(Eigenschaften geometrischer Figuren und K\366rper)

Eigenschaften geometrischer Figuren und Körper
1. Ebene Figuren
1.1. Geradenkreuzungen
1.1.1. Einfache Geradenkreuzung
Grundfigur:
Bezeichnungen:
Scheitelwinkel = gegenüberliegende Winkel,
h
β
γ
hier: α und γ, β und δ
α
Nebenwinkel = nebeneinanderliegende Winkel
g
δ
hier: α und β, β und γ usw.
Eigenschaften:
- Scheitelwinkel sind gleich groß.
- Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.
1.1.2. Doppelkreuzung
Grundfigur:
β1
γ1
β2
γ2
Bezeichnungen:
s
Stufenwinkel = Winkel wie α1 und α2
α1
g1
δ1
Wechselwinkel = Winkel wie α2 und γ1
Nachbarwinkel = Winkel wie α2 und δ1
α2
δ2
g2
1.1.3. Doppelkreuzung mit parallelen Geraden
Grundfigur:
β1
γ1
β2
γ2
α2
δ2
δ1
s
α1
g1
g2
Eigenschaften:
- Stufenwinkel sind gleich groß, z. B. α1 = α2, β1 = β2 usw.
- Wechselwinkel sind gleich groß, z. B. α2 = γ1, β2 = δ1 usw.
- Nachbarwinkel ergänzen sich zu 180°, z. B. δ1 + α2 =180° usw.
zus. gestellt von OStR Rainer Martin, Ehrenbürg-Gymnasium Forchheim, Stand: 12.05.2004
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Eigenschaften geometrischer Figuren und Körper
- Satz: Sind Stufen- und Wechselwinkel gleich groß, so sind die Geraden parallel.
1.2. Dreiecke
1.2.1. Allgemeines Dreieck
Grundfigur:
C
Bezeichnungen:
γ
Eckpunkte A, B, C
b
Seiten a, b, c (Lage beachten!)
Innenwinkel α, β, γ
a
α
β
A
c
B
Eigenschaften:
- Der längeren Seite liegt stets der größere Winkel gegenüber.
- Dem größeren Winkel liegt stets die längere Seite gegenüber.
- Dreiecksungleichung: Die Summe zweier Seiten ist stets größer als die dritte Seite. Z .b a + b > c
- Satz von den Innenwinkeln eines Dreiecks: Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks ist 180°,
kurz: α + β + γ = 180°
Besondere Dreiecke:
gleichschenkliges Dreieck, gleichseitiges Dreieck, rechtwinkliges Dreieck
C
1.2.2. Transversalen im Dreieck
Höhe = Lot von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Seite
Bezeichnung: ha = Höhe von A auf a
b
hb = Höhe von B auf b
H
a
hc = Höhe von C auf c
Eigenschaft:
- Die Höhen schneiden sich in einem Punkt.
ha
A
c
Bezeichnung: sa = Seitenhalbierende von A auf a
b
sb = Seitenhalbierende von B auf b
a
S
sc = Seitenhalbierende von C auf c
sa
Eigenschaften:
A
sc
c
- Die Seitenhalbierenden teilen sich im Verhältnis 2:1.
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B
C
Seitenhalbierende = Verbindungslinie von einem Eckpunkt
zur Mitte der gegenüberliegenden Seite
- Die Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt,
dem Schwerpunkt S des Dreiecks.
hb
hc
sb
B
Eigenschaften geometrischer Figuren und Körper
Mittelsenkrechte = Lot im Mittelpunkt einer Seite auf diese Seite.
C
Bezeichnung: ma = Mittelsenkrechte auf a
mb = Mittelsenkrechte auf b
mc = Mittelsenkrechte auf c
mb
b
Eigenschaften:
ma
- Die Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt M.
- Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt
des Umkreises des Dreiecks.
mc
A
c
B
C
Winkelhalbierende = Linie, die einen Innenwinkel halbiert.
Bezeichnung: wα = Winkelhalbierende von α
γ
2
wβ = Winkelhalbierende von β
b
wγ = Winkelhalbierende von γ
Eigenschaftenen:
2
- Die Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt W.
α
wα
A
Schenkel a, b
a
α
β
D
c
Basis c
b
c
2
wγ
2
Bezeichnungen:
2 2
c
2
Basiswinkel α, β
Winkel an der Spitze γ
B
Eigenschaften:
- Zwei Seiten, die Schenkel, sind gleich lang, hier: a = b.
- Zwei Winkel, die Basiswinkel, sind gleich groß, hier: α = β
- Das Dreieck ist achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse ist die Höhe auf die Basis.
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2
a
W
- Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt A
des Inkreises des Dreiecks.
γ γ
γ
wβ
α
1.2.3. Gleichschenkliges Dreieck
C
Grundfigur:
a
M
β
β
2
2
B
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1.2.4. Gleichseitiges Dreieck
C
Grundfigur:
γ
b
a
α
β
A
c
B
Eigenschaften:
- Alle drei Seiten sind gleich lang, hier: a = b = c.
- Alle drei Winkel sind gleich groß, nämlich 60°.
1.2.5. Rechtwinkliges Dreieck
Grundfigur:
Bezeichnungen:
C
rechter Winkel γ
b
Katheten a, b
a
Hypothenuse c (= längste Seite)
α
β
A
c
B
Eigenschaften:
- Satz des Pythagoras: Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypothenusenquadrat,
2
2
2
kurz: a + b = c
1.2.6. Dreiecksfläche
C
Grundfigur:
Bezeichnungen:
Grundlinie g
Höhe h
b
a
h
A
Satz:
g
B
Die Fläche F eines Dreiecks mit der Grundlinie g und der Höhe h ist F = 12 g ⋅ h
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1.3. Vierecke
1.3.1. Allgemeines Viereck
Grundfigur:
c
D
Eckpunkte A, B, C, D
γ
δ
d
Seiten a, b, c, d (Lage beachten!)
α
Innenwinkel α, β, γ, δ
b
f
e
A
Bezeichnungen:
C
β
a
Diagonalen e = [AC], f = [BD]
B
Eigenschaften:
- Die Summe der Innenwinkel beträgt 360°, kurz: α + β + γ + δ = 360°
Besondere Vierecke:
Parallelogramm, Rechteck, Raute, Quadrat, Trapez, gleichschenkliges Trapez, Drachenviereck,
selten: Sehnenviereck, Tangentenviereck
1.3.2. Parallelogramm
Grundfigur:
c
D
C
d
b
e
A
f
a
B
Eigenschaften:
- Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel, hier: a || c und b || d.
- Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich groß, hier: a = c und b = d.
- Die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß, hier: α = γ und β = δ.
- Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig.
- Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch bzgl. des Schnittpunkts der Diagonalen.
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1.3.3. Rechteck
Grundfigur:
c
D
C
d
b
e
A
f
a
B
Eigenschaften:
- Alle Eigenschaften des Parallelogramms. Zusätzlich:
- Alle Winkel sind gleich groß, nämlich 90°.
- Die Diagonalen sind gleich lang.
1.3.4. Raute
D
Grundfigur:
d
c
e
A
C
f
a
b
B
Eigenschaften:
- Alle Eigenschaften des Parallelogramms. Zusätzlich:
- Alle Seiten sind gleich lang.
- Die Diagonalen stehen aufeinander senkrecht.
1.3.5. Quadrat
Grundfigur:
D
c
C
d
b
e
Eigenschaften:
A
f
a
B
- Alle Eigenschaften des Rechtecks und der Raute.
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1.3.6. Drachenviereck
Grundfigur:
D
d
c
e
A
C
f
a
b
B
Eigenschaften:
- Je zwei benachbarte Seiten sind gleich lang.
- Die Diagonalen stehen aufeinander senkrecht.
- Eine Diagonale halbiert die andere.
- Das Drachenviereck ist bzgl. einer Diagonalen symmetrisch.
1.3.7. Trapez
Gleichschenkliges Trapez:
Grundfigur:
D
Schenkel
A
Basis
C
Höhe
D
C
Schenkel
B
Basis
A
Eigenschaften:
- Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel.
- Das gleichschenklige Trapez ist bzgl. der Mittelsenkrechten zu den Basen symmetrisch.
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B
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1.3.8. Vierecksflächen
Grundfigur:
D
C
-
Flächeninhalt eines Parallelogramms mit
der Grundfläche g und der Höhe h:
h
A
g
A = g⋅h
B
- Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten a und b: A = a ⋅ b
2
- Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge a: A = a
- Flächeninhalt eines Trapezes mit den Basen a und c und der Höhe h: A = 12 (a + c) ⋅ h
1.3.9. Reguläre Vielecke
Beispiel: reguläres Achteck
Bezeichnungen:
reguläres Vieleck bzw. n-Eck
Innenwinkel αn
µn
M
Mittelpunktswinkel µn
αn
Eigenschaften:
- Jeder Innenwinkel beträgt α n = (n −2n)180° .
- Jeder Mittelpunktswinkel beträgt µ n =
360°
n
.
- Jedes reguläre n-Eck besitzt einen Umkreis (rot) und einen Inkreis.
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1.4. Kreis
1.4.1. Kreis
Grundfigur:
r
Bezeichnungen:
Mittelpunkt M
Radius r
Durchmesser d
Kreislinie k
Kreisinneres, Kreisäußeres
k
d
M
Eigenschaften:
- Der Durchmesser ist eine Sehne durch den Mittelpunkt. Damit: d = 2 ⋅ r
- Der Umfang u eines Kreises mit Radius r ist u = 2π ⋅ r
- Der Flächeninhalt A eines Kreises mit Radius r ist A = π ⋅ r
2
1.4.2. Kreissektor
Grundfigur:
r
Bezeichnungen:
Kreissektor
Winkel des Sektors α
Bogenlänge s
s
α
M
Eigenschaften:
2
α
- Sektorfläche A s = π r ⋅ 360
°
α
- Sektorlänge s = π r ⋅ 180
°
1.4.3. Tangente, Sekante, Passante
Grundfigur:
Tangente
M
Sehne
Passante
Bezeichnungen:
Sehne = Gerade, die den Kreis in 2 Punkten schneidet
Tangente = Gerade, die den Kreis in einem Punkt berührt
Passante = Gerade, die mit dem Kreis keinen Punkt
gemeinsam hat
Eigenschaften:
- Die Tangente steht auf dem Radius senkrecht.
1.4.4. Thaleskreis
Grundfigur:
A
C
M
B
Bezeichnungen:
Ist [AB] Durchmesser
Thaleskreis über [AB]
C liegt auf dem Thaleskreis
Satz des Thales: Das Dreieck ABC ist rechtwinklig bei C.
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2. Räumliche Körper
2.1. Körper mit ebenen Seitenflächen
2.1.1. Quader und Würfel
Grundfigur:
Bezeichnungen:
Ecke, Kante, Seitenfläche
Länge, Breite, Höhe
c
Oberfläche O = Summe aller Seitenflächen
Volumen V = Rauminhalt
b
a
Würfel = Quader mit gleich langen Kanten
Eigenschaften:
- Die Oberfläche eines Quaders mit den Seitenlängen a, b, c ist: O = 2 ⋅ (a ⋅ b + a ⋅ c + b ⋅ c )
- Das Volumen eines Quaders mit den Seitenlängen a, b, c ist: V = a ⋅ b ⋅ c
2
- Die Oberfläche eines Würfels mit der Kantenlänge a ist: O = 6 ⋅ a
3
- Das Volumen eines Quaders mit den Seitenlängen a, b, c ist: V = a
2.1.2. Gerades n-seitiges Prisma
Beispiele: Quader (=4-seitiges Prisma)
3-seitiges Prisma
Deckfläche
Bezeichnungen:
Seitenflächen
(= Rechtecksflächen)
Seitenkante
= Höhe h
Mantelfläche
= alle Seitenflächen
Grundfläche
G
zusammen
Eigenschaften:
- Das Volumen eines Prismas mit Grundfläche G und Höhe h ist V = G ⋅ h
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2.1.3. Pyramide
Beispiel:
Pyramide mit 4-eckiger Grundfläche
S
Bezeichnungen:
Spitze S
Seitenflächen (= Dreiecksflächen)
Pyramidenmantel = alle Seitenflächen zusammen
Seitenkanten
h
Grundfläche = beliebiges n-Eck
Höhe h = Lot von Spitze auf Grundfläche
G
Eigenschaften:
- Das Volumen einer Pyramide mit Grundfläche G und Höhe h ist V = 13 G ⋅ h
2.1.4. Tetraeder
Grundfigur:
S
Bezeichnungen:
Tetraeder = Pyramide mit 3-seitiger Grundfläche
Regulärer Tetraeder = Tetraeder mit kongruenten
Seitenflächen und Grundfläche
h
G
2.1.5. Oktaeder
Grundfigur:
Bezeichnungen:
Oktaeder = „doppelte Pyramide“ mit
4-seitiger Grundfläche
Regulärer Oktaeder = Oktaeder mit kongruenten
Seitenflächen
Eigenschaften:
- Die Eckpunkte eines regulären Oktaeders liegen auf einer Kugel.
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