Technische Mechanik
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ik an D ch a t C e Im Mi he MhAN c c nis e ch it m Te m Wolfgang H. Müller Ferdinand Ferber Technische Mechanik für Ingenieure Für die g Ausbildun Bachelorgeeignet 3., neu bearbeitete Auflage Inhaltsverzeichnis 1 Statik ........................................................................................................ 1 1.1 Grundbegriffe...................................................................................................... 1 1.1.1 Zum Kraftbegriff ....................................................................................... 1 1.1.2 Einteilung der Kräfte, das Schnitt- und das Wechselwirkungsprinzip....... 3 1.2 Kräfte in einem Angriffspunkt .......................................................................... 6 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 Zusammensetzen von Kräften ................................................................... 6 Zerlegen von Kräften in der Ebene: Komponentendarstellung.................. 9 Gleichgewicht von Kräften in einem Angriffspunkt................................ 12 Zentrale Kräftegruppe im Gleichgewicht: Haltekraft auf schiefer Ebene 14 Lösung im kartesischen Koordinatensystem ........................................... 14 Vektorielle Berechnung der Haltekraft.................................................... 15 1.2.5 Zentrale Kräftegruppe im Gleichgewicht: Verkettete Pendelstäbe.......... 15 Lösung im kartesischen Koordinatensystem ........................................... 15 Stabkräfte vektoriell berechnet ................................................................ 17 1.2.6 Zentrale Kräftegruppen im Raum und Vergleich mit zwei Dimensionen 18 1.3 Allgemeine Kräftesysteme: Gleichgewicht des starren Körpers................... 20 1.3.1 Moment beliebig verteilter Kräftegruppen im Raum............................... 20 Zwei zueinander parallele Kräfte............................................................. 20 Definition des Momentes einer Kraft ...................................................... 23 Zum Gesamtmoment ebener Kräftesysteme ............................................ 24 Kräfte an einer Sechseckscheibe.............................................................. 24 Beispiel: Das Moment eines Kräftepaares............................................... 24 1.3.2 Gleichgewichtsbedingungen für beliebige Kräftesysteme in der Ebene.. 26 1.3.3 Gleichgewicht illustriert an einem System von Pendelstäben ................. 28 1.3.4 Vektorielle Deutung des Momentes ........................................................ 29 Definition des Momentenvektors............................................................. 29 Bemerkungen zum Kreuzprodukt von Vektoren ..................................... 30 Ein Quader unter dem Einfluss äußerer Kräfte........................................ 33 1.3.5 Allgemeine Kräftegruppen im Raum....................................................... 34 Zusammenfassung der Gleichgewichtsbedingungen ............................... 34 Rahmen im Raum .................................................................................... 35 1.3.6 Grafische Verfahren zur Behandlung allgemeiner 2-D-Kräftegruppen... 37 Die CULMANNsche Gerade ...................................................................... 37 X Inhaltsverzeichnis Das Seileck .............................................................................................. 38 1.4. Der Schwerpunkt .............................................................................................. 41 1.4.1 Schwerpunkt einer Gruppe paralleler Kräfte ........................................... 41 1.4.2 Spezielle Linienkräfte (Streckenlasten): Gleichstrecken- und Dreieckslast ............................................................................................. 44 1.4.3 Massenschwerpunkt eines Volumens ...................................................... 45 1.4.4 Zum Flächenschwerpunkt........................................................................ 48 Flächenschwerpunkt eines Dreiecks........................................................ 51 Flächenschwerpunkt einer Parabel .......................................................... 52 Flächenschwerpunkt eines Kreises .......................................................... 53 1.4.5 Zum Linienschwerpunkt.......................................................................... 54 1.5 Lager, Trag- und Fachwerke ........................................................................... 56 1.5.1 Freiheitsgrade, Lager und ihre technische Realisierung .......................... 56 Einwertige Lager ..................................................................................... 56 Zweiwertige Lager................................................................................... 56 Dreiwertige Lager.................................................................................... 57 1.5.2 Tragwerke................................................................................................ 58 1.5.3 Fachwerke................................................................................................ 59 Definition des idealen Fachwerks............................................................ 59 Prinzipielle Berechnung der Stabkräfte: Knotenpunktverfahren ............. 61 Der RITTERsche Schnitt ........................................................................... 63 Der CREMONA-Plan ................................................................................. 65 1.6 Der biegesteife Träger ...................................................................................... 66 1.6.1 Schnittgrößen – Begriffsbildung.............................................................. 66 1.6.2 Zur Berechnung von Schnittgrößen am geraden Balken ......................... 68 Gerader Balken unter Einzellasten .......................................................... 68 Balken auf zwei Stützen unter Einzellast (Dreipunktbiegeprobe) ........... 71 Kragträger unter Einzellast und Momentenwirkung................................ 72 Zusammenhang zwischen Belastung und Schnittgrößen......................... 73 Integration der Differentialgleichungen für Querkraft- und Momentenfläche ...................................................................................... 74 Randbedingungen für die Querkraft- und für die Momentenfläche......... 75 Übergangsbedingungen für die Querkraft- und für die Momentenfläche ...................................................................................... 76 Momentenfläche bei komplizierteren Belastungen.................................. 77 Ein vergleichendes Beispiel..................................................................... 79 1.6.3 Zur Berechnung von Schnittgrößen am Rahmentragwerk....................... 83 Der rechtwinklige Rahmen ...................................................................... 83 Inhaltsverzeichnis XI Beliebiger gerader Träger ........................................................................ 85 Der stetig gekrümmte Träger – Theorie................................................... 87 Der stetig gekrümmte Träger – ein Halbkreisbogen................................ 89 1.7. Reibungsphänomene......................................................................................... 90 1.7.1 Gleitreibung und Haftreibung.................................................................. 90 1.7.2 Reibung an der schiefen Ebene................................................................ 93 1.7.3 Spezielle Anwendungen des Reibungsphänomens .................................. 96 Der PRONYsche Zaum (Reibungsbremse) ............................................... 96 Schraube .................................................................................................. 98 Umschlingungsreibung .......................................................................... 102 Seilbremse ............................................................................................. 104 Reibung am Keil.................................................................................... 107 2 Festigkeitslehre.................................................................................... 109 2.1 Einführung; Begriffe ...................................................................................... 109 2.1.1 Aufgabe der Festigkeitslehre ................................................................. 109 2.1.2 Beanspruchungsarten............................................................................. 110 2.1.3 Begriff der Spannung............................................................................. 111 2.2 Zug- und Druckbeanspruchung .................................................................... 113 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.2.8 2.3 Zug- und Druckspannung in Bauteilen .................................................. 113 Beispiel: Spannungsverteilung in einem konischen Stab ...................... 115 Beispiel: Stab gleicher Festigkeit .......................................................... 116 Die Längenänderung des Zug- oder Druckstabes .................................. 117 Die Querdehnung des Zug- oder Druckstabes ....................................... 120 Verformung statisch bestimmter Stabsysteme....................................... 121 Statisch unbestimmte Stabsysteme ........................................................ 122 Behinderte Wärmeausdehnung .............................................................. 124 Schubbeanspruchung und HOOKEsches Gesetz ........................................... 125 2.3.1 Spannungen infolge Schublast............................................................... 125 2.3.2 Verformung infolge Schublast............................................................... 125 2.4 Biegebeanspruchung des Balkens.................................................................. 126 2.4.1 Biegespannungsformel .......................................................................... 126 2.4.2 Trägheits- und Widerstandsmomente für einfache Querschnittsformen ............................................................................... 129 2.4.3 Satz von STEINER ................................................................................... 131 2.4.4 Die Normalspannungen im Balken infolge Querkraftbiegung .............. 134 XII Inhaltsverzeichnis 2.5 Schub infolge Querkraft beim Biegeträger................................................... 136 2.5.1 Zur Berechnung der Schubspannungen ................................................. 136 2.5.2 Berechnung der Schubspannungen für spezielle Trägerformen ............ 138 2.5.3 Schubspannungen im geschweißten, geklebten und genieteten Träger .................................................................................................... 140 2.5.4 Schubmittelpunkt................................................................................... 142 2.6 Die elastische Linie des Biegeträgers (Biegelinie)......................................... 143 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.6.4 2.6.5 2.6.6 2.6.7 2.6.8 2.6.9 2.6.10 2.6.11 2.7 Die Differentialgleichung der Biegelinie............................................... 143 Beispiel: Der eingespannte Balken ........................................................ 146 Beispiel: Träger auf zwei Stützen.......................................................... 146 Anwendung auf statisch unbestimmte Systeme..................................... 148 MOHRsche Analogie; eine praktische, rechnerisch-zeichnerische Methode zur Ermittlung der Biegelinie ................................................. 149 Wahre Auflager und Ersatzlager sind identisch..................................... 150 Schlusslinie als geneigte Gerade............................................................ 152 Ein Zahlenbeispiel ................................................................................. 153 Zusammenfassung: Auffinden der Biegelinie mit Hilfe der MOHRschen Analogie ............................................................................ 154 Ermittlung von Verformungen mithilfe des Superpositionsprinzips........................................................................... 156 Schiefe Biegung (Begriff der Hauptträgheitsachsen) ............................ 156 Axiale Verdrehung/Torsion ........................................................................... 163 2.7.1 Schubspannungen am Kreisquerschnitt ................................................. 163 2.7.2 Polares Trägheitsmoment für Kreisprofile............................................. 164 2.7.3 Dünnwandige geschlossene Hohlprofile und dünnwandige offene Profile ......................................................................................... 166 2.7.4 Beliebige offene Profile, dickwandige Hohlprofile ............................... 169 2.7.5 Verformung infolge Torsion, Verdrehwinkel ........................................ 170 Spezifischer Winkel, Drehfederkonstante ............................................. 171 Darstellung des Torsionsmomentes ( M T -Fläche)................................ 172 2.8 Zusammengesetzte Beanspruchung .............................................................. 173 2.8.1 2.8.2 2.8.3 2.8.4 2.8.5 2.8.6 2.8.7 Einführung............................................................................................. 173 Normalspannungen aus Normalkräften und Biegung............................ 174 Schubspannungen aus Querkraft und Torsion ....................................... 176 Begriff des Spannungstensors im ebenen Fall ....................................... 177 Begriff des Spannungstensors im räumlichen Fall ................................ 181 Der MOHRsche Kreis ............................................................................. 183 Vergleichsspannungen........................................................................... 189 Inhaltsverzeichnis 2.9 Stabilitätsprobleme ......................................................................................... 190 2.9.1 2.9.2 2.9.3 2.9.4 2.9.4 3 XIII Einführung............................................................................................. 190 Ein erstes Stabilitätsproblem ................................................................. 190 Zur Phänomenologie von Stabilitätsproblemen..................................... 192 Die EULERsche Knickgleichung ............................................................ 192 Die vier EULERschen Knicktypen.......................................................... 195 Dynamik............................................................................................... 199 3.1 Punktförmige Massen..................................................................................... 199 3.1.1 Kinematik eines einzelnen Massenpunktes ........................................... 199 Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung im Eindimensionalen .................................................................................. 199 Beispiele zur eindimensionalen Bewegung ........................................... 202 Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung im Raum .................... 208 Koordinatensysteme .............................................................................. 210 3.1.2 Kinetik des Massenpunktes ................................................................... 214 Die NEWTONschen Gesetze ................................................................... 214 Dynamik des freien Massenpunktes ...................................................... 215 Geführte Bewegungen ........................................................................... 217 Bewegungen unter dem Einfluss von Reibungskräften ......................... 221 3.1.3 Der Impulssatz....................................................................................... 224 3.1.4 Der Energiesatz der Mechanik............................................................... 227 3.1.5 Drehimpuls und Momentensatz ............................................................. 232 3.2 Die Dynamik von Massenpunktsystemen ..................................................... 232 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 Kinematik .............................................................................................. 232 Kinetik ................................................................................................... 234 Impuls- und Schwerpunktsatz für Massenpunktsysteme ....................... 236 Drehimpulssatz für Massenpunktsysteme.............................................. 237 Der Energie- und Arbeitssatz für Massenpunktsysteme ........................ 241 Eine Anwendung des Impuls- und des Energiesatzes: Zentrische Stöße zwischen kugelförmigen Massen ............................... 242 3.2.7 Körper mit zeitveränderlicher Masse..................................................... 245 3.3 Die Dynamik des starren Körpers ................................................................. 248 3.3.1 Starrkörperkinematik ............................................................................. 248 Freiheitsgrade des starren Körpers ........................................................ 248 Translation des starren Körpers ............................................................. 249 Rotation des starren Körpers um eine feste Achse ................................ 250 XIV Inhaltsverzeichnis Allgemeine Bewegung des starren Körpers in der Ebene...................... 252 Zwei Beispiele zur Kinematik des starren Körpers ............................... 255 Der Momentanpol.................................................................................. 258 3.3.2 Starrkörperkinetik.................................................................................. 259 Einleitende Bemerkungen...................................................................... 259 Rotation eines starren Körpers um eine feste Achse.............................. 259 Ein Beispiel zur Aufstellung der Bewegungsgleichung von um eine feste Achse rotierenden Körpern.................................................... 263 Energie- und Arbeitssatz bei Rotation um eine feste Achse .................. 264 Weitere Beispiele zur Bewegung starrer Körper: Reibungsbremse und Walze .................................................................. 265 Analogie zwischen der geradlinigen Bewegung eines Massenpunktes und der Starrkörperrotation um eine feste Achse ......... 268 Kinetik von ebenen starren Körpern (Scheiben).................................... 269 Beispiel I zur Starrkörperbewegung von Scheiben................................ 271 Beispiel II zur Starrkörperbewegung von Scheiben: Die ATWOODsche Fallmaschine............................................................. 274 Beispiel III zur Starrkörperbewegung von Scheiben: Das Jojo ............. 275 Beispiel IV zur Starrkörperbewegung von Scheiben............................. 275 Impuls-, Arbeits- und Energiesatz bei der Bewegung starrer Körper in der Ebene............................................................................... 278 Ein Beispiel zum Energiesatz ebener starrer Körper ............................. 280 3.4 Schwingungen.................................................................................................. 282 3.4.1 Grundbegriffe der Schwingungslehre .................................................... 282 3.4.2 Freie, ungedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad................. 285 Bewegungsgleichungen und ihre Lösung .............................................. 285 Alternativen und ergänzende Betrachtungen mithilfe des Energiesatzes ......................................................................................... 287 Beispiele für die freie ungedämpfte Schwingung mit einem Freiheitsgrad .......................................................................................... 289 Federkonstanten..................................................................................... 290 3.4.3 Freie, gedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad..................... 294 COULOMB-Reibung................................................................................ 294 Geschwindigkeitsproportionale Reibung: Der lineare Dämpfer (Dashpot) ................................................................................ 295 Ein komplizierteres Beispiel für eine Schwingung mit Dämpfung .............................................................................................. 300 3.4.4 Angefachte Schwingungen .................................................................... 301 Angefachte Schwingungen ohne Dämpfung ......................................... 301 Inhaltsverzeichnis XV Angefachte Schwingungen mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung .............................................................................................. 304 3.4.5 Schwingungen mit endlich vielen Freiheitsgraden ................................ 308 Motivation und Erinnerung.................................................................... 308 Bewegungsgleichung der freien, ungedämpften Schwingung mit zwei Freiheitsgraden........................................................................ 309 Erzwungene Schwingung mit zwei Freiheitsgraden.............................. 314 4 Kontinuumsmechanik......................................................................... 317 4.1 Bilanzgleichungen der Masse......................................................................... 317 4.1.1 Bilanzgleichung der Masse in globaler Form ........................................ 317 4.1.2 Massendichte und Umschreibung der globalen Massenbilanz .............. 318 4.1.3 LEIBNIZsche Regel zur Differentiation von Parameterintegralen und REYNOLDSsches Transporttheorem................................................. 320 4.1.4 Lokale Massenbilanz in regulären Punkten ........................................... 324 4.1.5 Alternativschreibweisen der Massenbilanz in regulären Punkten; Endziel des Mechanikers ....................................................................... 326 4.2 Bilanzgleichungen des Impulses .................................................................... 328 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.3 Bilanzgleichung des Impulses in globaler Form.................................... 328 Das CAUCHYsche Tetraederargument.................................................... 331 Bilanzgleichung des Impulses in lokaler Form...................................... 332 Eine Bemerkung zum REYNOLDSschen Transporttheorem ................... 334 Einfache Materialgleichungen ....................................................................... 336 4.3.1 Das reibungsfreie Fluid.......................................................................... 336 4.3.2 Das NAVIER-STOKES-Fluid.................................................................... 337 4.3.3 Der linear-elastische HOOKEsche Körper .............................................. 337 4.4 Bilanzgleichungen des Drehimpulses ............................................................ 342 4.4.1 Die lokale Bilanz des Drehimpulses...................................................... 342 4.4.2 Die globale Bilanz des Drehimpulses .................................................... 344 4.5 Einführung in die lineare Elastizitätstheorie................................................ 345 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4 4.5.5 4.5.6 Der eindimensionale Zugstab neu gesehen............................................ 345 Die LAMÉ-NAVIERschen Gleichungen................................................... 347 Der axial schwingende Zugstab............................................................. 352 Die Schwingungsgleichung der Geigensaite ......................................... 353 Die Schwingungsgleichung einer Membran.......................................... 357 Lösungsmethoden für Wellengleichungen ............................................ 360 Das Charakteristikenverfahren nach D’ALEMBERT ................................ 360 XVI Inhaltsverzeichnis Das Separationsverfahren nach BERNOULLI .......................................... 363 Zur Äquivalenz der Lösungsverfahren nach D’ALEMBERT und BERNOULLI...................................................................................... 368 4.6 Einführung in die Hydromechanik ............................................................... 371 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4 5 Massenbilanz bei der Rohrströmung ..................................................... 371 Der hydrostatische Druck ...................................................................... 374 Die BERNOULLIsche Gleichung ............................................................. 375 Der Auftrieb nach ARCHIMEDES ............................................................ 376 Energiemethoden ................................................................................ 379 5.1 Energiebilanzen............................................................................................... 379 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.2 Lokale und globale Bilanz der kinetischen Energie............................... 379 Zum Begriff der inneren Energie........................................................... 381 Gesamtbilanz der Energie oder Energieerhaltungssatz.......................... 381 Bilanz der inneren Energie .................................................................... 384 Energiebilanz bei der Rohrströmung ..................................................... 386 Entropiebilanz und zweiter Hauptsatz.......................................................... 387 5.2.1 Globale und lokale Entropiebilanz ........................................................ 387 5.2.2 Die GIBBSsche Gleichung...................................................................... 389 5.2.3 Eine Anwendung der GIBBSschen Gleichung: Gummielastizität vs. HOOKEsches Gesetz ............................................................................... 391 5.3 Die Sätze von Castigliano, Betti und Maxwell.............................................. 398 5.3.1 Potentialcharakter von Formänderungsenergie, komplementärer Formänderungsenergie, freier Energie und freier Enthalpie.................. 398 5.3.2 Formänderungsenergiedichte linear-elastischer Körper ....................... 402 5.3.3 Komplementäre Formänderungsenergiedichte linear-elastischer Körper....................................................................... 405 5.3.4 Formänderungsenergiedichten für Balken............................................. 406 5.3.5 Formänderungsenergie in der Elastostatik............................................. 408 5.3.6 Die Sätze von MAXWELL und BETTI ..................................................... 409 5.3.7 Anwendung der Sätze von BETTI und MAXWELL auf statisch bestimmte und unbestimmte Systeme ..................................................................... 413 5.3.8 Die Sätze von CASTIGLIANO für diskret belastete Systeme ................... 416 5.3.9 Eine Anwendung der Sätze von CASTIGLIANO auf ein statisch bestimmtes System ................................................................................ 418 5.4 Energiefunktionale und ihre Extrema .......................................................... 418 5.4.1 Eine erste Motivation zur Minimierung von Energieausdrücken .......... 418 5.4.2 Hinführung zur Variationsrechnung ...................................................... 421 Inhaltsverzeichnis XVII 5.4.3 Die EULERsche Variationsgleichung ..................................................... 422 5.5 Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen (PdvV)..................................... 426 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.5.4 5.5.5 5.5.6 5.5.7 5.5.8 5.5.9 5.6 Das PdvV in der elementaren Technischen Mechanik .......................... 426 Das PdvV in der höheren Technischen Mechanik ................................. 429 Das PdvV vom Standpunkt der Variationsrechnung ............................. 431 Das PdvV – Statik starrer Systeme ........................................................ 434 Beispiele zum PdvV in der Statik starrer Systeme ................................ 435 Berechnung von Kräften und Momenten............................................... 435 Berechnung von stabilen Lagen............................................................. 437 Das Prinzip von TORRICELLI ................................................................. 438 Der GERBERträger.................................................................................. 439 Das PdvV – Statik deformierbarer Systeme .......................................... 440 Ein Beispiel zum PdvV in der Statik deformierbarer Systeme .............. 441 PdvV – Allgemeine Belastungsfälle für HOOKEsche Balken ................ 443 PdvV – Die Näherungsmethoden von RITZ und GALERKIN .................. 447 Das Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK)..................................................... 452 5.6.1 Formulierung des PdvK im Rahmen der elementaren und höheren Technischen Mechanik .......................................................................... 452 5.6.2 Das PdvK vom Standpunkt der Variationsrechnung ............................. 455 5.6.3 Beispiele zum PdvK .............................................................................. 457 Verschiebungen in einem statisch bestimmten System ......................... 457 Lagerreaktionen in einem statisch unbestimmten System ..................... 458 5.6.4 Eine rezeptmäßige Auswertung des PdvK: Das 1-Kraft-Konzept......... 459 5.7 Dynamische Energieprinzipe ......................................................................... 463 5.7.1 Das D’ALEMBERTsche Prinzip in LAGRANGEscher Fassung.................. 463 5.7.2 Ableitung der Bewegungsgleichung des starren Körpers mithilfe des D’ALEMBERTschen Prinzips in LAGRANGEscher Fassung .............. 465 5.7.3 Ein Beispiel zum D’ALEMBERTschen Prinzip in LAGRANGEscher Fassung....................................................................... 474 5.7.4 Das HAMILTONsche Prinzip und die LAGRANGEfunktion...................... 476 5.7.5 Generalisierte Koordinaten.................................................................... 478 5.7.6 Die EULER-LAGRANGEschen-Bewegungsgleichungen .......................... 479 5.7.7 Beispiel I zu den EULER-LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen: Geführte Punktmasse ............................................................................. 481 5.7.8 Beispiel II zu den EULER-LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen: Massenpunktsystem mit zwei generalisierten Koordinaten................... 482 5.7.9 Beispiel III zu den EULER-LAGRANGESCHEN Bewegungsgleichungen: Mehrere Punktmassen im Verbund........................................................ 484 XVIII Inhaltsverzeichnis 5.7.10 Beispiel IV zu den EULER-LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen: Punktmassen und starrer Körper im Verbund........................................ 486 5.7.11 Beispiel V zu den EULER-LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen: Konservative Starrkörperbewegung ...................................................... 487 5.7.12 Beispiel VI zu den EULER-LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen: Ein nicht konservatives System ............................................................. 488 5.7.13 Die LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen 1. Art ............................ 490 5.7.14 Beispiel I zu den LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen 1. Art ....... 492 5.7.15 Beispiel II zu den LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen 1. Art...... 496 5.7.16 Klassifizierung kinematischer Bedingungen ......................................... 497 5.7.17 Beispiele zu holonom-rheonomen Nebenbedingungen ......................... 500 5.7.18 Die HAMILTONschen Bewegungsgleichungen....................................... 501 5.7.19 Beispiel I zu den HAMILTONschen Gleichungen: Wurf im Schwerefeld der Erde ................................................................................................. 506 5.7.20 Beispiel II zu den HAMILTONschen Gleichungen: Der 1-D-Massenschwinger .................................................................... 507 Stichwort- und Namensregister................................................................... 509 Hinweise zur beigefügten CD-ROM ........................................................... 522 1 Statik 1.1 Grundbegriffe 1.1.1 Zum Kraftbegriff Die Kraft ist eine sogenannte primitive, d. h. keiner weiteren Erklärung bedürfende Größe. Sie ist das Resultat geistiger Abstraktion, basierend auf unserer täglichen Erfahrung, wobei wir Kräfte nicht direkt beobachten können, sondern lediglich aus ihrer Wirkung auf ihre Existenz schließen. Man denke hierbei etwa an die Verformung einer Feder, an die Dehnung eines Stabes oder auch an die Muskelspannung, die wir fühlen, wenn wir Kräfte ausüben. Eine Kraft ist durch drei Eigenschaften bestimmt, durch ihren Betrag, ihre Richtung und ihren Angriffspunkt. Der Betrag ist ein Maß für die Größe der wirkenden Kraft. Ein qualitatives Gefühl hierfür vermittelt die unterschiedliche Muskelspannung, die wir empfinden, wenn wir zum Beispiel verschiedene Körper heben. Wir bezeichnen den Betrag der Kraft mit dem Symbol F (von englisch force). Gemessen werden kann der Betrag F einer Kraft, indem man ihn mit der Schwerkraft, etwa mit geeichten Gewichten, vergleicht. Als Maßeinheit für den Betrag der Kraft verwendet man das Newton mit dem Kurzzeichen N. In der Technik benutzt man gern auch Vielfache der Einheit, wie beispielsweise das Kilonewton kN, was 1000 N entspricht. A F A F A F A F Dass eine Kraft eine Richtung hat, ist auch intuitiv klar. Schließlich wirkt z. B. das Gewicht eines Körpers immer lotrecht nach unten, und es macht sicher einen Unterschied, mit welchem Winkel man bei betragsmäßig gleich bleibender Kraft auf einen Körper drückt oder an ihm zieht (siehe Abbildung 1.1.1). Außerdem ist der Angriffspunkt der Kraft von Bedeutung, wie exemplarisch in Abbildung 1.1.1 zu sehen ist: Abhängig davon, wo sich der Angriffspunkt A der Kraft an der Kiste befindet, wird, trotz betragsmäßig gleich bleibender Kraft, eine unterschiedliche Wirkung auf die Kiste erzeugt. Wir fassen diese intuitiv klaren Aussagen in folgendem Satz zusammen: Die Kraft ist ein gebundener Vektor. Abb. 1.1.1: Richtung und Angriffspunkt einer Kraft. 2 1.1 Grundbegriffe Das Adjektiv gebunden bedarf einer näheren Erklärung: Einen freien Vektor kann man im Raum zu sich selbst beliebig parallel verschieben. Dieses ist bei einem Kraftvektor nicht erlaubt. Die Kraft ist an ihre Wirkungslinie gebunden und besitzt darüber hinaus einen klar zu spezifizierenden Angriffspunkt. PYTHAGORAS VON SAMOS (580 – 500 v.u.Z.) war vornehmlich Philosoph und Mystiker mit einer starken Neigung zu Mathematik, Astronomie, Musik, Heilkunde, Ringkampf und der Politik. Durch Letzteres ereilt ihn im Jahre 532 vor Christus das Schicksal eines politischen Flüchtlings. Er verlässt Samos, um der dortigen Tyrannei zu entgehen, und zieht nach Süditalien. In Croton gründet er seine berühmte philosophische und religiöse Schule, und er schart Anhänger um sich, die sogenannten Pythagoreer. Der nach ihm benannte Satz war tausend Jahre zuvor bereits den Babyloniern bekannt gewesen und diente diesen praktischen Leuten zur Feldvermessung. PYTHAGORAS jedoch war vielleicht einer der Ersten, die sich auch für einen Beweis „seines“ Satzes interessierten. Über Details seiner eigenen wissenschaftlichen Arbeiten ist nicht allzu viel bekannt, denn die pythagoreische Schule gab sich erstens nach außen hin verschlossen und zweitens ist es bei Teams ja ohnehin nicht immer einfach, den konkreten Beitrag des Einzelnen auszumachen. Überhaupt glaubten die Pythagoreer zunächst einmal an die „Kraft der ganzen Zahl“ und hofften, Naturvorgänge durch harmonische Zahlen- Entsprechend der in der Vektorrechnung üblichen Symbolik wollen wir für den Kraftvektor das Symbol F verwenden. Der Betrag der Kraft ist durch das Symbol F (ohne Unterstrich) gekennzeichnet. In Abbildung 1.1.2 ist ein Kraftvektor F zu sehen, der in einem Punkt A eines Körpers im Raum angreift. Außerdem ist ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem eingezeichnet, das durch Einheitsvektoren e x , e y und e z aufgespannt wird. Die Indizes x , y und z kennzeichnen dabei die drei Raumrichtungen. Man sieht, dass der Kraftvektor gegen die drei Koordinatenachsen unter den Winkeln α , β und γ geneigt ist. Aus rechentechnischen Gründen ist es sehr oft günstig, den Kraftvektor hinsichtlich eines Koordinatensystems darzustellen, also aufzuspannen. Dazu projiziert man den Kraftvektor F auf die drei aufeinander senkrecht stehenden Achsenrichtungen und erhält so die drei Vektoren F x , F y und F z . Hierfür kann man mit den zuvor erwähnten Einheitsvektoren e x , e y und e z schreiben: F = F x + F y + F z = Fx e x + Fy e y + Fz e z = (Fx , Fy , Fz ). z Fz ez ex A γ α β F ey Fy y Fx x Abb. 1.1.2: Kraftvektor, im Raum aufgespannt im kartesischen Dreibein. (1.1.1) 1.1.2 Einteilung der Kräfte, das Schnitt- und das Wechselwirkungsprinzip Dabei befolgen wir eine Grundregel der Vektoraddition, wonach gilt, dass Vektoren (hier F x , F y und F z ) dadurch addiert werden, dass man bei der Addition das Ende des Vektors an den Kopf desjenigen Vektors hängt, zu dem er addiert werden soll. Man nennt die Größen Fx , Fy und Fz auch die kartesischen Komponenten des Vektors F . Es ist üblich, sie in einer Zeile (Fx , Fy , Fz ) (manchmal auch als Spalte geschrieben) zusammenzufassen. Merke, dass es sich dabei lediglich um alternative Schreibweisen ein- und desselben Objekts F handelt. Man beachte, dass die Reihenfolge, in der das Aneinanderketten der Teilvektoren F x , F y und F z erfolgt, beliebig ist und immer zum gleichen Endresultat führt. Dies entspricht dem Kommutativ-(=Vertauschbarkeits-) Gesetz der Vektoraddition. Nach dem Satz des PYTHAGORAS im Raum lässt sich der Betrag F des Vektors F wie folgt durch die kartesischen Komponenten ausdrücken: F = Fx2 + F y2 + Fz2 . (1.1.2) Schließlich kann man die Richtungswinkel α , β und γ mit den Komponenten und dem Betrag des Kraftvektors F in Verbindung bringen: cos(α ) = F Fx F , cos(β ) = y , cos(γ ) = z . F F F (1.1.3) Beide Gleichungen lassen sich mithilfe der Abbildung 1.1.2 beweisen. 1.1.2 Einteilung der Kräfte, das Schnittund das Wechselwirkungsprinzip In der Mechanik ist es üblich, Kräfte nach verschiedenen Gesichtspunkten einzuteilen. Entsprechend haben sich diverse Begriffe eingebürgert, die man kennen sollte, um die einschlägige Literatur zu verstehen, und die im Folgenden erläutert werden (vgl. auch Abbildung 1.1.3). Die Einzellast: Hierunter versteht man das idealisierte Konzept einer punktförmig angreifenden Kraft. Man könnte sie dadurch näherungsweise erzeugen, dass man den Körper mit einer Nadelspitze oder über einen dünnen Draht belastet. 3 verhältnisse darstellen zu können, gleichgültig ob es sich dabei um astronomische oder musikalische Probleme handelte. Leider entdeckten sie bei ihren Forschungen, dass die Diagonale eines Quadrates nicht als rationales Vielfaches darstellbar ist, d. h., sie wurden plötzlich mit dem Phänomen der irrationalen Zahl konfrontiert. Dies gab bei ihnen und anderen griechischen Mathematikern zu größerer Unruhe Anlass, wie es bei Menschen, die mit Neuem konfrontiert werden, auch heute noch durchaus geschieht. Bemerkenswert scheint, dass die Ideen oder besser gesagt die Wunschvorstellungen der Pythagoreer bis zum Beginn der modernen Naturwissenschaften ihre Kraft behielten. So versuchte noch KEPLER in seinem Werk „Harmonices Mundi“ der Natur zunächst menschliche Harmonievorstellungen zu oktroyieren, verschrieb sich aber schließlich dann doch einer mehr rational geprägten Weltsicht, wie seine Auswertung experimenteller Daten Tycho DE BRAHES bezeugt, was ihn schließlich auf die Bewegungsgesetze der Planeten brachte. 4 1.1 Grundbegriffe F Einzellast: Die Linienkraft oder Streckenlast: Hierbei handelt es sich um Kräfte, die entlang einer Linie kontinuierlich verteilt sind. Näherungsweise erzeugen lassen sie sich dadurch, dass man etwa mit einer dünnen Schneide oder einem Draht gegen einen Körper drückt. Die Volumenkraft: Hierunter versteht man Kräfte, die über das Volumen eines Körpers angreifen, wie zum Beispiel das Gewicht oder elektromagnetische Kräfte. Linienkraft: Die Oberflächenkraft: Diese tritt in der Berührungsfläche zweier Körper auf. Beispiele sind der Wasserdruck auf eine Staumauer oder der Druck einer Panzerkette auf den Boden. q0 Eingeprägte Kräfte: Diese greifen in vorgegebener Weise an einem physikalischen System an, wie etwa das Gewicht oder der Druck einer Nadel auf die Oberfläche eines Körpers bzw. eine Schneelast auf einem Dach usw. F Streckenlast: q0 Abb. 1.1.3: Zum Begriff der Einzellast oder Linienkraft. Reaktions- oder Zwangskräfte: Diese entstehen, wenn man einem durch eingeprägte Kräfte beeinflussten System seine Bewegungsfreiheit nimmt. Man denke an einen fallenden Stein, auf den nur sein eigenes Gewicht wirkt. Hält man den Stein in der Hand, so ist seine Bewegungsfreiheit eingeschränkt, indem man durch die Hand eine dem Gewicht entgegengesetzte Reaktionsbzw. Zwangskraft ausübt. Reaktionskräfte lassen sich dadurch sichtbar machen, dass man den Körper von seinen geometrischen Bindungen löst, ihn sozusagen freimacht bzw. freischneidet. Diese in der Mechanik überaus wichtige Technik des Freischnitts soll im Folgenden an einem Beispiel erläutert werden. F F FAx A B FAy FB Abb. 1.1.4: Zum Begriff des Freischnitts. Betrachte den in Abbildung 1.1.4 dargestellten Balken, der durch eine eingeprägte Kraft F belastet ist und auf zwei Stützen, den sogenannten Auflagern, ruht. Diese sind offensichtlich Bindungen, die den Balken an der Bewegung hindern, und wir befreien uns von ihnen, indem wir an ihrer Stelle zwei Reaktions- bzw. Freischnittskräfte, genannt F A = (FAx , FAy ) und F B = (0, FB ) , anbringen. Dieses führt auf das Freikörperbild 1.1.2 Einteilung der Kräfte, das Schnitt- und das Wechselwirkungsprinzip 5 oder auch kurz den Freischnitt, der rechts in Abbildung 1.1.4 zu sehen ist. F F 1 Schnitt FA FB 2 FB FA Abb. 1.1.5: Zum Begriff der inneren Kraft und des Schnittprinzips. Äußere und innere Kräfte: Wie der Name sagt, wirkt eine äußere Kraft von außen auf ein mechanisches System. Sowohl eingeprägte als auch Reaktionskräfte sind Beispiele äußerer Kräfte. Innere Kräfte erhält man durch gedankliches Zerteilen bzw. Schneiden des Körpers. Dieses ist in Abbildung 1.1.5 erläutert: Führt man durch den belasteten Körper einen Schnitt, so ist es, um das Gleichgewicht zu wahren, nötig, an Stelle der inneren Bindung durch das Material geeignete, flächenförmig verteilte, eben innere Schnittkräfte aufzuprägen. Man beachte, dass die Einteilung in innere und äußere Kräfte davon abhängt, welches System untersucht wird. Fassen wir etwa den Gesamtkörper in Abbildung 1.1.5 als ein System auf, so sind die durch den Schnitt freigelegten Kräfte innere Kräfte. Betrachten wir dagegen die gezeichneten Teilkörper 1 oder 2 jeweils als ein System, so sind alle dargestellten Kräfte äußere Kräfte. Schnitt F F F F Abb. 1.1.6: Zum Wechselwirkungsgesetz, actio = reactio-Prinzip. Im Zusammenhang mit dem Freischnitt von Kräften bzw. mit dem Schnittprinzip ist das sogenannte Wechselwirkungsgesetz, auch actio = reactio-Prinzip, von entscheidender Bedeutung. Es besagt, dass zu jeder Kraft immer eine gleich große, aber Stichwort- und Namensregister 1-Kraft Konzept 459 3-Punkt-Biegeprobe 71, 293 Auftrieb 376 AUGUSTINUS 447 Auslenkung 194 A Abklingkoeffizient 296 Abkühlung 120 Abrollbedingung 486, 496 Abscheren 111, 125 Abstimmung 302 actio = reactio 5, 236, 332 Aktion 477 Amplitude 283 Analogie Translation-Rotation 268 Anfangsbedingung 202, 285, 297, 364 Anfangsstörung 366 Angelpunkt 27 Anisotropie 340 Anregungsfrequenz 301 aperiodischer Grenzfall 298 APOLLONIUS 23 Arbeit − komplementäre Beschleunigungs- 453 − virtuelle 431ff − virtuelle Ergänzungs- 452 − virtuelle Komplementär- 452 Arbeitsinkrement 384 Arbeitssatz 241 − der Mechanik 228 − für Massenpunktsysteme 241 − der Rotation 264 − für starre Körper, 2D 278 ARCHIMEDES 22, 376ff − Hebelgesetz 22, 436 ARISTOTELES 215 ATWOOD, George 276 ATWOODsche Fallmaschine 274, 486, 496 Auflager, fiktiv 152 B Balken 68 − gerade 68ff − stetig gekrümmt 87 Ballistik 217, 438 Beanspruchung 110 − zusammengesetzt 173ff BEECKMAN, Isaac 19 Belastung 73 siehe Beanspruchung Beobachter 209, 222 − gefesselt 254 BERNOULLI, Daniel 360, 363ff BERNOULLI, Jacob 364 BERNOULLI, Johann 12, 364 BERNOULLI, Separationsverfahren 363 BERNOULLIsche Gleichung 375 Berührungsebene 243 Beschleunigung 200 − 1D 200 − 3D 208 − Bahn- 213 − in Polarkoordinaten 211 − Momentan- 200 − Normal- 213 − Tangential- 213 − Zentripetal- 213 BETTI, Enrico 411 BETTI, Satz von 409 Beulen 192 Bewegung 199, 319 − 1D 199 − 3D 208 − behinderte 203 − Feder 204 510 − geführte 217 − gleichförmig, 201 − im kontinuumsmechanischen Sinn 319 − Kreis- 213 − LAGRANGEsche Beschreibung 338 − mit COULOMBscher Gleitreibung 221 − mit STOKESscher Reibung 223 − potentielle 90 − Relativ- 104 − Rotations-34 − Translations- 34 Bewegungsgleichung 280 − der Rotation 263 − Euler-Langrangesche 479 − HAMILTONsche 501 − LANGRANGEsche 1. Art 496 Bezugssystem 215 Biegeachse 157 Biegedrillknicken 192 Biegelinie 143 − Differentialgleichung 143ff Biegemoment 67 Biegespannungsformel 164 Biegung − gerade Biegung 161 − reine Biegung 126 − schiefe Biegung 156, 161 − Querkraftsbiegung 134 Bilanz − der inneren Energie 384 − Drehimpuls-, global 344 − Drehimpuls-, lokal 342 − Energie- 229, 379ff − Entropie- 387ff − Impuls- 229, 332ff − Massen-, global 317 − Massen-, lokal 324 − Massen-, Strömung 371 − Produktionsterm 380 − Zufuhrterm 380 Bilanzgleichung siehe Bilanz Bindung, geometrisch 233 Bogenlänge 212 BRAHE, Tycho DE 3, 221 BREDT, Rudolf 166 BREDTsche Formel, 1. 167 BREDTsche Formel, 2. 171 Stichwort- und Namensregister Bruchspannung 118 C CARTESIUS siehe DESCARTES CASTIGLIANO, 1. erweiterter Satz 401 CASTIGLIANO, 2. Satz 417 CASTIGLIANO, 2. erweiterter Satz 401 CASTIGLIANO 398 − für diskrete Belastungen 416 − für statisch bestimmte Systeme 418 CASTIGLIANO, Carlo A. 398 CAUCHY, Augustin Louis 329 CAUCHYsches Tetraederargument 331 CAUCHYsche Gleichung 330, 356 Charakteristikenverfahren siehe D’ALEMBERT charakteristische Gleichung 297, 312 CLEBSCH 122 CORIOLIS 119 COULOMB, Charles A. DE 91 COULOMBreibung 294 COULOMBsches Reibungsgesetz 91, 96 CRAMER, Gabriel 314 CRAMERsche Regel 315 CREMONA, Antonio L.G.G. 65 CREMONAplan 65 CULMANN, Karl 37 CULMANNkraft 38 CULMANNsche Gerade 37 D D’ALEMBERT, Charakteristikenverfahren 360 D’ALEMBERT, Jean Le Rond 219, 360 D’ALEMBERTsches − Prinzip 497 − Prinzip in LANGRANGEsche Fassung 463ff Dämpfer, linear 295 Dämpferkonstante 296 Dämpfung − schwach 299 − stark 297 Dämpfungsgrad 297 Dashpot 295 Deformation − elastisch 244, 226 − irreversibel 244 − plastisch 226f, 244 511 Stichwort- und Namensregister Deformationstheorie, linear 338 Dehnung 117, 118 Dehnungsmaß, linear 346 Dehnungspotential 402 Dehnungsspannungsfunktion 401 Dekompression 225 Dekrement, logarithmisch 300 DESCARTES, René 19 Determinante 30, 198, 342 Determinantenbedingung 30 Deviationsmoment 158ff, 469 Diagonalisierungsmethode 312 Dichte 45, 328 Differential, total 231 Differentialgleichung − DGL 2. Ordnung 192 − DGL 2. Ordnung, Ansatz 296 − DGL 2. Ordnung, linear, homogen 285 − DGL 4. Ordnung 197 − partielle DGL 169 Dissipation 245 Doppel-T-Profil 138 Drall 232, 470 Drallsatz 238, 260, 300, 473 − starrer Körper 259 Drehachse 250ff − momentan 251 Drehfederkonstante 171 Drehimpuls 232, 470 − spezifisch 343 Drehimpulsbilanz der Kontinuumsmechanik 343 siehe Bilanz Drehimpulssatz − Massenpunktsystem 237 − starrer Körper 259 Drehmoment 104, 429 Drehpunkt 23ff, 253 Drehwinkel, spezifisch 171 Dreibein 2, 33ff Dreieckslast 44 Druck, hydrostatisch 374 Druckformel, hydrostatische 377 DUHAMEL, Jean M. C. 119 DUHAMEL-NEUMANN-Beziehung 120 Durchbiegung 143ff siehe Biegung Dynamik 199ff − Massenpunkt 214 − Massenpunktsystem 234 − Punktmasse 189ff − starrer Körper 248ff E Ebene, schief 94, 221 Eigenfrequenz 287, 293, 312, 314, 365 Eigenwertgleichung 197 Einflusszahl 410 Einschwingdauer 306 Einspannung 146 − fest 75, 146 EINSTEIN, Albert 178, 447 EINSTEINsche Summenkonvention 322 Einzellastverfahren 79 Elastizität 227 Elastizitätsmodul 117 - für Gummi 396 Elastodynamik 345ff Elastostatik 408 Energie − chemische 245 − Formänderungs- 398ff siehe Formänderungsenergie − freie 401 − innere 227, 380 − innere, Bilanz 384ff − kinetische 227ff, 420 − potentielle 229, 480 − Verformungs- 412 siehe Formänderungsenergie Energiebilanz 379ff Energiedichte, freie 400 Energieerhaltungssatz 381 Energiefunktional 421ff, 478 Energieinduzierte Elastizität 396 Energieprinzip 463ff Energiesatz 241ff − der Mechanik 227ff − Massenpunktsystem 241 − Rotation 264 − Schwinger 287 − starrer Körper278 Energiewert, mittlerer 289 Enthalpie 387 − freie 402 Entropie 387ff 512 − spezifische 387 Entropieinduzierte Elastizität 391 Entropieproduktion 388, 419 Entwicklungssatz 467 Erdschwere 45 Ergänzungsenergiedichte 401 Erhaltungsgröße 344, 380, 504 Erhaltungssatz 380 − nach HAMILTON 504 Erregerfrequenz 301, 316 Erregung − kraftgesteuert 304 − unwuchtgesteuert 305 − weggesteuert 304 Erregungspart 306 Ersatzauflagerkräfte 152 Ersatzbalken 150 Ersatzmomentenfläche 152 Ersatzsystem 150 Erwärmung 120 EUKLIDische Geometrie 178 EULER, Leonard 12, 117, 365 EULER-EYTELWEINSCHE Gleichung 104 EULERhyperbel 194 EULERsche Darstellung 318, 323, 326, 328, 338, 349 EULERsche Gleichung 297, 313 EULERsche Knickgleichung 192ff EULERsche Knicktypen 195 EULERscher Knickstab 193 EULERsche Variationsgleichung 422ff Expansion 318 Extremalprinzip 420 Extremalrechnung 187 Extremumsbedingung 79 Exzentrizität 175, 191 EYTELWEIN, Johann A. 103 F Fachwerk 59ff Fadenpendel 286 FARADAY 409 Faser, strichliert 83ff Feder 204 − Parallelschaltung 291 − Reihenschaltung 292 − Serienschaltung 291 Stichwort- und Namensregister Federgesetz 191 Federkonstante 290 − Torsion 293 Federschwinger 286 Federsteifigkeit 291 siehe Feder Feld 324, 328, 348 − Geschwindigkeits- 324 − Massen- 324 − vektorwertig 329 Feldgröße 334 FERMAT 124 Fesselung 56 Festigkeit 109ff Festigkeitshypothese 189 Festigkeitsnachweis 173, 190 Festkörper, linear elastisch 334 First Law 215siehe Lex Prima Flächenmoment 1. Ordnung 49, 137 Flächenschwerpunkt − Dreieck 51 − Kreis 53 − Parabel 52 Flächenträgheitsmoment 128ff − axial 157 − polar 159 − polar, starrer Körper 262 FLAMSTEED 10 Flansch 139, 140 Fließgrenze 118 Fluid − inkompressibel 328 − Navier-Stokes- 337 − NEWTONsches 337 − reibungsfrei 336 Flüssigkeit 296, 374 FÖPPL, August 149, 171 Formänderungsenergie 398ff, 416 − duale Darstellung 444 − komplementär 453 − Kräfte 406 − linear-elastischer Körper 405ff − Momente 407 FOURIER, Jean Baptiste Joseph Baron de 120, 339, 360, 384, 464 FOURIERkoeffizienten 368 FOURIERreihe 366 FOURIERscher Integralsatz 369 513 Stichwort- und Namensregister FOURIERsches Gesetz 386 FOURIERtransformierte, 369 Freier Fall 202 Freiheitsgrad 56ff, 248f, 478 − Rotation 57, 249f − Schwinger 284 − starrer Körper 248ff − Translation 56, 248 Freikörperbild 4 Freischnitt 4ff siehe Schnitt Freie Energie (-dichte) 401 Freie Enthalpie (-dichte) 402 Frequenz 282 Frequenzgang 302, 307f, 316 Frequenzverhältnis 302 FRESNEL 120 Fuge 90, 116, 137 Funktional 421ff, 428 G GALERKIN, Boris G. 448 GALERKIN, Näherungsmethode 450 GALILEI, Galileo 20, 214, 438 GALILEIsches Inertialsystem 215 Gas, ideales 336 Gaskonstante 336 GAUß, Johann Carl-Friedrich 124, 326 GAUßscher Satz 324 GERBER, Heinrich 439 GERBERträger 439 Geschwindigkeit − 1D 199 − 3D 208 − generalisiert 480 − in Polarkoordinaten 211 − mittlere 199 − momentan 200 − Winkel- 239 Geschwindigkeitsfeld 324 Geschwindigkeitsgradient 337 Gestaltänderungsarbeit nach von MISESHUBER-HENCKY 189 GIBBS, Josiah Willard 390 GIBBSsche Gleichung 389ff Gitterabstände 391 Gleichgewicht 12ff, 421 − indifferent 190, 421 − instabil 90 − labil 190, 421 − stabil 190, 421 − statisch 90 Gleichgewichtsbedingungen 12ff, 34ff − 2D 26ff Gleichgewichtslage 190 Gleitreibungsbeiwert 91 Gleitwiderstand 91 Gleitwinkel 125 GORDON, J. E. 117 Gradient − Temperatur- 386 − Geschwindigkeits- 337 − Verformungs- 339 − Verschiebungs- 339ff Gravitation 6 Grenzfall, aperiodisch 298, 309 Gummielastizität 391 H Haftreibungskoeffizient 91, 273, 275 HAMILTON, Sir William R. 476 HAMILTONsche Bewegungsgleichung 501ff HAMILTONscher Formalismus 503 HAMILTONsches Prinzip 477, 490 Hauptachsenträgheitsmoment 159 Hauptachsenzentralsystem 469 Hauptträgheitsachse 127, 156ff Hauptträgheitsmoment 469 Hebelarm 23 Hebelgesetz 22, 436 HELMHOLTZ 120, 183 HENCKY, Heinrich 186 HERTZ, Heinrich 183, 282 HERTZsche Pressung 182 HERTZscher Spannungszustand 182 Hilfslinie, strichliert 70ff HIRST, Thomas A. 132 Hohlprofil 166 Hohlwand 166ff HOOKE, Robert 128 HOOKEsche Feder 285 HOOKEscher Bereich 118, 127 HOOKEsches Gesetz 118, 340f, 348, 440 HUBER, Maxymilian T. 186 Hüllfläche 322 514 Hydromechanik 371ff I Impuls 214 − generalisiert 502 Impulserhaltung 224 Impulserhaltungssatz 237 Impulsleistung, virtuell 465 Impulsmoment 232 Impulssatz 224, 236 − Massenpunktsystem 226, 236 − starrer Körper 278 Indexkalkül 468 Inertialsystem 215 Inkompressibles Material 328 Innenkreis, Konzept 167f Integral, elliptisch 241, 494 Integrationskonstanten 75ff Invarianzeigenschaft 158 Isothermie 389 Isotropie 110 J Jojo 275 K Keil 107 Keilriemen 106 Keilwinkel 107 KEPLER 3 Kernbereich 175 Kernfläche 176 Kettenregel 144, 204 Kinematik 199ff, 248ff − Massenpunkt 199 − Massenpunktsystem 232 − starrer Körper 248 kinematische Bestimmtheit 61 Kinetik 214ff, 259ff − Massenpunkt 214 − Massenpunktsystem 234 − Starrkörper- 259 Kippen 192 KIRCHHOFF 122, 183 Kleber 142 Knickbedingung 193 Knicken 192 Stichwort- und Namensregister Knicklänge 195 Knickpunkt 85 Knicktypen 195 Knotenpunkt 16 Knotenpunktverfahren 61 Koeffizientenvergleich 10 Kommutativgesetz 3 Kompatibilität 443 Komplementärarbeit 453 komplexwertig 369 Kompression 226, 318 Kompressionsperiode 225 Kontaktwinkel 102 Kontinuitätsgleichung 325, 374 Kontinuum 353, 381 Kontinuumsmechanik 317ff Kontrollfläche 373 Kontrollvolumen 372ff Konvention − Biegelinie 144 − Energie 382 − Geschwindigkeit 200 − Koordinatensystem 42 − Masse 245 − Moment 24 − Momentenfläche 71, 84 − Summen- siehe EINSTEIN − Schnittufer 67 − Spannung 112 − Torsionsmoment 172 Koordinaten − generalisiert 475, 478ff − Eigen- 212 − mitgeführt 212 − natürlich 220 − Polar- 159, 210 − Kartesische 14, 199ff − unabhängig 478 − Zylinder- 212 Koordinatensystem 2, 14, 181, 210 Koppeltabelle 461 Körper − homogen 46 − inhomogen 46 Kosinussatz 8 Kraft 1 − 3D 18 515 Stichwort- und Namensregister − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − Amplitude 78 Angriffspunkt 2, 8, 13, 23 Auftriebs- 376 äußere 5, 234 Bedingung 28 Betrag 1 Bindungs- 310 dissipativ 231 eingeprägt 4 Einzel- 4 Flieh- 215 Formänderungsenergie 399 Freischnitt 5 Führungs- 217 generalisiert 480, 492 Gewichts- 46 Gleichgewicht 13ff Gleitwiderstands- 91 Haftreibungs-90 Halte- 15, 90 innere 5, 234 Kinetik 214, 234, 259 Komponenten 10 konservativ 230 kontinuierliche Verteilung 43 langreichweitig 56ff, 330 Linien- 4, 44 Mittelpunkt 42 nicht konservativ 230 Normal- 14, 67 Oberflächen- 4, 308, 330 Oberflächen-, Leistung 380 parallel 21 Pfeil 12 Pol 40 Quer- 67 Reaktions- 4, 16 Richtung 2 Schein- 219 Scher- 111 Schnitt- 6 Schub- 247 Schwerpunkt 41ff Seil- 20 Stab- 17 System 18ff totale 178 − Vektor 2 − verallgemeinert 411 − virtuell 452ff − Volumen- 330 − Volumen-, Leistung 380 − Wechselwirkungs- 243 − Widerstands- 90 − Wirkungslinie 2, 22 − zentrale Gruppe 15ff − zentrale Gruppe 2D/3D 18ff − zentrales System 12ff − Zentrifugal- 219 − Zwangs- 4, 217 Kraft-Dehnungs-Ansatz 310 Kraftdichte 183 − Vektor 179 Kräfteeck 13 Kräftegruppe 34ff Kräftepaar 24ff Kräfteplan 7, 38 Kräftepolygon 15 Kräftesatz, starrer Körper 270 Kraftstoß 224ff Kragträger 72 Kreisbahn 251 Kreisfrequenz 283 Kreuzprodukt 30ff Kriechbewegung 298 KRONECKER, Leopold 337 KRONECKERsymbol 336 Krümmung 71, 143 L Lageplan 7, 38 Lager 56ff − dreiwertig 57, 59 − einwertig 56 − Gleit- 56 − Rollen- 56 − zweiwertig 56f Lagerbedingung 143 LAGRANGE, Joseph L. 464 LAGRANGEfunktion 477ff LAGRANGEsche Beschreibung 319 LAGRANGEsche Darstellung 319, 327, 339 LAGRANGEsche Gleichung 1. Art 490 LAGRANGescher Multiplikator 491 516 LAGRANGIA, Guiseppe L. siehe LAGRANGE LAMÉ, Gabriel 124 LAMÉsche Konstante 126 LAMÉ-NAVIERsche Gleichungen 347 LAPLACE, Pierre Simon de 359 LAPLACEoperator 359 LAPLACEsche partielle DGL 169 Last, verteilt 73f siehe Beanspruchung LEGENDRE, Adrien Marie, 400 LEGENDRE-Transformation 400, 502 LEHR, Ernst 297 LEHRsches Dämpfungsmaß 297 LEIBNIZ, Gottfried Wilhelm von 9, 320 LEIBNIZsche Regel 320 Leistung 230, 383 − Oberflächenkraft 383 − Volumenkraft 383 Leistungsinkrement 384 Lex Prima 215 Lex Secunda 214 Lex Tertia 215 Linearer Verzerrungstensor 339 Linienintegral 167 Linienkraft 4, 43ff Lokale Zeitableitung 327 LONG, S.H. 37 LUDOLFsche Zahl 22 Luftdruck 374 M Masse, zeitveränderlich 245 Massenbilanz 317ff − lokal, für reguläre Punkte 324 Massendichte 317ff Massenfeld 324 Massenfluss 317, 373 Massenmittelpunkt 47 Massenpunkt 214 Massenschwerpunkt 45 Massenstrom 324 Massenträgheitsmoment 240, 468 − axial 469 − starrer Körper 260 Material − homogen 110 − inkompressibel 328 − isotrop 110 Stichwort- und Namensregister Materialgleichung 333 Materialklasse 334 Materialtheorie 334 Materie 317 Materielle Darstellung 319, 339 Materielle Zeitableitung 327 Matrix 310, 417 − Einheits- 486 Matrixschema Spannungstensor 177 MAXWELL, James C. 409 MAXWELL, Satz von 409ff MISES, Richard VON 185 Modell 214 − Festkörper 310 − Massenpunkt 233 − starrer Körper 248f MOHR, Otto 149 MOHRsche Analogie 149 MOHRsche Gleichung 188 MOHRscher Kreis 160, 183ff, 469 Molekulargewicht 336 Moment 20 − Bedingung 27 − Deviations- 158ff, 469 − Formänderungsenergie 407 − Gleichgewicht 22 − reines 25 − statisches, 1. Ordnung 49, 446 − Torsions- 163 Momentanpol 258 Momentanzentrum 258 Momentendichte 343 Momentenfläche 69, 74ff Momentensatz 232 − starrer Körper 260 Momentenstoß 278 MOSOTTI 411 N Nachdifferentiation 311 NAPOLEON 120, 121 NAVIER, Claude Louis Marie Henri 339 Nebenbedingung 496ff − holonom 499 − kinematisch 233, 267 − rheonom 498 − skleronom 499 517 Stichwort- und Namensregister Neigungswinkel, kritisch 90 NEUMANN, Franz E. 120 neutrale Faser 128 NEWTON, Sir Isaac 8, 214, 223 NEWTONs Grundgesetz 214 siehe Lex Secunda NEWTONsche Mechanik 219 Normalkraftfläche 69 Nullniveau 484 Nullstab 62 Nullvektor 40 O Oberfläche 322 Offset 185 P Parallelepiped 467 Parallelogrammkonstruktion 6 Parameterdarstellung 216 Parameterintegral 320 PdvK 452ff − statisch bestimmt 457 − statisch unbestimmt 458 PdvV 426ff − Elastostatik 441 − Näherungsmethoden 447 − Prinzip von TORRICELLI 438 − Statik elastischer Systeme 440 − Statik starrer Systeme 434 Pendel, physikalisches 287 Pendelstab 56 − verkettet 16 Pendelstütze 35 Periode 309 Periodendauer 282 Periodizitätseigenschaft 159 PFAFF, Johann Friedrich 498 PFAFFsche Formen 498 Pfeilspitze 16 Phasenfrequenzgang 307 Phasengeschwindigkeit 357 Phasenverschiebung 307 Plastizitätsgrenze 118 PLUTARCH 24 POISSON, Simon D. 120, 123, 132 POISSONsche Zahl 121 Pol 40 Polarkoordinaten 159 Polynomansatz 449 Position − 1D 199 − 3D 208 Potential 230, 242, 279, 477 Potentialansatz nach LENNARD-JONES 310 Potentialfunktion 231 PRANDTL, Ludwig 171 PRANDTL-REUSS-Gleichung 172 Prinzip der kleinsten Wirkung 477 Prinzip der virtuellen Kräfte siehe PdvK Prinzip der virtuellen Verschiebung siehe PdvV TORRICELLI, Evangelista 438 Prinzip von TORRICELLI 438 Prinzip der virtuellen Verrückungen siehe PdvV Prinzip − Extremal- 418ff − HAMILTON- 476 − PETER- 65 Produktansatz 363 Produktionsterm 380 Profil − Doppel-T- 168 − geschlossen 167 − L- 168 − offen 166f − T- 168 PRONY, Gaspard C. F. M. R. Baron DE 97 PRONYscher Zaum 96 Proportionalitätsgrenze 118 Punktmasse 214 PYTHAGORAS VON SAMOS 2 PYTHAGORAS, Satz des 3 Q Q-S-I-nen Formel 137 Querdehnung 121 Querdehnungszahl 121 Querkontraktion 121 Querkontraktionszahl 109, 121, 340 Querkraftbiegung 111, 134 Querkraftfläche 69ff 518 R Randbedingung 75, 146, 193, 347, 364, 448 − geometrisch 443 − physikalisch 442 Rastpolbahn 259 Rauhigkeit 91 Rechte-Hand-Regel 33 Reflektion, elastisch 226 Reibung 90ff − am Keil 17 − geschwindigkeitsproportional 295 − Gleit- 91 − Haft- 91 − Umschlingungs- 102 Reibungsbremse 104ff Reibungsfuge 90 Reibungskegel 93 Reibungswiderstand 91, 101, 296 Reibungswinkel 93 Resonanz 303, 316 Restitutionsperiode 225 Resultierende 6ff Reversibilität 389 REYNOLDS, Osborne 324 REYNOLDSsches Transporttheorem 320ff, 379, 384 REYNOLDSzahl 324 Reziprozitätssatz − von BETTI 411 − von MAXWELL 412 Richtung 1ff RITTER, August 64 RITTERscher Schnitt 63ff RITZ, Näherungsmethode 447 RITZ, Walter 447 Rollbedingung 272 Rollen, rein 271ff, 474 Rotation 250ff, 466ff siehe Drehachse − um feste Achse 250 Ruhelage 282 S SAINT-VENANT, Adhémar J. C. B. DE 159 Satz von STEINER 131ff, 262 Schallgeschwindigkeit 353 Scherband 188 Schermodul 126 Stichwort- und Namensregister Scherviskosität 337 Scherwinkel 170 schiefe Ebene 94, 221 Schlankheitsgrad 194 Schlupf 258, 273f Schlusslinie 151 Schmiegekreis 88, 144, 212 Schnelle 365, 370 Schnitt siehe Freischnitt − Größen 67, 79ff − Prinzip 5, 68ff − Ufer 67 Schraube 98 Schub 136, 247 Schublast 125 Schubmittelpunkt 142ff Schubmodul 170, 341 Schubsteife Träger 459 Schubzustand, rein 188 Schwache Form der Impulsbilanz 434 Schwerachse 49 Schwerkraft 1, 223, 263, 375 Schwerpunkt 41ff, 128, 199, 438 − Linien- 54 − Massen- 45 − Volumen- 45ff − Flächen- 48ff Schwerpunktsatz 236, 270 − Massenpunktsystem 236f − starrer Körper 270 Schwinger siehe Schwingung − unendlich viele Freiheitsgrade 352ff Schwingung 282ff, 495, 501 − 1 Freiheitsgrad 294 − 2 Freiheitsgrade 308ff − n Freiheitsgrade 310ff − angefacht 284, 310ff − COULOMBreibung 294 − erzwungen 284 siehe Erregung − frei 284 − gedämpft 284 − Grund- 365 − harmonisch 240 − linear 283 − longitudinal 353 − Membran 357ff − mit Dämpfung 300 Stichwort- und Namensregister − nicht linear 284 − Ober- 365 Schwingungsdauer 282f Schwingungsgleichung 293, 353ff − Saite 353ff − Stab 352ff Schwingungsisolierung 316 Schwingungstilgung 316 Second Law siehe Lex Secunda Seilbremse 104 Seileckskonstruktion 38ff Selbstsperrung 97, 105 Semiinverse Methode 350 Separationsverfahren 363 Sicherheit 106 Sicherheitsbeiwert 119 Sinussatz 9 SOMMERFELD, Arnold 64 Spannung 111 − Axial- 181, 392 − Biege- 113, 126, 136, 162ff, 174 − Bruch- 118 − Druck- 112ff, 127, 175, 336, 406 − Fließ- 119, 194 − Kerb- 114 − kritische 194 − kritische Grenz- 194 − Normal- 112ff, 134, 173ff − Radial- 181 − resultierende 173ff − Scher- 177ff − Schub- 112f, 125, 163ff, 176ff − Thermo- 120 − Umfangs- 170, 181 − Vergleichs- 174, 189ff − Wärme- 124f − Zug- 112ff, 188 − zulässige 118f Spannungs-Dehnungs-Kurve 118, 399 Spannungsfluss 114, 167ff Spannungsdehnungsfunktion 399 Spannungsnachweis 183, 190 Spannungsnulllinie 162 Spannungstensor 160, 330 − 2D 178 − 3D 182f − Symmetrie 181 519 − variiert 452ff Spannungszustand 187ff, 345, 406 eben 177ff Spatprodukt 467 Spur 341 Stabilitätsproblem 190ff, 388, 429 Starrkörperdynamik 248ff Statik 1ff, 214, 219, 347 408ff statisch bestimmt 13, 27, 121ff, 413ff siehe System statisch unbestimmt 13, 27, 122ff, 148, 413ff, 458 siehe System statisches Moment − Dreieck 51 − Kreis 53 − Parabel 53 Steg 138f Steifigkeit 109, 117 Steifigkeitstensor 340 Steigungswinkel 216 STEINER, Jacob 132 STEINER-Anteil siehe Satz von STEINER STEVIN, Simon 17 STOKES, George G. 223 STOKESsche Gleichung 223 Stored energy density 399 Störung 362 Stoß 224f − gerade, zentrisch 243 − plastisch 244 Stoßdämpfer 296 Stoßzahl 226, 227 Strahlung 382 Strahlungsdichte, spezifisch 382 Strain energy density 399 Streckenlast 4, 44 Strömung 337, 387 − laminar 324 − stationär 373, 386 − turbulend 324 Strömungsanalogie nach PRANDTL 169 Substitutionsverfahren 311 Summationsindex 325 siehe EINSTEIN Summenkonvention 180, 322, 343 siehe EINSTEIN Superpositionsprinzip 156, 409 Symmetrie 50, 130 520 Symmetrieachse 50, 160, 469 Symmetrieebene 469 System − abgeschlossen 317 − Bezugs- 215 − elastisch 109 − linear elastisch 121f − nicht konservativ 488ff − statisch bestimmt 13, 27, 121ff, 413ff − statisch unbestimmt 13, 27, 122ff, 148, 413ff, 458 Systemfreiheitsgrad siehe Freiheitsgrad Systemgrenze 317f, 371 T Tabellenkalkulation 143 Tabellenmethode 55, 461 Tabellenrechnung 133f Tabellenverfahren 133f TAYLOR, Brook 241 TAYLORreihe 88, 242 Temperatur 310, 336 − absolut 336 Temperaturänderung 120 Temperaturgradient 386 Tensor − antimetrisch 343 − Flächenträgheits- 160 − Massenträgheits- 468 − Spannungs- 173, 177ff − Spannungs-, 2D 178ff, 183f − Spannungs-, 3D 181ff − Spannungs-, Symmetrie 183f, 330 − Spannungs-, variierter 453 − Trägheits- 468f − Verzerrungs- 339 Tetraederargument 330ff Theorie 1. Ordnung 109, 190 Theorie 2. Ordnung 109 Thermischer Ausdehnungskoeffizient 120 Thermodynamik − 1. Hauptsatz 229, 384 − 2. Hauptsatz 387ff Third Law siehe Lex Tertia TIMOSHENKO, S. P. 149, 186 TORBERG 221 TORRICELLI, Evangelista 438 Stichwort- und Namensregister Torsion 163ff Torsionsmoment 142f Torsionsstab 170 Torsionssteifigkeit 143 Totales Differential 231 Träger, − Biege- 136 − biegesteif 66ff − geklebt 140 − gekrümmt 87ff − genietet 140 − geschweißt 140 Trägheitsellipse 161 Trägheitsmoment 128f − Kreis 131 − polares 164 − polares, dünner Ring 165 − polares, Kreis 164 − polares, Vollprofil 164 − Rechteck 130 − zusammengesetzt 132 Trägheitsradius 161, 194, 261ff Trägheitstensor 468f, 490 Tragwerk 58ff − statische Bestimmtheit 58 Traktion 179 Translation 233, 466 Transporttheorem siehe REYNOLDS transzendente Gleichung 198 TRESCA, Henri 174 U Übergangsbedingung 76f, 147 Umschlingungsreibung 102 V Variablentransformation 467 Variationsableitung 431 Variationsrechnung 421ff, 455 VARIGNON, Pierre 39 Vektor − frei 2 − gebunden 1 − Abstands- 466 − Axial- 33 − Basis- 31, 210f − Beschleunigungs- 211, 252 521 Stichwort- und Namensregister − Binormalen- 212 − Dreh- 252 − Drehimpuls- 232 − Einheits- 32, 251, 261 − Erdbeschleunigungs- 330 − Geschwindigkeits- 208, 211 − Komponentendarstellung 9ff − Kraft- 2, 6 − Kraftdichte- 179, 183, 330ff − Kraftindex 177 − Momenten- 30, 232 − Null- 32 − Orts- 29, 32 − Tangentialbeschleunigungs- 253 − verallgemeinerter Verschiebungs- 410 − Verschiebungs- 338, 346, 384, 438 − Wärmefluss- 382 − Winkelgeschwindigkeits- 252 − Zentripetalbeschleunigungs- 213, 253 Vektoraddition 3, 6f Vektorsumme 7 Verdrehung 111, 170 − axial 163ff Verdrehwinkel 163, 170 Verdrillung 166 Verdrillwinkel 171, 444 Verformung − plastisch 118 − Superpositionsprinzip 156 Verformungsbedingung 123f Verformungsenergie 443 Verformungsgradient 339f Vergleichsspannung 189f Vergrößerungsfunktion 302 Verrückung, virtuell 426ff Verschiebung 104, 426, 338 − virtuell 426ff, 490 Verschiebungsgradient 338, 346 Verstärkungsfunktion 308 Verzerrungstensor 339, 430 Verzerrungsenergiedichte 417 Verzögerung 205 Virtuelle Ergänzungsarbeit 452 Virtuelle Impulsarbeit 464 VOIGT 122 Volumen, materiell 317 Volumenintegral 46 Volumenschwerpunkt 46f Volumenviskosität 337 Vorzugsrichtung 187 W Wärme 227, 229 Wärmeausdehnung, behinderte 124 Wärmefluss 386 Wärmeinhalt 387 Wärmeleitungsgleichung 337 Wechselwirkungsgesetz 5 Wechselwirkungsprinzip 3 Wegunabhängigkeit 231 WEISS E.C. 122 Welle 360ff Wellengleichung, Lösung 360ff Werkstoff 109f − inkompressibel 121 Widerstand − Luft- 217 − Reibungs- 91, 103 Widerstandsmoment 129ff − Kreis 131 − Rechteck 130 − polares 165 − polares, dünner Ring 165 − polares, Kreis 165 − Torsions- 174 − zusammengesetzt 131 Winkel, spezifisch 171 Winkelgeschwindigkeit 239, 251 Wippe 435 Wirkungslinie 38 Wurf 217 Y YOUNG, Thomas 117 YOUNGscher Modul 118 siehe Elastizitätsmodul Z Zeitableitung − lokal 327 − materiell 327 Zentrifugalmoment 469 Zylinderkoordinaten 212, 251
