Rettungsring Pythagoräischer Lehrsatz Bezeichnung der Seiten im

ganz klar: Mathematik 4 - Das Ferienheft mit Erfolgsanzeiger
Pythagoräischer Lehrsatz
Rettungsring
8
Bezeichnung der Seiten im rechtwinkligen Dreieck
Merke
Der Lehrsatz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck!
Die beiden Katheten (a, b) schließen den rechten Winkel ein.
Die Hypotenuse (c) liegt dem rechten Winkel gegenüber.
Die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate ist gleich
dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates.
a² + b² = c²
→
a2
b
2
b
c = √a² + b²
Wenn von einem rechtwinkligen Dreieck zwei Seiten gegeben sind,
lässt sich die dritte Seitenlänge berechnen.
1
c² – a² = b²
→
b = √c² – a²
c² – b² = a²
→
a = √c² – b²
a
c2
Kennzeichne jeweils den rechten Winkel und bezeichne die Hypotenuse mit h und die Katheten mit k1
bzw. k2!
a)
2
c
b)
c)
d)
Ordne die Begriffe und Bezeichnungen dem Dreieck richtig zu!
Kathete, Kathete, Hypotenuse
a, b, c
k1, k2, h
A, B
α, β
Rettungsbeispiel
C
Von einem rechtwinkligen Dreieck sind die Kathete a und die Hypotenuse c gegeben.
Wie lang ist die Seite b? Runde auf Ganze!
a = 46 mm
c = 72 mm
3
1. Formel umformen
a² + b² = c² →
b = √c² – a²
2. Einsetzen und berechnen
b = √72² – 46² = 55,389...
3. Ergebnis runden
b = 55 mm
Berechne mithilfe des pythagoräischen Lehrsatzes die Hypotenuse im gegebenen rechtwinkligen
Dreieck! Runde sinnvoll!
a)
a = 35 cm
b = 29 cm
www.westermanngruppe.at
b)
a = 19 cm
b = 21 cm
c)
a = 7 cm
b = 15 cm
© 2017 Verlag Jugend & Volk GmbH, Wien
d)
a = 9 cm
b = 11 cm
1
ganz klar: Mathematik 4 - Das Ferienheft mit Erfolgsanzeiger
Rettungsring
8
4
Von einem rechtwinkligen Dreieck sind die Hypotenuse c und eine Kathete gegeben.
Berechne jeweils die fehlende Länge! Runde auf eine Dezimale!
a)
5
Pythagoräischer Lehrsatz
a = 3,5 cm
c = 8,4 cm
b)
b = 49 mm
c = 72 mm
a = 59 mm
c = 8,7 cm
d)
b = 683 mm
c = 7,7 dm
Stelle jeweils den pythagoräischen Lehrsatz zur Berechnung der gesuchten Dreiecksseite auf!
a)
b)
t=?
c)
s
u
v=?
r
6
c)
d)
z
x=?
b
c=?
y
w
a
Überprüfe jeweils mithilfe des pythagoräischen Lehrsatzes, ob das Dreieck rechtwinklig (γ = 90°) ist
oder nicht! Runde auf Einer!
a
b
c
Berechnung
rechtwinklig
a)
6 cm
8 cm
10 cm
ja
nein
b)
3 cm
1,5 cm
5 cm
ja
nein
c)
4,8 cm
6,4 cm
8 cm
ja
nein
d)
4,8 cm
2 cm
5,2 cm
ja
nein
Anwendung des PLS bei ebenen Figuren
Merke
Rettungsbeispiel
Mithilfe des pythagoräischen Lehrsatzes können die Seitenlängen von Figuren, die sich in rechtwinklige
Dreiecke zerlegen lassen, berechnet werden.
Von einem gleichschenkligen Dreieck sind die Seitenlängen bekannt.
Berechne die Höhe hc des Dreiecks, die zur Flächenberechnung benötigt wird!
a = 45 mm
c = 54 mm
hc = ?
a
Lösungsansatz: Im gleichschenkligen Dreieck wird
die Seite c von der Höhe hc halbiert.
Dadurch ergeben sich zwei rechtwinklige Dreiecke
mit a als Hypotenuse und _2c und hc als Katheten.
√
_______
a
hc
c
2
c
c
2
________
hc = a² – (_2c ) = √ 45² – 27² = 36 mm
Berechne die gesuchten Längen der abgebildeten
Runde auf eine Dezimale!
4,4Dreiecke!
cm
www.westermanngruppe.at
m7
7 c cm
m
c)
© 2017 Verlag Jugend & Volk GmbH, Wien
=?
b ?
=
= ?b
74 m
m
74
74 m mm
m
32 mm
32 mm
32 mm
q=?
q=?
q=?
b
24 mm
24 mm
24 mm
8c
cm
cm
9
q=?
q=?
q=?
4,4 cm
4,4 cm q
q
q
?
p
c= ?
p
?c =
p
c=
m
mc
2c,8
cm
2,8
cm9
h=?
h=?
h=?
3,4 cm
3,4 cm
3,4 cm
2
9
m8
8 c cm
m
b)
2,8
a)
7c
7
2
ganz klar: Mathematik 4 - Das Ferienheft mit Erfolgsanzeiger
Pythagoräischer Lehrsatz
Rettungsring
8
8
Berechne jeweils die fehlende Länge der Vierecke! Runde sinnvoll!
a)
cc c
c
D
D D
D
bb b
b
AA A
A
a
b
c
h
9
b)
CC C
C
hh h bb b
b
h
BB B
B
aa a
a
= 8,2 cm
= 4,8 cm
= 5,2 cm
=?
AA A
A
aa a aa a
a
a
BB B
D
D D
D
B
bb b
bb b
b
b
= 5 cm
= 8 cm
= 4 cm
=?
xx x CC C
x
C
D
D D
D
bb b
b
AA A
A
CC C
C
a
e
f
b
c)
d)
D
D D
CC C
D
C
e
e
e
ff f
e
f
aa a
a
hhaa ha bb b
ha
b
aa a
a
AA A
A
BB B
B
BB B
B
aa a
a
a = 3 cm
f = 3,6 cm
e=?
a = 7,5 cm
b = 5 cm
x = 3 cm
ha = ?
Der Bildschirm eines Fernsehgerätes hat eine Bilddiagonale von 106 cm Länge.
Wie breit ist der Bildschirm, wenn er eine Höhe von 56 cm hat?
Anwendung des PLS bei Körpern
Merke
Rettungsbeispiel
10
Mithilfe des pythagoräischen Lehrsatzes können in Körpern Längen, die einen rechten Winkel einschließen
oder diesem gegenüberliegen, berechnet werden.
Ein Quader wird mit einem Diagonalschnitt halbiert.
a) Berechne die Länge der Diagonale dG!
b) Berechne den Flächeninhalt der rechteckigen Schnittfläche!
12 cm
dG
a) a = 15 cm
b = 8 cm
dG = ?
dG = √a² + b² = √ 15² + 8² = 17 cm
b) dG = 17 cm
h = 12 cm
A=?
A = dG⋅h = 17⋅12 = 204 cm²
______
15 cm
_______
8 cm
Berechne jeweils die gesuchte Länge mithilfe des pythagoräischen Lehrsatzes!
a)
h
ha
a = 4 cm
h = 6 cm
ha = ?
b)
a = 5 cm
ha = 4 cm
h=?
a
2
www.westermanngruppe.at
© 2017 Verlag Jugend & Volk GmbH, Wien
3
ganz klar: Mathematik 4 - Das Ferienheft mit Erfolgsanzeiger
Rettungsring
8
Pythagoräischer Lehrsatz
Lösungen
1
a)
b)
c)
h
k2
k2
h
k1
k2
B
2
β
Hypotenuse
c=h
Kathete
k1 = a
C
b = k2
Kathete
α
A
3
a)
c = 45,5 cm
b)
c = 28,3 cm
c)
c = 16,6 cm
d)
c = 14,2 cm
4
a)
b = 7,6 cm
b)
a = 53 mm
c)
b = 6,4 cm
d)
a = 3,56 dm
5
a)
t = √r² – s²
b)
v = √u² + w²
c)
x = √ y² – z²
d)
c = √a² + b²
6
a)
ja
b)
nein
c)
ja
d)
ja
7
a)
h = 7,2 cm
q = 5,4 cm
8
a)
h = 4,6 cm
9
10
4
k2
h
h
k1
d)
k1
______
______
b)
b)
b = 4 cm
______
p = 6,4 cm
q = 3,4 cm
c = 9,8 cm
c)
c)
ha = 4 cm
b)
h = 3,1 cm
b = 90 cm
a)
ha = 6,3 cm
www.westermanngruppe.at
© 2017 Verlag Jugend & Volk GmbH, Wien
______
b = 40 mm
q = 70 mm
d)
e = 4,8 cm
k1