9 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeits

Aufgaben
77
9 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Kombinatorik
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
a) Wieviele dreistellige Zahlen kann man mit Hilfe der sechs Ziern
2; 3; 5; 6; 7 und 9 bilden?
b) Wieviele davon sind kleiner als 400?
c) Wieviele sind gerade?
d) Wieviele sind ungerade?
e) Wieviele sind durch 5 teilbar?
a) Wieviele naturliche Zahlen zwischen 1 und 100 kann man mit den
Ziern 2; 4; 5 und 7 bilden?
b) Wieviele dieser Zahlen sind ungerade?
Auf einem Tennisplatz erscheinen an einem Nachmittag funf Herren und
sieben Damen. Wieviele Spiel-Paarungen sind moglich, bei denen zwei
Damen gegen zwei Herren antreten?
Ein Bauer kauft drei Kuhe, zwei Schweine und vier Huhner von einem
anderen Bauern, der sechs Kuhe, funf Schweine und acht Huhner besitzt.
Auf wieviele Arten kann er seine Auswahl treen?
Auf wieviele Arten kann man vier Mathematik-, drei Geschichts-; drei
Chemie- und zwei Biologiebucher so auf ein Bucherbrett stellen, da
Bucher derselben Fachrichtung zusammenstehen?
a) Fur eine Wettvorhersage soll man tippen, welche der zehn Pferde
die ersten drei Platze belegen, ohne Rucksicht auf die Reihenfolge.
Wieviele Moglichkeiten gibt es?
b) Man soll zusatzlich in a) auch noch die richtige Reihenfolge angeben.
Wieviele Moglichkeiten gibt es dann?
An einem Autorennen nehmen folgende Wagen teil: zwei Porsche, drei
BMW, vier Mercedes-Benz. Alle neun Wagen erreichen nacheinander das
Ziel. Wieviele verschiedene Einlaufe gibt es bei der \Markenwertung",
wobei also nur die Automarken berucksichtigt werden, nicht aber die
individuellen Wagen ein und derselben Marke?
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9 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
9.8
Fur eine Essensmarke erhalt man in der Mensa neben dem Hauptgericht
noch drei Beilagen. Die Mensa stellt dafur 26 verschiedene Arten von
Beilagen zur Wahl. Wieviele verschiedene Moglichkeiten gibt es, die drei
Beilagen auszuwahlen, wenn
a) alle Beilagen verschieden sein sollen?
b) gleiche Beilagen auch mehrmals vorkommen durfen?
In einem Gasthaus sitzen zehn Studenten an zwei Tischen, vier an einem
und sechs an einem zweiten Tisch. Wieviele Moglichkeiten gibt es fur
diese Konstellation, wenn die Anordnung am jeweiligen Tisch nicht interessiert? Bestimmen Sie auch die Anzahl der Moglichkeiten dafur, da
an dem Tisch mit den vier Personen 0, 1, 2 Landwirtschaftsstudenten
sitzen, wenn unter den zehn Studenten insgesamt zwei Landwirtschaftsstudenten sind.
Aus einem Angebot von drei verschiedenen Biersorten soll eine Person
zehn Flaschen wahlen. Auf wieviele Arten ist dies moglich?
Wieviele Moglichkeiten gibt es
a) acht verschiedenfarbige Perlen,
b) vier rote, zwei weie und zwei grune Perlen aneinanderzureihen?
An einem runden Tisch sitzen funf Damen
a) Wieviele Anordnungsmoglichkeiten dafur gibt es?
b) Spater kommen drei Herren hinzu. Bestimmen Sie die Anzahl der
verschiedenen Arten, auf die sich die Herren zwischen den Damen
niederlassen konnten, wenn nirgends zwei Herren nebeneinander sitzen sollen.
Die m-RNA (messenger-Ribonucleinsaure) besteht aus Nucleotidketten.
In ihr kommen 4 verschiedene Nucleotide vor, welche die Basen
Adenin (A), Uracil (U),
Guanin (G), Cytosin (C)
enthalten.
a) Auf wieviele Arten lassen sich die 4 Basen anordnen?
b) Eine Nucleotidsequenz aus drei Basen (Codon) codiert fur eine Aminosaure. Reicht die Anzahl der Codons fur 20 verschiedene Aminosauren, wenn jede Base in einem Codon nur einmal vorkommen
darf?
c) Wieviele verschiedene Codons gibt es, wenn die Basen im Codon
auch mehrfach vorkommen durfen?
9.9
9.10
9.11
9.12
9.13
Aufgaben
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d) Wurde die Anzahl der Codons fur 20 Aminosauren ausreichen, wenn
ein Codon nur aus zwei Basen bestunde (gleiche Basen durfen doppelt vorkommen)?
9.14 Wie viele Moglichkeiten gibt es, 20 verschiedene Aminosauren zu einem
Peptid aus 9 Aminosauren aneinanderzureihen, wenn
a) die Peptidsequenz aus lauter verschiedenen Aminosauren bestehen
soll?
b) gleiche Aminosauren auch mehrfach auftreten durfen?
Berechnung der Wahrscheinlichkeit
9.15 Zwei Personen X und Y werfen zwei Wurfel. X gewinnt, wenn beide
Wurfel dieselbe Augenzahl zeigen; Y gewinnt, wenn die Augenzahl eines Wurfels doppelt so gro wie die des anderen ist (sonst Ergebnis:
unentschieden). Wieviel Moglichkeiten gibt es, da X gewinnt bzw. da
Y gewinnt?
9.16 Gegeben sei eine gerade Anzahl durchnummerierter Lose in den Farben
blau, rot und gelb. Geben Sie folgende Wahrscheinlichkeiten an, wenn
bekannt ist, da P (rot) = 14 und P (gelb) = 14 ist und Farbe und Losnummer unabhangig sind.
P (blau)
P (gezogenes Los tragt gerade Nummer)
P (rot und gerade)
P (gelb oder ungerade)
P (gelb oder blau)
9.17 Man gebe eine Losung des nachstehenden Problems an, das im Jahre
1654 vom Chevalier de Mere dem Mathematiker Blaise Pascal vorgelegt
wurde:
Wie oft mu man mindestens einen Wurf mit vier Wurfeln
ausfuhren, damit die Wahrscheinlichkeit dafur, da wenigstens
ein Wurf mit vier \Einser" vorkommt, groer als 1 % ist?
9.18 Eine Munze wird funfmal geworfen. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit
fur das Ereignis, da dreimal \Kopf" und zweimal \Wappen" obenliegt?
9.19 Man bestimme die Wahrscheinlichkeiten fur das Auftreten der Zahlen
3; 12; 18 als Wert fur die Augensumme bei dreimaligem Wurfeln.
80
9 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
9.20 Drei gefalschte Wurfel sind so geartet, da Wurfel A stets \3" zeigt,
wahrend B in zwei von drei Fallen \2" und in einem von drei Fallen \5"
und C in einem von 3 Fallen \1" und in zwei von drei Fallen \4" zeigt.
a) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da A hohere Werte als B aufweist?
b) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da B hohere Werte als C aufweist?
9.21 Der Professor hat gerade seine Vorlesung beendet und steht nun vor dem
Horsaal. Als die Studenten in zufalliger Reihenfolge den Saal verlassen,
fallt dem Professor auf, da die ersten funf samtlich Chinesen sind. \Interessant", sagt er zu seinem Freund. Die Chancen dafur waren genau
50 : 50.
a) Wieviele Studenten befanden sich im Horsaal und wieviele von ihnen
waren Chinesen?
Hinweis: Geben Sie den Losungsansatz analytisch an und losen Sie
ihn durch Probieren. (Es sind hochstens zehn Studenten im Horsaal.)
b) Bei einer anderen Vorlesung seien 15 Studenten anwesend; darunter
seien drei Chinesen und zwei Deutsche.
Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da die ersten drei, die den Saal
verlassen, Chinesen oder Deutsche sind?
9.22 Alois zieht aus einem Sto von 32 Skat-Karten drei Karten zufallig heraus. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da unter den drei gezogenen
Karten genau ein Bube ist?
Hinweis fur Nicht-Skatspieler: unter den 32 Karten benden sich genau
vier Buben!
9.23 In einer Urne benden sich funf Lose mit den Buchstaben a; b; c; d; e.
Ein Spieler zieht nacheinander drei Lose (ohne Zurucklegen). Zieht er
zuerst a und dann b und beim letzten Zug c, so hat er gewonnen, andernfalls verloren. Bei Gewinn wird 5 DM ausbezahlt, bei Verlust zahlt
der Spieler 0:50 DM.
Berechnen Sie mit Hilfe der Kombinatorik:
a) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen bzw. zu verlieren?
b) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen bzw. zu verlieren,
wenn die Reihenfolge von a; b und c fur den Gewinn nicht mehr
ausschlaggebend ist?
c) Zeigen Sie mit Hilfe der Rechenregeln fur Wahrscheinlichkeiten die
Richtigkeit Ihrer Aussagen in a) und b).
Aufgaben
81
9.24 Berechnen Sie fur das Beispiel in 9.23, wenn die Wahrscheinlichkeit fur
Gewinn gleich 0.3 ist, die Wahrscheinlichkeit,
a) in funf Versuchen mehr als 10 DM zu gewinnen;
b) in funf Versuchen nicht mehr als 1 DM zu verlieren;
c) Berechnen Sie auerdem fur die Zufallsvariable X = Anzahl der Gewinne bei zehn Versuchen den Erwartungswert und die Varianz.
9.25 Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da in einer Gruppe von 30 Personen mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben?
9.26 Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Kartenspiel mit 32 Karten im zweiten Zug (ohne Zurucklegen) einen \Konig" zu ziehen?
9.27 In einer Urne benden sich funf rote, drei grune und vier blaue Kugeln.
Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit,
a) eine rote Kugel,
b) eine blaue Kugel,
c) eine rote oder eine grune Kugel,
d) keine blaue Kugel
zu ziehen?
9.28 Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, beim Wurfeln mit zwei Wurfeln
a) die Augensumme 12 zu erhalten?
b) eine Augensumme, die mindestens 12 betragt, zu erhalten?
c) eine Augensumme, die gerade ist, zu erhalten?
9.29 a) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, aus Familien mit zwei Kindern,
von denen mindestens eines ein Junge ist, zufallig eine Familie mit
zwei Jungen zu ziehen?
b) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, aus Familien mit zwei Kindern,
deren erstes Kind ein Junge ist, zufallig eine Familie mit zwei Jungen
zu ziehen?
9.30 Es werden mit einem Wurfel drei Wurfe durchgefuhrt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit:
a) mindestens eine Augensumme von 5 zu erreichen
b) hochstens eine Augensumme von 5 zu erreichen
c) mindestens einmal eine \6" zu wurfeln.
82
9 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
9.31 Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, von Autos mit vierzirigem Kennzeichen ein solches zu erwischen, bei dem alle vier Ziern in direkt aufeinanderfolgender aufsteigender Reihenfolge stehen? Vorausgesetzt wird,
da alle vierzirigen Kennzeichen gleich haug seien.
9.32 A und B seien unabhangige Ereignisse.
Zeigen Sie, da auch 1. A und B bzw.
2. A und B bzw.
3. A und B unabhangig sind.
9.33 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei der zufalligen Auswahl von
20 Autos mit vierstelligem Kennzeichen mindestens zwei zu erwischen,
deren Kennzeichen in den drei Endziern ubereinstimmen. Wiederum
komme jedes vierstellige Kennzeichen gleich oft vor.
9.34 4% der bayerischen Bevolkerung haben die Blutgruppe AB. Es werden
zufallig 100 Bayern ausgewahlt und deren Blutgruppe bestimmt.
a) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da genau eine Person die Blutgruppe AB hat?
b) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da hochstens eine Person die
Blutgruppe AB hat?
c) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da mindestens zwei Personen
die Blutgruppe AB haben?
9.35 Folgende Tabelle zeigt die durchschnittlichen Durchfallquoten der Diplomvorprufung in den sechs Prufungsfachern eines ktiven Studiengangs.
Durchfallquote in %
Prufungsfach
1. TN. 1. WH. 2. WH.
Mathematik und Statistik 30
50
50
Physik
60
50
40
Chemie
30
30
30
Biologie der Panzen
30
15
k.A.
Biologie der Tiere
20
10
k.A.
Volkswirtschaftslehre
30
20
k.A.
TN.: Teilnahme
WH.: Wiederholung
k.A.: keine Angabe
a) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, alle sechs Prufungen bei der ersten Teilnahme zu bestehen, unter der Voraussetzung, das Bestehen
einer Prufung sei vom Bestehen einer anderen unabhangig?
Aufgaben
83
b) Warum ist die Erfolgsquote in der Praxis hoher?
c) Spatestens nach erfolgloser zweiter Wiederholung erfolgt die Exmatrikulation. Wieviele Studenten von 120 scheitern erwartungsgema
am Fach Physik?
d) Es wird diskutiert, Mathematik und Statistik getrennt im Rahmen
einer Klausur zu prufen. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, beide
Klausuren beim ersten Mal zu bestehen, wenn angenommen wird,
da die Durchfallquote in Mathematik 40% und in Statistik 20%
betragt? Das Bestehen einer Klausur sei wiederum als unabhangig
vom Bestehen der anderen vorausgesetzt.
9.36 Ein Kasten Bier enthalt 15 volle und funf leere Flaschen.
a) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, dreimal hintereinander zufallig
eine leere Flasche zu ziehen, wenn die Flaschen nach dem Zug wieder
in den Kasten zuruckgestellt werden?
b) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, beim dritten Zug zufallig eine
leere Flasche zu ziehen, wenn die Flaschen nach dem Zug nicht in
den Kasten zuruckgestellt werden?
9.37 In der Desoxiribonukleinsaure (DNA) sind Nukleotide mit vier verschiedenen Basenbestandteilen Adenin (A), Thymin (T), Guanin (G) und
Cytosin (C) zu einer Kette verbunden. Ein Codon ist eine Sequenz aus
drei Nukleotiden und codiert fur eine Aminosaure.
a) Ein Genabschnitt auf der DNA bestehe aus 3000 Nukleotiden. Wie
viele verschiedene Nukleotidsequenzen aus den vier Basen sind moglich?
Geben Sie diese Anzahl mit Hilfe von Zehnerpotenzen an.
b) Wie lang mu eine Nukleotidsequenz (Codon) mindestens sein, damit
20 verschiedene Aminosauren codiert werden konnen?
c) Es gibt insgesamt drei Codons, die anstatt einer Aminosaure das Kettenende eines Proteins codieren. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit,
da bei einer zufalligen Auswahl eines Codons eines fur Kettenende
gefunden wird?
84
9 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
9.38 Ein Kuchen soll mit funf Erdbeeren garniert werden.
a) Auf wieviele Arten kann man einen rechteckigen Kuchen, der auf
einer Seite etwas angebrannt ist, in der dargestellten Weise mit den
funf verschiedenen Erdbeeren belegen?
b) Von den funf Erdbeeren sind drei reif, die anderen beiden noch etwas
grun. Auf wieviele Arten kann man den Kuchen belegen, wenn es
ausschlielich auf die Reihenfolge der reifen und grunen Erdbeeren
ankommt?
c) Auf wieviele Arten kann man einen runden Kuchen in der dargestellten Weise belegen, wenn es wiederum nur auf die Anordnung
der reifen und grunen Erdbeeren ankommt?
d) Der rechteckige Kuchen wird in funf Stucke aufgeteilt, von denen
jedes mit einer Erdbeere besetzt ist. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, zufallig ein Stuck Kuchen mit einer grunen Erdbeere zu bekommen?
e) Jemand will zwei Kuchenstucke verzehren, die er sich zufallig auswahlt.
Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Stuck eine reife
Erdbeere zu bekommen?
9.39 Zur Verfugung stehen folgende Karten eines Skatspiels:
8 
A |
D ~
A }
|
|
A
~
~
D


8
}
}
A
a) Wie viele verschiedene Anordnungen der Karten gibt es, wenn ausschlielich die Bilder interessieren, d.h. die Farbe wird nicht berucksichtigt?
b) Wieviele Moglichkeiten gibt es, zwei verschiedene Karten zusammenzustellen, wenn die Reihenfolge der Karten nicht berucksichtigt wird?
Aufgaben
85
c) Es wird dreimal hintereinander zufallig eine Karte gezogen und wieder zuruckgelegt. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, dreimal ein As
(A) zu ziehen?
d) Nun zieht jemand zwei Karten ohne Zurucklegen. Wie gro ist die
Wahrscheinlichkeit, da er beim zweiten Zug ein As (A) erwischt?
Bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes
9.40 Die Zuverlassigkeit einer Tuberkulose-Rontgen-Untersuchung sei durch
folgende Angaben gekennzeichnet. Von den Tbc-kranken Personen werden 90 % durch Rontgen entdeckt, d.h. als Tbc-verdachtig eingestuft,
10 % bleiben unentdeckt. Von den Tbc-freien Personen werden 99 % als
solche erkannt, aber 1 % als Tbc-verdachtige festgestellt.
Nun wird aus einer groen Bevolkerung, von der 0:1 % Tbc-krank ist,
solange willkurlich eine Person herausgegrien, bis der Test eine als Tbcverdachtig einstuft. Wie gro ist die Wahrscheinlichketi, auf diese Weise
eine Tbc-verdachtige Person zu erwischen, die auch wirklich Tbc-krank
ist?
9.41 Eine Firma steht vor der Frage, ob sie in Land A oder Land B eine Filiale eronen soll. Die Firma zieht drei verschiedene Nachfragesituationen S1 ; S2 ; S3 in Betracht. Nach intensiven Marktstudien geht
die Firma von folgenden Wahrscheinlichkeiten fur das Auftreten von
S (i = 1; 2; 3) in A bzw. B aus:
P (S1 jA) = 0:25 P (S1jB ) = 0:3
P (S2 jA) = 0:5
P (S2jB ) = 0:3
P (S3 jA) = 0:25 P (S3jB ) = 0:4
Die Firma interessiert sich jetzt fur die Wahrscheinlichkeit, einen Gewinn
von G1; G2 oder G3 zu machen.
Die bedingten Wahrscheinlichkeiten P (G jS ), einen Gewinn in Hohe
von G unter der Nachfragesituation S zu machen, seien bekannt:
P (G jS ) G1 G2 G3
S1
0:1 0:4 0:5
S2
0:3 0:3 0:4
S3
0:5 0:5 0
Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit fur einen Gewinn in Hohe von G1; G2 ;
G3, wenn die Firma in A bzw. in B investiert?
i
i
i
j
i
j
j
86
9 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
9.42 In einer Warensendung von 20 Einheiten seien 18 Einheiten qualitatsgerecht.
Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit,
a) bei der Auswahl einer beliebigen Einheit ein qualitatsgerechtes Erzeugnis zu erhalten?
b) bei Auswahl einer beliebigen Einheit ein qualitatsgerechtes Erzeugnis zu erhalten, nachdem vorher ein qualtitatsgerechtes Erzeugnis
ausgewahlt wurde?
c) bei Auswahl einer beliebigen Einheit ein qualitatsgerechtes Erzeugnis
zu erhalten, nachdem vorher ein nicht qualitatsgerechtes Erzeugnis
ausgewahlt wurde?
9.43 Der Nahverkehr innerhalb einer Grostadt werde im wesentlichen durch
vier verschiedene Verkehrsmittel bewaltigt. Dazu sind fur einen bestimmten Planungszeitraum die in folgender Tabelle angegebenen Daten ermittelt worden.
Verkehrsmittel furWahrscheinlichkeit
Betriebsbereitschaft Beforderungsanteil
S-Bahn
0:90
0:5
U-Bahn
0:95
0:1
Straenbahn
0:70
0:15
Bus
0:80
0:25
a) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da ein zufallig herausgegriener Fahrgast befordert werden kann? Es wird vorausgesetzt, da der
Fahrgast nur eies der vier Verkehrsmittel bnutzt.
b) In welchen Proportionen ist eine Storungsreserve fur die einzelnen
Verkehrsmittel zu planen?
9.44 Es sei eine Lieferung von 100 Salatkopfen gegeben. Die Eigenschaften
der Lieferung sind in Aufgabe 1.45 beschrieben.
Nun werde der Lieferung zufallig ein Salatkopf entnommen. Wie gro
ist die Wahrscheinlichkeit, einen Salatkopf zu erwischen, der
a) im Glashaus gezogen wurde und die Eigenschaft A oder B aufweist?
b) im Glashaus gezogen wurde, die Eigenschaft A und die Eigenschaft
B aufweist?
Wie gro waren die Wahrscheinlichkeiten fur a) und b), wenn die Lieferung lediglich die 40 im Glashaus gezogenen Salatkopfe umfat?
Aufgaben
87
Verteilungsfunktion, Erwartungswert, Varianz
9.45 Ein Experiment besteht aus dem viermaligen Werfen einer Munze. Es sei
X die Zufallsvariable, welche die Zahl der geworfenen \Kopfe" angibt.
Man bestimme fur die Zufallsvariable X die Wahrscheinlichkeitsfunktion
f und stelle sie in Form eines Stabdiagramms graphisch dar. Zeichnen
Sie auch die dazugehorige Verteilungsfunktion F .
9.46 In einer Sendung von acht Artikeln benden sich zwei defekte Artikel.
Man zieht daraus zufallig eine Stichprobe von 4 Stuck ohne Zurucklegen. Die Zufallsvariable X sei die Anzahl der defekten Artikel in dieser
Stichprobe.
Man bestimme fur die Zufallsvariable X die Wahrscheinlichkeitsfunktion
f und stelle sie in Form eines Stabdiagramms graphisch dar. Zeichnen
Sie auch die dazugehorige Verteilungsfunktion F .
9.47 Die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X sei gegeben durch
8
0 falls
x < ,1
>
>
< 1=4 falls ,1 x < 1
F (x) = > 1=2 falls 1 x < 2
>
2 x < 3
>
: 21=3 falls
falls x 3
a) Zeichnen Sie F .
b) Bestimmen Sie
P (X 1)
P (X = 1) P (,1 < X 2)
P (,1 X < 2) P (X < 3) P (1:5 < X < 2:7)
P (X < 3:3)
9.48 Bei einer Lotterie von 1 000 Losen zu je 1 DM kann man einen Preis zu
500 DM, vier Preise zu je 100 DM und funf Preise zu je 10 DM gewinnen.
X sei der Gewinn beim Kauf eines Loses. Man berechne E (X ).
9.49 Ein Blumenhandler kaufe Blumen fur 0:50 DM=Stuck und biete sie am
selben Tag mit 1:50 DM=Stuck zum Verkauf an. Jede am selben Tag
nicht verkaufte Blume ist wertlos und wird weggeworfen. Die Zufallsvariable N sei die Anzahl der Blumen, welche die Kunden an einem
beliebig ausgewahlten Tag kaufen. Der Blumenhandler geht von folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion f aus:
0
1
2
3
n
f (n) 0:1 0:4 0:3 0:2
88
9 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wieviel Blumen mu der Handler einkaufen, um im Mittel einen moglichst
groen Gewinn zu machen?
(Anleitung: Es sei G fur n = 0; 1; 2; 3 die Zufallsvariable, die den
Gewinn des Handlers angibt, wenn dieser n Blumen einkauft. Man bestimme fur G ; n = 0; 1; 2; 3 jeweils E (G ) und bestimme so den
Wert von n, fur den E (G ) am groten ist.
Hans und Otto werfen je einen Wurfel. Otto, bekannt als leidenschaftlicher Spieler, macht Hans folgenden Vorschlag: \Wenn die Summe der
Augenzahl beider Wurfel kleiner als 7 ist, hast Du gewonnen, andernfalls
bin ich der Sieger."
a) Wie sind die Gewinnchancen fur Hans und Otto?
b) Nun schlagt Hans folgendes vor:
\Wenn ich gewinne, gibst Du mir drei Perlen. Andernfalls gebe ich
Dir zwei Perlen." Berechnen Sie fur beide Spieler den Erwartungswert des Gewinnes bei 20 Spielen und entscheiden Sie sich fur die
Konditionen von Hans und Otto.
In einer Urne seien vier rote und zwei weie Kugeln. Es sollen zufallig
zwei Kugeln ohne Zurucklegen gezogen werden. X sei die Zufallsvariable,
die die Anzahl der weien unter den gezogenen Kugeln angibt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion f und die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariable X .
In einer Urne benden sich sieben rote und drei schwarze Kugeln. Man
entnimmt drei Kugeln ohne Zurucklegen. Die Zufallsvariable X bezeichne die Dierenz: Anzahl der roten Kugeln unter den drei gezogenen Anzahl der schwarzen Kugeln unter den drei gezogenen.
Bestimmen Sie Wahrscheinlichkeitsfunktion f und Verteilungsfunktion
F der Zufallsvariable X .
Gegeben sei ein asymmetrischer Wurfel mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion f : 8
1=4 fur x = 1
>
>
>
1=5 fur x = 2
>
>
< 1=4 fur x = 3
f (x) = P (X = x) = > 1=5 fur x = 4
a fur x = 5
>
>
>
fur x = 6
>
: a0 sonst
n
n
n
n
9.50
9.51
9.52
9.53
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion vollstandig an.
Aufgaben
89
b) Wie lauten Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariable X ?
c) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F .
d) Geben Sie folgende Wahrscheinlichkeiten an:
P (1 X 3); P (X < 1); P (X < 7); P (X = 7); P (X =
5); P (X > 4)
e) Bestimmen Sie, wenn moglich, die 50 %- und die 90 %-Fraktile.
9.54 Die Funktion f sei wie folgt gegeben:
8
2 x ,1
>
< a1 x1=+5 b1 ,
,
1 x 2
f (x) = a2 x + b2
2 x c
>
: 0
sonst
0.3
0.2
y
0.1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3 c 4
x
a) Bestimmen Sie die Unbekannten a1; a2 ; b1; b2 und c so, da f stetig
und Dichtefunktion einer Zufallsgroe X ist.
b) Geben Sie den Median sowie die 10%- und die 75%-Fraktile an.
c) Wie gro sind folgende Wahrscheinlichkeiten:
P (X ,3), P (X ,1), P (X 2), P (X = 1), P (,1 X 2)?
ur jxj 1
9.55 Die Funktion f sei gegeben durch f (x) = 1 ,0 jxj f
sonst
a) Zeichnen Sie die Funktion f .
b) Ist f Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X ?
c) Versuchen Sie, die Funktion f auf eine andere Art als oben angegeben gleichungsmaig darzustellen, um die folgenden Berechnungen
zu vereinfachen.
d) Wie gro ist der Erwartungswert E (X ) der Verteilung?
90
9 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Berechnen Sie die Standardabweichung der Verteilung.
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X .
Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion F .
Wie gro sind die 10 % - und 90 % -Fraktilen x10% und x90%?
Berechnen Sie:
) P (X ,1)
) P (X < 0:5)
) P (X > 0)
) P (,0:5 X < 1)
") P (X = 2)
9.56 Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable X mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion
f:
8
0
:
1
f
1; 2; 6; 7
>
< 0:15 fuurr xx =
=
f (x) = > a fur x = 34; 5
: 0 sonst
a) Bestimmen Sie a und somit f vollstandig.
b) Wie lautet die Verteilungsfunktion F ?
c) Geben Sie folgende Wahrscheinlichkeiten an:
P (X 2); P (X 4); P (X = 4:5); P (2 < X 6)
d) Bestimmen Sie die 65%- und die 90%-Fraktile.
9.57 Gegeben sei folgende Funktion
8 1
<
fur a x 1
f : IR ,! IR+0 ; f (x) = : x2
0 sonst
e)
f)
g)
h)
i)
a) Bestimmen Sie a so, da f Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X
ist?
b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F der Zufallsgroe X .
c) Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten P (X 1) und P (X = a) an.
d) Welchen Erwartungswert hat die Zufallsgroe X ?
x fur 0 x 9.58 Die Funktion f sei gegeben durch f (x) = k sin
0
sonst
a) Fur welches k ist f Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X ?
b) Wie gro ist der Erwartungswert von X ?
c) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F .
d) Wie gro ist P (X < 0), P (X > 5), P (X = 2 ), P (0:5 X < 2 )?