Vektoranalysis

Klassische Theoretische Physik TP-L - WS 2013/13
Mathematische Methoden - 2
30.10.2013 Frank Bertoldi (Version 1)
Vektoranalysis
Im Folgenden werden einigen Operationen für Skalar- und
Vektorfelder besprochen. Man kann diese in beliebigen Dimensionen
betrachten - wir beschränken uns auf 3-D.
Skalar- und Vektorfelder
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Differentiation von Vektoren
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Nabla Operator
Gradient
Beachte: da die Textausschnitte von unterschiedlichen Quellen kommen, sind
ähnliche Größen unterschiedlich genannt, z.B. f und  für skalare Felder.
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Richtungsableitung
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Zur graphisch anschaulichen Diskussion der Ableitung von skalaren
Funktionen mehrere Varibablen, siehe:
http://www.uni-frankfurt.de/fb/fb12/mathematik/dm/personen/bosse/Lehre/
2011_WS/vorlesungen/2011_analina_VL_15_Funktionen.pdf
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Divergenz
Das skalare Produkt heißt Divergenz von U (div U):
⎛ ∂/ ∂x ⎞ ⎛ U x ⎞
 ⎜
⎜
⎟ ∂U x ∂U y ∂U z
⎟
∇ ⋅ U = ∂/ ∂y ⋅ ⎜ U y ⎟ =
+
+
⎜
⎟
∂y
∂z
⎜⎝ ∂/ ∂z ⎟⎠ ⎜ U ⎟ ∂x
⎝ z ⎠
Die Divergenz eines Vektorfeldes misst die Quellstärke eines
Vektorfeldes, i.e., Quellen, div A>0, oder Senken, div A <0. Im Falles
des elektrischen Feldes verknüpft die Divergenz das elektrische Feld
mit dessen Quellen, also mit Ladungen. Die Divergenz eines
Vektorfelds ist ein skalares Feld. Anschaulich:
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div A = lim 
A ⋅ df
∫
V→0 V
F (V )
Beispiel: Die Divergenz eines Vektorfeldes
ist
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Rechenregeln
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Laplace Operator
Der Laplace Operator tritt in der Physik oft in ähnlichen Zusammenhängen auf
wie in der Newtonschen Feldgleichung des Gravitationsfelds:
Δφ = 4π G ρ
Die Ermittlung des von einer gegebenen Dichteverteilung  erzeugten
Gravitationsfeldes  läuft darauf hinaus,  zu ermitteln, wenn  bekannt ist.
Probleme dieser Art erfordern es in der Regel, zu Koordinaten überzugehen, die
der jeweiligen Situation angemessen sind. Daher geben wir hier die Form des
Laplace-Operators in drei krummlinigen Koordinatensystemen an.
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© 2013 Tobias Krähling
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Rotation
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