innerlich und Äußerlich)
Stäbe bezeichnen (O1,O2,...,U1,U2,...,V1,V2,...,D1,D2,...)
Umlaufsinn wählen
Nullstäbe suchen und anschreiben
Äußeres Gleichgewicht herstellen (ΣH = 0, ΣV = 0, ΣM = 0)
Kräftemaßstab wählen
Jeden Knoten graphisch ins Gleichgewicht setzen
(nur immer 2 Stabkräfte dürfen unbekannt sein)
Sind alle Stabkräfte an die Reihe gekommen, so muss sich der Cremona Plan
schließen.
Ist das Fachwerk symmetrisch und ebenso die Belastung, so ist auch der Cremona
Plan symmetrisch und es genügt daher den halben Plan zu zeichnen.
CULMANN
Das graphische Verfahren nach Culmann9 bietet gegenüber dem Cremona Plan den
Vorteil, dass sich damit auch einzelne Stabkräfte bestimmen lassen.
Culmann´sche Hilfsgerade
R
F1
O1
0
F4
O2
Pol
D2
U2
D2
D1
1
R
F2
2
O2
U1
A
F1
A
F2
U2
F3
B
Schnitt s – s
an der Stelle
x
-
Fachwerk muss statisch bestimmt sein (innerlich und Äußerlich)
Stäbe bezeichnen (O1,O2,...,U1,U2,...,V1,V2,...,D1,D2,...)
Dreistäbeschnitt durchführen
Teilsystem ins Gleichgewicht setzen – reslutierende Kraft R bestimmen
R und eine Stabkraft (Obergurtkraft) zum Schnitt bringen
Culmann´sche Hilfsgerade einzeichnen und Stabkräfte bestimmen
I.4.2 rechnerische Behandlung
28
Verfahren nach Ritter:
Wir denken uns einen Schnitt s-s geführt und setzen die Momentengleichung um
die Ritterpunkte r (Momentenbezugspunkt) an.
F3
O2
F2
F1
O1
r2
D2
V1
D1
r3
U1
A
D3
V2
U2
U3
r1
B
Schnitt s – s
an der Stelle
x
Versagen der Rittermethode:
Das Ritterverfahren versagt, wenn die mit dem zu berechnenden Stab
mitgeschnittenen Stäbe parallel sind (Ritterpunkt liegt im ∞).
F1
F2
O1
r3
∞
F3
V2
V1
D1
U1
A
r2
O2
V3
O3
D3
D2
U2
r1
U3
Schnitt s – s
an der Stelle
x
Rundschnittverfahren:
29
Man denkt sich einen Knoten heraus geschnitten und wendet auf sämtliche an ihm
angreifenden äußeren Kräfte und Stabkräfte die Gleichgewichtsbedingungen des
zentralen Kraftsystems an (es dürfen nur zwei unbekannte Stabkräfte vorhanden
sein).
Parallelträger bei lotrechter Belastung:
F
F
F
F
F
F
F
M n +1
h
Mn
U =
h
Q
D =
s in ϕ
V = −Q
O = −
h
A
B
l
[ Q ], [ V ]
n-1
n
n+1
[M]
Das Moment ist immer an jener Stelle zu nehmen, wo der zugehörige Ritterpunkt
liegt. Q ist in jenem Feld des Ersatzbalkens zu nehmen, wo der Dreistäbeschnitt den
Lastgurt (der belastete Gurt) schneidet. Für D und V der rechten Seite sind die
Vorzeichen von Q umzukehren.
Die Oben angegebenen Vorzeichen (für D und V) gelten, wenn die Diagonalen zur
Mitte hin fallend sind. Wenn die Diagonalen zur Mitte hin ansteigen sind die
Vorzeichen umzukehren. Diagonalen die zur Mitte hin fallen, sind bei symmetrischer
Belastung Zugstäbe.
30
I.5 Ermittlung statischer Bestimmtheit
a) Abzählkriterien10
n = ( a + e *s ) - ( b * k + g )
Allgemeine Form
mit a + e * s : Spaltenzahl von b* gleich Anzahl der Unbekannten
a ... Summe der möglichen Auflagerreaktionen
e ... Unabhängige Stabendkraftgrößen je Stabelement
s ... Summe aller Stabelemente zwischen k Knotenpunkten
b * k + g : Zeilenzahl von b* gleich Anzahl der Bestimmungsgleichungen
b ... Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen je Knoten
k ... Summe aller Knotenpunkte einschließlich Auflagerknoten
g ... Summe aller Nebenbedingungen (ohne Auflagerknoten)
Sonderformen des Abzählkriteriums :
Allgemeine Stabwerke
ebene
räumliche
e=3 b=3
e=6 b=6
F2
F1
A
n = a+3*(s-k)-g
n = a+6*(s-k)-g
G
Stabachse
F3
Stabachse
B
C
n = 4+3*(3-4)-1 = 0
(statisch bestimmt!)
Ideale Fachwerke ohne Nebenbedingungen
31
ebene
räumliche
e=1 b=2
e=1 b=3
n = a + s - 2k
n = a + s - 3k
n = 3 + 17 - 2 * 10 = 0
(statisch bestimmt!)
A
B
b) Aufschneiden bis System statisch bestimmt ist:
Dieses Verfahren kommt vor allen bei hochgradig statisch unbestimmten Systemen
zur Anwendung, da wir uns das langwierige Abzählen der Stäbe und Knoten
ersparen. Pendelstäbe werden zuerst herausgeschnitten, dann die übrigen
überzähligen Stäbe bzw. Auflagerreaktionen. Die Summe der dadurch entstandenen
Schnittgrößen M, N und V bzw. Q ergibt den Grad der statischen Unbestimmtheit.
F2
M 1 F1
A
M2
Stabachse
F3
Stabachse
B
C
n = M1 + M2 = 2
(2-fach statisch unbestimmt!)
32
I.6 Statische Berechnung
1
Lastaufstellung
Hier muss nach den Belastungsannahmen lt. ÖNormen vorgegangen werden.
Eigenlasten von Baustoffen und Bauteilen, eventuell Lagergüter, Nutzlasten im
Hochbau, Schnee- und Eislasten, Statische Windkräfte und Erdbebenkräfte
2
Wahl des statischen Systems
Statisch bestimmt oder unbestimmt, Vor- und Nachteile des jeweiligen Systems, wo
sind bewegliche Auflager erforderlich bzw. zwingend anzubringen und wo ist eine
Einspannung von Vorteil. Begründen sie immer ihre Wahl des statischen Systems
z.B. statisch bestimmtes System, da der Aufwand zur Berechnung des Systems
geringer ist und somit Zeit und Geld spart.
3
Ermittlung der Kräfte und Schnittgrößen
Bei statisch bestimmten Systemen kaum ein Problem. Hingegen bei statisch
unbestimmten Systemen muss zuerst die Entscheidung getroffen werden, welches
Berechnungsverfahren am günstigsten ist (Winkler, Cross, Clapeyron, Kraftgrößenverfahren bzw. Deformationsmethode,...).
4
Bemessung des Tragwerkes ( Festigkeitslehre Voraussetzung )
Dieser Punkt setzt die Kenntnis der Festigkeitslehre voraus (Schwerpunkt, statisches
Moment, Widerstandsmoment, Trägheitsmoment, Deviationsmoment, ...). Die
Bemessung erfolgt meist mit den Werkstoffen Stahl, Holz und Stahlbeton
33
I.7 Statisch unbestimmte Systeme
I.7.1 Winkler
siehe Vortag und Bautabellenbau (Ausgabe 2004/05) S 118 ff
I.7.2 Clapeyron (Dreimomentengleichung)
Kommt meist bei Durchlaufträgern zur Anwendung. Bei sehr langen Durchlaufträgern
empfiehlt es sich das feste Auflager in der Mitte anzuordnen. Es wird davon
ausgegangen, daß der Träger ein konstantes Trägheitsmoment besitzt. Dies ist
allerdings nur für die Berechnung der Schnittgrößen zulässig, nicht für die Ermittlung
der Durchbiegung an einem bestimmten Punkt. Durch diesen Sonderfall wird aus der
Dreimomentengleichung die Clapeyronsche Gleichung.11
q2
F1
q1
Stabachse
A
Stabachse
C
B
Mm
Ml
l
Mr
lr
li ⋅ M i −1 + 2 ⋅ (li + li +1 ) ⋅ M i + li +1 ⋅ M i +1 = −6 ⋅ ( Bi + Ai +1 )
ll
l
⋅ ( M l + 2 ⋅ Ψl ⋅ M m + Rl ) + r ⋅ (2 ⋅ Ψr ⋅ M m + M r + Lr ) = 0
Il
Ir
(M
l
+ 2 ⋅ M m + Rl ) ⋅ ll + (2 ⋅ M m + M r + Lr ) ⋅ lr = 0
34
I.7.3 CROSS, Iterationsverfahren
Das Momentenausgleichsverfahren nach Cross12 ist ein Iterationsverfahren.
Zunächst werden dabei alle Knotenpunkte unverdrehbar (eingespannt) festgehalten
gedacht und hierfür die Volleinspannmomente bestimmt. Nunmehr wird dieses
Momentenbild dadurch verbessert, daß nacheinander immer nur ein Knoten
„losgelassen“ wird, wodurch an ihm ein Restmoment frei wird, welches sich
entsprechend der Steifigkeit der einzelnen Stäbe des Knotens auf diese verteilt und
zu den benachbarten Knoten überträgt.
Dieser Vorgang wird von Knoten zu Knoten fortschreitend so lange wiederholt, bis
sich an allen Knoten die Momente ausgeglichen haben und ΣM = 0.
Wir unterscheiden zwei Tragwerksarten
verschiebliche und unverschiebliche
Stabsteifigkeit ki:
ki =
Ii
li
ki ′ =
0,75 ⋅ I i
3
⋅ ki =
4
li
Knotensteifigkeit:
Knotensteifigkeit ist die Summe der Stabsteifigkeiten die in einem Knotenende
zusammentreffen.
n
k N = ∑ ki
i =1
Ausgleichsbeiwert:
Unter dem Ausgleichs- oder Verteilungsbeiwert versteht man das negative Verhältnis
der Stabsteifigkeit zu der Knotensteifigkeit.
α =
∑α
− ki
− ki
=
k
∑ i kN
= −1
35
Vorgehensweise bei der Berechnung:
Volleinspannmomente unter Beachtung der Vorzeichen
Stabsteifigkeiten ermitteln
Knotensteifigkeiten ermitteln
Verteilungszahlen (Ausgleichsbeiwerte) bestimmen
Übertragungsziffern (Fortleitungszahlen) bestimmen.
Der Ausgleich wird an einer Systemskizze durchgeführt. Der Ausgleich beginnt am
Knoten mit dem größten Restmoment ∆M´. Berechnen der Ausgleichsmomente
∆M = α * ∆MN´, Eintragung unter die Volleinspannmomente und Unterstreichung
(grün). Berechnung der Übertragungsmomente M“ und in der Systemskizze an
den benachbarten Knoten anschreiben (blau unterstrichen).
7) Der gleiche Vorgang wird nun mehr an den Knoten mit dem nächst größeren
Moment wiederholt. Bei einem Nachbarknoten kommen die Übertragungsmomente zu den Volleinspannmomenten hinzu. Ausgleich solange bis die
Restmomente vernachlässigbar klein sind.
8) Berechnung der endgültigen Knotenmomente durch Addition der Volleispannmomente, der Ausgleichsmomente und der Übertragungsmomente.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Vorzeichenregelung nach CROSS:
Ml
+
Mr
–
Hinweise für die Berechnung symmetrischer Tragwerke
Ersatzsteifigkeiten13
36
37
I.7.4 Kraftgrößenmethode
Die Kraftgrößenmethode erlaubt eine umfassende Ermittlung der Auflager- und
Schnittgrößen eines statisch unbestimmten Systems.
Das statisch bestimmte Grundsystem wird erhalten durch Lösen von n Bindungen
(z.B. Lösen einer Auflagerreaktion, Einführen eines Gelenks) und Wahl von n
statisch Unbestimmten X1, X2,…Xn (Kraftgrößen).
Im statisch unbestimmten System sind die statisch unbestimmten Größen Xi von null
verschieden und die Verschiebungen und Verdrehungen δik ihrer Angriffspunkte
gleich null.
Im zugehörigen Grundsystem sind die statisch unbestimmten Größen gleich null und
die Verschiebungen und Verdrehungen ihrer Angriffspunkte von null verschieden.
einfach statisch unbestimmt:
δ10 + X1 * δ11 = 0
mehrfach statisch unbestimmt:
δ10 + X1 * δ11 + X2 * δ12 + X3 * δ13 + … + Xn * δ1n = 0
δ20 + X1 * δ21 + X2 * δ22 + X3 * δ23 + … + Xn * δ2n = 0
δ30 + X1 * δ31 + X2 * δ32 + X3 * δ33 + … + Xn * δ3n = 0
…
δn0 + X1 * δn1 + X2 * δn2 + X3 * δn3 + … + Xn * δnn = 0
in Matrizenform:
δ 11 δ 12
δ
 21 δ 22
δ 31 δ 32

 ... ...
δ n1 δ n 2
δ 13 ... δ 1n   X 1  δ 10  0
δ 23 ... δ 2 n   X 2  δ 20  0
     
δ 33 ... δ 3n  ⋅  X 3  + δ 30  = 0
...
δ n3

... ... 
... δ nn 
 ... 
 
 X n 
 ... 
 
δ n 0 
0
 
0
der erst Index gibt immer den Ort, an dem die Größe wirkt, und der zweite Index die
Ursache an.
Prinzip der virtuellen Arbeit
δ ik =
1
E ⋅ Jc
J

J
κ ⋅ E ⋅ Jc
⋅  c ⋅ ∫ M i ⋅ M k ⋅ dx + c ⋅ ∫ N i ⋅ N k ⋅ dx +
⋅ ∫ Qi ⋅ Qk ⋅ dx 
A l
G⋅ A l
J l

q2
38
q1
MA
F2
Stabachse
AH
Stabachse
A
B
a
C
b
l1
l2
[ M0 ]
A0
B0
C0
M1
[ M1 ]
A1
B1
M2
C1
M2
[ M2 ]
A2
B2
C2
MA
[M]
AH
AV
B
C
39
II. Festigkeitslehre
II.1. Einführung, Allgemeines
Die Festigkeitslehre liefert die Grundlagen für die Bemessung der einzelnen Bauteile
technischer Konstruktionen. Sie basiert neben praktischen Erfahrungen auf der
mathematischen Elastizitätslehre.
Das einfachste Elastizitätsgesetz ist die Annahme, dass zwischen den Spannungen
und Formänderungen ein linearer Zusammenhang besteht. Unter einer Spannung
versteht man die auf eine Flächeneinheit bezogene Kraft [ kN/cm2 ] bzw. [ N/mm2 ].
Die Beanspruchungsarten sind:
Zug
Druck
Biegung
Abscherung
Torsion
Knickung
Spannungsarten:
σ
τ
σ ... Normalspannung
τ ... Schubspannung
σ entsteht bei Zug, Druck, Biegung und Knickung
τ entsteht bei Abscherung und Torsion
Spannungsverteilung:
Bei Zug- und Druckbeanspruchungen verteilen sich die Spannungen gleichmäßig über den
Querschnitt. Bei Biegung treten Zug- und Druckspannungen mit einer linearen
Verteilung auf.
Beim Ausknicken treten im Wesentlichen Druckspannungen auf. Das Knickproblem
ist jedoch kein Spannungsproblem, sondern ein Stabilitätsproblem!!!
40
II.2. Elastizitätstheorie
Jede Krafteinwirkung auf einen Körper hat Spannungen und somit auch
Verformungen zur Folge. Bei Zug- und Druckbeanspruchungen entsteht eine
Längenänderung. Das Verhältnis dieser Längenänderung zur ursprünglichen Länge
lo bezeichnen wir als spezifische Längenänderung.
∆l
=ε
lo
∆d
= εq
d
εq
= µ
ε
… spezifische Längenänderung [ - ]
µ ... Querkontraktionszahl [ - ]
µStahl = 0.333333
mStahl = 1/µ = 3.0 (Poisson´sche Zahl)
µBeton = 0.11111 bis µBeton = 0.166666 mBeton = 9.0 bis 6.0
wieder verschwindende Verformung
bleibende Verformung
-
elastische Längenänderung
plastische Längenänderung
Es gelten das Hooke´sche Gesetz und die Bernoulli Hypothese d.h. es besteht ein
linearer Zusammenhang zwischen Dehnungen und Spannungen (Hooke, Werkstoff
verhält sich linear elastisch) sowie das Ebenbleiben der Querschnitte (Bernoulli).
Weiters wird angenommen, dass
-
Der Träger stabförmig ist (Querschnittsabmessungen sind klein gegenüber
der Länge)
Die auftretenden Formänderungen sind vernachlässigbar klein (sie bleiben
ohne Einfluss auf das Gleichgewicht d. äußeren Kräfte) - Theorie 1. Ordnung
Die Stabachse ist gerade. Der Querschnitt ist mindestens einfach
symmetrisch und ändert sich längs der Stabachse nicht sprunghaft.
Der Werkstoff homogen (und isotrop) ist.
41
Einaxialer Zugversuch:
Werkstoff: Stahl
gesucht: Arbeitslinie bzw. Spannungs- Dehnungsbeziehung
σ
σb
σb ... Bruchgrenze
σs ... Streckgrenze
σs
σe
σp
(Fließgrenze σf)
σe ... Elastizitätsgrenze
σp ... Proportionalitätsgrenze
Stahl
α
tan α = E
ε
σ
Beton
Holz
ε
2‰
σ = f (ε )
(Geradengleichung)
σ = E ⋅ε
E ... Elastizitätsmodul ( = Werkstoffkonstante)
E=
σ
ε
[ kN/cm2 ] bzw. [N/mm2 ]
G ... Schubmodul
G=
Holz:
E
2 ⋅ (1 + µ )
[ kN/cm2 ] bzw. [N/mm2 ]
Stahl:
E = 800 - 1550 [ kN/cm2 ] E = 20600 [ kN/cm2 ]
G = 50 - 70 [ kN/cm2 ]
G = 8000 [ kN/cm2 ]
Beton:
Ec = 2600 - 3700 [ kN/cm2 ]
G = 1000 - 1900 [ kN/cm2 ]
42
II.3. Bemessungsverfahren
II.3.1 Geometrisch bedingte Größen14
II.3.1.1
Schwerpunkt
z
Fläche A
yi
∆Ai
Σ(∆Ai*yi) = A*ys
ys = Σ(∆Ai*yi)/A
zi
y
zs = Σ(∆Ai*zi)/A
Die Summe der Momente der Teilflächen ∆Ai in Bezug auf die y-Achse ist gleich
dem Moment der Gesamtfläche mal dem Schwerpunktsabstand zur y-Achse. Das
gleiche gilt für die z-Achse. Der Schwerpunktsabstand ist das jeweilige statische
Moment (Sy bzw. Sz) durch die Gesamtfläche A.
II.3.1.2
Trägheitsmoment
z
Fläche A
yi
∆Ai
zi
Σ(∆Ai*zi2) = Iy = ∫z2dA
[ cm4 ]
Σ(∆Ai*yi2) = Iz = ∫y2dA
[ cm4 ]
y
Das Trägheitsmoment Ia in Bezug auf die Achse a ist somit die Summe aller
Produkte der Flächenelemente ∆A mit dem Quadrat ihres Normalabstandes ra zur
Achse a. Das Trägheitsmoment ist ein Maß für den Widerstand das der Querschnitt
dem Moment entgegensetzt.
43
z
b⋅h
→ Re chteck
12
h ⋅ b3
Iz =
→ Re chteck
12
3
Iy =
y
z
I =
π ⋅d4
64
→ Kreis
y
Wenn das Trägheitsmoment um eine Achse, die nicht durch den Schwerpunkt der
Fläche geht, gesucht wird, kommt der Satz von Steiner zur Anwendung.
Fläche A
∆Ai
zi
yi
Ia = Is + A*e2
S
e
a
II.3.1.3
Trägheitsradius
2
A⋅iy = I y
Fläche A
iy
A
S
y
iy =
Iy
A
Unter dem Trägheitsradius verstehen wir jenen Abstand i vom Schwerpunkt S indem
ich mir die Gesamtfläche in einem Punkt vereinigt denken kann, so dass Fläche mal
Abstand zum Quadrat (A*i2) das Trägheitsmoment I ergibt.
44
II.3.1.4
Polares Trägheitsmoment
z
∆Ai
Ip = ∫(y2 + z2)dA = ∫r2dA
zi
y
yi
II.3.1.5
Ip = Iy + Iz
Deviationsmoment (Zentrifugalmoment)
z
∆Ai
Iyz = ∫yzdA
zi
y
yi
Iyz = Izy
Wird das Deviationsmoment zu Null, dann sind die y und z Achsen, die senkrecht
aufeinander stehen, die Hauptträgheitsachsen und Iy und Iz die so genannten
Hauptträgheitsmomente.
Symmetrieachsen sind immer Hauptträgheitsachsen!
II.3.1.6
Widerstandsmoment
Auch bei symmetrischen Querschnitten darf das Widerstandsmoment nicht über die
Differenz der beiden Widerstandsmomente gerechnet werden!
z
z
b ⋅ h2
→ Re chteck
6
h ⋅ b2
→ Re chteck
Wz =
6
Wy =
zo
S
y
y
yl
z
yr
zu
W =
π ⋅d3
32
→ Kreis
y
45
II.3.2 Spannungsnachweise
II.3.2.1
Normal- und Schubspannung
σ = E ⋅ε → σ =
∆l =
N
A
N ⋅l
E⋅A
τ = G ⋅γ →τ =
N
Aa
∆l = α ⋅ ∆t ⋅ l
II.3.2.2
Einaxiale Biegespannung
σ=
My
Iy
σ max =
II.3.2.3
⋅z
My
Iy
⋅ z max =
My
Wy
→ σ max =
M max
Wmin
Zweiaxiale Biegespannung
Wir zerlegen dazu das angreifende Moment in die Komponenten My und Mz. (Bei
einem Kreisquerschnitt gibt es keine schiefe Biegung, da die Momentenebene immer
in einer Hauptachse liegt.)
My = M * cos α
Mz = M * sin α
z
σ y, z =
M
Mz
α
My
My
Iy
⋅z+
Mz
⋅y
Iz
y
My
M 
σ max = ±
+ z

W
 y Wz 
46
II.3.2.4
II.3.2.5
Einaxiale Biegespannung und Normalspannung (exzentrischer Kraftangriff)
e=
M
N
σ=
N My
N My
±
⋅ z → σ max = ±
A Iy
A Wy
Zweiaxiale Biegespannung und Normalspannung
Der Kraftangriffspunkt liegt nicht auf einer Hauptachse.
σ y, z =
M
N My
±
⋅z± z ⋅y
A Iy
Iz
σ max =
N My Mz
±
±
A W y Wz
My = N * z
Mz = N * y
Gleichung der Nullinie:
σ y, z =
II.3.2.6
M
N My
±
⋅z± z ⋅y =0
A Iy
Iz
Kernfläche eines Querschnittes
Die Kenntnis der Kernfläche15 ist wichtig bei Baustoffen, die nicht auf Zug
beansprucht werden dürfen (z.B. Boden, Mauerwerk,…).
z
y
z
k=
h
→ Re chteck
6
k=
d
→ Kreis
8
y
47
II.3.2.7
Versagen der Zugzone
16
Kraftangriff erfolgt auf einer Hauptachse:
N=
σ ⋅3⋅c ⋅b
2
∑M = 0, ∑V = 0
σ=
2⋅ N
3⋅c ⋅b
Kraftangriff erfolgt nicht auf einer Hauptachse:
r
ry 
µ = f  x , 
a b
σ max = µ ⋅
II.3.2.8
N
a ⋅b
Schubspannung
Schubspannungen treten nur auf, wenn der Momentenverlauf veränderlich ist. In
Wirklichkeit wirken keine Einzelspannungen, sondern nur eine Hauptspannung σ.
Diese Hauptspannung kann in eine Normal- und eine Schubspannungskomponente
(Hilfs- bzw. Rechengrößen) zerlegt werden.
τ=
Q⋅ Sy
I y ⋅b
Sy = ∆A * zs
Sy ist das statische Moment des oberhalb bzw. unterhalb von a-a liegenden Teiles
der Querschnittsfläche in Bezug auf die horizontale Schwerachse.
τ max =
3⋅ Q
2⋅ A
τ max =
τ =
4⋅Q
3⋅ A
Q
ASteg
→
→
→
Rechteck
Kreis
I - Träger
48
II.3.3 Stabilitätsnachweis (Knickung)17
Diese Verformung wird verursacht durch unvermeidliche Exzentrizitäten des
Lastangriffes, durch kleine Abweichungen der Stabachse von der Geraden und
schließlich durch Ungleichmäßigkeiten des Materials.
Nk =
π2 ⋅E⋅I
lk
σ=
2
... kritische Last
π2 ⋅E
lk 2
i2
=
π2 ⋅E
λ2
lk ... Knicklänge
Hyperbelgleichung
49
Knickspannungen für Holz
II.3.3.1
Knicken
Stahl:
σ vorh =
II.3.3.2
Holz:
N
≤ σ k , zul
A
σ vorh =
ω⋅N
A
≤ σ d , zul
Biegeknicken
Stahl:
σ vorh =
Knickspannungen für Stahl
Holz:
σ zul ⋅ N
M
+ 0,9 ⋅
≤ σ zul
σ k , zul ⋅ A
WD
σ vorh =
ω⋅N
A
+
σ DII , zul M
⋅
≤ σ D , zul
σ B , zul W
50
II.3.4 Gebrauchstauglichkeitsnachweis (Biegelinie)18
Verformungen/Verschiebungen:
Dehnung, Stauchung, Wärmeausdehnung, Durchbiegung, Verdrehung
Wir setzen voraus, dass der Balken im Verhältnis zu seiner Länge dünn sei. Die
Wirkung der Querkräfte gegenüber der der Biegemomente ist vernachlässigbar klein
(das trifft bei kleinen Stützweiten nicht zu). Siehe auch Bautabellenbuch S 93 ff.
Beispiele:
F
x
F ⋅ l3
η=
6⋅ E ⋅ I
 x  3

x
  − 3 ⋅ + 2 
l

 l 
η
l
f =
q
x
F ⋅ l3
→x=0
3⋅ E ⋅ I
q ⋅ l4
η=
24 ⋅ E ⋅ I
 x  4

x
  − 4 ⋅ + 3
l

 l 
η
l
f =
q
q ⋅ l4
→x=0
8⋅ E ⋅ I
q ⋅l4
η=
24 ⋅ E ⋅ I
x
η
l
f =
3
 x  4
 x
  − 2 ⋅   +
l
 l 
x

l 
5⋅ q ⋅ l4
l
→x=
384 ⋅ E ⋅ I
2
51
II.3.5 Torsion19
ϑ=
MT
..... spezifisch er .Drehwinkel
G ⋅ IT
ϕT = ϑ ⋅ l =
II.3.5.1
τ max =
Stäbe mit Kreisquerschnitt
M T ⋅ 32
π ⋅d3
II.3.5.2
ϑ=
Rechecksquerschnitt
MT
G ⋅ η1 ⋅ b 3 ⋅ h
τ max =
MT
η2 ⋅ b2 ⋅ h
II.3.5.4
II.3.5.3
ϑ=
η3
3
τ max =
M T ⋅ bmax
IT
⋅ ∑ bi ⋅ hi
3
Allgemein: (Bredt´sche Formel)
MT
3
2 ⋅ π ⋅ G ⋅ rm ⋅ t
MT
2
2 ⋅ π ⋅ rm ⋅ t
II.3.5.5
MT
G ⋅ IT
IT =
ϑ=
τ=
Dünnwandige Walzprofile
Dünnwandige Hohlquerschnitte
rundes Rohr:
ϑ=
MTl
....Verdrehung
G ⋅ IT
MT
MT
τ=
2
2 ⋅ t ⋅ Am
4 ⋅ Am
G⋅
ds
∫ b(s )
Dünnwandiger Kastenquerschnitt
Allgemein:
Quadrat:
ϑ=
 s1 s2 
MT
 + 
2
2 
2 ⋅ G ⋅ s1 ⋅ s2  t1 t 2 
ϑ=
MT
3
G ⋅ (a − t ) ⋅ t
τi =
MT
2 ⋅ ti ⋅ s1 ⋅ s2
τ=
MT
2
2 ⋅ t ⋅ (a − t )
52
I.7.4 Kraftgrößenmethode
Die Kraftgrößenmethode erlaubt eine umfassende Ermittlung der Auflager- und
Schnittgrößen eines statisch unbestimmten Systems.
Das statisch bestimmte Grundsystem wird erhalten durch Lösen von n Bindungen
(z.B. Lösen einer Auflagerreaktion, Einführen eines Gelenks) und Wahl von n
statisch Unbestimmten X1, X2,…Xn (Kraftgrößen).
Im statisch unbestimmten System sind die statisch unbestimmten Größen Xi von null
verschieden und die Verschiebungen und Verdrehungen δik ihrer Angriffspunkte
gleich null.
Im zugehörigen Grundsystem sind die statisch unbestimmten Größen gleich null und
die Verschiebungen und Verdrehungen ihrer Angriffspunkte von null verschieden.
einfach statisch unbestimmt:
δ10 + X1 * δ11 = 0
mehrfach statisch unbestimmt:
δ10 + X1 * δ11 + X2 * δ12 + X3 * δ13 + … + Xn * δ1n = 0
δ20 + X1 * δ21 + X2 * δ22 + X3 * δ23 + … + Xn * δ2n = 0
δ30 + X1 * δ31 + X2 * δ32 + X3 * δ33 + … + Xn * δ3n = 0
…
δn0 + X1 * δn1 + X2 * δn2 + X3 * δn3 + … + Xn * δnn = 0
in Matrizenform:
δ 11 δ 12
δ
 21 δ 22
δ 31 δ 32

 ... ...
δ n1 δ n 2
δ 13 ... δ 1n   X 1  δ 10  0
δ 23 ... δ 2 n   X 2  δ 20  0
     
δ 33 ... δ 3n  ⋅  X 3  + δ 30  = 0
...
δ n3

... ... 
... δ nn 
 ... 
 
 X n 
 ... 
 
δ n 0 
0
 
0
der erst Index gibt immer den Ort, an dem die Größe wirkt, und der zweite Index die
Ursache an.
Prinzip der virtuellen Arbeit
δ ik =
1
E ⋅ Jc
J

J
κ ⋅ Jc
⋅  c ⋅ ∫ M i ⋅ M k ⋅ dx + c ⋅ ∫ N i ⋅ N k ⋅ dx +
⋅ ∫ Qi ⋅ Qk ⋅ dx 
G⋅A l
A l
 J l

53
Beispiel:
55 kN
26 kN/m
MA
Stabachse
AH
Stabachse
A
B
5,2
C
1,5
6,7
5,1
Statisch bestimmtes Grundsystem
Feld 1
41 kN/m
„0“
ΣH = 0
A0H = 0
ΣV = 0
A0qV = q*l/2 = 26 * 6,7 / 2 = 87,10 kN
B0ql = q*l/2 = 26 * 6,7 / 2 = 87,10 kN
A0FV = F*b/l = 55 * 1,5 / 6,7 = 12,3134 kN
B0Fl = F*a/l = 55 * 5,2 / 6,7 = 42,6866 kN
ΣM = 0
M0q = q*l²/8 = 26 * 6,7² / 8 = 145,8925 kNm
M0F = F*a*b/l = 55 * 5,2 * 1,5 / 6,7 = 64,0299 kNm
Feld 2
ΣH = 0
A0H = 0
ΣV = 0
B0qr = q*l/2 = 41 * 5,1 / 2 = 104,55 kN
C0ql = q*l/2 = 41 * 5,1 / 2 = 104,55 kN
ΣM = 0
M0q = q*l²/8 = 41 * 5,1² / 8 = 133,3013 kNm
101,4000 kNm
[ M0 ]
A0
145,8925
kNm
41,2500 kNm
B0
133,3013 kNm
C0
64,0299 kNm
54
-104,55 kN
-87,10 kN
[ V0 ]
87,10 kN
104,55 kN
A0
B0
C0
-42,6866
kN
12,3134 kN
[ N0 ]
0,00 kN
0,00 kN
A0
Statisch bestimmtes System
Feld 1
B0
C0
„1“
ΣH = 0
A1H = 0
ΣV = 0
A1MV = -M1/l = -1 / 6,7 = -0,14925 kN
B1Ml = M1/l = 1 / 6,7 = 0,14925 kN
ΣM = 0
M1M = M1 = 1,00 kNm
Feld 2
ΣH = 0
A1H = 0
ΣV = 0
B1Mr = 0,00 kN
C1Ml = 0,00 kN
ΣM = 0
M1M = 0,00 kNm
55
M1
[ M1 ]
A1
B1
-0,14925 kN
C1
-0,14925 kN
[ V1 ]
A1
B1
C1
[ N1 ]
0,00 kN
0,00 kN
A1
Statisch bestimmtes System
Feld 1
B1
C1
„2“
ΣH = 0
A2H = 0
ΣV = 0
A2MV = M2/l = -1 / 6,7 = 0,14925 kN
B2Ml = -M2/l = 1 / 6,7 = -0,14925 kN
ΣM = 0
M2M = M2 = 1,00 kNm
Feld 2
ΣH = 0
A2H = 0
ΣV = 0
B2Mr = -M2/l = -1 / 5,1 = -0,19608 kN
C2Ml = M2/l = -1 / 5,1 = 0,19608 kN
56
ΣM = 0
M2M = M2 = 1,00 kNm
M2
M2
[ M2 ]
A2
B2
C2
-0,19608 kN
-0,19608 kN
[ V2 ]
0,14925 kN
0,14925 kN
A2
B2
C2
[ N2 ]
0,00 kN
A2
0,00 kN
B2
Berechnung der statisch Unbestimmten
C2
„X1“ und „X2“
-4
EI/EA = 13670 / 97,3 * 10 = 0,0140493 m²
-4
EI/GAV = 20600 * 13670 / (8000 * 0,7485 * 97,3) * 10 = 0,0483327 m²
δ11 = 1/EI * (1/3 * 1 * 1 * 6,7 + EI/EA * 0 + EI/GAV * (-0,14925)² * 6,7) = 2,240547 * 1/EI
δ12 = 1/EI * (1/6 * 1 * 1 * 6,7 + EI/EA * 0 + EI/GAV * (-0,14925) * 0,14925 * 6,7) =
1,109453 * 1/EI
δ22 = 1/EI * (1/3 * 1 * 1 * 6,7 + 1/3 * 1 * 1 * 5,1 + EI/EA * 0 + EI/GAV * (-0,14925)² * 6,7) =
3,950024 * 1/EI
57
δ10 = 1/EI * (1/3 * 1 * 145,8925 * 6,7 + 1/6 * 1 * 64,0299 * (1 + 0,22388) * 5,1 +
EI/EA * 0 + EI/GAV * (12,3134 * (-0,14925) * 5,2 + (-42,6866) * (-0,14925) * 1,5 +
1/2 * 174,2 * (-0,14925) * 6,7 + (-87,1) * (-0,14925) * 6,7)) = 413,3341 * 1/EI
δ20 = 1/EI * (1/3 * 1 * 145,8925 * 6,7 + 1/6 * 1 * 64,0299 * (1 + 0,22388) * 5,1 +
EI/EA * 0 + EI/GAV * (12,3134 * 0,14925 * 5,2 + (-42,6866) * 0,14925 * 1,5 +
1/2 * 174,2 * 0,14925 * 6,7 + (-87,1) * 0,14925 * 6,7 +
1/2 * 209,1 * (-0,19608) * 5,1 + (-104,55) * (-0,19608) * 5,1)) = 679,43139 * 1/EI
δ10 + X1 * δ11 + X2 * δ12 = 0
δ20 + X1 * δ21 + X2 * δ22 = 0
X1 = -115,34908
X2 = -139,60852
2 – fach statisch unbestimmtes System
A0H + X1 * A1H + X2 * A2H = 0
A0V + X1 * A1V + X2 * A2V = 99,4134 + (-115,34908) * (-0,14925) * (-139,60852) * 0,14925 =
95,79 kN
B0 + X1 * B1 + X2 * B2 = 234,3366 + (-115,34908) * 0,14925 * (-139,60852) * (-0,34533) =
265,33 kN
C0 + X1 * C1 + X2 * C2 = 104,55 + (-115,34908) * 0 * (-139,60852) * 0,19608 = 77,18 kN
M0A + X1 * M1A + X2 * M2A = 0 + (-115,34908) * 1 * (-139,60852) * 0 = -115,35 kNm
M0B + X1 * M1B + X2 * M2B = 0 + (-115,34908) * 0 * (-139,60852) * 1 = -139,61 kNm
MA
-139,61 kNm
-115,35 kNm
[M]
AH
AV
59,66 kNm
31,25 kNm
B
63,50 kNm
C
-133,41 kN
77,18 kN
-94,41 kN
[V]
-39,41 kN
95,79 kN
A
B
C
131,92 kN
58
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Kurt Hirschfeld:
Baustatik, Dritte Auflage, Springer-Verlag
siehe Seite 1 ff
Heinz Parkus:
Mechanik der festen Körper, Zweite Auflage, Springer-Verlag
siehe Seite 1 ff
Robert Krapfenbauer / Ernst Sträussler:
Bau-Tabellen, Schulbuch
siehe Verzeichnis der österreichischen Baunormen
Heinz Parkus:
Mechanik der festen Körper, Zweite Auflage, Springer-Verlag
siehe Seite 28-39
Heinz Parkus:
Mechanik der festen Körper, Zweite Auflage, Springer-Verlag
siehe Seite 50
Alfred Böhm / Reinhold Fritsch:
Statik 2
siehe Seite 183 ff
Alfred Böhm / Reinhold Fritsch:
Statik 3
siehe Seite 19 ff
Alfred Böhm / Reinhold Fritsch:
Statik 3
siehe Seite 28 ff
Kurt Hirschfeld:
Baustatik, Dritte Auflage, Springer-Verlag
siehe Seite 59 ff
Krätzig Wittek :
Tragwerke 2
siehe Seite 72 ff
Alfred Böhm / Reinhold Fritsch:
Statik 3
siehe Seite 159 ff
Alfred Böhm / Reinhold Fritsch:
Statik 3
siehe Seite 214 ff
Alfred Böhm / Reinhold Fritsch:
Statik 3
siehe Seite 222 und 238
Alfred Böhm / Reinhold Fritsch:
Statik 2
siehe Seite 18 ff
Alfred Böhm / Reinhold Fritsch:
Statik 2
siehe Seite 62 ff
Alfred Böhm / Reinhold Fritsch:
Statik 2
siehe Seite 67 ff
Alfred Böhm / Reinhold Fritsch:
Statik 2
siehe Seite 136 ff
Alfred Böhm / Reinhold Fritsch:
Statik 2
siehe Seite 104 ff
Alfred Böhm / Reinhold Fritsch:
Statik 3
siehe Seite 41 ff
59