Konstruktionen am Dreieck

Konstruktionen am Dreieck
Winkelhalbierende
Die Winkelhalbierende halbiert den jeweiligen Innenwinkel des Dreiecks.
Sie agieren als Symmetrieachse. Dadurch ist jeder Punkt der Winkelhalbierenden gleich
weit von den beiden Schenkeln entfernt.
Höhe eines Dreiecks
Die Höhe eines Dreiecks erhält man, wenn man das Lot auf der Grundfläche fällt,
welches in der gegenüberliegenden Ecke endet.
Mittelsenkrechte
Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks verlaufen durch den Mittelpunkt der jeweiligen
Grundfläche.
Der Mittelpunkt einer Strecke ist der Schnittpunkt, jener mit der Mittelsenkrechten der
Strecke.
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Seitenhalbierende
Die Seitenhalbierende verbindet den Mittelpunkt einer Seite mit dem
gegenüberliegenden Punkt.
Alle drei Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt. Dieser ist von allen Ecken
gleich weit entfernt und heißt Umkreismittelpunkt.
Der Kreis um den Umkreismittelpunkt, der alle drei Ecken schneidet, nennt man
Umkreis.
Thaleskreis
Wenn C auf einem Kreis mit dem Durchmesser [AB] liegt, ist der Winkel bei C ein
rechter Winkel. Dieser Kreis, welcher [AB] als Durchmesser hat, wird als Thaleskreis
bezeichnet.
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Tangenten
Tangenten sind Geraden, welche durch einen Punkt P, der außerhalb des Kreises um M
liegt, gehen und den Kreis nur in einem Punkt schneiden. Man konstruiert den
Thaleskreis über der Strecke [MP]. Die Schnittpunkte mit dem Kreis um M sind die
Berührpunkte.
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Beispielaufgaben:
1. Die Abbildung zeigt das Dreieck ABC.
a) Konstruieren sie im abgebildeten Dreieck die Mittelsenkrechte der Seite [AB] und die
Mittelsenkrechte der Seite [AC].
b) Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seite [AB] und der Mittelsenkrechten der
Seite [AC] wird mit S bezeichnet. Charlotte erklärt einer Mitschülerin, dass S der
Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC ist. Ergänze sinnvoll, was sie ihrer Mitschülerin
gesagt haben könnte: „Weil S einerseits ein Punkt auf der Mittelsenkrechten der Seite
[AB] ist, ist er von den Punkten A und B ___________________________________
___________________________________________________________________.
Weil S andererseits ___________________________________________________
___________________________________________________________________.
Also ist der Punkt S ___________________________________________________
______________________ und damit der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC.“ / 2
2. Marie möchte alle Punkte markieren, die von A und B den gleichen Abstand haben
und gleichzeitig von C weniger als 1,5 cm entfernt sind. Ergänze sinnvoll, was sie sich
dazu überlegen könnte.
„Um die gesuchten Punkte zu markieren, benötige ich zwei Linien. Die Punkte liegen
nämlich auf
_________________________________________________________________ ,
sowie_____________________________________________________________.“
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3. Der Punkt C liegt auf einem Kreis mit Durchmesser [AB]. Die Strecke [AC] ist halb so
lang wie die Strecke [AB].
a) Wie groß ist der Winkel γ ? Begründe deine Antwort.
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b) Wie groß ist der Winkel α ? Begründe deine Antwort.
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4. Konstruiere das Dreieck:
a) b = 6 cm,
α = 50°,
b) c = 8,5 cm,
hc = 3,5 cm,
c) c = 5 cm,
β = 80°,
d) b = 7 cm,
α = 30°,
e) a = 8 cm,
c = 7 cm,
(r ist der Radius des Umkreismittelpunkts)
f) a = 5 cm,
β = 70°,
g) a = 6 cm,
α = 90°,
h) b = 7,5 cm,
c = 5,8 cm,
wa = 5 cm
α = 75°
hb = 3 cm
wy = 4,4 cm
hb = 6,4 cm
r = 4,5 cm
r = 3 cm
r = 5,2 cm
5. Zeichne in ein Koordinatensystem den Kreis k(M;r) und den Punkt P(4/7). Konstruiere
vom Punkt P die Tangenten an den Kreis.
Geg: M(2/0) , r = 2 cm
6. Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC
a) a = 7 cm, ha = 3 cm und α = 90°
b) Hypotenusenlänge 5 cm und Kathetenlänge 4 cm
7. Konstruiere ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit der Basislänge 8 cm.
8. Begründe, warum die Eckpunkte eines Quadrats und eines Rechtecks auf einer
Kreislinie liegen, die man als Umkreis bezeichnet.
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9. Gegeben sind die Punkte P und M mit Abstand 7 cm. Konstruiere einen Kreis k um M
derart, dass die beiden durch P verlaufenden Tangenten an k miteinander einen Winkel
von 44° einschließen.
10. Zeichne einen Winkel α, der kleiner als 180° ist. Konstruiere in den Winkel einen
Kreis, welcher beide Schenkel des Winkels berührt.
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Lösungen:
1.a)
b)
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seite [AB] und der Mittelsenkrechten der
Seite [AC] wird mit S bezeichnet. Charlotte erklärt einer Mitschülerin, dass S der
Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC ist. Ergänze sinnvoll, was sie ihrer Mitschülerin
gesagt haben könnte:
„Weil S einerseits ein Punkt auf der Mittelsenkrechten der Seite [AB] ist, ist er von den
Punkten A und B gleich weit entfernt.
Weil S andererseits ein Punkt auf der Mittelsenkrechten der Seite [AC] (bzw. [BC])
ist, ist er von den Punkten A (bzw. B) und C gleich weit entfernt .
Also ist der Punkt S von allen drei Punkten gleich weit entfernt und damit der
Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC.“
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2. Marie möchte alle Punkte markieren, die von A und B den gleichen Abstand haben
und gleichzeitig von C weniger als 1,5 cm entfernt sind. Ergänze sinnvoll, was sie sich
dazu überlegen könnte.
„Um die gesuchten Punkte zu markieren, benötige ich zwei Linien. Die Punkte liegen
nämlich auf der Mittelsenkrechten zu [AB],
sowie innerhalb des Kreises um C mit Radius 1,5 cm."
(Hier grün gekennzeichnet)
3. Der Punkt C liegt auf einem Kreis mit Durchmesser [AB]. Die Strecke [AC] ist halb so
lang wie die Strecke [AB].
a) Wie groß ist der Winkel γ ? Begründe deine Antwort.
γ = 90°
Begründung: „C liegt auf dem Thaleskreis über [AB].“
b) Wie groß ist der Winkel α ? Begründe deine Antwort.
α = 60°
Begründung: „Der Kreismittelpunkt M bildet mit den Punkten A und C ein
gleichseitiges Dreieck.“
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4.a)
a = 4,76
c = 5,11
b)
a = 8,33
b = 3,62
c)
b = 5,52
a = 3,36
d)
a = 4,41
c = 3,38
e)
b = 7,64
f)
b = 8,47
c = 8,74
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g) Zeichne um B einen Kreis mit Radius 6 cm. Zeichne irgendwo in diesem Kreis den
Punkt A ein. Verbinde beide und fälle das Lot auf A. Der Schnittpunkt mit dem Kreis ist
Punkt C.
z.B.:
h)
Möglichkeit 1:
a = 10,24
Möglichkeit 2:
a = 2,21
5.
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6.a)
b)
7.
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8. Rechtecke kann man aus zwei rechtwinkligen Dreiecken zusammensetzen,
welche durch den Thaleskreis auf dem Umkreis liegen.
9. Zeichne [PM] und konstruiere den Thaleskreis über der Strecke. Zeichne bei P einen
Winkel von 22° auf beiden Seiten ein. Die Schnittpunkte der Tangenten mit dem
Thaleskreis ergeben die Berührpunkte. Zeichne einen Kreis durch Mittelpunkt M und
einen der beiden Berührpunkte.
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10. Konstruiere die Winkelhalbierende. Wähle einen beliebigen Punkt D auf der
Winkelhalbierenden. Zeichne den Thaleskreis über [AD]. Die Schnittpunkte mit den
Schenkeln sind die Berührpunkte des Kreises um D.
z.B:
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