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Mathematische Logik II
Vorlesung 11
25.05.2005
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|=
TA = Th(N) vollständig, PA = ΦPA (Peano-Arihtmetik) rekursiv axiomatisierbar, ZFC|= rekursiv axiomatisierbar.
Φ erlaubt Kodierungen (Φ repräsentativ): jede berechenbare Funktion (über N) ist beschreibbar durch eine
Formel.
Wir kodieren Tupel fester Länge von natürlichen Zahlen durch natürliche Zahlen:
Definition. [x, y] := 21 (x + y)(x + y + 1) + x.
Lemma. [·, ·] : N × N → N ist bijektiv.
P
Px+y
Beweis. Das Paar (x, y) erhält dabei die Nummer ( 0≤n<x+y (n + 1)) + x = n=1 +x (auf der Diagonalen
{(x, y) | x + y = k liegen k + 1 Elemente) = 12 (x + y)(x + y + 1) + x = [x, y].
Definition. [a0 , . . . , an ] := [a0 , [a1 , . . . , an ]] für n > 1.
Damit erhalten wir definierbare Bijektionen Nk → N für jedes feste k. Um beliebige berechenbare Funktionen,
also Berechnungen beliebiger Länge (z.B. von Turingmaschinen) durch arithmetische Formeln zu beschreiben,
benötigen wir Kodierungen von Folgen beliebiger Länge (von Zahlen, Konfigurationen, etc.) durch natürliche
Zahlen.
Satz. (Chinesischer Restsatz)
Qn−1
Seien q − 0, . . . , qn−1 paarweise teilerfremd und q = i=0 qi . Dann ist die Funktion F : Z/qZ → Z/q0 Z × · · · ×
Z/qn−1 Z, a 7→ (a0 , . . . , an−1 ) mit a ≡ ai mod qi eine Bijektion.
Beweis. Z/qZ und Z/q0 Z× · · · ×Z/qn−1 Z sind endlich und haben gleich viele Elemente. Es reicht also zu zeigen,
dass F injektiv ist. Dazu seien a, a′ ∈ Z/qZ, so dass a ≡ a′ mod qi für alle i. Also wird a − a′ von allen qi geteilt,
also auch von deren Produkt q (da die qi teilerfremd sind). Also a ≡ a′ mod q.
Lemma. (β-Lemma von Gödel)
Es gibt eine totale berechenbare Funktion β : N3 → N, so dass zu jeder endlichen Folge (a0 , . . . , an−1 ) über N
Zahlen a, b ∈ N existieren, mit β(a, b, j) = aj für alle j < n. β ist definierbar in TA, PA, ZFC.
Beweis. Setze β(x, y, z) := x mod 1 + y(z + 1) (β definierbar durch ϕβ (x, y, z, v) := v < 1 + y(z + 1) ∧ ∃u(x =
u+uy(z+1)+v)). Zu zeigen bleibt: Für alle n und alle a0 , . . . , an−1 existieren a, b, so dass a ≡ ar mod 1+b(j +1).
Setze b := m! für m = max(n, a0 , . . . , an−1 ). Behauptung: Für 0 ≤ i < j < n sind 1 + (i + 1)b, 1 + (j + 1)b
teilerfremd. (Sonst ex. p > 1, p | 1 + (i + 1)b, 1 + (j + 1)b ⇒ p | (i − j)b, aber p ∤ b (sonst p ∤ 1 + (i + 1)b)
⇒ p | i − j, also p ≤ n. Unmöglich, da b von jeder Zahl ≤ n geteilt wird.) Damit können wir den Chinesischen
Qm−1
Restsatz anwenden und folgern, dass ein a < j=0 (1 + b(j + 1)) existiert, so dass a ≡ aj mod 1 + b(j + 1) für
alle j < n.
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Eine Folge (a0 , . . . , an−1 ) über N kodieren wir durch Zahl ha0 , . . . , an−1 i := [a, b, n], so dass β(a, b, i) = ai für
alle i < n. Sei ln(ha0 , . . . , an−1 i) := n (Länge), πi (ha0 , . . . , an−1 i) := ai . |·, ·], β, ln, πi sind in TA, ΦPA , ZFC
definierbar.
Kodierung von Turingmaschinen: M = (Q, Σ, δ, q0 , F ) deterministische 1-Band-Turingmaschine. Konfiguration:
c = (q, w, p) ∈ Q × Σ∗ × N ⊆ N × N∗ × N. Berechnung: Folge c0 , . . . , cm von Konfigurationen, so dass ci ⊢M ci+1 .
Idee: Sei Φ ∈ {TA, ΦPA , ZFC}, M eine Turingmaschine. Konstruiere Formeln Konf M (x), StartM (x, y), EndM (x, y)
und Lauf M (x) mit
• Φ ⊢ Konf(c) genau dann, wenn c eine gültige Konfiguration von M kodiert: c = [q, w, p], q < |Q|, p ≤
|w|, wi < Σ
• Φ ⊢ StartM (x, y): x kodiert die Inputkonfiguration von M auf Eingabe y.
• Φ ⊢ EndM (x, y): x kodiert eine Endkonfiguration von M mit Output (Bandinschrift) y
• Φ ⊢ Lauf M (x): x kodiert eine gültige Berechnung von M , d.h. eine Folge hc0 , . . . , cm i von Konfigurationen,
so dass ci ⊢M ci+1 .
Folgerung: TA, ΦPA , ZFC erlauben Kodierungen.
Folgerung (Tarski): TA unentscheidbar. (Kodiere das Halteproblem für Turingmaschinen in TA)
Folgerung: PA, ZFC|= unentscheidbar.
Satz. (Gödel)
• Es gibt keine entscheidbares Axiomensystem für TA.
• PA ist unvollständig.
Beweis.
• TA ist vollständig. Wenn TA rekursiv axiomatisierbar wäre, dann auch entscheidbar.
• PA ist rekursiv axiomatisierbar; wäre PA vollständig, dann auch entscheidbar.
Gödels Methode: Hinreichend reichhaltige Axiomensysteme erlauben Formeln, welche Aussagen über sich selbst
machen (Selbstbezüglichkeit).
Gödelisierung von Formeln: Jedem Term t und jeder Formel ϕ ordnen wir Zahlen [t] bzw. [ϕ] zu:
Beispiel: [xi ] := h0, ii, [0] := h1, 0i, [t0 + t1 ] := h2, [t0 ], [t1 ]i, [t0 · t1 ] := h3, [t0 ], [t1 ]i, [t0 = t1 ] := h4, [t0 ], [t1 ]i,
[¬ϕ] := h5, [ϕ]i, [ϕ ∧ ψ] := h6, [ϕ], [ψ]i, [∃xi ψ] := h7, i, [ψ]i.
Satz. (Fixpunktsatz)
Φ erlaube Kodierungen. Zu jeder Formel ψ(x) ∈ FO({+, ·, 0, 1}) gibt es eine Satz ϕ mit Φ ⊢ ϕ ↔ ψ([ϕ]).