„Filmverpackung“ a) Lösung der Aufgabe

Rinkens/Eilerts
Didaktik der Geometrie (Klasse 7 – 10)
WS 08/09
Musterlösung: 1. Hausaufgabe – Testaufgaben
1) Aufgabe „Filmverpackung“
a) Lösung der Aufgabe
1
Rinkens/Eilerts
Didaktik der Geometrie (Klasse 7 – 10)
WS 08/09
b) geometrische Themen und Vorkenntnisse
2) Aufgabe „Knotenseil“
a)
Figuren legen
(1)
jeweils vier Knoten an einer Seite des Quadrates.
Flächeninhalt: 3 cm * 3 cm = 9 cm2
(2)
spitzwinklige Dreiecke: alle drei Winkel sind spitze Winkel, also kleiner als 90o
(3)
Begründung: Satz des Phythagoras: 32+42=52
Trippel natürlicher Zahlen (a, b, c) mit a2+b2=c2 nennt
man pythagoreische Trippel. Das kleinste solche
Trippel ist (3, 4, 5). Setzt man für m, n ∈ N mit
ggT (m,n)=1 und nicht geradem (m-n)
x = 2mn, y = m2 - n2, z = m2 + n2,
dann ist (x, y, z) ein teilerfremdes pythagoreisches
Trippel.
(Fermats letzter Satz)
2
Rinkens/Eilerts
Didaktik der Geometrie (Klasse 7 – 10)
WS 08/09
b) geometrische Themen:
o
o
o
o
Flächeninhalt und Umfang beim Quadrat
spitzwinklige Dreiecke (Umfang vom Dreieck)
rechtwinklige Dreiecke (Satz des Pythagoras)
Dreiecksungleichung
Nach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck die Summe der Längen
zweier Seiten a und b stets größer oder gleich der Länge der dritten
Seite c. Das heißt formal:
Man kann auch sagen, der Abstand von A nach B ist stets kleiner oder
gleich dem Abstand von A nach C und von C nach B zusammen, oder
um es populär auszudrücken: „Der direkte Weg ist immer der kürzeste.“
(Was die Aussage im Grunde jedoch nicht korrekt wiedergibt. Korrekt
müsste es lauten: „Es gibt keinen kürzeren Weg als den direkten.“)
c) (i) Aufgabenformulierung:
Vergleich der Varianten mit PISA:
-
Problem „skizzieren“(was heißt das?). Besseres Wort ist „legen“, da es
sich um ein Seil handelt, dass die Schüler bewegen können
(praktischer Arbeitsauftrag). Skizzieren bedeutet bei PISA zeichnen und
entfernt sich damit von einer Schnur und dessen Grundidee.
-
„Skizziere, wie man…“ ist eine sehr ungenaue Angabe für die Schüler.
Wie viele spitzwinklige Dreiecke sollen sie angeben? Soll gezeichnet
werden? Oder auch noch angegeben werden, was sie machen, um ein
spitzwinkliges Dreieck zu erhalten? Außerdem kann mit skizzieren
zeichnen oder eine Konstruktionsbeschreibung zu dem, was sie mit
dem Seil machen, gemeint sein.
Auswahl 3. Variante:
Hierbei lernen die Schüler, dass es mindestens zwei Möglichkeiten gibt, ein
spitzwinkliges Dreieck mit dem 12-Knoten-Seil zu legen. Außerdem muss der
Schüler noch überlegen, ob er alle spitzwinkligen Dreiecke gelegt hat und ob
er alle finden kann. So entdecken die Schüler verschiedene Lösungsstrategien
und sie stellen fest, dass alle Winkel kleiner als 90° sein müssen. Aus diesem
Grund beginnt man bei dem rechtwinkligem Dreieck und legt immer einen
Knoten mehr zur Hypotenuse (so viele wie möglich). So entdeckt der Schüler
alle möglichen spitzwinkligen Dreiecke.
Weiterhin wird bei dieser Aufgabenstellung die Kreativität und das
Problemlöseverhalten gefördert.
3
Rinkens/Eilerts
Didaktik der Geometrie (Klasse 7 – 10)
WS 08/09
(ii) Verständnisschwierigkeiten:
- Skizzieren (vgl. (i))
- Warum muss jetzt das Skizzieren begründet werden?
- Worauf bezieht sich „Begründe“?
- In der Aufgabenstellung kommt die Schnur nicht mehr vor.
- Problem: Seitenlänge 3 cm, 4 cm und 5 cm, Anzahl der Knoten 4, 5 und 6.
d) Produktivität des Aufgabenformats: (Ziel= selber Aufgaben generieren)
Variationsbeispiele:
stumpfwinklige Dreiecke legen
alle rechtwinkligen Dreiecke legen
Rechteck anstatt Quadrat legen
Flächeninhalt
Möglichst großer Flächeninhalt
Umfang
Vielecke
Satz des Pythagoras
Rechteck, Drache, Raute
Gleichschenkliges Dreieck
Wie viele verschieden Dreiecke kann man legen?
Verwendung im Alltag
Gibt es noch andere regelmäßige Formen?
Kann man einen Kreis legen?
Verschiedene Figuren legen: Unterschiede / Gemeinsamkeiten
herausfinden
o Was passiert, wenn das Seil einen Knoten mehr oder weniger hat?
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
4