Finite Elemente Modelle der Statik und Festigkeitslehre - Beck-Shop

Finite Elemente Modelle der Statik und Festigkeitslehre
101 Anwendungsfälle zur Modellbildung
Bearbeitet von
Klaus Schier
1. Auflage 2010. Buch. x, 490 S. Hardcover
ISBN 978 3 642 16620 4
Format (B x L): 15,5 x 23,5 cm
Gewicht: 906 g
Weitere Fachgebiete > Technik > Technik Allgemein > Modellierung & Simulation
Zu Inhaltsverzeichnis
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460
7 Torsionsbeanspruchungen
steht das Modell „Verbindung“ (Abb. 7.28.). Die pseudografische Darstellung zeigt
die Befestigungen an den Knoten N2, N27, N287, N557.
Wird die gedankliche Vorgabe des Drehmomentenstranges wieder aufgegriffen,
stört die Verschiebung des Knoten N810 doch nachdrücklich. Die Verdrehung durch
das Torsionsmoment führt zu einer Lageänderung des Knotens N810 von Uy = 0,106
mm. Dieser Wert muss im davor liegenden Bauteil aufgenommen werden. Durch
Festhalten des Knotens N810 (Ux = Uy = Uz = 0) erhält man die dafür notwendige
Lagerkraft (ausgelesen Fy = 1748 N).
Diese Zwangsbedingung ändert Spannungs- und Verformungsverlauf am freien
Ende des Stabes mit U-Profil (Abb. 7.28.). Während bei „Knoten N810 frei“ am
Knoten N287 ein Verwölbungswert Uz = 0,022 mm auftritt, verbleiben bei „Knoten
N810 fest“ nur noch Uz = 0,012 mm. Die maximalen Spannungswerte sinken von
250 auf 220 N/mm2 und verlagern sich bei festgehaltenem Knoten N810 in die Einspannung des Stabes.
7.4.3 Torsion mit Volumenelementen
Die Anwendung von Volumenelementen bringt höchste Informationsinhalte, erfordert aber auch besondere Anstrengungen bei der Modellbildung. Die Definitionen zu den Randbedingungen wie die Auslegung der Lagerstelle und die Einleitung
der äußeren Lasten bedürfen besonderer Sorgfalt.
Bei der Modellierung der Lagerstelle gehört die feste Einspannung zur problemlosen Art von Lagerungen. Die Einspannung liegt immer am Ende eines Stabes. Es
müssen nur alle Freiheitsgrade der Knoten festgesetzt werden. Der Bereich unmittelbar um die Einspannung ist nur bei komplexeren Aufgaben von Bedeutung. Es
interessiert meist das Spannungs- und Verformungsverhalten des Stabes. Loslager
und Festlager dagegen liegen immer im Bereich des Stabes und sind als räumlich
wirkende Objekte zu gestalten.
Ebenso ist mit der Lasteinleitung zu verfahren. Die Einwirkungen von Einzellasten auf Knoten des Volumenelementes führen zu unbefriedigenden grafischen Ergebnissen im betroffenen Bereich (Abb. 7.29.). Das Kräftepaar Fx ruft zwar nach
klassischer Denkweise ein Torsionsmoment hervor, kann aber bei praktischer Umsetzung in der dargestellten Form nicht ausgeführt werden. Damit kann es auch nicht
zu den Verzerrungen – überhöht dargestellt – am rechteckigen Quadratstab kommen. Am abgesetzten zylindrischen Stab erzeugen die tangential wirkenden Kräfte
Fx
Fi
Aufweitung durch Last
Fx
Störungen durch Last
an 2 Einzelknoten
Abb. 7.29. Verzerrungen an Modellen mit Volumenelementen durch ungünstige Lasteinleitung
7.4 Erweiterte Modellbildung Torsion
461
das Torsionsmoment. Die Anzahl der Knoten am Umfang bestimmt den jeweiligen
Kraftanteil Fi. Auch bei dieser Lösung kann keine praktische Anwendbarkeit erkannt werden. Die grafische Darstellung zeigt – ebenfalls überhöht dargestellt –
eine Aufweitung. Diese unvermeidliche Beeinträchtigung bewirkt das Knotenverschiebungsprinzip der Finite Elemente Methode (siehe Abschn. 7.3.1; Abb. 7.14.).
Neben den Problemen des Überganges vom realen Bauteil zum FE-Modell steht
auch das Problem der überschaubaren Modellgröße. Bei Modellen mit Torsionsbeanspruchung kommt dazu, dass die reduzierende Wirkung von Symmetrien nicht
nutzbar ist. Die räumlichen Körper sind mit Elementen zu „füllen“. Dabei werden
schnell 5-stellige Elementezahlen erreicht, deren Datenmengen sich nicht nur durch
lange Rechenzeiten, sondern auch mitunter durch Rechenungenauigkeiten (numerische Fehler) bemerkbar machen.
Für den abgesetzten zylindrischen Stab gibt es verschiedene Techniken zum Aufbau des FE-Modells. In Tafel 7/11 wird das Prinzip „Rotieren vernetzter Flächen“
angewendet. Das Modell entsteht mit nachfolgendem Ablauf:
1. Flächen aus den Geometriepunkten K1 bis K12 bilden. Dieser geometrische Teil kann Tafel 7/7 entnommen werden.
2. Die Vernetzung der 6 Flächen erfolgt mit 2-dimensionalen Scheibenelementen (375 Elemente, 457 Knoten) unter der Vorgabe von 2 mm Elementekantenlänge.
3. Das Rotieren der Flächen um 360 ° führt zu 24 Teilvolumina. Der Umfang wurde in 4 Volumensegmente unterteilt. Die Punkte der Rotationsachse sind durch K1 und K12 gegeben.
4. Vernetzen der Volumina mit Volumenelementen (4800 Elemente, 5564
Knoten). Für jeweils 90° Umfang wurden 4 Elemente definiert.
5. Entfernen der 2-dimensionalen Scheibenelemente. Benummerung des
Modells regenerieren.
6. Selektieren von 4 Knotenreihen am Umfang des freien Ende des Stabes.
Umwandlung des kartesischen in ein zylindrisches Koordinatensystem mit
der Zielstellung, für die Umfangslast tangentiale Wirklinien zu erreichen.
Umfangslast verteilen auf 4 mal 16 Knoten.
7. Selektieren der Knoten an der Einspannstelle. Alle Freiheitsgrade festsetzen.
Der Übergang zum abgesetzten zylindrischen Stab erfolgte durch Rotation der
bereits vernetzten 2D-Flächen. Die dafür aktivierten Volumenelemente nutzten deren Einteilung. Die Netzdichte konnte in der Ebene bequem gesteuert werden und
wird jetzt durch die Rotation auf das Volumen übertragen.
Die 375 Elemente und 457 Knoten der Vernetzung der Ebene führten zu 4800
Elementen mit 5564 Knoten im FE-Volumenmodell. Den Abschluss der Generierung bildet das Entfernen der Scheibenelemente aus dem Modell. Die Regenerierung der Benummerung ist erforderlich, weil die Aktionen während des Modellaufbaus zu Überschreibung und Neubildung von Keypoints, Linien, Flächen, Volumen
Elementen und Knoten geführt haben. Nach dem Regenerieren erreicht man eine
ausgerichtete Nummernfolge. Alle Angaben in den Abbildungen sind auf diese Stelle in der Arbeitsfolge orientiert.
462
7 Torsionsbeanspruchungen
FE-A11
Tors
Name
Elemente
Allgemeine Befehlsfolge
Speicherung der FE-Rechnung unter FILE-Name "Tors11"
3-dimensionales Volumenelement (8 Knoten),
2-dimensionales Scheibenelement (4 Knoten, ohne Vorgaben)
Werkstoffe
Stahl: ESt= 210 kN/mm2 , GSt= 81 kN/mm2 , ν = 0,3 ;
jeweils für x-, y-, z - Koordinate;
Geometrie
CAD-Modell aus Geometriepunkten, Flächen erstellen;
Geometriepunkte (x;y) in mm: K1(0;0), K2(8;0), K3(10;0),
K4(12;0), K5(0;50), K6(8;50), K7(10;50), K8(12;50), K9(0;100),
K10(8;100), K11(10;100), K12(0;150), K13(8;150);
Flächen bilden: A1(K1,K2,K6,K5), A2(K2,K3,K7,K6),
A3(K3,K4,K8,K7), A4(K5,K6,K10,K9), A5(K6,K7,K11,K10),
A6(K9,K10,K13,K12),
Volumen bilden: 360°-Rotation der Flächen A1 bis A6; Rotationsachse durch K1/K12 gegeben; es entstehen Volumina V1 bis V24;
Vernetzung
Elementeanzahl für Scheibenelement (Rechteckelemente)
definieren: 2 mm Elementkantenlänge, es werden 375 Elemente mit
457 Knoten generiert;
Elementeanzahl für Volumenelement (Rechteckelemente)
definieren: 4 Elemente pro 90°- Rotation, es werden 4800
Elemente mit 5564 Knoten generiert; Scheibenelemente entfernen,
regenerieren der Nummernfolge;
Lagerung: selektiert über kartesisches Koordinatensystem (y=0);
alle Freiheitsgrade gebunden (Einspannung);
Randbedin- Radialkraft in kN: Fy = 10 aufgeteilt auf 64 Knoten; selektiert über
gungen
kartesisches Koordinatensystem in 4 Ebenen (y1=150; x1=8;
y2=148; x2=8; y3=146; x3=8; y4=144; x4=8), alle Knoten im zylindrischen Koordinatensystem in tangentiale Richtung gedreht;
Berechnung
und
Ergebnisse
Ansatz: statisch, linear
Charakteristische Größe: Verschiebung der Knoten,
Verdrehweg s in mm: 0,102 mm am Stabdurchmesser 16;
max. Torsionsspannung in N/mm2: 104;
x , y , z Koordinaten im globalen kartesischen Koordinatensystem,
Ux , Uy , Uz , ROTx , ROTy , ROTz Verschiebungen und Verdrehungen,
K Keypoint (Geometriepunkt im CAD-Modell), L Line (Linie im CAD-Modell),
N Node (Knoten im FE-Modell), E Element (Element im FE-Modell),
FE-A Finite Elemente Anwendungsbeispiel,
Fortsetzung nächste Seite
7.4 Erweiterte Modellbildung Torsion
FE-A11
Tors
463
Bildfolge
Ø16
Ø20
Ø24
y
Geometrie
50
50
50
MT = 80 Nm
x
K1
y
A1
x
A4
A6
K12
K13
A2 A3
A5
Volumenmodell V1... V12
Vernetzung
Randbedingungen
Volumenmodell V1... V24
z
Scheibenelemente:
375 Elemente, 457 Knoten
Elementkantenlänge 2 mm
y
x
Fi
Volumenelemente:
4800 Elemente mit 5564 Knoten
Volumenelemente:
Volumen V13... V24 ausgeblendet
104
I
τt in N/mm2
0
Torsionsspannungen
Grafische
Ergebnisse
Stablänge – Weg der
ausgelesenen Knotenwerte am Außendurchmesser
I
τt in N/mm 2
101
61
Ø16
0
16
8
Durchmesser in mm
Ø20
Ø24
30
0
Verdrehungen
Stelle I-I
– 104
75
150
Stablänge in mm
Verdrehweg s in mm
0,102
Ø16
0,05
Ø20
Aufweitung verteilt auf
0,02 Ø24
längere Wirkfläche
0
0
75
150
MT
Stablänge in mm
Tafel 7/11: Torsion am abgesetzten zylindrischen Rundstab (Volumenelemente)
464
7 Torsionsbeanspruchungen
Bei der Festlegung der Netzdichte bestimmen Zwänge aufgrund der Modellgeometrie die Entscheidungen. Die Durchmesser am abgesetzten Stab ändern sich von
Absatz zu Absatz um 4 mm, so dass die Elementekantenlänge von 2 mm am Übergang fast zwingend wird – für die Aufgabenstellung des vorliegenden Modells eine
ausreichende Netzdichte, für die Genauigkeit an den Übergangsstellen unzureichend.
Ebenso stellt die Rundheit der Zylinder ein Kriterium dar. Mit 16 Elementen auf
dem Umfang wird eine ausreichend gute Kreisfläche erfasst. Die Zielstellung überschaubare Elementeanzahl wurde mit einer sehr ausgeglichenen und „schönen“ Vernetzung erreicht.
Der abgesetzte zylindrische Stab in Tafel 7/11 ist am größten Durchmesser eingespannt. Die ungünstige Lasteinleitung nach Abb. 7.29. wird verbessert, wenn die
Umfangskräfte von 1 Knotenreihe auf 4 Knotenreihen mit jeweils 16 Knoten verteilt
werden. Das Torsionsmoment von MT = 80 Nm ergibt sich zu Fges = 10 kN bei einem
Stabradius von 8 mm. Bei 64 Knoten ergeben sich spezifisch geringere Lastgrößen,
so dass die örtlichen Störungen an der Krafteinleitung sinken.
Durch Ausblenden der Volumen V13 bis V24 einschließlich der Elemente entsteht
ein Halbschnitt des abgesetzten Rundstabes. Diese Darstellungsform ermöglicht den
Blick in das Innere des Volumens. Die Spannungs- und Verformungsverteilung zeigt
die erwarteten vom Durchmesser abhängigen Verläufe. Am freien Ende des Durchmesser 16 mm wird die Einleitung des Torsionsmomentes erkannt.
Die Stelle I-I gibt perfekt die lineare Verteilung der Torsionsspannung an. Dieses
Ergebnis ist als Nachweis für ein gutes Netz zu werten. Die Lösungen stimmen
praktisch mit den Ergebnissen nach Tafel 7/7 überein. Bei den Verdrehungen gilt
ebenfalls diese Einschätzung. Die Aufweitungen durch die Krafteinleitung sind auf
eine größere Wirkfläche verteilt.
• Modell abgesetzter Rundstab mit Nabe
Die Erweiterung des Modells ergibt durch die Anbringung einer Nabe eine praxisnähere Auslegung. Weiterhin soll die Auswirkung auf die Krafteinleitung festgestellt werden.
Für den abgesetzten zylindrischen Stab mit Nabe wird nur in begrenztem Umfang
das Modell nach Tafel 7/11 genutzt. Es sollen neben dem Prinzip „Rotieren vernetzter Flächen“ auch die Technik des „Spiegeln eines Viertelzylinders“ angewendet
werden.
Das Anbringen einer Nabe zum Zwecke der Momenteneinleitung bedarf einer
besonderen Betrachtung. Die Nabe im vorliegenden Fall soll bewirken, dass die
Umfangskräfte entfernt vom Rundstab eingeleitet werden. Üblicherweise sind Nabe
und Rundstab (Welle) getrennte Bauteile, die form- bzw. reibschlüssig verbunden
sind. Verfolgt man weiter die reibschlüssige Variante, dann würde ein Presssitz die
Verbindung herstellen. Dieser fügt die beiden Teile näherungsweise zu einem Bauteil zusammen. Stellen Kontaktelemente im FE-Modell die Verbindung her, ließe
sich Rutschen der Bauteile nachweisen.
Da diese Zielstellung im Modell nach Tafel 7/12 nicht verfolgt wird, erfüllt die
geometrische Struktur mit Nabe und Rundstab als geschlossenes Bauteil die Erwartungen. Die Nabe ist unmittelbar am abgesetzten Rundstab ausgebildet. Für die Nabenbreite b = 6 mm wird ein Teilstück des Durchmessers d = 16 mm verwendet.
7.4 Erweiterte Modellbildung Torsion
465
Das Modell entsteht mit nachfolgendem Ablauf (Abb. 7.30.):
1. Flächen aus den Geometriepunkten K1 bis K17 bilden. Die Flächen A7
und A8 erweitern das Modell (Tafel 7/12). Die Vernetzung der 8 Flächen
erfolgt mit 2-dimensionalen Scheibenelementen (387 Elemente, 473 Knoten) unter der Vorgabe von 2 mm Elementekantenlänge.
2. Das Rotieren der Flächen um 90 ° führt zu 8 Teilvolumen. Die Punkte
der Rotationsachse sind durch K1 und K14 gegeben
3. Vernetzen des 90°-Volumenmodells mit Volumenelementen (1248 Elemente, 1923 Knoten). Entfernen der 2-dimensionalen Scheibenelemente.
4. Spiegeln des 90°–FE-Modells um die x-Achse. Anschließend spiegeln
des 180°–FE-Modells um die z-Achse.
5. Entfernen aller doppelten Werte an den Spiegelflächen. Benummerung
des Modells regenerieren. Das Modell besitzt danach 4992 Elemente mit
5820 Knoten.
6. Selektieren von 4 Knotenreihen am Umfang der Nabe. Umwandlung des
kartesischen in ein zylindrisches Koordinatensystem mit der Zielstellung,
für die Umfangslast tangentiale Wirklinien zu erreichen. Umfangslast verteilen auf 4 mal 16 Knoten.
7. Selektieren der Knoten an der Einspannstelle. Alle Freiheitsgrade festsetzen.
Für die Vernetzung wurde das 90°-Volumenmodell zugrunde gelegt. An der Viertel-Kreisfläche liegen 3 Seitenlinien vor. Wird für jede Linie eine Einteilung von 4
Elementen festgelegt, entsteht eine rechteckige Vernetzung. Es wird wieder der bewährte Übergang vom vernetzten Flächenmodell zum 90°– FE-Modell genutzt. Auf
dieser Basis lässt sich bequem durch Spiegelung der Vollstab erzeugen. Die Spiegelung erfolgt meist in der Form, dass die gesamte Datenbasis kopiert wird. Die Daten
der Spiegelebene liegen damit doppelt vor und müssen entfernt werden.
90°–Volumenmodell
90°– FE-Modell
nach der 1. Spiegelung
FE-Modell mit ausgeblendeter Nabe
nach der 2. Spiegelung
FE-Modell abgesetzter
Rundstab mit Nabe
Abb. 7.30. Zwischenschritte bei der Modellentwicklung des abgesetzten zylindrischen Stabs mit Nabe
466
7 Torsionsbeanspruchungen
FE-A12
Tors
Name
Elemente
Allgemeine Befehlsfolge
Speicherung der FE-Rechnung unter FILE-Name "Tors12"
3-dimensionales Volumenelement (8 Knoten),
2-dimensionales Scheibenelement (4 Knoten, ohne Vorgaben)
Werkstoffe
Stahl: ESt= 210 kN/mm2 , GSt= 81 kN/mm2 , ν = 0,3 ;
jeweils für x-, y-, z - Koordinate;
Geometrie
CAD-Modell aus Geometriepunkten, Flächen erstellen;
Geometriepunkte (x;y) in mm: K1(0;0), K2(8;0), K3(10;0),
K4(12;0), K5(0;50), K6(8;50), K7(10;50), K8(12;50), K9(0;100),
K10(8;100), K11(10;100), K12(0;144), K13(8;144); K14(0;150);
K15(8;150); K16(16;150); K17(16;144);
Flächen bilden: A1(K1,K2,K6,K5), A2(K2,K3,K7,K6),
A3(K3,K4,K8,K7), A4(K5,K6,K10,K9), A5(K6,K7,K11,K10),
A6(K9,K10,K13,K12), A7(K12,K13,K15,K14),
A8(K13,K17,K16,K15)
Volumen bilden: 90°-Rotation der Flächen A1 bis A8; Rotationsachse durch K1/K14 gegeben; es entstehen Volumina V1 bis V8;
Vernetzung
Elementeanzahl für Scheibenelement (Rechteckelemente)
definieren: 2 mm Elementkantenlänge, es werden 387 Elemente mit
473 Knoten generiert; Elementeanzahl für Volumenelement
(Rechteckelemente) definieren: 4 Elemente pro 90°- Rotation; alle
Daten spiegeln an x- und z-Koordinate;
Scheibenelemente entfernen, regenerieren der Nummernfolge;
360°-Modell besitzt 4992 Elemente mit 5820 Knoten;
Lagerung: selektiert über kartesisches Koordinatensystem (y=0);
alle Freiheitsgrade gebunden (Einspannung);
RandbedinRadialkraft in kN: Fy = 10 aufgeteilt auf 64 Knoten; selektiert über
gungen
kartesisches Koordinatensystem in 4 Ebenen (y1=150; x1=16;
y2=148; x2=16; y3=146; x3=16; y4=144; x4=16), tangential gedreht;
Berechnung
und
Ergebnisse
Ansatz: statisch, linear
Charakteristische Größe: Verschiebung der Knoten,
Verdrehweg s in mm: 0,099 mm an Stabdurchmesser 16;
max. Torsionsspannung in N/mm2: 104:
x , y , z Koordinaten im globalen kartesischen Koordinatensystem,
Ux , Uy , Uz , ROTx , ROTy , ROTz Verschiebungen und Verdrehungen,
K Keypoint (Geometriepunkt im CAD-Modell), L Line (Linie im CAD-Modell),
N Node (Knoten im FE-Modell), E Element (Element im FE-Modell),
FE-A Finite Elemente Anwendungsbeispiel,
Fortsetzung nächste Seite
7.4 Erweiterte Modellbildung Torsion
FE-A12
Tors
467
Bildfolge
50
MT = 80 Nm
Ø16
Ø32
Ø24
y
Ø20
Geometrie
6
44
50
x
K1
y
A1
x
A2 A3
K14
A7
A8
A6
A4
A5
Scheibenelemente: 387 Elemente, 473 Knoten, Elementkantenlänge 2 mm
Vernetzung
Randbedingungen
z
Elemente der Volumen
V17... V32 ausgeblendet
y
x
Fi
Volumenelemente:
4992 Elemente mit 5820 Knoten
Fi = 78,125 N pro Knoten
(FT = 2·MT / dN = 5000 N
aufteilen auf 64 Knoten)
Torsionsspannungen
104
I
τt in N/mm2
0
Verdrehungen
I
Stelle I-I
– 104
0
16
8
Durchmesser in mm
Grafische
Ergebnisse
Verteilung der Verformung:
ausgeblendet Elemente der
Volumen V8, V16, V24, V32;
ausgeblendet Elemente der
Volumen V16...V32, dazu V8
oben V17... V32
V24
unten V1... V16
V8
Tafel 7/12: Torsion am abgesetzten zylindrischen Rundstab mit Nabe (Volumenelemente)
V32
V16
468
7 Torsionsbeanspruchungen
Die Eingabe der Umfangskräfte erfordert das Selektieren von 4 Knotenreihen am
Umfang der Nabe. Das Torsionsmoment MT = 80 Nm ergibt sich bezogen auf den
Nabendurchmesser dN = 32 mm zu
MT = FT · dN/2
mit der erforderlichen Umfangskraft
FT = 2 · MT / dN = 5000 N.
Mit 4 Knotenreihen mal 16 Knoten stehen 64 Knoten zur Kraftaufnahme zur Verfügung. Die Aufteilung ergibt für jeden Knoten eine Belastung von Fi = 78,125 N.
Diese geringe Einzellast an einem Knoten des 8-Knoten-Volumenelements verzerrt
das Element nur geringfügig. Die Verzerrung klingt in der Nabe ab, so dass auf dem
abgesetzten zylindrischen Stab das unverfälschte Torsionsmoment übertragen wird.
Die Torsionsspannung (Tafel 7/12, grafische Ergebnisse) zeigt ein harmonisches
Verhalten. Der Maximalwert an der Stelle I-I mit τt = 104 N/mm2 liegt etwas höher
als der klassisch errechnete mit τt = 100 N/mm2 (Abschn. 7.2.1). Das FE-Modell
besitzt eine etwas kleinere Querschnittsfläche. Eine feinere Vernetzung würde den
Fehler durch kürzere Sekanten reduzieren.
Die Aufweitung an der Laststelle ist auch mit dem Nabenmodell (Abb. 7.31.) nicht
zu verhindern. Es wirkt nach wie vor das Knotenverschiebungsprinzip der Finite
Elemente Methode (Abschn. 7.3.1; Abb. 7.14.). Die tangential wirkende Umfangskraft führt zu einer Knotenverschiebung in tangentialer Richtung. Der Knoten N462
bewegt sich zur Stelle N462*, der Knoten N443 zu N443*, d. h. es ist der bekannte
lineare Zusammenhang zwischen Verdrehweg und Durchmesser erkennbar. Mit dem
Verzicht auf eine überhöhte Darstellung – in Abb. 7.31. ist die Verformung 30-fach
vergrößert – wird die störende Aufweitung unterdrückt.
Geringe Einflüsse auf die Verdrehwege aufgrund der spezifischen Umfangskräfte
Fi lassen sich zeigen. Bezogen auf den Nenndurchmesser Ø16 ergeben sich für die
unterschiedlichen Kraftanteile
– s = 0,107 mm bei Fi = 625 N mit
1 Knotenreihe auf Ø16 (Abb. 7.29.),
– s = 0,102 mm bei Fi = 156,25 N mit 4 Knotenreihen auf Ø16 (Tafel 7/11),
– s = 0,099 mm bei Fi = 78,125 N mit 4 Knotenreihen auf Ø32 (Tafel 7/12).
N462*
N462
Nabe (Ø32) auf Rundstab
Nenndurchmesser (Ø16)
N443*
N443
Aufweitung (Ø16)
N443*
N443
Belastung: MT = 80 Nm
Verdrehweg s in mm
0,2
0,1
Rundstab (Ø16)
Nabe ausgeblendet
0
0
N462*
N443*
32
16
Nabendurchmesser in mm
Abb. 7.31. Aufweitung des abgesetzten Rundstabes mit Nabe durch Umfangskräfte
469
7.4 Erweiterte Modellbildung Torsion
• Modell Rechteckstab mit Adapter
Das Verhalten des Rechteckstabes bei Torsionsbeanspruchung wurde mit ProfilBalkenelementen in Tafel 7/4 untersucht. Es standen dafür 25 Elemente und 26 Knoten
zur Verfügung. Je 1 Knoten für Lagerung und Einleitung des Torsionsmomentes
bildeten die Randbedingungen. Ein praxisnahes Verhalten ist damit kaum zu beschreiben.
Eine Modellerstellung mit Volumenelementen dagegen ermöglicht eine wirklichkeitsnahe Aufbereitung. Das FE-Modell für den Rechteckstab erfordert nur geringen Aufwand. Auch die Lagerung in Form einer Einspannung lässt sich problemlos
erstellen. Schwieriger gestaltet sich das Einbringen des Torsionsmomentes am 3dimensionalen Volumenmodell. Verzerrungen durch Einzelkräfte an den Elementen
sollten vermieden werden (Abb. 7.29.).
Mit der Generierung eines Adapters (Abb. 7.32.), der aufgeschoben auf den Rechteckstab das Torsionsmoment überträgt, wird eine praxisnahe Lösung angeboten. Es
ist jetzt die FE-Aufgabe – die Verbindung zweier eigenständiger Bauteile – zu lösen.
Als FE-Technik steht das Generieren von Kontaktelementen zwischen berührenden
Flächen separater Körper zur Verfügung (siehe Abschn. 4.2.1; Abb. 4.14.). Bei der
Modellierung des Rechteckstabes sind die notwendigen Flächen zu berücksichtigen. Der Rechteckstab wird deshalb durch 2 Teilvolumen V1, V2 gebildet. Das Voy
I.
II.
x
z
K1
y
V1
III.
x
z
z
A9
A8
A7
IV.
A2
V.
K19
y
K4
K8
A10
V1
K3
x
K2
V2
y
K7
K5
K9
A2
K6
L13
A18 A17
VI.
A16
A19
16
12
x
R24
V9
A15
A12
A13
A14
V8
V7
V10
6
K19
K30
L45
V6
V3
V4
V5
Abb. 7.32. Zwischenschritte bei der Modellentwicklung des Rechteckstabes mit Adapter
I. V1 durch geometrischen Grundkörper „Rechteckblock“ ; II. + III. Ziehen A2 entlang
L13 zu V2; IV. Profil des Adapters; V. Flächeneinteilung des Adapters;
VI. Ziehen A12 ... A19 entlang L45 zu V3 ... V10;
470
7 Torsionsbeanspruchungen
lumen V2 wird an V1 angesetzt. Die Länge von V2 (L13 = L45) entspricht der Dicke
des Adapters, so dass die Kontaktflächen beider Körper gleiche Abmessungen besitzen. Während das Volumen V1 durch die FE-Technik „Generieren eines Rechteckblockes“ entsteht, ergibt sich das Volumen V2 durch „Ziehen vernetzter Flächen“.
Die Fläche A2 des Volumens V1 besitzt bereits die 3D-Vernetzungsstruktur aus der
Vernetzung des Volumens V1. Nach Definition des Keypoints K9 kann an der Leitlinie L13 das Volumen V2 einschließlich seiner Volumenelemente gezogen werden.
Auch für den Adapter wird das „Ziehen vernetzter Flächen“ angewendet. Allerdings
muss das Profil des Adapters zuerst in die Flächen A12 bis A19 eingeteilt und mit
der Generierung von Scheibenelementen vorbereitet werden. Danach ist die Netzstruktur durch Ziehen entlang der Linie L45 zu den Volumen V3 bis V10 mit 3dimensionalen Volumenelementen geeignet.
Bei der Flächeneinteilung wurde der Grundsatz verfolgt, Flächen mit 4 Seitenkanten und möglichst ähnlicher Seitenlänge zu erzielen. Damit sind gute Voraussetzungen für eine gleichmäßige rechteckige Vernetzungsstruktur gegeben. Die Keypoints
als Begrenzungspunkte der Flächen müssen auf verschiedene Weise definiert werden. Die Punkte K13 bis K16 und K21 bis K24 sind als ganzzahlige Größen im
Koordinatensystem einfach bestimmt.
Die Punkte auf den Kreisbögen (Abb. 7.33.) lassen sich durch unterschiedliche
geometrische oder mathematische Techniken erfassen. Mit BOOLEschen Operationen – beispielsweise durch Abtrennen von Rechteckflächen von der R24-Kreisfläche – sind die Koordinatenwerte der Punkte K17 bis K20 zu ermitteln. Die R24Kreisbögen zwischen K17/K18 (L21) und K19/K20 (L22) können im CAD-System
in 3 gleiche Bogenstücke unterteilt werden.
FE-A13
Tors
Name
Elemente
Werkstoffe
Allgemeine Befehlsfolge
Speicherung der FE-Rechnung unter FILE-Name "Tors13"
3-dimensionales Volumenelement (8 Knoten),
2-dimensionales Scheibenelement (4 Knoten, ohne Vorgaben)
3-dimensionale Kontaktelemente
Stahl: ESt= 210 kN/mm2 , GSt= 81 kN/mm2 , ν = 0,3 ;
jeweils für x-, y-, z - Koordinate;
CAD-Modell aus geometrischen Grundkörper "Rechteckblock"
erstellen - Nummern für Keypoints und Linien werden vom FESystem automatisch vergeben;
Koordinaten des 1. Rechteckblockes in mm: x1= – 6; y1= – 12;
z1= 0; x2= 6; y2= 12; z2= 92.
Erzeugen eines 2. Rechteckblockes - dazu Geometriepunkt
(x;y;z) definieren: K9(–6;–12;100); Linie L13(K5,K9) generieren;
ziehen der Stirnfläche A2 entlang der Linie L13;
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7.4 Erweiterte Modellbildung Torsion
471
Fortsetzung
Geometrie
Adapter über Geometriepunkte, Flächen erstellen Geometriepunkte (x;y;z) in mm: K13(–6;–12;100);
K14(6;–12;100); K15(6;12;100); K16(–6;12;100);
K17(–16;–17,89;100); K18(16;–17,89;100); K19(16;17,89;100);
K20(–16;17,89;100); K21(–16;–12;100); K22(16;–12;100);
K23(16;12;100); K24(–16;12;100); K25(0;0;100);
Kreisbogen bilden: L21(K17,K18); L22(K19,K20); L21 und L22
jeweils teilen in 3 Linienstücke;
Flächen: A12(K21,K17,K26,K13), A13(K26,K27,K14,K13),
A14(K27,K18,K22,K14), A15(K14,K22,K23,K15),
A16(K15,K23,K19,K28), A17(K16,K15,K28,K29),
A18(K24,K16,K29,K20), A19(K21,K13,K16,K24),
Volumen bilden: Ziehen der Flächen A12 bis A19; dazuGeometriepunkt (x;y;z) in mm definieren: K30(16;17.89;92); Linie
L45(K19,K30) generieren; ziehen der Flächen A12 bis A19 entlang
der Linie L45; es entstehen Volumina V3 bis V10;
Vernetzung
Elementeanzahl für 1. und 2. Rechteckblock definieren: 4 mm
Elementkantenlänge, 450 Elemente mit 728 Knoten generiert;
Elementeanzahl für Adapter (Scheibenelemente) definieren: 4 mm
Elementkantenlänge, 90 Scheibenelemente mit 120 Knoten;
Adapter ziehen (Volumenlemente): 4 mm Elementkantenlänge;
Scheibenelemente entfernen, regenerieren der Nummernfolge;
Volumenmodell mit 630 Elementen und 1088 Knoten generiert;
Kontaktelemente bilden: dazu Knoten von Kontaktflächen A7/A27,
A8/A35, A9/A41, A10/A49 selektieren;
Lagerung: selektiert über kartesisches Koordinatensystem (z=0);
alle Freiheitsgrade gebunden (Einspannung);
Randbedin- Radialkraft in kN: Fy = 3,333 aufgeteilt auf 60 Knoten; selektiert
gungen
über kartesisches Koordinatensystem in 3 Ebenen (y1=100; x1=24;
y2=96; x2=24; y3=92; x3=24), tangential gedreht;
Systemstabilisierung: Keypoints K17-K20 selektiert; Uz =0 gesetzt,
Berechnung
und
Ergebnisse
Ansatz: statisch, linear
Charakteristische Größe: Verschiebung der Knoten,
Verdrehweg s in mm: 0,125 an Stablänge 100;
max. Torsionsspannung in N/mm2: 91;
x , y , z Koordinaten im globalen kartesischen Koordinatensystem,
Ux , Uy , Uz , ROTx , ROTy , ROTz Verschiebungen und Verdrehungen,
K Keypoint (Geometriepunkt im CAD-Modell), L Line (Linie im CAD-Modell),
N Node (Knoten im FE-Modell), E Element (Element im FE-Modell),
FE-A Finite Elemente Anwendungsbeispiel,
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472
7 Torsionsbeanspruchungen
FE-A13
Tors
Bildfolge
12
y
Geometrie
MT = 80 Nm
24
24
R24
z
12
8
32
100
Kontakt
A7 → A27, A8 → Α35,
y
y
Α9 → Α41, Α10 → Α51
x
Vernetzung
Randbedingungen
A10
x
K20
z
z
A41
A9
K19
A8
A51
K17
A7
A27
Volumenelemente
630 Elemente mit 1088 Knoten
Torsionsspannungen
I
Fi
A35
K18
Fi = 55,56 N pro Knoten
τt in N/mm2
91
67
Stelle I-I
I
43
0
24
12
Stabhöhe in mm
Verdrehungen
Grafische
Ergebnisse
Verdrehweg s in mm
0,125
0,078
0,039
0
0
50
100
Stablänge in mm
Tafel 7/13: Torsion am Rechteckstab mit Adapter (Volumen-, Kontaktelemente)