Mathematische Logik

Geschichtlicher Überblick
Mathematische Logik
Vorlesung 2
Alexander Bors
6. März 2017
1
A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Überblick
1 Geschichtlicher Überblick (Quelle: Hoffmann, pp. 13–66)
Zu Russells Werk
Zu Zermelo und Fraenkels Werk
2
A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Russell Zermelo-Fraenkel
Die Russellsche Antinomie
Der britische Philosoph und Mathematiker Bertrand Russell
(1872-1970) schrieb 1902 einen Brief an Gottlob Frege, der
dessen Arbeit an den Grundgesetzen der Arithmetik, und
damit sein Lebenswerk, erschüttern sowie die gesamte
Mathematik in eine Grundlagenkrise stürzen sollte.
Russell hatte erkannt, dass ein bestimmtes Grundprinzip
sowohl von Freges Logik als auch von Cantors Mengenlehre
widersprüchlich ist.
Es handelt sich dabei um das allgemeine
Komprehensionsaxiom: “Zu jeder durch eine logische Formel
ϕ(x) in einer Variablen ausdrückbaren Eigenschaft gibt es eine
Menge, welche gerade jene Objekte als Elemente enthält, die
die Eigenschaft erfüllen.” Formal: ∃y ∀x : (x ∈ y ↔ ϕ(x)).
3
A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Russell Zermelo-Fraenkel
Die Russellsche Antinomie cont.
Erinnerung: Cantor hatte gezeigt, dass eine Funktion
f : M → P(M) nie surjektiv sein kann, da etwa
Mf := {x ∈ M | x ∈
/ f (x)} nicht im Bild von f liegen kann.
Die Idee hinter der Definition von Mf ist ein
Diagonalargument: Wähle Mf gerade so, dass es sich, für
jedes x ∈ M, bezüglich dem Enthalten von x genau anders
herum verhält wie f (x) (formal: x ∈ Mf ⇔ x ∈
/ f (x)).
Russells Idee, einen Widerspruch aus dem allgemeinen
Komprehensionsaxiom abzuleiten, ist im Prinzip die gleiche
Idee: Nutze das Axiom, um eine Menge M zu definieren, die
sich, für jede Menge M, in einem bestimmten Punkt, nämlich
in der Frage, ob M in ihr enthalten ist, anders verhält als M
selbst.
4
A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Russell Zermelo-Fraenkel
Die Russellsche Antinomie cont.
Konkret heißt das: M ist die Menge aller Mengen, die sich
nicht selbst als Element enthalten; formal ist, um die Existenz
von M abzuleiten, lediglich ϕ(x) im allgemeinen
Komprehensionsaxiom als x ∈
/ x zu wählen.
Damit gilt also für alle Mengen x: x ∈ M genau dann, wenn
x∈
/ x. Da auch M eine Menge ist, folgt insbesondere (mit
x := M): M ∈ M genau dann, wenn M ∈
/ M, was unsinnig
ist.
Diese widersprüchliche Konstruktion ist als die Russellsche
Antinomie berühmt geworden. Russell selbst hat das Ganze
für LaiInnen auch mit dem Barbier-Paradoxon erklärt.
5
A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Russell Zermelo-Fraenkel
Die Russellsche Antinomie cont.
Schon vor der Entdeckung der Russellschen Antinomie waren
Widersprüche in der naiven Mengenlehre entdeckt worden:
Cantor (1897): Die Menge aller Kardinalzahlen ist ein
widersprüchliches Objekt.
Burali-Forti (1897), Cantor (1899): Die Menge aller
Ordinalzahlen ist ein widersprüchliches Objekt.
Diese waren aber eher als Kuriositäten, resultierend aus dem
unzulässigen, da informellen, Gebrauch verschiedener Begriffe,
angesehen worden.
Für Frege war die Russellsche Antinomie ein schwerer Schlag,
der sein ganzes Lebenswerk zunichte machte. Er verfiel in
tiefe Depressionen, zog sich aus der Wissenschaft zurück und
starb 1925 als verbitterter Mann.
6
A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Russell Zermelo-Fraenkel
Die Principia Mathematica
Russell griff Freges Traum von einem soliden formalen
Fundament für die Mathematik auf. Er war überzeugt, dass
sich die Idee retten lässt, wenn man bei den Regeln für die
Konstruktion von Mengen vorsichtiger ist.
Gemeinsam mit dem britischen Mathematiker Alfred
Whitehead arbeitete er zehn Jahre intensiv und publizierte
schließlich sein mathematisches Lebenswerk: die Principia
Mathematica, erschienen in drei Bänden zu insgesamt über
1800 Seiten.
Das mengentheoretische Fundament in den Principia
Mathematica ist die so genannte Typentheorie, die alle
“zulässigen Mengen” hierarchisch ordnet.
7
A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Russell Zermelo-Fraenkel
Zur Typentheorie
In der Typentheorie geht man zunächst von einem gegebenen
Individuenbereich aus, dessen Elemente (“Individuen”) alles
keine Mengen sind.
Die unterste Stufe von Mengen in der Typenhierarchie sind die
Typ-1-Mengen, welche sich nur aus Individuen
zusammensetzen. Als nächstes kommen die Typ-2-Mengen,
welche Individuen und Typ-1-Mengen als Elemente haben
dürfen. Allgemein dürfen Typ-n-Mengen nur Objekte von
geringerem Typ enthalten (Individuen gelten als Objekte von
Typ 0).
Letztlich hat sich die Typentheorie als Grundlage der
Mathematik nicht durchgesetzt. Zwei Gründe:
Sie schränkt den Mengenbegriff zu stark an; viele “harmlose”
Mengen lassen sich darin nicht bilden.
Durch die Typen-Partitionierung von Mengen werden Beweise
meist recht umständlich.
A. Bors
Logik
8
Geschichtlicher Überblick
Russell Zermelo-Fraenkel
Historisches zur Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre
Ernst Zermelo (1871-1953), deutscher Mathematiker, und
Abraham Fraenkel (1891-1965), deutsch-israelischer
Mathematiker.
Zermelo publizierte 1908 einen Vorschlag für eine
axiomatische Mengenlehre in Form von insgesamt 7 Axiomen
(von denen im Laufe der Zeit eines in zwei Axiome
aufgespaltet wurde), alle umgangssprachlich formuliert. Die
daraus resultierende Mengenlehre heißt Zermelo-Mengenlehre
und wurde 1929 von Thoralf Skolem formalisiert.
Selbst die Zermelo-Mengenlehre ist noch zu konservativ (es
lassen sich nicht alle Mengen bilden, die man gerne bilden
möchte).
Fraenkel, 1922: Ersetzungsaxiom hinzugefügt.
Zermelo, 1930: Fundierungsaxiom hinzugefügt.
9
A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Russell Zermelo-Fraenkel
Historisches zur Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre cont.
Insgesamt wurden also aus heutiger Sicht im Laufe der Zeit
8 + 2 = 10 Axiome für die Mengenlehre von Zermelo und
Fraenkel vorgeschlagen. Unter den ursprünglichen Axiomen
der Zermelo-Mengenlehre war auch das nicht ganz
unumstrittene Auswahlaxiom, das heute nicht mehr zur
Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, ZF, gezählt wird.
ZF besteht also aus 9 Axiomen, die im Folgenden in
umgangssprachlicher Formulierung aufgelistet werden, und
ZFC, die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom
ergibt sich aus ZF durch Hinzunahme des Auswahlaxioms.
Wir merken an, dass in den von Zermelo und Fraenkel
vorgeschlagenen Theorien das Universum, also die
Grundgesamtheit aller betrachteten Objekte, nur aus Mengen
besteht. Insbesondere sind auch die Elemente einer Menge
immer selbst Mengen.
10
A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Russell Zermelo-Fraenkel
Axiome von ZF
Axiom 1.5.1 (Extensionalitätsaxiom, ursprünglich “Axiom der
Bestimmtheit”, Zermelo, 1908)
Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen
Elemente enthalten.
Die Information, welche Objekte (d.h., Mengen) eine Menge als
Elemente enthält, genügt also, um die Menge als Objekt des
Universums eindeutig zu identifizieren. Damit wird die Gleichheit
von Mengen auf die Element-Relation zurückgeführt: Für Mengen
M und N gilt M = N genau dann, wenn für alle (Mengen) x gilt:
x ∈ M genau dann, wenn x ∈ N.
11
A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Russell Zermelo-Fraenkel
Axiome von ZF cont.
Axiom 1.5.2 (Axiom der leeren Menge, Zermelo, 1908)
Es gibt eine leere Menge, also eine Menge, welche keine Elemente
enthält.
Man beachte, dass es nach dem Extensionalitätsaxiom auch
nur höchstens eine solche Menge gibt. Wir können also von
der leeren Menge, bezeichnet mit ∅, sprechen.
Das Axiom der leeren Menge ist ein Teil des von Zermelo
urspünglich formulierten “Axioms der Elementarmenge”. Der
zweite Teil dieses Axioms ist das, was man heute als
Paarmengenaxiom bezeichnet, siehe Axiom 1.5.3.
Axiom 1.5.2 ist redundant, d.h., es folgt aus den anderen
ZF-Axiomen (siehe etwa das Unendlichkeitsaxiom, Axiom
1.5.6) und könnte somit auch weggelassen werden.
12
A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Russell Zermelo-Fraenkel
Axiome von ZF cont.
Axiom 1.5.3 (Paarmengen-Axiom, Zermelo, 1908)
Für alle (Mengen) a und b gilt: Es gibt eine Menge, welche a und
b als Elemente enthält, und sonst keine anderen Elemente.
Die (nach Axiom 1.5.1 eindeutig bestimmte) Menge, von der
in Axiom 1.5.3 die Rede ist, wird auch als Paarmenge zu a
und b bezeichnet, notiert {a, b}. Im Fall a = b spricht man
auch vom Singleton zu a und schreibt statt {a, a} kürzer {a}.
Entsprechend gilt auch: Sind a1 , . . . , an beliebige Mengen, so
gibt es eine Menge, welche diese und nur diese als Elemente
enthält, notiert {a1 , . . . , an }. Das ist aber in dieser
Allgemeinheit kein Axiom mehr, sondern bereits ein
(einfacher) Satz, der aus den Axiomen abgeleitet werden kann
(sh. die Übungen).
13
A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Russell Zermelo-Fraenkel
Axiome von ZF cont.
Axiom 1.5.4 (Vereinigungs-Axiom, Zermelo, 1908)
Zu jederSMenge M existiert die so genannte Vereinigung über M,
notiert M. Das ist die Menge, welche exakt aus den Elementen
von Elementen von M besteht.
S
Beispiel: Die Vereinigung über {a, b}, also {a, b}, besteht gerade
aus den Elementen von a und den Elementen von b. Sie wird auch
als Vereinigung von a und b bezeichnet und a ∪ b notiert.
14
A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Russell Zermelo-Fraenkel
Axiome von ZF cont.
Axiom 1.5.5 (Aussonderungs-Axiom, Zermelo, 1908)
Es sei Φ(x) eine Formel der Mengenlehre in einer freien Variablen
x. Dann gilt: Zu jeder Menge M gibt es eine Menge, welche
gerade aus jenen Elementen von M besteht, die, in Φ(x)
eingesetzt, eine wahre Aussage ergeben.
Hier kommen ein paar Begriffe vor, die erst später genauer
definiert werden.
Grob gesagt: Φ(x) drückt eine formal definierte Eigenschaft
von Mengen aus. Nachdem man für die freie Variable x eine
Menge eingesetzt hat, wird sie zu einer konkreten Aussage,
die im Mengenuniversum wahr oder falsch ist.
Die Menge, deren Existenz in Axiom 1.5.5 behauptet wird,
wird normalerweise so notiert: {x ∈ M | Φ(x)}.
15
A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Russell Zermelo-Fraenkel
Axiome von ZF cont.
Axiom 1.5.6 (Unendlichkeits-Axiom, Zermelo, 1908)
Es gibt eine Menge, welche eine (die) leere Menge als Element
enthält sowie mit jedem ihrer Elemente a auch die Menge {a}.
Jede Menge, welche die Eigenschaften aus Axiom 1.5.6 erfüllt,
muss also ∅ als Element haben, und damit auch {∅}, und
damit auch {{∅}}, und so weiter. Es ist somit intuitiv klar,
dass jede solche Menge unendlich sein muss (man beachte
allerdings, dass wir erst einmal definieren müssten, was das
überhaupt heißt).
In der modernen Mengenlehre wird aus praktischen Gründen
meist eine leicht modifizierte Version dieses Axioms verwendet.
16
A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Russell Zermelo-Fraenkel
Axiome von ZF cont.
Axiom 1.5.7 (Potenzmengen-Axiom, Zermelo, 1908)
Zu jeder Menge M gibt es eine Menge, deren Elemente gerade die
Teilmengen von M sind, also jene N, sodass jedes Element von N
auch ein Element von M ist.
Die Menge aus Axiom 1.5.7 ist natürlich gerade die Potenzmenge
von M, notiert P(M).
17
A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Russell Zermelo-Fraenkel
Axiome von ZF cont.
Axiom 1.5.8 (Ersetzungs-Axiom, Fraenkel, 1922)
Es sei Φ(x, y ) eine Formel der Mengenlehre in zwei freien Variablen
x und y . Ist dann M eine Menge, und gibt es zu jedem x ∈ M
genau ein y , sodass Φ(x, y ) gilt, so gibt es eine Menge, deren
Elemente gerade jene zu den einzelnen x ∈ M “passenden” y sind.
Die Intuition dahinter ist die: Φ(x, y ) definiert auf M eine
Funktion f , nämlich jene, welche x ∈ M auf das passende y
abbildet. Axiom 1.5.8 stellt dann sicher, dass das Bild dieser
Funktion als Menge existiert.
18
A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Russell Zermelo-Fraenkel
Axiome von ZF cont.
Axiom 1.5.9 (Fundierungs-Axiom, Zermelo, 1930)
Jede nichtleere Menge besitzt ein zu ihr disjunktes Element. Etwas
formaler: Ist x 6= ∅, so gibt es ein y ∈ x, sodass kein z ∈ y auch
ein Element von x ist.
Im Gegensatz zu den anderen angeführten Axiomen mutet
Axiom 1.5.9 Menschen, die zum ersten Mal damit konfrontiert
werden, meist befremdlich an.
Mit dem Axiom möchte man verhindern, dass es unendliche
absteigende Ketten von Mengen gibt, also so etwas wie
x0 3 x1 3 x2 3 · · · . Wir werden später sehen, dass dies sogar
äquivalent zu Axiom 1.5.9 ist.
Es erfordert aber etwas Arbeit, erst einmal zu definieren, was
eine “unendliche absteigende Kette” überhaupt ist; die obige
Formulierung kommt ohne viel Vorarbeit aus.
19
A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Russell Zermelo-Fraenkel
Das Auswahlaxiom
Axiom 1.5.10 (Auswahl-Axiom, Zermelo, 1908)
Es sei M eine Menge, deren Elemente paarweise disjunkt und
nichtleer sind. Dann
gibt es eine Auswahlmenge zu M, d.h., eine
S
Teilmenge von M, welche mit jedem Element von M genau ein
Element gemeinsam hat.
Folgende Menge √
ist z.B.√eine Auswahlmenge
zu
√
{{1, 2, 3}, {π}, { 2, 25, 3}}: {2, π, 2}. Sie wählt also
sozusagen aus jeder der Mengen genau ein Element aus.
Das Auswahl-Axiom erlaubt uns, beliebig (auch unendlich)
viele willkürliche Wahlen auf einmal zu treffen, durch
Fixierung einer Auswahlmenge.
Es ist nicht ganz unumstritten. Zwar ist es für viele als
wichtig angesehene Konstruktionen unabdingbar, doch hat es
auch einige “skurrile” Konsequenzen (mehr dazu später).
20
A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Russell Zermelo-Fraenkel
Abschließende Bemerkungen zur
Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre
Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom wird
heute von den meisten MathematikerInnen als formales
Fundament der Mathematik angesehen. In diesem Sinne spielt
sich die gesamte Mathematik in ihr ab, und die Arbeit eines/r
MathematikerIn besteht darin, aufbauend auf den Axiomen
und bereits daraus abgeleiteten Sätzen weitere Sätze
abzuleiten.
Es gibt allerdings (neben der Typenhierarchie) auch
modernere Alternativen, wie zum Beispiel die
Kategorientheorie, die aber sehr abstrakt ist.
Das Ziel von Zermelo und Fraenkel war es ja, ein sicheres
Fundament zu schaffen, in dem man keine Widersprüche mehr
ableiten kann. Ist ihnen das gelungen?
21
A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Russell Zermelo-Fraenkel
Abschließende Bemerkungen zur
Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre cont.
Bis heute hat niemand einen Widerspruch aus den Axiomen
von Zermelo und Fraenkel ableiten können, was aber natürlich
nicht heißt, dass es keinen gibt.
Es folgt aus dem zweiten Gödelschen Unvollständigkeitssatz,
dass wir auch nie wissen werden, ob die Axiome
widersprüchlich sind oder nicht (sofern sie es nicht sind, denn
ansonsten ist es natürlich prinzipiell möglich, den Beweis eines
Widerspruches zu finden). Mehr dazu in der nächsten
Vorlesungs-Einheit.
22
A. Bors
Logik