1 Kraft als Vektor 2 Moment als Vektor 3 Gleichgewichte in der
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Statik und elementare Festigkeitslehre 1 Formelblatt Kraft als Vektor Vorzeichenzirkel zur Berechnung des Kreuzproduktes + ~ex y Fy = F sin α q |F~ | = F = Fx2 + Fy2 Fy α = arctan Fx F α x Fx 0◦ √ sin 0 2 √ =0 √ cos 4 2 tan 30◦ 1 2 = 1 2 √ =1 3 2 √1 3 0 45◦ 60◦ √ √ 2 2 √ 2 2 1 √ 1 2 = √ 3 1 2 3 Gleichgewichte in der Ebene Mittels eines Freischnitt die Lagerreaktionen sichtbar machen, dann Gleichgewichtsbedingungen anwenden: X √ 4 2 + ~ey + 90◦ 3 2 − ~ez Fx = F cos α Fy Prof. V.L. Popov =1 ! Fx = 0 X ! Fy = 0 X ! Mz = 0. √ 0 2 =0 4 statische Bestimmtheit / notwendige Bedingung n=f −r−v 2 mit Moment als Vektor P F~ ~r A h · Vektoriell: ~ (P ) = ~r × F~ M Skalar: M = hF f r v Anzahl der Freiheitsgrade Wertigkeit der Lager Wertigkeit der inneren Bindungen n<0 n=0 n>0 mit: ~r Ortsvektor vom Bezugspunkt P zum Kraftangriffspunkt A h Senkrechter Abstand von der Wirkungslinie der Kraft zum Bezugspunkt P statisch überbestimmt statisch bestimmt kinematisch überbestimmt hinreichende Bedingung Das System ist außerdem weder vorspannbar noch wackelig 1 Statik und elementare Festigkeitslehre 5 Formelblatt Fachwerke Prof. V.L. Popov Verfahren zur Ermittlung von Stabkräften notwendige Bedingung der statischen Bestimmtheit 1. Ritterschnitt 2k = r + s 2. Knotenschnitt mit k r s Anzahl der Knoten Wertigkeit der Lager Anzahl der Stäbe 6 Schwerpunkt Nullstabregeln Schwerpunkt Die Nullstabregeln leiten sich aus den Kräftegleichgewichten in x- und yRichtung um den betrachteten Knoten her. Es gilt 0 < α < π Massenschwerpunkt Regel 1 Flächenschwerpunkt Unbelasteter Knoten S1 = S2 = 0 S1 α S2 0 0 7 kontinuierlich R xdm xs = R dm R xdA xs = R dA Flächenträgheitsmoment axiales Flächenträgheitsmoment Regel 2 α Belasteter Knoten, Kraft in Richtung eines Knotens. S2 = 0. y R R y 2 dA b y h Regel 3 S2 α z 2 dA Izz z 0 S2 S1 Iyy Querschnitt S1 F z unbelasteter Knoten 3 Stäbe, 2 in eine Richtung. S3 = 0 1 3 bh 12 1 3 b h 12 π 4 R 4 π 4 R 4 R y 0 S3 z 2 diskret P xi mi xs = P mi P xi Ai xs = P Ai Statik und elementare Festigkeitslehre Formelblatt 9 polares Flächenträgheitsmoment Prof. V.L. Popov Mohrscher Spannungskreis IP = Iyy + Izz τ Satz von Steiner 8 Iỹ = Iy(s) + z˜s 2 A τmax Iz̃ = Iz(s) + y˜s 2 A (s) Iỹz̃ = Iyz − ỹz̃A τxy Dehnung Torsion Hooke: σ = Eεel τ = Gγ Spannung N σ= A MT τ =r IP Temperatur Kinematik MSG: mit: σ N E A ε εel εth • σ2 σηη σyy σξξ 2ϕ σxx • σ1 Pξξ N ε = εel + εth = + α∆T EA du hom. ∆l = ε= dx l du N = EA − α∆T dx Normalspannung Normalkraft Elastizitätsmodul Querschnittsfläche Dehnung Elastische Dehnung Thermische Dehnung τξη Pηη Längsdehnung - Torsion • Px τ MT G IP γ ϑ Py • / dϑ hom. ∆ϑ = r dx l dϑ MT = GIP dx γ=r Hauptspannungen: Schubspannung Torsionsmoment Schubmodul Polares Flächenträgheitsmoment Schubwinkel Verdrehwinkel σ1/2 σxx + σyy = ± 2 s σxx − σyy 2 Maximale Schubspannung: s 2 σxx − σyy 2 τmax = + τxy 2 3 2 2 + τxy σ Statik und elementare Festigkeitslehre 10 Formelblatt Schnittlasten 13 Schnittlasten DGL M 0 (x) = Q(x) Q0 (x) = −q(x) Biegelinien-DGL (EIw00 (x))00 = q(x) , mit EI = const. 0000 EIw (x) = q(x) EIw000 (x) = −Q(x) EIw00 (x) = −M (x) w0 (x) w(x) 12 Einheiten Name Kraft Moment Koordinate Streckenlast Zugpannung Schubspannung Dehnung Poisson-Zahl Schubwinkel Verdrehwinkel Elastizitätsmodul Schubmodul Fläche Temperatur Wärmeausdehnungskoeffizient Federsteifigkeit Drehfedersteifigkeit Flächenträgheitsmoment Globalschnittverfahren 11 Prof. V.L. Popov Biegewinkel Durchsenkung Knickung Eulersche Knickdifferentialgleichung (EIw00 (x))00 = −F w00 (x) mit E, I = const. 0000 w (x) + λ2 w00 (x) = 0 F wobei λ2 := EI allgemeine Lösung w(x) = A cos(λx) + B sin(λx) + Cλx + D 4 Formelzeichen F M x, y, z q σ τ ε ν γ ϑ E G A T αT c cϕ I Einheit N Nm m N/m N/m2 N/m2 1 1 1 1 N/m2 N/m2 m2 K 1/K N/m Nm m4
