8 Programm FACH2D (ebene Fachwerke)
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J. Dankert: CAMMPUS 4.5 8 71 Programm FACH2D (ebene Fachwerke) Das Programm FACH2D berechnet die Verformungen und Stabkräfte ebener Fachwerke, die durch folgende Eingabewerte beschrieben werden: J. Dankert Finite-Elemente-Baukasten FEMSET 09.07.1995 STAB2D FEM-Berechnungsmodell ♦ Anzahl der Elemente NE, die Elemente sind Fachwerkstäbe mit elementweise konstanter Dehnsteifigkeit, die nur Zug- und Druckbelastung übertragen können und mit den anderen Stäben über reibungsfreie Gelenke verbunden sind (ideales Fachwerk), die Elemente sind von 1 ... NE zu numerieren. ♦ Anzahl der Knoten NK, es sind die (reibungsfreien) Fachwerkknoten, die die Stäbe verbinden, auch die gelagerten Knoten müssen mitgezählt werden, die Knoten sind von 1 ... NK zu numerieren. ♦ NK Knotenkoordinatenpaare, bezogen auf ein vom Benutzer frei wählbares kartesisches x-y-Koordinatensystem (mit der Definition dieses Koordinatensystems liegen dann auch die Richtungen positiver Knotenkräfte, die Richtungen der Verschiebungsmöglichkeiten von Loslagern und die Richtungen der zu berechnenden Knotenverschiebungen fest). ♦ NE Knotennummernpaare (Koinzidenzmatrix), mit denen die Zuordnung der Stäbe zu den Knoten definiert wird, welcher Knoten als erster bzw. zweiter Knoten angegeben wird, ist bedeutungslos. ♦ NE Dehnsteifigkeiten (Produkt aus Elastizitätsmodul und Querschnittsfläche) für die Stäbe, bei deren Eingabe man gegebenenfalls vom Angebot, durch Drücken der Taste F2 allen Stäben den gleichen Wert zukommen zu lassen, Gebrauch machen kann. ♦ NK Knotenkraftpaare (für jeden Knoten zwei Komponenten mit den Richtungen der für die Knotenkoordinaten festgelegten Koordinatenachsen), da alle Werte mit Null vorbelegt sind, müssen meist nur einige Werte eingeben werden. ♦ NK Indikatoren für die Knotenlagerung: 0 1 2 12 ♦ ---> ---> ---> ---> Knoten ist nicht gelagert (Vorbelegung für alle Knoten), Verschiebung in x-Richtung behindert (Loslager), Verschiebung in y-Richtung behindert (Loslager), Knoten unverschieblich (Festlager). 2*NK Federsteifigkeiten (an jedem Knoten darf je eine lineare Feder in x- und yRichtung angebracht sein), alle Werte mit Null vorbelegt. J. Dankert: CAMMPUS 4.5 72 Das Programm arbeitet mit den Annahmen der klassischen Fachwerktheorie (reibungsfreie Gelenke, kleine Verformungen). Es liefert für statisch bestimmte und statisch unbestimmte Systeme im Rahmen dieser Theorie exakte Ergebnisse. Im Abschnitt 7.3 wurde für ein einfaches Fachwerk die komplette Eingabesequenz angegeben, im Abschnitt 7.2 findet sich die Datei FEMMOD.DAT, die vom Programm automatisch nach der Eingabe erzeugt wird (und in späteren Programmläufen eingelesen werden kann). Diese Datei befindet sich auch auf den CAMMPUS-Installationsdisketten, sie steht nach der CAMMPUS-Installation als FACHS195.DAT im CAMMPUS-Installationsverzeichnis. Nachfolgend ist das Ergebnis der Berechnung (als "Encapsulated PostScript"-File erzeugt und von der Textverarbeitung integriert) angegeben: Knkoordinaten Kn Y 2.000000000 0.000000000 2.000000000 1.000000000 0.000000000 2.000000000 1.000000000 Elmnt. 6 7 Kraft FY 0.000000000 1.000000000 -1.000000000 0.000000000 Dehn-Stf. EA Alle 6 3 3 5 3 6 7 8 9 10 7 6 7 7 4 Kn 4 1 1 2 2 5 3 4 4 5 Knlagerung Kraft FX Element-Parameter Elemt. Elmnt. Kn 1 2 3 4 5 Knlasten Kn STAB2D Elemente-Kn X 0.000000000 0.000000000 2.000000000 2.000000000 2.000000000 4.000000000 4.000000000 1 2 3 4 5 6 7 08.07.1995 Finite-Elemente-Baukasten FEMSET J. Dankert 210000.0000 Verschiebung Kn u Verschiebung v Verhindert Verhindert Verhindert Verhindert 1 2 Beispiel-Fachwerk auf Seite 195: Kontroll-Ausgabe aller Eingabedaten Verformtes System Knverformungen Kn 1 3 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 Verschiebung u 0.000000000 0.000000000 0.000014286 0.000000000 -0.000004762 0.000014286 0.000012012 1 2 3 4 5 6 7 Verschiebung v 0.000000000 0.000000000 -0.000030191 -0.000026620 -0.000027810 -0.000079430 -0.000074668 Kn 7 5 Verschiebungen 3631-fach vergroessert Stabkraefte Stab 7 8 5 3 9 6 4 10 Zugstab Druckstab 2 Nullstab 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Stabkraft -1.000000000 0.000000000 1.677050983 -0.559016994 -0.750000000 0.250000000 1.500000000 1.118033989 -1.118033989 -0.500000000 Ausgabe aller berechneten Ergebnisse J. Dankert: CAMMPUS 4.5 73 Tip für Studenten, die Aufgaben lösen müssen, bei denen Kräfte, Abmessungen und Dehnsteifigkeiten nicht als Zahlenwerte gegeben sind: Wenn sich alle Kräfte durch eine Kraft (z. B.: F) und alle Abmessungen durch eine Länge (z. B.: a) und alle Dehnsteifigkeiten durch einen Wert EA ausdrücken lassen, dann sollte man für diese Größen die dimensionslosen Werte F = 1, a = 1 und EA = 1 eingeben. Das Programm FACH2D errechnet dann dimensionslose Verschiebungen und dimensionslose Stabkräfte. Die tatsächlichen Stabkräfte erhält man durch Multiplikation mit F, die tatsächlichen Knotenverschiebungen durch Multiplikation mit Wenn mehrere (nicht durch eine Kraft auszudrückende) Kräfte vorgeschrieben sind, kann zusätzlich das "Einheitslast-Verfahren" mit anschließender Superposition verwendet werden (vgl. nachfolgendes Beispiel). Für das skizzierte Fachwerk ("Dankert/Dankert: TM, computerunterstützt", Seite 74) sind folgende Werte gegeben: Beispiel: F, a, EA. Die Stäbe 1, 2, 12 und 13 haben die Dehnsteifigkeit 3EA, alle übrigen Stäbe die Dehnsteifigkeit EA. Wie oben beschrieben, werden für die Rechnung die Werte F = 1, a = 1 und EA = 1 verwendet (für die Stäbe 1, 2, 12 und 13 wird dementsprechend jeweils eine 3 eingegeben). Die nach der Berechnung erstellte PostScript-Ausgabe (siehe folgende Seite) zeigt dies für die Knotenkoordinaten, die Knotenbelastungen und die Element-Parameter. Die vom Programm ausgegebenen Ergebnisse sind wie folgt zu interpretieren: ♦ Die Stabkräfte sind mit F zu multiplizieren, z. B. erhält man für Stab 8: ♦ Die Knotenverschiebungen sind alle mit dem oben angegebenen Faktor zu multiplizieren, z. B. erhält man für die Horizontalverschiebung des rechten Lagers: ♦ Die in der graphischen Darstellung des verformten Systems angegebene Information "Verschiebungen 0,0021-fach vergroessert" ist natürlich beim Rechnen mit "Einheitswerten" nur bedingt aussagefähig. J. Dankert: CAMMPUS 4.5 74 11.07.1995 Finite-Elemente-Baukasten FEMSET J. Dankert STAB2D FEM-Berechnungsmodell Knkoordinaten Y X Kn 0.000000000 2.000000000 4.000000000 2.000000000 4.000000000 2.000000000 4.000000000 0.000000000 0.000000000 6.000000000 6.000000000 9.000000000 9.000000000 12.00000000 12.00000000 18.00000000 1 2 3 4 5 6 7 8 1 Verschiebung 0.000000000 112.3509190 162.2289403 137.1009190 136.7289403 161.8509190 117.2289403 263.9369850 1 2 3 4 5 6 7 8 Element-Parameter Elemt. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Dehn-Stf. EA 3.000000000 3.000000000 1.000000000 1.000000000 1.000000000 1.000000000 1.000000000 1.000000000 1.000000000 1.000000000 1.000000000 3.000000000 3.000000000 4 5 8 7 5 7 9 11 2 6 4 10 6 2 12 13 1 8 Knlasten Knverformungen Kn 3 3 u Verschiebung v 0.000000000 -277.3208456 -271.9875122 -311.9348706 -311.9348706 -260.5808540 -253.9141873 0.000000000 Kn 3 5 7 Kraft FX Kraft FY 3.000000000 0.000000000 0.000000000 -1.000000000 -1.000000000 -1.000000000 Beispiel-Fachwerk von Seite 74 (Staebe mit unterschiedlichen Steifigkeiten) Stabkraefte Stab 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Stabkraft -6.610177338 8.959786704 2.666666667 -8.500000000 0.300462606 8.250000000 0.000000000 -6.500000000 -2.103238244 8.250000000 3.333333333 -7.812027764 6.851601597 Zugstab Druckstab Nullstab Verformtes System Verschiebungen 0.0021-fach vergroessert Wenn die Aufgabenstellung mehrere unterschiedliche Kräfte enthält, die weder als Zahlenwerte gegeben sind, noch sämtlich durch eine Kraft ausgedrückt werden können (der Listigkeit der Aufgabensteller ist keine Grenze gesetzt), kann man nach dem "EinheitslastVerfahren" vorgehen, das in der Ingenieur-Praxis ohnehin sehr beliebt ist, weil es den Einfluß der einzelnen Kräfte auf die Ergebnisse erkennen läßt. Die nebenstehende Skizze zeigt ein Beispiel: Für die horizontale Kraft F0 ist nicht bekannt, wie groß sie im Verhältnis zu den Vertikalkräften ist (natürlich müssen aber F und F0 als gegebene Größen ausgewiesen sein). J. Dankert: CAMMPUS 4.5 75 Man betrachtet zwei Lastfälle (hier demonstriert nur für die Berechnung der Stabkräfte, die Verschiebungsberechnung würde dem gleichen Algorithmus folgen). Als "Lastfall 1" werden für die (gleich großen) Vertikalkräfte Einheitslasten angenommen, man erhält: 11.07.1995 Finite-Elemente-Baukasten FEMSET J. Dankert Knlasten Stabkraefte Stab 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Stabkraft -5.408326913 4.743416490 2.000000000 -4.500000000 -0.901387819 5.250000000 0.000000000 -4.500000000 -0.901387819 5.250000000 2.000000000 -5.408326913 4.743416490 STAB2D 3 5 7 Kraft FX 0.000000000 0.000000000 0.000000000 3 5 7 Kraft FY -1.000000000 -1.000000000 -1.000000000 Kn Kn 4 3 1 8 5 7 6 9 11 10 12 2 Zugstab 13 Druckstab Nullstab 1. Lastfall: Vertikale Einheitslasten Der "Lastfall 2" besteht nur aus einer horizontalen Einheitslast: 11.07.1995 Finite-Elemente-Baukasten FEMSET J. Dankert Knlasten Stabkraefte Stab 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Stabkraft -0.400616808 1.405456738 0.222222222 -1.333333333 0.400616808 1.000000000 0.000000000 -0.666666667 -0.400616808 1.000000000 0.444444444 -0.801233617 0.702728369 STAB2D Kn 3 Kraft FX 1.000000000 4 3 Kn 3 1 Kraft FY 0.000000000 5 8 7 6 2 Zugstab Druckstab 9 10 11 12 13 Nullstab 2. Lastfall: Horizontale Einheitslast Die Ergebnisse erhält man schließlich durch Superposition, wobei das Ergebnis des einzelnen Lastfalls jeweils mit der entsprechenden tatsächlichen Größe der Kraft zu multiplizieren ist, z. B. für die Stabkraft des Stabs 8: Man erkennt, daß sich das Ergebnis der ersten Rechnung ergibt, wenn man F0 = 3 F setzt. Wenn mehr als zwei Kräfte mit unterschiedlichen Bezeichnungen vorgegeben sind, muß man weitere Einheitslastfälle durchrechnen. J. Dankert: CAMMPUS 4.5 9 76 Programm RAHMEN2D (ebene Rahmentragwerke) Das Programm RAHMEN2D berechnet für ebene biege- und dehnsteife Rahmentragwerke J. Dankert Finite-Elemente-Baukasten FEMSET 09.07.1995 RAHMEN2D FEM-Berechnungsmodell die Verformungen (Verschiebungen in zwei Richtungen und Verdrehwinkel), die Schnittgrößen (Normalkraft, Querkraft, Biegemoment). Als Belastungen sind Einzelkräfte, Einzelmomente und linear veränderliche Linienlasten (Trapezlasten) zugelassen. Das Berechnungsmodell wird durch folgende Eingabewerte beschrieben: ♦ Anzahl der Elemente NE, die Elemente sind dehn- und biegesteife Rahmentragwerk, 17-fach statisch unbestimmt Träger mit elementweise konstanter Dehnsteifigkeit und elementweise konstanter Biegesteifigkeit, die Normalkräfte, Querkräfte und Biegemomente übertragen können und an den Knoten biegesteif miteinander verbunden sind, die Elemente sind von 1 ... NE zu numerieren. ♦ Anzahl der Knoten NK (Verbindungsstellen bzw. Endpunkte der einzelnen Elemente), Knoten müssen vorgesehen werden an den Ecken des Tragwerks, an den Enden des Tragwerks, an Verzweigungspunkten, an Angriffspunkten von Einzelkräften und Einzelmomenten, an gelagerten Punkten, an den Stellen, wo sich Biege- und Dehnsteifigkeiten (sprunghaft) ändern, am Beginn und am Endpunkt von konstanten bzw. linear veränderlichen Linienlasten (und an Stellen sprunghafter Änderung der Intensität oder des Anstiegs bei Trapezlasten), die Knoten sind von 1 ... NK zu numerieren. ♦ NK Knotenkoordinatenpaare, bezogen auf ein vom Benutzer definiertes kartesisches x-y-Koordinatensystem (x muß sich entgegen dem Uhrzeigersinn auf kürzerem Wege nach y drehen lassen, mit der Definition dieses Koordinatensystems liegen auch die Richtungen positiver Knotenkräfte, die Richtungen der Verschiebungsmöglichkeiten von Loslagern und die Richtungen der zu berechnenden Knotenverschiebungen fest). ♦ NE Knotennummernpaare (Koinizidenzmatrix), mit denen die Zuordnung der Elemente zu den Knoten definiert wird, die Reihenfolge der Eingabe der beiden zu einem Element gehörenden Knoten bestimmt die positiven Richtungen der auf dieses J. Dankert: CAMMPUS 4.5 77 Element wirkenden Linienlasten und definiert die Vorzeichenregelung für die berechneten Querkräfte und Biegemomente. ♦ NE Sätze von je 4 Elementparametern: Biegesteifigkeit (Produkt aus Elastizitätsmodul E und Flächenträgheitsmoment I bezüglich der Biegeachse), die Biegeachse liegt senkrecht zur Rahmenebene und muß eine Hauptzentralachse sein, Dehnsteifigkeit (Produkt aus Elastizitätsmodul E und Querschnittsfläche A), bei der Eingabe von Biege- und Dehnsteifigkeit kann man gegebenenfalls vom Angebot, durch Drücken der Taste F2 allen Elementen den gleichen Wert zukommen zu lassen, Gebrauch machen, Linienlastintensität am Elementknoten 1 (Dimension: "Kraft pro Länge"), Linienlastintensität am Elementknoten 2. Die Entscheidung, welcher Knoten eines Elements "Elementknoten 1" ist, wird mit der Eingabe der Koinzidenzmatrix getroffen: Die erste der beiden einzugebenden Knotennummern definiert den "Elementknoten 1" für dieses Element. Die Linienlasten wirken immer senkrecht zum Element mit folgender Vorzeichenregelung: Wenn man vom Elementknoten 1 zum Elementknoten 2 "wandert", zeigen die Pfeilspitzen positiver Linienlasten nach links (im Zweifelsfall gibt die graphische Darstellung nach der Eingabe Auskunft darüber, ob man das richtige Vorzeichen gewählt hat). ♦ ♦ 3*NK Knotenlasten (für jeden Knoten zwei Kraft-Komponenten mit den Richtungen und dem positiven Richtungssinn der gewählten Koordinatenachsen und ein Einzelmoment, positive Momente drehen entgegen dem Uhrzeigersinn), da alle Wert mit Null vorbelegt sind, müssen meist nur einige Werte eingeben werden. J. Dankert Finite-Elemente-Baukasten FEMSET 09.07.1995 RAHMEN2D FEM-Berechnungsmodell NK Indikatoren für die Knotenlagerung: Jeder einzelne Freiheitsgrad (Verschiebungen u und v in Richtung der für die Koordinateneingabe gewählten Achsen und der Biegewinkel ϕ) Graphisch darstellbare Last- und Lagersymbole kann behindert werden, wobei eine 1 für die Behinderung von u steht, eine 2 für die Behinderung von v und eine 3 für die Behinderung von ϕ. Jede beliebige Kombinaten der drei Ziffern ist zugelassen, es bedeuten z. B.: 0 1 2 12 123 ---> ---> ---> ---> ---> Knoten ist nicht gelagert (Vorbelegung für alle Knoten), Verschiebung in x-Richtung behindert (Loslager), Verschiebung in y-Richtung behindert (Loslager), Knoten unverschieblich (Festlager), Starre Einspannung. J. Dankert: CAMMPUS 4.5 78 Für diese Lagervarianten sind in der graphischen Darstellung passende Symbole zu sehen, die Indikatoren 3, 13 und 23 sind auch möglich, werden in der Rechnung berücksichtigt, aber in der graphischen Darstellung des Berechnungsmodells sind dafür keine Symbole vorgesehen (man bemerkt ihre Berücksichtigung natürlich in den Ergebnislisten und in der graphischen Darstellung des verformten Systems). ♦ 3*NK Federsteifigkeiten (an jedem Knoten dürfen je eine lineare Feder in x-Richtung, in y-Richtung und eine Drehfeder angebracht sein), alle Werte sind mit Null vorbelegt. Das Programm arbeitet mit den Annahmen der klassischen Biegetheorie (kleine Verformungen, Gültigkeit der Bernoulli-Hypothese). Es liefert für statisch bestimmte und statisch unbestimmte Systeme im Rahmen dieser Theorie exakte Ergebnisse. Das Programm RAHMEN2D berechnet primär die Verformungen und gibt die Werte an den Knoten aus. Die Richtungen der positiven Knotenverschiebungen u und v orientieren sich an den Richtungen der für die Eingabe gewählten Koordinatenachsen, positive Biegewinkel haben die gleiche Richtung wie positive äußere Momente (entgegen dem Uhrzeigersinn). RAHMEN2D Knverformungen Kn Verschiebung u 0.000000000 13.47533172 21.90874424 22.94509096 22.67767544 21.96619752 13.28804169 0.000000000 22.14675607 13.16058629 0.000000000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Verschiebung v 0.000000000 -0.050989333 -0.130333174 -0.210219033 0.030433262 0.024899639 0.017484992 0.000000000 -0.232066465 -0.135245659 0.000000000 Biegewinkel phi -0.006175035 -0.002587762 -0.001070755 -0.001033994 0.000635922 0.001078770 -0.000571687 0.000000000 -0.001465569 -0.003818989 0.000000000 Verformtes System Das nebenstehende Bild zeigt eine (als "Encapsulated Postscript"-File erzeugte und von der Textverarbeitung integrierte) Liste der Knotenverformungen für das am Beginn des Abschnitts 9 abgebildete 17-fach statisch unbestimmte Rahmentragwerk und die graphische Darstellung des verformten Systems. Als Sekundärergebnisse werden die Schnittgrößen (Normalkraft, Querkraft und Biegemoment) berechnet und als Liste und Graphik ausgegeben. 09.07.1995 Finite-Elemente-Baukasten FEMSET J. Dankert 4 5 3 6 2 1 9 7 8 10 11 Verschiebungen 29-fach vergroessert Die Schnittgrößen werden an den Knoten berechnet, die Liste der Schnittgrößen ist aber elementweise angelegt, weil an den Knoten Sprünge in den Verläufen typisch sind. Für die graphischen Darstellungen berechnet das Programm die Schnittgrößen auch in den Elementbereichen, so daß auch die Funktionen 2. und 3. Grades, die bei Belastung durch die Linienlasten entstehen, korrekt gezeichnet werden. Die Vorzeichenregelung für die Schnittgrößen orientiert sich an der in "Dankert/Dankert: Technische Mechanik, computerunterstützt" im Abschnitt 7.1 gegebenen Vorschrift: J. Dankert: CAMMPUS 4.5 79 ♦ Normalkräfte sind postiv, wenn sie den Träger auf Zug beanspruchen. ♦ Für Querkräfte und Biegemomente wird eine "Bezugsfaser-Regelung" definiert, die Bezugsfaser wird für jedes Element mit der Eingabe der Koinzidenzmatrix festgelegt. Wie bereits für die Festlegung positiver Linienlast-Richtungen wird auf die "Elementknoten 1 und 2" Bezug genommen (Elementknoten 1 gehört zur ersten der beiden bei Eingabe der Koinzidenzmatrix anzugebenden Knotennummern): Wenn man vom Elementknoten 1 zum Elementknoten 2 "wandert", liegt die Bezugsfaser auf der rechten Seite. ♦ Positive Querkräfte zeigen an einem Schnittufer des Trägerteils, der zum Elementknoten 1 gehört, zur Bezugsfaserseite. ♦ Finite-Elemente-Baukasten FEMSET J. Dankert Schnittgroessen Element Kn 1 2 4 5 6 7 8 In die graphischen Darstellungen der Schnittgrößen wird auch die Bezugsfaser eingezeichnet. Sie enthält darin eine weitere Information: Wenn der Schnittgrößenverlauf für ein Element auf der Bezugsfaserseite gezeichnet wird, werden negative Werte dargestellt. 9 10 11 12 13 14 -33992.88888 -33992.88888 -52895.89365 -52895.89365 -53257.23932 -53257.23932 -118851.3411 -118851.3411 25534.78791 25534.78791 -83240.01152 -83240.01152 3689.082389 3689.082389 4943.097505 4943.097505 11656.66167 11656.66167 -109513.7080 -109513.7080 80248.24768 80248.24768 -56646.84618 -56646.84618 -64547.20386 -64547.20386 -90163.77279 -90163.77279 FEM-Berechnungsmodell 4 4 3 3 Der nebenstehende Ausdruck zeigt die Liste der Schnittgrößen und ihre graphischen Darstellungen (erzeugt als "Encapsulated PostScript"-File) für den 17-fach statisch unbestimmten Rahmen, der mit seiner Belastung am Beginn des Abschnitts 9 dargestellt wurde. Normalkraft 1 2 2 3 3 4 4 5 3 6 2 7 5 6 6 7 7 8 5 9 6 9 7 10 9 10 10 11 3 Positive Biegemomente beanspruchen die Bezugsfaserseite des Trägers auf Zug. 09.07.1995 RAHMEN2D 5 2 2 Normalkraft Biegemoment 0.000000000 10330305.85 -41161787.65 38888552.76 28522083.21 -28031940.13 -28031940.13 -41499363.21 10366469.55 8740414.042 51492093.50 -33571427.98 -40827891.38 46732528.70 -136853445.8 114847353.6 -161928900.5 169551394.9 -671471.8303 -14871162.39 -7673611.450 -14942734.98 43204826.12 -72069734.08 -29813897.37 -1565037.157 -73634771.24 124554627.5 Biegemoment 5 7 10 6 11 8 6 Querkraft 43443.43528 -31556.56472 51683.44680 6683.446802 -18851.34111 -18851.34111 53257.23932 -59242.76068 -361.3456692 -361.3456692 -18903.00477 -18903.00477 29186.80669 29186.80669 83900.26646 83900.26646 110493.4318 110493.4318 -2625.523714 -2625.523714 -1615.360785 -1615.360785 -25616.56893 -25616.56893 9416.286739 9416.286739 66063.13292 66063.13292 7 9 13 12 10 1 9 14 1 8 11 Querkraft In der Schnittgrößenliste sind für jedes Element zwei Zeilen vorgesehen, die jeweils erste Zeile gehört zum Elementknoten 1. Mit dieser Reihenfolge korrespondiert die Lage der jeweiligen Bezugsfaser des Elements, z. B.: Für die horizontal liegenden Elemente wurde jeweils der linke Knoten als Elementknoten 1 eingegeben, deshalb liegen die zugehörigen Bezugsfasern unter dem Element. J. Dankert: CAMMPUS 4.5 Tips für Studenten, die gerade die Biegetheorie behandeln und Aufgaben lösen müssen, bei denen die "Verformung infolge der Normalkräfte vernachlässigt wird" und ... für Studenten, die Statik-Aufgaben lösen müssen und noch gar nichts von Steifigkeiten wissen, ... wurden bereits im Abschnitt 7.6 gegeben. Tip für Studenten, die Aufgaben lösen müssen, bei denen Kräfte, Abmessungen und Steifigkeiten nicht als Zahlenwerte gegeben sind: Weil sich die Einflüsse von Biege- und Dehnsteifigkeit überlagern, sind die Überlegungen etwas komplizierter als beim Fachwerk (Abschnitt 8). Wenn die Verformung infolge der Normalkräfte (wie fast immer) vernachlässigt werden kann (oder gar keine Normalkräfte wirken wie im nachfolgenden Beispiel), gilt ähnlich wie bei den Fachwerken: Wenn sich alle Kräfte durch eine Kraft (z. B.: F) und alle Abmessungen durch eine Länge (z. B.: a und die äußeren Momente dann durch Fa) und alle Biegesteifigkeiten durch einen Wert EI ausdrücken lassen, dann sollte man für diese Größen die dimensionslosen Werte F = 1, a = 1 und EI = 1 eingeben. Das Programm RAHMEN2D errechnet dann dimensionslose Verschiebungen und dimensionslose Schnittgrößen. Die tatsächlichen Querkräfte erhält man durch Multiplikation mit F, die tatsächlichen Biegemomente durch Multiplikation mit Fa, die tatsächlichen Knotenverschiebungen und die tatsächlichen Biegewinkel durch Multiplikation mit Wenn sich alle Belastungen durch eine Linienlastintensität q ausdrücken lassen, rechnet man mit q = 1 und muß die dimensionslosen Querkräfte mit qa multiplizieren, die dimensionslosen Momente mit qa2 und die dimensionslosen Verschiebungen bzw. Biegewinkel mit Wenn mehrere (nicht durch eine Größe auszudrückende) Belastungen vorgeschrieben sind, kann zusätzlich das "Einheitslast-Verfahren" mit anschließender Superposition verwendet werden (vgl. Beispiel im Abschnitt 8). Bei statisch bestimmten Problemen sind die Schnittgrößen von den Steifigkeiten unabhängig, so daß die Schnittgrößen (nicht allerdings die Verschiebungen) in jedem Fall (auch bei gleichzeitiger Biege- und Normalkraftverformung) wie oben beschrieben berechnet werden können. 80 J. Dankert: CAMMPUS 4.5 Beispiel: 81 Für den skizzierten Biegeträger sind folgende Größen gegeben: F , I , l , E = konst. Die Berechnung wird ausgeführt für die Werte F = 1, l = 1 und EI = 1 (für die drei Elemente im linken Trägerteil wird dementsprechend jeweils eine 2 für die Biegesteifigkeit eingegeben). Die nach der Berechnung erstellte PostScript-Ausgabe (unten rechts) zeigt dies für die Knotenkoordinaten und die Knotenlasten. Die vom Programm ausgegebenen Ergebnisse sind wie folgt zu interpretieren: ♦ Die Knotenverschiebungen und die Biegewinkel sind mit den angegebenen Faktoren zu multiplizieren, z. B. erhält man für die maximalen Werte am rechten Trägerrand: ♦ Die Querkräfte sind mit F zu multiplizieren, z. B. erhält man am linken Rand: ♦ Knlasten Kn Kn Kraft Fx 0.000000000 0.000000000 2 5 Kraft Fy -4.000000000 -1.000000000 2 5 0.000000000 0.000000000 Kn RAHMEN2D Knkoordinaten 2 5 Kn Die Biegemomente sind mit Fl zu multiplizieren, z. B. ergibt sich am Loslager: 11.07.1995 Finite-Elemente-Baukasten FEMSET J. Dankert X 0.000000000 0.200000000 0.400000000 0.600000000 1.000000000 1 2 3 4 5 Y 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.000000000 Aufgabe von Seite 286: Traeger mit sprunghaft veraenderlichem Querschnitt Moment M Knverformungen ♦ ♦ Die in der graphischen Darstellung des verformten Systems angegebene Information "Verschiebungen 1,1fach vergroessert" ist natürlich beim Rechnen mit "Einheitswerten" nur bedingt aussagefähig. Normalkräfte treten erwartungsgemäß nicht auf. Kn Verschiebung u 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.000000000 1 2 3 4 5 Verschiebung v 0.000000000 0.000333333 0.000000000 -0.009333333 -0.058666667 Biegewinkel phi 0.000000000 0.005000000 -0.020000000 -0.070000000 -0.150000000 Schnittgroessen Element 1 Kn Normalkraft 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.000000000 1 2 2 3 3 4 4 5 2 3 4 FEM-Berechnungsmodell 1 1 2 2 3 Verformtes System Verschiebungen 1.1-fach vergroessert Querkraft 0.500000000 0.500000000 -3.500000000 -3.500000000 1.000000000 1.000000000 1.000000000 1.000000000 Biegemoment 3 4 4 5 Querkraft Biegemoment 0.000000000 0.100000000 0.100000000 -0.600000000 -0.600000000 -0.400000000 -0.400000000 0.000000000 J. Dankert: CAMMPUS 4.5 82 Tip für Studenten, die Aufgaben lösen müssen, bei denen die analytischen Darstellungen von Biegelinie und Momentenverlauf gefordert sind: Mit den berechneten Knotenverformungen und den auf das Element wirkenden (linear veränderlichen) Linienlasten kann die (exakte) Biegelinie für jedes Element aufgeschrieben werden. Mit den berechneten Biegemomenten an den Knoten und den auf das Element wirkenden (linear veränderlichen) Linienlasten kann die Biegemoment-Funktion für jedes Element aufgeschrieben werden. Nachfolgend werden die Formeln für den allgemeinen Fall angegeben. Die nebenstehende Skizze zeigt ein Element, dessen Lage bezüglich des bei der Eingabe definierten (globalen) Koordinatensystems durch die beiden Koordinatenpaare (x1 ,y1 ) und (x2 ,y2 ) der Elementknoten 1 bzw. 2 bestimmt ist. Die Biegesteifigkeit (EI)e und die Linienlastintensitäten q1 und q2 gehören ebenfalls zu den Eingabegrößen. Vom Programm RAHMEN2D werden die Knotenverschiebungen u1 , v1 , u2 und v2 mit den durch das globale Koordinatensystem definierten positiven Richtungen und die Biegewinkel ϕ1 und ϕ2 (vgl. untere Skizze) berechnet und ausgegeben. Aus den Eingabewerten können für das Element berechnet werden: Es wird nun ein lokales xe-ye-Elementkoordinatensystem mit dem Ursprung im Elementknoten 1 und zum Elementknoten 2 gerichteter xe-Achse definiert, die Knotenverschiebungen können auf die Richtungen dieses Systems umgerechnet werden: Damit kann die Funktion für die Längsverschiebung aufgeschrieben werden: J. Dankert: CAMMPUS 4.5 83 In der nachfolgenden Formel für die Biegeverformung (Biegeline) ist zu beachten, daß positive Verschiebungen ve die Richtung der positiven ye-Achse haben, für die Linienlastintensitäten an den Elementknoten gilt die (auf der Skizze der vorigen Seite gezeigte) Vereinbarung positiver Richtungen (beim "Wandern" von Elementknoten 1 nach Elementknoten 2 zeigen die Pfeilspitzen positiver Linienlasten nach links): Die Biegemomente werden vom Programm RAHMEN2D für jedes Element an den beiden Elementknoten mit den Werten Mb1 bzw. Mb2 ausgegeben (Vorzeichen wie vereinbart mit der Bezugsfaserregelung). Unter Beachtung der Vereinbarungen über die Richtungen positiver Linienlasten kann damit der Biegemomentenverlauf bezüglich der Elementkoordinate xe folgendermaßen aufgeschrieben werden: Die Anwendung dieser Formeln ist nicht so kompliziert wie ihr Aussehen und wird am nachfolgenden Beispiel demonstriert. Für den skizzierten zweifach statisch unbestimmt gelagerten Biegeträger werden in "Dankert/Dankert: Technische Mechanik, computerunterstützt" auf den Seiten 249 bis 251 (mit einiger Mühe) die Biegelinie und der Biegemomentenverlauf analytisch berechnet. Beispiel: Gegeben: qC , a, EI = konst. Die FEM-Rechnung mit dem Programm RAHMEN2D wird mit den dimensionslosen Werten qC = 1, a = 1 und EI = 1 durchgeführt. Dementsprechend müssen die berechneten Biegemomente mit dem Faktor qC a2 multipliziert J. Dankert: CAMMPUS 4.5 werden, die Biegewinkel sind mit 84 16.07.1995 Finite-Elemente-Baukasten FEMSET J. Dankert RAHMEN2D FEM-Berechnungsmodell 1 1 2 2 3 zu multiplizieren. Tip für Studenten, die so tun möchten, als hätten sie die Aufgabe "per Handrechnung" gelöst: Bei diesen "akademischen" Problemen kann man den Dezimalbrüchen fast immer ansehen, welche gemeinen Brüche bei der Handrechnung entstehen könnten (multiplizieren Sie versuchsweise die Ergebnisse gegebenenfalls mehrfach mit 2, 3 und 5). Knverformungen Verschiebung Kn 0.000000000 0.000000000 0.000000000 1 2 3 u Verschiebung 0.000000000 0.000000000 0.000000000 v Biegewinkel phi 0.000000000 -0.008333333 0.016666667 Schnittgroessen Element 1 Kn 2 1 2 2 3 Normalkraft 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.000000000 Querkraft -0.050000000 -0.050000000 0.200000000 -0.300000000 Biegemoment 0.016666667 -0.033333333 -0.033333333 0.000000000 Verformtes System Dem nebenstehendem Ausdruck entnimmt man: Verschiebungen 32-fach vergroessert Biegemoment Im linken Abschnitt wirken keine Linienlasten, im rechten Abschnitt ist für den Elementknoten 2 die Linienlastintensität q2 = − qC einzusetzen. Damit erhält man mit den unten skizzierten Elementkoordinaten die exakten Ergebnisse (positive Verschiebungen sind nach oben gerichtet): Aus den Biegemomenten an den Knoten erhält man die (ebenfalls exakten) Verläufe: J. Dankert: CAMMPUS 4.5 10 Programm FACH3D (räumliche Fachwerke) Das Programm FACH3D berechnet die Verformungen und Stabkräfte dreidimensionaler Fachwerke, die durch folgende Eingabewerte beschrieben werden: ♦ 85 Anzahl der Elemente NE, die Elemente sind Fachwerkstäbe mit elementweise konstanter Dehnsteifigkeit, die nur Zugund Druckbelastung übertragen können und mit den anderen Stäben über reibungsfreie Gelenke verbunden sind (ideales Fachwerk), die Elemente sind von 1 ... NE zu numerieren. Finite-Elemente-Baukasten FEMSET J. Dankert 09.07.1995 STAB3D FEM-Berechnungsmodell 3D-Fachwerk mit 215 Stäben und 71 Knoten ♦ Anzahl der Knoten NK, es sind die (reibungsfreien) Fachwerkknoten, die die Stäbe verbinden, auch die gelagerten Knoten müssen mitgezählt werden, die Knoten sind von 1 ... NK zu numerieren. ♦ NK Knotenkoordinatentripel, bezogen auf ein vom Benutzer frei wählbares kartesisches x-y-z-Koordinatensystem (mit der Definition dieses Koordinatensystems liegen dann auch die Richtungen positiver Knotenkräfte, die Richtungen der Verschiebungsmöglichkeiten von Loslagern und die Richtungen der zu berechnenden Knotenverschiebungen fest). ♦ NE Knotennummernpaare (Koinzidenzmatrix), mit denen die Zuordnung der Stäbe zu den Knoten definiert wird, welcher Knoten als erster bzw. zweiter Knoten angegeben wird, ist bedeutungslos. ♦ NE Dehnsteifigkeiten (Produkt aus Elastizitätsmodul und Querschnittsfläche) für die Stäbe, bei deren Eingabe man gegebenenfalls vom Angebot, durch Drücken der Taste F2 allen Stäben den gleichen Wert zukommen zu lassen, Gebrauch machen kann. ♦ NK Knotenkrafttripel (für jeden Knoten drei Komponenten mit den Richtungen der für die Knotenkoordinaten festgelegten Koordinatenachsen), da alle Werte mit Null vorbelegt sind, müssen meist nur einige Werte eingeben werden. ♦ NK Indikatoren für die Knotenlagerung: 0 1 ---> ---> 2 ---> 3 ---> Knoten ist nicht gelagert (Vorbelegung für alle Knoten), Verschiebung in x-Richtung behindert (Knoten kann sich in einer zur y-z-Ebene parallelen Ebene frei bewegen), Verschiebung in y-Richtung behindert (Knoten kann sich in einer zur x-z-Ebene parallelen Ebene frei bewegen), Verschiebung in z-Richtung behindert (Knoten kann sich in einer zur x-y-Ebene parallelen Ebene frei bewegen), J. Dankert: CAMMPUS 4.5 12 ---> 86 Verschiebung in x- und y-Richtung behindert (Knoten kann sich parallel zur z-Achse frei bewegen), Verschiebung in x- und z-Richtung behindert (Knoten kann sich parallel zur y-Achse frei bewegen), Verschiebung in y- und z-Richtung behindert (Knoten kann sich parallel zur x-Achse frei bewegen), Knoten unverschieblich (Festlager). J. Dankert Finite-Elemente-Baukasten FEMSET 09.07.1995 STAB3D FEM-Berechnungsmodell 13 ---> 23 ---> 123 ---> Die Skizze rechts oben zeigt für alle 7 Lagervarianten die Symbole, die in den graphischen Darstellungen verwendet werden. ♦ 3*NK Federsteifigkeiten (an jedem Knoten darf je eine lineare Feder in x-, y- und z-Richtung angebracht sein), alle Werte mit Null vorbelegt. Das Programm arbeitet mit den Annahmen der klassischen Fachwerktheorie (reibungsfreie Gelenke, kleine Verformungen). Es liefert für statisch bestimmte und statisch unbestimmte Systeme im Rahmen dieser Theorie exakte Ergebnisse. Die graphische Kontrolle der Richtigkeit des eingegebenen Berechnungsmodells ist bei 3DObjekten wesentlich schwieriger als für 2D-Modelle. Deshalb stehen zahlreiche Funktionen zur Modifikation der graphischen Darstellungen zur Verfügung. Die Berechnungsmodelle können in Zentralprojektion oder Parallelprojektion dargestellt werden (Voreinstellung ist Zentralprojektion): ♦ Bei der Zentralprojektion wird von einem Projektionszentrum, dem "Eye Point" (über das Menü einstellbar), zu jedem Punkt des Körpers ein Sehstrahl gezogen. Der Schnittpunkt des Sehstrahls mit der Ebene, auf der die Abbildung entstehen soll (Projektionsebene), ist die Abbildung des Punktes in der Zeichenebene. Die Projektionsebene wird durch die Festlegung eines Hauptpunktes (über das Menü einstellbar) definiert: Sie verläuft durch den Hauptpunkt und liegt senkrecht zur Verbindungsgeraden vom "Eye Point" zum Hauptpunkt. ♦ Die Parallelprojektion kann als Sonderfall der Zentralprojektion angesehen werden, bei der das Projektionszentrum ("Eye Point") im Unendlichen liegt, so daß alle Sehstrahlen parallel verlaufen. Sie wird definiert durch einen Vektor der Blickrichtung (müßte für eine mit der Zentralprojektion vergleichbare Darstellung die negativen Werte der "Eye Point"-Komponenten enthalten) und den Hauptpunkt, der die zum Vektor der Blickrichtung senkrecht liegende Projektionsebene festlegt. J. Dankert: CAMMPUS 4.5 87 09.07.1995 Finite-Elemente-Baukasten FEMSET J. Dankert FEM-Berechnungsmodell FEM-Berechnungsmodell STAB3D FEM-Berechnungsmodell FEM-Berechnungsmodell Vorderansicht, Seitenansicht, Draufsicht (Parallelprojektion) und Zentralprojektion Die Zentralprojektion offeriert beinahe beliebige Möglichkeiten, das Fachwerk zu betrachten, und liefert meist auch "schönere Bilder", weil der räumliche Eindruck (besonders bei nicht zu großer Entfernung des "Eye Points" vom Objekt) besonders gut vermittelt wird. Die nebenstehende Skizze zeigt ein Beispiel, wie durch geeignete Wahl des "Eye Points" das Fachwerk auch "von innen" betrachtet werden kann. Finite-Elemente-Baukasten FEMSET J. Dankert 09.07.1995 STAB3D FEM-Berechnungsmodell Die Parallelprojektion hat dagegen die angenehme Eigenschaft, vertikale Linien in der Projektionsebene auch vertikal wiederzugeben. Sie sollte auch unbedingt für die "klassischen" Ansichten (Vorderansicht, Seitenansicht und Draufsicht) verwendet werden. Die darzustellenden Zeichnungselemente werden bei Zentralprojektion in der Reihenfolge ihrer Entfernung vom "Eye Point" gezeichnet (die am weitesten entfernten Elemente zuerst), bei der Parallelprojektion wird die Reihenfolge sinngemäß mit dem Blickrichtungs- Z "Eye Point" unter dem Turm, Y Hauptpunkt senkrecht darüber X J. Dankert: CAMMPUS 4.5 88 vektor festgelegt. So überdecken die näher zum Betrachter liegenden Elemente die weiter entfernten. Da die Elemente mit "breiten und zweifarbigen Linien" gezeichnet werden (Seitenkannten haben andere Farbe als die Mitte der Linie), enthält die Zeichnung die Information, welche Zeichnungselemente vor anderen liegen (einfache "Hidden Line"Strategie). Da die PostScript-Ausgabe mit der gleichen "Überdeckungsstrategie" arbeitet wie die Bildschirm-Ausgabe, wird der gleiche Effekt für die Drucker-Ausgabe erreicht. Als Ergebnisse der Berechnung ergeben sich drei Verschiebungen (in Richtung der bei der Eingabe definierten Koordinaten) für jeden Knoten und eine Stabkraft für jedes Element. Die Ergebnisse können in Listen ausgegeben und durch eine graphische Darstellung anschaulich gemacht werden. Finite-Elemente-Baukasten FEMSET J. Dankert Verformtes System Verformtes System Verschiebungen 266-fach vergroessert Verschiebungen 93-fach vergroessert Zugstab Druckstab Nullstab 09.07.1995 STAB3D J. Dankert: CAMMPUS 4.5 11 89 Programm RAHMEN3D (3D-Rahmentragwerke) Das Programm RAHMEN3D berechnet für räumliche dehn-, biege- und torsionssteife Rahmentragwerke J. Dankert Finite-Elemente-Baukasten FEMSET 10.07.1995 RAHM3D FEM-Berechnungsmodell die Verformungen (Verschiebungen in drei Richtungen und Verdrehwinkel um drei Achsen), die Schnittgrößen (Normalkraft, zwei Querkräfte, zwei Biegemomente, Torsionsmoment). Als Belastungen sind Einzelkräfte und Einzelmomente zugelassen. Das Berechnungsmodell wird durch folgende Eingabewerte beschrieben: 3D-Rahmentragwerk ♦ Anzahl der Elemente NE, die Elemente sind dehn-, biege- und torsionssteife Träger mit elementweise konstanten Werkstoffkennwerten (Elastizitätsmodul, Gleitmodul) und elementweise konstanten Querschnittskennwerten (Querschnittsfläche, Flächenträgheitsmomente um zwei Achsen, Torsionsträgheitsmoment), die Normalkräfte, Querkräfte und Biege- und Torsionsmomente übertragen können und an den Knoten starr miteinander verbunden sind, die Elemente sind von 1 ... NE zu numerieren. ♦ Anzahl der Knoten NK (Verbindungsstellen bzw. Endpunkte der einzelnen Elemente), Knoten müssen vorgesehen werden an den Ecken des Tragwerks, an den Enden des Tragwerks, an Verzweigungspunkten, an Angriffspunkten von Einzelkräften und Einzelmomenten, an gelagerten Punkten, an den Stellen, wo sich die Werkstoff- oder Querschnittswerte (sprunghaft) ändern, die Knoten sind von 1 ... NK zu numerieren. ♦ NK Knotenkoordinatentripel, bezogen auf ein vom Benutzer frei wählbares kartesisches x-y-z-Koordinatensystem (Rechtssystem, mit der Definition dieses Koordinatensystems liegen dann auch die Richtungen positiver Knotenkräfte, die Drehachsen der an den Knoten angreifenden äußeren Momente, die Richtungen der Verschiebungsmöglichkeiten von Loslagern, die Richtungen der zu berechnenden Knotenverschiebungen und die Drehachsen der zu berechnenden Verdrehwinkel fest). Das durch Eingabe der Koordinaten definierte System wird im folgenden als globales Koordinatensystem bezeichnet. ♦ NE Knotennummernpaare (Koinzidenzmatrix), mit denen die Zuordnung der Elemente zu den Knoten definiert wird, die Reihenfolge der Eingabe der beiden zu einem Element gehörenden Knoten definiert die Vorzeichenregelung für die berech- J. Dankert: CAMMPUS 4.5 90 neten Querkräfte und Biegemomente (der als erster eingebene Knoten wird nachfolgend als "Elementknoten 1" bezeichnet, der andere Knoten ist "Elementknoten 2"). Mit der Reihenfolge der Eingabe der beiden Knotennummern wird gemeinsam mit dem bereits festgelegten globalen Koordinatensystem für jedes Element ein lokales x-y-z-Koordinatensystem wie folgt definiert: Der Ursprung des lokalen Koordinatensystems liegt im Elementknoten 1, die x-Achse zeigt vom Elementknoten 1 zum Elementknoten 2. Die y-Achse verläuft parallel zur globalen x-y-Ebene. Bei Elementen, die parallel zur globalen z-Achse liegen, ist y parallel zur globalen y-Achse. x, y, z bilden in dieser Reichenfolge ein Rechtssystem, y und z müssen die beiden Hauptzentralachsen des Querschnitts sein! ♦ NE Sätze von je 6 Elementparametern (da sehr oft für alle Elemente gleiche Werte gelten, kann man das Angebot nutzen, mit der Taste F2 allen Elementen den zuletzt eingegebenen Wert zuzuordnen): Elastizitätsmodul E, Gleitmodul G, der für elastische Materialien nach der Formel (ν ist die Querkontraktionszahl) berechnet werden kann, Flächenträgheitsmoment Iyy bezüglich der Hauptzentralachse y, Flächenträgheitsmoment Izz bezüglich der Hauptzentralachse z, Torsionsträgheitsmoment It , Querschnittsfläche A. ♦ 6*NK Knotenlasten, für jeden Knoten drei Kraft-Komponenten mit den Richtungen und dem positiven Richtungssinn der globalen Koordinatenachsen und drei Einzelmomente, deren "Doppelpfeilspitzen" in Richtung der globalen Koordinatenachsen zeigen. Der Drehsinn der Momente ist durch die "Rechtsschrauben-Regel" festgelegt: Eine Rechtsschraube bewegt sich bei Drehung im positiven Drehsinn in Richtung der positiven Koordinatenachse. Da alle Werte mit Null vorbelegt sind, müssen meist nur einige Werte eingeben werden. ♦ NK Indikatoren für die Knotenlagerung: Jeder einzelne Freiheitsgrad (Verschiebungen u, v und w in Richtung der globalen Koordinatenachsen und die Verdrehwinkel ϕx , ϕy und ϕz ) kann behindert werden, wobei 1, 2 und 3 für die Behinderung von u bzw. v bzw. w stehen, 4, 5 und 6 sinngemäß für die Behinderung von ϕx bzw. ϕy bzw. ϕz. Jede beliebige Kombinaten der drei Ziffern ist zugelassen (es sind insgesamt 63 Möglichkeiten denkbar), es bedeuten z. B.: 0 1 ---> ---> Knoten ist nicht gelagert (Vorbelegung für alle Knoten), Verschiebung in x-Richtung behindert (Knoten kann sich in einer zur y-z-Ebene parallelen Ebene frei bewegen), J. Dankert: CAMMPUS 4.5 2 ---> 3 ---> 12 ---> 13 ---> 23 ---> 123 123456 ---> ---> 91 Verschiebung in y-Richtung behindert (Knoten kann sich in einer zur x-z-Ebene parallelen Ebene frei bewegen), Verschiebung in z-Richtung behindert (Knoten kann sich in einer zur x-y-Ebene parallelen Ebene frei bewegen), Verschiebung in x- und y-Richtung behindert (Knoten kann sich parallel zur z-Achse frei bewegen), Verschiebung in x- und z-Richtung behindert (Knoten kann sich parallel zur y-Achse frei bewegen), Verschiebung in y- und z-Richtung behindert (Knoten kann sich parallel zur x-Achse frei bewegen), Knoten unverschieblich (Festlager), Starre Einspannung. Für diese Lagervarianten sind in der graphischen Darstellung passende Symbole zu sehen, die übrigen Kombinationen sind auch möglich, werden in der Rechnung berücksichtigt, aber in der graphischen Darstellung des Berechnungsmodells sind dafür keine Symbole vorgesehen (man bemerkt ihre Berücksichtigung natürlich in den Ergebnislisten). ♦ J. Dankert Finite-Elemente-Baukasten FEMSET 10.07.1995 RAHM3D FEM-Berechnungsmodell 6*NK Federsteifigkeiten (an jedem Knoten dürfen je eine lineare Feder in x-Richtung, in yRichtung und z-Richtung und Darstellbare Last- und Lagersymbole entsprechende Drehfedern mit Widerstand gegen Verdrehung um Achsen parallel zum globalen Koordinatensystem angebracht sein), alle Werte sind mit Null vorbelegt. Das Programm arbeitet mit den Annahmen der klassischen Biegetheorie (kleine Verformungen, Gültigkeit der Bernoulli-Hypothese) und der Voraussetzung wölbfreier Torsion (bzw. der Annahme, daß sich Verwölbungen spannungsfrei ausbilden können). Es liefert für statisch bestimmte und statisch unbestimmte Systeme im Rahmen dieser Theorien exakte Ergebnisse. Für die sehr wichtige graphische Kontrolle des Berechnungsmodells stehen alle im Abschnitt 10 für die 3D-Fachwerke beschriebenen Möglichkeiten zur Verfügung. Es gelten auch die dort gegebenen Empfehlungen. Primär werden die Knotenverformungen berechnet (drei Verschiebungen u, v und w in Richtung der globalen Koordinatenachsen und die Verdrehwinkel ϕx , ϕy und ϕz ). Diese können in Listen ausgegeben und mit einer vereinfachten Darstellung auch graphisch sichtbar J. Dankert: CAMMPUS 4.5 92 gemacht werden (dabei werden nur die Knotenverschiebungen berücksichtigt, die verschobenen Knoten werden durch Geraden verbunden). 10.07.1995 Finite-Elemente-Baukasten FEMSET J. Dankert RAHM3D Verformtes System 27 23 25 19 21 28 24 22 Als Sekundärergebnisse werden die Schnittgrößen (Normalkraft, zwei Querkräfte, zwei Biegemomente und das Torsionsmoment) berechnet und als Listen ausgegeben. 26 17 20 15 18 11 13 16 12 14 9 10 7 Die Schnittgrößen werden an den Knoten berechnet, die Listen der Schnittgrößen sind aber elementweise angelegt, weil an den Knoten Sprünge in den Verläufen typisch sind. 5 8 6 3 4 1 2 Verschiebungen 83-fach vergroessert Die Schnittgrößen beziehen sich immer auf das lokale x-y-z-Koordinatensystem des Elements. Dies wird in den Listen durch einen zusätzlichen Index "q" angedeutet. Es können gesondert die Listen für die drei Schnittkräfte bzw. die drei Schnittmomente ausgegeben werden, nachfolgend ein Ausschnitt aus der Schnittmomenten-Liste: 10.07.1995 Finite-Elemente-Baukasten FEMSET J. Dankert RAHM3D FEM-Berechnungsmodell 37 43 41 35 30 38 33 40 24 21 29 34 39 26 23 20 16 32 36 42 27 18 19 25 13 11 22 17 14 5 10 8 15 12 6 3 7 31 28 9 4 1 2 Schnittmomente Element 1, Element 2, Element 3, Element 4, Element 5, Element 6, Kn Kn Kn Kn Kn Kn Kn Kn Kn Kn Kn Kn 1: 7: 2: 8: 3: 9: 4: 10: 5: 11: 6: 12: Moment Mbyq 8622.767962 -4829.703051 8622.933951 -4830.035112 0.000000000 -5336.735880 0.000000000 -5336.741292 0.000000000 -5210.541482 0.000000000 -5210.541270 Moment Mbzq 1733.523785 5907.926665 1369.143837 6252.957806 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.000000000 -4692.789313 0.000000000 -4365.427537 Tors.-Momt. -130.0906889 -130.0906889 -130.0962544 -130.0962544 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.000000000 J. Dankert: CAMMPUS 4.5 93 Anhang Nachfolgend sind die Drucker-Ausgaben von PostScript-Files zusammengestellt, die einige typische Berechnungsmodelle für die in den Abschnitten 7 bis 11 beschriebenen Programmen zeigen. Im Gegensatz zu den in den Abschnitten 8 bis 11 gezeigten Ausgaben sind es "echte" PostScript-Files (keine "Encapsulated PostScript"-Files), die direkt (ohne Einbindung in die Textverarbeitung) zum Drucker geschickt wurden. Das jeweils verwendete Programm schreibt eine Kurzbezeichnung des verwendeten finiten Elements rechts oben in den Kopftext der Seite (bei den Fachwerkprogrammen "STAB2D" bzw. "STAB3D", bei den Programmen für biegesteife Rahmen "RAHMEN2D" bzw. "RAHMEN3D"). Für das Modell, das mit "RAHMEN3D" berechnet wurde, mußte wegen des Speicherplatzbedarfs das 32-Bit-Programm (vgl. Abschnitt 2.1) benutzt werden. Auf die Ausgabe der zum Teil außerordentlich umfangreichen Ergebnislisten wurde weitgehend verzichtet, obwohl diese natürlich den eigentlichen Wert der Berechnungen enthalten.
