Script - Physik I

Physik I
Bachelorstudiengang Physikalische Technik
Fachhochschule Münster
Prof. Dr. Hans-Christoph Mertins
Die Veranstaltung Physik I besteht aus dem Zusammenspiel der folgenden Komponenten:
Vorlesung: hier hören Sie die Grundlagen der Physik und lernen an Schauexperimenten die wichtigsten Effekte
kennen. Dieses Script stellt den Stoff der Vorlesung dar, wobei die Beispielaufgaben in der Vorlesung
vorgerechnet und von Ihnen nachgetragen werden müssen. Das Script ersetzt nicht den Besuch der Vorlesung,
sondern soll Ihnen die Mitschrift ersparen. Die Vorlesung orientiert sich an den Büchern „Physik“ von Haliday,
Resnick, Walker, VCH-Viley und „Prüfungstrainer Experimentalphysik“ von Mertins, Gilbert, Spektrum
Akademischer Verlag Elsevier. Jeder Abschnitt der Vorlesung wird durch das entsprechende Kapitel des Buches
„Prüfungstrainer Experimentalphysik“ noch einmal in Volltext zusammengefasst und anhand der Prüfungsfragen
können Sie Ihr aktuelles Wissen schon während des Semesters und nicht erst vor der Prüfung testen.
Übung & Hausaufgaben: in den Übungen, den Tutorien und den wöchentlichen Hausaufgaben lernen Sie die
Theorie in die Praxis umzusetzen und berechnen konkrete Anwendungen .
Praktikum: hier lernen Sie, wie das theoretische Wissen an Messgeräten und Maschinen im späteren Berufsalltag zum tragen kommt.
www.fh-muenster.de/physiklabor hier finden Sie alle wichtigen Informationen wie die Lösungen der Hausaufgaben, Praktikumsanleitungen, Formelsammlungen die Bilder in höherer Auflösung und andere Hinweise.
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Mechanik
1) Messung & Maßeinheiten
2) Kinematik
3) Vektoren
4) Bewegung im 3-dimensionalen Raum
5) Kraft und Bewegung
6) Arbeit, Energie & Leistung
7) Energieerhaltung und Potenzielle Energie
8) Teilchensysteme & Impuls
9) Stoßprozesse
10) Rotationsbewegungen
11) Drehmoment und Drehimpuls
12) Fluid-Dynamik
Thermodynamik
1) Temperatur
2) Kinetische Gastheorie
3) Wärme & Arbeit
4) Aggregatzustände
5) Entropie
6) Wärmekraftmaschinen
2
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
1. Maßeinheiten
Um eine Sache / Vorgang zu verstehen / mitzuteilen, muss man sie beschreiben, also ein Bild
entwerfen i.d.R. vergleichen mit etwas allgemein Bekanntem. Man muß eine gemeinsame
Sprache sprechen. In der Physik gehören zur gemeinsamen Sprache u.a. die Maße und Messvorschriften.
Maßeinheiten:
1) Vergleich einer Größe mit einem „Normal“ z.B. Länge eines Stabes (Ur-meter)
2) Normal hat eine Einheit, z.B. meter [m]
3) weltweit gültig, für alle zugänglich
4) unabhängig vom Beobachter u. äußeren Umständen, unveränderlich
5) Verfahren entwickeln, um alle entsprechenden Größen mit dem Normal zu vergleichen
1.1 Internationales Einheitensystem System (SI)
Größe
Einheit
Zeichen
Länge
Meter
m
Zeit
Sekunde
s
Masse
Kilogramm
kg
Bilden Basis für weitere Einheiten, Geschw. [v] = m/s
1971 festgelegt, entsprechen menschlichem Maßstab,
weitere Einheiten später: Temp [K], elektr. Ladung [C]
1.2 Länge
Definition des Meters [m]
Präzision
1792: 1 m = (Entfernung Nordpol – Äquator)/(10.000.000)
1 m = Urmeter, eingraviert in Platin-Iridium Stab (Paris)
?
10-4 m
1960 1 m = 1.650.763,73 fache der Wellenlänge orangen Lichtes von 86Kr
~10-9 m
1983 1 m = Strecke von Licht im Vakuum in 1/299.792.458 s
< 10-9 m
3
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
1.3 Zeit
jedes Zeitnormal muß definieren können:
- wann ist ein Ereignis passiert ?
Rückdatierung möglich ?
- über welche Dauer fand ein Ereignis statt?
1.4 Masse
Urkilogramm Platin-Iridium Zylinder (Paris),
Kopie weltweit verschickt,
Masse des Kohlenstoff 12C-Atoms: m = 12u
u = 1.6605402 x 10-27 kg
1.5 Einheiten umwandeln
multipliziere geschickt mit Umrechnungsfaktor 1
Bsp.
(1 min)/(60 s) = (60 s)/(1 min) = 1
1 min = 60 s, aber 1 ≠ 60 !
Zahl und Einheit gleichzeitig umformen und Einheiten wie Zahlen behandeln.
z.B.
2 min = (2 min)*1 = (2 min)*((60 s)/(1 min)) = 120 s
Bsp.
Pheidippides läuft 490 v.Ch. von Marathon nach Athen und überbringt den Sieg der
Griechen über die Perser. Er läuft mit der Geschwindigkeit 23 Riden/h. 1 Ride = 4
Stadien, 1 Stadion = 6 Plethren, 1 Plethron = 30.8 m.
Frage Wie schnell lief er in m/s?
Lsg.
4
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
2. Kinematik
Alles auf der Welt bewegt sich, Grunderfahrung des Menschen, Fortbewegung, Hektik ...
Betrachte nur einfache Bewegung:
a) geradlinig
b) zeitliche Abhängigkeit der Bewegung wichtig
c) bewegtes Objekt: punktförmiges Teilchen, oder Schwerpunkt betrachten
2.1 Ort & Verschiebung
Referenzpunkt:
Nullpunkt auf x-Achse
Verschiebung:
∆x = x2 – x1
Wechsel von Ort x1 nach x2
Richtung:
∆x positiv: x2 > x1
, neg. x2 < x1
Bewegung von x1 => x2 => x1 dann ∆x = 0
berücksichtigt nur Anfang- Endpunkt, nicht die zurückgelegte Strecke
Betrag:
Abstand zwischen x2 und x1
Vektor:
Betrag, Richtung
Frage: welche Paare ergeben neg. Verschiebung (x1, x2): (-3m, 5m), (9m, 8m) => Zeichnen
Frage: welche Paare ergeben neg. Verschiebung (x1, x2): (-3m, 5m), (9m, 8m) => Zeichnen
x1 =-2
0
x2=1
x (m)
2.2 Geschwindigkeit
x2 =0
2.2.1 Mittlere Geschwindigkeit
x1=2
Beschreibe Position des Teilchens durch x(t), Ort als Funktion der Zeit t
∆x x 2 − x1
=
∆t
t 2 − t1
Geschwindigkeit
v gem =
Einheit
[v] = m/s
Startzeit t1 = 0,
Mittelwert
Strecke / Zeit
Exp. Laufband, 5 Studenten stoppen Zeit ∆t, die sie braucht von Punkt x1 nach x2.
5 verschiedene Streckenlängen ausmessen; x(t) auftragen und v berechnen
Messung
Start x1 (m)
Ziel x2 (m)
5
∆x = x2–x1(m)
∆t (s)
v (m/s)
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
x (m)
Darstellung
Daten in x(t)-Diagramm eintragen
Deutung
v = Steigung der Geraden x(t)
∆x
t (s)
∆t
Steigung der Geraden in x(t) zwischen Koordinaten (x1, t1) u. (x2, t2)
Anschauung:
vgem pos.: Gerade steigt nach rechts
vgem neg.: Gerade fällt nach rechts
Startwert x1 , t1 auf 0 setzen => v =
Praktisch
∆x x 2 − 0 x
=
=
∆t t 2 − 0 t
Bsp. Igel bewegt sich auf geradlinigem Weg von x1 => x2 in der Zeit ∆t
Blitzfotos
4s
3s
0s
In ein Bild zeichnen
Bsp.
mittlere Geschwindigkeit des Igels zwischen Koordinaten
(x1,= -4m, t1 = 1s) u. (x2,= 2m, t2 = 4s)
v gem =
m
∆x x 2 − x1 2m − (−4)m 6m
=
=
=
=2
∆t
t 2 − t1
4s − 1s
3s
s
x
Typische Funktionen
a) x(t) = konst
Teilchen bewegt sich nicht
∆x = 0
t
x
b) x(t) = v t
Teilchen hat konstante Geschwindigkeit
t
c) x(t)
beschleunigt, konstante Geschwindigkeit, stoppt,
x
kehrt um, stoppte
t
Vektor
Betrag und Richtung, z.B. Tachometer mißt nur Betrag
6
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
2.2.2 Momentangeschwindigkeit
Sie fahren mit dem Auto von Münster nach Steinfurt und benötigen für 30 km ½ Stunde, dann
=>
v gem =
∆x 30km
km
1000m
m
=
= 60
= 60
= 16,7
∆t
0,5h
h
3600s
s
2 Wochen später erhalten Sie Post vom Polizeipräsidenten mit Blitzfoto und Strafgeld
=>
v = 135 km/h
wie kann das sein?
Frage Geschwindigkeit zur Zeit des Blitzfotos ?
Lsg.
Momentangeschwindigkeit
Mittelwert:
vgem für längeren Zeitraum ∆t
x(m)
1) Mittlere Geschwindigkeit
100
für Zeitraum ∆t = t5 – t1
v gem =
∆x 100 − 0m
m
km
=
= 16,7 = 60
6 − 0s
s
h
∆t
50
für Zeitraum ∆t = t4 – t2
v gem =
m
km
∆x 45 − 18m
= 33,8 = 121
=
s
h
∆t 3,3 − 2,5s
25
t1
=> Geschwindigkeit hängt selbst vom Zeitpunkt ab
t2
t3 t4
0
1
2
3
4
Blitzfoto
2) Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t3 des Blitzfotos
=>
v bei t3 : Zeitraum muss zum Zeitpunkt schrumpfen: ∆t => 0
Momentang. v = lim
∆t → 0
∆x dx
=
∆t dt
- Ableitung von x(t) nach t
- Steigung der Kurve x(t)
- Änderung des Ortes mit der Zeit
7
t5
0
5
6
t (s)
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
2.3 Differenzieren Regeln zum Differenzieren einfacher Funktionen
dx
= 0 denn a hängt nicht von t ab
dt
1)
x(t ) = a , mit a = konstant =>
2)
x(t ) = a ⋅ t
=>
dx
=a
dt
3)
x(t ) = t m
=>
dx
= m ⋅ t m−1 , mit m = konstant
dt
4)
x(t ) = e t
=>
dx
= et
dt
5)
x(t ) = ln t
=>
dx 1
=
dt t
6)
x(t ) = sin t =>
dx
= cos t ,
dt
x(t ) = cos t =>
Summenregel:
d
(u (t ) + v(t )) = du + dv
dt
dt dt
Produktregel:
d
(u (t ) ⋅ v(t )) = u dv + v du
dt
dt
dt
Kettenregel:
d
( f (g (t ))) = df ⋅ dg
dt
dg dt
Bsp
x(t ) = 24 + 6t 3 =>
Bsp: Ort x(t)
a)
dx
= − sin t
dt
dx
=
dt
Geschwindigkeit v(t)
Aufzug steht,
a) -b) fährt los mit wachsender Geschw. bis zur Maximalgeschw.
c)
bremst am Ziel ab
d)
steht
Frage Geschwindigkeit v(t) = ?
Lsg.
8
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
2.4.1 Beschleunigung
Rate der Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit
Mittelwert
agem = ∆v / ∆t = (v1 - v2 ) / (t2 – t1)
für geradlinige Bewegung
Momentan.
a = lim (∆v/∆t) = dv/dt
Ableitung v(t) nach t
∆t → 0
Steigung der Kurve v(t)
a = dv/dt = d/dt(dx/dt) = d2x/dt2
Einheit [a] = m/s2 , Länge/(Zeit*Zeit)
Vektor
Betrag, Richtung
Vorzeichen
Vorzeichen von a und v gleich => Betrag von v nimmt zu, Teil wird schneller
Vorzeichen von a, v verschieden => Betrag v nimmt ab, Teil wird langsamer
Bsp.
Trage Beschleunigung in Bild oben ein
v(t) = konst => a = dv/dt = 0
Beschleunigung dv/dt > 0, Bremsen dv/dt < 0
Beschleunigungsdauer = doppelte Abbremsdauer => aBeschl = ½aBrems
Beschleunigungsgefühl
Figuren in Abb oben eintragen:
Lift fährt nach oben => Beschleunigung = Person nach unten gedrückt, a > 0
Abbremsen => Person hoch gezogen, a < 0
Körper funktioniert wie ein Beschleunigungsmesser, aber nicht als Geschwindigkeitsmesser
Auto v = 50 km/h oder Flugzeug v = 900 km/h nicht unterscheidbar, nur Geschwindigkeitswechsel => Reiz der Achterbahn
9
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
2.4.2 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Sonderfall:
konstante Beschleunigung (Auto Start / Bremsen vor Ampel)
Start: Zeit
t0 = 0
Ort
x(t0) = x0
Geschw.
v(t0) = v0
Beschl.
a = konstant
a = (v – v0)/(t - 0)
=>
v(t) = v0 + a t
v = (x –x0)/(t - 0)
=>
x(t) = x0 +v(t) t
Durchschnitt vgem = ½(v0 + v)
=>
v gem =
zwischen t und t=0
1
(v0 + v0 + at ) = v0 + 1 at
2
2
x(t ) = x0 + v(t )t = x0 + (v0 +
=>
= x0 + v0 t +
1 2
at
2
1
at )t
2
(x(t) oben zum Ende zeichnen)
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Gleichung
Fehlende Größe u. Bedeutung
1.
v(t) = v0 + at
x – x0
Verschiebung zum Anfangspunkt
2.
x – x0 = v0*t + ½ at2
v
aktuelle Geschwindigkeit
aus Gl.1. & Gl. 2. folgt:
3.
v2 = v02 +2a(x –x0)
t
Zeitpunkt, Dauer
4.
x – x0 = ½(v0 + v)t
a
Beschleunigung
5.
x – x0 = vt - ½ at2
v0
Anfangsgeschwindigkeit (1 in 2)
Frage Beweise Gl. 3.
Lsg
10
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
2.4.3 Freier Fall
eine typische konstant beschleunigte Bewegung ist der freie Fall
Exp. Wassertropfen fallen im Takt von ca. 3Hz aus einem Tropf. Stroboskop erzeugt ein
stehendes Bild der Wassertropfen.
Beobachtung: Abstand der Wassertropfen ∆x wird größer.
Tab.
Schrittweise ausfüllen
Tropfen, Zeit, Ort
Deutung:
zurückgelegter Weg der Tropfen bei
Blitzfolge ∆t berechnen , ∆t = 0.33 s Exp.
Blitzfolge
1. Blitz
t1 = 1∆t,
2. Blitz
t2 = 2∆t
n-ter Blitz
tn = n∆t
Weg
∆x = v0t + ½ at2 ,
nach n-tem Blitz
∆x = ½ a(n∆t)2 ,
=>
∆x ~ n2
Vergleich unbeschleunigt
wächst quadratisch mit der Zeit
a = 0 => ∆x = v0(n∆t)
∆x ~ n
Geschwindigkeit
v0 = 0 in unserem Exp.
wächst linear in der Zeit
v(t) = v0 + at = at
wächst linear mit der Zeit (in Tab eintragen)
Gravitationsbeschleunigung
a = -g = -9.81 m/s2
- konstante Beschleunigung in Erdnähe Richtung Erdmittelpunkt
- Gravitation wird negativ gerechnet (zeigt nach unten)
Exp. a) Fallrohr mit Luft: Papier, Kugel fallen lassen, Kugel fällt schneller – warum?
b) Fallrohr evakuiert: Papier und Kugel fallen gleich schnell
Gilt in Erdnähe: g ist unabhängig von den Eigenschaften des Gegenstandes, sofern kein
Luftwiderstand herrscht.
11
Physik I
Bsp.
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Ein Ball wird (entlang einer y-Achse) mit Anfangsgeschwindigkeit v0 = 12 m/s
senkrecht in die Luft geworfen. Der Luftwiderstand sei 0.
Frage a)
Wie lange braucht der Ball bis zur maximalen Höhe?
Frage b)
Wie hoch ist die maximale Höhe über dem Ausgangspunkt?
Frage c)
Wie lange braucht der Ball um 5 m hoch zu fliegen?
12
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
3.1 Vektoren
Hilfsmittel zur Darstellung von gerichteten Größen im Ortsraum
Skalar: Betrag ohne Richtung
Bsp.
Masse, Temperatur, Druck, Energie etc.
Vektor: Betrag mit Richtung
Bsp.
Verschieb. ∆x→, Geschw. v→, Beschl a→, Kräfte
z.B. Verschiebung a→ von Ort A nach Ort B
Darstellung: Pfeil
a→
B
Betrag:  a→ = a = Länge
Vektoren können
a→
A
B`
a→
A`
parallel verschoben werden, ohne dass sie sich ändern, denn
Betrag und Richtung bleiben erhalten
3.2 Vektoraddition
Summe der einzelnen Verschiebungen a→ und b→
Vektorsumme
a→
s→ = a→ + b→
b→
s→
ist keine algebraische Summe!
Methode:
Pfeile parallel verschieben, so dass Spitze an Anfang passt
Kommutativgesetz:
s→ = a→ + b→ = b→ + a→
b
a
s→
→
→
s→
a
b
Assoziativgesetz:
→
s→ = (a→ + b→) +c→ = a→ + (b→ +c→)
a→
b→
b +c
→
a +b
→
s→
Subtraktion:
→
→
→
c→
s→ = a→ - b→ = a→ + (-b→)
-b
s
-b→
→
b→
→
a
→
Richtungsumkehr von b→
13
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
3.3 Vektorkomponenten
3.3.1 Trigonometrische Funktionen
nötig, um Vektorkomponenten zu bestimmen
voller Kreis = 360o = 2π rad
a) Winkelmaße
1 rad = 360ο / 2π = 57,296o
θ
1o = 0,01745 rad
b) Vorzeichen Winkel pos. wenn gegen Uhrzeigersinn
c) Winkelseiten
Hypothenuse h
g Gegenkathete
θ
a Ankathete
d) Winkelfunktion
sin θ = g/h
cos θ = a/h
tan θ = g/a = sin /cos
θ
θ
e) Inverse trigonom. Funktion
Funktion:
sin θ = g/h
Umkehrfunktion
arcsin(g/h) =
θ
arccos(a/h) =
arctan(g/a) =
θ
θ
prüfe Ergebnisse, meist gibt der Taschenrechner nur den Wert aus erstem Quadranten
Bsp.
sin θ = 0.5
Frage
θ
=?
Lsg
14
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
3.3.2 Vektorkomponenten
bisher geometrische Addition von Vektoren, besser ist die analytische Addition der Komponenten im rechtwinkligen x-y-Koordinatensystem
y
a→
Projektion des Vektors auf Kordinatenachse
x-Komponente: ax = a cos(θ)
a
→
θ
ay
ay
ax
y-Komponente: ay = a sin(θ)
ax
x
Mit den Vektorkomponenten besitzt man die vollständige Information über den Vektor.
Darstellung von a→ für definiertes Koordinatensystem:
1)
x-y-Komponenten
a→ = (ax, ay)
2)
Betrag
a = (ax2 + ay2)½
& Winkel
2 Angaben
tan(θ) = ay/ax
2 Angaben
Wie baut man nun aber den Vektor korrekt aus den x-y-Komponenten auf?
3.4 Einheitsvektoren
ex→, ey→, ez→
- spannen ein Koordinatensystem im 3-dimensionalen Raum auf
- geben Richtung vor
- stellen eine Basis dar.
ey→
Betrag = 1 = ex→ = ey→ = ez→
ex→
ohne Einheit, Anordnung: rechtshändig
ez→
Darstellung beliebiger Vektoren durch Einheitsvektoren und Vektorkomponenten möglich:
a→ = ax ex→ +ay ey→ + az ez→
a→ = (ax , ay , az )
Vektorkomponenten hängen von Einheitsvektoren ab; können sich ändern sich z.B. wenn
Basissystem gedreht wird; der Vektor bleibt aber unverändert im Raum
3.5 Vektoren komponentenweise addieren
Wenn Vektorkomponenten bzgl. den Einheitsvektoren bekannt sind, dann kann man die
Vektoren “Achse für Achse” addieren bzw subtrahieren.
15
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
→
→
→
r =a +b
Physikalische Technik FH Münster
rx
ax
bx
ax + bx
= ry = ay + b y = ay + b y
rz
az
bz
az + bz
also: Vektoren sind gleich, wenn ihre Komponenten gleich sind.
Bsp
a→
b→
c→
r→
gegeben
Frage gesucht
= (4,2 m) ex→ - (1,5 m) ey→
= (-1,6 m) ex→ +(2,9 m) ey→
= (-3,7 m) ey→
= a→ + b→ +c→
Lsg:
3.6 Vektormultiplikation
Vektormultiplikationen entsprechen nicht den herkömmlichen Zahlenmultiplikationen.
3.6.1 Multiplikation mit Skalar
Produkt zwischen Vektor und einer Zahl m (Skalar). Es wird komponentenweise multipliziert:
ma→ = m ax ex→ + m ay ey→ + m az ez→
ma→
ma→ = (m ax , m ay , m az )
-1a→
a→
Vektor wird länger (m > 0) oder ändert Richtung (m = -1), Orientierung (Winkel) bleibt aber!
3.6.2 Skalarprodukt
Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ergibt eine Zahl (Skalar).
Regen
.
Berechnung: a→ b→ = axbx + ayby + azbz
.
.
a→ b→ = a→ b→cos θ
a→
θ
= a b cos
θ
Projektion von a→ auf b→
a→cos θ
trocken
16
b→
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Es gilt
a) a→ b→ = b→ a→ Kommutativgesetz
.
Physikalische Technik FH Münster
.
.
b) a→ b→ = maximal, wenn θ = 0o , bzw. θ = n180o
.
c) a→ b→ = 0, wenn θ = 90o , bzw. θ = 90o + n180o
=> Test ob 2 Vektoren senkrecht zueinander stehen.
Bsp.
Βestimme den Winkel θ zwischen zwei Vektoren
Lsg.
3.6.3 Kreuzprodukt (Vektorprodukt)
Das Kreuzprodukt von zwei Vektoren a→ , b→ ergibt einen neuen Vektor c→.
c→ = a→ x b→
Berechnung
a→ x b→ = (aybz - byaz)ex→ + (azbx - bzax)ey→ +(axby - bxay)ez→
c→
Es gilt 1)
c = ab sin θ , θ kleinerer Winkel
2)
c→ senkrecht auf a→ und b→
3)
rechte Hand Regel:
θ
Daumen a→ , Zeigefinger b→ , Mittelfinger c→
b→
a→
Die Anfangspunkte der Vektoren berühren sich
Kreuzprodukt ist
a) maximal, wenn a→ senkrecht auf b→
b) 0, wenn a→ parallel (antiparallel) zu b→
Deutung:
c = c→ Flächeninhalt der von a→ und b→ aufgespannten Fläche und
c→ definiert Lage der Fläche im Raum, da c→ senkrecht auf der Fläche
Beachte
a→ x b→ = -(b→ x a→) wegen rechter-Hand-Regel
17
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
4. Bewegung im 3-dimensionalen Raum
neu:
Darstellung beliebiger Bewegungen im Raum möglich.
4.1 Ort & Verschiebung
Methode:
Ortsvektor r→(t) im rechts-händigen Koordinatensystem
Referenzpunkt: Ursprung des Koordinatensystems (0, 0, 0)
Einheitsvektoren ex→ , ey→ , ez→ spannen Koordinatensystem auf
Ortsvektor:
r→(t) = rx(t) ex→ + ry(t) ey→ + rz(t) ez→
Bewegung:
Zeitabhängigkeit von r→(t) steckt in den Komponenten rx(t), ry(t), rz(t)
Die Einheitsvektoren sind zeitlich konstant
Teilchenbewegung zeigt vom Ursprung (0, 0, 0) zum aktuellen Ort
Verschiebung: ∆r→ = r2→ - r1→
in der Zeit t1 bis t2
∆r→ = (rx2 ex→ + ry2 ey→ + rz2 ez→) - (rx1 ex→ + ry1 ey→ + rz1 ez→)
= (rx2 - rx1)ex→ + (ry2 – ry1) ey→ + (rz2 - rz1) ez→
= ∆rx ex→ + ∆ry ey→ + ∆rz ez→
Bsp.
Der Ortsvektor eines Teilchens wird gegeben:
Zu Zeit t1: r1→ = (-3m) ex→ + (2m) ey→ + (5m) ez→
Zu Zeit t2: r2→ = (9m) ex→ + (2m) ey→ + (8m) ez→
Frage: Verschiebung ∆r→ in der Zeit von t1 bis t2 ?
Lsg.:
Bsp.: Ein Hund läuft auf einem Parkplatz, auf dem ein Koordinatensystem auf-
gemalt ist. Die Zeitabhängigkeit der 2-dim. Bewegung ist gegeben durch:
r→(t) = rx(t) ex→ + ry(t) ey→ + 0 ez→
mit:
rx(t) = -0,31 t2 + 7,2 t + 28
ry(t) = 0,22 t2 –9,1 t +30
[rx] = [ry] = m, [t] = s
Frage: Wie lautet der Ortsvektor zur Zeit t = 15s ?
18
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Lsg:
Frage: Zeichne die Bahnkurve des Hundes von t = 0s bis t = 25 s.
4.2 Geschwindigkeit
4.2.1 Durchschnittsgeschwindigkeit:
v→ = ∆r→/ ∆t
v = ∆r/∆t
= [∆rx ex→ + ∆ry ey→ + ∆rz ez→] / ∆t
= [∆rx / ∆t ]ex→ + [∆ry / ∆t]ey→ + [∆rz / ∆t]ez→
Merke: a) Zeitabhängigkeit von r→(t) steckt in den Komponenten rx(t), ry(t), rz(t),
Einheitsvektoren (ex→ ey→ ez→) sind zeitlich konstant.
b) Eine 3-dim. Bewegung läßt sich nicht mehr im Ort-Zeit Koordinatensystem
darstellen, da wir keine 4-te Dimension zum Zeichnen besitzen.
4.2.2 Momentangeschwindigkeit:
r
r
r
∆r dr
v = lim
=
∆t →0 ∆t
dt
Ableitung bedeutet: lim ∆t → 0 zur Zeit t1, damit folgt:
1) ∆r→ läuft gegen 0 also läuft r2→ auf r1→ zu
2) die Richtung von v→ = ∆r→/ ∆t nähert sich der Tangente im Punkt r1
3) Durchschnittsgeschwindigkeit nähert sich der Momentangeschwindigkeit
Gilt:
Richtung der Momentangeschwindigkeit eines Teilchens verläuft immer tangential zur
Bahnkurve des Teilchens am momentanen Ort des Teilchens.
v→ = dr→/dt
= d/dt [rx ex→ + ry ey→ + rz ez→]
= [drx /dt ]ex→ + [dry /dt]ey→ + [drz /dt]ez→
= vx ex→ + vy ey→ + vz ez→
mit den Geschwindigkeitskomponenten:
vx = drx/dt,
vy = dry/dt,
vz = drz/dt
19
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Vorsicht:
r
Ortsvektor zeigt vom Koordinatenursprung zum Ortspunkt r (Verschiebung r )
Geschwindigkeitsvektor zeigt die momentane Richtung an
Bsp.
Bestimme Geschwindigkeit des Hasen zur Zeit t = 15 s.
Lsg.
4.3 Beschleunigung
tritt auf bei Änderung der Geschwindigkeit eines Teilchens in der Zeitspanne ∆t:
a) im Betrag und / oder
v
∆v
→
b) in der Richtung von v1→ auf v2→
1
v
→
→
2
r1
→
→
Durchschnitt a = ∆v / ∆t
Momentan
(zwischen Orten r1, r2)
r2
a→ = dv→/dt
= d/dt [vx ex→ + vy ey→ + vz ez→]
= [dvx /dt ]ex→ + [dvy /dt]ey→ + [dvz /dt]ez→
= ax ex→ + ay ey→ + az ez→
ax = dvx/dt,
ay = dvy/dt,
az = dvz/dt
(Beschleunigungskomponenten)
Beschleunigungsvektor a→:
- kein Verschiebungsvektor
- zeigt die Richtung der Beschleunigung an, d.h. Richtung der Geschwindigkeitsänderung
- der Betrag von a→ gibt die Größe der Beschleunigung an
- wenn nur Betragsänderung von v→: dann ist a→ tangential zur Bahn
- wenn nur Richtungsänderung von v→: dann steht a→ senkrecht auf der Bahntangente
20
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Bsp. Bestimme die Beschleunigung des Hasen zur Zeit t = 15 s.
Lsg
4.4 Wurfbewegung
Teilchen (Projektil) bewegt sich in senkrechter Ebene:
1) Anfangsgeschwindigkeit v0
2) nur Gravitationsbeschleunigung nach unten, keine horizontale Beschleunigung
3) Luftwiderstand = 0
kein Projektil: Flugzeug, fliegende Ente, da eigener Antrieb
Es gilt: bei der Wurfbewegung sind horizontale und vertikale Bewegung voneinander un-
abhängig, sie beeinflussen sich nicht!
FOLIE Skater
Exp. Modellbahn fährt, schießt Kugel senkrecht nach oben, fängt sie wieder auf
Exp. Blasrohr und Büchse
Aufbau skizzieren,
Deutung
a) Gravitation g = 0 => Magnet aus, Dose fällt nicht, Ball trifft Dose oben
b) g = 9.8 m/s2
=> Dose und Kugel werden gleichermaßen nach unten
beschleunigt => treffen sich immer, unabh. von v0
21
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Wurfbahn / Trajektorie
Komponentenweise bestimmen
Anfangsgeschw.
v→0 = v0x ex→ + v0y ey→
v0x = v0 cos θ0
v0y = v0 sin θ0
r
r
konstant
a y (t ) = − g = −9,81 m s 2 daraus folgt
r
r
zeitabhängig x (t ) , v (t )
Horizontale Bewegung:
Da keine horizontale Beschleunigung => vx = v0x = konstant
x(t) – x0 = v0xt = v0 cos θ0 t
(1) Ort
Vertikale Bewegung:
Entspricht der Bewegung eines Teilchens im freien Fall
y(t) – y0 = v0yt – ½gt2
(2) Ort:
= v0 sin θ0 t - ½gt2
(3) Geschw.
vy = v0 sin θ0 – gt
Fkt. der Zeit, wie senkrecht nach oben geworfener Ball
=> t = (v0 sin θ0-vy)/g, in (2) =>
(4)
vy2 = (v0 sin θ0)2 –2g(y – y0)
Fkt. des Ortes y(t), brauchen wir später
Bahngleichung
Gesucht: Bahn y(x) als Funktion des horizontalen Ortes x.
aus (1) => t = x/(v0 cosθ0),
mit x0 = 0
in (2)
=> y = (v0 sinθ0 x)/( v0 cosθ0) – (g x2)/(2 v02 cosθ02)
(5)
=> y = x tanθ0 - (g x2)/2(v0 cosθ0)2
mit y0 = 0
Trajektorie
Trajektorie ist Wurfparabel der Form y = ax + bx2
wenn Luftwiderstand vernachlässigt wird.
Bsp.
Frage: Komponeneten am Anfang, Ende, höchstem Punkt der Wurfparabel
a) Geschw., b) Beschleunigung
22
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Horizontale Reichweite R
y
Ist die Entfernung des Projektils in x-Richtung, wenn es seine
vertikale Ursprungshöhe (y) wieder errreicht hat, also:
R = x – x0
aus (1)
R = v0 cos θ0 t
mit R = x – x0
aus (2)
0 = v0 sin θ0 t - ½gt2
mit y – y0 = 0
(6)
=>
t = (2v0 /g) sin θ0
=>
R = (2v02/g) sin θ0 cos θ0
=>
R = (v02/g) sin 2θ0
mit sin 2θ0 = 2sin θ0 cos θ0
R wird maximal, wenn sin 2θ0 =1, d.h. bei Abschusswinkel θ0 = 45o .
Bsp. Zacchini
1939 läßt sich Emmanuel Zacchini als menschliche Kanonenkugel über 3 Riesenräder schießen und landet nach einer Reichweite von 69 m sicher im Netz. Wie hat er die Position des
Netzes berechnet?
FOLIE Zacchini
Riesenräder: 18 m hoch, 23 m entfernt
Zacchini:
v0 = 26,5 m/s, y0 = 3 m, θ0 = 53o
Netz:
gesucht R, y = 3 m
Frage a) Schafft es Zacchini über das Riesenrad?
Lsg.
Frageb) Wie hoch ist seine maximale Flughöhe ymax über dem mittleren Riesenrad?
Lsg.
Frage c) Wie weit sollte das Netzt von der Kanone entfernt sein?
Lsg.
23
x
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Frage d) Beschleunigung ?
Lsg.
4.5 Relativbewegung
Bezugssystem: Ort und Geschwindigkeit eines Teilchens hängen vom Bezugssystem
(Koordinatensystem) des Beobachters ab.
Hier: nur Bezugssysteme mit konst. Geschwindigkeit, nicht beschleunigte Bezugssysteme.
Bsp. Geschwindigkeitsmessung:
a) Bezugssystem Strasse: Radarmessung der Autogeschwindigkeit relativ zur Straße
b) Bezugssystem Polizeiauto: Geschwindigkeit relativ zum Polizeiauto ist 0
System A fest
Objekt:
P: LKW auf Autobahn
yA
System B bewegt
Bezugssystem A: Alex steht am Straßenrand
yB
Bezugssystem B: Berti fährt im Auto mit vBA = konst.
P
vBA
xPB
xB
xA
Alex
xBA
Berti misst
Alex mißt
Ort von Berti :
0
xBA
Ort des LKW P:
xPB
xPA = xBA + xPB
Geschwindigkeit
vPB
vPA= d/dt(xPA) = d/dt(xBA) + d/dt(xPB)
xPA=xBA+xPB
= vBA + vPB
Geschwindigkeit Bezugssystem B relativ zu Bezugssystem A: vBA
Beschleunigung
=>
aPA = d/dt(vPA) = d/dt(vBA) + d/dt(vPB)
aPB = aPA
denn vBA = konstant
Die Beschleunigung eines Körpers ist in allen Bezugssystemen gleich, wenn die
Bezugssysteme sich mit konstanter Geschwindigkeit relativ zueinander bewegen.
24
Physik I
Bsp.
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Berti bewegt sich mit v = 52 km/h relativ zu Alex. Geschwindigkeit des LKW P wird
von Alex zu –78 km/h gemessen (LKW kommt auf Alex zu).
Frage Welche Geschw. mißt Berti?
Lsg
Frage Alex mißt, wie der LKW P innerhalb von 10s mit konst. Beschleunigung bremst. Wie
groß ist die Beschleunigung aPA relativ zu Alex?
Lsg.
Frage Beschleunigung des LKW P relativ zu Berti?
Lsg.
25
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
5. Kraft
Wenn ein Teilchen seine Geschwindigkeit ändert (Betrag oder Richtung) dann wissen wir,
daß irgendetwas dies bewirkt haben muß. Erste wissenschaftl. Beobachtung der Verbindung
zwischen Kraft und Beschleunigung durch Newton. (1642 – 1727))
Newtonsche Mechanik gilt nicht wenn:
a) Geschwindigkeiten nahe Lichtgeschwindigkeit =>
Relativitätstheorie
b) Mikrokosmos der Atome betrachtet wird =>
Quantenmechanik
5.1. Erstes newtonsches Gesetz (Trägheitsgesetz)
„Ein sich selbst überlassener Körper, auf den keine äußeren Kräfte wirken, bewegt
sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Ändert er seinen Bewegungszustand,
so wird er beschleunigt und es muss eine Kraft auf ihn wirken.“
5.2. Zweites newtonsches Gesetz
Unsere Erfahrung ist, dass eine gegebene Kraft bei verschiedenen Körpern verschiedene
Beträge der Beschleunigung bewirken. Worin unterscheiden sich die Körper?
Exp. 2 Bälle werden mit einem Tritt (gleiche Kraft) zur Wand geschossen, Poloschläger
=>
Exp
Experiment
Beobachtung
Deutung
Trägheit
a) Ball mit Luft gefüllt
große Beschleunigung
Masse klein
klein
b) Ball mit Wasser
kleine Beschleunigung
Masse groß
groß
a ~ 1/m
Beschleunigung ist invers proportional zur Masse m
FOLIE
(1974, John Massis, Belgien zieht 2 Eisbahnwaggons)
Bleistift steht auf Papierstreifen (am Ende), schnell wegziehen, Stift bleibt stehen
Beobachtung:
1) große (träge) Masse des Zuges erfordert große Kraft zur Beschleunigung, aber a→ klein
2) Trägheit der kleinen Masse des Bleistiftes reicht aus, um nicht beschleunigt zu werden
26
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Zweites newtonsches Gesetz
Die auf einen Körper wirkende Gesamtkraft ist gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung des Körpers.
r
r
F = ma,
[F ] = kg 2m = N = Newton
s
F→
Definition der Kraft durch Beschleunigung eines Referenzkörpers
m
der Masse m = 1 kg: Wird der Körper auf reibungsfreier Unterlage mit
a→ = 1 m/s2 beschleunigt, dann wirkt die Kraft F→ = 1N ).
a→
Masse [m] = kg
-
Intrinsische Eigenschaft des Körpers, erfaßt seine Trägkeit
-
Skalare Größe (kein Vektor)
-
Verbindet Beschleunigung und Kraft, die der Körper erfährt
-
Wir spüren Masse eines Körpers nur, wenn wir versuchen ihn zu beschleunigen
Superpositionsprinzip
Kräfte sind Vektorgrößen; wirken mehrere Kräfte, so können diese vektoriell addiert werden
zur resultirenden Kraft:
F→ = Fx ex→ + Fy ey→ + Fz ez→
Fx = max , Fy = may , Fz = maz
Einzelkomponenten sind unabhängig voneinander
Kontrollfrage:
Körper auf reibungsfreier Unterlage. Zwei Kräfte ziehen horizontal.
3N
Welche dritte Kraft wirk, wenn a) Körper in Ruhe, b) v = konstant nach links?
Lsg. a) 2 N nach links, b) 2 N nach links, denn je a = 0
5.3 Inertialsystem
„Ein Inertialsystem ist ein System, in dem die newtonschen Gesetze gelten. Es gibt
keine Scheinkräfte.“
Kennzeichen: Inertialsysteme ruhen oder bewegen sich mit v = konstant.
Inertialsysteme sind nicht beschleunigt und sie rotieren nicht!
27
5N
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
r
Bsp. Ball wird im LKW fallen gelassen und LKW beginnt zu beschleunigen mit a LKW
1) Bezugssystem Straße, v = 0 (Inertialsystem)
Beobachter sieht Ball senkrecht nach unten fallen
r
LKW fährt unter dem Ball weg mit Beschl. a LKW
r
r
Kraft: F = mg
2) Bezugssystem beschleunigter LKW (Nicht-Inertialsystem)
Beobachter sieht Ball nach links unten fallen
r
r
r
Kraft: F = −ma LKW + mg
r
Scheinkraft: − ma LKW (Trägheitskraft)
Exp. Luftkissenbahn auf Tisch, Tisch wird weggezogen, Wagen bleibt
Bsp.
F→2
Puck auf Eisfläche
F→1
Puck hat Masse vom m = 0,20 kg
x
F→2 = 2N, F→1 = 5N, je parallel zur x-Richtung
Frage Beschleunigung in x-Richtung?
Lsg.
5.4 Gravitationskraft
Die Gravitationskraft auf den Körper A wird durch die Masse eines zweiten Körpers B (Erde)
erzeugt, der den ersten zu sich hin zieht. Massen ziehen sich an.
m1 A
Gravitationsgesetz
F =G
m1m2
r2
FA→
G = 6,67x10-11 m3/(kg s2)
in Erdnähe:
g =G
-FB→= FA→
m Erde
m
= 9,81 2
2
rErde
s
F→ = m g→
r
(Vorzeichen je nach Koordinatensystem)
28
B
m2
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Abstandsmessungen: Die Körper wirken, als wären die Massen im Zentrum konzentriert
=> Abstandsmessungen r zwischen den Zentren
Gravitationskraft wirkt immer, auch wenn Körper in Ruhe ist
Exp. Gravitationswaage
Gewicht W
Gewicht eines Körpers entspricht der Kraft, die ich aufwenden muß, um den Körper am freien
Fall zu hindern.
Bsp.
Ball übt Kraft von 2 N nach unten aus
Ich übe Kraft von 2 N nach oben aus => Ball ruht
=> Ball wiegt 2N, ist 2N schwer
ein anderer Ball übt 3N aus, => dieser Ball ist schwerer
Gewicht W eines Körpers ist der Betrag der Gravitationskraft , die auf den Körper wirkt:
W = mg
Beachte:
i) Gewicht ist nicht gleich Masse, ist keine intrinsische Eigenschaft
Bsp. auf Erde: m= 1kg, => Gewicht WE = 1kg*9,81m/s2 = 98,1 N
WM = 1kg*1,7m/s2 = 17 N
auf Mond: m= 1kg, =>
ii) Gewicht darf man nur messen, wenn keine zusätzliche Beschleunigung auf den
Körper senkrecht zum Erdboden wirkt, z.B. Personenwaage benutzen im Zimmer,
Zug, aber nicht im Fahrstuhl.
Exp: Körper (Masse m) hängt am Faden, gleicher Faden hängt am Körper nach unten
i) lansam ziehen am unteren Faden mit Fz
=> reißt oberhalb des Körpers
F = mg + Fz
m
ii) schnell ziehen am unteren Faden
=> reißt unterhalb des Körpers
Trägheit des Körpers trennt oben / unten
29
oben wirkt
mg
Unten wirkt
Fz > mg
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
5.5.1 Normalkraft N
Wenn ein Körper nach unten gegen eine Oberfläche drückt, so verformt sich diese und wirkt
auf den Körper mit der Normalkraft N entgegen.
N→
N = mg
F→ = mg→
5.5.2 Zugspannung T
Wenn eine Kraft F →über eine Schnur auf einen Körper übertragen wird, dann wirkt eine
Zugspanung T → auf die Schnur
Ideale Schur: masselos
T→
dehnt sich nicht
T→
ist nur eine Verbindung zum Körper
5.6 Drittes newtonsches Gesetz (actio = reactio)
Wenn zwei Körper miteinander wechselwirken, dann besitzen die Kräfte, welche die Körper
aufeinander ausüben, denselben Betrag aber entgegengesetzte Richtung.
Kraft Buch => Kiste F →BK
Buch
Kiste
Kraft Kiste => Buch F →KB
Gilt:
F →BK = - F →KB
F →KB
F →BK
Kräfte bilden ein Kraft – Gegenkraft – Paar
28o
Exp. Kräfte auf hängenden Block Mit Federn aufbauen
Block mB = 15 kg
Schnur 1
Knoten mK = 0 kg
T1
47o
mK
Knoten T
3
Block
Frage: Zugspannung T in den Seilen ?
mB
Lsg:
30
T2
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
5.7 Reibung
Reibung ist unvermeidbar, aber auch unverzichtbar. Ein Auto verbraucht ca. 20% des
Benzin`s um Reibung zu überwinden, aber ohne Reibung würden die Räder durchdrehen, man
könnte sich nicht fortbewegen, so wie auf dem Eis.
Exp. Block liegt auf einer horizontalen Tischplatte und wird mit von 0 ansteigender Kraft in
x-Richtung gezogen. Federkraftmesser zeigt wirkende Kraft.
Trage Kraft über der Zeit auf.
N→
f→
ReibungsF→
F
Kraft f→
fs
fk
a→
mg→
Zeit
Block löst sich
5.7.1 Eigenschaften der Reibung
1)
Haftreibung
bewegt sich der Körper bei Kraftanwendung (horizontal) nicht, so heben sich Haftreibung f→S und die parallel zur Oberfläche wirkende Kraft F→x auf, d.h.
f→S = - F→x
31
Physik I
2)
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Der Maximalbetrag von f→S = - F→x beträgt
fSmax = µS N
µS: statischer Haftreibungskoeffizient
N: Normalkraft
- Mikroskopische Berührungsfläche ca. 10-4 der totalen Fläche
- Haftreibung durch Kaltverschweißung der sich berührenden Flächenteile und Verhakung
- Problem bei bewegenden Teilen im Vakuum, da Luft als Schmiermittel fehlt
3)
Gleitreibung
Beginnt der Körper zu gleiten, so verringert sich die Reibungskraft auf den Wert
fk = µk N
µk : kinetischer Reibungskoeffizient
µk < µS
Beachte:
- die Normalkraft N stellt ein Maß für den Andruck des Körpers auf die Fläche dar.
- f→ immer parallel zur Oberfläche und N→ immer senkrecht zur Oberfläche
- Koeffizienten µ sind dimensionslos, gelten zwischen 2 Flächen
z.B. µS: zwischen Ei & Teflonpfanne = 0.04, zwischen Bergschuh & Fels = 1,2
Bsp.
ABS-System Bremsweg kürzer, da fs > fk
Bsp.
Ein Kind zieht einen mit der Masse m = 75 kg beladenen Schlitten mit konstanter Geschwindigkeit über horizontale Eisfläche. Gleitreibungskoeffizient zwischen Kufen & Eis µk = 0,10,
Seil im Winkel von 42o.
y
Frage Kraft (Zugspannung) des Seils auf Schlitten?
N
Lsg.
42o
fk
Fg
32
T
x
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
5.7.3 Strömungswiderstand D
Bewegt sich ein Körper in einem Fluid (Gas, Flüssigkeit) so erfährt er einen Strömungswiderstand D, d.h. eine Kraft D, die gegen die Körperbewegung gerichtet ist.
Hier nur:
- Luft als Fluid,
- gedrungene Körper, die Wirbel hinter sich erzeugen, (z.B. Ball, nicht Speer)
D = ½ CρAv2
Widerstandskraft
C: Widerstandskoeffizient, hängt selbst von v ab, hier aber vernachlässigt
ρ: Dichte der Luft
A: effektive Querschnittsfläche des Körpers senkrecht zu v→
Fällt ein Körper durch Luft nach unten, so gilt:
- mg→
D→
D→
- mg → ma →
D – mg = ma
- mg → ma → = 0
Fallzeitzeit:
0 = 0s
Kraft: ma = -mg
Endgeschwindigkeit ist konstant wenn
t > tend => a = 0
=>
½ CρAv2 – mg = 0
=>
vend = (2mg/CρA)½
33
0 < t < tend
ma = -mg + D
t = tend
ma = 0
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Katze:
Wenn eine Katze vom Balkon fällt, dann dimmt die Wahrscheinlichkeit zu überleben mit
wachsender Fallhöhe zu, wenn sie mehr als ~7 Stockwerke tief fällt. Was passiert?
a) Katze fällt und spührt Beschleunigung => spührt Kraft
Zieht Kopf und Pfoten ein => leider wird Fläche A klein
Strömungswiderstand sinkt, ungünstig
b) erreicht die Katze vend => Beschleunigung a = 0 => Kraft = 0
Katze entspannt sich, streckt sich => vergrößert ihre Fläche
vend wird kleiner
bereitet sich auf Landung vor
(W.O. Withney, in
J. Americ. Veterinary, 1987)
5.8 Gleichförmige Kreisbewegung
bedeutet:
a) Bahn des Teilchens ist ein Kreis
b) Betrag der Geschwindigkeit v→ ist konstant
c) Richtung von v→ zeigt immer tangential zur Kreisbahn
5.8.1 Zentripetalbeschleunigung
(1)
a→ = a = v2 / r,
(2)
a→ zeigt immer auf Kreismittelpunkt
T = 2πr / v
r = Radius
T = Umlaufdauer = Periode der Bewegung
Beweis von (1)
Punkt P bewegt sich mit v→= konst auf Kreisbahn mit Radius r
Ort
r→ = rx ex→ + ry ey→
rx = r cos θ
ry = r sin θ
Geschw.
v→ läuft parallel zur Bahntangente, also
v→ senkrecht auf r→
v→ = vx ex→ + vy ey→
= (-v sinθ) ex→ + (v cos θ) ey→ , sin, cos ersetzen
= −v
ry r
r r
ex + v x e y
r
r
34
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Beschl.
a→ = dv/dt
Physikalische Technik FH Münster
mit v→= v = konst, r→= r = konst
=>
r − v dry r v drx r
a=
e x+
ey
r dt
r dt
gilt
drx/dt = vx = -v sinθ, dry/dt = vy = v cosθ,
=>
r
r v2
r
v2
a = − cos θ e x − sin θ e y
r
r
mit
ax = −
=>
a→= a = [ax2 + ay2]½ = v2/r [(cosθ)2 + (sinθ)2]½
v2
cos θ ,
r
= v2/r
Beweis von (2)
ay = −
q.e.d
v2
sin θ
r
(mit (cosθ)2 + (sinθ)2 =1)
r→ parallel a→:
tanφ = ay/ax = [(-v2/r) sinθ]/[(-v2/r) cosθ] = tanθ => φ = θ
5.8.2 Zentripetalkraft
Eine Zentripetalkraft beschleunigt einen Körper auf eine Kreisbahn, indem sie
nur die Richtung seiner Geschwindigkeit, nicht aber den Betrag ändert.
F = mv2/r
Betrag der Zentripetalkraft
5.8.3 Zentrifugalkraft:
Ist eine Trägkheitskraft (Fliehkraft), resultiert aus drittem Newton`schen Gesetz
actio = reactio und ist der Zentripetalkraft entgegengesetzt.
F-Zentrifugal
F-Zentripetal
Bsp. Auto fährt durch Kurve:
Zentripetalkraft: Reibung zwischen Reifen und Straße zwingt das Auto auf die Kreisbahn
Zentrifugalkraft: Fahrer rutscht zur Seite (Trägheit), weil Reibung zwischen Sitz / Fahrer für
notwendige Zentripetalkraft zu gering => rutscht bis an Autowand
Zentripetalkraft: Wand drückt auf Fahrer, zwingt ihn auf den Kreis
Exp. a) Fliehkraftregler, b) Erdabplattung
c) fliegende Kugeln in rotierender Schiene, Kugelhöhe ist unabh. von der Masse
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 1.1, Fragen 1.1.1 – 1.1.15
35
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
6 Arbeit & Energie
Die Newton`schen Gesetze ermöglichen uns die Analyse beliebiger Bewegungen. Oft ist die
Analyse aber kompliziert und man kennt nicht alle Details der Bewegung, z.B. Berg-Talfart.
Eine effektive Technik ist die Betrachtung der Energie dieses Systems. Sie läßt sich auf chemische oder biologische Funktionenen ausdehnen.
6.1 Kinetische Energie
Ein Objekt der Masse m und Geschwindigkeit v besitzt die kinetische Energie K
EKin = ½ mv2
EKin
[EKin] = kg*m2/s2 = 1J, Joule
m
v→
- skalarare Eigenschaft eines bewegten Körpers
6.2 Arbeit W
wenn eine Kraft auf das Objekt wirkt, so dass es beschleunigt (gebremst) wird, so verändert
sich seine kinetische Energie. Die Kraft hat dann Arbeit an diesem Objekt verrichtet.
„Arbeit W ist Energie, die eine auf ein Objekt wirkende Kraft diesem Objekt zuführt. „
- Arbeit ist übertragene Energie
- skalare Größe wie die Energie
- Einheit [W] = [EKin] = Joule
Beachte: i) Energie wird zu / abgeführt: kein materieller Fluß!
ii) alltäglicher Arbeitsbegriff beinhaltet dagegen jede Form der körperlichen
Anstrengung, ist aber meist nicht Arbeit im physikalischen Sinn.
Bsp. drücken gegen eine Hauswand kostet Arbeit, man wird müde, aber es
wird keine Energie (Ekin) auf die Wand übertragen => phys. keine Arbeit.
36
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
6.3 Arbeit & kinetische Energie
Perle gleitet reibungsfrei über einen Draht
Konstante Kraft beschleunigt die Perle entlang x-Richtung
v0→
F→
v→
φ
Fx = max
Fx
d→
von Anfangsgeschwindigkeit v0 nach v über Strecke d
v2 = v02 + 2axd
(mit Gl. 2.16)
=>
a = (v2 - v02 )/2d
=>
Fx = m(v2 - v02 )/2d
=>
Fxd = ½ mv2 – ½ mv02
Endenergie
Anfangsenergie
Energietransfer,
durch Kraft
verursacht
W = Fcosφ d
.
W = F→ d→
(Skalarprodukt)
Arbeit W berechnet sich nur aus der Kraft entlang des Weges der Verschiebung d.
Kraft senkrecht zur Verschiebung verrichtet keine Arbeit.
.
Einschränkung für Gültigkeit von W = F→ d→:
i) konstante Kraft (Richtung, & Betrag)
ii) Objekt = Teilchen => stare Verbindung, keine inneren Kräfte
Vorzeichen:
i) W > 0 wenn F→ Komponente in Richtung der Verschiebung d→ besitzt
Objekt gewinnt Energie
ii) W < 0 wenn F→ Komponente entgegen der Verschiebung d→ besitzt
Objekt gibt Energie ab
iii) W = 0 wenn F→ senkrecht auf d→
37
x
Physik I
Bsp.
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
F→
Auto rollt über Straße, Motor ist aus
y
d→
Wind bläst mit konstanter Kraft
x
F→ = 2N ex→ - 6N ey→ dagegen
Frage Arbeit des Windes am Auto auf der Strecke d→ = -3m ex→
Lsg.
6.4 Arbeit durch Gravitationskraft
Tomate wird mit v0 nach oben geworfen
=>
EKin-0 = ½ mv02
d→
v
Gravitation bremst auf der Strecke (Verschiebung) d→ ab
=>
.
W = mg→ d→
mg
= mg d cosφ
Aufwärts:
von Gravitation verrichtete Arbeit
v0
φ = 180o => W = mgd(-1) => W < 0 : Energie der Tomate wird abgeführt
Tomate wird langsamer
Abwärts:
φ = 0o =>
W = mgd(1)
=> W > 0 : Energie wird der Tomate zugeführt
Tomate wird schneller
Bsp: zwei identische Bälle werden über unterschiedliche Rampen auf gleiche Höhe gezogen.
Frage Bei welcher Rampe wird mehr Arbeit verrichtet?
g
o
30o
45
Lsg.
38
d
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
6.5 Arbeit durch veränderliche Kräfte / Integrale
bisher: Kraft F(x) = konstant über dem Weg x
F(x)
.
W = F→ x→ = Fd, mit F→ parallel x→
W
Interpretation: Fläche unter Kurve F(x)
0
neu:
x
Kraft-Betrag F(x) ändert sich mit dem Ort
aber Richtung konstant, F zeitlich konstant
6.6 Bestimmung von Integralen
bekannt
g(x)
gesucht Integral
G ( x) = ∫ g ( x)dx
x2
x1
Vorgehen:
1. suche Stammfunktion
G(x)
so dass Ableitung
dG(x)/dx = g(x)
Ergebnis allgemein
denn
G(x) + c
c = Konstante
dG(x)/dx = g(x) + 0
x2
2. bestimmtes Integral
∫ g ( x)dx = G( x)
x2
x1
= G ( x 2 ) − G ( x1 )
x1
Deutung:
Fläche unter der Kurve g(x) im Bereich
von x1 bis x2
Typische Integrale / Stammfunktionen
Suche eine Funktion, deren Ableitung die Funktion unter dem Integral ergibt
dx = x + c
a u(x)dx = a u(x)dx
c = konstant wird zur Stammfunktion addiert
konst. Faktor herausziehen
[u(x) + v(x)]dx = u(x)dx + v(x)dx
Summen getrennt integrieren
39
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
xmdx = (xm+1)/(m+1)
m ≠ -1
1/x dx = lnx
Logarithmus
exdx = ex
sinx dx = -cosx,
cosx dx = sinx
6.7 Federkraft
Dehnt man eine Feder aus oder komprimiert sie, so wirkt eine entgegengesetzte Kraft mit
F→ = -kx→
Hook`sches Gesetz
k = Federkonstante
Exp. 1) Block an Feder, ziehen / stauchen
Arbeit durch Federkraft
Exp. i) Wagen wird an Feder befestigt und erhält Anfangsgeschwindigkeit v0
ii) Feder greift bei x1 am Wagen an und bremst ab auf v = 0 bei x2
=> Feder verrichtet Arbeit am Wagen, entzieht ihm kinetische Energie
x2
.
W = F→ dx→
x1 x2
(man zählt nur Kraftkomponente parallel zu x)
x2
x2
F
W = (-kx)dx = -k xdx = -½ kx2 = - ½ k (x22 – x12)
x1
x1
x1
generell
EFeder = ½ kx2
W
x1
Federenergie
40
x2
x
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
6.8 Arbeit & kinetische Energie
Kraftwirkung startet bei:
Ort x1, Geschw. v1
endet bei:
x2,
v2
auf der Srecke geleistete Arbeit:
x1
x2
W = F(x)dx = ma(x)dx
x1
mit 2. Newton`schen Gesetz
x1
ma(x) dx = m(dv(x)/dt) dx
Definition der Beschleunigung
mit
dv(x)/dt = (dv/dx) (dx/dt) = (dv/dx) v
Kettenregel, innere x äußere Ableitung
=>
ma(x) dx = m (dv/dx) v dx
= m v dv
v2
=>
v2
v2
= ½ m (v22 – v12) ,
W = m v dv = m v dv = ½ mv2
v1
v1
Grenzen x zu v
v1
=>
W = Ekin-2 – Ekin -1
=>
Die am Körper wirkende Kraft ändert dessen kinetische Energie.
E kin =
1 2
mv
2
kinetische Energie
6.9 Leistung P
Ein Bauunternehmer möchte Dachziegel vom LKW auf das Dach eines Hauses befördern.
Dazu benutzt er eine Seilwinde, welche die nötige Kraft zum Heben der Ziegel aufbringt. Wir
können die Arbeit der Seilwinde bestimmen. Wichtiger für den Unternehmer ist aber die Rate,
also Arbeit pro Zeit, d.h. ob er 5 min. oder 5 Tage benötigt.
P = ∆W/∆t
durchschnittliche Leistung = Arbeit pro Zeit
P = dW/dt
momentane Leistung
[P] = J/s = W
Watt
1 PS = 735 W
Pferdestärken
(James Watt)
Interpretation:
∆W = P∆t
Arbeit = Leistung x Zeit
P
1 Kilowattstunde = 1 kW x h
= 1000 W x 3600s
= 3,60 MJ
W
(Mega-Joule)
41
t
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Interpretation:
Leistung = Ableitung der Arbeit nach der Zeit
W
Steigung = P
Leistung ist die Rate, mit der die angelegte Kraft Arbeit verrichtet.
t
Leistung & Kraft
P = dW/dt = (F cosθ dx)/dt
= F cosθ v
.
=>
P = F→ v→
Bsp:
ein Klotz ist am Seil befestigt und bewegt sich in gleichförmiger Kreisbewegung
(Skalarprodukt)
um das Zentrum.
Frage Wie groß ist die von der Kraft bewirkte Leistung auf den Klotz?
Lsg
v
F
7. Energie-Erhaltung
7.1 Potenzielle Energie U
Ziel:
Energieerhaltungssatz, d.h. die Umwandlung der Energie eines Systems in unterschiedlichen Formen
System:
Teilchen bewegt sich im Kraftfeld von x1 nach x2
r
Wenn Kraft F (x) a) zeitlich konstant,
b) konservativ, d.h. Arbeit unabhängig vom gewählten Weg (Details später)
dann
=> Arbeit hängt nur von Anfangs und Endpunkt ab
=> Definition einer potenziellen Energie U(x) ist möglich
=> Arbeit W = ∆U Änderung der potenziellen Energie des Systems
x2 r
r
W = ∆U = U ( x 2 ) − U ( x1 ) = ∫ F ( x) • dx
x1
42
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
7.1.1 Potenzielle Energie der Gravitation
System: Ball – Erde: Gravitation verrichtet Arbeit am Ball auf dem vertikalen Weg y1 => y2,
Die potenzielle Energie ändert sich um:
y2
∆U =
y2
mg dy = mg dy = mg(y2 – y1) = mg ∆y
y1
y
y2
y1
∆y
U(y) = mg y
Referenzpunkt y1 = 0, y2 = y
y1
mg
Die potenzielle Energie U(y) des Systems Teilchen – Erde hängt nur von der vertikalen
Position (Höhe y) des Teilchens relativ zum Referenzpunkt y1 = 0 ab, nicht
von der horizontalen Position.
3
y
2
=> Arbeit unabhängig vom Weg
1
7.1.2 Elastische potenzielle Energie
Ziehen oder Stauchen einer idealen Feder ändert ihre elastische potenzielle Energie um:
x2
-kx dx = - ½ k(x22 – x12)
∆U =
x1
U(x) = ½ kx2
Referenzpunkt: Feder entspannt bei x1 = 0
7.2.1 Energieerhaltung am Pendel
Exp. 1) großes Pendel: Experimentator sitzt auf einem Stuhl , zieht das Pendel bis vor die
Nase, läßt es los, bewegt sich nicht und vertraut auf den Energieerhaltungssatz
2) kleines Pendel schwingt über Stop hinaus
43
U(y) = mgy
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Energieumwandlung
oben:
Ekin = 0, U = max
Gravitationskraft beschleunigt
Weg nach unten:
Ekin wächst, U nimmt ab
unten:
Ekin = maximal, U = 0
Weg nach oben:
Ekin nimmt ab, U nimmt zu,
Gravitationskraft bremst ab
Oben:
Ekin = 0, U = max
In diesem Bild
K = Ekin
7.2.2 Energie-Erhaltungssatz
Wenn gilt:
1) System ist abgeschlossen
2) Umwandlung der Energieformen durch konservative Kräfte (s.u.)
dann ist die mechanische Energie eines Systems eine Erhaltungsgröße. Sie ergibt sich aus
kinetischer und potenzieller Energie:
Emech = Ekin + U = konstant
Also
Emech-1 = Ekin-1 + U1,
Emech-2 = Ekin-2 + U2
=>
∆Emech = ∆Ekin + ∆U = 0
Ist die mechanische Energie eine Erhaltungsgröße, so kann man Ekin & U zu allen Zeiten miteinander verbinden, ohne die dazwischenliegende Bewegung u. Kräfte zu berücksichtigen.
44
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
7.2.3. Energieerhaltung bei Federkräften
Exp. Luftkissenbahn, Wagen zwischen
F
v
F
zwei Federn gespannt, schwingt um die Nullposition
0
x
U
Emech
U
Ekin
2
Potenzielle Energie
U = ½ kx
Kinetische Energie
Ekin = ½ mv2
Gesamtenergie
Emech = Ekin + U = konstan t
x
F(x)
später nachtragen
7.3 Konservative Kräfte
Wann kann man potenzielle Energie definieren? Geht das für alle Kräfte?
7.3.1 Reversibilität
Bewirken konservative (erhaltende) Kräfte die Energieumwandlung in einem System, so sind
die Energieumwandlugsprozesse reversibel (umkehrbar).
Konservativ:
Gravitationskraft, Federkraft, elektrostatische Kraft
Nicht-Konservative: Reibung, Strömungswiderstand
Bsp. Auto bremst: E-kin => E-reib => Straße erwärmt
<≠>
Straße erwärmen ≠> E-reib ≠> Auto beginnt zu fahren
7.3.2 Wegunabhängigkeit
„Die Arbeit, die eine konservative Kraft an einem Teilchen verrichtet, hängt nicht vom
Weg ab, den das Teilchen dabei nimmt.“
45
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
=> Test, ob Kraft konservativ: Die von einer konservativen Kraft an einem Teilchen bewirkte
Arbeit entlang eines geschlossenen Weges ist Null.
Siehe Bsp. 7.1.1 Wanderung über den Berg von x1 => x2 => x1 kostet Arbeit W = 0
Lösungsstrategie zur Energieerhaltung:
- welche Objekte gehören zum System ?
- wirken konservative Kräfte, d.h. gibt es Reibung, Strömungswiderstand ?
- ist das System abgeschlossen?
- was sind Anfangs- und Endzustand des Systems ?
- was ist der Referenzpunkt der potenziellen Energie?
Bsp.
Bunjeespringerin, m = 61 kg, Höhe über Fluß 45 m
Seil L = 25 m (entspannt), erfüllt Hook`sches Gesetz mit k = 160 N/m
L
Frage: Abstand ihrer Füße vom Wasser, wenn sie am tiefsten Punkt ankommt?
Lsg
d
h
46
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
7.4 Graphische Darstellung U
Ein Großteil der Information über den Prozeßablauf steckt in U(x):
Wirkende Kraft:
∆U(x) = -W = – F(x)∆x
=>
F(x) = – dU/dx
(Minuszeichen beachten)
Bsp.
Federkraft:
F(x) = – d(½ kx2)/dx = – kx
Gravitation:
F(x) = – d(mgx)/dx = – mg
7.5 Energieerhaltung & abgeschlossene Systeme
„Die Gesamtenergie eines abgeschlossenene Systems kann sich nicht verändern.
Gesamtenergie:
Etherm
Emech = Ekin + Uelas + Ugrav + Etherm + Eint
thermische Energie, entsteht z.B. durch Reibung. Klotz wird mit Kraft F von
x1 nach x2 gezogen:
Emech = (ma + f) dx = ½ mv2 + f(x2 – x1) ,
Eint
f = Reibungkraft
Die interne Energie eines Systems ist z.B. chemische Energie in Form
molekularer Bindungen oder die Kernenergie (Massenenergie E = mc2).
Feynmanns Beispiel
Willi besitzt 30 Bauklötze, die absolut unverwüstlich und nicht zerteilbar sind. Er spielt tagsüber mit ihnen.
Abends zählt die Mutter nach und entdeckt ein Gesetz:
egal was Willi mit den Klötzen macht – es bleiben immer 30 Stück!
Eines Tages sind es nur noch 29 Stück
Aber nach langer Suche findet sie es unter dem Teppich
Eines Tages sind es 32 Stück – helle Aufregung
Aber Willis Freund war zu Besuch und hat 2 Klötze vergessen
Eines Tages sind es nur 25 Klötze
Mutter vermutet 5 Klötze in einer Holzkiste, darf sie aber nicht öffnen da Willi bockt
47
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Sie weiß: 1 Klotz = 85g, leere Holzkiste = 500g
Dann macht sie eine erstaunliche Entdeckung:
Zahl sichtbarer Klötze + (Kistengewicht – 500g)/85 = konstant
1) Energie: vergessen wir die Klötze, dann berechnen wir abstrakte Dinge.
2) Erhaltung: man muß immer darauf achten ob etwas verschwindet, dazu kommt oder versteckt wird.
Beachte: wir wissen in der Physik nicht was eigentlich Energie ist. Wir wissen aber, dass es
eine Größe gibt, die sich nicht ändert.
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 1.2, Fragen 1.2.1 – 1.2.14
8 Teilchensysteme
Exp. 1) Tennisball hochwerfen
=> Ball selbst beschreibt Parabelbahn
2) Keule hochwerfen
=> nur der Schwerpunkt der Keule beschreibt Parabel
8.1 Schwerpunkt xS
Der Schwerpunkt eines Teilchensystems (Körpers) bewegt sich so, als wenn die gesamte Masse in ihm konzentriert wäre und alle äußeren Kräfte nur dort angriffen.
y
System: 2 Teilchen:
xS
xS = (m1x1 + m2x2)/(m1 + m2)
m1
xS = (m1x1 + m2x2)/M
x1
S
m2
x
d
M = m1 + m2
x2
Fälle:
Nur 1 Teilchen
m2 = 0 => xS = x1
Schwerpunkt liegt im Teilchen (1) selbst
Gleiche Massen
xS = (x1 + x2)/2
Schwerpunkt liegt genau in der Mitte
Generell m1 ≠ m2
x1 ≤ xS ≤ x2
Schwerpunkt liegt zwischen den Teilchen
Viele Teilchen auf einer Achse
xS = 1/M Σ mixi ,
M = mi
Σ
Dreidimensionale Teilchenverteilung
r→ = rx ex→ +ry ey→ + rz ez→
y
rS→ = rSx ex→ + rSy ey→ + rSz ez→
rS→
rS→ = 1/M Σ mri→
z
48
x
ri→
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Feste Körper
Aus einzelnen Teilchen wird eine kontinuierlich verteilte Masse, aus Summe wird Integral
mit
rS = 1/M r dm
Integration über die Masse dm
ρ = dm/dV = M/V
Dichte
rS =
1
1
M
1
r
r ρ dV =
dV = ∫ r dV
∫
∫
M
M
V
V
Integration über das Volumen dV
Bestimmung von rS→:
- Symmetrie des Körpers ausnutzen, Schwerpunkt sitzt immer in einem Symmetrieelement
- Allgemein: Schnittpunkt der 3 Schwerpunktsebenen bestimmen
- Schwerpunkt kann auch außerhalb des Körpers liegen (Banane)
8.2 Zweites Newton`sches Axiom
Exp. Luftkissentisch, Puck stößt mit ruhendem Puck zusammen, Schwerpunkt bewegt sich
Für die Bewegung des Schwerpunktes beider Pucks gilt:
F→ = M aS→
Beachte:
Feff→ : effektive, von außen wirkende Kraft, innere
Kräfte zwischen den Teilchen sind nicht enthalten.
M:
Gesamtmasse des geschlossenen Systems konstant.
aS→:
Beschleunigung des Schwerpunktes
Beschleunigung der einzelnen Punkte unbekannt
Bsp.
Feuerwerkskörper
Bruchstücke
Rakete mit Schwerpunkt xS fliegt auf Parabelbahn,
explodiert in der Luft, dabei wirken nur innere Kräfte => Feff→ = Mg
Schwerpunkt aller Bruchstücke bewegt sich weiter auf alter Parabel
49
xS
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
8.3 Impuls
8.3.1 Ein Teilchen
Ein Teilchen mit der Masse m und Geschwindigkeit v hat den Impuls:
p→ = m v→ , p→ immer parallel v→ , da m Skalar
was ist die zeitliche Änderung des Impulses?
dp d
dv
= mv = m
= ma ,
dt dt
dt
r dpr
=> F =
dt
wenn Masse m = konstant
Zweites Newton`sches Axiom
8.3.2 Teilchensystem
Betrachte System aus n Teilchen, die untereinander in Wechselwirkung treten können bzw.
äußere Krafteinwirkung erfahren können. Impuls des Systems:
P→ = p1→ + p2→ + ...... + pn→
= m1 v1→ + m2 v2→ + ......... + mn vn→
=>
P→ = M vS →
=>
r
r dP
r
F=
= M aS
dt
Der Gesamtimpuls des Systems ist das Produkt aus Gesamtmasse M und Geschw. vS des Schwerpunktes des Systems.
Die äußere, auf das System wirkende Kraft, ist das Produkt
aus Gesamtmasse und Beschleunigung aS des Schwerpunktes.
8.4 Impulserhaltung
„Wirkt keine äußere Kraft auf ein geschlossenes & isoliertes Teilchensystem und ist die Teilchenzahl (Masse) konstant, dann gilt für den Gesamtimpuls: „
r
P = kons tan t
d.h. Pi→ = Pf→
Impuls zum Anfang i) ist gleich dem Impuls zum Ende f)
50
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Beweis
keine äußere Kraft vorhanden
r
r dP
0=F =
⇒ P = konstant
dt
=>
Physikalische Technik FH Münster
Beachte: 1) innerer Kräfte zwischen den Teilchen eines System ändern zwar die einzelnen
Impulse pi, nicht aber den Gesamtimpuls P.
2) Impulserhaltung komponentenweise betrachten.
Bsp.
Weltraumtransporter sprengt Lastmodul ab
vi
Bewegen sich geradlinig auf die Sonne zu
Gesamtmasse M, Lastmodul m = 0,2 M
vLM
vRT
Anfangsgeschwindigkeit: vi= 2100 km/h relativ zur Sonne
Nach Abtrennung: Transporter ist um 500 km/h schneller als das Lastmodul
Frage: Wie schnell ist der Raumtransporter relativ zur Sonne?
Lsg
8.5 Systeme mit veränderlicher Masse
bisher: Masse des Systems konstant, neu: Masse ändert sich
Exp. Luftballon am Strohalm fliegt durch Rückstoß Leine entlang
Rakete fliegt mit konst. Geschw. bzgl einem Inertialsystem durch den Weltraum, keine Gra-
vitation, keine Reibung, Geschw. bezogen auf Sonne.
Zeit
Rakete
Geschw.
Masse
t
Triebwerk aus
v
M
t + dt
Triebwerk an,
v + dv
M - dM, dM > 0
Gas
u
dM
Systemgrenze
dM
u
51
M
v
M - dM
v + dv
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
System: Rakete + Gas ist geschlossen und isoliert => Impulserhaltung gilt
P(t) = P(t + dt)
(1)
Impuls vorher = Impuls nachher
Mv = dM u + (M - dM) (v + dv)
vrel = u -(v + dv)
Gasgeschw. rel. zu Rakete = Gasgeschw. zum System
minus Raketengeschw. zur Sonne
=>
u = v + dv + vrel
in (1) einsetzen ergibt
=>
-dM vrel = M dv
nach t ableiten ergibt
=>
-(dM/dt) vrel = M (dv/dt)
=>
Rvrel = M a = F
Erste Raketengleichung
R = -dM/dt
Produkt aus Rate R des Massenverlustes und Relativgeschw. zwischen Rakete und Verbrennungsprodukten er-
Schubkraft: Rvrel
gibt die Kraft auf die Rakete.
Geschwindigkeitsänderung
dv = - vrel dM/M
vf
=>
Mf
v = dv = - vrel dM/M
vi
=>
Beschleunigung von vi nach vf
Indices: Anfang: i, Ende: f
Mi
vf – vi = vrel ln{Mi/Mf}
Zweite Raketengleichung
Geschwindigkeitszunahme der Rakete, wenn die Masse von Mi nach Mf abnimmt.
Vorteil mehrstufiger Raketen: Reduzierung von Mf durch Abwurf leerer Tanks am
Ende der Beschleunigungsphase.
9. Stoßprozesse
FOLIE
Man beobachtet nur Verformungen als Folge des Stoßes, der Prozess selbst läuft zu schnell
ab. Fast alles Wissen über Elementarteilchen (Kerne, Protonen, Quarks) hat man aus Stoßprozessen gewonnen. Die Spielregeln der Stoßprozesse sind Energie- & Impulserhaltungssatz.
„Ein Stoß / Kollision ist ein isoliertes Ereignis wärend dessen ein oder mehrere Körper
für relativ kurze Zeit relativ starke Kräfte aufeinander ausüben“.
52
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
9.1 Impuls & Kinetische Energie
Betrachte geschlossenes & isoliertes System (kein Massenaustausch, keine äußere Kraft)
Exp. Tischtennisball, Golfball, Knete auf den Boden fallen lassen.
„Der Impulserhaltungssatz des Gesamtsystems gilt für elastische und inelastische Stöße bei isoliert & abgeschl. Systemen. Der Impuls des Einzelteilchens kann sich ändern.
Elastischer Stoß:
Die kinetische Energie der stoßenden Teilchen ändert sich durch den
Stoß nicht. Benutze Energie- & Impulserhaltung
Inelastischer Stoß:
Die kinetische Energie der Teilchen ändert sich (wird meist reduziert
und in andere Formen überführt). Benutze nur Impulserhaltung
9.1.1 Inelastischer Stoß
Alle Bewegungen laufen entlang einer Achse, betrachte nur Komponenten
pi→ = pf→
Index: i: initial, f: final
p1i + p2i = p1f + p2f
m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f
Endgeschwindigkeiten sind berechenbar
Impulserhaltung
=>
Bsp:
Körper haften nach Stoß mit ruhendem Objekt zusammen, z.B. Torwart fliegt mit dem
Ball in das Tor, besitzen hinterher gemeinsame Geschwindigkeit v
=>
=>
m1v1i + m2 *0 = (m1 + m2)v
v = v1i * m1 / (m1 + m2)
v < v1i da Impuls auf größere Masse verteilt wird
Exp. Luftkissenbahn a) Stoß gleicher Massen elastisch
b) Stoß gleicher Massen inelastisch
c) Stoß gleicher Massen in selbe Richtung, haften zusammen
53
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
9.1.2 Geschwindigkeit des Schwerpunktes vS
vS kann sich im isolierten, abgeschlossenen System infolge eines
Stoßes nicht ändern, da der Impulserhaltungssatz gilt.
=>
P→ = MvS→ = (m1 + m2)vS
P→ = p1i→ + p2i→
vS = (p1i→ + p2i→) / (m1 + m2)
FOLIE
Beachte
Impuls eines Systems kann 0 sein aber kinetische Energie ≠ 0
Billiardkugeln A, B treffen aufeinander
P = pA + pB = pA - pA = 0
pA
pB = -pA
Gesamtimpuls des Systems
Ekin = ½ mvA2 + ½ mvB2 ≠ 0 Ekin des Systems
aber
Ekin-S = ½ (m + m)vS2 = 0
Bsp.
Ekin des Schwerpunktes
(selber rechnen)
Die Geschwindigkeit von Geschossen wurde vor elektronischer Zeitmessung mit dem ballistischem Pendel bestimmt. Kugel trifft in Holzblock, beide gehen nach oben.
Kugel:
m = 9,5 g, v = ?
Block:
M = 5,4 kg, schwingt hoch um 6,3 cm
Problem:
irreversibler Prozeß, Wärmeentwicklung beim Abbremsen
der Kugel, Energieerhaltung wird nicht vollständig erfasst
Schritt 1:
System: Block-Kugel, Stoß dauert nur kurze Zeit => Seile in Ruhe
=>
äußerer Kraftstoß auf System = 0 => Impulserhaltung gilt
=>
mv +M*0 = V*(m + M)
=>
V = mv /(m + M)
Schritt 2:
System: Block-Kugel-Erde,
Mechanische Energie dieses Systems bleibt
erhalten, Seilkräft ohne Einfluss, da immer senkrecht auf Geschwindigkeit
=>
Ekin = Ugrav
½ (m + M)V2 = (m + M)gh
½ {mv/(m + M)}2) = gh
=>
mit V aus Schritt (1)
v = (m + M)/m * [2gh]½ = 630 m/s
Ein ballistisches Pendel überführt die hohe, schwer messbare Geschwindigkeit der leichten
Kugel in eine kleine, daher leicht messbare Geschwindigkeit des schweren Holzblocks.
54
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
9.2 Elastische Stöße
9.2.1 Stoß mit ruhendem Objekt
„Beim elastischen Stoß bleibt die gesamte kinetische Energie des Systems erhalten,
die kinetische Energie der einzelnen Teilchen kann sich ändern.“
Exp.
Pendelgestell: 1 Kugel schwingt gegen die linke Seite, rechts hebt sich 1 Kugel
2 Kugeln stoßen links => 2 Kugeln heben sich rechts
Frage Warum ruht die erste Kugel (Billiard) ?
Lsg.
a) Impulserhaltung
m1v1i + m2 0 = m1v1f + m2v2f
b) Energierhaltung
½ m1v1i2 = ½ m1v1f2 + ½ m2v2f2
v1i→
v2i→ = 0 vorher i)
m1
aus a) =>
aus b) =>
m1/m2 * (v1i - v1f ) = v2f
m1(v1i + v1f )(v1i - v1f ) = m2v2f2
v2f ersetzen
m1(v1i + v1f )(v1i - v1f ) = m2 [m1/m2 * (v1i - v1f )] 2
m12/m2 * (v1i
=>
m1(v1i + v1f ) =
=>
m2(v1i + v1f ) = m1(v1i - v1f )
=>
v1f = v1i (m1 - m2 ) /(m1 + m2)
m2
v1f→
v2f→
(Bin. Formel)
aus a) nachher f)
- v1f )
Kugel 1
aus a) =>
v1f = 1/m1 * (m1v1i - m2v2f )
in b) setzen
m12v1i2 = m1m2 v2f2 + (m1v1i )2- 2m1m2 v1iv2f + (m2v2f )2
=>
0 = m1m2 v2f - 2m1m2 v1i + m22v2f
; durch v2f teilen
=>
v2f = 2m1v1i / (m1+ m2 )
Kugel 2
Spezialfälle:
1) Gleiche Massen
m1 = m2 => v1f = 0, v2f = v1i
unser Experiment, Billiard
2) schweres Ziel
m2 >> m1 => v1f ≈ - v1i , v2f ≈ v1i*2m1/m2 Perle gegen Kanonenkugel
3) schweres Geschoß m1 > m2 => v1f ≈ v1i , v2f ≈ 2v1i
Faktor 2 in 2) durch Richtungsumkehr des leichten Balls v => -v, in 3) von v = 0 => 2v
Bsp. Squashball wird von der Wand in x-y-Ebene reflektiert
Impulsänderung:
∆p→ = p2→ - p1→
x-Achse
∆px = p2x - p1x = 0
y-Achse
∆py = p2y - p1y = (p2y - (-p2y)) = 2 p2y
55
y
p1→
∆p
θ
θ
p2→
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
9.2.2 Stoß mit bewegtem Objekt
wenn v2i ≠ 0 ergeben sich analog zu 9.2.1 folgende Gleichungen:
=>
v1f = v1i (m1 - m2 ) /(m1 + m2) + 2m2 v2i /(m1 + m2)
Teilchen 1
=>
v2f = 2m1v1i / (m1+ m2 ) + v2i (m2 - m1) /(m1 + m2)
Teilchen 2
ergeben im Grenzfall v2i = 0 die Gleichungen aus 10.4.1.
Bsp.
Zwei Schlittschuläufer stoßen zusammen und halten sich fest
y
(inelastischer Stoß)
Paul
mP = 83 kg, viP = 6,2 km/h in x-Richtung
mP
Barbara mB = 55 kg, viB = 7,8 km/h in y-Richtung
Frage: Geschw. des Paares nach Zusammenstoß ?
θ
S
Lsg:
mB
Frage wie läuft der Schwerpunkt vor / nach dem Stoß ?
Lsg.
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 1.3, Fragen 1.3.1 – 1.3.7
56
(mB + mP)
x
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
10. Rotation
Alle Bewegungsformen lassen sich aus Translations- und Rotationsbewegungen aufbauen.
Wir betrachten hier: - starrer Körper
- Drehachse fest, (keine Bowlingkugel)
Idee: eine Translationsbewegung ist eindeutig beschrieben durch x(t)
Eine Rotationsbewegung ist eindeutig beschrieben durch θ(t)
=>
Drehachse
10.1 Drehwinkel
Körper
θ = s/r
wenn θ klein
[θ] = rad
Bogenmaß
θ
r
360o = 2π rad
s
θ
θ < 0 im Urzeigersinn
s
θ > 0 gegen Urzeigersinn
Beschreibung gilt nicht nur für einen Punkt des starren Körpers, sondern für alle Punkte!
10.2 Winkelgeschwindigkeit
ω = dθ/dt
∆θ
[ω] = rad / s, Umdrehungen / min
10.3 Winkelbeschleunigung
α = dω/dt = d2θ/dt2
[α] = rad / s2
Bsp.
Drehende Scheibe
sei:
θ (t ) = −1 − 0,6t + 0.25t 2 ,
[t] = s, [ ] = rad
θ
Frage: Zeichne (t) für -3s < t < 6s und Bezugslinien
θ
Lsg.
θ
(t) durch Bezugslinie gegeben, z.B für t = -2 s
θ (2) = −1 + 0,6 ⋅ 2 + 0.25 ⋅ (−2) 2 = 1,2 rad = 1,2
Frage: Winkelgeschwindigkeit als Funktion der Zeit
Lsg.
ω=
dθ
= −0,6 + 0,5 t
dt
57
360°
= 69°
2π
θ2 zu t2
θ1 zu t1
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
10.4 Rotation bei konstanter Winkelbeschleunigung
Rotationen bei konstanter Winkelbeschleunigung lassen sich analog den Gleichungen von
Translationsbewegungen mit konstanter Beschleunigung ausdrücken.
1
Translations-
Unbekannte
v(t) = v0 + at
x – x0
2
v
θ - θ0
ω
Rotations-Gleichung
.
ω (t) = ω0 + αt
Lernen!
θ - θ0 = ω0 t + ½αt
2
2
x – x0 = v0t + ½ at
3
v2 = v02 +2a(x –x0)
t
t
ω2 (t) = ω02 + 2α(θ - θ0)
4
x – x0 = ½(v0 + v)t
a
α
θ - θ0 = ½ (ω0 + ω) t
5
x – x0 = vt - ½ at2
v0
ω0
θ - θ0 = ωt – ½ αt2
herleiten
Kontrollfrage: können obige Gleichungen angewendet werden auf:
θ(t) = -5t3 + 27t2 – 4,
θ(t) = -5t2 + 27t +1,
10.5.1 Rotation & Translation
Bei Rotation eines starren Körpers um eine Drehachse legen alle Punkte den selben Winkel
pro Zeiteinheit zurück. Die zurückgelegte Strecke, Geschwindigkeit steigt aber mit dem Umfang also mit dem Abstand vom Zentrum (Drehachse). Beispiel Karussell
Exp. rotierende Scheibe mit Klötzen
Bei Anstieg von ω rutschen zuerst die äußeren Klötze
1) Bezugssystem Raum
2) Bezugssystem Scheibe, Kamera dreht mit, vorher aufnehmen, in VL zeigen
Gesucht: Zusammenhang zwischen Rotations- und Translationsgrößen.
r r r
dθ , ω , α
Rotation & Vektoren
Größe
Vektorrichtung
Orientierung
Geschwindigkeit ω→
Drehachse
rechte Hand Regel
Beschleunigung α→
Drehachse
rechte Hand Regel
Winkel nur kleines dθ →
Drehachse
rechte Hand regel
r
Unterscheide dθ , dθ Betrag und Vektor
58
Drehachse
r
d
θ
s
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Problem: Für große Winkel ist θ kein Vektor, denn das Kommutativgesetz gilt nicht bei Addition der Drehwinkel. Die Reihenfolge der Rotationen ist wichtig!
Ort
Punkt
r
r
r
r = r (cos θ e x + sin θ e y )
Kreisbogen
dr→ = r1→ - r2→
dr→ = dθ→ × r→
/dr/ = d r
θ
r = Radius
dθ→ in Richtung Drehachse
r
r
Bezeichnung oft s = dr
Geschwindigkeit
Vektor
v→ = dr→/dt = ω→ × r→
Betrag
v= r
ω
ω konstant für alle Punkte des Körpers, aber v nimmt
mit Abstand von der Drehachse zu.
Beweis (selber rechnen)
(mit dr = dθ r)
r
r
r drr r r
r dθ
r r
r
r
d r d r r dθ r
r=
dθ × r =
× r + dθ ×
= ω × r + dθ ×
r (− sin θ e x + cos θ e y ) = ω × r
dt
dt
dt
dt
dt
1
424
3
(
)
0 da parallel
v → = r [(dθ/dt) (-sinθ ex→) + (dθ/dt) cosθ ey→] ,
= ω r [(-sinθ ex→) + cosθ ey→]
θ = ω t => r(t) → = r [cosωt ex→) + sinωt ey→]
mit
Beschleunigung
Vektor
a→ = dv→/dt = d/dt(ω→ × r→)
Skalar
a = (dω/dt)r + ω(dr/dt)
(Produktregel)
= (dω/dt) r + ω (r dθ/dt)
a = α r + ω2r
tangentiale
radiale Beschleunigung
atangential Proportional Geschwindigkeitsänderung
aradial
tritt auch bei konstanter Geschwindigkeit auf
mit
ω
= v/r => ω2r = v2/r Zentripetalbeschleunigung
59
r = konstant
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
10.5.2 Rotierende Bezugssysteme
welche Scheinkräfte treten bei einem rotierenden Bezugssystem auf?
Bsp.
Fussballer auf rotierender Scheibe
Tor steht außerhalb fest
Scheibe rotiert mit ω :
Beobachter im
Festes System
Rotierendes System
(1)
Ort
r
r
Geschw.
r
v
Beschl.
r
a
Koordinatensystem
r r r
ex , e y , ez
r
r
r r r
r
r′
v′
a′
e´ x , e´ y , e´ z
r r
( r ′ = r weil Ort unabhängig vom rotierenden Koordinatensystem)
r
r
r
r (t ) = x(t )e x + y (t )e y + z (t )e z
r r r
u =ω×r
Relativgeschw. der Koordinatensysteme
r
r dr r r r r r
v=
= v′ + u = v′ + ω × r
dt
r
r
r
r dv dv ′
dr
a=
=
+ω×
ω =konstant
dt
dt
dt
Der Beobachter im festen System erhält mit den Koordinaten des rotierenden Systems
aus
dv ′
= a ′ + (ω × v ′)
ohne Bew. (Produktregel: Ableit. v + Ableit. System)
dt
r r r r r r r r
(1)
a = a ′ + ω × v ′ + ω × (v ′ + ω × r )
r r r r r
r r
=> a = a ′ + 2 ω × v ′ + ω × (ω × r )
(umstellen mit a × b = −b × a )
r r r
r r
r r
=> a ′ = a ′ + 2 (v ′ × ω ) + ω × (r × ω )
aus Sicht des rotierenden Systems
Bahn
Kraftdefinition
F = ma
Corioliskraft
r
FC = 2 m (v ′ × ω )
=>
r
FC
v´
tritt bei bewegten Objekten auf
ω
FZ
Zentrifugalkraft
r r r
FZ = m ω × (r × ω )
tritt immer auf
rxω
ω
Luft strömt von außen in das Tiefdruckgebiet, von
allen Seiten mit v`
v`
F
T
F 60
v`
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
10.6 Kinetische Energie
Exp. a) 2 Cola-Dosen leer / voll rollen die Schräge hinunter
Worin unterscheiden sich die Dosen?
b) Ring + Holzrolle mit identischer Masse
Problem: Ein rotierendes Kreissägeblatt besitzt offensichtlich kinetische Energie. Wie groß ist
diese? Bekannt Form E = ½ mv2 für das Sägeblatt als Ganzes, d.h. Betrachtung des Schwerpunktes hilft nicht weiter, denn vS = 0.
Lsg. betrachte jeden Massenpunkt mi des Sägeblatts mit individueller Geschwindigkeit vi
Ekin = Σ ½ mivi2
vi = ωri
individuelle Geschw. vi abhängig vom Abstand zur Drehachse,
Winkelgeschw. ω ist aber für alle Punkte gleich
Ekin = Σ ½ mi (ωri)2 = ½ Σ miri2 ω2
ERot = ½ I ω2
vergleiche mit Ekin = ½ mi v2
Trägheitsmoment:
I = Σ miri2
gibt die Massenverteilung bzgl. einer Drehachse an
r
[I] = kgm2
Translationsbewegung:
Ekin ~ träge Masse m
Rotationsbewegung:
Ekin ~ Trägheitsmoment I
Je kleiner das Trägheitsmoment, desto leichter läßt sich ein Körper drehen
Drehachse a
Bsp. Trägheitsmoment einer Stange
Ia > Ib
ra
Drehachse b
Bsp. Ordne die Trägkeitsmomente nach ihrer Größe.
rb
1m
36 kg
2m
9 kg
3m
Drehachse
61
4 kg
m
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
10.7 Trägheitsmoment
Berechnung des Trägheitsmomentes
eines beliebigen Körpers
I = ∫ ri2dm
per Hand oder Computer
Exp. a) Buch dreht erst um Achse mit
höchstem Trägheitsmoment I. Buch ändert
die Drehachse, rotiert später um Achse mit kleinstem Moment I (Energieminimierung).
b) Messung Trägheitsmoment aus Praktikum, schwingender Aluklotz
Satz von Steiner
Bekannt ist das Trägheitsmoment IS einer Achse, die durch den Schwerpunkt des Körpers mit
Masse M geht. Das Trägheitsmoment bzgl. einer beliebigen parallelen Achse mit dem Abstand h ist dann:
Drehachse
Schwerpunkt
I = IS + Mh2
I = ∫ r2dm = = ∫ [(x – a)2 + (y –b)2] dm
Beweis
integrieren um neue Achse mit Ursprung x = a, y = b
= ∫ (x2 + y2) dm - 2a∫ x dm – 2b∫ y dm + ∫ (a2 + b2) dm
=
denn
IS
- 0
-
0
+ Mh2
∫xdm = 0, ∫ydm = 0 summiert um Schwerpunkt, gleich viele neg. wie pos. Anteile
10.8 Drehmoment
Warum ist die Türklinke möglichst weit vom Scharnier der Tür entfern? In welche Richtung
muß ich ziehen, um die Tür am leichtesten zu öffnen?
F→
T→ = r→ × F→
T = r F sin θ
F sin θ
θ
[T] = Nm, nicht mit Arbeit verwechseln!
r→
nur Kraftkomponente senkrecht auf r→ bewirkt Drehmoment
62
T
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Hebelarm: Komponente von r→ , die senkrecht auf F→ steht
T = Drehachse
T→ senkrecht auf r→ und F→
T→ Fläche, von F→, r→ aufgespannt
Idee: Die Lage der Drehachse wird durch die Kraft und ihre
r
F
Orientierung zum Hebelarm festgelegt.
Superpositionsprinzip:
FOLIE Schraubenschlüssel
Resultierendes Drehmoment ist die Summe der einzelnen Drehmomente.
Bsp.
Ordne die Drehmomente nach ihrer Größe
(alle Kräfte sind betragsmäßig gleich)
Lsg.
Exp. Drehmomentenschlüssel
2. Newton`sches Axiom für die Rotation
Kraft zieht Teilchen auf Kreisbahn, Teilchen rotiert um Drehachse
Masse m, Abstand r
nur tangentiale Kraftkomponente wirkt
Fsin θ = mat
mit
T = (F sinθ) r
=>
T = mat r
at: lineare Tangentialbeschleunigung
mit at = α r,
α: Winkelbeschleunigung
= m(αr) r = mr2 α
=>
T=Iα
(α im Bogenmaß)
Das Drehmoment ergibt sich aus Trägheitsmoment und Winkelbeschleunigung.
Bsp. Scheibe mit M = 2,5 kg, r = 20 cm, einheitliche Dicke
M
r
Horizontale Drehachse, masseloses Seil hält Block m = 1,2 kg
FS
Frage a) Beschleunigung des fallenden Blocks
FS
b) Seilkraft FS
m
c) Winkelbeschleunigung α
mg
63
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Lsg
10.9 Rotationsenergie
angreifende Kraft => Drehmoment => Beschleunigung => Energiezunahme
Fz
h
Exp. Kugel rollt durch Looping,
R
Frage: Berechne v im Minimum
Lsg.
Ugrav = Ekin + Erot
mgh = ½ mv2 + ½ I
ω
2
, mit
ω
= v / r , Kugelradius r
=> 2mgh = (m+ I/r2)v2
=> v =
2mgh
=
m + I / r2
2mgh
=
2
m+ m
5
2 gh
1,4
(I =
2 2
mr für Kugel)
5
ohne Erot wäre v größer, da 1 statt 1,4 im Nenner stünde
Frage aus welcher Höhe h muß die Kugel starten, damit sie den Looping durchlaufen kann?
Lsg
H = 0,7 R
über dem obersten Punkt des Loopings
64
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Arbeit
.
dW = F→ dr→ ,
F
dr→ als Kreissegment
.
.
dW = F→ (dθ→ × r→) = (r→ × F→) dθ→
Vertauschung im Spatprodukt
r2
dr
r1
T→ = (r→ × F→)
mit
W = ∫ dW ,
=>
W = ∫ T→ dθ→
.
Leistung
P = dW/dt
=>
=>
((
T
) )
r
d r r
P=
r × F ⋅ dθ
dt
r r
P = T ⋅ω
d ,d
θ
ω
wenn Kreisradius r und F konstant
T übernimmt die Rolle von F
Arbeit, Leistung sind maximal, wenn T paralel zur Drehachse
F ideal
F ungünstig
Translation (feste Richtung)
Rotation (feste Achse)
Winkel
θ
Ort
x
Geschwindigkeit
v = dx/dt
ω = dθ/dt
Beschleunigung
a = dv/dt
α = dω/dt
Masse
m
Trägheitsmoment
Kraft
F = ma
Drehmoment
Arbeit
W = ∫ F dx
∫ T dθ
Kin. Energie
Ekin = ½ mv2
Ekin = ½ Iω2
Leistung (F konst)
P=F v
.
I
T=Iα
.
(T konst.)
65
.
P=T ω
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
10.11 Rollbewegung
Kombinierte Rotations und Translationsbewegung
Schwerpunkt S: lineare Bewegung mit
vS
Kontaktpunkt P:
vS
“
Leuchtspur
S
R
Denn er liegt immer unter S
P
Rollen = Rotation um Auflagepunkt P mit ω
Geschw. Punkt Q:
v Q = RQ ω
Schwerpunkt S:
vS = R ω
vS
Oberseite Punkt T:
vT = 2 R ω , denn RT = 2 R
R
Unterseite Punkt P:
v P = 0 ⋅ ω = 0 denn Rp = 0
Beschleunigung S:
rS = R α
T
RT
ω
Q
S
RQ
ω
P
Alternative Darstellung
reine Rotation
FOLIE
=
Rollbewegung
v = vS
vT = 2vS
R
v = -vS P
=>
reine Translation
v = vS
T
S
+
v = vS
v=0
vT = 2ωR = 2vS
Photo eines sich drehenden Rades: Speichen oben unscharf, unten scharf
Bsp. Clown fährt auf Fahrrad durch die Manege. Durchmesser des Vorderrades = 2x des
Durchmessers vom Hinterrad.
Frage:ist die lineare Geschw. des äußersten Punktes T am Hinterrad größer, gleich, kleiner der
des Vorderrades?
Lsg.
Frage Winkelgeschw. des Hinterrades größer, gleich kleiner als der des Vorderrades?
Lsg.
66
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Kinetische Energie der Rollbewegung
Translations des Schwerpunktes + Rotation um den Schwerpunkt
Ekin = ½ mvS2 + ½ ISω2
Kräfte bei Rollbewegung
Exp. 2 Mullbinden rollen eine Schräge hinab. Welche Mullbinde ist schneller?
a) geschlossene Rolle, b) offene Rolle wickelt sich auf
Schräge:
Rad / Mullbinde rollt nur, wenn Reibungskraft zwischen Unterlage und Rad
wirkt, sonst würde es gleiten / rutschen, also keine Rotationsbewegung ausführen. Gesucht ist
die Beschleunigung aS des Schwerpunktes
N
Schräge:
Koordinatensystem gekippt um θ
Gravitation:
Fg sinθ
R
f
θ
Normalkraft: N senkrecht zur Ebene
Reibungskraft: f
nicht bekannt
Kräfte:
f – mg sinθ = maS
(1)
Drehmomente:
Rf = ISα
(2)
mit
aS = -Rα
Lsg.
Fg sinθ
x
Fg
denn aS in neg. x-Richtung, α > 0 da gegen die Uhr
=>
f = (-IS as)/R2
in (1) => (-IS as)/R2 - mg sinθ = maS
=>
aS = (-g sinθ)/(1 + IS/mR2) (für Scheibe gilt: IS = ½ mR2)
=>
aS = (-g sinθ)/(1 + 1/2)
=>
also ist aS unabhängig vom Trägheitsmoment
offene Mullbinde ist schneller als geschlossene Mullbinde, da der Schwerpunkt durch
das Abwickeln fällt, d.h. die Steigung sinθ nimmt effektiv zu.
67
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
11.1 Drehimpuls
Analog zum Impuls p→ der Translation gibt es den
Drehimpuls l→ der Rotation
L→ = (r→ × p→)
L = r mv sinθ
[L] = kg m2/s
Konstruktion: rechte Hand-Regel, Bezugspunkt notwendig
L→ senkrecht auf der Rotationsebene
L < 0 wenn Teilchen im Uhrzeigersinn dreht
2tes Newton`sches Axiom
T→ =dL→ / dt
Die Vektorsumme aller Drehmomente, die auf ein Teilchen wirken, ist gleich der
zeitlichen Änderungsrate des Drehimpulses.
Beweis:
L→ = m(r→ × v→)
dL→ /dt = m(r→ × dv→/dt + dr→/dt × v→)
Produktregel, Faktoren nicht
dL→ /dt = m(r→ × a→ + v→ × v→)
dL→ /dt = (r→ × ma→ + 0)
vertauschen!
v→ × v→ = 0, da v parallel v
dL→ /dt = (r→ × F→) = T→
ma→ = F→
Beachte: T→ und dL→ müssen für den selben Bezugspunkt angegeben werden.
11.2 Drehimpuls eines starren Körpers
A) Teilchensystem
Für ein System aus mehreren Massenpunkten addieren sich die Drehimpulse Li→ vektoriell
L→ = Σ Li→
dL→/dt = Σ Ti→ = T→
68
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Σ Ti→ a) äußere Drehmomente durch äußere Kräfte
b) innere Drehmomente, durch innere Kräfte der Teilchen untereinander,
heben sich aber gegenseitig auf (actio = reactio).
Bezugspunkt: wenn Schwerpunkt beschleunigt wird, darf nur dieser als Bezugspunkt genommen werden (rollendes Rad), sonst ist jeder Bezugspunkt erlaubt.
B) Starrer Körper
L
Starrer Körper rotiert mit konstantem ω um feste Drehachse,
risinθ
mi
gesucht: L bzgl. der Drehachse
pi
Lsg. summiere die Drehimpulse aller Massenelemente mi
ri
θ
L = Σ li = Σ (ri sinθ mi vi)
= Σ [(ri sinθ) mi ω (ri sinθ)] , Komponenten senkrecht zur Achse: ri sinθ
mit Σ( ri sinθ) 2 mi Trägheitsmoment bzgl. Rotationsachse
L=ωI
Bsp. Scheibe, Ring, Kugel mit gleicher Masse u. gleichem Radius werden durch Faden
tangential über gleiche Zeit mit gleicher Kraft aus der Ruhe um zentrale Drehachse
beschleunigt.
Ordne nach
a) Drehimpuls L,
b) Winkelgeschw. ω
Scheibe
Ring
Kugel
F
Lsg.
11.3 Drehimpulserhaltung
Wirkt auf das System kein äußeres Drehmoment T→, so ist der Drehimpuls konstant:
dL→/dt = T→ = 0
Gilt über die Newton`sche Mechanik hinaus: Relativitätstheorie, Quantenmechanik
69
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Was bedeuted Drehimulserhaltung?
Exp. Person auf Drehstuhl ändert den Abstand der Hanteln vom Körper => ω ändert sich
Es wirkt kein äußeres Drehmoment, also gilt der Drehimpulserhaltungssatz.
r
r groß => I = Σ miri2 groß
r klein => I = Σ miri2 klein
Drehimpulserhaltung: L = konstant
=> ω = L / I klein
=>
Bsp.
ω
=> ω = L / I groß
ändert sich mit der Massenverteilung über das Trägheitsmoment
Pyroette beim Eistanz oder Salto beim Turmsprung
L→
- Beim Absprung erzeugt der Springer einen Drehimpuls.
- Nach Absprung: System isoliert, wirken keine Drehmomente => Drehimpulserhaltung
- Zieht er Beine, Arme an, so verkleinert sich I => dreht sich schneller (Salto)
Exp. Person sitzt auf Drehstul (in Ruhe) und hält drehendes Rad in der Hand. Achsen von
Stuhl / Rad sind parallel. Dann dreht er das Farrad um 180o. Damit beginnt der Stuhl
sich zu drehen. Am Trägheitsmoment hat sich nichts geändert, was ist passiert?
Deutung: System: Rad + Person,
Drehimpulserhaltungssatz gilt, da kein äußeres Drehmoment bei Radumkehr wirkt
LRad-i + LPers-i = LRad-f + LPers-f = konstant
LRad-i + 0 = -LRad-i + LPers-f => 2LRad-i = LPers-f
2ωRad-i IRad = IPers ωPers-f
mit IRad = 1,2 kgm2, ωRad-i = 3,9 U/s , IPers = 6,8 kgm2
ωPers = (2*1,2kgm2/6,8 kgm2 )*3,9 U/s) = 1,4 U/s
Rotation stoppen => Rad um 180o zurückdrehen.
70
-LRad-i
LRad-i
Trägheitsmomente konstant
ωPers = (2 IRad /IPers) ωRad-i
=>
LPers
Beginn
Ende
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Translation
Rotation
Kraft
F→
Drehmoment T→ = r→ × F→
Impuls
p→
Drehimpuls
L→ = r→ × p→
Impuls
P→ = Mv S →
Drehimpuls
L→ = Iω→ , für starren Körper
2.newt. Axiom
F→ = dP→/dt
T→ = dL→/dt
Erhaltungssatz
P→ = konstant
L→ = konstant (isoliert, abgeschl.)
Bisher Drehimpulserhaltung bei Änderung von:
a) Trägheitsmoment (Hanteln), b) innerer Drehimpuls (Fahrrad)
Neu
Drehimpulsänderung bei äußerem Drehmoment (Kreisel) (kein isoliertes System)
11.4 Kreisel
Exp. Ein um die waagerechte Achse rotierendes Rad wird am Achsenende aufgehängt. Es
wirkt die Gravitationskraft, d.h. System ist nicht mehr isoliert. Das Rad weicht senkrecht zur einwirkenden Kraft aus.
FOLIE
Präzession:
horizontaler Drehimpuls L→, vertikale Kraft => Kreisel weicht senkrecht zur Kraft aus
=> dL→ = T→dt, L→ = konst, da T→ senkrecht auf L→
Präzessionswinkel:
dϕ = dL/( L sinα) = Tdt/(L sinα)
Geschwindigkeit
wPräz = dϕ /dt = T / (L sinα)
wPräz = (mgr)/(Iω)
wPräz
Lsin
dL
α
ϕ
α
mit T = mg (r sinα)
unabh. vom Neigungswinkel α
L
mg
Rad
T
rsinα
α
r
71
mg
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Drehimpulse - Anwendung:
a) Stabilisierung freier Bewegungen z.B. Diskuswerfen:
Eigenrotation des Diskus erhält den Neigungswinkel => Auftrieb wie bei Tragfläche
=> höhere Reichweite
Exp zeigen mit Kreisel
b) künstlicher Horizont im Flugzeug
c) Schiffsstabilisator: angetriebener Kreisel mit senkrechter Achse gleicht Schlingern des
Schiffs um Längsachse aus,
Freihändig Fahrradfahren
Exp. Levitation des magnetischen Kreisels. Stabilisation der Rotation durch Drehimpuls .
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 1.4 + 1.5, Fragen 1.4.1 – 1.4.17, 1.5.1 – 1.5.10
11.5 Gleichgewicht
Welche Objekte befinden sich im Gleichgewicht:
i) Buch, auf Tisch liegend, ii) Puck, mit konstanter Geschw. über Eisfläche gleitend
iii) rotierende Blätter des Deckenventilators, iv) Rad, mit konst. Geschw. rollend => alle !
Für einen starren Körper im Gleichgewicht gilt:
a)
F→Ges = dP→/dt = 0
die Summe aller Kräfte verschwindet,
b)
T→Ges = dL→/dt = 0
die Summe aller Drehmomente verschwindet bzgl. aller Punkte des Körpers.
r1→
11.5.1 Hebelgesetz folgt aus b)
T1→ + T2→ = 0
=>
N
r2→
F1→
r1→ × F1→= - r2→ × F2→
F1+F2
Exp. Balkenwaage
72
F2→
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Wie muß man einen Körper unterstützen, auf dessen Massenpunkte mi die Schwerkraft wirkt?
sei
Fges→ = Σ mig→ = 0
=>
T1ges→ = Σ mi r1→ × g→ = -g→ × Σ mi r1→ = 0
=>
Σ mi r1→ = 0 =>
Ursprung der Vektoren muß im Schwerpunkt liegen.
11.5.2 Arten des Gleichgewichtes
A) indifferentes Gleichgewicht
Ein im Schwerpunkt S aufgehängter Körper ist in jeder Lage im Gleichgewicht
r
B) Stabiles Gleichgewicht
S
Körper senkrecht über dem Schwerpunkt aufgehängt
=> Lageänderung erzeugt Drehmoment, das zum Gleichgewicht zurückführt
F
mg
T→= r→ × F→
C) Labiles Gleichgewicht
Körper senkrecht unter dem Schwerpunkt aufgehängt
F
=> Kleinste Drehmomente führen Körper aus Gleichgewicht weg.
h(x)
mg
11.5.3 Gleichgewicht & potenzielle Energie
x
Betrachte U(x) = mgh(x) des Schwerpunktes bzgl. Aufhängungspunkt
Gleichgewicht herrscht, wenn dU/dx = 0
indifferent
stabil
labil
U(x)
x
x
x
F = -dU/dx
F
F
F
73
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
11.6 Einfache Maschinen
Physikalische Technik FH Münster
(selber durchrechnen)
Die einfachsten mechanischen Maschinen dienen zur Verrichtung von Arbeit. Meist ist die
Heraufsetzung von Kräften gewünscht. Aus dem Energieerhaltungssatz folgt die Goldene
Regel der Mechanik:
“Im verlustfreien Fall verhalten sich die entsprechenden Verschiebungen umgekehrt
proportional wie die zugehörigen Kräfte”
Hebelgesetz
Gleiche Drehmomente
r1
dx3
T1 = -T2 => r1 F1 = -r2 F2
Energieerhaltung
r2
F1
dx2
F2
F1 dx1 = -F2 dx2
=>
F1 (r1 θ) = -F2 (r2 θ) gleiche Ergebnis
Flaschenzug
besitzt n lose Rollen und n feste Rollen
wenn Seilende gezogen um ds2
=>
Last hebt sich um
ds1 = ds2/2n
ds1
denn Last verteilt sich auf 2n Seilabschnitte
=>
F1 ds1 = F2 ds2
=>
F2 = F1 / 2n
Energiesatz
F1
Getriebe
Zwei Zahnräder mir r1, r2 greifen ineinander
Berührungspunkt: gleiche Lineargeschwindigkeiten
v1
=>
= v2 = v ,
v = ωr
ω1/ω2 = (v/r1) / (v /r2) = r2 /r1
Bei verlustfreiem Leistungsübetrag:
P1 = T1ω1 = T2ω2 = P2 = konstant
=>
F2
ds2
ω1/ω2 = T2 / T1
74
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
12 Fluid-Dynamik
12.1 Fluide
Deformation eines Körpers kann heißen:
a) Formänderung wie Scherung, Biegung, Verdrillung (Festkörper)
b) Volumenänderung wie Kompression, Dilatation (Festkörper, Fluide, Gase)
Fluide: Sind Substanzen, die strömen können, wie Flüssigkeiten, Gase. Daher Beschreibung
nicht durch Masse / Kraft sondern durch Dichte und Druck.
12.2.1 Dichte
ρ = m/V
für homogenes Medium
[ρ] = kg/m3
Skalar
12.2.2 Druck
Druck des Fluids bewirkt eine Kraft F auf den Kolben der Fläche A
p = F→/A Skalar ohne Richtungsabhängigkeit
[p] = N/m2 = Pa (Pascal)
Atmosphärendruck 1 atm = 1,013 bar = 1,013 *105 Pa = 760 Torr
Anwendung: Federdruckmanometer
Merkhilfe: Bleistiftdruck der Spitze größer als der der Rückseite
Bsp.
Welche Masse hat die Luft in einem Zimmer der Größe 3,5m x 4,2m x 2,4 m bei
Atmosphärendruck p = 1,013 bar?
Lsg
75
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Exp. Magdeburger Halbkugel (1654, Otto von Guericke)
Wenn man der Luft einen Druck zordnen kann, dann muss sie auch eine Druckkraft
bewirken. Kiste Wasser hängt an evakuierte Kugel.
Kräfte:
F = pA
Radius r = 5 cm
F = 1,013 *105 Pa * π(0,05m)2 = 796 N
Exp. Schokoküsse explodieren im Vakuum
12.3 Hydrostatischer Druck in ruhenden Fluiden
Erfahrung: Taucher:
Wasserdruck nimmt mit steigender Wassertiefe zu
Bergsteiger: Luftdruck nimmt mit steigender Höhe ab
Gesucht: Druck als Funktion der Tiefe in Becken mit ruhendem Wasser, d.h. Gleichgewicht
Betrachte zylinderförmiges Wasservolumen
V = A(y1 – y2)
y
Wasser
y1
Luft
A
y2
p
p1
p2
Kräfte auf Testvolumen:
F1 = p1 A
durch Wasser oberhalb des Zylinders
F2: = p2 A
durch Wasser unterhalb des Zylinders
mg = ρA(y1 – y2)g
F1 mg F2
Gravitation auf Wasser im Zylinder, A(y1 – y2) = Verdrängung
F2 = F1 + mg
=>
p2 = p1 +ρ(y1 – y2)g
(A gekürzt)
Wasserdruck in Tiefe h
Wasseroberfläche y1 = 0, Luftdruck p1 = p0
=>
p = p0 + ρgh
=>
Der Druck an einem Punkt in einem Fluid im statischen Gleichgewicht hängt nur von
FOLIE DRUCKVERHÄLTNISSE
der Tiefe des Punktes ab, aber nicht von den Abmessungen des Behälters.
76
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Bsp. Alle Behälter sind mit Öl gefüllt. Ordne nach Größe des Drucks auf der Bodenfläche
h
Lsg
Bsp.
(selber rechnen)
Für alle, die Omas Weihnachtsgeld beim Tauchen im roten Meer verprassen: Ein Anfänger
im Scuba-Tauchen nimmt in einer Tiefe h aus dem Atemgerät ausreichend Luft zu sich um
seine Lungen so weit zu füllen wie es geht. Dann schwimmt er nach oben an die Wasseroberfläche aber hört nicht auf seinen Lehrer und atmet nicht aus. Oben angekommen wirkt ein
Druckunterschied zwischen Luft und Lunge von 9,3 kPa. Aus welcher Tiefe ist er gestartet?
Lsg.
=>
p = p0 + ρgh
Druck in Tiefe h auf Lunge und Blut
p0
Luftdruck an Oberfläche
∆p = p - p0 = ρgh
Überdruck der Lunge nach aussen & gegenüber Blut
h = ∆p/ ρg = 9300 Pa/(998kg/m3 9,81m/s2) = 0,95 m
=>
Problem: Lungen reißen und Luft wird in`s Blut gepresst, Luft wandert zum Herzen.
12.4 Druckmessung im Quecksilberbarometer
Exp. U-Rohr mit Vakuumpumpe ansteuern
Glasröhre mit Hg gefüllt, kopfüber in Hg-Bad gestellt, Hg fließt in`s Bad,
=> oberer Raum Vakuum (Hg-Dampf ist vernachlässigbar)
gesucht: Abhängigkeit Hg-Säulenhöhe von Luftdruck p0
p2 = 0
=>
p1 = p2 +ρgh
(Formel aus 12.3)
y2
mit
y1 = 0, p1 = p0
(Luftdruck)
y2 = h
p0
p1
y2 = h, p2 = 0
=>
p0 = ρgh
Hg
y1 = 0
Druck abh. von Temp über ρ(T), Ort auf der Erde über g
Hg-Höhe in mm entspricht dem Druck in Torr, wenn T = 0oC, g = 9,80665m/s2
77
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
12.5 Pascalsches Prinzip
Eine Druckänderung in einem abgeschlossenen inkompressiblen Fluid wird
unvermindert auf jeden Teil des Fluids sowie die Wände abgegeben.
p = pext +ρgh
=>
∆p = pext
für Punkt in konstanter Tiefe h
d.h. wenn sich der Druck in konstanter Wassertiefe ändert, dann nur weil sich der
externe Druck ändert
Exp. Wagenheber, Hydraulikpresse
Anwendung: Hydraulik-Presse
F1
F2
Kräfte: Druck auf beide Flächen ist gleich groß
=>
∆p = F1 /A1 = F2/A2
=>
F2 = F1 *A2 /A1
A1
d1
A2
Öl
Kräfte und Flächen verhalten sich invers
Arbeit: Hebelbewegungen verdrängen das selbe Volumen
V = d1A1 = d2A2
=>
d2 = d1 A1 /A2
=>
W = F2d2 = (F1 *A2 /A1) (d1 A1 /A2) = F1d1
Kleine Kraft, die auf langem Weg wirkt, wird umgewandelt in große Kraft, die auf kleinem
Weg wirkt. Verhalten folgt direkt aus der Energieerhaltung, d.h. Kraft x Weg = konstant.
12.6 Archimedisches Prinzip
Exp. a) Masse hängt in Luft an Federwaage, b) Masse wird in Wasser gehängt => F sinkt
F = mg - FAuf
F = mg
mg
78
d2
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Prinzip:
„Die Auftriebskraft auf einen schwimmenden Körper entspricht der
Gewichtskraft des verdrängten Fluids.“
Der Auftrieb beruht auf dem mit steigender Wassertiefe ansteigenden Druck.
Auftriebskraft
A) gewichtslose, mit Wassermasse mF gefüllte, in Wasser schwebende Tüte, befindet sich im
statischen Gleichgewicht
=>
FA
Kräftegleichgewicht mFg→ = FA→
Umgebungsasser übt Druck-Kräfte auf das Wasser in der Tüte aus
Summe der horizon. Kräfte = 0
Summe der vertika.Kräfte = FA→ nach oben gerichtet, da untere Kräfte größer als oberen
B) selbe Tüte gefüllt mit Sand:
Tüte verdrängt selbe Menge Wasser => selbe Auftriebskraft
aber größeres Gewicht
=>
mSg > FA
=> Sand sinkt
C) selbe Tüte gefüllt mit Holzsägespänen:
=>
mHg < FA
=> Holz steigt auf
Generell:
Die Auftriebskraft auf einen Gegenstand in einem Fluid hat den Betrag mFg→ = FA→ ,
Auftrieb, wenn mFg > mKörperg, also wenn
m Körper
m Fluid
=
ρ Körper ⋅V ρ Körper
=
<1
ρ Fluid ⋅ V
ρ Fluid
Exp. 1 Kartesischer Taucher, vorführen, danach beschreiben lassen, pext geändert
Exp. 2 Auftrieb einer luftgefüllten Glaskugel an Waage entfällt im Vakuum,
Bsp.
Sie wetten einen schweren Stein heben zu können. Zeigen Sie das unter Wasser, dann
hilft Ihnen der Auftrieb.
Anwendung: Aräometer zur Dichtebestimmung von Flüssigkeiten. Gerät
sinkt so weit ein, bis Auftriebskraft = Schwerkraft im Gleichgewicht, also bei
mg =
ρ
FluidVg
79
mFg
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
12.7 Strömung idealer Fluide
wir betrachten nur die Strömung vereinfachter, idealer Fluide unter folgenden Annahmen:
FOLIE ZIGARETTENRAUCH, WINDKANAL
1) Laminar:
gleichmäßige Strömung, in festem Punkt ist die Geschwindigkeit konstant
(ruhiger Fluß: laminar, Stromschnellen: nicht-laminar, d.h. turbulent)
2) Inkompressibel:
Dichte des Fluids überall konstant
3) Nichtviskos:
ohne Energieverlust, da Viskosität ein Maß der inneren Reibung ist
(Bewegung in nicht-viskosem Fluid ist widerstandsfrei)
4) Wirbelfrei:
kein Energieverlust, rotationsfrei
(Teilchen in der Strömung dreht sich nicht um seinen Schwerpunkt)
Stromlinien
- Stromlinien beschreiben den Weg eines kleinen Fluidelements in der Strömung
- können durch Tracer sichtbar gemacht werden
- Geschwindigkeit tangenial zur Bahnkurve
- schneiden sich nie
∆V
(sonst gäbe es an einem Punkt zwei verschiedeneGeschw.)
12.8 Kontinuitätsgleichung
Beobachtung: die Geschwindigkeit des aus einem Gartenschlauch austretenden Wasserstrahls
kann man erhöhen, wenn man das Schlauchende zudrückt, d.h. den Querschnitt verkleinert.
Fluid strömt in Zeit ∆t durch verengtes Rohr
gilt: eintretendes = austretendes Volumen (da inkomressibel)
∆x2 = v2 ∆t
strömendes Volumen: ∆V = A1 v1 ∆t = A2 v2 ∆t
=>
A1 v1 = A2 v2
∆x1 = v1 ∆t
Kontinuitätsgleichung
Flußröhre
Kontinuitätsgleichung gilt auch für imaginäre Flußröhre, d.h. Rand wird nur durch Stromlinien gebildet. Möglich, da Stromlinien sich nicht kreuzen können.
Volumenflussrate
RV = Av = konstant [RV] = m3/s
Massenflussrate
RM = ρRV = ρAv = konstant [RM] = kg/s
80
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
12.9 Bernoulli-Gleichung
Zusammenhang zwischen Druck und Geschwindigkeit. Bildet Grundlagen der Luftfahrt.
identisches Volumen strömt von links nach rechts durch Röhre mit variblen Querschnitt
Dann gilt:
p1 +
=> p +
mit
(D. Bernoulli, ~ 1700)
1
1
ρ v12 + ρ g y1 = p 2 + ρ v 22 + ρ g y 2 = p 0 = kons tan t
2
2
1
ρ v 2 + ρ g y = p 0 = kons tan t
2
v: Fließgeschwindigkeit
p: statischer Druck in Fluid
½ρv2: Staudruck
ρgy: hydrostatischer Druck (abh. von Fluidtiefe)
p0 = konst.:
Luftdruck über der Flüssigkeit, d.h.
Gesamtdruck, der entsteht, wenn v => 0 (= Luftdruck wenn y = 0)
wenn y = konst: => p1 + ½ρv12 = p2 + ½ρv22 = p0
d.h.
wenn die Geschw. (Staudruck ½ρv2) eines Volumenelements in einer
horizontalen Stromline zunimmt, muss der statische Druck p abnehmen.
Beachte: reale Fluide sind wegen Viskosität, Kompressibilität komplexer.
Exp. konisches Rohr hinter Windmaschine mit Drucksensoren längs der Stömungsachse
Kleiner Querschnitt => hohe Geschw. => kleiner Druck (Unterdruck)
Exp. Tragflächenprofil im Windkanal
Interpretation:
Stromliniendichte groß: v groß => p klein
∆p
Luft läuft oben schneller als unten wegen Wirbelbildung an Hinterkante (kompliziert)
Beweis: Bernoulli-Gleichung
Ideales Fluid ändert seine Materialeigenschaften auf dem Weg durch das Rohr nicht. Wenn
Fluidelement mit unterschiedl. Geschw. fließt, dann hat es unterschiedl. kinetische Energie:
∆Ekin = W
(am Element geleistete Arbeit)
∆Ekin = ½ ∆mv22 - ½ ∆ mv12 = ½ ρ∆V(v22 -v12) Energiegewinn
81
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
a) Gravitation Wg = -∆m g (y2 - y1) (Anheben des Fluidelements kostet Arbeit)
= -ρg∆V (y2 - y1)
b) Druck
=>
Wp = F∆x = pA ∆x = p∆V
(Fließen gegen den Über- / Unter-Druck)
Wp1 = p1 ∆V
(Fluid wird hineingesaugt, da v zunimmt, Energiegewinn)
Wp2 = -p2 ∆V
(Fluid muss hinausgedrücken, da v abnimmt, Energieverlust)
Wp = -(p2 - p1)∆V
In Energieerhaltung einsetzen
½ ρ∆V(v22 -v12) = -ρg∆V (y2 - y1) - (p2 - p1)∆V
kin. Energie
pot. Energie
(durch ∆ V teilen)
Druckarbeit
=>
p1 + ½ ρv12 + ρg y1 = p2 + ½ ρv22 + ρg y2
Bsp.
Laminare Strömung fließt nach rechts
q.e.d.
Ordne, beginnend mit dem größten:
a) Volumenrate
b) Geschw. v
c) Wasserdruck
12.10 Druckmessung
12.10.1 Drucksonde
gesucht: statischer Druck p1 im durchströmten Rohr,
Fluid:
strömt tangential an seitlicher Meßöffnung vorbei
p1 +
mit
1
1
ρ v12 + ρ g y1 = p L + ρ v L2 + ρ g y L
2
2
vL = 0 , y1 = yL , pL = Luftdruck
=> p1 = p L −
1
ρ v12
2
(Messgerät zeigt Druckdifferenz p1 an)
statischer Druck p1 wird durch Staudruck reduziert. Wenn v1 = 0 => p1 = pL,
12.10.2 Pitot-Rohr
gesucht:
Gesamtdruck p0 der in ruhendem Fluid herrschen würde
p +
ruhend:
1
ρ v 2 + ρ g y = p 0 = kons tan t
2
in Messröhre v = 0, denn Röhre ist geschlossen,
82
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Lufteilchen, welches direkt auf Loch zufliegt, muß abgebremst werden, d.h.
hier herrscht dann der Gesamtdruck p0, also
=>
p0 = p + ½ρv2
(vor Messröhre v ≠ 0 )
12.10.3 Prandl-Rohr
gesucht:
Staudruck ½ρv2
Rohrspitze:
v0 = 0
1
1
p0 + ρ 0 2 = p1 + ρ v12
2 43 142
2 43
142
Spitze
=>
Seite
1
ρ v12 = p 0 − p1 direkte Messung der Strömungsgeschw. am Flugzeug
2
Exp. Magnuseffekt
v = Ballgeschwindigkeit
Fliegender und rotierender Ball beschreibt eine gekrümmte Bahn
Ursache:
Balloberfläche ist rauh und nimmt Luftschicht mit
vLuftschicht =
ω
vLuftschicht
F
Ball
v1 > v2
p1 < p2
r
=>
v1 = v + vL , v2 = v - vL
=>
Unterdruck ∆p = p1 – p2 => Kraft F = ∆pA
Hydrodynamisches Paradoxon
Ausströmendes Fluid mit hoger Geschw. v erzeugt Unterdruck
z.B. Durchzug => Tür knallt zu, Staudruck öffnet die Tür
F
Exp. zwischen zwei gewölbten Flächen durchpusten => Unterdruck zieht sie zusammen
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 1.6, Fragen 1.6.1 – 1.6.14
83
v2
p2
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Thermodynamik
Studium der inneren Energie von Systemen mit extrem vielen Teilchen durch Mechanik der
individuellen Teilchen praktisch nicht möglich. Besser ist die statistische Beschreibung des
ganzen Ensembles durch neue Größen: Temperatur, Druck, Wärme.
1.1 Temperatur T
der menschliche Temperatursinn täuscht oft, z.B. Eisengeländer scheint im Winter kälter als
Holz, da es mehr Wärme der Hand entzieht.
Temperatur T eines Gases wird über die kinetische Energie der Gas-Moleküle mit Masse m
definiert. Betrachte nur Translation
Ej = ½mvj2
individuelle Energie
=> mittlere Energie
Energieaustausch durch Stöße untereinander
<E> = ½ m<v2>
<E> = 3/2 kT
(Herleitung später)
k = 1,381 x 10-23 J/K
Temperatur
Bolzmann-Konstante
[T] = K
beachte: keine Grad-Zeichen bei Kelvin!
Kelvin,
SI-Basisgröße, man könnte T auch in Joule messen mit k = 1
Minimal
T=0K
nie erreichbar, da E > 0, vollständig ruhige Atome unmöglich
Maximal
keine obere Grenze
1.2. Nullter Hauptsatz
Exp. Thermoskop zeigen, d.h. Gerät, das Temp. anzeigt.
Temperaturmessung: Thermometer mit Objekt in Kontakt bringen und warten, bis beide im
thermischen Gleichgewicht sind
A
T = 25
A
B
B
T = 25
Wenn sich zwei Körper A, B je im thermischen Gleichgewicht mit drittem Körper (Thermoskop) befinden, dann befinden sie sich auch untereinander im thermischen Gleichgewicht.
84
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
„Jeder Körper hat eine Eigenschaft, die man Temperatur nennt.“
Nullter Hauptsatz bildet die Grundlage zur Temperaturmessung.
Eingeführt ca. 1930, nach Entwicklung der Thermodynamik
1. 3. Temperaturmessung
Definition der Temperaturskala durch ein reproduzierbares thermodynam. Phänomen, dem
Thermometer
Tripelpunkt: Eis – Wasser - Dampf im Gleichgewicht
Wasserdampf
T3 = 273,16 K , p3 = 6,1 mbar
Wasser
1Kelvin = 1 / 273,16 te Teil
Eis
der Differenz Tripelpunkt - Nullpunkt
p = 6,1 mbar
Tripelpunktzelle
Beachte:
Kelvin ohne Gradzeichen
Kein Unterschied zwischen Temperatur und Temperaturdifferenz; je in Kelvin
Thermometer
Direkteste Temperaturmessung wäre die Bestimmung der Molekülenergie <E> (Astrophysik)
T=
2<E>
3 k
Technisch einfacher: Nutze Größen, die reproduzierbar von der Temperatur abhängen, wie:
Volumen, Länge, Druck, elektrischer Widerstand
Celsius & Fahrenheit-Skalen
Celsius in Grad
Fahrenheit in Grad
Unterteilung: 1oC = 1K
1oF = 9/5 oC
Nullpunkt
0oC = 273,15 K
0oC = 32oF
TC = T – 273,15o
TF = 9/5 TC + 32o
K
o
C
o
F
Siedepunkt Wasser
373,15
100
212
Gefrierpunkt Wasser
273,15
0
32
Nullpunkt C /F
-18
0
Gleichstand C / F
-40
-40
85
180o
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Beachte:
Verwechsle nicht Temperatur mit Temperaturänderung
10 K ≠ 10oC, aber Temperaturunterschied von ∆T = 10oC = 10K = 18oF
generell: Temperaturangaben in Kelvin!
1.4 Wärmeausdehnung
Durch Wärme wird dem Körper Energie zugeführt. Atome schwingen um Gleichgewichtslage. Mit wachsender Energie können die Atome stärker schwingen, d.h. gegen die Bindungskräfte bewegen, d.h. weiter voneinander entfernen. D.h. der Körper dehnt sich aus.
T1
½ Ausdehnung
T2 > T1
Wärmeausdehnung:
meist unerwünscht
FOLIE SCHIENEN
Technisch vorbeugen: Dehnungsfuge durch Teer zwischen Betonplatten, Brückenbau
Längenausdehnung
Erhöht sich die Temperatur eines Stabes der Länge L um ∆T, so nimmt seine Länge zu um:
L(T) = L(T=0).(1+αT)
bzw.
∆L = Lα ∆T
[α] = 1/K Längenausdehnungskoeffizient
- Temperaturabhängig, aber bei T~300K nahezu temperaturunabhängig
- Materialabhängig
Material
Stahl Messing
Beton Glas
Invar (FeNi)
α= 10 - 6 / K
11
12
0,7
19
9
Technische Bedeutung:
- Aufbau aus zwei Materialien => Zerstörung bei Temperaturänderung vermeiden
- Cerankochfelder, Ausdehnungskoeffizient muss klein sein
- Bimetallstreifen
Exp. Bimetallstreifen: Metalle mit unterschiedlichem α verklebt, z.B. Messing, Stahl
Verbiegung, Anwendung als Thermoschalter (Bügeleisen), Thermometer
Messing
Stahl
α
86
α
1
2
<
α
1
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Volumenausdehnung
Erhöht sich die Temperatur eines Körpers mit dem Volumen V um ∆T, so wächst es um
∆V = V 3α ∆T
folgt aus der Längenausdehnung
Wasser
Dichte (g/cm3)
verhält sich anders
T > 4oC:
dehnt sich, denn α > 0
1,0000
0 < T < 4oC: zieht sich zusammen, α < 0
0,9998
0,9996
O
H
Eisstruktur
=> Kleinere Dichte,
O
0 2 4 6 8 10 12 T(oC)
H
Hohlraum
Wasserstoffbrücken
Eis (bei 0oC)
= -51 x 10-6 1/K
α
FOLIE Eis
Eis wächst bei Abkühlung, für tiefere Temp. α > 0
See friert an der Oberfläche zu, da Wasser / Eis mit ~ 0oC geringere Dichte hat als Wasser mit
4o C und daher oben schwimmt. Wäre dies nicht so, würde das schwerere Eis zum Seeboden
absinken, und der See von unten zufrieren und wohl auch im Sommer nicht auftauen.
1.5 Temperatur & Wärme
a) Stellt man heiße Suppe auf den Tisch, so kühlt diese ab.
b) stellt man kalte Cola aus dem Kühlschrank auf den Zimmertisch, so wärmt sie sich auf.
Exp. 3 Thermometer für a) Raumtemp. b) Eiswasser c) heißes Wasser, laufen lassen
Modell:
System mit Temperatur TS
(Cola, Suppe, klein)
Reservoir mit Temp. TR
(Zimmer, groß, stabil gegenüber System)
Temperaturangleichung
Reservoir TR
System TS
TS => TR Energieaustausch zwischen Reservoir und System
Reservoir TR
System TS
∆Q
∆Q <
heiße Suppe
TS > TR
Reservoir TR
System TS
∆Q
∆Q >
kalte Cola
TS < TR
87
∆Q = 0
Luft im Raum
TS = TR
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Innere Energie besitzen die Atome eines Festkörpers, eines Fluids oder Gases in Form
von Bindungsenergie und kinet. Energie, gemessen durch die Temperatur.
„Wärme ∆Q ist die zwischen einem System und dem Reservoir aufgrund des
Temperaturunterschiedes ausgetauschte innere Energie. „
- Einheit
[∆Q] = J
(Joule)
- ist keine intrinsische Eigenschaft des Körpers, das ist die Temperatur
- ist kein „Stoff“ der zwischen den Systemen fließt.
Exp. Lichtmühle: kinetische Energie der Atome steigt nach Energieaufnahme der Strahlung.
Kalorie (cal)
Altes Maß der Wärmemenge zur Temperaturerhöhung von 1g Wasser von 14,5oC auf 15,5oC
1 cal = 4,1860 J
Beachte
1 Cal = 1kcal in der Ernährungswissenschaft (Kilo-Kalorie)
1.6.1 Wärmekapazität C
Proportionalitätskonstante zwischen aufgenommener/abgegebener Wärme Q und Temperaturänderung ∆T eines Körpers
∆Q = C ∆T
∆T = (Tf - Ti)
[C] = J / K
Beachte: Begriff „Kapazität“ irreführend, da die Wärme nicht wie eine Substanz im Gefäß
gespeichert wird. Wärmeaufnahme heißt Energieaufnahme, kann beliebig fortgesetzt werden
solange ∆T besteht, d.h. das „Gefäß“ läuft nicht über (kann aber schmelzen, verdampfen)!
1.6.2 Spezifische Wärme c
bezieht sich auf das Material des Körpers, d.h. die atomare Struktur und ihre Fähigkeit Energie in Form von Wärme aufzunehmen. Normiert auf die Masse m
∆Q = c m ∆T
[c] = J / (kg K)
88
Physik I
Bsp.
Bsp.
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Ganze Marmorplatte mit m = 851 g hat:
C = 749 J/K
Marmor selbst hat
c = 880 J/(kg K)
Wasser wurde benutzt um Kalorie zu definieren
=>
Bsp.
Physikalische Technik FH Münster
c = 1 cal/(g oC) = 4190 J/(kg K)
selbe Wärmemenge Q erwärmt 1g von Stoff (A) um 3oC, 1g von Stoff (B) um 4oC.
Welcher Stoff hat größere spez. Wärme ?
Lsg.
Bsp.
Material
Blei
Spez. W. c (J/(kg K)) 128
Beachte:
Kupfer Alu. H2O
386
900
4190
Bei der Messung der spezifischen Wärme einer Substanz spielt der Prozeß der
Wärmeübertragung eine Rolle (später genauer).
i)
konstanter Druck
cp
ii)
Konstantes Volumen cV
1.6.4 Kalorimeter
i) isoliertes Gefäß mit CW enthält Wasser mit c0, Masse m1, T1
ii) Probekörper wird im Wasserdampf erhitzt
T2
m2, T2 = 100oC, gesucht c2 = ?
iii) Probekörper in Kalorimeter (Wasser) legen
=>
T1
Mischungstemperatur Tm stellt sich ein
Energieerhaltungssatz: abgegebene = aufgenommene Wärme
∆Q2 = c2m2 (T2 – Tm) = (c0m1 + CW )(Tm – T1) = ∆Q1
Tm
c2 = c0m1 + CW Tm – T1
m2
T2 – Tm
89
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
2 Kinetische Gastheorie
Deutung der phämomenologischen Größen der Thermodynamik (Druck, Volumen, Temperatur) durch die Mechanik der das Gas bildenden Atome bzw. Moleküle.
2.1 Avogadro-Zahl NA
da die Atome / Moleküle Grundlage des Modells bilden, müssen wir für diese ein Maß finden.
Ein Mol enthält NA Einzelteilchen, das ist gleich der
Anzahl NA der Atome in 12g Kohlenstoff C12.
NA = 6,02 x 1023 1/mol
(Avogadro (1776-1856), Loschmidt`sche Zahl)
Molvolumen Vmol = 22,4 Liter
Molzahl
n = N / NA
Ein Gas mit N Teilchen besitzt n Mole
Molmasse
M = m NA
Masse von einem Mol
m = Masse eines Atoms / Moleküls
2.2 Ideale Gase
wenn wir ein mikroskopisches Modell der Thermodynamik entwickeln wollen, müßten wir
die Art der Atome, Moleküle des entsprechenden Gases (N2, O2, CO, H, He) berücksichtigen,
insbesondere die atomaren Wechselwirkungen & Kräfte. Bei kleiner Dichte spielen diese aber
keine Rolle mehr, da die Atome weit voneinander entfernt sind! Reale Gase => ideale Gase
Definition: ideales Gas:
- kein Eigenvolumen der Moleküle
- keine atomaren Anziehungs-Kräfte
- kleine Dichte, großer Abstand der Atome
Ideales Gasgesetz
pV = nRT
n = Molzahl
R = 8,31 J/(mol K)
Gaskonstante, für ideale Gase
Bolzmannkonstante
k = R / NA = (8,31 J mol) / (6,02x1023 mol K) = 1,38 x 10-23 J/K
=>
nR = Nk
=>
pV = NkT
beachte Unterschiede in den Formen des idealen Gasgesetzes:
Zahl n der Mole und Zahl N der Moleküle
90
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Exp. Luftballon in flüssig Stickstoff V ~ T
Exp. Luftballon expandiert unter der Vakuumglocke V ~ 1/p
2.3 Kinetik
gesucht: Zusammenhang zwischen Gasdruck auf die Wände
y
und Geschwindigkeit / Impuls der Moleküle.
L
Näherung: elastische Stöße der Moleküle mit der Wand,
v→
keine Stöße untereinander
Einzige Änderung: x-Komponente bei Stoß mit gelber Wand
Molekül:
∆px = (-mvx) - (mvx) = -2 mvx
Wand:
∆px = +2 mvx
L
m
x
z
L
Molekül pendelt zwischen den Wänden
Zeit zwischen 2 Stößen auf gelbe Wand:
∆t = 2L / vx
nur Stöße zwischen gelber & gegenüberliegender Wand sind relevant,
Stöße mit anderen Wänden ändern vx nicht
Rate des Impulsübertrags von Molekül j auf die gelbe Wand:
∆pxj /∆t = (2mvxj ) / (2L/vx) = mvxj2 / L
Kraft
Fxj→ = dpxj→/dt
2.newton´sches Gesetz
Druck
p = Fx / L2
durch alle N Moleküle auf gelbe Wandfläche L2
= (1/L2){ mvx12/L + mvx22/L + .......+ mvxN2/L} individuelle Molekülgesch.
= (m/L3){vx12 + vx22 + .......+ vxN2}
mit
N = nNA = Zahl der Terme in {....}
<vx2> = Mittelwert aller vxj2
=>
p = (n m NA / L3) <vx2>
mit L3 = V Volumen,
= (n M NA / V) <vx2>
beachte
v2 = vx2 + vy2 + vz2
=>
<vx2>
=>
pV = 1/3 n NA m <v2>
mit
Ekin = ½ m <v2> = 3/2 kT
für ein einzelnes Atom
=>
pV = n NA k T
für ein Mol
=>
pV = N kT
Geschw. v besitzt gleichverteilt die x-y-z-Komponenten
2
= 1/3 <v >
91
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
ideales Gasgesetz gibt Beziehung zwischen Druck (makroskopische Größe) und Geschwindigkeit der Moleküle (mikroskopische Größe).
2.3.1 Mittlere Molekülgeschwindigkeit
vrms = (<v2>)½
(root mean square) mittleren Geschwindigkeit
der Moleküle, ohne Richtungsangabe. Erst individuelle Geschw. vj quadrieren,
dann Mittelwert bilden => Vorzeichen entfällt, nur Beträge sind relevant
mit
pV = nRT
=>
vrms = (3RT / M)½
Bsp.
(ideales Gasgesetz)
N2-Moleküle , M = 0,028 kg/mol, T = 300 K, R = 8,31 J/(mol K)
=>
vrms = 517 m/s, vrms ist sehr hoch, aber es ist Mittelwert zwischen den Stößen
der Moleküle auf Zick-Zack-Kurs, nicht geradlinig.
Bsp. Frage
Welche Moleküle sind noch schneller ?
Lsg
Gasthermometer
Standardthermometer, wird zur Eichung anderer Thermometer benutzt.
Exp. Gasthermometer, in Wasserbad halten heizen
Messgröße:
p(T) Gasdruck in festem Gaskolben
Gesucht:
T der Flüssigkeit
p0
Messvorgang: 1) thermischer Kontakt zwischen Flüssigkeit / Kolben
2) konstantes Gasvolumen in Kolben einstellen durch
Heben / Senken des Reservoirs R (Nullmarke)
3) Höhe h messen
4) Referenzmessung in Tripelpunktzelle statt Flüssigkeit
V
Nk
ideales Gasgesetz
p = p0 − ρ g h ,
Druck im Kolben
Auswertung: T = p
ρ = Hg-Dichte, p0 = Luftdruck
T3 = p 3
V
Nk
(Tripelpunkt)
92
Therm.
Kontakt
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
=>
Physikalische Technik FH Münster
 p
 p
T = T3   = 273,16 K  
 p3 
 p3 
Problem:
Temperatur T hängt vom verwendeten Gas ab, da kein ideales Gas
Lösung:
Gasvolumen verringern
N2
T(K) Bsp. kochendes Wasser
=>
 p
T = 273,16 K lim  
Gas → 0 p
 3
H2
373,3
373,2
373,1
373,0
He
0
20
40
60
80
p (kPa)
Messvorgang 5) wiederhole Messungen mit kleiner werdendem Gasvolumen, bestimme p/p3
Extrapoliere lim p/p3 und bestimme daraus T = 273,16K ( lim p/p3)
Gas → 0
Gas → 0
2.3.2 Brownsche Bewegung
Schwerere Schwebeteilchen von 1µm Durchmesser, m = 10-15 kg erreichen bei 300 K nur
vrms = 3 mm/s
erstmals mikroskopisch beobachtet von Brown (Botaniker) an Teilchen in Pflanzenzellen.
Moleküle laufen nicht auf geradlinigem Weg durch den Raum, sie nehmen Zick-Zack-Kurs.
Exp. Brownsche Bewegung unter dem Mikroskop sichtbar machen
Effektiv zurückgelegter Weg eines Teilchens in Zeit ∆t:
<x2> = (kT / 6πr η) ∆t
(Einstein – Smoluchowski)
η = Viskosität
Brownsche Bewegung begrenzt oft Auflösungsvermögen:
- Elektronenbewegung beeinflußt elektr. Widerstand
- menschl. Hörvermögen, Trommelfellrauschen
2.3.3 Translationsenergie
mittlere kinetische Energie eines Moleküls im Gas; Geschw. kann sich nach Stoß ändern:
Ekin = ½ m v2rms
= ½ m (3RT / M)
mit M /m = NA
93
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
= (3RT)/( 2NA)
Physikalische Technik FH Münster
mit k = R / NA
= 3/2 kT
=>
Bei gegebener Temperatur T haben alle Moleküle in einem Gas die selbe mittlere
kinetische Energie, unabhängig von ihrer Masse. Die Temperatur ist ein direktes Maß
für die mittlere kinetische Energie der Gasmoleküle.
Exp. Glühwendel im Vakuum Wärmeleitung / Energieübertrag durch Stoß der Moleküle
a) Glühwendel in Luft => Energieabgabe durch Stöße mit Luftmolekülen => T klein
b) Glühwendel in Vakuum => keine Energieabgabe durch Stöße => T groß => glüht
2.3.4 Mittlere freie Weglänge λ
Moleküle bewegen sich auf Zick-Zack-Kurs durch ein Gas, aber
geradlinig auf mittlerer freier Weglänge λ zwischen zwei Stößen.
λ=
λ
1
2π d2 N V
Beweis (freiwillig )
i)
λ~V/N
ii)
λ ~ 1/(π (r1 + r2) 2)
(~ 1/ Gasdichte)
(~ 1/ Molekülfläche)
Stoßquerschnitt σ = π (r1 + r2) 2
d = 2r
(gleiche Moleküle)
r1
r2
λ=
=
mit
vrms
Weglänge in Zeit ∆t
vrms ∆t
= 2
Zusammenstöße in ∆t
πd √2 vrms∆t N/V
d
1
πd √2 N/V
2
= Geschwindigkeit des betrachteten Moleküls
√2vrms = Geschwindigkeit aller anderen Moleküle relativ zum betrachteten Molekül
Bsp.
Luft (N2) in Meereshöhe: λ = 0,1 µm, Erklärt die langsame Ausbreitung der
Moleküle aus offener Parfumflasche.
94
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
2.4.1 Maxwellverteilung
Physikalische Technik FH Münster
(Maxwell 1852)
Wir haben bisher immer nur von der mittleren Geschwindigkeit der Gasmoleküle gesprochen,
welche Geschwindigkeiten kommen überhaupt vor?
Maxwellverteilung gibt die Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten an, genauer: „mit welcher Wahrscheinlichkeit f(v) finde ich ein Molekül mit Geschwindigkeit v im Intervall dv ?“
f(v)dv = 4π [m / (2πkT)]3/2 v2 exp{-mv2/(2kT)}dv
v
Betrag der Molekülgeschwindigkeit
m
Masse eines Gasmoleküls
T
Temperatur des Gases
k
Bolzmannkonstante
m/k = M/R ersetzbar
Die Flächen unter den Kurven sind jeweils 1.
Fläche unter der Kurve: Anteil der Moleküle
mit Geschw 0 < v < ∞, d.h. alle Moleküle
vf
∫0∞ f(v)dv = 1
f(v)
vmittel
vrms
Anteil ∆f der Moleküle mit Geschwindigkeiten v1 < v < v2
∆f = v1∫v2 f(v)dv
v1
2.4.2 Geschwindigkeiten:
v2
vmittel : Gewichte jeden Wert v mit Verteilungsfunktion f(v), genauer v*f(v)dv, d.h. betrachte
Wahrscheinlichkeit v im Intervall dv zu finden und summiere über alle dv.
vmittel = 0∫∞ v f(v)dv = (8kT / π m)½
vrms = (<v2>)½ = { 0∫∞ v2 f(v)dv }½ = (3kT /m)½
Wahrscheinlichste Geschwindigkeit: =>
df/dv = 0
vf = (2kT / m)½
beachte die Reihenfolge der Geschwindigkeiten!
95
v(m/s)
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Bedeutung
Maxwellverteilung gibt an, wie viele Teilchen ausreichend hohe Energie für Anregungsprozesse besitzen. Diese befinden sich in der rechten Seite des „Maxwellschwanzes“. (zeichnen)
Sonne: Energie durch Fusion zweier Protonen, wenn Abstand klein genug. Abstoßung durch
elektrostat. Coulombkraft muß durch therm. Bewegungsenergie überwunden werden.
Regen: Wassermoleküle in See / Meer sind gebunden (Oberflächenenergie). Nur wenige
haben ausreichend kin. Energie, um die Bindungsenergie zu überwinden.
Halbleitertechnologie: Leitfähigkeit von dotierten Halbleitern. Thermische Anregung von
Donator-Elektronen in das Leitungsband. Man spricht hier auch von „Elektronengas“.
3 Wärme & Arbeit
3.1 Arbeit
Wie werden im thermodynamischen Prozeß Wärme und Arbeit zwischen zwei Systemen
ausgetauscht? Wichtig für alle Wärmekraftmaschinen.
Ideales Gas im Zylinder
Zylinder thermisch isoliert
Kolben beweglich, (Fläche A)
variables Gewicht drückt auf Kolben
Wärmereservoir regulierbar, heizt / kühlt Gas
Anfangszustand i) pi, Vi, Ti , Endzustand f) pf, Vf, Tf
Prozeß läuft langsam ab, damit immer thermodynamisches Gleichgewicht herrscht !
Gas kann
a) Wärme vom Reservoir aufnehmen (dQ > 0) oder abgeben (Q < 0)
b) Arbeit leisten d.h. Kolben heben (dW > 0) oder senken (dW < 0)
Idealisierung: kleine Verschiebung dx des Kolbens => Kraft F auf Kolbenfläche A ist konst.
Arbeit dW durch Kolben:
dW = F→.dx→ = p Adx = p dV
Vf
=>
W = ∫ dW =
Vi
Vf
∫ pdV
gesamte Arbeit, allgemeine Form
Vi
=> man muß p(V,T) für den Prozeß kennen !
96
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
3.1.2 Arbeit auf einer Isothermen
Betrachte einen isothermen Prozeß (bei konstanter Temperatur T1) eines idealen Gases.
Temperatur
T = konstant
1
p = nRT
V
Isotherme
(p ~ 1/V Gesetz von Boyle-Mariotte)
T = 320 K
Vf
W=
nRT
∫Vi V dV
T = 310 K
= nRT Vi ∫ Vf (1/V) dV
da T = konst.
= nRT[ln V]ViVf
mit ln(a) – ln(b) = ln(a/b)
= nRT ln(Vf / Vi)
Logarithmus zur Basis e
T = 300 K
Exp. a) Ausgezogene Luftpumpe zuhalten und Luft langsam (isotherm) komprimieren
Vf < Vi
=> ln(Vf / Vi) < 0
=> W < 0
b) Kolben der Luftpumpe loslassen => Expansion der Luft
Vf > Vi
=> ln(Vf / Vi) > 0
=> W > 0
3.1.3 Arbeit auf einer Isobaren
V
Druck p = konstant
pV = nRT
=>
W = Vi ∫
Vf
p1 < p2
p2 < p3
(V ~ T Gesetzt von Charles)
p3
pdV = p (Vf - Vi )
T
3.1.4 Arbeit auf einer Isochoren
p
Volumen V = konstant
pV = nRT
=>
(p ~ T Gesetz von Gay-Lussac)
W = Vi ∫ Vf pdV = 0
V1 < V2
V2 < V3
V3
(dV = 0)
T
Bsp.
Ein Zylinder enthält 12 Liter bei 20oC und 15 bar. Die Temperatur steigt auf
35oC und Volumen sinkt auf 8,5 Liter.
Frage Welchen Druck besitzt das ideale Gas dann?
Lsg.
97
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
3.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik
bei thermodynamischen Prozessen hängen verrichtete Arbeit W und ausgetauschte Wärme dQ
vom Prozessweg ab. Aber (dQ – dW) ist wegunabhängig; nur abhängig von Anfangs- &
Endzustand. Deutet auf Erhaltungsgröße, die innere Energie des Systems hin
dEint = dQ – dW
(erster Hauptsatz)
Die Änderung der inneren Energie ergibt sich aus der der Wärme (übertragene
Energie) und der geleisteten Arbeit.
Also
dQ = dEint + dW
a)
b)
Zugeführte Wärmeenergie teilt sich auf in:
dEint = 3/2 k dT = cm dT
dW = pdV
Temperaturanstieg, kinetische Energie
Druckarbeit
Vorzeichen: System (Gas) ist Bezugsunkt, also: Eint wird größer, wenn
a) Wärme (dem Gas) zugeführt wird
b) Arbeit am System verrichtet wird (z.B. Gas wird komprimiert)
Arbeit, die das System verrichtet W > 0, Arbeit, die am System verrichtet wird W< 0
Der 1.HS der Thermodynamik ist eine Erweiterung des Energie-Erhaltungssatzes der Mechanik auf nicht-isolierte Systeme, denn der Wärmeaustausch wird erfaßt.
3.3 Thermodynamische Prozesse
Anwendung des 1. HS auf thermodynamische Prozesse
3.3.1 Adiabatisch
dQ = 0
kein Wärmeaustausch System / Umgebung wenn
Zylinder 100% isoliert oder oder schneller Prozeß
=>
dEint = -dW
(erster Hauptsatz)
einzige Möglichkeit des Energieaustausches ist die Druckarbeit
98
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
3.3.2 Isochor dV = 0
=>
W = Vi ∫ Vf pdV = 0
System kann keine Arbeit verrichten
dEint = dQ
nur die innere Energie ändert sich
3.3.3 Kreisprozeß
System kehrt nach Austausch von Arbeit und Wärme in den Anfangszustand zurück
=>
dEint = 0
=>
dQ = dW
zugeführte Wärme wird in Arbeit umgewandelt
=> Wärmekraftmaschinen
3.3.4 Freie Expansion
Bedingungen: a) adiabatisch dQ = 0
b) dW = 0, Gas kann sich frei ausdehnen
gegen Vakuum
=>
dEint = 0
Prozess unterscheidet sich von vorhergehenden Prozessen:
- schnelle Ausdehnung, daher kein therm. Gleichgewicht
- Druck ist ortsabhängig => man kennt den Prozeßverlauf nicht
=> nur Anfangs / Endzustand im p(V)-Diagramm bekannt
Beachte generell:
die Arbeit ist immer von der Prozeßführung (Weg) abhängig!
Exp. Dampfmaschine
99
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
3.4 Molare Wärmekapazität
Ziel ist die Rückführung der inneren Energie auf die mechanische Energie eines Moleküls.
Die ist abhängig von der Zahl der möglichen Bewegungen, d.h. der Freiheitsgrade f
Zahl der Atome
a) Translation
1-atomig
2-atomig
3 Freiheitsgrade
3 Freiheitsgrade
mehr-atomig
.
3 Freiheitsgrade
b) Rotation
0
2
3
c) Schwingung
0
x
x
Gleichverteilungssatz der Energie:
Auf jeden Freiheitsgrad eines Moleküls entfällt im thermischen Gleichgewicht die
gleiche mittlere Energie:
Also
Eint = 1/2 kT
(pro Molekül)
Eint = 1/2 RT
(pro Mol)
Eint = f/2 kT
(Gesamtenergie pro Molekül mit f Freiheitsgraden)
Spezifische Wärme ist abhängig vom Prozeß der Wärmezufuhr:
3.4.1 Bei konstantem Volumen CV
System ist thermisch isoliert
p
Wärmezufuhr dQ bewirkt - Temperaturerhöhung T + dT
- Druckerhöhung
dQ = nCV dT
p + dp
Isotherme
T + dT
p
(für n Mol)
T
CV: molare Wärmekapazität, n: Anzahl der Mole
=>
p +dp
dEint = nCV dT - dW
mit 1.HS, dW = pdV = 0
CV = dEint / ndT
mit dEint = ½ f nR dT
CV = ½ f R
(für 1 Mol n = 1)
100
V
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
3.4.2 Bei konstantem Druck Cp
Q teilt sich auf in Temperaturerhöhung und Volumenausdehnung, mehr Wärme zur Temperaturerhöhung nötig ! => Cp > CV
p
dQ = nCp∆T
T + ∆T
Cp: molare Wärmekapazität, n: Anzahl der Mole
p∆V
dEint = dQ – dW
V
nCVdT = nCpdT - pdV
T
V+∆V
mit pV = nRT
nRdT
ndT
=>
CV = C p −
=>
CV = Cp - R
=>
Cp = ( ½ f +1)R
=>
Wärmekapazität folgt über die Freiheitsgrade aus der Mechanik der Moleküle
(für 1 Mol)
Experiment (T=273K)
Theorie
Molekül
CV
Freiheitsgrade
.
J/(mol K)
He
12,6
20,9
O2
21,0
CO2
25,1
Cp
Atome proMolekül
CV
f
J/(mol K)
1
3
12,5
20,9
29,3
2
5
20,9
29,3
32,9
3
6
25,0
33,4
Bsp.
Ordne Prozesse nach der Änderung der inneren Energie (größte zuerst)
Lsg.
5), dann 1-4) gleichauf (dE = ½ fkdT)
3.4.3 Zugang zur Atomphysik
Aus dem Verhältnis der Wärmekapazitäten
γ = Cp / CV = (f + 2)/f
erhält man direkt Information über die atomare Struktur der Moleküle
Gase mit
Cp
Cp / CV = 5/3 haben f = 3 => einatomig
Cp / CV = 7/5
f = 5 => 2-atomig
Cp / CV =8/6
f = 6 => 3 / mehratomig oder gewinkelt
101
.
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Wärmekapazität ist selbst temperaturabhängig;
Freiheitsgrade können eingefroren sein.
CV /R
(2-atomig H2), zerreißt
7/2
Oszillation
5/2
Rotation
3/2
Translation
0
20
80
800
3000
3.5 Adiabatische Zustandsänderung
dQ = 0 d.h. kein Wärmeaustausch zwischen System und Umgebung während des Prozesses
wenn 100% isoliert oder schneller Prozess
Gilt für p(V)
pV γ = konstant
(ohne Bew.)
γ = Cp / CV > 1
Gilt für V(T)
nRT V γ-1 = konstant
Adiabate
p = konst / V γ
Isotherme
p = konst / V1 (flacher als Adiabate)
Exp. Sektflasche, Wasserflasche, Coladose
Flasche steht leicht unter Druck und wird schnell geöffnet. Es bildet sich ein feiner
Nebel über der Öffnung, zusätzlich zu den Sektspritzern.
Prozeß: Gasblase aus CO2 und Wasser oben in der Flasche
Expansion
dV > 0, da p > Atmosphärendruck
Gas leistet Arbeit
dW = pdV
Energiequelle: Eint
dW = dEint , dQ = 0 da adiabatisch, weil schnelle Expansion
Gastemperatur sinkt dT = dEint / (f/2 nk) => Gas kondensiert zu Nebel
Generell:
Ti Vi γ-1 = Tf Vf γ-1
Tf = Ti (Vi γ-1 / Vf γ-1) wegen Vf > Vi => Tf < Ti
Temperatur sinkt immer bei adiabatischer Expansion!
102
T(K)
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Beweis der Adiabatengleichung
dV
Physikalische Technik FH Münster
(freiwillig zum selber rechnen)
kleine Volumenänderung => p = konstant wärend der Prozeßschritte
dW = pdV
Arbeit des Gases (Expansion)
dEint = Q – pdV
mit Q = 0, dEint = nCVdT
=> i) n dT = -(p/CV)dV
mit
pdV + Vdp = nRdT
mit
R = Cp – CV
ideale Gasgl., sowohl p als auch V können sich ändern
=> ii) n dT = (pdV + Vdp)/(Cp – CV)
i) = ii) umformen*1/p * (Cp – CV)
=>
-dV/CV (Cp – CV) = (pdV + Vdp)/p
=>
(Cp /CV)(dV/V) + dp/p = 0
mit γ = (Cp /CV)
=>
ln p + γ ln V = C1
nach Integration
=>
ln(pVγ) = C1
Umkehrfunktion anwenden
=>
pVγ = exp{C1} = Konstante
Zusammenfassung
Prozess
konst. Größe Weg
Ergebnisse
.
Isobar
p
1
W = pdV, Q = nCpdT
Isotherm
T
2
Q = W = nRT ln{Vf/Vi}, dEint =0
3
Q = 0, W = - dEint
4
W = 0, dEint = nCVdT
Adiabatisch
Isochor
pVγ , TVγ-1
V
p
1
4
2
3
V
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 3.1 + 3.2, Fragen 3.1.1 – 3.1.9, 3.2.1 – 3.2.12
103
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
4 Aggregatzustände
4.1 Koexistenz von Flüssigkeit & Dampf
Exp. Bringt man in ein evakuiertes Gefäß eine Flüssigkeit,
die es nur teilweise füllt, so verdampft ein Teil und es
stellt sich der charakteristische Dampfdruck ein.
Dampfdruck:
direkt gemessen durch Höhe h in mm Hg (= Torr) falls Hg statt H2O benutzt wird
Volumenänderung
(z.B. Senken des Rohres)
=>
Druck ändert sich nicht
=>
Dampf geht in Flüssigkeit über
=>
Koexistenz von gasförmig / flüssig
Dampfdruck bei 20oC:
Substanz
H2O
Methylalkohol
Quecksilber
pD (mbar)
23,3
125
1,6 x 10-6
Dampfdruck-Kurve:
Rote Linie:
p & T so dass Flüssigkeit und Dampf im Gleichgewicht
Unterhalb:
T groß, p klein => Dampf
Oberhalb:
T klein, p groß => flüssig
Kritischer Punkt:
Ende der Dampfdruckkurve
oberhalb von T3 nur Gas
Moleküle treten aus Flüssigkeit aus / ein
Austrittsarbeit WD = Verdampfungswärme notwendig
Verdampfen: Ekin > WD für “heiße” Moleküle möglich
Ekin = f/2 kT
=>
Temperatursteigerung bewirkt Druckanstieg (s.o.)
Bolzmannverteilung gibt den Anteil der Moleküle an mit:
Ekin > WD
104
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
daraus ergibt sich die Dampfdruckkurve:
pD = b kT exp{-WD/kT}
b = konst. enthält u.a. die Teilchendichte der Flüssigkeit
Sieden
Wenn Dampfdruck und der darüber lastende Druck gleich (pD = p0) so siedet die Flüssigkeit.
Dampfentwicklung nicht nur an der Oberfläche, sondern auch in der Flüssigkeit (Blasen).
Exp. Siedepunkterniedrigung von Wasser im Vakuum. Wasser im Becher unter einer Vaku-
umglocke beginnt bei 300 K zu kochen, wenn p klein genug.
Weitermachen bis Eis entsteht
Bsp.
Frage kann Reinhold Messner auf dem Mont Everest sein Frühstücksei kochen?
Lsg.
Verdampfungswärme WD
Wenn Moleküle aus Flüssigkeit austreten, entziehen sie dieser Verdampfungswärme WV
Wird die nicht nachgeführt, so kühlt die Flüssigkeit ab (Verdunstungskälte),
(Bsp. feuchte Haut nach dem Baden ist kälter als trockne Haut)
=>
T sinkt,
∆T = 2E / fk
denn nur langesame Moleküle bleiben zurück
isotherme Verdampfung: T konst:
dWD = dQ = mλD
Verdampfungswärme zuführen
Kondensation des Dampfes zur Flüssigkeit: Verdampfungswärme wird frei
Material
Siedepunkt
Verdampfungswärme
Sauerstoff
90,2 K
213 kJ/kg
Wasser
373 K
2256 kJ/kg
Kupfer
2868 K
4730 kJ/kg
105
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Kühlschrank:
Prozeß: Verdampfungswärme, nicht Expansion nutzen
Ammoniak, Ethylchlorid gasförmig bei gewünschter Kühltemp (z.B. -20 oC)
Wird komprimiert und so verflüssigt (kostet Arbeit)
Verdampft am Wärmetauscher des Kühlschrankes => kühlt dabei ab, entzieht
Verdampfungswärme
4.2 Koexistenz von fest & flüssig
Schmelzen: Aufbrechen der Kristallbindungen
dWS = dQ = mλS
Schmelzwärme zuführen
Kondensation der Flüssigkeit zum Festkörper:
Schmelzwärme wird frei
Schmelztemperatur ist druckabhängig, aber weniger als die Siedetemperatur
Sublimation: Übergang fest => gasförmig,
flüssiger Zustand wird übersprungen
Tripelpunkt: einziger Gleichgewichtspunkt (p,T,V)
für fest, flüssig, gasförmig
Prozesse:
p steigt:
gas => flüssig => fest
T steigt:
fest => flüssig => gas
fest => gas (Sublimation)
Exp. Trockeneis, festes CO2, geht direkt in gasförmigen Zustand über
Münze auf Eis legen => hebt sich durch Gas,
Siedetemp.194,7 K = -78,5 oC bei 1,13 bar
Wasser zeigt eine Anomalie in der Schmelzkurve um 0oC
Exp. Eisblock wird mit Drahtschlinge / Gewicht durchschnitten
Man kann durch Drucksteigerung Eis schmelzen
Bei CO2, geht es nicht!
Tripelpunkt Wasser p = 6,1 mbar, T = 0,0075 oC
106
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
4.4 Reale Gase
ideale Gase: kleine Dichte, großer Abstand der Atome, Atome haben kein Volumen
Übergang Gas => Flüssigkeit ist ganz und gar nicht “ideal”
Neues Modell: Van der Waals
b=
Eigenvolumen der Moleküle
a/V2mol = Binnendruck durch Anziehungskräfte
der Moleküle
(p + a/V2mol)(Vmol - b) = RT
n = 1 Mol
CO2 a = 3,6 x10-6 bar m6 mol-2, b = 4,3 x10-5 m3 mol-1
Prozess p-V-Kurven für CO2 beschreiben:
Isotherme bei 0oC, 1 bar => V = 22,4 L = ideales Molvolumen
Komprimieren auf 0,3 L (A) => p = 47 bar, nicht 75 bar wie für ideales Gas erwartet
Weitere Kompression: p = konstant, nicht van der Waals Kurve!
=> Flüssigkeitsbildung, van der Waals beschreibt nur Gase
Punkt (C) Dampf völlig kondensiert
Weitere Kompression: p steigt sehr steil, Flüssigkeiten haben kleine Kompressibilität
Isotherme bei 20oC: Prinzip gleich, aber Gas / Flüssigkeits Bereich kleiner
Isotherme bei 31oC: rein van der Waals Gl., keine Flüssigkeit
=>
T >> TKrit
Schleifenflächen
Kritischer Punkt, oberhalb keine Flüssigkeit
ideales Gas
von A nach B = Fläche von B nach C (Regel von Maxwell)
Gestrichelte Schleife AB übersättigter Dampf, es fehlen Kondensationskeime
Gestrichelte Schleife BC überhitzte Flüssigkeit, es bilden sich keine Dampfblasen,
Siedeverzug, Explosion vermeiden durch Siedesteine
kann unter p = 0 liegen, Zerreißfestigkeit der Flüssigkeit
107
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
4.5 Gasverflüssigung
Joule-Thomson Effekt
Die innere Energie eines realen Gases hängt stark von der Wechselwirkung der Moleküle
untereinander ab, d.h. von der Gasdichte
Bei Expansion :
=> dEint≠ 0
auch wenn dQ = 0 (adiabatisch) ,
dW = pdV = 0 (gedrosselte Expansion)
=> dT = 2dEint /fk ≠ 0
aus van-der Waals-Gl. folgt:
=>
dT ≈ dV RT b – 2a 2
(½ f + 1)RV
ob Gas dabei abkühlt ab, entscheidet die Inversionstemp. Ti = 2a/Rb
=>
dT < 0 wenn T < Ti
Gas kühlt ab
=>
dT > 0 wenn T > Ti
Gas erwärmt sich
Prozeß:
bei Expansion entfernen sich die Moleküle voneinander, Anziehungskräfte müssen überwunden werden (van der Waals Konstante a), kostet Energie d.h. kinetische Energie d.h. Temperatur sinkt.
Exp. Spraydose, auf Temperatursensor sprühen
Linde-Verfahren
Luft, CO2: Ti > 300 K => man kann
Luft verflüssigen bei Zimmertemperatur
i)
Luft wird komprimiert
p = 200 bar
ii)
Expansion
p = 20 bar
iii)
Abkühlung
∆T = ¼ oC /bar = ¼ (200 – 20) = 45 oC
iv)
Gegenstrom-Vorkühlung, mehrfacher Durchlauf
am Drosselventil
( für Luft)
Σ (∆T) => T = -190 oC flüssige Luft bei p = 20 bar
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 3.4, Fragen 3.4.1 – 3.4.10
108
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
5 Entropie & Wärme
5.1 Gerichtete Prozesse
Irreversible Prozesse laufen nur in eine Richtung ab.
Exp. Farbiges Gas in Standzylinder, durch Absperrhahn von Außenwelt getrennt.
Hahn öffnen und farbiges Gas auströmen lassen.
Dieser Prozeß ist irreversibel, die Moleküle kommen nicht von allein zurück.
Bsp.
Sie stellen eine heiße Tasse Tee im kälteren Raum ab
=> Natürlicher Prozeß:
Tee kühlt ab bis zur Raumtemperatur
=> Unmöglicher Prozeß:
Raum kühlt ab & Tee wird heißer
Beachte: Energieerhaltung wäre bei irreversiblen Prozessen nicht verletzt !
5.2 Entropieänderung
Gerichtetheit von Prozessen folgt nicht aus dem Energiesatz,
=> Neue Zustandsgröße, die das System beschreibt, Entropie
=>
„Findet in einem abgeschlossenen System ein irreversibler Prozeß statt, so nimmt die
Entropie S des Systems zu, sie nimmt nie ab“.
Entropieänderung dS
Bei irreversible Zustandsänderung i) => f)
∆S = Sf – Si = ∫if dQ/T
Zustand i)
[S] = J/K
dS, ∆S abhängig von:
dQ: ausgetauschter Wärme
Zustand f)
T: Temperatur, bei der der Prozeß abläuft
Vorzeichen von dS u. dQ gleich, da T > 0
Die betrachtete irreversible Zustandsänderung durchläuft
Nichtgleichgewichtszustände, daher kennt man nur
p
i
Isotherme später eintragen
f
Anfang & Endzustand, nicht aber den Weg
V
109
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Bezeichnungen
Physikalische Technik FH Münster
dS infenitesimal kleine Entropieänderung
∆S = ∫if dS größere Entropieänderung
Problem
Lsg.
∆S = ∫if dQ/T kann nicht integriert werden , da p(V,T)-Kurve unbekannt
Entropie ist Zustandsgröße
=> nur Anfang / Endzustand wichtig, nicht der Weg
=> wähle irgendeinen bekannten Weg, so dass Integration möglich
Hier: wähle isothermen Prozeß, d.h. sehr langsame Expansion des Gases in Vakuumbereich
∆S = Sf – Si = 1/T ∫if dQ,
dS = dQ/T
T = konst.
Bestimmung von dS ist durch die Wahl eines beliebigen reversiblen
Prozesses durch die Anfangs / Endzustände möglich.
Bsp.
Abb. oben enthält 1 Mol Stickstoff links, Ventil wird geöffnet, Gas strömt nach rechts,
Volumen verdoppelt sich.
Frage Berechne die Entropieänderung für den irreversiblen Prozeß
Lsg.
110
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
5.3 Entropie als Zustandsfunktion
Frage: wie hängt die Entropie von den Zustandsgrößen p, V ab? Der reversible Prozesse
sollten in “kleinen Schritten” ablaufen, damit das Gas nach jedem Schritt im thermischen
Gleichgewicht ist.
dEint = dQ – dW
(1. Hauptsatz)
dQ = pdV + n CV dT
(da reversibel)
dQ/T = nR dV/V + n CV dT/T
(mit p = nRT/V, ideales Gas)
integrieren von Anfang i zum Ende f
∆S = ∫if dQ/T = nR ∫if dV/V + nCV ∫if dT/T
∆S = Sf - Si = nR ln(Vf/Vi) + nCV ln(Tf/Ti)
=>
gilt allgemein, da kein spezieller Weg gewählt wurde
=>
nur abh. von Anfangs- (Vi , Ti ) und Endzustand (Vf , Tf )
5.4 Zweiter Hauptsatz
betrachte
a) isotherme Ausdehnung des Gases
dS = +S0
b) isotherme Kompression
dx
dQ < 0, Wärme wird an Reservoir abgegeben
damit T = konst. bleibt
=>
∆ S = - S0
T
p
Reservoir T = konst
Widerspruch ? Entropie sollte zunehmen !
Nein, denn vorher wurde Entropie nur für irreversible Prozesse betrachtet
=>
hier reversibler Prozeß b) (Kompression) in abgeschl. System Gas + Reservoir
Entropie Gas:
=>
dSGas = -dQ/T
Reservoir
dSReservoir = +dQ/T
System
dSGas + dSReservoir = 0
Zweiter Hauptsatz
dS > 0
Die Entropie im abgeschlossenen System nimmt für irreversible Prozesse zu und
bleibt für reversible Prozesse konstant.
111
Physik I
Bsp.
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
im Ofen wird Wasser erhitzt.
Frage Ordne Entropiezunahme, größte zuerst für:
a) 20oC => 30oC, b) 30oC => 35oC, c) 80oC => 85oC
Lsg
Bsp.
ideales Gas hat Anfangstemp. Ti
p
Tf
Erreicht Endtemperatur Tf auf 2 Wegen a), b)
a
Tf
Frage Wie verhalten sich die Entropieänderungen?
Ti
b
Lsg.
V
6 Wärmemaschinen
Wärmemaschinen nehmen aus der Umgebung Wärme auf und verrichten mechanische Arbeit.
Wärmeaufnahme
dQH
im heißen Reservoir
Wärmeabgabe
dQN < dQH
im kalten Reservoir
Kreisprozeß:
periodisches Durchlaufen einer Folge von Zuständen
Vermittler:
Arbeitsgas
Carnot-Prozess
Adiabate
A
p
dQH
B
Isotherme
TH
TN
D
C
dQN
6.1.1 Carnot-Maschine
V
(Carnot 1824)
Gedankenexperiment für eine ideale Maschine mit reversiblen Prozessen, d.h ohne Energieverlust durch Reibung, Wirbel etc. Carnotmaschine hat höchst möglichen Wirkungsgrad.
112
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Prozesse des Gases im Zylinder:
A => B
Kontakt mit heißem Reservoir TH
Gas arbeitet
+ WAB
Isotherme Expansion, Wärmeaufnahme QH
B => C
Isoliert
+ WBC
Adiabatische Expansion (dQ = 0)
C => D
Kontakt mit kaltem Reservoir TN
- WCD
Isotherme Kompression, Wärmeabgabe dQN
D => A
Isoliert
- WDA
Adiabatische Kompression (dQ = 0)
Gesamtarbeit für Kreisprozess:
W = + WAB + WBC - WCD - WDA = eingeschlossene Fläche (schraffieren)
Arbeit wird an der Umgebung verrichtet, z.B. Gewicht heben, Kolben schieben
Da Kreisprozeß => dEint = 0
(1. HS)
dW = dQH- dQN
Ideal, da im System verbleibende Wärme zu 100% in mechan. Arbeit umgewandelt wird
Carnotprozeß im T-S-Diagramm:
A => B
∆S = ∫dQ/T
∆SAB = ∆QH/ TH
Isotherme TH, Wärmeaufnahme QH
B => C
∆SBC = 0
T
TH
A
Isotherme
B
dQH
Adiabate
Adiabate dQ = 0
C => D
∆SCD = ∆QN/ TN
TN
D
dQN
Isotherme TN , Wärmeabgabe dQN
D => A
S
∆SDA = 0
Adiabate Q = 0
gesamte Entropieänderung:
∆S = ∆SAB + ∆SCD=∆QH/ TH - ∆QN/ TN
∆SAB pos, Wärmezufuhr
∆SCD neg, Wärmeabfuhr
Da Kreisprozeß => ∆S = 0
=> dQH / TH = dQN/ TN
also
dQH > dQN da TN < TH
113
C
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Wärme bleibt im System um Arbeit zu leisten:
∆SAB TH - ∆SCD TN eingeschlossenen Fläche im S-T-Diagramm
6.1.2 Wirkungsgrad für Carnotmaschine
Ziel: möglichst viel der zugeführten Wärmeenergie dQH in Arbeit umzuwandeln
η= dW/dQH  = erhaltene Energie / bezahlte Energie
ηC = (dQH -dQN ) / dQH 
mit dW = dQH- dQN
= 1 -  dQN/ dQH 
= 1 - TN / TH
=>
ηC < 1,
aber nie = 1, d.h. 100% , denn TN > 0,
ein Teil der zugeführten Wärme wird an kaltes Reservoir abgegeben
=>
„Es gibt keine Folge von Prozessen, die nur Wärme aus Wärmereservoir entnehmen
und vollständig in Arbeit umwandeln, d.h. es gibt keine perfekte Maschine.“
Bsp. Schiff kann nicht Wärme dem Meer entziehen und sie völlig in Arbeit wandeln.
Generelles Problem: Kreisprozesse in Maschinen besitzen irreversiblen Anteil und
erreichen damit nie den maximalen Wirkungsgrad.
6.2 Stirlingmaschine
alle Prozesse sind reversibel
A => B
(Rober Stirling1816)
Kontakt mit heißem Reservoir, TH
Isotherme Expansion, Aufnahme von dQH
B => C
isochorer Druckabbau , Abgabe von dQ
C => D
Kontakt mit kaltem Reservoir, TN
Isochore
p
A
dQ
dQH
B
Isotherme Kompression, Abgabe dQN
D => A
isochorer Druckaufbau, Aufnahme von dQ
TH
D
dQ
dQN
(obwohl alle Prozesse reversibel gilt ηCarnot > ηStirling )
Exp. Stirlingmaschine laufen lassen als Wärmekraftmaschine
114
Isoth.
C
TN
V
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
6.3 Kältemaschinen
Prozesse wie bei Wärmemaschinen,
aber er läuft hier rückwärts ab.
Effektivität , Leistungszahl:
ε = dQN  / dW
Carnot
Wärmetransfer / Arbeit
εC = dQN  / (dQH -dQN )
= TN / (TH - TN)
Bsp.
Kühlschrank ε ~ 5, Klimaanlage
ε ~ 2,5, steigt mit fallender Temperaturdifferenz
Exp. Stirlingmaschine laufen lassen als Kühlmaschine
6.4 Zusammenfassung thermische Energiewandler
115
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
Perpetuum Mobile
In einem abgeschlossenen System sind Prozesse nur möglich wenn gilt
dEin = 0
=>
Energieerhaltungssatz, 1. HS
Es gibt kein Perpetuum Mobile erster Art.
dS > 0
=>
2. HS
Es gibt kein Perpetuum Mobile zweiter Art.
reversible Prozesse: d = 0 müßten extrem langsam ablaufen
Ziel aller Prozesse:
- Temperaturgleichgewicht, Wärmetod
- alle thermodynamischen Prozesse kommen zum Stillstand, das Leben endet !
aber keine Sorge:
Erde ist kein abgeschlossenens System, befindet sich im Energiestrom der Sonne. Man kann
zeigen: Entropie kann abgegeben werden ∆S < 0 (nicht vernichtet) wenn das System von
einem Energiestrom durchsetzt wird, mit dem es mehr Entropie abgibt als aufnimmt. Das
ermöglicht die Zunahme der freien Energie, d.h die Entstehung komlizierten Lebens.
7 Entropie & Wahrscheinlichkeit
7.1 Irreversibilität
Um Irreversibilität zu verstehen betrachte man die freie Ausdehnung
eines Gases von einer Kammer in eine zweite, gleich große evakuierte.
Modell:
Gas mit N Teilchen (hier N = 4)
Größe:
Wahrscheinlichkeit P ein Teilchen in
einer Kammer zu treffen
Jedes Teilchen kann mit gleicher Wahrscheinlichkeit
in rechter oder linker Kammer sein
=>
P-links = P-rechts
Mikrozustand: jede denkbare Verteilung der individuellen Teilchen (Kästchen)
Anzahl: 2N = 16
P = 2-N = 1/16 Wahrscheinlichkeit jedes Mikrozustandes gleich
Frage: welches Teilchen ist wo? Teilchen haben Nr.
116
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Makrozustand:
Physikalische Technik FH Münster
Frage: wieviele Moleküle sind wo? (Säule)
Molekühle sind ununterscheidbar, ohne Nr.
Hier: 5 Makrozustände 4:0, 3:1, 2:2, 1:3, 0:4 Teilchenverhältnis
Wahrscheinlichkeiten der Makro. gegeben durch Anzahl der Mikro.
P(4:0) = 1/16, P(3:1) = 4/16, P(2:2:) = 6/16
Unterschied zwischen wahrscheinlichen und extremen Zuständen nimmt mit Zahl N der
Gasteilchen rapide zu:
1x 1030
Zahl der Makrozusände
0.5
0
wahrscheinlich: (50:50)
extrem
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
(0:100)
Zahl von Teilchen in rechter Hälfte
Was passiert, wenn das Gleichgewicht gestört wird und das System danach sich selbst überlassen bleibt?
FOLIE
Start: Makrozustand (1:3)
=>
Veränderung
Wege
Wahrscheinlichkeit
in`s Gleichgewicht (2:2)
3
PGleich = 3/4
in`s Extrem (0:4)
1
Pextrem = 1/4
die extremen Zustände entstehen nicht weil sie unmöglich sind, sondern weil sie
unwahrscheinlich sind.
7.2 Entropie
betrachte Gasverteilung in 2 gleich großen Räumen
i)
Zustand i)
alle N Teilchen in einem Raum
Zustand ii)
alle N Teilchen gleichverteilt
ii)
Fage: wieviel wahrscheinlicher ist Zustand ii) gegenüber i)?
i)
Pi = 2-N
ii)
Pii ≈ 1
denn das ist nur einer von 2N gleichwertigen Mikrozuständen
117
Physik I
Bsp.
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
N = 100
Physikalische Technik FH Münster
Pi = 10-30
1 Liter Luft mit N = 3x1020 Molekülen => Pi = 0, ....1022 Nullen....001
Zahlen sind zu klein => man nimmt den Logarithmus der Wahrscheinlichkeit P (x = ln{ex})
Entropie
S = k lnP
k = 1,38 x10-23 J/K Bolzmannkonstante
P = Wahrscheinlichkeit des Zustandes
=> “Entropie” und “Wahrscheinlichkeit” haben gleiche Bedeutung:
Entropie des Zustandes ii) ist um d = k ln(2N) = kN ln2 höher als die von i)
Wahrscheinlichkeit von Zustand ii) ist 2N mal höher als die von i)
Ein System hört erst dann auf seinen Zustand zu ändern, wenn der wahrscheinlichste Zustand
erreicht ist, also die maximale Entropie.
Definition der Entropie als Logarithmus bietet weitere Vorteile:
Zusammenfassung von 2 Systemen:
=>
Zustandsgrößen addieren sich
Energie:
Eint = Eint-1 + Eint-2
Entropie:
S = S1 + S2
Wahrscheinl. P = P1×P2
=>
S = k lnP = k ln(P1×P2) = k lnP1 + k lnP2 = S1 + S2
7.3 Entropie und Wärmeenergie
klassisch
dS = dQ/T
statistisch
S = k lnP
Entropieänderung bei reversiblen Prozess: Expansion des Gases in doppeltes Volumen:
W = pdV
Statistisch
dS = kN ln2
(siehe oben)
Q
Klassisch
reversibel, wenn Gas Kolben sehr langsam schiebt
Gas leistet Arbeit W, würde abkühlen
Aber Q = W wird nachgeführt => T = konst. d.h. reversibel
W = -nRT ln(V2/V1) = -nRT ln2
118
(doppeltes Endvolumen)
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
dS = dQ/T = -nR ln2
Physikalische Technik FH Münster
mit n = N / NA , R = NAk
=>
dS = kN ln2
=>
klassische & statistische Definitionen bringen gleiche Entropiedifferenz!
8 Wärmetransport
8.1 Wärmeleitung
leget man einen Schürhaken in`s Kaminfeuer, so wird nach gewisser Zeit auch der Griff heiß.
Prozess: Atome / Elektronen im Material werden zu thermischen Schwingungen angeregt
Stoß mit Nachbaratomen führt zum Energieübertrag (Wärmeleitung)
=>
Wärmeleitfähigkeit abhängig von Wechselwirkung der Atome untereinander
Betrachte:Wärmestrom PL aus warmen in kaltes Reservoir durch Platte der Fläche A, Dicke L
PL = Q/t = λ (Th – Tk)A/L
Th
L
Tk
λ = Wärmeleitfähigkeit
[λ] = W /(m. K)
Q
Material
λ (W /(m. K))
Stahl
14
Kupfer
401
Luft
0,026
Steinwolle
0,043
Glas
großes λ => guter Leiter
1
Thermischer Widerstand
R=L/λ
kleines R => guter Leiter
[R] = m2 K /W
beachte: R ist keine Materialkonstante
8.2 Konvektion
Kerzenflamme:
a) Fluid (Luft) erwärmt sich
b) dehnt sich aus, Dichte nimmt ab
c) heiße Luft steigt auf (Auftrieb), kalte Luft strömt nach
Bsp.
atmosphärische Konvektion, Energieumwälzung im Ozean, Energietransport an der
Sonne von innen nach außen
119
Physik I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Physikalische Technik FH Münster
8.3 Wärmestrahlung
Vor einem großen Lagerfeuer wird man erwärmt, auch wenn ein kalter Wind weht, d.h. Wärmeleitung durch die kalte Luft kann nicht der entscheidende Prozeß sein.
=>
Energieübertragung durch elektromagnetische Wellen, benötigt kein Medium, d.h.
Übertragung durch Vakuum möglich (Sonne => Erde)
FOLIE THERMOGRAMM
Rate der emitierten Energie durch elektromagnetische Strahlung
PS = σ ε AT4
σ = 5,6704 ×108 W/(m2K4) Stefan-Bolzmann Konstante
ε: Maß für Emissionsgrad der Oberfläche A
ε = 1: schwarzer Körper, maximaler Emissonsgrad
Gesamtrate des Energieaustausches: absorbiert - emittiert
PS-absorb - PS-emitt = σ ε A (T4Umgebung - T4)
Beachte:
Wärmeleitung
PL ~ ∆T
Wärmestrahlung
PS ~ ∆T4
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 3.3, Fragen 3.3.1 – 3.3.9
120