Mengenlehre: Unabhängigkeitsbeweise Sommersemester 2013

Abteilung für Mathematische Logik
Prof. Dr. Heike Mildenberger
Übungen: Jeff Serbus
Mengenlehre: Unabhängigkeitsbeweise
Sommersemester 2013
Übungsblatt 8, Abgabe: 18.06.2013, vor der Vorlesung
1. (ZFC) Sei κ eine stark unerreichbare Kardinalzahl. Welche der folgenden Funktionen und Eigenschaften sind absolut für Vκ ?
ϕ(x̄) heisst absolut für M ∈ V (in der Hintergrundtheorie ZFC), falls für alle ā ∈ M gilt:
M |= ϕ(ā) gdw V |= ϕ(ā).
(a) P(x), d.h., die Formel y = P(x)
(b) ωα
(c) iα (ω)
(d) Vα
(e) cf(α)
(f) α ist stark unerreichbar.
2. Sei M eine Menge. Induktiv über den Aufbau von ϕ definieren wir ϕM (eine Formel mit einer
zusätzlichen, durch M belegten Variablen).
• (x = y)M = x = y
• (x ∈ y)M = x ∈ y
• (ϕ ∧ ψ)M = ϕM ∧ ψ M
• (¬ϕ)M = ¬ϕM
• (∃xϕ)M = ∃x ∈ M ϕM
(a) Zeigen Sie (V |= ϕM ) ⇐⇒ (M |= ϕ). Gibt es ein Analogon, wenn M eine definierbare
Klasse ist?
(b) Gilt ZF ` ∀κ, λ, µ κ < λ, µ → ((κ ist regulär)Vλ ⇐⇒ (κ ist regulär)Vµ ) ?
ϕM heißt die Relativierung von ϕ auf M .
3. (ZFC) Wie groß ist H(ℵ1 ), die Menge der erblich abzählbaren Mengen (hereditarily countable
sets)?
4. (ZFC) Sei κ > ω. Zeigen Sie: H(κ) = Vκ ⇐⇒ κ = iκ (ω).
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