Optimierung des Remanenzmagnetismus

Optimierung des Remanenzmagnetismus-Verfahrens zur
Stahlbruchortung in Bauwerken – Theoretische
Weiterentwicklung
vorgelegt von
Diplom-Ingenieur
Chol-I Pak
aus Pjöngjang
von der Fakultät VI - Planen Bauen Umwelt
der Technischen Universität Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Ingenieurwissenschaften
- Dr.-Ing genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr. Yuri Petryna
Gutachter: Prof. Dr. Bernd Hillemeier
Gutachter: Prof. Dr. Heinz Lehr
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 22.Januar 2010
Berlin 2010
D 83
Abstract
Abstract
Bei
dieser
Dissertation
magnetostatischen
handelt
es
Grundlagen
sich
um
für
die
Entwicklung
das
der
zerstörungsfreie
Remanenzmagnetismus-Verfahren. Das Remanenzmagnetismus-Verfahren wird
zur Bruchortung von Spannbewehrungen in Bauwerken angewendet. Aufgrund
komplizierter Bewehrungskonstellation und ferromagnetischer Eigenschaften von
Bewehrungen lassen sich Magnetfelder nicht einfach analysieren. Magnetfelder
aus Bewehrungen können wegen ihrer gezogenen Form durch Finite-ElementeMethode häufig nur mit großen Schwierigkeiten modelliert und gelöst werden.
Die theoretische Entwicklung dieses Verfahrens ist zur Erhöhung der
Aussagekräftigkeit und Erweiterung des Einsatzgebiets notwendig. Das Ziel
dieser Dissertation ist es, das aufmagnetisierende Feld des Großmagneten und
das Remanenzfeld von Bewehrungen analytisch zu simulieren. Weiterhin wird
theoretisches Basiswissen zur Analyse der Position und des Zustands von
Bewehrungen erforscht.
Um das gesamte magnetostatische System aus Großmagnet, Luft und
verschiedenen Bewehrungen analytisch simulieren zu können, wird der Ansatz
von magnetischen Ladungen bzw. magnetischen Monopolen eingesetzt und
grundlegende Theorien für magnetische Monopole werden entwickelt. Diese
Theorien
werden
zur
Herleitung
der
Formeln
zur
Lokalisierung
und
Zustandsanalyse von Bewehrungen angewendet.
Die hergeleiteten Formeln werden zuerst mit Ergebnissen aus FEM-Modellen
verglichen.
Zur
Verifizierung
der
entwickelten
Theorien
werden
dann
Laborversuche durchgeführt und die Theorien, wenn erforderlich, modifiziert.
Zuletzt wird die Überführung der hergeleiteten Formel in die praktische
Anwendung dargestellt.
1
Vorwort
Vorwort
Die vorliegende Arbeit habe ich während meiner Tätigkeit am Fachgebiet
Baustoffe
und
Baustoffprüfung
im
Institut
für
Bauingenieurwesen
der
Technischen Universität Berlin geschrieben.
Das zerstörungsfreie Prüfverfahren zur Bruchortung an Spannbetonbauwerken,
besonders Brücken, mithilfe des Remanenzmagnetismus wird seit mehreren
Jahren erfolgreich eingesetzt. Allerdings hat das Verfahren ein großes Potential
für weitere Zustandserfassung und –analyse nicht nur für Stahlbetonbauwerke,
sondern auch für Stahlbauwerke. Da die Nachfrage für dieses Verfahren steigt
und die theoretischen Grundlagen dieses Verfahrens noch nicht hinreichend
erforscht wurden, hat sich diese Arbeit mit dem Verfahren befasst.
Diese Arbeit widmet sich den praxisorientierten theoretischen Entwicklungen des
magnetophysikalischen Verhaltens von Stahlteilen in Bauwerken, jedoch
spezifiziert sich ein großer Teil der Arbeit auf das vom Fachgebiet Baustoffe und
Baustoffprüfung im Institut für Bauingenieurwesen der Technischen Universität
Berlin entwickelte Remanenzmagnetismus-Verfahren.
Für die Motivation und fachliche Betreuung dieser Doktorarbeit bedanke ich mich
ganz herzlich bei Herrn Prof. Dr.-Ing Bernd Hillemeier. Herrn Andrei Walther und
Frau Stephanie Schuler danke ich für die gelungene Zusammenarbeit im
fachlichen Bereich.
Besonderer Dank gilt Herrn Kim Jong Il, der mir das Auslandsstudium und die
anschließende Promotion ermöglicht hat. Ich bin sehr dankbar für die
persönliche Unterstützung von Herrn Prof. Dr. Yong Su Mun, Frau Evelina
Skurski, Jana Klink, Jorine Chung in guten sowie schwierigen Zeiten.
Nicht zuletzt schulde ich meinen Eltern und meiner Freundin Dank, die immer
hinter mir gestanden haben und mir Mut und Kraft gegeben haben.
2
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Abstract................................................................................................................ 1
Vorwort ................................................................................................................ 2
Inhaltsverzeichnis ................................................................................................ 3
Abbildungsverzeichnis ......................................................................................... 5
Tabellenverzeichnis ........................................................................................... 13
Symbolverzeichnis............................................................................................. 14
1
Einleitung.................................................................................................... 17
1.1
Problemstellung der Zustandsdiagnose von Spann- und
Stahlbetonbauwerken...................................................................................... 17
1.2
Zerstörungsfreie Prüfverfahren zur Zustandsdiagnose für
Bewehrungen .................................................................................................. 18
1.3
2
Stand der Technik des Remanenzmagnetismus-Verfahrens................ 23
Theoretische Grundlagen des RM-Verfahrens ........................................... 24
2.1
Der Ferromagnetismus ......................................................................... 24
2.2
Magnetische Eigenschaften der Bewehrung ........................................ 28
2.2.1
Koerzitivfeldstärke und Remanenz ungespannter
Bewehrung .................................................................................................. 28
2.2.2
3
Magnetoelastischer Effekt gespannter Bewehrung ....................... 31
Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens....................................... 33
3.1
Ausgangssituation und Besonderheiten des RM-Verfahrens ............... 33
3.1.1
Prinzip des Verfahrens .................................................................. 33
3.1.2
Gerätschaften................................................................................ 35
3.1.3
Zusammenfassung des RM-Verfahrens als
Ausgangssituation ....................................................................................... 41
3.2
Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen.................................. 44
3.2.1
Analytische Simulation für einen Großmagneten .......................... 44
3.2.2
Neuer physikalischer Ansatz für magnetisierte Körper.................. 59
3.2.3
Simulation des vom Großmagnet erzeugten
Magnetfelds mit dem neuen Ansatz............................................................. 74
3.2.4
4
Analytische Simulation für Bewehrungen ...................................... 79
Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen................... 102
4.1
Beschreibung des FEM-Modells......................................................... 102
3
Inhaltsverzeichnis
4.1.1
Materialien für das Modell ........................................................... 102
4.1.2
Elementarten des Modells........................................................... 103
4.1.3
Geometrie und Vernetzung des Modells ..................................... 105
4.2
5
6
Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen ..................... 108
4.2.1
Magnetfeld des Großmagneten................................................... 108
4.2.2
Magnetisierungszustand von Bewehrungen................................ 115
4.2.3
Zusammenfassung...................................................................... 129
Vergleich mit den entwickelten Theorien und Versuchsergebnissen.........130
5.1
Das magnetisierende Feld ................................................................. 130
5.2
Das Remanenzfeld aus magnetisierten Bewehrungen....................... 136
5.3
Das Remanenzfeld aus Brüchen........................................................ 140
5.4
Zusammenfassung............................................................................. 142
Anwendung der entwickelten Theorien in der Praxis.................................143
6.1
Feldmessung und Datenaufbereitung ................................................ 143
6.2
Lokalisierung von Bewehrungen ........................................................ 145
6.3
Zustandsanalyse von Bewehrungen .................................................. 148
6.4
Zusammenfassung............................................................................. 152
7
Schlussfolgerung.......................................................................................154
8
Wissenschaftlicher Ausblick des RM-Verfahrens ......................................156
Literatur ............................................................................................................157
Anhang .............................................................................................................161
4
Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Abb. 2-1 Zur grafischen Lösung von (2-12) ........................................................ 26
Abb. 2-2 Hysteresekurve eines ferromagnetischen Materials............................. 27
Abb. 2-3 Die Hysterese eines gereckten und angelassenen Spannstahls
[6]........................................................................................................................ 29
Abb. 2-4 Die Hysterese eines kaltgezogenen Einzelstabs [6]............................. 30
Abb. 2-5 Die Hysterese eines vergüteten Spannstahls [6].................................. 30
Abb. 2-6 Hysterese eines Betonstahls BSt 500S, d = 10 mm [6] ........................ 31
Abb. 2-7 Schematische Darstellung der Vorgänge bei der Magnetostriktion
[21]...................................................................................................................... 32
Abb. 2-8 Einfluss einer mechanischen Zugspannung auf den Verlauf der
Hysteresekurve eines Spannstahls..................................................................... 32
Abb. 3-1 Magnetische Dipolbildung eines Spannstabs....................................... 33
Abb. 3-2 Magnetische Flussdichte gebrochener Spanndrähte ........................... 34
Abb. 3-3 Magnetwagen mit Jochmagnet............................................................. 35
Abb. 3-4 Magnetisierung mit dem Großjochmagnet............................................ 36
Abb. 3-5 Magnetfeld an Querbewehrungen ........................................................ 36
Abb. 3-6 Rotationsscanner ................................................................................. 37
Abb. 3-7 Sensoreinheit ....................................................................................... 38
Abb. 3-8 Scannvorgang ...................................................................................... 38
Abb. 3-9 Abgleichen der Sensoren ..................................................................... 39
Abb. 3-10 RotoScan Viewer................................................................................ 40
Abb. 3-11 Aufnahme eines Versuchsfeldes mit Rotationsscanner ..................... 40
Abb. 3-12 Magnetbild einer Brückenplatte .......................................................... 42
Abb. 3-13 Hystereseschleifen nach dem Stoner-Wohlfahrt-Modell [22].............. 44
Abb. 3-14 Äußerste Hystereseschleife als Umgrenzung der für einen
Werkstoff möglichen Wertepaare B und H 1: Sättigung- Gegenfeld, 2:
5
Abbildungsverzeichnis
Sättigung- geeignet gewählte innere Schleife, 3: Entmagnetisierunginnere Schleife.................................................................................................... 45
Abb. 3-15 Einfaches Elektromagnetmodell......................................................... 46
Abb. 3-16 Magnetische Flussdichte am Punkt P infolge eines Kreisstroms ....... 47
Abb. 3-17 Magnetische Flussdichte innerhalb der Spule.................................... 49
Abb. 3-18 Permeabilitätsverlauf ferromagnetischer Stoffe [24]........................... 49
Abb. 3-19 Magnetische Feldstärke im Spulenkern des Großmagneten ............. 50
Abb. 3-20 magnetische Flussdichte des Spulenkerns nach (3-10)..................... 51
Abb. 3-21 Zur Berechnung des magnetischen Potentials................................... 52
Abb. 3-22 Zur Integralberechnung (3-15) ........................................................... 53
Abb. 3-23 Magnetische Flussdichte unter dem Magneten.................................. 54
Abb. 3-24 Magnetische Feldgröße an einem Punkt............................................ 56
Abb. 3-25 Großjochmagnet ................................................................................ 58
Abb. 3-26 Zur Berechnung der magnetischen Flussdichte im Joch.................... 58
Abb. 3-27 Homogen magnetisierter Stab............................................................ 60
Abb. 3-28 Zur Formel (3-37) ............................................................................... 61
Abb. 3-29 Monopolische magnetische Ladung................................................... 63
Abb. 3-30 Zur Erklärung über magnetischen Ladung ......................................... 64
Abb. 3-31 Kraft zwischen zwei magnetischen Ladungen.................................... 66
Abb. 3-32 Gekrümmter Stabmagnet ................................................................... 69
Abb. 3-33 Differentiation der Kurve .................................................................... 70
Abb. 3-34 Dipolmodell ........................................................................................ 70
Abb. 3-35 Magnetisierter Körper mit veränderlichem Querschnitt ...................... 72
Abb. 3-36 Modellierung mit magnetischen Ladungen......................................... 72
Abb. 3-37 Zur Berechnung ΔQi .......................................................................... 73
Abb. 3-38 Magnetische Ladungen am Großmagnet........................................... 75
6
Abbildungsverzeichnis
Abb. 3-39 Ortsvektoren....................................................................................... 78
Abb. 3-40 Magnetische Feldstärke Hy................................................................ 78
Abb. 3-41 Magnetische Feldstärke Hz................................................................ 79
Abb. 3-42 Geometrie von Bewehrungen............................................................. 80
Abb. 3-43 Verlauf des Hy nach der Magnetposition, y P = 30 cm, z P = 30 cm ....... 81
Abb. 3-44 Magnetisierungsvorgang nach der Zeit .............................................. 81
Abb. 3-45 Bilineare Hysterese ............................................................................ 82
Abb. 3-46 Hmax-Verlauf und Sättigungsfeldstärke ............................................. 83
Abb. 3-47 Remanenz-Zustand der Bewehrung................................................... 84
Abb.
3-48
Remanenz-Zustand
der
Bewehrung
mit
geringer
Magnetisierung ................................................................................................... 84
Abb. 3-49 Äquivalente Magnetische Ladungen zur Bewehrung ......................... 85
Abb.
3-50
Magnetische
Flussdichte
x = 0, z = 20 cm, d = 12 mm, BR , S = 0,5 T
infolge
einer
Bewehrung
..................................................................... 86
Abb. 3-51 Magnetische Ladung und Ladungsveränderung für eine
Bewehrung.......................................................................................................... 87
Abb. 3-52 Bz ,0 ( x, y , z ) (grüne Kurve) und ΔBz ( x, y, z ) (blaue Kurve) ................... 89
Abb.
3-53
Magnetische
Flussdichte
infolge
einer
ungesättigt
magnetisierten Bewehrung Tiefe 20 cm.............................................................. 89
Abb.
3-54
Magnetische
Flussdichte
infolge
einer
ungesättigt
magnetisierten Bewehrung Tiefe 30 cm.............................................................. 89
Abb. 3-55 Zur Erklärung für Tiefenermittlung...................................................... 91
Abb. 3-56 Magnetische Flussdichte von mehreren Bewehrungen...................... 93
Abb. 3-57 Algorithmus für die iterative Lösung ................................................... 94
Abb. 3-58 Maximale magnetische Flussdichte Bz , max in Abhängigkeit von
Tiefe und Durchmesser....................................................................................... 95
Abb. 3-59 Modellierung einer unbeschädigten Bewehrung................................. 96
7
Abbildungsverzeichnis
Abb. 3-60 Veränderung der Flussdichte an Bruchufern...................................... 96
Abb. 3-61 Unstetigkeit der Permeabilität am Bruch ............................................ 97
Abb. 3-62 Modellierung gebrochener Bewehrung .............................................. 97
Abb. 3-63 Magnetische Flussdichte einer gebrochenen Bewehrung.................. 98
Abb. 3-64 Exaktes Bruchsignal (rot) und Approximationskurve (blau)................ 99
Abb. 3-65 Typisches Bruchsignal in zweidimensionaler Messung.................... 100
Abb.
3-66
Unterschiedliche
Erkennbarkeit
von
Brüchen
nach
Bruchpositionen rot: Bruch bei x=25 cm, blau: Bruch bei x=35 cm, grün:
Bruch bei x=152 cm.......................................................................................... 101
Abb. 3-67 Drei Brüche mit jeweils 20 cm Abstand............................................ 101
Abb. 4-1 Geometrie des Elements SOLID117 .................................................. 104
Abb. 4-2 Geometrie des Elementtyp SOURC36............................................... 105
Abb. 4-3 Geometrie des FEM-Modells.............................................................. 106
Abb. 4-4 Vernetztes FEM-Modell in ANSYS ohne Bewehrung......................... 106
Abb. 4-5 Vernetzte Bewehrung......................................................................... 107
Abb. 4-6 Vernetztes Modell für den Bewehrungsstab....................................... 107
Abb. 4-7 Gesamte Flussdichte ......................................................................... 108
Abb. 4-8 Flussdichte in Z-Richtung................................................................... 108
Abb. 4-9 Magnetische Flussdichte auf der Jochachse...................................... 109
Abb. 4-10 Flusslinienverlauf im Großmagnet.................................................... 109
Abb. 4-11 Reduzierung des Großmagneten mit magnetischen Ladungen ....... 110
Abb. 4-12 Vergleich magnetischer Flussdichte By, Tiefe z= -10 cm, x=0 ......... 111
Abb. 4-13 Vergleich magnetischer Flussdichte Bz, Tiefe z=-10 cm, x=0 .......... 111
Abb. 4-14 Vergleich magnetischer Flussdichte By, Tiefe z=-20 cm, x=0 .......... 112
Abb. 4-15 Vergleich magnetischer Flussdichte Bz, Tiefe z=-20 cm, x=0 .......... 112
Abb. 4-16 Vergleich magnetischer Flussdichte By, Tiefe z=-30 cm, x=0 .......... 112
Abb. 4-17 Vergleich magnetischer Flussdichte Tiefe Bz, z=-30 cm, x=0 .......... 113
8
Abbildungsverzeichnis
Abb. 4-18 Vergleich magnetischer Flussdichte By, x=10 cm, z=-20 cm ........... 113
Abb. 4-19 Vergleich magnetischer Flussdichte Bz, x=10 cm, z=-20 cm ........... 114
Abb. 4-20 Vergleich magnetischer Flussdichte By, x=20 cm, z=-30 cm ........... 114
Abb. 4-21 Vergleich magnetischer Flussdichte Bz, x=20 cm, z=-30 cm ........... 114
Abb. 4-22 Flussdichte By in der Bewehrung ..................................................... 115
Abb. 4-23 Flussdichte Bz in der Bewehrung ..................................................... 115
Abb. 4-24 Magnetische Flussdichte (Magnetisierung) innerhalb der
Bewehrung........................................................................................................ 116
Abb. 4-25 Remanenz und Ersatz durch magnetische Ladungen...................... 116
Abb. 4-26 Geometrie des ANSYS-Modells ....................................................... 117
Abb. 4-27 Magnetische Flussdichte By um die Bewehrung .............................. 118
Abb. 4-28 Magnetische Flussdichte Bz um die Bewehrung .............................. 118
Abb. 4-29 Verlauf der Remanenz in der magnetisierten Bewehrung ................ 119
Abb. 4-30 Magnetische Flussdichte By bei z=10 cm ........................................ 119
Abb. 4-31 Magnetische Flussdichte Bz bei z=10 cm ........................................ 120
Abb. 4-32 Magnetische Flussdichte By bei z=20 cm ........................................ 120
Abb. 4-33 Magnetische Flussdichte Bz bei z=20 cm ........................................ 120
Abb. 4-34 Magnetische Flussdichte By bei z=30 cm ........................................ 121
Abb. 4-35 Magnetische Flussdichte Bz bei z=30 cm ........................................ 121
Abb. 4-36 Bz-Verlauf bei Tiefe 10 cm, y=1,50m ............................................... 122
Abb. 4-37 Bz-Verlauf bei Tiefe 20 cm, y=1,50 m .............................................. 122
Abb. 4-38 Bz-Verlauf bei Tiefe 30 cm y=1,50 m ............................................... 123
Abb. 4-39 Magnetische Flussdichte By um eine gebrochene Bewehrung ........ 124
Abb. 4-40 By-, Bz-Verlauf in der Bewehrung .................................................... 124
Abb. 4-41 Vereinfachung der Remanenz der Bewehrung................................. 125
Abb. 4-42 Geometrie des ANSYS-Modells für einen Bruch .............................. 125
Abb. 4-43 Magnetische Flussdichte Bz um die gebrochene Bewehrung .......... 126
9
Abbildungsverzeichnis
Abb. 4-44 Magnetische Flussdichte By um die gebrochene Bewehrung.......... 126
Abb. 4-45 Bz-Halbverlauf bei Tiefe z=10 cm .................................................... 127
Abb. 4-46 Bz-Halbverlauf bei Tiefe z=20 cm .................................................... 127
Abb. 4-47 Bz-Halbverlauf bei Tiefe z=30 cm .................................................... 127
Abb. 5-1 Messung magnetischer Flussdichte unter dem Großmagnet ............. 130
Abb. 5-2 Bz in unterschiedlichen Tiefen, I=50 A ............................................... 131
Abb. 5-3 Bz in unterschiedlichen Tiefen, I=100 A ............................................. 131
Abb. 5-4 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 10 cm ,
I=100 A ............................................................................................................. 132
Abb. 5-5 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 15 cm ,
I=100 A ............................................................................................................. 132
Abb. 5-6 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 20 cm ,
I=100 A ............................................................................................................. 133
Abb. 5-7 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 25 cm ,
I=100 A ............................................................................................................. 133
Abb. 5-8 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 30 cm ,
I=100 A ............................................................................................................. 133
Abb. 5-9 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 35 cm ,
I=100 A ............................................................................................................. 134
Abb. 5-10 Magnetisierung und Approximationslinie bei unterschiedlichen
Stromstärken .................................................................................................... 135
Abb. 5-11 Bz-Verlauf einer magnetisierten Bewehrung, d=20 mm, I=50 A....... 136
Abb. 5-12 Magnetisierter Zustand der Bewehrung ........................................... 137
Abb. 5-13 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 8cm,
I=50,0 A, d=20 mm ........................................................................................... 138
Abb. 5-14 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 14cm,
I=50,0 A, d=20 mm ........................................................................................... 138
Abb. 5-15 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 19cm,
I=50,0 A, d=20 mm ........................................................................................... 138
10
Abbildungsverzeichnis
Abb. 5-16 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 24cm,
I=50,0 A, d=20 mm ........................................................................................... 139
Abb. 5-17 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 28cm,
I=50,0 A, d=20 mm ........................................................................................... 139
Abb. 5-18 Bruchsignal von der Messung und der Theorie, Tiefe 22,5 cm,
d=10 mm........................................................................................................... 141
Abb. 5-19 Bruchsignal von der Messung und der Theorie, Tiefe z=25,5 cm,
d=10 mm........................................................................................................... 141
Abb. 6-1 Bz nach dem Abstand zwischen dem Großmagnet dem
Messpunkt, I=150 A, z=15 cm nach (3-96) und (5-2)....................................... 143
Abb. 6-2 Messbild vor dem Glätten (links) und nach dem Glätten (rechts) ....... 144
Abb. 6-3 Lokalisierung von Spanngliedern ....................................................... 145
Abb. 6-4 Tiefenermittlung von Spanngliedern................................................... 147
Abb. 6-5 Ermittelte Durchmesser von Spanngliedern ....................................... 149
Abb. 6-6 Bruchsignale an Spanngliedern.......................................................... 150
Abb. 6-7 Bz-Verlauf von Brüchen ..................................................................... 150
Abb. 6-8 Brüche im spanngliedbereinigten Magnetbild..................................... 151
Abb.
A-1
Neumagnetisierungskurve
von
Reineisen
nach
ANSYS
Workbench........................................................................................................ 163
Abb. A-2 B-H-Kennlinie (Neukurve) .................................................................. 163
Abb. A-3 B-H-Kurve des Baustahls................................................................... 164
Abb. A-4 Reduziertes FEM-Modell für ANSYS ................................................. 164
Abb. A-5 Magnetische Flussdichte Bz um einer gebrochener Bewehrung ....... 165
Abb. A-6 Bz in unterschiedlichen Tiefen unter dem Großmagnet bei I=14,3
A ....................................................................................................................... 165
Abb. A-7 Bz in unterschiedlichen Tiefen unter dem Großmagnet bei I=25 A.... 166
Abb. A-8 Bz in unterschiedlichen Tiefen unter dem Großmagnet bei I=150
11
Abbildungsverzeichnis
A ....................................................................................................................... 166
Abb. A-9 Lokalisierung von Bewehrungen........................................................ 167
Abb. A-10 Idealkurve für Spannglieder............................................................. 167
Abb. A-11 Spanngliedunbereinigtes Bild (rechts), bereinigtes Bild (links) ........ 168
12
Tabellenverzeichnis
Tabellenverzeichnis
Tabelle 3-1 Physikalische Eigenschaften von ARMCO-Eisen [23] ..................... 46
Tabelle 4-1 Bestimmung des Durchmessers nach (3-113), (3-114) ................. 123
Tabelle 4-2 Vergleich der Formel (3-123) mit FEM-Ergebnissen...................... 128
Tabelle 6-1 Remanenz von Bewehrungen in Abhängigkeit von der
Stromstärke ...................................................................................................... 148
Tabelle A-1 Neumagnetisierungskurve von Reineisen nach ANSYS
Workbench........................................................................................................ 161
Tabelle A-2 Chemische Zusammensetzung von Betonstahl............................. 161
Tabelle A-3 Magnetisierung bei verschiedenen Stromstärken.......................... 162
Tabelle A-4 Maximale Flussdichte einer Bewehrung nach Durchmesser,
Tiefe, Stromstärke............................................................................................. 162
13
Symbolverzeichnis
Symbolverzeichnis
Lateinische Symbole:
'
Zeichen für Integrationsvariablen
A
Flächeninhalt
a, a1 , a2 , a3
Koeffizient
b
Koeffizient
B
magnetische Flussdichte
B
Betrag magnetischer Flussdichte
B
durchschnittliche Flussdichte eines Volumenkörpers
BR
Remanenz-Flussdichte
BR , S
Remanenz-Flussdichte aus der gesättigten Magnetisierung
BS
Sättigungsflussdichte bei der Neumagnetisierung
Btr :
transversale Flussdichte
Bx , B y , Bz , Br Komponente magnetischer Flussdichte
Bz , max
maximale Flussdichte in z-Richtung
D
dielektrische Verschiebung
d
Durchmesser
deff
Effektiver Durchmesser, bei rundem Profil, der Durchmesser
E
elektrische Feldstärke
e x , e y , e z , er
Einheitsvektor in Richtung der Koordinate
F
Flächenvektor
F
Flächeninhalt
H
magnetische Feldstärke
H
Betrag magnetischer Feldstärke
HC
Koerzitivfeldstärke
HS
Sättigungsfeldstärke bei der Neumagnetisierung
Hx , H y , Hz , Hr
Komponente magnetischer Feldstärke
H z ,max
maximale Feldstärke in z-Richtung
J
elektrische Stromstärke
k
Koeffizient
L
Längenvektor
14
Symbolverzeichnis
l
Länge des Magneten oder einer Bewehrung
lB
Abstand zwischen magnetischen Ladungen für einen Bruch
m
Magnetisierung
M
Betrag der Magnetisierung
MP
Magnetisierung eines Probekörpes
N
Anzahl
O
Oberflächenvektor
P, P'
zu betrachtender Punkt
< pm >
Dipolmoment
Q
magnetische Ladung
QB
magnetische Ladung für einen Bruch
R
Fehlerfunktion
r
Ortsvektor
r
Betrag des Ortsvektors
s
Länge
TC
Curie-Temperatur
V
Volumen
w
Windungszahl
x
x-Koordinate
xP
x-Koordinate des betrachteten Punktes
y
y-Koordinate
yP
y-Koordinate des betrachteten Punktes
y1 , y2 , y3 , y4
y-Koordinaten von magnetischen Ladungen
yl , yr
y-Koordinaten von linker bzw. rechter magnetischer Ladung
z
z-Koordinate bzw. Tiefe
z0
zusätzliche Tiefe
zP
z-Koordinate des betrachteten Punktes
Griechische Symbole
α
Koeffizient
β
Winkel
Δ
Zeichen für zusätzliche Größe
15
Symbolverzeichnis
ε0
Dielektrizitätskonstante des Vakuums
μ
Permeabilität
μ0
Permeabilität des Vakuums
μr
relative Permeabilität
μ rem
relative Permeabilität für Remanenzzustand
ρ
Radius
ϕ
Winkel
φ
Winkel
χm
magnetische Suszeptibilität
ψ
magnetisches bzw. elektrisches Potential
16
1 Einleitung
1.1 Problemstellung der Zustandsdiagnose von Spann- und Stahlbetonbauwerken
1 Einleitung
1.1
Problemstellung der Zustandsdiagnose von Spann- und
Stahlbetonbauwerken
Beton ist neben Stahl einer der wichtigsten Konstruktionsbaustoffe. Weit über
50 % aller Bauwerke bestehen heute aus Beton [1]. Beton findet in den meisten
Fällen mit Stahlbewehrung Anwendung, damit kann die Zugkraft durch die
Stahlbewehrung aufgenommen werden.
Nach dem zweiten Weltkrieg kam der Höhenflug des Spannbetonbaus mit der
Entwicklung neuer Bauverfahren für den Brückenbau [2]. Durch den Einsatz von
Spannbeton können die Gestaltungsmöglichkeit und die Tragfähigkeit des
Betons erhöht werden [3]. Außerdem kann der Materialaufwand reduziert und
eine hohe Wirtschaftlichkeit des Bauwerks erzielt werden.
Heutzutage haben Bauwerke zunehmende Anforderungen an die Leistungen [4]:
Tragfähigkeit, Dauerhaftigkeit, Umweltfreundlichkeit, Wirtschaftlichkeit. Z. B.
nach dem Ergebnis einer Studie der Bundesanstalt für Straßenwesen sind durch
„Gigaliner“ Schäden für die Verkehrsinfrastruktur, insbesondere für Brücken zu
erwarten [5]. Außerdem ist die Korrosion von Stahl im Beton das mit Abstand
größte Problem bei der Instandhaltung von Stahlbetonbauwerken und verursacht
jährlich bei hoch belasteten Ingenieurbauwerken sehr hohe Kosten [6].
Die Zustandsdiagnose von Stahl in Spann- und Stahlbetonbauwerken steht im
Mittelpunkt
der
Bestimmung
der
Tragfähigkeit
bestehender
Bauwerke.
Zahlreiche zerstörungsfreie Prüfmethoden zur Erfassung der Art, Lage und
Zustände von Stahl bzw. Spannstahl wurden bereits entwickelt. Hinsichtlich der
Aussagegenauigkeit, Einsetzbarkeit, Schnelligkeit und Wirtschaftlichkeit haben
die zerstörungsfreien Prüfverfahren aber einige Einschränkungen. Besonders bei
großen Bauwerken, z. B. Brücken, Parkdecks oder Hallen, bieten lediglich
wenige Prüfverfahren die Möglichkeit, schnell großflächige Untersuchungen an
den Stahlbestandteilen dieser Bauwerke durchzuführen und ausreichend genau
zu bewerten.
17
1 Einleitung
1.2 Zerstörungsfreie Prüfverfahren zur Zustandsdiagnose für Bewehrungen
1.2
Zerstörungsfreie Prüfverfahren zur Zustandsdiagnose für
Bewehrungen
Seit Ende der 1980er Jahre ist eine Vielzahl von zerstörungsfreien Prüfverfahren
im Bauwesen entwickelt worden [6]. Hier werden einige Verfahren, die zur
Zustandserfassung von Schlaff- bzw. Spannbewehrung eingesetzt werden
können, dargestellt.
Ultraschall
Wesentliche Untersuchungsziele der zerstörungsfreien Strukturaufklärung, der
Bestimmung der Geometrie und der Materialeigenschaften von Betonbauteilen
mit Ultraschallecho-Verfahren sind:
•
Dickenmessung
und
Ermittlung
der
Bauteilgeometrie
bei
einseitiger
Zugänglichkeit
•
Lokalisierung und Messung der Betondeckung von Konstruktionselementen
•
Lokalisierung von Verdichtungsmängeln und Kiesnestern, insbesondere bei
Hüllrohren
•
Charakterisierung von oberflächenverbundenen Rissen, insbes. Bestimmung
der Risstiefe
•
Lokalisierung von Ablösungen (Beschichtungen, mehrschichtige Systeme,
Estrich)
•
Beobachten der Betonerhärtung
Grundlegende Fragenstellungen nach dem Einfluss von Bewehrung, Zuschlägen,
Luftporen und sehr feinen Rissen sind weder theoretisch noch experimentell
vollständig gelöst [7]. Bei der Ultraschallreflexionsmessung am Spannglied wird
der
Effekt
genutzt,
dass
die
in
ein
Spannstahlende
eingekoppelten
Ultraschallwellen an der Grenzfläche von Inhomogenitäten reflektiert werden [34].
Durch die Ultraschallprüfung sind unter günstigen Bedingungen größere
Fehlstellen an den Stählen diagnostizierbar. Diese können allerdings nur in
Spezialfällen, z. B. bei glatten Stäben bzw. Drähten, und nur innerhalb im
Abstand weniger Zentimeter von der Oberfläche detektiert werden. Die
18
1 Einleitung
1.2 Zerstörungsfreie Prüfverfahren zur Zustandsdiagnose für Bewehrungen
Praxisreife ist für den allgemeinen Einsatz noch nicht erreicht [8].
Impact-Echo-Verfahren
Das
Impact-Echo-Verfahren
(IE-Verfahren)
gehört
zu
den
aktiven
Ultraschallverfahren, wobei akustische Energie über einen Impact in das Bauteil
übertragen wird. Im Gegensatz zu den Durchschallungsverfahren, bei denen
sich Sender und Empfänger auf gegenüberliegenden Seiten befinden, ist hier
kein Zugang zu beiden Bauteilseiten notwendig. Beim Impact-Echo-Verfahren
befinden sich Sender und Empfänger auf einer Bauteilseite, was die
Einsatzmöglichkeiten für die Praxis um ein Vielfaches erweitert.
Für die Messung regt man mit einem punktuellen mechanischen Impact (z. B.
durch einen Schlag mit einer Metallkugel) einen akustischen Impuls an. Die
dadurch erzeugte Schallwelle breitet sich im Beton aus und wird an
Grenzflächen
reflektiert.
Frequenzbereich.
Die
Messungen
Auswertung
mit
dem
erfolgt
anschließend
Impact-Echo-Verfahren
im
sind
vergleichsweise schnell durchführbar und weisen anderen Verfahren gegenüber
eine sehr gute Reproduzierbar- und Wiederholbarkeit auf [9].
In Untersuchungen konnte gezeigt werden, dass sich die Hüllrohre durch eine
Verschiebung des Rückwandechos lokalisieren lassen. Dieser Effekt erklärt sich
durch die an den Hüllrohren auftretende Beugung der Schallwellen bzw. die
Veränderungen der Steifigkeit des Bauteils durch das Hüllrohr. Dadurch kommt
es zu einer scheinbaren Verdickung des Bauteils im Bereich der Hüllrohre. Des
Weiteren liefern die Ergebnisse Aufschlüsse über Verpressfehler im Hüllrohr [9].
Das Verfahren kann die Lage von relativ großen Objekten gut orten, jedoch nicht
geometrisch kleine Objekte, z. B. dünne Bewehrungen, Risse, Korrosionsstellen
[8].
Georadar
Das Radarverfahren, das in den letzten 10 Jahren immer häufiger zur
zerstörungsfreien Strukturuntersuchung von Beton und Mauerwerk eingesetzt
wurde, ist eine optimale Ergänzung zu den akustischen Verfahren Ultraschall
und Impact-Echo.
19
1 Einleitung
1.2 Zerstörungsfreie Prüfverfahren zur Zustandsdiagnose für Bewehrungen
Da elektromagnetische Wellen an metallischen Einbauteilen stärker reflektiert
werden
als
akustische
Wellen
und
da
bei
der
Durchführung
der
Radarmessungen keine direkte Berührung des Bauteils erforderlich ist, kann
schlaffe und vorgespannte Bewehrung zuverlässiger und schneller als mit den
akustischen Verfahren geortet werden. Vergleichende Untersuchungen von
mehrschichtigen Konstruktionen mit Ultraschall, Impact-Echo und Radar haben
zudem
ergeben,
dass
Radar
gegenüber
Schichtablösungen
deutlich
unempfindlicher ist und damit auch noch Informationen über darunter liegende
Schichten gewonnen werden können [10].
Die erfolgreiche Ortung von Spanngliedern und Hohlstellen außerhalb der
Spannglieder in Betonkonstruktionen mit Radar hängt wesentlich von der Dichte
der darüber befindlichen Bewehrung ab, wird also vom Abstand und vom
Durchmesser der Bewehrungsstäbe beeinflusst. Durch die tomografische
Rekonstruktion mit der Radardatenerfassung können die Lage und Tiefe der
Schlaff- und Spannbewehrung und teilweise große Fehlstellen, z. B. Hohlstellen
und Verpressfehler festgestellt werden [10].
Die Kombination von Radar-Verfahren mit Ultraschall- und Impact-EchoVerfahren kann bessere Ergebnisse zur Zustandsdiagnose liefern [11], jedoch
sind Korrosionsstellen und Brüche an Schlaff- und Spannbewehrungen mit
diesem Verfahren nicht diagnostizierbar [8].
Thermografie
Bei der Anwendung des Verfahrens der transienten Thermografie bei
Stahlbetonkonstruktionen wird ein instationärer Wärmezustand betrachtet, der
durch den natürlichen (passiv) oder künstlich erzeugten (aktiv) Wärmefluss im
Bauteil entsteht. Ein künstlich erzeugter Wärmefluss kann durch Beheizen der
Oberfläche mit einer Heizquelle (Energie durch Infrarotstrahlen) entstehen, ein
natürlicher
Wärmefluss
liegt
durch
die
wechselnden
Tages-
und
Nachttemperaturen der Bauwerksumgebung vor [12].
Die in der Oberfläche zugeführte Energie dringt entsprechend der Wärmeleitung
des Baustoffes in diesen ein. Besonders anschaulich lässt sich dieses Verfahren
anhand eines Spannbetonbauteiles erklären. Liegt im Bereich der Bewehrung
oder innerhalb des Hüllrohres ein Hohlraum vor, so wird die Wärmeausbreitung
20
1 Einleitung
1.2 Zerstörungsfreie Prüfverfahren zur Zustandsdiagnose für Bewehrungen
behindert und somit der Wärmefluss verlangsamt. Diese Behinderungen stellen
sich als höhere Temperatur als die Umgebung dar. Die Temperaturverteilung an
der Oberfläche wird mittels Infrarot-Kamera aufgenommen [12].
Dieses Verfahren liefert als Ergebnis in relativ kurzer Zeit Bilder der
oberflächennahen Bewehrungen und deren Verbund mit Beton.
Potentialfeldverfahren
Zur
Untersuchung
des
Korrosionszustandes
der
Bewehrung
von
Brückenbauwerken wurde dieses Verfahren in Deutschland bislang nur in
Einzelfällen eingesetzt. Dies ist vor allem darauf zurückzuführen, dass die
Ergebnisse dieses Verfahrens von sehr vielen Faktoren beeinflusst werden und
eine zutreffende Beurteilung ohne eine Berücksichtigung aller wesentlichen
Einflussgrößen
nicht
erfolgreich
sein
kann.
Die
Interpretation
von
Potenzialmessungen an Brückenbauwerken erfordert fachkundiges Personal,
welches über umfangreiche Erfahrung im Umgang mit dem Messverfahren sowie
über Detailkenntnisse zur Konstruktion und Erhaltung von Brückenbauwerken
verfügt.
Bei der Potenzialmessung wird der Umstand ausgenutzt, dass sich das
Korrosionspotenzial
eines
nicht
korrodierten
Bewehrungsstabs
in
dem
alkalischen Beton von dem eines korrodierten Bewehrungsstabs im Beton um
bis zu mehrere hundert mV unterscheidet. Bei der Auswertung und Interpretation
der Messungen ist zu berücksichtigen, dass das gemessene Potenzial
verschiedenen Einflussgrößen unterliegt und damit in einem weiten Bereich
variieren kann [12].
Aus dem allgemeinen Messprozess ergibt sich, dass mit der elektrochemischen
Potentialmessung ein Korrosionszustand nur dann festgestellt werden kann,
wenn die Korrosion nicht in einer gewissen flächigen Ausdehnung, sondern an
einzelnen, deutlich getrennten Korrosionsnarben auftritt.
Computer-Tomografie
Bei
tomografischen
Verfahren
wird
eine
räumliche
Darstellung
eines
Untersuchungsvolumens aus der rechnerischen Auswertung einer großen
Anzahl von Durchstrahlungsaufnahmen im Computer erzeugt. Dabei ist es im
21
1 Einleitung
1.2 Zerstörungsfreie Prüfverfahren zur Zustandsdiagnose für Bewehrungen
Prinzip egal, welche Strahlenquellen zur Durchleuchtung herangezogen werden.
Für das Bauwesen (Beton, Bewehrung, Feuchte, usw.) werden die auch für die
Radiografie üblichen Strahlungsquellen (Röntgenquellen, Linearbeschleuniger,
nukleare Quellen) eingesetzt [12].
Zum Einsatz des Verfahrens am Bauwerk selbst stellt sich das Problem, dass
eine vollständige Durchstrahlung in alle Raumrichtungen aus geometrischen
Gründen selten möglich ist. Das Verfahren kann nur für Bauteile bis zu einer
gewissen Größe und zurzeit nur im Labor angewendet werden. Tomografische
Verfahren geben eine große Menge von Informationen, sind aber auch
aufwendig in der Durchführung und kostenintensiv in der Anschaffung [12].
Magnetisches Streufeldverfahren
Mit der Methode der magnetischen Streufeldmessung werden Brüche der
Spannbewehrung anhand magnetischer Anomalien (lokale Maxima der axialen
Feldkomponente) des magnetischen Streufelds des Bauteils detektiert. Bedingt
durch das hartmagnetische Verhalten der Spannglieder treten Brüche der
Spannbewehrung erst bei höheren Feldstärken des erregenden Feldes zutage.
Durch die stufenweise Absenkung des Spulenstroms bei den späteren Messund Magnetisierungsfahrten des Prüfkopfes wird erreicht, dass am Ende der
Magnetisierung hauptsächlich Bruchsignale der Spannbewehrung wegen deren
hartmagnetischem Verhalten übrig bleiben, während die weichmagnetische
schlaffe Bewehrung relativ stark entmagnetisiert [14].
Dieses Verfahren wurde seit mehreren Jahren in Feldmessungen erfolgreich
eingesetzt und hat zur Bruchortung der Spannbewehrungen gute Leistungen
erbracht. Mit dem Prüfsystem können Bereiche mit Stahltrennungen eindeutig
erkannt werden [14] [33]. Aufgrund des zu hohen Mess- und Ortungsaufwandes
ist das Verfahren für breite Flächen schwierig einzusetzen. Außerdem können
andere Zustände, z. B. Lage, Art und Korrosion von Schlaffbewehrungen nicht
erfasst werden.
22
1 Einleitung
1.3 Stand der Technik des Remanenzmagnetismus-Verfahrens
1.3
Stand
der
Technik
des
Remanenzmagnetismus-
Verfahrens
Das zerstörungsfreie Remanenzmagnetismus-Verfahren (im Folgenden kurz
RM-Verfahren genannt) wurde bis dato fast ausschließlich zur Ortung der
Bruchstellen an Spannbewehrungen eingesetzt. Durch die erfolgreichen
Einsätze des Verfahrens konnten Bruchstellen gefunden werden.
Immerhin wurde die theoretische Grundlage für das RM-Verfahren bedingt in die
Richtung
von
Simulation
der
Bruchstellen
an
Spannstahl
entwickelt.
Insbesondere Scheel und Sawade haben die magnetphysikalischen Grundlagen
der von ihnen entwickelten magnetischen Verfahren an die Baupraxis angepasst
[6] [16] [17].
Scheel beschreibt in seiner Veröffentlichung [6] die empirisch gewonnene
Beziehung
zwischen
Signalform,
Tiefe
und
Durchmesser
von
Spannstahlbrüchen. Veröffentlichungen von Sawade [16] geben weiteren
theoretischen Einblick in magnetischen Eigenschaften von ferromagnetischen
Bewehrungen, nämlich dünnen langen Stahlstäben. Diese Weiterentwicklung
vom RM-Verfahren bzw. magnetischen Streufeldmessverfahren geht meistens
von den Messgeräten, die die o. g. Wissenschaftler entwickelt haben, aus. Dem
zufolge sind die Ergebnisse ihrer Veröffentlichungen in andere magnetische
Verfahren nicht ohne weiteres direkt zu übertragen.
Für die am Fachgebiet Baustoffe und Baustoffprüfung am Institut für
Bauingenieurwesen
Magnetisierungs-
der
und
Technischen
Messeinheit
Universität
im großen
Berlin
Maßstab
entwickelte
wurden
einige
experimentelle und theoretische Entwicklungen veröffentlicht [15] [18] [19]. Der
Schwerpunkt in diesen Veröffentlichungen ist jedoch die Analyse der
Bruchsignale von Spannbewehrungen. Weitere Zustandserfassung und bewertung für Schlaff- und Spannbewehrungen mithilfe des neuen Messgeräts
sind noch nicht entwickelt worden. Die dafür notwendige theoretische
Behandlung des Magnetisierungsvorgangs und des magnetisierten Zustandes ist
sehr komplex.
23
2 Theoretische Grundlagen des RM-Verfahrens
2.1 Der Ferromagnetismus
2 Theoretische Grundlagen des RM-Verfahrens
2.1
Der Ferromagnetismus
Magnetostatisches Feld
Die grundlegenden Verhältnisse zwischen magnetischen Feldgrößen sind nach
den MAXWELLschen Gleichungen dargestellt werden [20].
∫ B ⋅ ds = μ ∫ J ⋅ dF + μ
0
S
F
0
d
ε 0 E ⋅ dF
dt ∫F
(2-1)
∫ B ⋅ dO = 0
(2-2)
O
Zur Überführung der MAXWELLschen Gleichungen (2-1) und (2-2) in die
Differentialform wendet man den STOKESschen Satz auf die linke Seite an.
∫ (∇ × B) ⋅ dF = ∫ μ
F
0
J ⋅ dF +
F
d
μ 0 ε 0 E ⋅ dF
dt ∫F
(2-3)
Da die Beziehung für jede Fläche gilt, kann man auch eine kleine Fläche wählen
F = ΔF
und den Grenzübergang Δ F → 0 durchführen. Dies ergibt die
Differentialform
∇ × B = μ0 J + μ0
∂
(ε 0 E ) .
∂t
(2-4)
Beim RM-Verfahren werden ausschließlich magnetostatische Felder erfasst.
∂
E =0
∂t
(2-5)
∇ × B = μ0 J
(2-6)
wird in der Formel (2-2) der GAUßsche Integralsatz angewendet, folgt
∇⋅ B = 0
(2-7)
Die Formel (2-7) besagt, dass das statische Magnetfeld quellenfrei ist, d.h. kein
magnetischer Monopol existieren kann [20].
24
2 Theoretische Grundlagen des RM-Verfahrens
2.1 Der Ferromagnetismus
Ferromagnetismus
In ferromagnetischen Stoffen sind die Dipolmomente (Spins) einzelner Atome
oder Moleküle nicht mehr unabhängig voneinander, sondern gekoppelt. Dies ist
ein quantenmechanischer Effekt, der so stark ist, dass praktisch alle Dipole in
einem kleinen Bereich parallel ausgerichtet sind. Die Bereiche heißen W EIßsche
Bezirke und ihre Größe kann stark schwanken [20].
Um den Ferromagnetismus zu modellieren, nimmt man als erstes an, die Dipole
können nur parallel oder antiparallel zum angelegten Feld gerichtet sein. Die
Wahrscheinlichkeit für eine der beiden Richtungen ist durch das BOLTZMANNsche
Verteilungsgesetz gegeben, d.h. die Anzahl der Dipole, die in Richtung ϑ = 0
oder ϑ = π zeigen, ist
N (ϑ = 0) = N 0 , N (ϑ = π ) = N 0 e −2 pm Blok / kT .
(2-8)
Die Anzahl aller Dipole pro Volumeneinheit ist
N = N (ϑ = 0) + N (ϑ = π ) = N 0 (1 + e −2 pm Blok / kT ) .
(2-9)
Man eliminiert N 0 und erhält für das mittlere Dipolmoment
p B
⎡1
⎤
pm = ⎢ N (ϑ = 0) pm − N (ϑ = π ) pm ⎥ = pm tanh( m lok )
kT
⎣N
⎦
(2-10)
Die zweite Annahme folgt aus der Tatsache, dass die Magnetisierung viel stärker
ist als das mittlere Feld.
Blok = B + αμ0 M ,
(2-11)
Wobei α im Bereich von einigen hundert liegt. Das Einsetzen von (2-11) in (210) liefert
M = N pm = Npm tanh(
pm B
μ p
+α 0 m M )
kT
kT
oder
y = tanh x( y ) mit y =
p B
μ Np 2
M
, x = m +α 0 m y .
kT
kT
Npm
(2-12)
Das Modell ist also als Grenzfall des Paramagnetismus mit einer sehr starken
25
2 Theoretische Grundlagen des RM-Verfahrens
2.1 Der Ferromagnetismus
Magnetisierung aufzufassen Die implizite Gleichung (2-12) lässt sich grafisch
interpretieren, Abb. 2-1.
Abb. 2-1 Zur grafischen Lösung von (2-12)
Die implizite Kurve x( y ) ist eine Gerade, deren Schnittpunkte mit der Kurve
y = tanh x Lösungen der Gleichung darstellen. Von besonderem Interesse ist der
Fall
der
spontanen
Magnetisierung,
d.h.
einer
Magnetisierung
bei
verschwindendem Feld B . Bei niedrigen Temperaturen ist die Steigung der
Geraden x( y ) klein, und es ergibt sich ein Schnittpunkt bei x = x0 (Kurve a in
Abb. 2-1). Die Elementardipole richten sich gegenseitig aus und es ergibt sich
eine spontane Magnetisierung, die zugleich eine Sättigungsmagnetisierung ist.
Wird die Temperatur erhöht, gibt sich ein Grenzfall, die CURRIEtemperatur TC , bei
der die Lösung verschwindet und die Gerade x( y ) tangential an der Kurve
y = tanh x anliegt (Kurve b in Abb. 2-1). Die spontane Magnetisierung
verschwindet. Für noch höhere Temperaturen gibt es keine Lösung, und es liegt
normales paramagnetisches Verhalten vor.
Obiges Modell ist nur anwendbar innerhalb der W EISSschen Bezirke, die
abhängig von der Vorgeschichte irgendwie verteilt sind. Legt man an einen
größeren Körper, der zu Beginn unmagnetisch sein soll, ein äußeres Feld an, so
richtet sich ein Teil der W EISSschen Bezirke im Feld aus, andere vergrößern sich
auf Kosten benachbarter Bezirke. Es entsteht eine so genannte Neukurve (Abb.
2-2). Eine weitere Erhöhung des Feldes bringt die Magnetisierung in eine
26
2 Theoretische Grundlagen des RM-Verfahrens
2.1 Der Ferromagnetismus
Sättigung, die Bezirke sind im Wesentlichen alle ausgerichtet. Erniedrigt man
nun B , durchläuft M eine anderen Kurve, die bei B = 0 eine Restmagnetisierung
(Remanenz) aufweist. Erst ein Gegenfeld, das so genannte Koerzitivfeld, bringt
M zum Verschwinden. Ein hinreichend starkes negatives Feld führt in eine
negative Sättigung. Umkehren des Zyklus zu positiven Werten von B ergibt eine
im Ursprung gespiegelte Kurve. Der Zyklus zeigt Hysteresecharakter.
Abb. 2-2 Hysteresekurve eines ferromagnetischen Materials
Um die Eigenschaften des Materials besser und leichter beschreiben zu können,
wird ein Vektorfeld H , genannt magnetische Feldstärke, eingeführt
B = μ0 ( H + M ) mit [ H ] =
A
.
m
(2-13)
B = μ0 (1 + χ m ) H = μr μ0 H = μ H
(2-14)
Dabei gibt die relative Permeabilitätskonstante eines Mediums
μr = 1 + χm =
das
μ
μ0
Verhältnis
(2-15)
der
Permeabilitätskonstanten
Permeabilitätskonstanten μ0 des Vakuums an [20].
27
μ
des
Mediums
zu
der
2 Theoretische Grundlagen des RM-Verfahrens
2.2 Magnetische Eigenschaften der Bewehrung
2.2
Magnetische Eigenschaften der Bewehrung
Als ferromagnetische Stoffe besitzen Spann- und Stahlbewehrung aufgrund ihrer
unterschiedlichen
Zusammensetzungen
und
Herstellungsprozesse
unterschiedliche magnetische Eigenschaften. Magnetische Eigenschaften, vor
allem koerzitive Feldstärke und Remanenz, hängen nicht nur von der
chemischen Zusammensetzung und vom Herstellungsprozess ab, sondern auch
von Form und Querschnitt der Stäbe und der angelegten mechanischen
Zugspannung.
2.2.1
Koerzitivfeldstärke und Remanenz ungespannter Bewehrung
Scheel veröffentlicht sehr ausführliche Messergebnisse der Koerzitivfeldstärke
und der Remanenz ungespannter Bewehrung in seiner Dissertation [6]. Im
Folgenden werden die von Scheel gemessenen magnetischen Eigenschaften
ungespannter Bewehrung dargestellt [6].
Bei Probekörpern mit unterschiedlichem Querschnitt aus dem gleichen Werkstoff
ist die gemessene und anschließend zurückgescherte Flussdichte Btr annähernd
proportional zur Querschnittsfläche des Probenstabs und der Magnetisierung M .
Um unterschiedliche Spannstähle hinsichtlich ihrer Remanenz M R vergleichen
zu können, wird eine Größe M ' eingeführt, die proportional zur Magnetisierung
der Probekörper M P ist [6]
MP ∼ M ' =
Btr
d eff2
(2-16)
deff ist der Durchmesser der Probe, wenn die Probe einen kreisförmigen
Querschnitt hat. Wenn nicht gilt deff = 2
A
π
, A: Querschnittsfläche der Probe.
Koerzitivfeldstärke und Remanenz der Spannstähle
Alle Spannstahlproben zeigen annähernd gleiche Koerzitivfeldstärke und
Remanenz im ungespannten Zustand. Die Herstellungsart der Stähle beeinflusst
ihr magnetisches Verhalten [6].
28
2 Theoretische Grundlagen des RM-Verfahrens
2.2 Magnetische Eigenschaften der Bewehrung
Es wurden gereckte angelassene Spannstähle, kaltgezogene Spannstähle und
vergütete Spanstähle untersucht.
Abb. 2-3 Die Hysterese eines gereckten und angelassenen Spannstahls [6]
29
2 Theoretische Grundlagen des RM-Verfahrens
2.2 Magnetische Eigenschaften der Bewehrung
Abb. 2-4 Die Hysterese eines kaltgezogenen Einzelstabs [6]
Abb. 2-5 Die Hysterese eines vergüteten Spannstahls [6]
Nach den Messungen von Scheel (siehe Tabelle 8-1, 2, 3 von [6]) liegt die
Koerzitivfeldstärke H C der meisten Spannstahlsorten etwa bei 12,5 bis
13,5 A / cm . Die remanente Magnetisierung M R ' liegt meistens zwischen 10,0
bis 11,0 μT / mm 2 .
Koerzitivfeldstärke und Remanenz der Betonstähle
Die Form der Hysterese von Baustählen BSt 500 S ist der von Spannstählen
recht ähnlich. Die Werte für die Koerzitivfeldstärke H C sind bei diesem
Betonstahl deutlich kleiner als bei Spannstählen. Die Messwerte liegen zwischen
6,3 und 7,3 A / cm [6].
Die Werte für M ' schwanken stark und unterscheiden sich nicht signifikant von
den Werten der anderen Betonstähle. Die gezeigte Probe wies von allen
untersuchten Betonstahlproben den höchsten Wert für M ' = 10, 2 μT / mm 2 und
die höchste Koerzitivfeldstärke H C = 8, 2 A / cm auf [6].
30
2 Theoretische Grundlagen des RM-Verfahrens
2.2 Magnetische Eigenschaften der Bewehrung
Abb. 2-6 Hysterese eines Betonstahls BSt 500S, d = 10 mm [6]
2.2.2
Die
Magnetoelastischer Effekt gespannter Bewehrung
Zusammenhänge
ferromagnetischer
zwischen
Materialien
den
und
deren
elastischen
Eigenschaften
Magnetisierung
werden
als
magnetoelastische Effekte bezeichnet.
Ein
magnetostriktives
Material
ändert
seine
Abmessungen
bei
einer
Magnetisierung. Die Ursache für die Magnetostriktion ist in der Kopplung
zwischen Spinmoment und Elektrobahnen zu finden. Da die Kopplungskräfte
schwach
sind,
können
diese
leicht
durch
magnetfeldinduzierte
Kräfte
überwunden werden. In Abb. 2-7 stellen die Pfeile die resultierenden
magnetischen
Momente
der
Atome
und
die
Ellipse
den
von
den
Elektronenbahnen eingenommenen Bereich dar. Legt man ein Magnetfeld an, so
richten sich die Spinmomente und somit die elliptischen Elektronenbahnen in
Richtung des Magnetfeldes H aus. Die Abstände zwischen den Atomen
verringern sich [21].
Im Gegensatz zur Magnetostriktion versteht man unter dem magnetoelastischen
Zugeffekt die Tatsache, dass ein ferromagnetisches, auf Zug belastetes Material
seine magnetischen Eigenschaften in Richtung der elastischen Belastung
31
2 Theoretische Grundlagen des RM-Verfahrens
2.2 Magnetische Eigenschaften der Bewehrung
verändert.
Der
Einfluss
einer
mechanischen
Zugspannung
auf
die
Hysteresekurve ist in Abb. 2-8 dargestellt [21].
Abb. 2-7 Schematische Darstellung der Vorgänge bei der Magnetostriktion [21]
Abb. 2-8 Einfluss einer mechanischen Zugspannung auf den Verlauf der Hysteresekurve
eines Spannstahls
32
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.1 Ausgangssituation und Besonderheiten des RM-Verfahrens
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.1
Ausgangssituation
und
Besonderheiten
des
RM-
Verfahrens
3.1.1
Prinzip des Verfahrens
Das RM-Verfahren zur Bruchortung an Spannstahlbewehrungen basiert auf
folgendem Prinzip: Wenn ein ferromagnetischer Gegenstand (z. B. Stahl)
aufmagnetisiert wird, entstehen im Gegenstand magnetischer Nordpol und
Südpol (siehe Abb. 3-1). Diese beiden Pole sind nicht voneinander trennbar.
Wenn der Gegenstand in zwei Stücke getrennt wird, entstehen in jedem Stück
ein Nord- und Südpol. Analog dazu bilden sich beide Pole am Ende des Drahtes,
wenn ein ungebrochener Spanndraht magnetisiert wird.
Abb. 3-1 Magnetische Dipolbildung eines Spannstabs
Wenn ein gebrochener Spanndraht magnetisiert wird, bilden sich jedoch
zusätzliche Pole am Rissufer (siehe Abb. 3-2). Da Spannstahl magnetisch
hysteresische Eigenschaften besitzt, bleibt das Magnetfeld im Stahl erhalten.
Dieses Remanenzmagnetfeld wird gemessen und nach der Form des Verlaufs
der magnetischen Flussdichte wird ermittelt, ob der Draht gebrochen ist.
Wird das Magnetfeld einer breiten Stahlbetonplatte, z. B. Brückenfahrbahn,
Parkdecks, in zwei Dimensionen abgescannt, können noch viele weitere
Informationen
über
die
Betonplatte
33
gewonnen
werden.
Anhand
der
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.1 Ausgangssituation und Besonderheiten des RM-Verfahrens
Informationen können Zustände, wie Lage, Tiefe, Art, Korrosion von Schlaff- und
Stahlbewehrungen bewertet werden.
Abb. 3-2 Magnetische Flussdichte gebrochener Spanndrähte
34
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.1 Ausgangssituation und Besonderheiten des RM-Verfahrens
3.1.2
Gerätschaften
Großmagnet
Der Magnetwagen für das RM-Verfahren besteht aus einem großen Jochmagnet,
Tragwerk,
Hydraulikteil,
Transformator,
zwei
Lenkrädern
und
einem
Kühlungssystem. Der Jochmagnet hat eine Länge von 3,5 m, somit kann ein
Fahrstreifen einer Autobahnbrücke in einem Zug magnetisiert werden.
Abb. 3-3 Magnetwagen mit Jochmagnet
Fährt der Magnetwagen quer zu den zu untersuchenden Bewehrungen,
schließen nur die parallel zur Magnetachse liegenden Bewehrungen einen
nahezu vollständigen magnetischen Kreis und werden somit stark magnetisiert.
Die quer zur Magnetachse verlaufenden Bewehrungen können mit dem
Jochmagnet keinen magnetischen Kreis bilden. Also werden sie sehr schwach
magnetisiert. Dieser Effekt ist für die Zustandsanalyse der Bewehrung sehr
vorteilhaft, da sich nur die quer zur Fahrtrichtung liegenden Bewehrungen auf
dem Magnetbild zeigen und damit diese Bewehrungen viel besser erkennbar
werden.
Der Magnet wird per Computer gesteuert. Die Stärke des zu erzeugenden
Magnetfeldes wird durch Steuerung der Stromstärke der Spule reguliert. Der
35
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.1 Ausgangssituation und Besonderheiten des RM-Verfahrens
Transformator für die Stromsteuerung kann die Stromstärke von 13,4 A bis 150
A regulieren. Die Höhe des Jochmagneten ist per Fernbedienung verstellbar.
Der Wagen ist mit vorderen Lenkrädern versehen. Da der Jochmagnet mit
großer Stromstärke arbeitet, entsteht in der Spule eine große Wärme. Um das zu
verhindern,
wurde
der
Magnet
mit
einer
Kühlung
ausgerüstet.
Die
Fahrgeschwindigkeit des Wagens kann mithilfe eines Druckventils des
Hydrauliksystems geändert werden.
Abb. 3-4 Magnetisierung mit dem Großjochmagnet
Alle metallischen Teile außer dem Magnet sind aus Aluminium, um das zu
messende Magnetfeld möglichst wenig zu stören. Die magnetische Feldstärke
unmittelbar nah am Magnet beträgt bei höchster Stromstärke 700 mT. Der
Magnetwagen wiegt ca. 2,5 t.
Abb. 3-5 Magnetfeld an Querbewehrungen
36
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.1 Ausgangssituation und Besonderheiten des RM-Verfahrens
Rotationsscanner
Ein Bestandteil des neuen Verfahrens ist die Messtechnik. In früheren Verfahren
wurden vor der Magnetfeldmessung Spannbewehrungen mit Georadar geortet,
denn die früheren Magnetverfahren (inklusive Streufeldmessverfahren) können
die Lage der Spannbewehrungen nicht detektieren. Der große Magnetwagen
magnetisiert fahrstreifenweise mit der Geschwindigkeit 500 m/h , d.h. 1680 m2 /h .
Dementsprechend soll die Messung des Magnetfelds schnell erfolgen, um die
Wirtschaftlichkeit des Messverfahrens zu erhöhen.
Der Rotationsscanner besteht aus einem Rotor mit Hall-Sensoren, A/D-Wandler,
Frequenzumrichter,
Netzteil,
zwei
Wegaufnehmern
und
Computer.
Im
Rotationsscanner wurden zehn Hall-Sensoren in dem Rotor eingebaut. Jeweils
fünf Hall-Sensoren liegen am Ende des Rotors mit 1 cm Abstand voneinander.
Da die Sensoren horizontal liegen, messen sie die transversale Größe der
magnetischen Flussdichte des Feldes. Der Rotor dreht sich 0,5 bis zweimal pro
Sekunde um die Achse. Die Drehzahl des Rotors kann per Computer eingestellt
werden. Die durch Sensoren gemessenen Werte werden über A/D-Wandler in
den Computer eingespeist und entsprechend weiterbearbeitet.
Abb. 3-6 Rotationsscanner
Die Hall-Sensoren überstreichen das gesamte Feld während der Dreh- und
Vorwärtsbewegung. Bei Hall-Sensoren ist es problematisch, dass jeder HallSensor einen eigenen Nullpunkt hat. Auf diesen Nullpunkt bezogen, wird die
magnetische Flussdichte gemessen. Da die Nullpunkte der Sensoren mit der
Zeit driften, müssen alle Sensoren abgeglichen werden, um einen gleichen
Bezugspunkt zu ermitteln.
37
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.1 Ausgangssituation und Besonderheiten des RM-Verfahrens
Abb. 3-7 Sensoreinheit
Seien einige hundert Sensoren quer zur Scannrichtung linienförmig angeordnet,
dann wäre es sehr schwierig, alle Sensoren abzugleichen. Alle Sensoren
müssen zum Abgleichen mindestens einmal auf die zwei gleichen Punkte
kommen und durch die Messwerte beider Punkte werden der Nullpunkt und die
Empfindlichkeit ermittelt.
Abb. 3-8 Scannvorgang
Wie in Abb. 3-9 zu sehen ist, überschneiden sich die Laufbahnen aller Sensoren
auf mehreren gleichen Punkten, was ein Abgleichen der Sensoren auf einen
Bezugssensor nötig macht.
Der Sensor in Schwarz in Abb. 3-9 sei der Bezugssensor. Die Laufbahnen der
anderen vier Sensoren (blaue, rote, cyan-farbene, grüne Linie) überschneiden
sich mit der Laufbahn des Bezugssensors (rote Punkte). An diesen Punkten soll
der Messwert des jeweiligen Sensors dem Messwert des Bezugssensors
entsprechen. Mit den Werten an den roten Punkten kann die relative
Abweichung jedes Sensors in Bezug auf den Bezugssensor ermittelt werden.
38
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.1 Ausgangssituation und Besonderheiten des RM-Verfahrens
Abb. 3-9 Abgleichen der Sensoren
In jedem Moment werden der Winkel des Rotors und der zurückgelegte Weg des
Scanners gemessen und mithilfe der Werte werden Koordinaten der Sensoren
berechnet.
x = v ⋅ t + r ⋅ cos(φ )
y = r ⋅ sin(φ )
Die Messwerte werden durch die Software „RotoScan“ erfasst. Mit dem
„RotoScan Viewer“ wird das erfasste Magnetfeld durch Koordinatenberechnung
und
Sensorabgleichung
berechnet
und
dargestellt.
Drehzahl
und
Fahrgeschwindigkeit haben einen großen Einfluss auf die Messauflösung. Je
schneller sich der Rotor dreht, desto höher wird die Auflösung. Wenn der
Scanner langsamer fährt, wird das Feld dichter gescannt.
Der Rotationsscanner kann das Feld mit einem Raster bis 1 cm x 1 cm
aufnehmen.
Die
höchste
Fahrgeschwindigkeit
des
Scanners
mit
der
auswertbaren Qualität beträgt 500 m/h, wenn die Messdatei angemessen
geglättet wird. Die Messgeschwindigkeit beträgt 3,36 m ⋅ 500 m/h = 1680 m2 /h
entspricht einer enormen Messleistung.
Beim RotoScan-Viewer kann die Flussdichte im grauskalierten Bild gezeigt
werden.
Hier wird schon ein bildlicher Gesamteindruck des Messfeldes
gewonnen.
39
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.1 Ausgangssituation und Besonderheiten des RM-Verfahrens
Abb. 3-10 RotoScan Viewer
Abb. 3-11 Aufnahme eines Versuchsfeldes mit Rotationsscanner
40
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.1 Ausgangssituation und Besonderheiten des RM-Verfahrens
3.1.3
Zusammenfassung des RM-Verfahrens als Ausgangssituation
Das neue RM-Verfahren mit dem Großmagnetwagen und Rotationsscanner
bietet viele Vorteile. Vor allem ermöglicht das Verfahren eine zweidimensionale
Flächenmessung. Durch den Magnetwagen wird die Betonplatte streifenweise
magnetisiert und anschließend wird diese Fläche mithilfe des Rotationsscanners
aufgenommen.
Das erhöht nicht nur die Schnelligkeit des Verfahrens, sondern verbessert die
Signalverarbeitbarkeit.
Aufgrund
der
selektiven
Magnetisierung
des
Großmagneten zeigen sich ausschließlich die quer zur Fahrtrichtung liegenden
Bewehrungen
in
Messergebnissen.
Aus
den
zweidimensionalen
Messergebnissen können Lagen der Spann- und Schlaffbewehrungen ohne
großen Aufwand ermittelt werden.
In vielen Fällen sind chloridinduzierte Korrosionsstellen lokal sehr begrenzt. An
Stellen, an denen der Beton oder Fahrbahnbelag nicht dicht ist, kann das Chlorid
aus Tausalz eindringen und zur Korrosion des Bewehrungsstahls führen. Das ist
der Grund, warum die 50 cm von der punktuellen Korrosionsstelle entfernten
Bewehrungen vollkommen unversehrt sind. Diese Tatsache zeigt, dass die
Zustandsprüfung auf einer verhältnismäßig kleinen Oberfläche innerhalb einer
großen Betonplatte nicht repräsentativ für die gesamte Fläche ist. Unter diesem
Aspekt gesehen, sollten möglichst große Flächen von korrosionsgefährdeten
Betonplatten untersucht werden. Das RM-Verfahren ist für derartige Probleme
sehr geeignet.
Die hohe Messgeschwindigkeit des Verfahrens, ca. 1680 m2 /h , bringt einen
großen volkswirtschaftlichen Vorteil. Angenommen, auf einer Autobahnbrücke
fahren täglich 100.000 Pkw. Infolge der Fahrbahnsperrung zum Zwecke der
Untersuchung verlängert sich die Fahrzeit für jeden Pkw um eine halbe Stunde.
Daraus resultieren sich volkswirtschaftliche Mehrkosten von 2.833 €/h [35].
Wenn die Untersuchung mit einem anderen zerstörungsfreien Verfahren einen
Tag dauert, geht eine Summe von ca. 70.000 € verloren. Das RM-Verfahren
braucht für die gleiche Messfläche weniger als fünf Stunden, dabei fallen
lediglich Kosten von ca. 14.000 € an.
41
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.1 Ausgangssituation und Besonderheiten des RM-Verfahrens
Wie bereits beschrieben, kann die Lage der Spann- und Schlaffbewehrungen
anhand des aufgenommenen Magnetbilds ohne großen Aufwand ermittelt
werden. Die Auflösung des Verfahrens 1 cm x 1 cm ist ausreichend.
Normalerweise werden Anfangs- und Endbereich der Bewehrungen mit starken
magnetischen Polen identifiziert werden. Außerdem werden unstetige Stellen,
wie z. B. korrodierte Stellen, Brüche, aufsteigende Bügel, usw. im Magnetbild
markant.
Abb. 3-12 Magnetbild einer Brückenplatte
In
üblichen
Bauwerken
sind
unterschiedlich
starke
Bewehrungen
in
uneinheitlichen Tiefen angeordnet. Die aufgenommene magnetische Flussdichte
spiegelt den Zusammenhang von Tiefe, Durchmesser und Korrosionszustand
der Bewehrungen wider. Analytische Ansätze zur Analyse von Magnetbildern
wurden in der Veröffentlichung von Pak [15] dargestellt. Da die direkte
Anwendung der magnetostatischen Grundlagen für Bauwerke kaum möglich ist,
42
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.1 Ausgangssituation und Besonderheiten des RM-Verfahrens
wurden sie zum Zwecke des Praxiseinsatzes stark vereinfacht. Diese
vereinfachten Ansätze liefern relativ gute Ergebnisse [15].
Es gibt weder grundlegende Theorien noch experimentelle Ergebnisse, mit
denen der Durchmesser der Bewehrungen ermittelt werden kann. Grund dafür
ist, dass die magnetische Flussdichte einer Bewehrung nicht nur von der Tiefe,
dem Durchmesser und der angelegten Feldstärke, sondern auch von der
Stahlsorte und der magnetischen Vorgeschichte der Bewehrung abhängig ist.
Neben den bauwerkspezifischen Theorieentwicklungen wird eine spezielle
Analysensoftware für das RM-Verfahren gebraucht, um das Feld ohne
erheblichen Aufwand analysieren zu können. Der Großmagnet magnetisiert
Bewehrungen sehr selektiv. Dennoch entstehen viele Störsignale, welche die
Bewertung der Messergebnisse erheblich erschweren. Die Software sollte zuerst
eine dem Verfahren entsprechend maßgeschneiderte Benutzeroberfläche
besitzen. Außerdem sollte die Software nach den entwickelten Theorien und
Experimenten die Daten aufbereiten und verarbeiten können.
43
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
3.2
Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
3.2.1
Analytische Simulation für einen Großmagneten
Die Remanenz der Bewehrungen ist Hauptursache der magnetischen Felder in
Bauwerken. Das Restmagnetfeld (Remanenz) infolge der Magnetisierung mit
dem Großmagnet macht einen beachtlichen Betrag aus und wird erfasst.
Aufgrund der hysteresischen Eigenschaften ist die Remanenz der Bewehrungen
vom Magnetisierungszustand abhängig (siehe Abb. 3-13). Es gibt verschiedene
Modelle für Magnetisierungskurven, die die Abhängigkeit der Remanenz von der
magnetischen Feldstärke darstellen [22]. Eine nähere Betrachtung der Modelle
erfolgt im nächsten Kapitel dieser Arbeit.
Abb. 3-13 Hystereseschleifen nach dem Stoner-Wohlfahrt-Modell [22]
44
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Abb. 3-14 Äußerste Hystereseschleife als Umgrenzung der für einen Werkstoff möglichen
Wertepaare B und H
1: Sättigung- Gegenfeld, 2: Sättigung- geeignet gewählte innere Schleife, 3:
Entmagnetisierung- innere Schleife
Da
offensichtlich
die
maximale
Magnetisierung
neben
dem
Magnetisierungsvorgang Hauptfaktor für die Remanenz ist, wird zunächst die
höchste magnetische Feldstärke H oder die größte Magnetisierung M an
jeweiligen Orten analytisch ermittelt. Dafür soll das vom Großmagnet erzeugte
Feld berechnet werden.
3.2.1.1 Randbedingungen
Der Großmagnet besteht aus zwei Jochbeinen, einem Jochrücken und zwei
Spulen. Die Spulenkerne und das Joch sind aus ARMCO-Eisen hergestellt.
Jedes Jochbein hat einen Durchmesser von 320 mm, eine Höhe von 1100 mm
und wiegt ca. 500 kg. Der Jochrücken ist 3400 mm lang, 50 mm hoch und ca.
700 kg schwer. Der Kupferdraht für beide Spulen hat einen Durchmesser von 5
mm und jede Spule besitzt 680 Windungen. Der Abstand zwischen den
Jochbeinachsen beträgt 3080 mm. An den Jochmagneten kann ein Strom von
14,3 A bis 150 A angelegt werden. Die Stromversorgung wird durch das
Schaltnetzteil AEG 18000 CAN geregelt.
Das ARMCO-Eisen ist technisch reines Eisen mit einem Fe-Gehalt von 99,8 bis
99,9 Prozent. Es ist ein weicher und zäher Werkstoff, der infolge seiner Reinheit
45
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
eine geringe Koerzitivkraft, hohe magnetische Sättigung und gute elektrische
Leitfähigkeit aufweist. Das ARMCO-Reineisen hat folgende physikalische
Eigenschaften [23].
Physikalische Größe
Typische Werte
Anfangspermeabilität
300-500
Permeabilität
3500-6000
Koerzitivfeldstärke
60-120 A/m
Sättigungsflussdichte
2,15 T
Dichte bei 20 °C
7,86 kg/dm³
Schmelzpunkt
1539 °C
Wärmedehnungskoeffizient 0°C-100°C
12·10-6 1/K
Elastizitätsmodul
2,1·105 MN/m²
Tabelle 3-1 Physikalische Eigenschaften von ARMCO-Eisen [23]
3.2.1.2 Einfaches physikalisches Modell für ein Jochbein
Abb. 3-15 Einfaches Elektromagnetmodell
Zuerst wird nur ein Elektromagnet statt eines Jochmagneten aus zwei
46
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Elektromagneten und einen Joch verwendet. Dieser Elektromagnet hat den
Durchmesser d , die Länge l und die Windung N . Durch die Leitung fließt ein
Strom I . In der Spule befindet sich ein ARMCO-Eisenkern mit dem gleichen
Durchmesser und der gleichen Länge. Dieser Kern besitzt eine relative
Permeabilität von μ r .
Durch das BIOT-SARVARTsche Gesetz kann das Magnetfeld um eine elektrische
Leitung berechnet werden (Abb. 3-16).
B=
μ ds × r
4π ∫S r 3
(3-1)
Hat ein Kreisstrom den Mittelpunkt (0, 0, z ') , kann die
magnetische Flussdichte
am Punkt P (0, 0, z ) mit Gleichung (3-1) ermittelt werden.
z
dB
P
r
β
ρ
I
φ
y
x
Abb. 3-16 Magnetische Flussdichte am Punkt P infolge eines Kreisstroms
Aufgrund der Rotationssymmetrie des Feldes ist die Z-Komponente der
Flussdichte von Interesse.
Bz = B ⋅ e z =
Bz =
μI
4π
∫
S
Bz =
μI
4π
∫
S
μI
4π
∫
ds × r
⋅ ez
S
r3
e z × ds
⋅r
r3
ds ⋅ sin β
r2
47
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Das System kann im zylindrischen Koordinatensystem umgesetzt werden.
r = ρ 2 + ( z − z ')2
ds = ρ dϕ
ρ
sin β =
Bz =
Bz =
r
μI
4π
μI
ds ⋅ sin β μ I
∫ S r 2 = 4π
2π
∫ ⎡ρ
0
⎣
ρ 2 dϕ
2
+ ( z − z ')2 ⎤⎦
3/ 2
ρ2
⋅
(3-2)
2 ⎡ ρ 2 + ( z − z ')2 ⎤ 3/ 2
⎣
⎦
Die Spule hat eine Höhe von l . Die durchfließende Stromstärke der gesamten
Spule N ⋅ I ist über die Höhe verteilt.
dI =
N⋅I
dz
l
Die magnetische Flussdichte am Punkt P (0, 0, z ) infolge der Spule ergibt sich
also aus dem Integral von (3-2) über die Höhe.
Bz =
Bz =
Bz =
μ
2
⋅
z0 + l
∫
z0
μ NI
2l
N ⋅I
ρ2
⋅ 2
dz ', (μ =const)
l [ ρ + ( z − z ') 2 ]3/ 2
⋅
z'
ρ 2 + z '2
(3-3)
z − z0
z − ( z0 + l )
μ NI ⎛
z − z0
z − ( z0 + l )
⋅⎜
−
2l ⎜ ρ 2 + ( z − z 0 ) 2
ρ 2 + [ z − ( z0 + l )]2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
(3-4)
Hier μ = μr ⋅ μ0
Aus der Formel (3-4) kann die magnetische Flussdichte an der Unterseite des
Magneten berechnet werden.
Bz ( z = z0 ) = −
μ NI
(3-5)
2 ρ 2 + l2
48
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Analog dazu berechnet sich die Flussdichte an der Oberseite und am Mittelpunkt
des Magneten wie folgt.
Bz ( z = z0 + l ) =
μ NI
(3-6)
2 ρ2 + l2
l
Bz ( z = z0 + ) =
2
μ NI
(3-7)
l2
2 ρ2 +
4
magnetische Flussdichte [T]
1.4
1.2
Bz( z)
1
0.8
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
z
Höhe [mm]
Abb. 3-17 Magnetische Flussdichte innerhalb der Spule
Die Formel (3-4) gilt allerdings nur für den Bereich innerhalb der Spule, weil sich
außerhalb der Spule kein Eisen, sondern Luft befindet. Jedoch ist noch zu
beachten, dass ferromagnetische Stoffe keine konstante Permeabilität besitzen.
Abb. 3-18 Permeabilitätsverlauf ferromagnetischer Stoffe [24]
49
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Die Nichtlinearität der Permeabilität erschwert die analytische Lösung der
magnetischen Flussdichte innerhalb des Spulenkerns, da μ = μr ⋅ μ0 nicht
konstant ist, sondern von der magnetischen Feldstärke abhängig ist. Die
materialunabhängige magnetische Feldstärke kann wie die Formel (3-4) vom
BIOT-SAVARTschen Gesetz hergeleitet werden.
z − z0
z − ( z0 + l )
NI ⎛
⋅⎜
−
2l ⎜ ρ 2 + ( z − z0 ) 2
ρ 2 + [ z − ( z0 + l )]2
⎝
magnetische Feldstärke [A/m]
Hz =
6 .10
4
5 .10
4
4 .10
4
⎞
⎟
⎟
⎠
(3-8)
Hz( z)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
11
z
Höhe [mm]
Abb. 3-19 Magnetische Feldstärke im Spulenkern des Großmagneten
Der Wert H z variiert von 30 kA/m bis 60 kA/m . Um den ausreichend genauen
Wert der magnetischen Flussdichte des Spulenkerns zu gewinnen, wird die B-HKurve von Reineisen aus der FEM-Software ANSYS Workbench eingesetzt.
(siehe Tabelle A-1, Abb. A-1)
B = B( H )
(3-9)
H = 15,87 ⋅103 A / m
B = 1,98T
H = 31, 74 ⋅ 103 A / m
B = 2,10T
H = 63, 49 ⋅103 A / m
B = 2, 22T
Aus obigen drei Wertpaaren kann eine polynomische Näherungsfunktion
gebildet werden.
50
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
B = a1 ⋅ H 2 + a2 ⋅ H + a3
(3-10)
a1 = −7, 96 ⋅10 −5 , a2 = 1,14 ⋅ 10−2 , a3 = 1,82
Aus den Formeln (3-8) und (3-10) ergibt sich die Funktion B( H ( z )) (siehe Abb.
3-20). Die magnetische Flussdichte im Spulenkern liegt zwischen 2,1 T bis 2,2 T
und weist keine große Änderung auf. Wegen der Rotationssymmetrie
verschwinden Bx und B y auf der Z-Achse.
magnetische Flussdichte [T]
2.2
Bz( z)
2.15
2.1
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
z
Höhe [mm]
Abb. 3-20 magnetische Flussdichte des Spulenkerns nach (3-10)
Die magnetische Feldstärke unterhalb der Elektromagneten wird sowohl durch
den durch die Spule fließenden Strom als auch durch den magnetisierten
Spulenkern beeinflusst. Der Anteil vom Spulenstrom kann mit der Formel (3-8)
berechnet werden. Hier wird z0 einfachheitshalber auf 0 gesetzt.
H z , Spule =
NI ⎛
z
z−l
⋅⎜
−
2l ⎜ ρ 2 + z 2
ρ 2 + ( z − l )2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
(3-11)
Die skalare Potentialfunktion ψ an einem Punkt P von einem magnetisierten
Körper mit dem Volumen V ist wie folgt [25].
ψ (P) =
1
1
M (P') ⋅ grad P ' dV '
∫
4π V
r
Oder ψ (P) =
1
r
M (P') ⋅ 3 dV '
∫
4π V
r
(3-12)
51
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Hier ist P' der zu integrierende Punkt im magnetisierten Körper und r ist der
Vektor aus den Punkten P und P' (siehe Abb. 3-21).
P
r
z
V’
M(P’)
P’
y
x
Abb. 3-21 Zur Berechnung des magnetischen Potentials
H = − gradψ
H (P) = −
1
r
grad P ∫ M (P') ⋅ 3 dV '
4π
r
V
(3-13)
(3-13) ist eine analytisch sehr schwierig zu lösende Formel. Um diese
Feldberechnung durchführen zu können, soll diese Formel vereinfacht werden.
Dafür wird der Vektor M (P') als konstant angenommen, weil die Magnetisierung
im Sättigungsbereich nahezu konstant ist (siehe Abb. 3-20).
M (P') =
B
μ0
− H = const.
Da in ferromagnetischen Stoffen B / μ0
H ist, darf H vernachlässigt werden.
Außerdem wird die Rotationssymmetrie entlang der z-Achse ausgenutzt.
B = (0, 0, B )
m := M V =
B
μ0
⋅ ez = m ⋅ ez
(3-14)
H ( z) = −
1
r
1
r
grad P ∫ m ⋅ 3 dV ' = −
grad P ∫ m ⋅ ez ⋅ 3 dV '
4π
4π
r
r
V
V
H ( z) = −
1
r
grad P ∫ m ⋅ z3 dV '
4π
r
V
(3-15)
52
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Um
das
Integral
einfacher
lösen
zu
können,
wird
das
kartesische
Koordinatensystem durch ein Zylinderkoordinatensystem ersetzt.
z
ρ' m
P’(ρ',β,z’)
β
r
rz
x
y
P(0,0,z)
Abb. 3-22 Zur Integralberechnung (3-15)
rz = z '− z
r = ( z '− z )2 + ρ '2
dV ' = ρ ' d β d ρ ' dz '
l ρ 2π
H ( z) = −
1
( z '− z )
grad P ∫ ∫ ∫ m ⋅
ρ ' d β d ρ ' dz '
4π
[( z '− z ) 2 + ρ '2 ]3/ 2
0 0 0
(3-16)
l ρ
1
( z '− z )
H ( z ) = − grad P ∫ ∫ m ⋅
ρ ' d ρ ' dz '
2
[( z '− z ) 2 + ρ '2 ]3/ 2
0 0
l
⎛
1
z '− z
H ( z ) = − grad P ∫ m ⋅ ⎜ 1 −
⎜
2
( z '− z ) 2 + ρ 2
0
⎝
⎞
⎟ dz '
⎟
⎠
(3-17)
⎛
z '− z
⋅
m
∫0 ⎜⎜1 − ( z '− z )2 + ρ 2
⎝
l
Wie in (3-17) zu sehen ist, hängt das Integral
⎞
⎟ dz ' lediglich
⎟
⎠
von z ab. Das bedeutet, die x- und y-Komponente von H ( z ) sind identisch null
und der Gradient hebt sich mit dem Integral auf.
H x ( z) = H y ( z ) ≡ 0
53
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
l
⎛
1 ∂
z '− z
⎜1 −
⋅
H z ( z) = −
m
∫
2 ∂z 0 ⎜
( z '− z ) 2 + ρ 2
⎝
1 ⎛
( z '− z )
H z ( z ) = m ⋅ ⎜1 −
⎜
2 ⎝
( z '− z ) 2 + ρ 2
H z , Kern ( z ) = −
⎞
⎟ dz '
⎟
⎠
l
⎞
⎟
⎟
⎠0
(3-18)
m⎛
z
l−z
⎜
+
2 ⎜ z2 + ρ 2
(l − z ) 2 + ρ 2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
(3-19)
oder
Bz , Kern ( z ) = −
μ0 ⋅ m ⎛
z
l−z
⎜
+
⎜ z2 + ρ 2
(l − z ) 2 + ρ 2
⎝
2
⎞
⎟
⎟
⎠
(3-20)
Der Wert μ0 ⋅ m , also B aus dem vorigen Beispiel wird in (3-20) eingesetzt. Dabei
stellt sich die Frage, wie der repräsentative Mittelwert der magnetischen
Flussdichte ermittelt werden soll. Weil in diesem Beispiel die Flussdichte
zwischen 2.1 T und 2.2 T liegt und damit geringere Abweichung aufweist, wird
der maximale Wert als Mittelwert eingesetzt.
1
Tiefe [mm]
0.8
− Bz( z)
0.6
0.4
0.2
0
100
200
300
400
z
magnetische Flussdichte [T]
Abb. 3-23 Magnetische Flussdichte unter dem Magneten
54
500
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Die gesamte magnetische Flussdichte ergibt sich aus beiden Teilen von (3-11)
und (3-20).
Bz ,Gesamt = Bz , Kern + Bz , Spule
Bz ,Gesamt ( z ) = −
μ0 ⋅ m ⎛
2
z
l−z
⎜
+
⎜ z2 + ρ 2
(l − z ) 2 + ρ 2
⎝
⎛ μ ⋅ m μ0 ⋅ N ⋅ I
−
Bz ,Gesamt ( z ) = − ⎜ 0
2l
⎝ 2
⎞ μ ⋅N ⋅I ⎛
z
l−z
⎟+ 0
⎜
+
2
2
⎟
⎜
2l
(l − z ) 2 + ρ 2
⎠
⎝ z +ρ
z
l−z
⎞⎛
+
⎟ ⎜⎜ 2
2
⎠⎝ z + ρ
(l − z ) 2 + ρ 2
⎞
⎟
⎟
⎠
Da wegen sehr hoher Anfangspermeabilität des Spulenkerns
⎞
⎟
⎟
⎠
(3-21)
μ0 ⋅ m
μ0 ⋅ N ⋅ I
2
2l
ist, kann der Anteil aus der Spule vernachlässigt werden.
Bz ,Gesamt ≅ Bz , Kern
Bz ,Gesamt ( z ) = −
(3-22)
μ0 ⋅ m ⎛
2
z
l−z
⎜
+
⎜ z2 + ρ 2
(l − z ) 2 + ρ 2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
(3-23)
Die auswertbare Messtiefe im RM-Verfahren ist wegen der Abschwächung des
Messsignals meistens auf ca. 300 mm beschränkt, d. h., zmax = −300 mm . Also
l−z
(l − z )2 + ρ 2
l−z
(l − z ) 2 + ρ 2
l−z
= 0,99 ,
(l − z ) 2 + ρ 2
z =0
= 0,98 ( ρ = 160 mm, l = 1100 mm ).
z =−300
≅1
(3-24)
Die Formel (3-23) wird durch Einsatz von (3-14) und (3-24) vereinfacht.
Bz ,Gesamt ( z ) = −
B B
−
2 2
z
(3-25)
z + ρ2
2
Die Ergebnisse aus (3-4), (3-23) und (3-25) gelten lediglich entlang der
Spulenachse, wo sich die magnetische Feldgröße analytisch verhältnismäßig
einfach ermitteln lässt. Die Rotationssymmetrie des Magnetsystems kann an
keinem Ort außerhalb der Spulenachse zur Berechnung der magnetischen
Feldgrößen angewendet werden.
55
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Die magnetische Flussdichte an einem Aufpunkt P(0, 0, z ) besteht laut (3-23) aus
zwei Termen, nämlich −
μ0 ⋅ m
2
⋅
z
z +ρ
2
2
und −
μ0 ⋅ m
2
⋅
(l − z )
(l − z ) 2 + ρ 2
. Der erste
Term entspricht dem Einfluss von der Unterseite des Spulenkerns und der
andere stellt den Einfluss von der Oberseite des Spulenkerns dar. Wie in (3-24)
zu sehen ist, nähert sich der zweite Term −
μ0 ⋅ m
2
an. Das bedeutet, unter der
Annahme homogener, einaxialer Magnetisierung hat die Mantelfläche des
Spulenkerns keinen Einfluss auf magnetische Feldgrößen. Diese Kenntnis kann
zur Ermittlung der magnetischen Feldgrößen an beliebigen Orten ausgenutzt
werden.
z
ρ'
β
x
m
P’(ρ',β,z’)
y
r
rz
P(x,y,z)
Abb. 3-24 Magnetische Feldgröße an einem Punkt
In Abb. 3-24 sind geometrische und physikalische Elemente zur Berechnung der
magnetischen Feldgrößen mit der allgemein gültigen Formel (3-13) dargestellt.
H (P) = −
1
r
grad P ∫ M (P') ⋅ 3 dV '
r
4π
V
M (P') ≡ m =
B
μ0
H ( x, y, z ) = −
⋅ e z = const.
1
B r
grad P ∫ ⋅ z3 dV '
μ0 r
4π
V
(3-26)
56
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
M ( x, y , z ) = −
1
r
grad P ∫ B ⋅ z3 dV '
r
4π
V
(3-27)
rz = z '− z
r = ( ρ 'cos β − x )2 + ( ρ 'sin β − y )2 + ( z '− z) 2
dV ' = ρ ' d β d ρ ' dz '
l ρ 2π
1
M ( x, y , z ) = −
grad P ∫ ∫
4π
0 0
∫ B ⋅ [( ρ 'cos β − x)
0
2
( z '− z )
ρ ' d β d ρ ' dz '
+ ( ρ 'sin β − y )2 + ( z '− z ) 2 ]3/ 2
(3-28)
Das Integral in (3-28) kann analytisch nicht gelöst werden. Aus diesem Grund
sind objektbezogene Vereinfachungen und realistische Ansätze notwendig, um
magnetische Feldgrößen außerhalb des Elektromagneten analytisch berechnen
zu können. Die Vereinfachungen und Ansätze sollen nicht in einem einzelnen
Magneten, sondern im gesamten Magnetsystem gemacht werden, damit können
Genauigkeit und Plausibilität der analytischen Modelle deutlich verbessert
werden.
3.2.1.3 Physikalisches Modell für das gesamte Elektromagnetsystem
Der Großjochmagnet besteht aus drei Einheiten, zwei Elektromagneten und
einem Jochrücken. Wie im vorigen Kapitel beschrieben wurde, ist der Anteil der
beiden Spulen am gesamten Magnetfeld viel geringer als der Anteil der
Spulenkerne.
Der Betrag der Magnetisierung in beiden Spulenkernen ist gleich, da durch beide
Spulen gleicher Strom fließt. Wegen der entgegengesetzten Wicklungsrichtung
der Spulen ist die Vektorrichtung der Magnetisierung ebenfalls entgegengesetzt.
Da magnetostatische Felder quellenfrei sind, kann die Magnetisierung des
Jochrückens im Zusammenhang mit der Magnetisierung des Spulenkerns
beschrieben werden.
57
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Abb. 3-25 Großjochmagnet
Abb. 3-26 Zur Berechnung der magnetischen Flussdichte im Joch
∇⋅ B = 0
(3-29)
B = μ0 ( H + M ) ≅ μ0 M
∇⋅ M ≅ 0
58
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
∫ m dO ' = ∫
O
mKern dA '+
AKern
∫
m Mantel dA '+
AMantel
∫
m Joch dA ' = 0
(3-30)
AJoch
Nach dem Brechungsgesetz [25] an der Materialoberfläche ist der zweite Term
von (3-30) nahezu null.
∫
mKern dA '+
AKern
∫
m Joch dA ' = 0
AJoch
−mKern ⋅ AKern + mJoch ⋅ AJoch = 0
mJoch =
AKern
⋅ mKern
AJoch
(3-31)
Die magnetische Feldstärke an einem Punkt außerhalb des Großmagneten kann
durch die MAXWELLsche Theorie (3-13) berechnet werden.
H ( x, y, z ) = −
H ( x, y, z ) = −
1
r
grad P ∫ M ( P ') ⋅ 3 dV '
r
4π
V
⎛
⎞
1
r
r
r
grad P ⎜ ∫ m Kern1 ⋅ 3 dV ' + ∫ m Joch ⋅ 3 dV ' + ∫ m Kern 2 ⋅ 3 dV ' ⎟
⎜V
⎟
r
r
r
4π
VJoch
VKern 2
⎝ Kern1
⎠
(3-32)
(3-32) kann aufgrund der Geometrie des Großjochmagneten nicht ohne weiteres
analytisch gelöst werden, obwohl eine derartige Form des Elektromagneten in
der Wirklichkeit nicht unüblich ist. Herkömmliche magnetostatische Gesetze sind
also nur in geometrisch sehr einfachen Systemen direkt anwendbar.
3.2.2
Neuer physikalischer Ansatz für magnetisierte Körper
Wie in 3.2.1 erwähnt, liefern die MAXWELLschen Theorien für statische
Magnetfelder in den meisten Praxisfällen keine analytische Lösung. Der höhere
Schwierigkeitsgrad der Magnetfeldtheorien beruht in großem Maße auf dem
immer existierenden Dipol, entsprechend der Quellenfreiheit des Magnetfeldes.
Wenn ein homogen magnetisierter Körper ein Magnetfeld erzeugt, kommen nur
die senkrecht zur Magnetisierungsrichtung stehenden Flächen in Betrachtung
und die Flächen bilden den Dipoleffekt.
59
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
z
Q2
l
Q1
r1
m
r2
y
x
Abb. 3-27 Homogen magnetisierter Stab
Es
bestehe
ein
homogen
magnetisierter
Stab,
dessen
Querschnitt
vernachlässigbar klein ist. Seien zwei fiktive skalare Größen Q1 , Q2 an beiden
Stabenden, die in folgender physikalischer Beziehung mit der Magnetisierung
stehen.
∫ mdV = Q ⋅ r + Q
1
1
2
⋅ r2 ,oder
V
Ml = Q1 ⋅ r1 + Q2 ⋅ r2
(3-33)
Hier ist ∫ mdV = ∫ Mdl = M ⋅ l . Es gibt noch eine zusätzliche Bedingung für (3-33),
v
L
dass sich die Größen Q1 und Q2 aufheben.
∑Q
i
=0
(3-34)
Q1 = −Q2
Mit der Bedingung ist (3-33) eine ortsunabhängige Formel, obwohl sie
Ortsvektoren enthält. Verschiebt sich der Koordinatenursprung, ändern sich die
Ortsvektoren um die Verschiebung rO des Koordinatenursprungs.
M ⋅ l = Q1 ⋅ (r1 − rO ) + Q2 ⋅ (r2 − rO )
M ⋅ l = Q1 ⋅ r1 + Q2 ⋅ r2 − Q1rO − Q2 ⋅ rO
= −Q2 ⋅ r1 + Q2 ⋅ r2 + Q2 rO − Q2 ⋅ rO
2
M ⋅ l = Q2 ⋅ (r2 − r1 ) = Q2 ⋅ ∑ (ri + r ) =Q2 ⋅ l ,
∀r ∈ R 2
i =1
60
(3-35)
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
M ⋅ l = M ⋅ el ⋅ l
Q2 = −Q1 = M , oder
Q = ∫ mdA
(3-36)
A
Die Magnetisierung M kann mit den Größen Q und −Q beschrieben werden.
Das bedeutet, dass ein homogen magnetisierter Stab mit zwei skalaren
Punktgrößen definierbar ist und darüber hinaus ein Linienkörper durch zwei
Endpunkten ersetzt werden kann.
Die magnetischen Feldgrößen im Magnetfeld eines homogen magnetisierten
Stab können mithilfe (3-37) berechnet werden.
z
Q2
Q1
r2
r1
rP2
rP1
x
y
rP
P
Abb. 3-28 Zur Formel (3-37)
Magnetisches Potential:
ψ (P) =
1
r
M ⋅ 3 dl ,
∫
r
4π L
ψ (P) =
1
4π
∑Q r ⋅ r
1
4π
∑r
ψ (P) =
2
i =1
i i
ri
3
(3-37)
,
i
2
Qi
i =1
i
(3-38)
Magnetische Feldstärke, Flussdichte:
H (P) = − gradψ (P)
61
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
H (P) = −
B (P) = −
1
4π
μ0
4π
2
Qi
i =1
i
∑r
2
2
Qi
i =1
i
∑r
2
⋅ eri
(3-39)
⋅ eri
(3-40)
Werden (3-38), (3-39), (3-40) mit elektrischen Feldgrößen für eine Punktladung
gegenübergestellt, folgt:
Elektrisches Potential:
ϕ (P) = −
1 Q
4πε 0 r
Elektrische Feldstärke:
E (P) = −
Q
⋅ er
4πε 0 r 2
1
(3-41)
Elektrische Flussdichte:
D(P) = −
1 Q
⋅ er
4π r 2
(3-42)
Die physikalische Bedeutung von Qi könnte als magnetische Punktladung wie
elektrische Leitung vorgestellt werden. Jedoch unterscheidet sich diese so
genannte magnetische Punktladung mit Dipolbedingung von der elektrischen
Punktladung,
da
die
Bedingung
der
Ortsunabhängigkeit
(3-34)
ohne
Dipolbedingung nicht erfüllt werden kann. Dessen beachtet wird im Folgenden
die „monopolische“ magnetische Punktladung weiter untersucht.
Sei eine magnetische Ladung im dreidimensionalen Raum, entsteht ein
Magnetfeld um diese Ladung.
62
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Abb. 3-29 Monopolische magnetische Ladung
−Q
∫ HdO = ∫ 4π ⋅ r
O
2
⋅ er dO
O
dO = −er r 2 sin γ dφ d γ
∫
O
π 2π
H dO = ∫
Q
∫ 4π ⋅ r
2
⋅ r 2 sin γ dφ d γ
0 0
π 2π
Q
∫ HdO = ∫ ∫ 4π ⋅ sin γ dφ dγ
O
0 0
∫ HdO = Q
(3-43)
O
oder
∫ BdO = μ Q
(3-44)
0
O
Dieses Ergebnis ist vergleichbar mit der MAXWELLschen Gleichung für elektrische
Punktladung.
∫ DdO = Q
O
Angenommen sei ein magnetischer Dipol mit einem bestimmten Abstand l . Die
Oberfläche wird in zwei Flächen geteilt, nämlich in die Überschneidungsfläche
(A1) zwischen der Kugeloberfläche und dem „Verbindungszylinder“ und in die
restliche Fläche (A2). (siehe Abb. 3-30)
63
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Q
A2
l
A1
z
r1
P
r2
-Q
y
x
Abb. 3-30 Zur Erklärung über magnetischen Ladung
Verglichen mit dem Abstand l ist der Radius r der zu integrierenden
Kugeloberfläche
vernachlässigbar
klein
und
der
Durchmesser
d
des
Verbindungszylinders geht gegen null im Vergleich zu dem Radius r . Außerdem
ist
die
magnetische
Feldstärke
im
Raum
stetig
außerhalb
des
Verbindungszylinders. An der Oberfläche des Verbindungszylinders ist die
Feldstärke wegen der unterschiedlichen Permeabilität des Zylinders unstetig.
Die magnetische Feldstärke an der Fläche A2 kann mit (3-39) berechnet werden.
H (P) A =
2
−Q
−Q
⋅ er1 −
⋅ er
2
4π r1
4π r2 2 2
Da r = r1
r2 ist, ist
H (P) A ≅
2
Q
⋅ er .
4π r2 2 2
−Q
⋅ er
4π r12 1
−Q
∫ HdA = ∫ 4π ⋅ r
A2
Q
⋅ er
4π r12 1
(3-45)
2
(3-46)
⋅ er dA
(3-47)
A2
Weil A2
A1 unter der Annahme d
r ist, ergibt sich das Integral (3-47) fast
gleich wie (3-43).
∫ H dA = Q
(3-48)
A2
64
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Nach der MAXWELLschen Gleichung soll die Divergenz der magnetischen
Flussdichte auf der gesamten Kugeloberfläche null sein.
∫
O
⎛
⎞
HdO = μ0 ⎜ lim ∫ H1dA + ∫ H 2 dA ⎟ = 0
⎜ A1 →0 A
⎟
A2
⎝
⎠
1
lim ∫ H1dA = − ∫ H 2 dA
A1 → 0
A1
A2
lim ∫ H1dA = −Q
A1 → 0
Die
(3-49)
A1
magnetische
Feldstärke
bzw.
Flussdichte
innerhalb
des
Verbindungszylinders kann nicht eindeutig festgestellt werden. Die Einheit der
magnetischen Punktladung [Q] ist nach (3-48) [ H ] ⋅ [ A] = A ⋅ m .
Das Magnetfeld, das von einer magnetischen Ladung erzeugt wird, hat keine
Rotation. Das gilt auch für magnetische Dipole außerhalb der Verbindungslinie
zwischen Polen. Dieses Magnetfeld ist also ein Potentialfeld.
∇× B ≡ 0
(3-50)
Die magnetische Ladung kann auch anders dargestellt werden. Sei es ein
Stromelement I , welches ein identisches Magnetfeld aus einer magnetischen
Ladung erzeugt. Ein derartiges Stromelement existiert in der Wirklichkeit nicht,
weil ein realer Strom nie ein magnetisches Potentialfeld (3-50), sondern ein
divergenzfreies, rotierendes Magnetfeld erzeugt. Dennoch wird eine Gleichung
aus dem BIOT-SAVARTschen Gesetz für dieses fiktive Stromelement aufgestellt.
Hier läuft die Länge L des Stromelements I gegen null, weil es sich um eine
Punktladung handelt.
B (r ) = lim
l →0
B (r ) = lim
l →0
μ0
4π
∫
l
I × er
dL
r2
(3-51)
μ 0 I × er
l
4π r 2
(3-52)
Vergleicht man (3-52) mit (3-40) steht dieser fiktive Strom in folgendem
Zusammenhang mit der magnetischen Ladung.
lim I × er ⋅ l = −Q ⋅ er
(3-53)
l →0
65
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Angenommen, eine magnetische Ladung Q1 befindet sich im Magnetfeld. Das
Magnetfeld wird von einer anderen magnetischen Ladung Q2 erzeugt. Die
Ladung Q1 kann durch ein fiktives Stromelement I1 ersetzt werden. Die
magnetische Kraft zwischen beiden Ladungen ist nicht anders als die
Lorentzkraft auf das Stromelement I1 .
F = I1l × B
Um die Kraft zu ermitteln, wird (3-53) mit der magnetischen Flussdichte B von
der Ladung Q2 multipliziert.
lim I1l × er ⋅ B2 = −Q1 B2 ⋅ er
l →0
lim I1l × B2 ⋅ er = lim I1l × er ⋅ B2 =
l →0
F=
l →0
μ0Q1Q2
⋅ er ⋅ er
4π ⋅ r 2
μ0Q1Q2
⋅ er
4π ⋅ r 2
(3-54)
(3-55)
Die Kraft zwischen magnetischen Ladungen kann wie die Kraft zwischen
elektrischen Ladungen berechnet werden.
Felec =
Q1Q2
er
4πε 0 r 2
Abb. 3-31 Kraft zwischen zwei magnetischen Ladungen
Die Theorie der magnetischen Ladung kann nicht nur durch den physikalischen
Ansatz, dass ein magnetisches Monopol existiere, hergeleitet werden. Dieser
Ansatz kann auch mathematisch gerechtfertigt werden.
66
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Die Formel (3-25) beschreibt die magnetische Flussdichte unter dem
magnetisierten Kern.
Bz ( z ) = −
B B
−
2 2
B = μ 0 ⋅ m = μ0 ⋅
Bz ( z ) = −
z
z2 + ρ 2
μ ⋅Q
M
M
= μ0 ⋅
= 0 2
2
π ⋅ρ l π ⋅ρ
V
μ0Q ⎛
z
⎜1 −
2
2πρ ⎜⎝
z2 + ρ 2
(3-56)
⎞
⎟ oder
⎟
⎠
⎛
⎜
μ0 Q ⎜
1
1−
Bz ( z ) = −
2 ⎜
2
2πρ
⎛ρ⎞
⎜
1+ ⎜ ⎟
⎜
⎝z⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(3-57)
Bei (3-57) wurde die z-Richtung umgedreht, um die Herleitung einfacher
beschreiben zu können. Eine Taylor-Reihe für
Bz ( z ) = −
Wenn z
B( z ) = −
⎛ ρ4 ⎞⎞
μ0 Q ⎛ ρ 2
+
O
⎜
⎜ 4 ⎟⎟
2πρ 2 ⎝ 2 z 2
⎝ z ⎠⎠
ρ
z
wird für (3-57) entwickelt.
(3-58)
ρ ist, ist
μ 0Q
μQ
, oder B ( z ) = − 0 2 e z
2
4π z
4π z
(3-59)
Um den Fehler aus der Taylor-Reihe zu minimieren, kann der Entwicklungspunkt
für den zu betrachtenden Punkt gesetzt werden. Zum Beispiel an der Oberfläche
( z = 0 ) des Magneten ist die magnetische Flussdichte nicht unendlich groß wie
(3-59), sondern −
Flussdichte bei r =
Bz (0) =
μ0 m
2
ρ
2
(3-25). Dieser Wert entspricht der magnetischen
für (3-59).
μ 0Q
μQ
=− 0 2
2
4π r
2πρ
67
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Die Taylor-Reihe für (3-25) im z ' = z −
B( z) = −
μ 0Q
ρ ⎞
⎛
4π ⎜ z −
⎟
2⎠
⎝
2
ρ
2
ist
.
(3-60)
Wird (3-60) verallgemeinert,
B( z ) = −
μ0 Q
4π ( z − z0 )
2
.
(3-61)
(3-61) beschreibt das Magnetfeld eines Elektromagneten unter realer Bedingung
und der Berechnungsraum ist außerhalb der Kugel mit dem Radius z0 .
Somit ist (3-59) identisch mit (3-40). Mathematisch bedeutet dies, dass eine
magnetische Ladung, woraus ein „magnetisches Monopol“ besteht, ein Substitut
für einen homogen magnetisierten Körper zur Berechnung der magnetischen
Feldgröße in einem gewissen Koordinatenbereich ist.
Die Existenz einer magnetischen Ladung bzw. eines magnetischen Monopols ist
kein neuer Ansatz. Dieser Ansatz wurde schon 1931 von Dirac [27]
vorgeschlagen und für die Quantenphysik weiterentwickelt. J. Fischer [26] stellte
1956 den Ansatz für die Elektrophysik vor. Jedoch ist es schwierig, die Theorie
der
magnetischen
Ladung
für
die
Quantenphysik
in
makroskopischer
Magnetophysik anzuwenden. Es gibt noch keine ausreichende Erklärung für
magnetische Ladung im Großraumbereich. Aus diesem Grund wird dieser
Ansatz für die Geometrie makroskopischer Objekte weiter entwickelt und neue
Theorien werden aufgestellt.
Die in diesem Kapitel entwickelten Theorien können wegen der realen
geometrischen Verhältnisse zwischen Radius und Länge des Elektromagneten,
dem Abstand zum Magneten sowie wegen der Ungleichmäßigkeit der
Magnetisierung innerhalb des Spulenkerns nur unter bestimmten geometrischen
und physikalischen Bedingungen eingesetzt werden. Allerdings ist der Ansatz für
magnetische Ladung zur Vereinfachung der MAXWELLschen Gleichungen sehr
hilfreich. Unter den praxistauglichen und realitätsnahen Annahmen kann der
Ansatz magnetostatischer Systeme mit ausreichender Genauigkeit analytisch
68
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
gelöst werden. Hier werden noch zwei Beispiele eingebracht.
Ein gekrümmter ferromagnetischer Stab sei entlang seiner Achse homogen
magnetisiert. Der Querschnitt des Stabs ist im Vergleich zu der Stablänge und
dem Abstand zum Punkt P vernachlässigbar klein. Gesucht werden das
magnetische Potential und die magnetische Feldstärke an einem beliebigen
Aufpunkt außerhalb des Magneten.
Abb. 3-32 Gekrümmter Stabmagnet
Wird das magnetische Potential mit der herkömmlichen MAXWELLschen
Gleichung (3-12) gelöst, erschwert der komplizierte Linienverlauf L das Lösen
des Integrals.
ψ (P) =
1
r
M ⋅ 3 dl
∫
r
4π L
Wegen der Homogenität ist die Richtung der Magnetisierung der Gradient der
Kurve.
M = M ⋅∇L
ψ (P) =
1
r
M ( ∇L ) ⋅ 3 dl
∫
r
4π L
(3-62)
Obwohl (3-62) ein Linienintegral ist, kann das Integral unter Umständen nur
schwierig oder gar nicht analytisch berechnet werden. Dieses Beispiel kann mit
dem Ansatz für magnetische Ladung viel einfacher gelöst werden.
Die Stablinie wird in vielen kurzen Geradenelemente geteilt, damit angenommen
werden kann, dass die Tangente an einem Punkt parallel zum Geradenelement
durch diesen Punkt ist.
69
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
M ≅M
ΔLi
ΔLi
(i = 1 − n)
(3-63)
Abb. 3-33 Differentiation der Kurve
Die magnetisierte Kurve setzt sich aus n − Dipolen ΔLi mit der Ladung Q
zusammen (siehe Abb. 3-33)
+Q -Q
-Q
ΔLi-1
+Q
ΔLi
-Q
ΔLi+1
+Q
ri
ri-1
ri+1
ri-2
P
.
Abb. 3-34 Dipolmodell
Nach der Definition (3-36) ergibt sich die magnetische Ladung Q wie folgt.
Q= M
(3-64)
Das magnetische Potential infolge des i -tes Geradenelements wird nach der
70
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Formel (3-38) berechnet.
Q
Q
−
4π ri 4π ri +1
Δψ i (P) =
(3-65)
⎛ Q
Q ⎞
−
⎟
4π ri +1 ⎠
i =1 ⎝ 4π ri
n
n
ψ (P) = ∑ Δψ i (P) = ∑ ⎜
i =1
ψ (P) =
Q
Q
−
oder,
4π r1 4π rn +1
ψ (P) =
M
4π
⎛1 1 ⎞
⎜ −
⎟
⎝ r1 rn +1 ⎠
(3-66)
(3-66) besagt, dass das magnetische Potential an einem Punkt infolge eines
homogen magnetisierten Körpers unabhängig vom Verlauf des Körpers ist. Aus
beiden Enden des Körpers bildet sich das magnetische Potential. Das bedeutet,
dass ein homogen magnetisierter Linienkörper durch zwei magnetische
Ladungen ersetzt werden darf. Basierend auf (3-66) können magnetische
Feldstärke und Flussdichte am Punkt P ermittelt werden.
⎛ er1 ern+1 ⎞
⎜ 2− 2 ⎟
⎝ r1 rn +1 ⎠
H (P) = −
Q
4π
B (P) = −
μ 0 Q ⎛ er er ⎞
⎜ −
⎟
4π ⎝ r12 rn2+1 ⎠
1
(3-67)
n+1
(3-68)
Als nächstes Beispiel wird ein magnetisierter Körper mit veränderlichem
Querschnitt herangezogen. Die Magnetisierung dieses Körpers ist bereichsweise
homogen (siehe Abb. 3-35). Der Körper besteht aus drei Elementen jeweils mit
Querschnitt A1 , A2 , A3 und der Magnetisierung M1 , M 2 , M 3 . Die Durchmesser
jedes Elements sind viel kleiner als die Länge des Elements.
71
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Abb. 3-35 Magnetisierter Körper mit veränderlichem Querschnitt
Jedes Linienelement kann durch zwei magnetische Ladungen mit gleichem
Betrag ersetzt werden. Daraus ergibt sich ein Punktmodell wie Abb. 3-36.
Abb. 3-36 Modellierung mit magnetischen Ladungen
Das magnetische Potential an einem Punkt P( x, y, z) resultiert aus den Summen
der einzelnen Potentiale der drei Elemente.
3
3
i =1
i =1
ψ (P) = ∑ Δψ i (P) = ∑
Qi
4π
⎛1 1 ⎞
⎜ −
⎟
⎝ ri ri +1 ⎠
⎛ Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 Q3 ⎞
−
+
− ⎟
⎜ − +
r
r
r
r
r
r4 ⎠
2
2
3
3
⎝ 1
ψ (P) =
1
4π
ψ (P) =
1 ⎛ Q1 ΔQ2 ΔQ3 Q3 ⎞
+
− ⎟
⎜ +
4π ⎝ r1
r2
r3
r4 ⎠
(3-69)
(3-70)
mit ΔQi = Qi − Qi −1
(3-71)
Die Differenz magnetischer Ladungen kann mithilfe der
72
MAXWELLschen
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Gleichungen berechnet werden.
Abb. 3-37 Zur Berechnung ΔQi
∇⋅ B = 0
B ≈ μ0 M ⇒ ∇ ⋅ M = 0
∫ m dA − ∫ m dA + ∫
1
A1
2
A2
mMantel dA = 0
(3-72)
AMantel
Da die Permeabilität ferromagnetischer Stoffe μ r
1 ist, ist
∫
mMantel dA = 0 .
AMantel
∫ m dA = ∫ mdA also Q
1
A1
= Q2 = const
(3-73)
A2
Also bleibt der Betrag der magnetischen Ladungen an einem Linienkörper bei
Querschnittsänderung erhalten. Dennoch kann der Verlust an magnetischer
Ladung aufgrund der Unstetigkeit des Querschnitts vorkommen. Für diesen Fall
gilt die Formel (3-70). Wird (3-70) verallgemeinert, dann gilt
ψ (P) =
1 ⎛ Q1 Qn ⎞ 1
⎜ −
⎟+
4π ⎝ r1 rn +1 ⎠ 4π
n
∑
i =2
ΔQi
,
ri
(3-74)
oder
ψ (P) =
1
4π
⎛ Q1 Qn ⎞ 1 Q '
dl
⎜ −
⎟+
∫
π
r
r
4
r
n +1 ⎠
⎝ 1
L
(3-75)
Magnetische Feldstärke und Flussdichte:
H (P) = −
1
4π
⎛ Q1
⎞ 1 Q'
Qn
⎜ 2 er1 − 2 ern+1 ⎟ −
∫ 2 er dl
rn +1
⎝ r1
⎠ 4π L r
73
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
B (P) = −
μ0
4π
⎛ Q1
⎞ μ0 Q '
Qn
⎜ 2 er1 − 2 ern+1 ⎟ −
∫ 2 er dl
rn +1
⎝ r1
⎠ 4π L r
3.2.3
(3-76)
Simulation des vom Großmagnet erzeugten Magnetfelds mit
dem neuen Ansatz
In 3.2.1 wurde versucht, das vom Großmagnet erzeugte Magnetfeld analytisch
zu berechnen. Es war jedoch sehr schwierig oder gar unmöglich, das gesamte
Magnetsystem mit zwei Spulenkernen und Jochrücken in lösbaren Gleichungen
unterzubringen (siehe Gleichung (3-32)). Nachfolgend wird der Ansatz für
magnetische Ladung zum Lösen des Magnetsystems eingesetzt.
Der Großmagnet besteht aus drei Elementen, zwei Elektromagneten und einem
Jochrücken. Wie in 3.2.1 erwähnt wurde, entfällt das Magnetfeld aus zwei
Spulen
(ohne
Kern)
bei
der
Berechnung,
weil
deren
Anteil
am
Gesamtmagnetfeld sehr gering ist. Also kommen nur zwei Spulenkerne und das
Joch in Betracht. Es wird angenommen, dass Spulenkerne und Joch homogen
entlang ihrer Achse magnetisiert sind.
Nach der Gleichung (3-31) lässt sich die Magnetisierung im Joch ermitteln.
MJ =
A1
M1
AJ
Trotz der Veränderung der Magnetisierung im Joch bleibt die magnetische
Ladung erhalten (siehe (3-73)). Aus diesem Grund kann der Großmagnet auf
zwei magnetische Ladungen Q, −Q jeweils auf der Unterseite des Spulenkerns
reduziert werden.
Q1 = Q2 = QJ
74
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Abb. 3-38 Magnetische Ladungen am Großmagnet
Die magnetische Feldgröße an einem Punkt ergibt sich nach (3-66), (3-67), (368) aus beiden magnetischen Ladungen. Hier sollte der Abstand vom Punkt zu
den Ladungen ausreichend groß sein.
ψ (P) =
Q
4π
⎛1 1⎞
⎜ − ⎟
⎝ r1 r2 ⎠
(3-77)
H (P) = −
Q
4π
⎛ er1 er2 ⎞
⎜ 2− 2⎟
⎝ r1 r2 ⎠
(3-78)
B (P) = −
μ0Q ⎛ er er ⎞
⎜ − ⎟
4π ⎝ r12 r22 ⎠
(3-79)
1
2
Im Nahbereich des Spulenkerns weisen die Gleichungen (3-77), (3-78), (3-79)
große
Abweichung
auf,
da
die
Kernunterseite
als
eine
Punktladung
angenommen wurde. Um die Unterseite des Magneten besser simulieren zu
können, werden magnetische Ladungen als verteilte Flächenladung auf der
Unterseite angenommen.
ψ (P) =
q=
q
4π
⎛ 1
1 ⎞
⎜ ∫ dA − ∫ dA ⎟
⎜A r
r ⎟⎠
A2
⎝ 1
(3-80)
Q
Q
= 2
A πρ
(3-81)
Im Nahbereich der Ladungsoberfläche A1 ist r2
in (3-80) entfällt.
75
r1 . Das Flächenintegral von A2
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
ψ (P) =
q
4π
q
ψ (P) =
4π
1
∫ r dA
(3-82)
A1
ρ
ρ 2 − y2
∫ρ ∫
−
− ρ −y
2
1
(x − x ) +( y − y )
2
2
p
2
p
dxdy
+z
(3-83)
2
P
Weil (3-83) ein schwer lösbares Integral ist, wird zuerst xP als null gesetzt.
1
∫
x 2 + ( y − y p ) + z P2
2
(
dx = ln x + x 2 + ( y − yP ) 2 + z P2
)
(3-84)
Eine Taylor-Reihe um x = 0 wird entwickelt.
(
)
2
ln x + x 2 + ( y − yP ) 2 + zP2 = ln ⎡( y − yP ) + z P2 ⎤ +
⎣
⎦
Wenn
x
( y − yP )
2
+z
+ O( x3 )
(3-85)
2
P
( y − yP ) 2 + z P2 größer als x ist, nähert sich der Fehler O( x3 ) gegen null
an. (3-85) wird in (3-84) im Intervall (− ρ 2 − y 2 , ρ 2 − y 2 ) eingesetzt.
ρ 2 − y2
1
∫
x 2 + ( y − y p ) + z P2
2
− ρ 2 − y2
Um
(−
die
weitere
dx =
2 ρ 2 − y2
(3-86)
( y − y p ) + zP2
2
Integralrechnung
zu
ermöglichen,
wird
das
Intervall
)
ρ 2 − y 2 , ρ 2 − y 2 durch den festen Bereich (−b, b) ersetzt.
ρ 2 − y2
∫
− ρ − y2
2
1
x 2 + ( y − y p ) + z P2
2
dx ≈
2b
( y − y p ) + zP2
2
(3-87)
Hier wird die äquivalente Breite b als Breite einer Rechteckladung, die die
gleiche Ladung wie die Kreisflächenladung hat, angenommen.
ρ
∫ρ 2
ρ 2 − y 2 dy = 2b ⋅ 2 ρ
−
b=
πρ
(3-88)
4
Durch Einsatz von (3-87), (3-88) wird (3-83) zum einfacheren Integral
76
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
umgeschrieben.
ψ (P) =
ρ
q
8 −∫ρ
ρ
(y− y )
p
2
dy
+z
(3-89)
2
P
H (P) = − gradψ (P)
H z (P) = −
H z (P) = −
q ∂
8 ∂zP
ρ
∫ρ
−
ρ
( y − yP ) 2 + zP2
dy
⎛
ρ − yp
ρ + yp
⎜
+
2
2
8πρ z p ⎜ ( ρ − y p ) + zP
( ρ + y p ) 2 + zP2
⎝
Q
⎞
⎟
⎟
⎠
(3-90)
Analog zu (3-90) lässt sich H y (P) , H x (P) herleiten.
H y (P) = −
Q ⎛⎜
1
1
−
8πρ ⎜ ( ρ − y p ) 2 + z P2
( ρ + y p )2 + zP2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
(3-91)
H x (P) = 0
Die Gleichungen (3-90), (3-91) gelten für Fläche A1 (siehe Abb. 3-38). Die
magnetische
Feldstärke
infolge
Fläche
A1
,
A2
kann
durch
Koordinatentransformation ermittelt werden.
⎛
ρ − yp
ρ + yp
ρ − ( yp − l)
ρ + ( yp − l)
−Q ⎜
+
−
−
H z (P) =
⎜
2
2
8πρ z p ⎜ ( ρ − y p ) 2 + z P2
( ρ + y p )2 + z P2
⎡⎣ ρ − ( y p − l ) ⎤⎦ + z P2
⎡⎣ ρ + ( y p − l )⎤⎦ + z P2
⎝
(3-92)
⎛
−Q ⎜
1
1
1
1
−
−
+
H y (P) =
⎜
2
2
8πρ ⎜ ( ρ − y p )2 + z P2
( ρ + y p )2 + z P2
⎡⎣ ρ − ( y p − l ) ⎤⎦ + z P2
⎡⎣ ρ + ( y p − l ) ⎤⎦ + z P2
⎝
(3-93)
Mit Ortsvektoren (siehe Abb. 3-39) werden (3-92), (3-93) plausibler beschrieben.
77
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Abb. 3-39 Ortsvektoren
H z (P) =
⎛ r1l , y r1r , y r2l , y r2 r , y ⎞
−
−
+
⎜
⎟
8πρ z p ⎝ r1l
r1r
r2l
r2 r ⎠
(3-94)
H y (P) =
Q ⎛1 1 1
1 ⎞
⎜ + − + ⎟
8πρ ⎝ r1l r1r r2l r2 r ⎠
(3-95)
Q
4
Hy [A/m]
5 .10
0
5 .10
0.5
1
1.5
2
4
Y [m]
Abb. 3-40 Magnetische Feldstärke Hy
78
2.5
3
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
⎝
⎠
0
1 .10
⎠
5
Hz [A/m]
1 .10
⎝
0.5
1
1.5
2
2.5
3
5
Y [m]
Abb. 3-41 Magnetische Feldstärke Hz
In Abb. 3-40, Abb. 3-41 sind die Komponenten magnetischer Feldstärke grafisch
dargestellt. Für diese Abbildungen sind die Tiefe 20 cm und die gleiche
Magnetisierung aus Abb. 3-20 eingesetzt.
Bz (P) =
μ0Q ⎛ r1l , y r1r , y r2l , y r2 r , y ⎞
−
−
+
⎜
⎟
r1r
r2l
r2r ⎠
8πρ z p ⎝ r1l
(3-96)
By (P) =
μ0Q ⎛ 1 1 1 1 ⎞
⎜ − − + ⎟
8πρ ⎝ r1l r1r r2l r2 r ⎠
(3-97)
3.2.4
Analytische Simulation für Bewehrungen
In den meisten Bauwerken liegen Bewehrungen längs und quer. Bewehrungen,
die quer zur Fahrtrichtung des Magneten liegen, werden durch den Großmagnet
magnetisiert. Die parallel zur Fahrtrichtung liegenden Bewehrungen werden
aufgrund der Verteilung des Magnetfeldes sehr schwach magnetisiert (siehe Abb.
3-4). Aus diesem Grund werden lediglich senkrecht zur Fahrtrichtung liegenden
Bewehrungen analysiert.
3.2.4.1 Analyse des magnetisierten Zustands von Bewehrungen
Bewehrungen haben eine eigene spezielle Geometrie, so ist die Länge viel
größer als der Durchmesser d / l ≈ 0 . Sie liegen meistens horizontal in
unterschiedlichen Tiefen und haben unterschiedliche Querschnitte. Diese
geometrischen Faktoren wie Durchmesser d und Tiefe z beeinflussen die
79
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Magnetisierung von Bewehrungen. Bewehrungen werden als unendlich langer
Stab parallel zur y-Achse angenommen.
z
Fahrtrichtung
y
x
d
M
Abb. 3-42 Geometrie von Bewehrungen
Aufgrund der sehr schlanken Geometrie üblicher Bewehrungen werden sie in
Längsrichtung magnetisiert: M ≅ M y ⋅ e y . Das bedeutet, dass die y-Komponente
der magnetischen Feldstärke H y des magnetisierenden Felds direkten Einfluss
auf die Magnetisierung der Bewehrung hat.
Im
RM-Verfahren
wird
das
remanente
Magnetfeld
nach
dem
Magnetisierungsvorgang erfasst. Die Remanenz einzelner Bewehrung hängt
vom Magnetisierungsvorgang ab. Die magnetische Feldstärke verändert sich
nach der Entfernung der Bewehrung zum Magnet. Um eine grobe Form des
Verlaufs H y (0, yP , z P ) nach der Magnetposition PM ( x, 0, 0) zu ermitteln, wird der
Großmagnet auf eine magnetische Ladung Q in PM ( x, 0, 0) reduziert. Diese
Ladung entspricht der Unterseite des linken Spulenkerns. Der rechte Spulenkern
wird aufgrund großer Entfernung zum Punkt P(0, yP , zP ) nicht berücksichtigt.
Nach der Formel (3-39) ist H y :
H y (0, yP , zP ) =
1
Q ⋅ yP
4π ( x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2
P
P
(3-98)
80
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
1
Magnetische Feldstärke
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
x [m]
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Abb. 3-43 Verlauf des Hy nach der Magnetposition, y P = 30 cm, z P = 30 cm
Wie in Abb. 3-43 zu sehen ist, ändert H y sein Vorzeichen im Laufe der
Magnetisierung nicht. Während der Magnetisierung wird eine Bewehrung zuerst
aufmagnetisiert bis der Großmagnet direkt über der Bewehrung ist (A-B in Abb.
3-44), danach geht die Magnetisierung in der Bewehrung auf ihre Remanenz
M R zurück (B-C in Abb. 3-44).
Abb. 3-44 Magnetisierungsvorgang nach der Zeit
81
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Es
wird
davon
ausgegangen,
dass
sich
Bewehrungen
vor
dem
Magnetisierungsvorgang in magnetisch unberührtem Zustand befinden. Da die
Neumagnetisierung und die Entmagnetisierung (Kurven A-B, B-C in Abb. 3-44)
keine lineare Beziehung zur magnetischen Feldstärke hat, kann diese
Hysteresekurve zur Ermittlung des Remanenz-Zustands für Bewehrungen nicht
angewendet werden.
Anstatt mathematisch schwer simulierbarer Schleifenform der Hysterese wie in
Abb.
3-44,
werden
Magnetisierung
und
Entmagnetisierung
mit
einer
vereinfachten bilinearen Funktion abgebildet (siehe Abb. 3-45). Die Steigung der
Magnetisierungslinie (A-B in Abb. 3-45) ist eine als konstant angenommene
Permeabilität μ r
des ferromagnetischen Stoffs. Diese Permeabilität des
Betonstahls S500 liegt in der Regel zwischen 20 bis 640 im Bereich 1000 bis
6000 A/m . Die Entmagnetisierungslinie besitzt ein flacheres Gefälle als die
Magnetisierungslinie. Der Sättigungsbereich ist in Wirklichkeit wegen des
fließenden Übergangs schwierig zu bestimmen (siehe Anhang Abb. A-2).
Abb. 3-45 Bilineare Hysterese
Nach der Hystereseform in Abb. 3-45 können maximale Flussdichte und
Remanenz in ferromagnetischen Stoffen wie folgt beschrieben werden.
Bmax = μr μ0 H max
Bmax = BS = μr μ0 H S
( H max < H S )
( H max > H S )
(3-99)
BR = Bmax − ΔBEnt = (1 − k ) ⋅ Bmax
BR = (1 − k ) ⋅ μ r μ0 H max = μ rem μ0 H max
BR , S = (1 − k ) ⋅ μr μ0 H S = μrem μ0 H S
( H max < H S )
( H max > H S )
82
(3-100)
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
hier μ rem = μr (1 − k )
Die Remanenz eines ferromagnetischen Stoffs ist linear abhängig von der
maximalen magnetischen Feldstärke bis zur Sättigungsfeldstärke. Vorausgesetzt
ist hier ein Magnetisierungsvorgang mit einmaliger Aufmagnetisierung und
danach folgender Entmagnetisierung.
t1 < t2 < tmax ⇒ H (t1 ) < H (t2 ) < H max
tmax < t2 < t1 ⇒ H (t1 ) < H (t2 ) < H max
Mit diesem Materialmodell kann die Remanenz einer Bewehrung nach dem
Magnetisierungsvorgang einfach ermittelt werden. Dafür finden die Formeln (395) und (3-97) in Kapitel 3.2.3 Anwendung.
H y (P) =
Q ⎛ 1 1 1
1 ⎞
⎜ − − + ⎟
8πρ ⎝ r1r r1l r2 r r2l ⎠
BR , y (P) =
μ rem μ0Q ⎛ 1 1 1 1 ⎞
⎜ − − + ⎟
8πρ ⎝ r1r r1l r2 r r2l ⎠
(3-101)
Abb. 3-46 zeigt den H max , y -Verlauf mit magnetischen Ladungen Q = 1, 28 ⋅105 Am
bei z = 30 cm . Die Sättigungsfeldstärke H S (Blaue gestrichelte Linien in Abb.
3-46 ) ist gesetzt als 104 A/m , wobei nach Abb. A-2 die Permeabilität stark
abnimmt.
4
2 .10
4
Hmax [A/m]
4 .10
0
2 .10
4
4 .10
4
0.5
1
1.5
2
2.5
Y [m]
Abb. 3-46 Hmax-Verlauf und Sättigungsfeldstärke
83
3
3.5
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Im nahezu gesamten Bereich überschreitet die magnetische Feldstärke die
Sättigungsfeldstärke. Nach (3-100) ist die Magnetisierung der Bewehrung unter
dem Großmagnet annähernd konstant (siehe Abb. 3-47). Bereiche y < y1 und
y > y4 sind in negativer Richtung homogen magnetisiert und der Bereich
y2 < y < y3 ist mit der Sättigungsremanenz BR , S magnetisiert.
Abb. 3-47 Remanenz-Zustand der Bewehrung
2 .10
1 .10
4
0
0. 5
1
1. 5
2
2.5
3
1 .10
4
2 .10
4
Y [m]
Abb. 3-48 Remanenz-Zustand der Bewehrung mit geringer Magnetisierung
84
3.5
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Wenn magnetischen Ladungen am Großmagnet schwach sind, kann die
magnetische Feldstärke an der Bewehrung unterhalb der Sättigungsfeldstärke
liegen. In diesem Fall ändert sich die Remanenz auf der y-Koordinaten (siehe
Abb. 3-48).
3.2.4.2 Magnetische Flussdichte oberhalb einer magnetisierten Bewehrung
Im RM-Verfahren wird das Remanenz-Feld auf der Betonoberfläche erfasst. Im
Endeffekt wird lediglich die magnetische Flussdichte auf einer bestimmten
Horizontalebene ausgewertet. Das bedeutet, dass der Zustand einer Bewehrung
anhand
der
Messwerte
auf
dieser
Ebene
analysiert
wird.
Um
den
Zusammenhang zwischen dem Bewehrungszustand und der gemessenen
magnetischen Flussdichte zu finden, wird in diesem Kapitel die magnetische
Flussdichte oberhalb einer magnetisierten Bewehrung analytisch simuliert.
Zuerst wird eine Bewehrung, die bis zur Sättigung aufmagnetisiert wurde und
dadurch eine volle Remanenz besitzt, analysiert (siehe Abb. 3-46 und Abb. 3-47).
Der Bereich von y2 bis y3 ist mit der Remanenz BR , S homogen magnetisiert.
Bereiche von y < y1 und y > y4 sind ebenso mit der Remanenz − BR , S homogen
magnetisiert. Nach der Definition der magnetischen Ladung in Kapitel 3.2.2 kann
diese Bewehrung durch magnetische Ladungen ersetzt werden. Äquivalente
magnetische Ladungen für diese Bewehrung sind Q , Q , −Q , −Q in Position y1 ,
y2 , y3 , y4 .
Abb. 3-49 Äquivalente Magnetische Ladungen zur Bewehrung
85
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Die magnetische Flussdichte an einem Aufpunkt P( x, y, z) lässt sich nach (3-40)
ermitteln, die magnetische Ladung Q kann nach (3-36) berechnet werden.
B (P) = −
μ0
4π
2
Qi
i =1
i
∑r
2
⋅ eri
BR , S π d 2
Q = ∫ mdA =
⋅
μ0
4
A
Bz ( x, y, z ) = −
μ0 Q ⎛⎜
z
z
+
−
3/
2
2
2
2 3/ 2
4π ⎜ ⎡ x 2 + ( y − y )2 + z 2 ⎤
⎡
⎤
+
−
+
x
y
y
z
(
)
1
2
⎦
⎣
⎦
⎝⎣
−
Bz ( x, y, z ) = −
z
⎡⎣ x 2 + ( y − y3 )2 + z 2 ⎤⎦
BR , S ⋅ z ⋅ d 2
16
i =1
,
±1
4
∑
3/ 2
⎞
z
⎟
−
2
2
2 3/ 2 ⎟
⎡⎣ x + ( y − y4 ) + z ⎤⎦
⎠
⎡⎣ x 2 + ( y − yi )2 + z 2 ⎤⎦
(3-102)
3/ 2
Die magnetische Flussdichte infolge einer Bewehrung nach (3-102) ist in Abb.
3-50 dargestellt. Die Messlinie verläuft parallel zur Bewehrung mit dem Abstand
z = 20 cm direkt über die Bewehrung.
0.15
magnetische Flussdichte Bz(y) [mT]
0.1
0.05
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.05
0.1
0.15
Y [m]
Abb. 3-50 Magnetische Flussdichte infolge einer Bewehrung
x = 0, z = 20 cm, d = 12 mm, BR , S = 0,5 T
Als nächstes wird eine Bewehrung, die nicht über die gesamte Länge
Sättigungsremanenz besitzt, analysiert (Abb. 3-48). In diesem Fall wird die
86
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Bewehrung in vier Bereiche unterteilt. Bereiche y < y1 , y > y4 haben negative
Sättigungsremanenz,
während
der
Bereich
y2 < y < y3
positive
Sättigungsremanenz besitzt. Im Bereich yl < y < yr wird die Remanenz aufgrund
eines schwachen Magnetfelds geringer als die Sättigung.
Abb. 3-51 Magnetische Ladung und Ladungsveränderung für eine Bewehrung
Wie im vorigen Beispiel werden vier magnetische Ladungen an den Punkten y1 ,
y2 , y3 , y4 angesetzt. Für veränderliche Remanenz im Bereich yl < y < yr kommt
die Formel (3-76) zur Anwendung.
B (P) = −
μ0
4π
Qi
∑r
i
2
eri −
i
μ0 Q '
er dl
4π ∫L r 2
Nach der Definition magnetischer Ladung (3-36) ist die Ableitung Q ' proportional
zu B ' . Der Verlauf der Remanenz in der Bewehrung zwischen yl und yr wird als
quadratische Funktion angenommen.
πd2
Q =
⋅A=B
μ0
4μ0
'
BR'
'
R
BR ( y ) = BR , m + a ( y − ym ) 2
(3-103)
BR ( yl ) = BR ( yl ) = BR , S
a=
k ⋅ BR, S
(3-104)
l12
87
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
hier k =
QR' =
( BR, S − BR ,m )
,
BR, S
l1 =
yr − yl
2
πd2
a ( y − ym )
2 μ0
(3-105)
Wird (3-105) in (3-76) eingesetzt, erhält die magnetische Flussdichte einen
zusätzlichen Term für die Ableitung Q ' zu (3-102).
Bz ( x, y, z ) = Bz ,0 ( x, y, z ) + ΔBz ( x, y , z )
Bz ,0 ( x, y, z ) = −
BR, S ⋅ z ⋅ d 2
16
d2 ⋅a⋅ z
ΔBz ( x, y, z ) = −
8
4
∑
i =1
yr
(3-106)
±1
⎡⎣ x 2 + ( y − yi )2 + z 2 ⎤⎦
3/ 2
( y '− ym )
dy '
3/ 2
2
2
2⎤
x + ( y − y ') + z
⎣
⎦
∫⎡
yl
2
2
x 2 + ( y − ym )( y − yl ) + z 2 ) ⎞
(
d 2 ⋅ a ⋅ z ⎛⎜ ( x + ( y − ym )( y − yr ) + z )
⎟
ΔBz ( x, y, z ) = −
−
8 ⎜ ( x 2 + z 2 ) x 2 + ( y − yr )2 + z 2 ( x 2 + z 2 ) x 2 + ( y − yl )2 + z 2 ⎟
⎝
⎠
(3-107)
Abb. 3-52 zeigt Grafiken für Bz ,0 ( x, y , z ) und ΔBz ( x, y, z ) . Die Remanenz in der
Mitte BR ,m beträgt 0, 6 ⋅ BR , S . Der Abminderungsbereich [ yl , yr ] ist 1,8 m lang.
Sonstige Randbedingungen sind identisch mit Abb. 3-50. Die gestrichelte Kurve
von
ΔBz ( x, y, z ) richtet sich zur grünen Kurve von Bz ,0 ( x, y , z ) entgegen. Die
Abminderung der Remanenz zwischen yl und yr wirkt sich als zusätzlicher
Einfluss auf das Magnetfeld der gesättigten Bewehrung aus. In Abb. 3-53 und
Abb. 3-54 wird die magnetische Flussdichte aus (3-106) infolge einer ungesättigt
magnetisierten Bewehrung dargestellt. Die Bewehrung in Abb. 3-53 hat gleiche
Randbedingen wie bei Abb. 3-52, die Bewehrung in Abb. 3-54 hat lediglich eine
andere Tiefe.
88
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
magnetische Flussdichte Bz(y) [mT]
0.1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.1
Y [m]
Abb. 3-52 Bz ,0 ( x, y , z ) (grüne Kurve) und ΔBz ( x, y, z ) (blaue Kurve)
magnetische Flussdichte Bz(y) [mT]
0.1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.1
Y [m]
Abb. 3-53 Magnetische Flussdichte infolge einer ungesättigt magnetisierten Bewehrung
Tiefe 20 cm
magnetische Flussdichte Bz(y) [mT]
0.1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.1
Y [m]
Abb. 3-54 Magnetische Flussdichte infolge einer ungesättigt magnetisierten Bewehrung
Tiefe 30 cm
89
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
3.2.4.3 Einfluss der Tiefe und des Durchmessers auf magnetische
Flussdichte
Um die Lage von Stahlbeton- und Spannbewehrungen im Bauwerk anhand der
erfassten Messdaten bestimmen zu können, wird in diesem Kapitel der
Zusammenhang zwischen der maximalen magnetischen Flussdichte und der
Tiefe sowie dem Durchmesser von Bewehrungen erläutert. Der Verlauf von
Bewehrungen lässt sich durch die Verbindungslinie zwischen den magnetischen
Polen auf dem Magnetbild verhältnismäßig gut erkennen. Jedoch können die
Tiefe und der Durchmesser von Bewehrungen auf dem zweidimensionalen
Magnetbild nicht ohne weiteres bestimmt werden.
Wie in Abb. 3-52 zu erkennen ist, hat der magnetisch ungesättigte Bereich kaum
Einfluss auf die magnetische Flussdichte am Punkt bei y = 0 . Außerdem haben
die magnetischen Ladungen an y3 und y4 aufgrund der großen Entfernung
kaum Einfluss auf diesen Punkt. Die magnetische Flussdichte am Punkt ( x, 0, z )
wird also nach (3-102) ausschließlich durch zwei magnetische Ladungen bei y1
und y2 bestimmt.
Bz ( x, 0, z ) = −
Wenn x
⎞
BR , S ⋅ z ⋅ d 2 ⎛⎜
1
1
⎟
+
3/ 2
3/ 2
2
2
2
2
2
2
⎜
16
( x + y2 + z ) ⎟⎠
⎝ ( x + y1 + z )
y1 , y 2 und z
(3-108)
y1 , y 2 sind, sind y1 und y2 vernachlässigbar und beide
Terme in (3-108) sind gleich.
Bz ( x, 0, z ) = −
BR , S ⋅ z ⋅ d 2
8
1
(3-109)
( x2 + z2 )
3/ 2
Bei x = 0 ist die magnetische Flussdichte maximal. Diese maximale magnetische
Flussdichte wird mit der magnetischen Flussdichte am Punkt P( x = z, 0, z )
verglichen.
Bz , max = B (0, 0, z ) = −
BR, S ⋅ d 2
(3-110)
8⋅ z2
90
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Bz ( x = z, 0, z ) = −
BR , S ⋅ d 2
(3-111)
8 ⋅ ( z 2 + z 2 )3/ 2
Bz ( x = z, 0, z ) ⎛ 1 ⎞
=⎜ ⎟
Bz ,max
⎝2⎠
3/ 2
= 0,35
(3-112)
Die Formel (3-112) deutet drauf hin, dass die magnetische Flussdichte an dem
Punkt, der von der Maximalstelle (0, 0, z ) in Fahrtrichtung um z (=Tiefe) entfernt
ist, 35 % von der maximalen Flussdichte ist (siehe Abb. 3-55). Das heißt, dass
der Punkt mit einer magnetischen Flussdichte von 0,35 Bz , max auf der Line y = 0
genau um die Tiefe vom Pol entfernt ist.
Abb. 3-55 Zur Erklärung für Tiefenermittlung
Das Verhältnis der magnetischen Flussdichte von diesen zwei Punkten (3-112)
ist unabhängig von der Remanenz und dem Durchmesser der Bewehrung.
Demzufolge gilt (3-112) für alle Bewehrung, welche parallel zur Jochachse
verlaufen.
Der Querschnitt bzw. Durchmesser von Bewehrungen übt einen direkten
Einfluss auf die maximale magnetische Flussdichte (3-109), (3-110) aus. Es gibt
zwei Möglichkeiten, den Durchmesser zu berechnen. Erstens, nachdem die
Tiefe errechnet wurde, wird diese Tiefe in (3-110) eingesetzt. Der Durchmesser
kann aus dieser Gleichung bestimmt werden.
Bz , max = B (0, 0, z ) = −
d=
8 Bz ,max
BR , S
BR, S ⋅ d 2
8⋅ z2
⋅z
(3-113)
91
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Andernfalls wird die Messkurve entlang der X-Achse numerisch integriert. Das
Ergebnis dieser Integration soll proportional zum Querschnitt der Bewehrung
sein. Aus diesem Wert der numerischen Integration und der vorweg ermittelten
Tiefe kann der Durchmesser berechnet werden.
∞
∞
∫ B ( x, 0, z )dx = ∫ − 8
z
−∞
−∞
BR , S ⋅ z ⋅ d 2
(x
2
+ z2 )
3/ 2
dx = −
BR , S d 2
4z
4 ⋅ z ⋅ ∑ Bz ( xi ,0, z ) Δx
d=
(3-114)
BR ,S
Beide Methoden setzen die vorher ermittelte Tiefe und Sättigungsremanenz
voraus. Allerdings ist die Fehleranfälligkeit beider Methoden unterschiedlich. Der
aus (3-113) ermittelte Durchmesser steht in linearem Verhältnis zu z ,
währenddessen
der
Durchmesser
aus
(3-114) linear
zu
z
ist.
Die
Integralrechnung in (3-114) soll ein ausreichendes Intervall haben, um den
Fehler zu minimieren. Jedoch liefert das Intervall [ −2 z , 2 z ] ein brauchbares
Ergebnis (10 % Fehler).
2z
∫ −8
−2 z
∞
∫ −8
−∞
In
BR , S z ⋅ d 2
(x
2
+ z2 )
BR , S z ⋅ d
(x
dx
3/ 2
Wirklichkeit
2
≈ 0,9
5
=
2
+ z2 )
2
3/ 2
dx
liegen
(3-115)
mehrere
Bewehrungen
parallel
zueinander.
Die
magnetische Flussdichte aus benachbarten Bewehrungen verfälscht das
Ergebnis von Tiefe und Durchmesser (Abb. 3-56). Die magnetische Flussdichte
aus mehreren Bewehrungen ist:
Bz ( x) = ∑ Bz ,i ( x ) = − ∑
i
i
Bz , max, k = Bz ( xk ) = −∑
i
BR, S zi d i2
8 ( ( x − xi )2 + zi2 )
3/ 2
= −∑
i
Bz , max ,i z 3i
( ( xk − xi ) 2 + zi2 )
Bz ,max ,i z 3i
((x − x )
i
2
+ zi2 )
3/ 2
(3-116)
(3-117)
3/ 2
92
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
zi+1
zi
zi-1
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Abb. 3-56 Magnetische Flussdichte von mehreren Bewehrungen
Obwohl sich die Bewehrungslagen xi aufgrund relativ gleichmäßiger Verteilung
von Bewehrungen als übereinstimmend mit Extrema-Positionen annehmen
lassen, kann die Gleichung (3-116) wegen ihrer Nichtlinearität und Instabilität
nach zi und di weder analytisch noch numerisch direkt gelöst werden. Wird der
Einfluss von benachbarten Bewehrungen vernachlässigt, können die Lösungen
zi und di aus (3-112), (3-113), (3-114) infolge ΔBz ,i nicht ausreichend genau
sein. Deswegen ist eine entsprechende Korrektur von ΔBz ,i erforderlich.
ΔBz ,i ( x) = ∑ Bz , k ( x ) = − ∑
k ≠ì
ΔBz ,max,i = ΔBz ,i ( xi ) ≅
k ≠i
Bz , max ,k z 3k
((x − x )
2
k
+ zk2 )
Bz , max ,i −1 zi3−1
( ( xi − xi−1 )2 + zi2−1 )
3/ 2
3/ 2
+
Bz ,max,i +1 zi3+1
( ( xi − xi +1 ) 2 + zi2+1 )
3/ 2
(3-118)
Durch iterative Korrektur von ΔBz ,i können stabile Lösungen von zi und di
ermittelt werden.
93
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Bz ,max ,i , xi
xz , i
Bz ( xz ,i ) = 0,35 Bz ,max ,i
zi = xz ,i − xi
Δzi < Δztol
di
ΔBz ,max ,i
Bz , max,i − ΔBz , max ,i → Bz ,max ,i
Abb. 3-57 Algorithmus für die iterative Lösung
Wenn die Abstände zwischen den Bewehrungen xi +1 − xi genug groß sind, kann
auf eine Korrektur verzichtet werden, da ΔBz , max,i ≈ 0 ist. Anschließend wird das
theoretische
Verhältnis
der
maximalen
magnetischen
Flussdichte
einer
Bewehrung in Abhängigkeit von der Tiefe und dem Durchmesser in Abb. 3-58
dargestellt.
94
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
1
maximale magnetische Flussdichte
0.8
0.6
0.4
0.2
10
15
20
Ti efe [ cm]
25
30
Abb. 3-58 Maximale magnetische Flussdichte Bz , max in Abhängigkeit von Tiefe und
Durchmesser
3.2.4.4 Analytische Simulation für Brüche
Die wichtigste Aufgabe des RM-Verfahrens ist die Ortung von Brüchen an
Spanngliedern. Das Prinzip der Erfassung von Brüchen wurde zuvor in 3.1.1
beschrieben. Durch den Magnetisierungsvorgang werden überwiegend Spannund Stahlbetonbewehrungen, die quer zur Fahrtrichtung liegen, magnetisiert. Die
restlichen Bewehrungen werden sehr schwach magnetisiert, infolgedessen
erzeugen sie ein sehr geringes Störfeld. Dennoch beeinträchtigt das Störfeld
aus stark magnetisierten Querbewehrungen das Auffinden der Brüche recht
stark.
Aufsteigende
Verankerungsbewehrungen,
endende
Bewehrungen,
Überlappungsbereiche und Steckbügel sind typische Quellen bruchartiger
Signale. Zu stark magnetisierte Pole überdecken Bruchsignale mit ihrer
dominanten Wertsteigerung [27]. Um diese Fehlerquelle von Bruchsignalen
trennen zu können, ist die analytische Simulation für Bruchsignale notwendig.
Dadurch sollen Merkmale und Form von Bruchsignalen gefunden werden.
95
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Eine
unbeschädigte,
magnetisch
gesättigte
Bewehrung
kann
mit
vier
magnetischen Ladungen beschrieben werden (Abb. 3-59). Die magnetische
Flussdichte direkt über dieser Bewehrung wird nach (3-102) berechnet.
Abb. 3-59 Modellierung einer unbeschädigten Bewehrung
Bz ( x, y, z ) = −
BR , S ⋅ z ⋅ d 2
16
4
∑
i =1
±1
⎡⎣ x 2 + ( y − yi )2 + z 2 ⎤⎦
3/ 2
Befindet sich ein Bruch an einem Punkt P(0, y B , 0) , verringert sich die
Magnetisierung an Bruchufern aufgrund der sich unstetig verändernden
Permeabilität (Abb. 3-60). Nach dem Brechungsgesetz ist B
BB .
lB
BB
B
B
Abb. 3-60 Veränderung der Flussdichte an Bruchufern
Auf andere Weise betrachtet, besteht die Linie zwischen y2 und y3 aus Stahl
und zwischen den Bruchufern wäre Luft statt Stahl. Diese Unstetigkeit der
Permeabilität verursacht eine Unstetigkeit der Magnetisierung trotz konstanter
96
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
magnetisierender Feldstärke H .
H
μStahl
H
H
μ Luft
μStahl
Abb. 3-61 Unstetigkeit der Permeabilität am Bruch
M = (μr − 1) H ,
somit M Luft = 0 .
lB
Abb. 3-62 Modellierung gebrochener Bewehrung
Also können Brüche als ein Paar magnetische Ladungen modelliert werden,
welche sich an Bruchufern befinden. Jedoch ist hier zu beachten, dass ohne
Abstand lB beide magnetische Ladungen keinerlei Wirkung auf das Magnetfeld
ausüben. Nach der ersten Betrachtung über Brüche (Abb. 3-60) ist der Abstand
zwischen magnetischen Ladungen aufgrund des Übergangsbereichs größer als
die Luftspaltenbreite. Das bedeutet, lB ist immer vorhanden, auch im Falle eines
Bruchs ohne Luftspalte. Danach setzt sich das Magnetfeld aus dem Teil der
ungeschädigten Bewehrung und einem anderem Teil aus dem Bruch (zwei
Ladungen) zusammen. Nach (3-102) wird die magnetische Flussdichte wie folgt
berechnet.
Bz ( x, y, z ) = Bz ,0 ( x, y, z ) + ΔBBruch ( x, y, z )
97
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Bz ,0 ( x, y, z ) = −
BR, S ⋅ z ⋅ d 2
16
±1
4
∑
i =1
⎡⎣ x 2 + ( y − yi )2 + z 2 ⎤⎦
3/ 2
⎛
⎞
⎜
⎟
⎟
BR, S ⋅ z ⋅ d 2 ⎜
1
1
ΔBBruch ( x, y, z ) = −
−
⎜
3/ 2
3/ 2 ⎟
2
2
16
⎤
⎡
⎤
⎜⎡ 2 ⎛
⎟
1 ⎞
1
⎛
⎞
2
2
2
⎢ x + ⎜ y − ( yB − lB ) ⎟ + z ⎥ ⎟⎟
⎜⎜ ⎢ x + ⎜ y − ( yB + lB ) ⎟ + z ⎥
2 ⎠
2 ⎠
⎝
⎝
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦ ⎠
⎝ ⎢⎣
(3-119)
In Abb. 3-63 wurde der Verlauf der magnetischen Flussdichte einer gebrochenen
Bewehrung gezeigt. Die Bewehrung hat den Durchmesser 12 mm, die Tiefe 20
cm und die Sättigungsflussdichte 0,5 T. Der Bruch befindet sich bei y = 1,3 m .
Magnetische Ladungen am Bruch haben einen Abstand von 2 cm.
magnetische Flussdichte Bz(y) [mT]
0.1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.1
Y [m]
Abb. 3-63 Magnetische Flussdichte einer gebrochenen Bewehrung
Wenn der Bruch in der Mitte des Magnetisierungsbereichs liegt, ist der Anteil
vom Bruch ΔBBruch in (3-119) dominant.
Bz ,0 ( x, y, z ) ≅ 0
⎛
⎜
B ⋅ z⋅d ⎜
1
1
Bz ( x, y, z ) ≅ ΔBBruch ( x, y, z ) = − R, S
−
3/ 2
3/ 2
⎜
16
1 2
1 2
⎡ 2
⎡ 2
2⎤
2⎤
⎜⎜ ⎢ x + ( y − lB ) + z ⎥
⎢⎣ x + ( y + 2 lB ) + z ⎥⎦
2
⎦
⎝⎣
2
(3-120)
mit y = y ' − yB .
98
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Eine Taylor-Reihe wird für die Formel (3-120) nach lB entwickelt.
ΔBBruch ( x, y, z ) = −
BR, S ⋅ z ⋅ d 2
16
3 ⋅ y ⋅ lB
(x + y + z
2
2
)
2 5/2
+ O (lB3 )
(3-121)
Das Bruchsignal aus der exakten Funktion (3-120) wird mit dem Ergebnis der
Approximationsfunktion (3-121) in Abb. 3-64 verglichen. Wie diese Abbildung
zeigt,
unterscheiden
sich
beide
Funktionen
betragsmäßig
kaum.
Das
Bruchsignal kann mit (3-121) sehr gut approximiert werden.
magnetische Flussdichte Bz(y) [mT]
0.01
0.005
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.005
0.01
Y [m]
Abb. 3-64 Exaktes Bruchsignal (rot) und Approximationskurve (blau)
Positionen der Extrema können durch die Ableitung von (3-121) hergeleitet
werden.
∂ΔBBruch
=0
∂y
−
3BR , S ⋅ d 2 ⋅ z ⋅ lB ⋅ ( x 2 − 4 y 2 + z 2 )
16 ( x + y + z
y Peak = ±
2
2
)
2 7/2
=0
1 2
x + z2
2
(3-122)
Der Abstand zwischen den Extrema ist bei x = 0 :
ΔyPeak = z
(3-123)
Der Abstand zwischen den Extrempunkten bei Bruchsignalen ist gleich mit ihrer
99
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
Tiefe bei x = 0 . Dieses spezielle Verhältnis ist ein wichtiges Merkmal zur
Erkennung gebrochener Bewehrungen (Abb. 3-65).
Spanngleid
Abb. 3-65 Typisches Bruchsignal in zweidimensionaler Messung
Die Frage, wie viel Spanndrähte von einem Spannglied gebrochen sind, ist eine
relevante Frage für die Tragfähigkeit des Spannglieds. Die Stärke des
Bruchsignals ist nach (3-121) linear abhängig vom gebrochenen Querschnitt.
ΔBBruch ( x, y, z ) = −
3 ⋅ BR ,S ⋅ z ⋅ y
16 ( x + y + z
2
2
2
)
5/2
⋅ lB ⋅ d B2
z
ΔBBruch ,max = ΔBBruch (0, , z ) = −0, 054 ⋅ BR ,S ⋅ z −3 ⋅ lB ⋅ d B2
2
(3-124)
Jedoch ist ΔBBruch ,max nicht nur vom Querschnitt ( d B2 ), sondern auch vom
unbekannten Bruchabstand lB
abhängig. Aus diesem Grund kann der
gebrochene Anteil am gesamten Querschnitt nicht berechnet werden.
Wenn der Bruch nah am Pol liegt, ist das Bruchsignal visuell schwierig zu
erkennen. Abb. 3-66 dient als Beispiel für unterschiedliches Aussehen von
Brüchen in Abhängigkeit ihrer Position. Der Bruch in der Mitte ist deutlich
erkennbar (Abb. 3-66, grüne Kurve), während der Bruch bei x = 0,35 m schwer
erkennbar ist. Der Bruch bei x = 0, 25 m kann visuell nicht erkannt werden,
obwohl die Magnetisierung und der Querschnitt der Bewehrung identisch sind.
100
3 Theoretische Entwicklungen des RM-Verfahrens
3.2 Entwicklung der magnetostatischen Grundlagen
magnetische Flussdichte Bz(y) [mT]
0.1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.1
Y [m]
Abb. 3-66 Unterschiedliche Erkennbarkeit von Brüchen nach Bruchpositionen
rot: Bruch bei x=25 cm, blau: Bruch bei x=35 cm, grün: Bruch bei x=152 cm
Staffelbrüche erzeugen eine andere Form des Bruchsignals als ein Einzelbruch.
Werden Staffelbrüche als vektorielle Summe von einzelnen Brüchen modelliert,
wird das Magnetfeld vom Spannglied wie (3-119) zusammengesetzt.
ΔBBruch ( x, y, z ) = −
3BR, S ⋅ z
16
( y − y )⋅l
∑
(x +( y − y )
B ,i
i
B ,i
2
B ,i
2
⋅ d i2
+ z2
)
5/ 2
magnetische Flussdichte Bz(y) [mT]
0.1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.1
Y [m]
Abb. 3-67 Drei Brüche mit jeweils 20 cm Abstand
In Abb. 3-67 ist die magnetische Flussdichte eines Spannglieds mit drei
Staffelbrüchen zu sehen. Die Bruchpositionen sind x = 1,30 m , x = 1,50 m und
x = 1, 70 m . Die Signalform weicht von der Form eines einzelnen Bruchs (Abb.
3-63) ab.
101
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.1 Beschreibung des FEM-Modells
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEMAnalysen
Heutzutage ist die Analyse mithilfe FEM-Software ein Standard geworden. In der
Magnetostatik ist es nicht anders. Die Computergestützte Finite-ElementeMethode liefert in vielen Fällen sehr gute Lösungen für Probleme, die sonst
analytisch sehr schwierig oder gar nicht gelöst werden können [28]. Nicht nur die
schnell zunehmende Leistungsfähigkeit des Computers trägt zur breiten
Einsetzbarkeit der FEM bei, sondern auch die rasante Entwicklung der
Mathematik. Allerdings kann die FEM nicht alle Probleme im Ingenieurwesen
bewältigen. Genauigkeit und Zuverlässigkeit der FEM-Lösung hängen davon ab,
wie gut das zu lösende System mathematisch modelliert wird. Die FEM-Lösung
kann nicht besser sein als ihr Modell. Demzufolge sollten Lösungen aus FEMSoftware stets mit Ergebnissen aus Labor oder Praxis verglichen werden.
Nichtsdestotrotz kann FEM-Analyse zur Auswertung von Theorien dienen, da sie
einen bildgebenden Eindruck des Lösungsverhaltens vermittelt. In diesem
Kapitel werden der in Kapitel 3.2 entwickelte Ansatz und die dazu gehörigen
Theorien mit Ergebnissen aus der FEM-Analyse verglichen
4.1
Beschreibung des FEM-Modells
Für die FEM-Analyse wurde die Software ANSYS angewendet. Dank ihrer relativ
leichten Handhabbarkeit und breiten Anwendungsmöglichkeit ist ANSYS zur
Simulation von Ingenieuraufgaben sowie Optimierung allgemeiner Prozesse
weltweit sehr verbreitet.
4.1.1
Materialien für das Modell
Das FEM-Modell besteht aus verschiedenen Materialien. Spulenkerne und das
Joch sind aus ARMCO-Eisen. Für ARMCO-Eisen wurde das Reineisen aus der
Datenbank von ANSYS Workbench gewählt, weil beide Eisensorten sehr
ähnliche magnetische Eigenschaften aufweisen. Das Reineisen besitzt eine
hysteresische Eigenschaft als typischer ferromagnetischer Stoff. Die B-H-Kurve
für Neumagnetisierung ist in Tabelle A-1, Abb. A-1 zu entnehmen. Aufgrund der
nichtlinearen Eigenschaften des Eisens kann die FEM-Berechnung nicht linear
erfolgen.
102
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.1 Beschreibung des FEM-Modells
Die Spulen, die das magnetisierende Feld erzeugen, bestehen aus Kupferdraht.
Da Kupfer ein diamagnetischer Stoff ist, wird die relative Permeabilität des
Kupfers als 1 angenommen. Die Luft als Umgebung des Großmagnets besitzt
eine konstante Permeabilität 1. Luftelemente werden zuerst zur Ermittlung des
vom Großmagneten erzeugten Felds angelegt und als nächstes zur Kopplung
zwischen dem Großmagneten und der Bewehrung angewendet.
Die handelsüblichen Betonstabstähle sind BSt 420 S und BSt 500 S. Da noch
keine umfangreichen Untersuchungen von Betonstahl hinsichtlich magnetischer
Eigenschaften bekannt sind, werden die Parameter für eine FEM-Analyse an die
Daten anderer Stoffe angelehnt. Dafür sollen Faktoren, die die magnetischen
Eigenschaften beeinflussen, angemessen berücksichtigt werden. Manche der
technischen Eigenschaften, wie Permeabilität und Hysteresekurve, sind nicht nur
von der chemischen Zusammensetzung der Werkstoffe abhängig, sondern
werden durch deren Herstellungsprozess beeinflusst [24]. Die Verunreinigungen
im Eisen erhöhen normalerweise die Permeabilität. Jedoch ist bei der
chemischen Zusammensetzung von Betonstahl (siehe Tabelle A-2) keine
nennenswerte Veränderung der Permeabilität zu erwarten. Betonstabstahl wird
warm gewalzt und kalt verformt. Da die Walz- und Kaltverformungsrichtung der
Stabachse
entspricht,
Eigenschaften.
Es
besitzen
wird
davon
Betonstabstähle
ausgegangen,
gewisse
dass
die
anisotropische
magnetischen
Eigenschaften von Betonstabstahl nicht stark von den Eigenschaften des
geglühten Eisens abweichen, da der Walzvorgang in vergleichbarer Temperatur
dem Glühen des Eisens stattfindet. Also wurde die Neu-Kurve von geglühtem
Reineisen in Tabelle A-1 für Betonstabstahl angewendet.
4.1.2
Elementarten des Modells
Da es sich um ein dreidimensionales Modell handelt, wird zur Modellierung
SOLID117 eingesetzt. Ein dreidimensionales Magnetfeld lässt sich mit dem
Standardelementtyp
SOLID117
gut
modellieren
und
mit
verschiedenen
Lösungsverfahren analysieren. SOLID117-Elemente werden mit 20 Knoten
definiert und haben 12 Freiheiten der Kanten-Flussdichte. Die magnetischen
Eigenschaften des Elements können mit Materialparametern MGXX, MGYY,
103
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.1 Beschreibung des FEM-Modells
MGZZ, MURX, MURY, MURZ, RSVX, RSVY, RSVZ und BH-Tabelle
beschrieben werden.
Abb. 4-1 Geometrie des Elements SOLID117
MGXX, MGYY und MGZZ sind die Korzitivfeldstärke für permanente Magneten
in x-, y- und z-Richtung. RSVX, RSVY und RSVZ sind die magnetischen
Widerstände in jeder Richtung. MURX, MURY und MURZ sind die relative
Permeabilität in jeder Richtung. Wenn das Element ein nichtlineares B-HVerhältnis besitzt, kann das in der Form einer B-H-Tabelle eingegeben werden.
Randbedingungen wie für Stromstärke, Spannung, parallele Flusslinien und
Temperatur können auf Knoten, Oberflächen sowie Elemente zugewiesen
werden. Mit diesem Standardelement können Permeabilität, magnetische
Feldstärke, magnetische Flussdichte und MAXWELLsche Kraft ermittelt werden.
Mit SOLID117 werden sowohl das Luftvolumen als auch der Magnet und die
Bewehrungen modelliert.
Für Spulen findet der Elementtyp SOURC36 Anwendung. SOURC36 ist ein
spezielles Element für die Stromleitung von Magnetfeldaufgaben. Dieses
Element stellt eine Verteilung der elektrischen Ladung für die Randbedingung
des magnetischen Skalarpotentials dar. Der Strom, den dieses Element enthält,
wird zur Erzeugung des magnetisierenden Felds genutzt. In SOURC36 sind drei
Typen untergliedert, Der erste Typ ist für die runde Spule, der zweite für die
104
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.1 Beschreibung des FEM-Modells
plattenförmige Leitung und der dritte für das zylinderförmiges Segment (Abb.
4-2).
Abb. 4-2 Geometrie des Elementtyp SOURC36
Parameter für SOURC36-Elemente sind Knotenkoordinaten zur Bildung der
Geometrie (i, j, k), Elementdicke DY, DZ und den elektrischen Durchflutung CUR,
welche als Windung · Stromstärke berechnet wird. Da dieser Elementtyp
SOURC36 lediglich zur Erzeugung des Magnetfeldes dient, hat er keine
Ausgabenwerte.
4.1.3
Geometrie und Vernetzung des Modells
Die Geometrie des FEM-Modells für ANSYS und ANSYS Workbench ist in Abb.
4-3 gezeigt. Die Abmessung des Großmagneten ist identisch mit der Abmessung
bei der Theorieentwicklung in Kap 3.2.3 und mit dem realen Magneten. Um das
Magnetfeld unterhalb des Großmagneten zu untersuchen, ist das Modell mit
einem Luftvolumen versehen. Es werden zwei FEM-Modelle hergestellt. Ein
Modell ist ohne Bewehrungsstab und das andere Modell ist mit Bewehrungsstab.
Magnet und Bewehrungen sollen durch Luft gekoppelt werden. Im Modell wird
die Symmetrie der physikalischen und geometrischen Randbedingungen
ausgenutzt. Das Modell ist über die yz-Ebene symmetrisch und kann auf die
Hälfte des Gesamtmodells reduziert werden. Auf der Symmetriefläche ist die
Flusslinie parallel zur Ebene, die normale Komponente zu dieser Ebene ist null
105
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.1 Beschreibung des FEM-Modells
(siehe Abb. 4-3). Die Bewehrung liegt in 20 cm Tiefe und enthält einen Bruch in
der Mitte. Die Bruchspalte ist 1 cm breit. Die Länge der Bewehrung wurde auf 4
m begrenzt.
0
92
50
3080
Ф320
Ф340
z
1950
1100
5
200
y
x
4600
Abb. 4-3 Geometrie des FEM-Modells
Abb. 4-4 Vernetztes FEM-Modell in ANSYS ohne Bewehrung
Um die Vernetzbarkeit der Kontaktflächen zwischen dem Bewehrungsstab und
dem Luftvolumen zu verbessern, wird der Stabquerschnitt quadratisch gewählt.
106
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.1 Beschreibung des FEM-Modells
Jedoch wegen des Verhältnisses d / l lässt das Modell nicht viele Möglichkeiten
für Vernetzung zu. Der Stabquerschnitt ist 2 cm x 2 cm. Wie in Abb. 4-4 zu
erkennen ist, ist die Vernetzung um die Bewehrung sehr fein, um mögliche
Veränderungen der magnetischen Feldgrößen abzufangen.
Abb. 4-5 Vernetzte Bewehrung
Die Elementgröße für den Bewehrungsstab wird mit 0,05 m vorgegeben. Sonst
würden zu viele Elemente entstehen, infolgedessen ist die Analyse nicht möglich.
Der Bruch wird mit zwei Elementen modelliert (Abb. 4-6).
Abb. 4-6 Vernetztes Modell für den Bewehrungsstab
107
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
4.2
Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
4.2.1
Magnetfeld des Großmagneten
Zunächst wird das Ergebnis für das Magnetfeld vom Großmagneten mit dem
analytischen Ergebnis von Kapitel 3.2.3 verglichen.
Abb. 4-7 Gesamte Flussdichte
Abb. 4-8 Flussdichte in Z-Richtung
Das zu vergleichende Magnetfeld von ANSYS wurde mit einer Stromstärke von
100 A erzeugt. Die gesamte Flussdichte B und die Z-Komponente der
Flussdichte Bz sind in Abb. 4-7, Abb. 4-8 gezeigt.
108
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
Die magnetische Flussdichte verändert sich entlang der Jochachse relativ stark
(Abb. 4-9). Die Z-Komponente der magnetischen Flussdichte ist in den linken
und rechten Spulenkernen dominant und sie ist in der Mitte der Spule am
größten. Die magnetische Flussdichte im Joch sollte nach (3-31) ca. fünfmal
größer als in den Spulen sein. In der FEM-Berechnung ist es nicht der Fall, weil
die
magnetischen
Flusslinien
durch
abrupte
Querschnitts-
und
Richtungsänderung an Enden des Jochs sehr gestört werden und somit lediglich
ein Teil davon durch den Jochrücken weiter läuft (siehe Abb. 4-7, Abb. 4-8, Abb.
4-10).
Luft
Linke
Spule
Joch
Rechte
Spule
Luft
Abb. 4-9 Magnetische Flussdichte auf der Jochachse
Abb. 4-10 Flusslinienverlauf im Großmagnet
Die Flussdichten im Magnetfeld aus dem Großmagnet können mit den Formeln
(3-96), (3-97) der neuen Theorien berechnet werden. Jedoch ist dabei zu
beachten, dass diese beiden Formeln unveränderte Flusslinien entlang des
Magneten voraussetzt. Für eine veränderte Flusslinie kommt die Formel (3-74)
zum Einsatz.
109
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
Bz (P) =
μ0Q ⎛ r1l , y r1r , y r2l , y r2 r , y
−
−
+
⎜
8πρ z p ⎝ r1l
r1r
r2l
r2r
ΔBz (P) =
⎞
μ0Q ⎛ 1 1 1 1 ⎞
⎜ − − + ⎟
⎟ , By (P) =
8πρ ⎝ r1l r1r r2l r2 r ⎠
⎠
μ0 ΔQ ⎛ r2o , z r1o, z ⎞
μ0 ΔQ ⎛ r2o, y r1o, y ⎞
− 3 ⎟
⎜ 3 − 3 ⎟ , ΔBy (P) =
⎜
r1o ⎠
r1o ⎠
4π ⎝ r2 o
4π ⎝ r23o
(4-1)
(4-2)
Somit kann der Großmagnet durch zwei Flächenladungen (4-1) und zwei
zusätzliche magnetische Ladungen (4-2) ersetzt werden (Abb. 4-11). Hier ist ΔQ
die Änderung des magnetischen Flusses im Großmagneten und Q ist der
Mittelwert der magnetischen Ladung innerhalb der Spulen.
Abb. 4-11 Reduzierung des Großmagneten mit magnetischen Ladungen
Aus der ANSYS-Berechnung ergeben sich Q , ΔQ .
Q=
B Spule ⋅ A
μ0
=
B Spule ⋅ πρ 2
μ0
⎛
B Joch ⋅ AJoch ⎞
ΔQ = ( Q − QJoch ) = ⎜ Q −
⎟
μ0
⎝
⎠
(4-3)
mit B Spule = 1, 25 mT, B Joch = 0,9 mT, ρ = 0,16 m, h = 0, 05 m, AJoch = 2 ρ h
Aufgrund der kleinen magnetischen Flussdichte des unteren Spulenbereichs
werden beide Flächenladungen um 10 cm nach oben versetzt. Die Werte von (4110
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
3) werden in (4-1), (4-2) eingesetzt. Die folgenden Grafiken zeigen Vergleiche
der
magnetischen
Feldstärken
aus
den
FEM-Berechnungen
und
Gleichungen (4-1), (4-2) in verschiedenen Tiefen.
Abb. 4-12 Vergleich magnetischer Flussdichte By, Tiefe z= -10 cm, x=0
Abb. 4-13 Vergleich magnetischer Flussdichte Bz, Tiefe z=-10 cm, x=0
111
den
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
Abb. 4-14 Vergleich magnetischer Flussdichte By, Tiefe z=-20 cm, x=0
Abb. 4-15 Vergleich magnetischer Flussdichte Bz, Tiefe z=-20 cm, x=0
Abb. 4-16 Vergleich magnetischer Flussdichte By, Tiefe z=-30 cm, x=0
112
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
Abb. 4-17 Vergleich magnetischer Flussdichte Tiefe Bz, z=-30 cm, x=0
Aus den Grafiken von Abb. 4-12 bis Abb. 4-17 ergibt sich, dass die magnetische
Flussdichte aus den Theorien von Kapitel 3.2.2 im Bereich von z = −10 cm bis
−30 cm direkt unter dem Magneten sehr gut mit den Werten der FEM-
Berechnungen übereinstimmt. Mit zunehmender Tiefe wird die Abweichung von
By größer. Im Nahbereich, in dem x > 0 ist, liefern die Gleichungen (4-1), (4-2)
auch gute Näherungswerte zu den ANSYS-Lösungen.
Abb. 4-18 Vergleich magnetischer Flussdichte By, x=10 cm, z=-20 cm
113
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
Abb. 4-19 Vergleich magnetischer Flussdichte Bz, x=10 cm, z=-20 cm
Abb. 4-20 Vergleich magnetischer Flussdichte By, x=20 cm, z=-30 cm
Abb. 4-21 Vergleich magnetischer Flussdichte Bz, x=20 cm, z=-30 cm
114
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
4.2.2
Magnetisierungszustand von Bewehrungen
4.2.2.1 Magnetfeld aus einer magnetisierten Bewehrung
Eine Bewehrung mit dem Querschnitt 2 cm x 2 cm liegt in 20 cm Tiefe unter dem
Großmagneten. Die Stromstärke des Großmagneten beträgt 100 A. Zuerst wird
der Magnetisierungszustand mithilfe von ANSYS ermittelt. Die magnetische
Flussdichten By und Bz sind in Abb. 4-22, Abb. 4-23 dargestellt.
Abb. 4-22 Flussdichte By in der Bewehrung
Abb. 4-23 Flussdichte Bz in der Bewehrung
Aufgrund großer Permeabilität der Bewehrung ist die magnetische Flussdichte
innerhalb der Bewehrung sehr groß. Bei der Magnetisierung spielt die
geometrische Form der Bewehrung eine große Rolle. Die magnetische
Flussdichte By in Achsenrichtung ist deutlich größer als in die andere Richtung
(siehe Abb. 4-24). Wird die Magnetisierung durch der Kombination vom Verlauf
des magnetisierenden Felds By von Abb. 4-14 und der B-H-Neukurve (Tabelle
115
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
A-1) ermittelt, ergibt sich folgender Verlauf.
Abb. 4-24 Magnetische Flussdichte (Magnetisierung) innerhalb der Bewehrung
Nach dem Magnetisierungsvorgang bleibt Remanenz in der Bewehrung. Mit der
Vereinfachung aus (3-100) kann die Remanenz linear zum Verlauf By errechnet
werden (Abb. 4-25). Dieser Remanenzverlauf BR kann in der Form einer
Treppenfunktion angenähert werden. Somit kann die magnetisierte Bewehrung
durch drei magnetische Ladungspaare ersetzt werden, wobei zwei Paare
Q1 , − Q1 und Q2 , − Q2 aufgrund ihres geringeren Abstand kaum Einfluss auf das
Remanenzfeld ausüben.
Abb. 4-25 Remanenz und Ersatz durch magnetische Ladungen
Die magnetische Flussdichte aus einer Bewehrung ist nach der Formel (3-102),
jedoch ohne magnetischen Ladungen an y1 und y4 , zu berechnen.
116
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
By ( x, y, z ) = −
⎛
⎞
BR ⋅ d 2 ⎜
−y
l−y
⎟,
−
16 ⎜ ( x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2 ( x 2 + (l − y )2 + z 2 )3/ 2 ⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
BR ⋅ d 2 ⎜
−z
−z
⎟
Bz ( x, y, z ) = −
−
16 ⎜ ( x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2 ( x 2 + (l − y )2 + z 2 )3/ 2 ⎟
⎝
⎠
(4-4)
Das Magnetfeld um eine magnetisierte Bewehrung wurde in ANSYS simuliert.
Da der Remanenzzustand (Abb. 4-24) nicht in ANSYS eingegeben werden kann,
wurde eine konstante Remanenz über die gesamte Bewehrung eingegeben. Die
Materialeingaben in ANSYS für die Bewehrung sind wie folgt.
BR = 0, 4 T
H C = 1300 A/m
BR
= 307
μ0 H C
z
2,
0
m
μr =
y
x
1,54 m
2,2 m
Abb. 4-26 Geometrie des ANSYS-Modells
Die Symmetriebedingung ist im ANSYS-Modell ausgenutzt. Die Symmetrieebene
hat nur die normale Komponente des magnetischen Flusses. Der Luftblock hat
eine Abmessung von 2, 2 m × 2, 0 m × 1, 0 m . Die Bewehrung ist 1, 54 m lang und
hat einen Querschnitt von 20 mm × 20 mm . Sie liegt in 0,5 m Tiefe. Mit den
Ergebnissen aus diesem FEM-Modell werden die in 3.2.4.2 und 3.2.4.3
entwickelten Theorien verglichen.
117
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
Abb. 4-27 Magnetische Flussdichte By um die Bewehrung
Abb. 4-28 Magnetische Flussdichte Bz um die Bewehrung
Abb. 4-27 und Abb. 4-28 zeigen die Verteilung der y- und z-Komponente der
magnetischen
Flussdichte
um
die
magnetisierte
Bewehrung.
Die
Randbedingungen für Theorieformeln werden an den Remanenzverlauf der
FEM-Berechnung angelehnt. So erhält die Gleichung (4-4) dann noch einen
zusätzlichen Term (3-76) aufgrund des Gefälles des Endbereichs (siehe Abb.
4-29).
BR = 0, 25 T
BR' =
ΔBR −0, 25
=
= −0, 6
0, 4
Δl
( y ∈ ( y1 , y2 ); y1 = 1,14, y2 = 1,54)
118
(4-5)
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
Abb. 4-29 Verlauf der Remanenz in der magnetisierten Bewehrung
BR' d 2
16
y2
BR' d 2
ΔBz =
16
y2
ΔBy =
∫
y1
∫
y1
(
0,5l − y
x 2 + ( 0, 5l − y ) + z 2
(x
2
−z
2
+ ( 0,5l − y ) + z 2
2
)
dy ,
)
dy
(4-6)
Werden (4-5), (4-6) in (4-4) eingesetzt, ergibt sich die magnetische Flussdichte
um die magnetisierte Bewehrung.
Abb. 4-30 Magnetische Flussdichte By bei z=10 cm
119
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
Abb. 4-31 Magnetische Flussdichte Bz bei z=10 cm
Abb. 4-32 Magnetische Flussdichte By bei z=20 cm
Abb. 4-33 Magnetische Flussdichte Bz bei z=20 cm
120
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
Abb. 4-34 Magnetische Flussdichte By bei z=30 cm
Abb. 4-35 Magnetische Flussdichte Bz bei z=30 cm
Abb. 4-30 bis Abb. 4-35 zeigen, dass die Gleichung (4-4) eine gute
Näherungslösung zu den FEM-Ergebnissen liefert und somit das Ergebnis aus
(4-4) als Anhaltswert angewendet werden kann. Die Gleichung (4-4) weist bei
zunehmender Tiefe größere Abweichung von der FEM-Analyse auf.
4.2.2.2 Bestimmung der Tiefe und des Durchmessers der Bewehrung
In Kapitel 3.2.4.3 wurden Formeln zur Bestimmung der Tiefe und des
Durchmessers einer magnetisierten Bewehrung mithilfe des neuen Ansatzes
entwickelt. In diesem Abschnitt werden diese Formeln mit Ergebnissen aus dem
obigen FEM-Modell verglichen und bewertet.
Zur Tiefenbestimmung wird die Formel (3-112) angewendet.
121
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
Bz ( x = z , 0, z ) ⎛ 1 ⎞
=⎜ ⎟
Bz ,max
⎝2⎠
3/ 2
= 0,35
Abb. 4-36 Bz-Verlauf bei Tiefe 10 cm, y=1,50m
Abb. 4-37 Bz-Verlauf bei Tiefe 20 cm, y=1,50 m
In Abb. 4-36, Abb. 4-37 und Abb. 4-38 sind Bz entlang der Fahrtrichtung bei
y = 150 cm in verschiedenen Tiefe gezeigt. Die Position, bei der Bz gleich
0,35 ⋅ Bz ,max ist, ist um die Tiefe entfernt von der Bewehrung. Bei 10 cm und 20 cm
Tiefe zeigt die Tiefenbestimmung kaum Abweichung. Bei 30 cm Tiefe ist die
ermittelte Tiefe um 3 cm kleiner als die Tiefe im FEM-Modell. Durch die
Gleichung (3-112) lässt sich die Tiefe gut bestimmen.
122
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
Abb. 4-38 Bz-Verlauf bei Tiefe 30 cm y=1,50 m
Als nächstes werden die Gleichungen zur Bestimmung der Durchmesser mit den
Ergebnissen des FEM-Modells verglichen. Die Durchmesser von Bewehrungen
lassen sich durch die Gleichungen (3-113) und (3-114) ermitteln.
d=
d=
8 Bz ,max
BR , S
⋅ z , oder
(3-113)
4 ⋅ z ⋅ ∑ Bz ( xi ,0, z ) Δx
(3-114)
BR ,S
Der äquivalente Durchmesser des FEM-Modells beträgt 22,5 mm und die
Remanenz bei y = 150 cm ist BR = 0,13 T . Bei der Tiefe 30 cm wird der
Durchmesser mit der vorher ermittelten Tiefe von 27 cm berechnet.
Nach (3-113)
Nach (3-114)
Tiefe
d [mm]
rel. Fehler
d [mm]
rel. Fehler
10 cm
23,6
3%
23,6
5%
20 cm
24,4
6%
25,1
11 %
30 cm (27 cm) 21,0
7%
22,8
1%
Tabelle 4-1 Bestimmung des Durchmessers nach (3-113), (3-114)
Die Formeln (3-113), (3-114) weisen geringe Abweichung von den tatsächlichen
123
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
Durchmessern auf, allerdings ist es problematisch, den Wert von BR für diese
Gleichung zu ermitteln. Wie in Kapitel 3.2.4.3 bereits erwähnt wurde, ist es nicht
ohne weiteres möglich, lediglich anhand der Messdaten den Durchmesser zu
bestimmen.
4.2.2.3 Simulation von Brüchen
Mithilfe von ANSYS wird der Magnetisierungszustand einer gebrochenen
Bewehrung berechnet. Die Bewehrung liegt in 20 cm Tiefe und der Bruch
befindet sich in der Mitte. Andere geometrische und physikalische Angaben sind
Kapitel 4.1 zu entnehmen. In Abb. 4-39 und Abb. A-5 ist das Ergebnis des FEMModells beim Magnetisierungsvorgang gezeigt.
Abb. 4-39 Magnetische Flussdichte By um eine gebrochene Bewehrung
Abb. 4-40 By-, Bz-Verlauf in der Bewehrung
124
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
By ist in der Bewehrung viel größer als Bz . Um den Bruch verringert sich die
Flussdichte sehr stark. Um das Remanenzfeld modellieren zu können, wird die
Remanenz in der Bewehrung wie in Abb. 4-41 vereinfacht.
Abb. 4-41 Vereinfachung der Remanenz der Bewehrung
Das FEM-Modell für das Remanenzfeld aus der gebrochenen Bewehrung wird
erstellt. Die Materialangaben und die Geometrie sind identisch mit dem Modell
auf Seite 117 bis auf den 1cm Abstand zwischen der Symmetrieebene und der
Stirnseite der Bewehrung. Diese Luftspalte stellt den Bruch dar.
Abb. 4-42 Geometrie des ANSYS-Modells für einen Bruch
125
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
Abb. 4-43 Magnetische Flussdichte Bz um die gebrochene Bewehrung
Abb. 4-44 Magnetische Flussdichte By um die gebrochene Bewehrung
In Kapitel 3.2.4.4 wurde die Remanenz infolge eines Bruchs theoretisch
betrachtet und daraus eine Beziehung zwischen der Tiefe und dem Polabstand
am Bruch hergeleitet (3-123). Der Polabstand bei x = 0 ist gleich der Tiefe.
ΔyPeak = z
(3-123)
Diese theoretische Beziehung wird mit den Ergebnissen des obigen FEMModells verglichen.
126
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
Abb. 4-45 Bz-Halbverlauf bei Tiefe z=10 cm
Abb. 4-46 Bz-Halbverlauf bei Tiefe z=20 cm
Abb. 4-47 Bz-Halbverlauf bei Tiefe z=30 cm
Abb. 4-45, Abb. 4-46 und Abb. 4-47 zeigen den halben Bz -Verlauf der
gebrochenen Bewehrung in unterschiedlichen Tiefen und die Halbbreite des
Polabstands am Bruch.
127
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
Tiefe
z
2
z
Abweichung
10 cm
6
12
20 %
20 cm
13
26
30 %
30 cm
20
40
33 %
Tabelle 4-2 Vergleich der Formel (3-123) mit FEM-Ergebnissen
Die
mithilfe
(3-123)
ermittelten
Werte
weisen
verhältnismäßig
Abweichungen auf, allerdings liefert diese Formel gute Anhaltswerte.
128
große
4 Vergleich mit den entwickelten Theorien und FEM-Analysen
4.2 Vergleich mit den Theorien und den FEM-Ergebnissen
4.2.3
Zusammenfassung
In Kapitel 4 wurden die in Kapitel 3.2 entwickelten Theorien mit den Ergebnissen
von FEM-Modellen verglichen. Zur Erstellung und Lösung der FEM-Modelle kam
die Software ANSYS zum Einsatz. Aus den Vergleichen kann folgendes Fazit
gezogen werden.
Das vom Großmagneten erzeugte Magnetfeld lässt sich mit einfachen
theoretischen Formeln wie (3-74), (3-96) simulieren. Ergebnisse aus diesen
Formeln stimmen mit Ergebnissen aus dem FEM-Modell gut überein. Mit
zunehmender
Tiefe
wird
die
Abweichung
aufgrund
vereinfachter
Randbedingungen größer.
By vom magnetisierenden Feld aus dem Großmagnet hat einen dominanten
Einfluss auf die Magnetisierung von Bewehrungen, die quer zur Fahrtrichtung
verlaufen. Mithilfe der Formeln (3-102), (3-76) kann das Remanenz-Magnetfeld
berechnet werden und diese Formeln liefern unter der Anpassung des
Randbedingungen nahe Ergebnisse zum FEM-Modell.
Die Lage bzw. Tiefe von Bewehrungen können durch die analytischen Formeln
einfach und ausreichend genau ermittelt werden.
Die Beziehung zwischen dem Bruchsignal und der Bruchtiefe, welche durch
theoretische Analysen ermittelt wurde, kann bei Erkennung von Einzelbrüchen
Anwendung finden.
129
5 Vergleich mit den entwickelten Theorien und Versuchsergebnissen
5.1 Das magnetisierende Feld
5 Vergleich
mit
den
entwickelten
Theorien
und
Versuchsergebnissen
Um die Genauigkeit und Einsetzbarkeit der in Kapitel 3.2 entwickelten Theorien
zu überprüfen, wurden Versuche unter Laborbedingung durchgeführt. Zuerst
wurde das vom Großmagneten erzeugte Magnetfeld per Hallsonde erfasst.
Dieses
Feld
wurde
mit
verschiedenen
Stromstärken
erzeugt
und
in
unterschiedlichen Tiefen gemessen. Als nächstes wurde das Magnetfeld von
Bewehrungen, die vom Großmagneten magnetisiert worden waren, in mehreren
Tiefen gemessen und analysiert. Zuletzt wurden Signale aus Einzelbrüchen
erfasst und mit den Theorien verglichen.
5.1
Das magnetisierende Feld
Hier handelt es sich um den Vergleich mit Magnetfeldgrößen aus dem
Großmagneten und Ergebnissen aus den neu entwickelten Theorien. Jedoch ist
es schwierig, das Magnetfeld unter dem Großmagnet mit hoher Genauigkeit zu
erfassen, da das erzeugte Magnetfeld beträchtlich groß ist und daher ein sehr
10cm
35 cm
breiter Messbereich erforderlich ist.
Abb. 5-1 Messung magnetischer Flussdichte unter dem Großmagnet
Das Magnetfeld wurde mit verschiedenen Stromstärken, wie 14,3 A, 25 A, 50 A,
100 A, 150 A, erregt. Gemessen wurde die Z-Komponente der magnetischen
Feldstärke Bz unter der Magnetachse, also bei x = 0 in Tiefen von 10 cm bis 35
130
5 Vergleich mit den entwickelten Theorien und Versuchsergebnissen
5.1 Das magnetisierende Feld
cm.
Abb. 5-2 Bz in unterschiedlichen Tiefen, I=50 A
Abb. 5-3 Bz in unterschiedlichen Tiefen, I=100 A
Abb.
5-2,
Abb.
5-3
zeigen
Bz -Verläufe
unter
dem
Großmagnet
in
unterschiedlichen Tiefen mit 50 A, 100 A Stromstärke. Bz -Verläufe mit 100 A
Stromstärke werden mit Ergebnissen aus den neu entwickelten Theorien
131
5 Vergleich mit den entwickelten Theorien und Versuchsergebnissen
5.1 Das magnetisierende Feld
verglichen.
Bz (P) =
μ0Q ⎛ r1l , y r1r , y r2l , y r2 r , y ⎞
−
−
+
⎜
⎟
r1r
r2l
r2r ⎠
8πρ z p ⎝ r1l
(3-96)
Abb. 5-4 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 10 cm , I=100 A
Abb. 5-5 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 15 cm , I=100 A
132
5 Vergleich mit den entwickelten Theorien und Versuchsergebnissen
5.1 Das magnetisierende Feld
Abb. 5-6 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 20 cm , I=100 A
Abb. 5-7 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 25 cm , I=100 A
Abb. 5-8 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 30 cm , I=100 A
133
5 Vergleich mit den entwickelten Theorien und Versuchsergebnissen
5.1 Das magnetisierende Feld
Abb. 5-9 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 35 cm , I=100 A
Wie in Abb. 5-4 bis Abb. 5-9 zu sehen ist, weisen die Bz -Verläufe aus der
Formel (3-96) einen sehr geringen Fehler zu den wirklichen Verläufen aus
Messungen auf. Für die Formel (3-96) ist die Tiefe z um 10 cm versetzt, um die
Aluminium-Unterlegplatte und Ungleichmäßigkeit der Magnetisierung innerhalb
der Spulenachse auszugleichen.
B = 0, 72 T
Q=
B
μ0
⋅ πρ 2
Nach (3-96) hängt die maximale Flussdichte linear vom Mittelwert der
Magnetisierung
ab.
Für
die
gesamte
Messung
mit
unterschiedlichen
Stromstärken wird der Mittelwert der Magnetisierung ermittelt. Die Mittelwerte
der Magnetisierung bei Stromstärken 14,3 A, 25 A, 50 A, 150 A sind Tabelle A-3
zu entnehmen.
Bz , max = Bz (0, 0, z P ) =
B=
8 z p ρ 2 + z P2
ρ2
μ0 Q
8π z p
1
ρ + z P2
2
(5-1)
Bz , max
134
5 Vergleich mit den entwickelten Theorien und Versuchsergebnissen
5.1 Das magnetisierende Feld
Abb. 5-10 Magnetisierung und Approximationslinie bei unterschiedlichen Stromstärken
Durch lineare Approximation lässt sich die Magnetisierung in Abhängigkeit von
der Stromstärke sehr gut darstellen.
B = B0 + k ⋅ I
B0 = 0,13
(5-2)
k = 5, 68 ⋅10−3
135
5 Vergleich mit den entwickelten Theorien und Versuchsergebnissen
5.2 Das Remanenzfeld aus magnetisierten Bewehrungen
5.2
Das Remanenzfeld aus magnetisierten Bewehrungen
Das Magnetfeld aus magnetisierten Bewehrungen kann mithilfe der Formel (3102) analytisch berechnet werden. Da sich der magnetisierte Zustand von
Bewehrungen je nach der Tiefenlage verändert, befindet sich der Term für diese
Veränderung am Ende der Formel.
Bz ( x, y, z ) = −
Das
BR ⋅ z ⋅ d 2
16
Remanenzfeld
±1
4
∑
i =1
⎡⎣ x + ( y − yi )2 + z 2 ⎤⎦
aus
2
3/ 2
magnetisierten
+ ΔB ( z , I )
Bewehrungen
(5-3)
hängt
von
dem
Stahlquerschnitt, der Tiefe und der Remanenz der Bewehrungen ab. Für die
Versuche wurden typische Bewehrungsdurchmesser 8, 12, 16, 20 mm gewählt.
Die 6 m langen Bewehrungsstäbe mit diesen Durchmessern wurden in Tiefen
von ca. 8, 13, 18, 23, 28 cm magnetisiert und deren Remanenzfelder wurden
gemessen. Die Bewehrungsstäbe lagen quer zur Fahrrichtung.
Abb. 5-11 Bz-Verlauf einer magnetisierten Bewehrung, d=20 mm, I=50 A
Die Formel (5-3) wird exemplarisch mit einzelnen Kurven in Abb. 5-11 verglichen
und allgemein bewertet. Nach den Kenntnissen aus 4.2.2.1 beeinflussen
magnetische Ladungen im Bereich y < 0 und y > l das Magnetfeld sehr wenig.
136
5 Vergleich mit den entwickelten Theorien und Versuchsergebnissen
5.2 Das Remanenzfeld aus magnetisierten Bewehrungen
Für den magnetisierten Zustand der Bewehrung wird folgendes Modell
kBR
aufgestellt.
Abb. 5-12 Magnetisierter Zustand der Bewehrung
Die magnetische Flussdichte in der Bewehrung nimmt mit zunehmender
Entfernung von beiden Polen quadratisch ab. Der Stich in der Mitte beträgt
ΔBR = k ⋅ BR .
4k ⎛
l⎞
BR ( y ) = − 2 ⎜ y − ⎟
l ⎝
2⎠
2
(5-4)
μ l Q'r
8B ⋅ d 2k
ΔBz ( y P , z P ) = 0 ∫ 3 z dy = R 2
4π 0 r
16 ⋅ l
⎛
BR ⋅ z ⋅ d 2 ⎜
1
Bz (0, y , z ) = −
−
⎜
2
2 3/ 2
16
⎜(y + z )
⎝
l
2
∫
l
−
2
(
(( y
z⋅y
− 0,5l − y ) + z
2
P
2
P
)
3/ 2
dy
⎞
⎟
+ ΔB ( 0, y, z )
3/ 2 ⎟
2
2
⎟
( y −l) + z
⎠
1
)
(5-5)
(5-6)
Die Unbekannten in (5-6) sind BR und k . Außerdem sollte eine Versatztiefe Δz
festgestellt werden, um die Abweichung der Magnetisierung von dem Modell und
der realen Bewehrung auszugleichen. k wird als 1 angenommen. BR und Δz
werden nach der Methode der kleinsten Quadrate für die maximale Flussdichte
ermittelt.
∑(B
z ,max , Messung
( z ) − Bz (0, 0, z + Δz ) ) → min
2
(5-7)
Δz = 10 cm, BR = 1, 61 T
Unter diesen Randbedingungen wird die magnetische Flussdichte in jeweiliger
137
5 Vergleich mit den entwickelten Theorien und Versuchsergebnissen
5.2 Das Remanenzfeld aus magnetisierten Bewehrungen
Höhe mithilfe (5-5) analytisch berechnet und mit den Messwerten verglichen.
Abb. 5-13 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 8cm, I=50,0 A, d=20 mm
Abb. 5-14 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 14cm, I=50,0 A, d=20 mm
Abb. 5-15 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 19cm, I=50,0 A, d=20 mm
138
5 Vergleich mit den entwickelten Theorien und Versuchsergebnissen
5.2 Das Remanenzfeld aus magnetisierten Bewehrungen
Abb. 5-16 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 24cm, I=50,0 A, d=20 mm
Abb. 5-17 Bz-Verläufe aus der Messung und der Theorie, Tiefe 28cm, I=50,0 A, d=20 mm
Abb. 5-13 bis Abb. 5-17 zeigen, dass die analytisch berechnete Flussdichte
relativ nah an den gemessenen Kurven liegt, jedoch die Abweichung mit
zunehmender Tiefe immer größer wird.
139
5 Vergleich mit den entwickelten Theorien und Versuchsergebnissen
5.3 Das Remanenzfeld aus Brüchen
5.3
Das Remanenzfeld aus Brüchen
In Kapitel 3.2.4.4 wurden Bruchsignale analytisch untersucht. Daraus ergeben
sich Merkmale von Bruchsignalen im Zusammenhang mit der Tiefe, und Weite
von Brüchen. Der Abstand zwischen den Extrema von Bruchsignalen ist gleich
der Bruchtiefe (3-123). Die Bruchsignalstärke hängt nicht nur von dem
Stabdurchmesser, sondern auch von der Bruchweite und der Tiefe ab.
⎛
⎜
BR ⋅ z ⋅ d ⎜
1
1
ΔBBruch ( x, y, z ) = −
−
3/ 2
3/ 2
⎜⎡ 2
16
1 2 2⎤
1 2
⎡ 2
2⎤
⎜⎜ ⎢ x + ( y − lB ) + z ⎥
⎢⎣ x + ( y + 2 lB ) + z ⎥⎦
2
⎦
⎝⎣
2
, oder ΔBBruch ( x, y, z ) = − BR ⋅ z ⋅ d
16
3 ⋅ y ⋅ lB
2
(x + y + z
2
2
2
)
5/ 2
+ O (lB3 )
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
(3-120)
(3-121)
ΔyPeak = z
(3-123)
z
ΔBBruch ,max = ΔBBruch (0, , z ) = −0, 054 ⋅ BR ⋅ z −3 ⋅ lB ⋅ d B2
2
(3-124)
In Scheels Veröffentlichung [6] wurden phänomenologische Gesetze für die
Abhängigkeit der Bruchsignalstärke von der Betondeckung aufgestellt. Hierbei
waren die Konstante a , a1 , a2 , f1 , f 2 nicht bekannt.
⎛ x⎞
⎛ x⎞
Brad = a1 exp ⎜ − ⎟ − a2 exp ⎜ − ⎟
⎝ f1 ⎠
⎝ f2 ⎠
BBruch , max = az −γ
Um die Genauigkeit zu überprüfen, wurden einige eigene Versuche durchgeführt.
Abb. 5-18 und Abb. 5-19 zeigen den Vergleich zwischen den gemessenen
Kurven und den mithilfe der Formel (3-121) ermittelten Verläufen. Der Bruch
befindet sich in der Mitte der Bewehrung und die Bewehrung hat 10 mm
Durchmesser. Die Bewehrung wurde vom Großmagneten mit der Stromstärke
14,3 A magnetisiert. Die Magnetisierungstiefe ist etwa gleich der Messtiefe.
140
5 Vergleich mit den entwickelten Theorien und Versuchsergebnissen
5.3 Das Remanenzfeld aus Brüchen
Abb. 5-18 Bruchsignal von der Messung und der Theorie, Tiefe 22,5 cm, d=10 mm
Abb. 5-19 Bruchsignal von der Messung und der Theorie, Tiefe z=25,5 cm, d=10 mm
Diese Versuche bestätigen, dass der Abstand zwischen den Extrempunkten
etwa der Bruchtiefe entspricht. Diese Erkenntnis kann zur Aussortierung von
Störsignalen dienen. Dennoch lassen sich die Unbekannten BR und lB in (3-121)
nicht allein durch die gemessene Flussdichte bestimmen.
141
5 Vergleich mit den entwickelten Theorien und Versuchsergebnissen
5.4 Zusammenfassung
5.4
Zusammenfassung
In Kapitel 5 wurden die in Kapitel 3.2 entwickelten Theorien mit den Ergebnissen
von
Laborversuchen
verglichen
und
bewertet.
Es
kann
wie
folgt
zusammengefasst werden.
Das magnetisierende Feld vom Großmagnet kann mithilfe der Formel (3-96)
sehr genau simuliert werden. Die Stromstärke zur Erregung des Magnetfelds
steht in linearem Zusammenhang mit dem erzeugten Feld.
Das analytische Modell, das sich aus zwei magnetischen Ladungen und einer
parabelförmigen Veränderung der Flussdichte zusammensetzt, liefert eine
relative gute Näherungslösung zum Remanenzmagnetfeld von magnetisierten
Bewehrungen.
Durch
Versuchsergebnissen
kann
der
Durchmesser
der
Bewehrung anhand der Messdaten bestimmt werden.
Die Form von Bruchsignalen lässt sich durch die Formel (3-121) gut simulieren.
Bei Einzelbrüchen ist der Abstand zwischen den Extrempunkten gleich der
Bruchtiefe. Jedoch können die Remanenz BR und der Abstand lB zwischen den
magnetischen Ladungen anhand der Messwerte nicht ermittelt werden.
142
6 Anwendung der entwickelten Theorien in der Praxis
6.1 Feldmessung und Datenaufbereitung
6 Anwendung der entwickelten Theorien in der Praxis
6.1
Feldmessung und Datenaufbereitung
Bei Feldeinsätzen des Remanenzmagnetismus-Verfahrens handelt es sich um
andere
Randbedingungen
als
in
den
Laborversuchen,
obwohl
sich
Versuchsmodelle relativ gut nach realen Betonplatten nachbauen lassen.
Brückenbauwerke werden meistens sehr stark befahren und eine Teilsperrung
von Brücken kann erhebliche Verkehrsbehinderung verursachen. Um diese
Verkehrsbehinderung minimieren zu können, wird immer wieder eine schnelle
Durchführung der Feldmessung mit RM-Verfahren benötigt, wobei die Auflösung
der Messung schlechter wird und mehr Aussetzer bei den Messdaten entstehen.
Infolge der knapp zugewiesenen Messzeit ist die Trennung der Messfahrt von
der Magnetisierungsfahrt in vielen Fällen nicht möglich. Da der Großmagnet ein
starkes Magnetfeld um sich erzeugt, muss der Rotationsscanner mit mindestens
3 m Abstand dem Großmagneten hinterherfahren.
Bz [mT]
150
100
50
0
0.5
1
1.5
x [m]
2
2.5
3
Abb. 6-1 Bz nach dem Abstand zwischen dem Großmagnet dem Messpunkt,
I=150 A, z=15 cm nach (3-96) und (5-2)
Die von Lastkraftwagen erregten Schwingungen auf der Brücke verschlechtern
die Messwerte. Die Koordinatentransformation der Software RotoScan setzt eine
ebene Messoberfläche voraus (siehe Seite 39). Da der Rotor 1,67 m lang ist,
schwingt er recht stark mit. Das beeinträchtigt das Messergebnis. Neben der
Schwingung trägt die Unebenheit der Brückenplatte, zum Beispiel Spurrinnen
oder Schlaglöcher, zur Abminderung der Messqualität bei.
143
6 Anwendung der entwickelten Theorien in der Praxis
6.1 Feldmessung und Datenaufbereitung
Um trotz all dieser Störungen die Qualität der Messdaten zu erhöhen, werden
Messdaten geglättet. Der in der Datenaufbereitung häufig angewendete
Tiefpassfilter kommt nicht zum Einsatz, da es sich hier nicht um zeitliche oder
periodische Messdaten, sondern örtliche Messdaten handelt. Ein einfaches
Glättungsverfahren mit gleitendem Durchschnitt wird angewendet. Jedoch ist zu
beachten, dass eine zu starke Glättung den Verlust bzw. die Abschwächung von
Bruchsignale hervorrufen kann. Die Glättungsbreite soll deutlich kleiner als die
übliche Bewehrungstiefe sein, weil der Polabstand von Bruchsignalen etwa der
Bruchtiefe entspricht. Daher ist die Glättungsbreite von 4 oder 5 cm optimal.
Bz ( xi , y j ) =
n
n
∑∑
k =− n l =− n
Bz ( xi − k , y j −l )
( 2n + 1)
2
(6-1)
n = Glättungsbreite
Abb. 6-2 Messbild vor dem Glätten (links) und nach dem Glätten (rechts)
144
6 Anwendung der entwickelten Theorien in der Praxis
6.2 Lokalisierung von Bewehrungen
6.2
Lokalisierung von Bewehrungen
Ein großer Vorteil des RM-Verfahrens ist, dass das Verfahren keine Vorortung
von Stahlbeton- und Spannbetonbewehrung erfordert. Das Verfahren kann
selbst zur Lokalisierung von Bewehrungen angewendet werden. Die Position von
Bewehrungen kann anhand der bildlichen Darstellung von Messwerten einfach
bestimmt werden. Nach der Formel (3-102) weisen die Bereiche, die unmittelbar
unter den Spulen liegen, eine viel größere magnetische Flussdichte auf. Entlang
der Bewehrung ist Bz maximal.
Bz ( x, y, z ) = −
BR , S ⋅ z ⋅ d 2
16
4
∑
i =1
±1
⎡⎣ x 2 + ( y − yi )2 + z 2 ⎤⎦
3/ 2
(3-102)
∂Bz ( x, y, z ) 3BR zd 2
x
=
=0
∂x
16 ⎡ x 2 + ( y − yi ) 2 + z 2 ⎤
⎣
⎦
Bz , max = Bz ( 0, y, z )
(6-2)
Abb. 6-3 Lokalisierung von Spanngliedern
145
6 Anwendung der entwickelten Theorien in der Praxis
6.2 Lokalisierung von Bewehrungen
Zuerst werden die lokalen Extrempunkte in x-Richtung bestimmt (gelbe Kreise in
Abb. 6-3). Angenommen der Verlauf einer Bewehrung sei y = ax + b , dann
können die Unbekannten a, b durch die diskrete Approximation mit der Methode
der kleinsten Quadrate wie folgt bestimmt werden. Aus a, b ergeben sich die
Spanngliedverläufe (gelbe Linien).
⎛ m
⎞ ⎛ m ⎞⎛ m ⎞
m ⎜ ∑ xi yi ⎟ − ⎜ ∑ xi ⎟⎜ ∑ yi ⎟
⎠ ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠
a = ⎝ i =1
2
m
m
⎛
⎞
2⎞ ⎛
m ⎜ ∑ xi ⎟ − ⎜ ∑ xi ⎟
⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠
⎛ m 2 ⎞⎛ m ⎞ ⎛ m
⎞⎛ m ⎞
−
x
y
x
y
⎜ ∑ i ⎟⎜ ∑ i ⎟ ⎜ ∑ i i ⎟⎜ ∑ xi ⎟
⎠⎝ i =1 ⎠
b = ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1
2
m
m
⎛
⎞
2⎞ ⎛
m ⎜ ∑ xi ⎟ − ⎜ ∑ xi ⎟
⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠
( xi , yi )
(6-3)
i = 1,.., m : Koordinaten der Extrempunkte
Wenn dicke Spannglieder unter Stahlbetonbewehrungen liegen, wird die
Remanenz
dieser
Stahlbetonbewehrungen
schwächer,
weil
ein
entmagnetisierendes Feld um die Spannglieder entsteht. Aus diesem Grund ist
die Lokalisierung von Stahlbetonbewehrungen in Spannbetonplatten schwieriger
als in Stahlbetonplatten (siehe Abb. A-9).
Als nächstes wird die Tiefe der Bewehrungen ermittelt. Zur Ermittlung der
Bewehrungstiefe
wird
die
Formel
(3-118)
angewendet.
Da
mehrere
Bewehrungen parallel zueinander verlaufen, kann die Bewehrungstiefe durch
iterative Berechnung (siehe Abb. 3-57) bestimmt werden. In Abb. 6-4 sind die
ermittelten Tiefen von Spannglied 17 bis Spannglied 22 gezeigt. Nach
stichprobenartiger Tiefenmessung liegen die Bewehrungen zwischen 9 bis 12
cm unterhalb der Sensoren. Daher lässt sich die Bewehrungstiefe durch den
Algorithmus in Abb. 3-57 ausreichend genau bestimmen. Die Tiefen vom ersten
und letzten Spannglied im Messfeld weisen relativ große Fehler auf, weil deren
Nachbarspannglied kein gegenüberliegendes Spannglied, welches den Fehler
ausgleicht, besitzt (siehe Formel (3-118)).
146
6 Anwendung der entwickelten Theorien in der Praxis
6.2 Lokalisierung von Bewehrungen
10 cm
10 cm
11 cm
10 cm
11,5 cm
Abb. 6-4 Tiefenermittlung von Spanngliedern
147
10 cm
6 Anwendung der entwickelten Theorien in der Praxis
6.3 Zustandsanalyse von Bewehrungen
6.3
Zustandsanalyse von Bewehrungen
Es handelt sich hier um die Ermittlung des Querschnitts von Bewehrungen und
die Ortung der Querschnittsabminderung infolge von Brüchen oder Korrosion.
Der Querschnitt von Bewehrungen ist in statischer Hinsicht von großer
Bedeutung. Bei der Abschätzung der Traglast von bestehenden Bauwerken soll
vorhandene Bewehrung sowohl nach auf ihre Lage als auch ihren Querschnitt
überprüft
werden.
Die
Gefahr
von
Brüchen
und
Korrosion
an
Spannbewehrungen wurde bereits in Kapitel 1.1 erwähnt.
Zur Bestimmung des Querschnitts wurden analytische Formeln in Kapitel 3.2.4.3
entwickelt. Aufgrund der reziproken Beziehung zwischen dem Querschnitt und
der Remanenz sollte die Remanenz von Bewehrungen vorher bekannt sein. Die
Remanenz von Bewehrungen wurde durch Laborversuche empirisch ermittelt
[31]. Nach der Formel (3-102), (6-3) ist die maximale Flussdichte am P(0, 0, z )
Bz , max =
BR d 2
16 z 2
(6-4)
Nach der Methode der kleinsten Quadrate kann BR in Abhängigkeit von der
Stromstärke ermittelt werden. Bz , max ,i , di , zi sind Tabelle A-4 zu entnehmen.
2
⎛
B d2 ⎞
R2 = ∑ ⎜ Bz ,max ,i − R 2i ⎟ ⇒ min
16 zi ⎠
i ⎝
⎞
d2 ⎛
d2
∂R2
= 2∑ i 2 ⎜ Bz , max ,i − i 2 ⋅ BR ⎟ = 0
16 zi
∂BR
i 16 zi ⎝
⎠
(6-5)
Die Remanenz, unabhängig von dem Durchmesser und der Messtiefe von
Bewehrungen, wurde in Abhängigkeit von der Stromstärke ermittelt (Tabelle 6-1).
Stromstärke
BR
14,3 A
0,87 T
25,0 A
0,96 T
50,0 A
1,01 T
Tabelle 6-1 Remanenz von Bewehrungen in Abhängigkeit von der Stromstärke
148
6 Anwendung der entwickelten Theorien in der Praxis
6.3 Zustandsanalyse von Bewehrungen
Wie in Tabelle 6-1 zu sehen ist, verändert sich die Remanenz BR in
Abhängigkeit von der Stromstärke kaum. Jedoch kann der Verlauf der
Remanenz entlang der Bewehrungsachse mit zunehmender Stromstärke flacher
werden, weil die magnetische Flussdichte By des magnetisierenden Felds in der
Mitte immer größer wird (siehe 84). Der Querschnitt der Spannglieder in Abb. 6-4
wird mithilfe (6-4) ermittelt.
14 mm
12 mm
11 mm
13 mm
14 mm
12 mm
Abb. 6-5 Ermittelte Durchmesser von Spanngliedern
Der tatsächliche Durchmesser des Spannglieds beträgt 23 mm. Die ermittelten
Durchmesser in Abb. 6-5 weisen große Fehler auf. Diese Fehler sind auf den
Abschirmeffekt des Hüllrohrs zurückzuführen.
Brüche
zeigen
sich
auf
Magnetbildern
als
Querschnittsabminderung.
Bruchsignale verlaufen entlang der Bewehrungsachse. Die Bruchsignalstärke
variiert je nach der Bruchtiefe, Bruchfläche und Rissbreite (siehe Seite 100).
Wenn es sich um einen Einzelbruch handelt, entspricht der Polabstand etwa der
Bruchtiefe. Brüche am Randbereich sind aufgrund der starken Veränderung der
149
6 Anwendung der entwickelten Theorien in der Praxis
6.3 Zustandsanalyse von Bewehrungen
magnetischen Flussdichte deutlich schwieriger erkennbar als Brüche im
Mittelbereich [27].
Abb. 6-6 Bruchsignale an Spanngliedern
Abb. 6-7 Bz-Verlauf von Brüchen
150
6 Anwendung der entwickelten Theorien in der Praxis
6.3 Zustandsanalyse von Bewehrungen
Die Brüche an den Spanngliedern Nr. 45, 46, 47 (Abb. 6-6) sind deutlich
erkennbar auf dem Magnetbild. Da es sich hierbei um einen Staffelbruch handelt,
enthalten Bz -Verläufe der Spannglieder eine längere Bruchsignalbreite (Abb.
6-7). Um Bruchsignale und Stahlbetonbewehrungen hervorzuheben, werden
Signale von Spanngliedern aus dem Magnetbild bereinigt. Ideale Verläufe von
Spanngliedern werden mithilfe der analytischen Formel (3-102) und der
Tscherbyschew-Polynome bestimmt.
Abb. 6-8 Brüche im spanngliedbereinigten Magnetbild
Durch
die
Bereinigung
von
Spanngliedsignalen
können
Brüche
und
Stahlbetonbewehrungen und deren Unstetigkeiten viel deutlicher erkannt werden
(siehe Abb. A-11).
151
6 Anwendung der entwickelten Theorien in der Praxis
6.4 Zusammenfassung
6.4
Zusammenfassung
Für komplexe Randbedingungen, wie einer Vielzahl von Bewehrungen, ihrer
Geometrie oder wirtschaftlicher und verkehrstechnischer Zwangssituationen,
erfordert die Anwendung der analytisch entwickelten Theorien eine Anpassung
hinsichtlich der Messvorgänge, der Datenaufbereitung und der Analyse. Die in
Kapitel 3 entwickelten Theorien dienen nicht zum exakten Berechnen des
Magnetfelds – welches in der Praxis kaum möglich ist, sondern drmöglichen eine
rationale und ingenieurmäßige Anwendung des RM-Verfahrens. Während der
Anwendung der Theorien in den praktischen Feldmessungen lassen sich
folgende Aussagen zusammenfassen.
Um das Remanenzfeld während der Magnetisierungsfahrt messen zu können,
sollte der Rotationsscanner einen ausreichend großen Abstand von min. 3 m
zum Großmagnet halten.
Durch eine einfache Glättung von Messwerten werden die Messergebnisse
deutlich rauschärmer und besser auswertbar. Die Glättungsbreite sollte kleiner
als die Tiefe der zu untersuchenden Bewehrungen sein, somit wird die
Veränderung wichtiger Signale reduziert.
Die Wechselwirkung zwischen Stahlbeton- und Spannbetonbewehrungen
erschwert
die
Lokalisierung
von
Bewehrungen.
Durch
mathematische
Approximationsverfahren lassen sich Bewehrungen anhand des Magnetbilds gut
orten.
Ermittelte Tiefen von Bewehrungen stimmen mit wirklichen Werten gut überein.
Zur Ermittlung der Tiefen finden analytische Formeln Anwendung.
Der Querschnitt von Bewehrungen kann mithilfe analytischer Formeln ermittelt
werden. Dies setzt die Versuchswerte für die Remanenz voraus. Die
Bewehrungstiefe sollte vorher bekannt sein. Jedoch üben die in der Praxis
vorhandenen
Störeffekte
eine
erhebliche
Wirkung
auf
den
ermittelten
Querschnittswert aus.
Große Brüche an Bewehrungen lassen sich auf dem Magnetbild visuell leicht
erkennen. Zur Ortung kleiner Brüche werden theoretische und geometrische
152
6 Anwendung der entwickelten Theorien in der Praxis
6.4 Zusammenfassung
Merkmale von Brüchen ausgenutzt.
Zur Verbesserung der Sichtbarkeit von Signalen können Spannglieder aus dem
Magnetbild mathematisch bereinigt werden. Die Spanngliedsbereinigung erfolgt
durch die Kombination der entwickelten Theorien mit der polynomischen
Approximation. Durch diese Signalverarbeitung werden die Signale von
Stahlbetonbewehrungen sowie deren Veränderungen und Brüche deutlich
herausgehoben.
153
7 Schlussfolgerung
7 Schlussfolgerung
Im Rahmen dieser Dissertation werden magnetostatische Feldtheorien für das
Remanenzmagnetismus-Verfahren angewendet und weiter entwickelt. Dabei
wurde der Ansatz des magnetischen Monopols aufgestellt. Zugehörige Theorien
für diesen Ansatz werden entwickelt und mit herkömmlichen Feldtheorien
verglichen. Durch diese Theorien konnten das vom Großmagneten erzeugte
Magnetfeld, die Remanenz von Bewehrungen und deren Magnetfeld relativ
einfach analytisch ermittelt werden. Anhand dieser Theorien wurden Formeln zur
Bestimmung der Lage, Tiefe und Querschnittsfläche von Bewehrungen gefunden
und die Charakteristik von Brüchen untersucht.
Die theoretischen Formeln wurden zuerst den Ergebnissen aus der FEMAnalyse gegenübergestellt. Für übliche Messtiefen stimmen die theoretischen
Formeln für das magnetisierende Feld mit den FEM-Ergebnissen sehr gut
überein. Die Formeln zur Lokalisierung und Zustandsanalyse von Bewehrungen
erweisen sich als annähernd übereinstimmend zur FEM-Analyse.
Die entwickelten Theorien wurden mit Ergebnissen aus Laborversuchen
verglichen und bewertet. Die Formel zur Ermittlung des magnetisierenden Felds
aus dem Großmagneten liefert eine gute Näherungslösung. Das Magnetfeld um
magnetisierte Bewehrungen kann theoretisch relativ genau nachgebildet werden.
Dazu soll der Remanenzzustand von Bewehrungen entsprechend modifiziert
werden. Einzelbrüche weisen ein erwartetes Tiefen-Signalbreite-Verhältnis aus
den Theorien auf. Die Erkennbarkeit der Einzelbrüche hängt von der
Bruchposition ab.
Die entwickelten Theorien wurden in praktischen Feldmessungen angewendet.
Komplexe Randbedingungen beeinträchtigen die Qualität von Messergebnissen.
Durch einfache mathematische Glättung kann das Rauschen aus erfassten
Magnetbildern eliminiert werden. Die Lage, Tiefe und der Durchmesser von
Bewehrungen können mithilfe der Theorien ermittelt werden. Bruchsignale
können durch ihre physikalischen und geometrischen Merkmale gut erkannt
werden. Durch Bereinigung von Spanngliedsignalen heben sich Bewehrungen
und Brüche deutlicher hervor. Daher verbessert die Anwendung der entwickelten
Theorien die Aussagekraft und Analysengenauigkeit des RM-Verfahrens mit
154
7 Schlussfolgerung
dem Großmagneten und Rotationsscanner deutlich.
155
8 Wissenschaftlicher Ausblick des RM-Verfahrens
8 Wissenschaftlicher Ausblick des RM-Verfahrens
Die Theorie für den Ansatz magnetischer Ladung kann noch weiter entwickelt
werden.
In
dieser
Dissertation
wurde
der
Schwerpunkt
bei
der
Theorieentwicklung auf den Großmagneten und gerade Bewehrungen gelegt.
Die
Modellierungsmethode
magnetische
Ladungen
eines
kann
magnetisierten
noch
erforscht
Volumenkörpers
werden.
Aufgrund
durch
der
hysteresischen Eigenschaften von Stahl ist die genaue Berechnung des
Remanenzzustands von Stahl sehr schwierig. Allerdings sind kaum anwendbare
Daten für magnetische Eigenschaften von Baustahlsorten bekannt. Die
Neumagnetisierungskurve sowie das Be- und Entmagnetisierungsverhalten von
Baustahl sollten noch genauer untersucht werden. Die neu entwickelten
Theorien sollten durch eine höhere Anzahl von Feldmessungen erprobt werden.
Auch das RM-Verfahren kann verfahrenstechnisch noch verbessert werden. Der
Rotationsscanner definiert die Messgeschwindigkeit. Durch die Verbesserung
des Scannverfahrens kann die Felderfassung schneller erfolgen, damit
Fahrspuren wesentlich kürzer gesperrt werden müssen. Das bedeutet leichte
und breite Einsetzbarkeit, hohe Flexibilität und Wirtschaftlichkeit. Außerdem
können Magnetisierungsvorgänge optimiert werden, um Störsignale bereits in
der Messphase zu minimieren.
Das Einsatzgebiet des RM-Verfahrens kann erweitert werden. Korrosionsstellen
an Bewehrungen können in der Form der Querschnittsabminderung detektiert
werden. Dafür ist eine weitere theoretische, verfahrenstechnische und
softwaretechnische Entwicklung erforderlich. Mit dem RM-Verfahren kann die
Bestandsaufnahme von Bewehrungen in Bauwerken durchgeführt werden. Dies
trägt zur Qualitätssicherung von Neubauten oder zur Abschätzung der
Tragfähigkeit von Altbauten bei [15].
156
Literatur
Literatur
[1] Vollenschaar, Dieter (Hrsg.): Wendehorst Baustoffkunde, 26.Aufl. Hannover:
Primedia Th. Schäfer GmbH, S 399
[2] Avak, Goris: Stahlbetonbau aktuell – Handbuch 2003, 1.Aufl. Berlin:
Bauwerksverlag, 2003, S F8
[3]
Krüger,
Wolfgang;
Mertsch,
Olaf:
Spannbetonbau-Praxis,
Berlin:
Bauwerkverlag 2003, S 1
[4] International Symposium: Non-Destructive Testing in Civil Engineering (NDTCE): Berlin, BB48.1, Deutsche Gesellschaft für Zerstörungsfreie Prüfung e.V.,
1995, S 5
[5]
Schneck,
Ulrich:
Qualifizierte
Korrosionsuntersuchungen
an
Stahlbetonbauwerken. In:“Bautechnik“ 82. Jahrgang Heft 7, Juli 2005, Berlin, S
443
[6]
Scheel,
Horst:
Spannstahlbruchortung
an
Spannbetonbauteilen
mit
nachträglichen Verbund unter Ausnutzung des Remanenzmagnetismus. Berlin,
Dissertation, TU Berlin, 1997
[7] Kroggel, Otto; Krause, Martin; Schickert Martin; Langenberg Karl-Jörg:
Moderne Verfahren der Bauwerksdiganose, Entwicklung und Anwendung
Ultraschall In: „Zerstörungsfreie Prüfverfahren und Bauwerksdiagnose im
Betonbau“ Deutscher Ausschuss für Stahlbeton, Heft 565, Berlin, Beuth Verlag
GmbH, 2006, S 11
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160
Fachgebiet
Straßenbau,
Anhang
Anhang
magnetische Feldstärke [kA/m]
magnetische Flussdichte [T]
0
0
0,0317
0,5
0,0476
0,78
0,0634
0,98
0,0793
1,12
0,1587
1,42
0,3175
1,57
0,6349
1,635
0,7937
1,65
1,587
1,695
3,174
1,75
4,762
1,79
6,348
1,82
7,937
1,85
15,873
1,98
31,746
2,1
63,492
2,2197
158,73
2,3992
317,46
2,6386
634,92
3,059
Tabelle A-1 Neumagnetisierungskurve von Reineisen nach ANSYS Workbench
Kurzname
Chemsiche
Zusammensetzung
bei der Schmelzen
und Stückanalyse
Massengehalt
in %, max
BSt 420 S
BSt 500 S
BSt 500 M
C
0,22 (0,24)
0,22 (0,24)
0,15 (0,17)
P
0,050 (0,055)
0,050 (0,055)
0,050 (0,055)
S
0,050 (0,055)
0,050 (0,055)
0,050 (0,055)
N
0,012 (0,013)
0,012 (0,013)
0,012 (0,013)
Tabelle A-2 Chemische Zusammensetzung von Betonstahl
161
Anhang
Stromstärke
Mittlere Magnetisierung
B [T]
Standardabweichung
σ B [T]
14, 3 A
0,18
0,025
25,0 A
0,28
0,035
50,0 A
0,44
0,048
100,0 A
0,72
0,066
150,0 A
0,96
0,105
Tabelle A-3 Magnetisierung bei verschiedenen Stromstärken
Messtiefe zi
[cm]
Durchmesser di Bz,max (I=14,3 A) Bz,max (I=25 A) Bz,max (I=50 A)
[mm]
[mT]
[mT]
[mT]
8
8
0,55
0,78
0,72
13
8
0,249
0,31
0,404
18
8
0,109
0,204
0,311
23
8
0,057
0,158
0,269
8
12
0,768
1,097
1,163
13
12
0,372
0,513
0,496
18
12
0,34
0,358
0,362
23
12
0,308
0,345
0,327
8,5
16
1,331
1,377
1,397
13,5
16
0,549
0,598
0,642
19
16
0,393
0,442
0,46
22
16
0,305
0,364
0,388
8
20
1,498
1,576
1,676
15
20
0,706
0,757
0,794
19,5
20
0,474
0,514
0,56
24
20
0,394
0,45
0,501
Tabelle A-4 Maximale Flussdichte einer Bewehrung nach Durchmesser, Tiefe, Stromstärke
162
Anhang
Abb. A-1 Neumagnetisierungskurve von Reineisen nach ANSYS Workbench
2
1,8
B [T]
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
2
4
6
8
10
12
Baustahl St 37k
Probenform: Blech; Messung: Wechselfeld
Abb. A-2 B-H-Kennlinie (Neukurve)
163
14
16
18
20
H [kA/m]
Anhang
B [T]
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-40
-30
-20
-10
0
10
20
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
Baustahl St 37k
Probenform: Blech; Messung: Wechselfeld
Abb. A-3 B-H-Kurve des Baustahls
Abb. A-4 Reduziertes FEM-Modell für ANSYS
164
30
40
H [kA/m]
Anhang
Abb. A-5 Magnetische Flussdichte Bz um einer gebrochener Bewehrung
Abb. A-6 Bz in unterschiedlichen Tiefen unter dem Großmagnet bei I=14,3 A
165
Anhang
Abb. A-7 Bz in unterschiedlichen Tiefen unter dem Großmagnet bei I=25 A
Abb. A-8 Bz in unterschiedlichen Tiefen unter dem Großmagnet bei I=150 A
166
Anhang
Stahlbetonbewehrung
Spannglied
Abb. A-9 Lokalisierung von Bewehrungen
Abb. A-10 Idealkurve für Spannglieder
167
Anhang
Abb. A-11 Spanngliedunbereinigtes Bild (rechts), bereinigtes Bild (links)
168