Mathematische Logik

Geschichtlicher Überblick
Mathematische Logik
Vorlesung 4
Alexander Bors
16. März 2017
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A. Bors
Logik
Geschichtlicher Überblick
Überblick
1 Geschichtlicher Überblick (Quelle: Hoffmann, pp. 13–66)
Zu Matiyasevichs Werk
Gödels und Cohens Werk zu relativer Widerspruchsfreiheit
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Matiyasevich Gödel und Cohen
Rückkehr zu Hilberts zehntem Problem
Erinnerung
Hilberts zehntes Problem bestand darin, einen Algorithmus zu
finden, der für eine gegebene diophantische Gleichung P = 0,
P ∈ Z[X1 , . . . , Xn ], entscheidet, ob diese (in Zn ) lösbar ist.
In den Jahren nach Turings bedeutender Publikation (1936)
entwickelte sich die sog. Rekursionstheorie, die sich mit
algorithmischen Entscheidbarkeitsfragen beschäftigt, prächtig
weiter.
1944 wies der polnisch-US-amerikanische Mathematiker Emil
Post (1897-1954) darauf hin, dass angesichts der
hochentwickelten Rekursionstheorie die Zeit für einen Beweis
der Unentscheidbarkeit des zehnten Hilbertschen Problems reif
sei.
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Matiyasevich Gödel und Cohen
Rückkehr zu Hilberts zehntem Problem cont.
Man beachte diesen Perspektivenwechsel: 1900 war Hilbert
noch fest davon überzeugt, dass es möglich sei, so einen
Algorithmus zu finden.
Posts Schüler Davis nahm sich als erster der Herausforderung
an. 1961 publizierte er zusammen mit Hilary Putnam und
Julia Robinson einen fast vollständigen Beweis für die
Unentscheidbarkeit.
Genauer zeigten sie, dass es keinen Entscheidungsalgorithmus
für exponentielle diophantische Gleichungen geben kann. Das
sind diophantische Gleichungen, bei denen die Variablen auch
im Exponenten stehen dürfen (also z.B. so etwas wie
4x y = z 3 ).
Der endgültige Beweis sollte dann 1970 vom jungen russischen
Mathematiker Yuri Matiyasevich erbracht werden.
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Matiyasevich Gödel und Cohen
Zu Matiyasevich
Yuri Matiyasevich, geb. 1947, russischer Mathematiker und
Informatiker.
Als Schüler gewann er die Internationale
Mathematik-Olympiade, wodurch er das letzte Schuljahr vor
Beginn des Studiums überspringen durfte.
Den Beweis der Unentscheidbarkeit von Hilberts zehntem
Problem veröffentlichte er noch 1970 in seiner Dissertation.
Der Beweis bestand darin, das Entscheidungsproblem für
exponentielle diophantische Gleichungen auf jenes für
“gewöhnliche” (polynomielle) diophantische Gleichungen zu
reduzieren.
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Matiyasevich Gödel und Cohen
Zu Matiyasevich cont.
1984 publizierte er zusammen mit James Jones einen zweiten
Beweis für dieses Unentscheidbarkeitsresultat. Die Idee dabei
ist, Registermaschinen (ein anderes, zu Turing-Maschinen
äquivalentes Berechenbarkeitsmodell) so in diophantische
Gleichungen umzuschreiben, dass terminierende Maschinen
lösbaren Gleichungen entsprechen.
Diesen Beweis hat Matiyasevich 1993 auch direkt für
Turing-Maschinen in seinem Buch “Hilbert’s 10th Problem”
publiziert.
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Matiyasevich Gödel und Cohen
Zu relativen Widerspruchfreiheitsbeweisen
Ein relativer Widerspruchfreiheitsbeweis besteht darin, die
Widerspruchsfreiheit eines bestimmten formalen Systems F2
auf jene eines anderen Systems F1 zurückzuführen, also eine
(metatheoretische) Implikation der Form Con(F1 ) ⇒ Con(F2 )
zu zeigen.
Erinnerung: Hilbert hatte bereits einen solchen Beweis
geführt, indem er zeigte, dass die Axiome der euklidischen
Geometrie widerspruchsfrei sind, sofern die Peano-Axiome es
sind.
Gödel begann Ende der 1930er-Jahre, sich intensiv mit
solchen Beweisen auseinanderzusetzen.
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Matiyasevich Gödel und Cohen
Relative Widerspruchsfreiheit: Gödels Resultat
Gödel konnte folgendes interessante Resultat ableiten:
Con(ZF) ⇒ Con(ZFC ∪ {GCH}). Hierbei bezeichnet GCH
die verallgemeinerte Kontinuumshypothese, welche besagt,
dass für jede unendliche Menge X gilt: Die Mächtigkeit von
P(X ) ist die nächstgrößere Mächtigkeit nach jener von X
(d.h., es gibt keine Menge Y mit |X | < |Y | < |P(X )|).
D.h., die Konjunktion aus Auswahlaxiom und GCH ist eine
“gutartige” Annahme in dem Sinne, dass ihre Hinzunahme zu
ZF keine Widersprüche erzeugt, wenn nicht schon vorher
welche da waren.
Wir skizzieren im Folgenden Gödels Vorgehensweise.
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Matiyasevich Gödel und Cohen
Konstruktible Mengen
Gödel arbeitete mit dem Begriff von konstruktiblen Mengen.
Das sind Mengen, welche sich aus der leeren Menge durch
wiederholte Anwendung einer bestimmten
Konstruktionsvorschrift ergeben.
Es ist a priori nicht klar, wie sich die Annahme, dass jede
Menge konstruktibel sei (das so genannte
Konstruktibilitätsaxiom, V = L) zu den ZF-Axiomen verhält
(folgt V = L vielleicht sogar aus ZF, oder folgt gar seine
Negation daraus?).
Allerdings konnte Gödel zeigen: Das Axiomensystem
ZF ∪ {V = L} ist stark genug, um sowohl das Auswahlaxiom
AC als auch die verallgemeinerte Kontinuumshypothese GCH
daraus abzuleiten. Insbesondere:
Con(ZF ∪ {V = L}) ⇒ Con(ZFC ∪ {GCH}).
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Matiyasevich Gödel und Cohen
Konstruktible Mengen cont.
Hieraus folgt: Wenn man (in der Metatheorie) zeigen kann,
dass die Hinzunahme von V = L zu ZF (dessen Konsistenz die
Annahme in diesem relativen Konsistenzbeweis ist) keinen
Widerspruch erzeugt, d.h., wenn man
Con(ZF) ⇒ Con(ZF ∪ {V = L}) zeigen kann, dann folgt
insbesondere Con(ZF) ⇒ Con(ZFC ∪ {GCH}), ein
sensationelles Resultat.
Und Gödel konnte tatsächlich
Con(ZF) ⇒ Con(ZF ∪ {V = L}) zeigen. Obwohl seine
Vorgehensweise, streng technisch gesehen, beweistheoretisch
ist, ist die grundlegende Idee dahinter eine modelltheoretische.
Genauer hat Gödel, im Axiomensystem ZF arbeitend, gezeigt,
dass es ein klassengroßes Modell für ZF ∪ {V = L} gibt. Was
heißt das genau?
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Klassen
Es sei ϕ0 (x) eine mengentheoretische Formel in einer freien
Variable, die die Eigenschaft “x ist konstruktibel” ausdrückt.
Man kann relativ leicht in ZF zeigen, dass es keine Menge
gibt, welche gerade aus den konstruktiblen Mengen besteht,
aber das hält uns nicht davon ab, inoffiziell die Kollektion L
all dieser Mengen zu betrachten.
Solche Kollektionen von Mengen, die selbst keine Mengen
sind, heißen echte Klassen. Offiziell ist eine Klasse eine Formel
in einer freien Variable, so wie ϕ0 (x) oben, inoffiziell denken
wir dabei an die Kollektion aller Mengen, die die durch die
Formel ausgedrückte Eigenschaft besitzen.
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Relativierung von Formeln auf Klassen
Das Tolle: (Fast) alle Behauptungen über Klassen im
inoffiziellen Sinn lassen sich in exakte mengentheoretische
Formeln übersetzen. Sind z.B. ϕ(x) und ψ(x) Klassen im
offiziellen Sinn, so drückt die Formel ∀x : (ϕ(x) → ψ(x)) aus,
dass ϕ(x) eine Teilklasse von ψ(x) ist.
Ist nun ϕ(x) eine Klasse, und ist ψ eine beliebige
mengentheoretische Formel, so lässt sich eine andere
mengentheoretische Formel, ψ ϕ(x) , die Relativierung von ψ
auf die Klasse ϕ(x), definieren, welche, im inoffiziellen Sinne
interpretiert, gerade besagt, dass “ψ innerhalb der Klasse
ϕ(x)” gilt.
Die Vorstellung dahinter ist, dass Klassen, zusammen mit der
entsprechenden Einschränkung der Elementrelation, selbst
“Mengenuniversen” sind, in denen es Sinn ergibt, nach der
Gültigkeit von mengentheoretischen Sätzen zu fragen.
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L als (klassengroßes) Modell
Der nächste Schritt in Gödels Beweis war folgender: Die
Klasse L (bzw. “offiziell” ϕ0 (x)) aller konstruktiblen Mengen
ist ein Modell für alle Axiome von ZF sowie für das
Konstruktibilitätsaxiom. Offiziell heißt das, man kann aus den
ZF-Axiomen alle Relativierungen αL , α ein ZF-Axiom, sowie
zusätzlich die Relativierung (V = L)L ableiten.
Zumindest Letzteres wirkt auf den ersten Blick sehr
einleuchtend: Wenn ich mich in einem Mengenuniversum
befinde, das nur aus konstruktiblen Mengen besteht, werde ich
wohl auch daran glauben, dass alle Mengen konstruktibel sind.
Tatsächlich muss man vorsichtiger sein, denn es ist a priori
nicht klar, ob Mengen x, die im umgebenden Universum V
konstruktibel sind, d.h., die Formel ϕ0 (x) erfüllen, es auch aus
der Sicht von L sind (d.h., aus der Sicht von V, die Formel
ϕ0 (x)L erfüllen).
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Ein Korrektheitssatz für Klassen
Nachdem Gödel gezeigt hatte, dass alle Relativierungen
ZF-Axiomen auf L sich aus den unrelativierten ZF-Axiomen
ableiten lassen, musste er nur noch ein einfaches Lemma
beweisen. Es lautet wie folgt:
Metatheoretisches Lemma 1.9.1
Es sei ϕ(x) eine mengentheoretische Formel in einer freien
Variable, d.h., eine Klasse. Weiter sei T eine Menge von
mengentheoretischen Formeln, sodass sich, für jedes ψ ∈ T , die
Relativierung ψ ϕ(x) in ZF ableiten lässt (d.h., sodass jede Formel
aus T in der Klasse ϕ(x) gilt). Ist dann χ irgendeine
mengentheoretische Formel, die sich aus T ableiten lässt, so lässt
sich die Relativierung χϕ(x) in ZF ableiten.
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Gödels relativer Konsistenzbeweis
Nun kann man Con(ZF) ⇒ Con(ZF ∪ {V = L}) wie folgt in
der Metatheorie beweisen:
Wir zeigen die Kontraposition
Incon(ZF ∪ {V = L}) ⇒ Incon(ZF). Angenommen also, das
Axiomensystem ZF ∪ {V = L} sei inkonsistent.
Das heißt gerade, es gibt eine mengentheoretische Formel ψ,
sodass sich ψ ∧ ¬ψ aus ZF ∪ {V = L} ableiten lässt.
Unter Verwendung von Lemma 1.9.1 erhält man nun, dass
sich, in ZF, die Relativierung (ψ ∧ ¬ψ)L ableiten lässt.
Das ist aber, nach Definition von Relativierung, gerade die
Formel ψ L ∧ ¬ψ L . Damit ist also auch in ZF ein Widerspruch
ableitbar, was zu zeigen war.
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ZFC und die Kontinuumshypothese
Aus Gödels Resultat ergibt sich insbesondere, dass die
Cantorsche Kontinuumshypothese CH verträglich mit den
ZFC-Axiomen ist in dem Sinne, dass sich, falls Con(ZFC)
gilt, die Negation ¬ CH nicht in ZFC ableiten lässt.
Das heißt natürlich noch lange nicht, dass sich CH selbst auch
in ZFC beweisen lässt, und tatsächlich vermutete bereits
Gödel, dass auch ¬ CH im gleichen Sinne mit ZFC verträglich
ist, d.h., dass CH über ZFC unentscheidbar ist.
Es sollte ihm jedoch verwehrt bleiben, dies zu beweisen. Erst
1963 konnte der US-amerikanische Mathematiker Paul Cohen
(1934–2007) sowohl die Unentscheidbarkeit der
Kontinuumshypothese CH über ZFC als auch die
Unentscheidbarkeit des Auswahlaxioms AC über ZF beweisen.
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Cohens Methode: Forcing
Cohen verwendete eine andere Grundidee als Gödel: Während
Gödel Modelle wie z.B. L innerhalb eines gegebenen
Universums V konstruierte (sog. innere Modelle), trat Cohen
für seine Konstruktionsmethode, die als Forcing bekannt
geworden ist, aus einem gegebenen Modell heraus, um ein
noch größeres zu konstruieren.
Die formalen Details dieser Methode sind sehr aufwändig zu
behandeln (nicht umsonst kommt Kunen in seinem Buch erst
nach über 300 Seiten Vorbereitung zum Abschluss der
Diskussion von Cohens Resultaten), und wir werden in dieser
Vorlesung nicht näher darauf eingehen können.
Für Interessierte sei aber auf den Abschnitt 7.4 in Hoffmann,
zu Booleschen Modellen, verwiesen. Das ist eine verwandte,
intuitiv recht zugängliche Methode.
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Matiyasevich Gödel und Cohen
Weitere Anwendungen der Forcing-Methode
Cohens Forcing-Methode wurde und wird von anderen
MengentheoretikerInnen weiterentwickelt, um weitere interessante
Unentscheidbarkeitsresultate zu zeigen. Beispiele:
Die Kontinuumshypothese kann als eine Aussage über die
Mächtigkeit der Potenzmenge von N gesehen werden. Man
kann allgemeiner zeigen, dass das “Mächtigkeits-Verhalten”
von Potenzmengen unendlicher Mengen unter ZFC kaum
kontrollierbar ist (Satz von Easton).
Eine der grundlegenden Beobachtungen in der
ZFC-Maßtheorie ist es, dass nicht alle Teilmengen von R
Lebesgue-messbar sind. Die üblichen Konstruktionen von
solchen “bösartigen” Teilmengen von R verwenden alle das
Auswahlaxiom. Und tatsächlich hat Solovay hat mit seinem
Random Forcing gezeigt, dass die Aussage “Alle Teilmengen
von R sind Lebesgue-messbar.” mit ZF verträglich ist.
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Matiyasevich Gödel und Cohen
Und heute?
Man sieht, dass die Grundlagenkrise der Mathematik die
Entwicklung der mathematischen Mengenlehre stark
vorangetrieben hat.
Heute ist die Mengenlehre ein gewaltiges Forschungsgebiet
mit diversen Teildisziplinen. Diese beinhalten:
weitere Anwendungen der Forcing-Methode,
kombinatorische Mengenlehre, auch “unendliche
Kombinatorik” genannt, da es dabei darum geht,
Konstruktionen und Konzepte, die in der klassischen
Kombinatorik nur für endliche Mengen Sinn ergeben, auf
unendliche Mengen zu verallgemeinern,
mengentheoretische Topologie; viele Probleme aus der
Topologie (welche topologische Räume, eine bestimmte
Verallgemeinerung von metrischen Räumen, studiert) lassen
sich mit fortgeschrittenen Methoden aus der Mengenlehre
lösen. Dazu gehört z.B. die Konstruktion von Beispielen
topologischer Räume mit “ungewöhnlichen” Eigenschaften.
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Große Kardinalzahlen
Auch aus philosophischer Sicht interessant sind die Axiome
über so genannte “große Kardinalzahlen”, ein weiteres recht
aktives Forschungsfeld in der modernen Mengenlehre.
Zur Erinnerung: Nach Gödels zweitem Unvollständigkeitssatz
ist es (sofern ZFC konsistent ist) nicht möglich, die
Konsistenz von ZFC innerhalb von ZFC zu beweisen.
Es hat sich aber im Laufe der Geschichte herausgestellt, dass
man die Konsistenz von ZFC in stärkeren Axiomensystemen
beweisen kann, die entstehen, indem man zu ZFC eines aus
einer Reihe von Axiomen hinzufügt, die die Existenz von
bestimmten, sehr großen Mengen, behaupten.
Aber diese Axiome haben nicht nur die Konsistenz von ZFC
zur Folge, sondern noch viele weitere, interessante Aussagen,
und die Untersuchung dieser Konsequenzen ist Gegenstand
aktueller Forschung.
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Große Kardinalzahlen cont.
Man beachte aber den Unterschied zwischen diesen “neuen
Axiomen” und den ursprünglichen ZFC-Axiomen:
Die ZFC-Axiome können (eventuell mit Ausnahme des
Auswahlaxioms) als “grundlegende Wahrheiten” gesehen
werden, und waren bei ihrer Einführung durch Zermelo und
Fraenkel ja auch als solche gedacht.
Die Axiome über große Kardinalzahlen behaupten die Existenz
von “unheimlich großen” Mengen und sind weit davon
entfernt, intuitiv einleuchtende Wahrheiten zu sein. Sie werden
aber wegen ihrer interessanten Konsequenzen studiert.
Das ist ein bedeutender Paradigmenwechsel: Axiome erhalten
ihre Legitimation durch die resultierenden Konsequenzen.
Man vergleiche dies mit dem Vorgehen in der modernen
Physik, wo Theorien auch nicht an einer a priori gegebenen
Plausibilität, sondern an der Verträglichkeit ihrer
Konsequenzen mit realen Experimenten gemessen werden.
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