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116
KAPITEL 8
Autonome Systeme
Autonome Systeme haben die Form,
~x˙ = ~v (~x),
~x ∈ D ⊆ Rn ,
mit einer von t unabhangigen (autonomen) rechten Seite.
Im folgenden sei ~v : Rn ⊇ D → Rn stets eine einmal stetig dierenzierbares Vektorfeld. Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz gibt es zu jedem ~a ∈ D eine
maximale Losung, die zur Zeit t = t0 durch ~a geht; wir bezeichnen sie mit ~x(t, ~a).
Die Spur dieser Kurve heit Losungsbahn (Phasenbahn, Trajektorie, Integralkurve ). Die Durchlaufrichtung der Bahn ist durch den Tangentenvektor ~x˙ = ~v(~x)
bestimmt. Die Menge aller Phasenkurven wird als Phasenportrait bezeichnet.
Satz
38. Verschiedene Phasenbahnen schneiden sich nicht.
Beweis: Folgerung aus dem EE-Satz.
Definition
#
9. ~x(t) = ~a ∈ D heit Gleichgewichtslosung oder stationare
Losung, wenn ~v (~a) = ~0 gilt. Die skalare konstante Funktion x(t) = a
ist GGL der DGL x(n) = f (x, ẋ, ẍ, . . . , x(n−1) ), wenn f (a, 0, . . . , 0) = 0.
Den Gleichgewichtspunkt ~a nennt man auch einen kritischen Punkt oder
Gleichgewichtszustand.
Beispiel
55.
~x˙ =
ẋ
ẏ
!
=
y(x + y − 1)
x(1 − x − y)
!
.
Neben ~x = ~0 ist jeder Punkt der Geraden x + y = 1 kritisch. Wegen ẋẏ = − xy
beschreibt das Vektorfeld ~v ein Tangentenfeld an die Kreise x2 + y2 = const,
d.h. die Spuren der nicht-stationaren Losungen liegen auf diesen Kreisen.
117
118
8. AUTONOME SYSTEME
1. Ebene autonome Systeme, die Phasen-DGL
Im Fall n = 2 gibt es fur die Phasenkurven des autonomen Systems
ẋ = f (x, y),
(x, y) ∈ D ⊆ R2
ẏ = g(x, y),
(44)
neben der Parameterdarstellung x = x(t), y = y(t) auch die Moglichkeit, sie
stuckweise explizit als Graph y = y(x) bzw. x = x(y) oder implizit in der Form
F (x, y) = const darzustellen. Unter der Voraussetzung, dass x = x(t) u
ber einem
t-Intervall umkehrbar ist, t = t(x), ergibt sich f
ur y = y(t) = y(t(x)) durch Dierentation nach x mit der Kettenregel (auere Ableitung ist ∂t∂ y = ẏ und die innere
∂
1
t = ∂x
= ẋ1 :)
∂x
∂t
y0 =
dy
ẏ
g(x, y)
= =
,
dx
ẋ
f (x, y)
falls f (x, y) 6= 0.
Man diese Dierentialgleichung die Phasen- oder Bahnen-DGL von (44); die implizite Form ist
g(x, y) − f (x, y)y 0 = 0.
25. Die explizite Losung (x(t), y(t)) von (44) gibt das Weg-
"
Zeit-Gesetz\ der durch (44) modellierten Bewegung an, die Losung der PhasenDGL gibt dagegen nur die gesamte Bahn an, auf der diese Bewegung stattndet.
!
ẋ
Die durch den Tangentenvektor
gegebene Durchlaufrichtung lasst sich
Bemerkung
ẏ
aus der Phasen-DGL
ablesen: Sie ist auerhalb der kritischen Punkte durch
!
f (x, y)
g(x, y)
Beispiel
gegeben.
56. Wir betrachten das autonome Dierentialgleichungssystem
~x˙ =
0 −1
1 0
!
~x.
Dieses kann umgeschrieben werden zum System
ẋ = −y,
ẏ = x.
Die allgemeine Losung ergibt sich wie folgt:
Eigenwerte bestimmen
−λ −1
det (A − λE) = 1 −λ
= λ2 + 1 = 0 ⇔ λ1/2 = ±i.
1. EBENE AUTONOME SYSTEME, DIE PHASEN-DGL
Der zu
λ=i
i
1
gehorige Eigenvektor ist ~v =
komplexe Losung:
~z(t) = eit
i
1
!
!
0
1
= (cos t + i sin t)
119
und man erhalt daraus die
!
+i
1
0
!!
deren Real- und Imaginarteil die allgemeine Losung des DGL-Systems ergibt:
~x(t) = c1
− sin t
cos t
!
!
cos t
sin t
+ c2
=
−c1 sin t + c2 cos t
c1 cos t + c2 sin t
Gibt man noch eine bestimmte Anfangsbedingung vor, z.B.
!
.
~x(0) =
erhalt man eine spezielle Losung, in unserem Fall
~x(t) =
x(t)
y(t)
!
=
− sin t + 2 cos t
cos t + 2 sin t
2
1
!
,
so
!
Wie man leicht sieht hat man also das "Weg-Zeit-Gesetz\ der Bewegung erhalten. Was besagt nun die Phasen-DGL?
x
ẏ
=− .
ẋ
y
y0 =
Diese Dierentialgleichung ist trennbar und hat die Losung
Z
⇔
Z
y dy = −
y dx ⇔
y2
x2
= − + C ⇔ x2 + y 2 = const.
2
2
Die Phasenbahnen sind also Kreise, wie man durch explizites Nachrechnen
leicht uberpruft:
>
>
>
x2 (t) + y 2 (t) = (−c1 sin t + c2 cos t)2 + (c1 cos t + c2 sin t)2 = c21 + c22 .
Gema dem Tangentialvektor
~x˙ =
−y
x
!
erfolgt der Durchlauf der Kurve
entgegen dem Uhrzeigersinn. Um dies zu uberprufen, trage man im Punkt
!
(x0 , y0 )
eines Kreises den Tangentialvektor mit den Komponenten
ẋ
ẏ
=
120
8. AUTONOME SYSTEME
f (x, y)
g(x, y)
tialvektor
!
=
−y0
x0
−y0
x0
!
=
!
an. So erhalt man z.B. im Punkt
−1
2
!
(2, 1)
den Tangen-
dieser zeigt in in negativer x-Richtung und in
positiver y-Richtung, also entgegen dem Uhrzeigersinn. Da die Kurven geschlossen sind, kommt man nach einem Umlauf wieder am Ausgangspunkt an
und das bedeutet, dass die Losung des Dierentialgleichungssystems periodisch
ist.
Bemerkung
26. Gewohnliche Dierentialgleichungen 2. Ordnung besitzen
ein aquivalentes Dierentialgleichungssystem und wir konnen die Phasenbahn,
das Phasenportrait auch fur gewohnliche Dierentialgleichungen n-ter Ordnung untersuchen.
2. Stabilität
Wir untersuchen das Verhalten von Losungen in der Nahe von stationaren
Losungen (Gleichgewichtslagen). Man nennt diese stabil, wenn jede Losung, die
einmal hinreichend nah an sie herankommt, auch fur alle weitern Zeiten in der
Nahe bleibt. Genauer:
10. Eine Gleichgewichtslage ~a von ~x = ~v (~x) heit
(1) stabil, wenn es fur jedes ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass fur jede
Definition
Losung gilt
|~x(0) − ~a| < δ ⇒ |~x(t) − ~a| < ε
(2) asymptotisch stabil, wenn es ein δ >
Losung gilt
fur alle t > 0,
0 gibt, so dass f
ur jede
|~x(0) − ~a| < δ ⇒ lim ~x(t) = ~a,
(3) instabil, wenn sie nicht stabil ist.
Bemerkung
t→∞
27.
(1) Eine asymptotisch stabile GGL ist stets auch stabil. Jede Losung die
einmal der asymptotisch stabilen GGL hinreichend nahe kommt, bleibt
nicht nur fur alle Zeiten in der Nahe dieses Punktes, sondern mundet
schlielich in ihn ein.
(2) Implizit in der Denition enthalten ist die Forderung, dass die betreffenden Losungen auch fur alle t ≥ 0 erklart sind.

2. STABILITAT
121
(3) Man nennt eine GGL ~a eines ebenen DGL-Systems ein Zentrum, wenn
in einer Umgebung von ~a keine weitere GGL liegt und samtliche Bahnen geschlossen sind
Satz
39. Stabilitätsatz für lineare Systeme. Die Art einer GGL ~a des
linearen DGL-Systems ~x˙ = A~x ist durch die Eigenwerte λ1 , λ2 , . . . λn
von A ∈ Rn×n bestimmt:
(1) Re λk < 0 fur alle k ⇐⇒ ~a asymtotisch stabil,
(2) Re λk > 0 fur ein k ⇒ ~a instabil,
(3) Re λk ≤ 0 fur alle k und falls Re λk = 0, sind die algebraische und
die geometrische Vielfachheit von λk gleich ⇐⇒ ~a stabil.
Der Beweis beruht auf der Losungsdarstellung.
Bemerkung
~x˙ = A(t)~x.
Beispiel
28. Der Stabilitatssatz gilt nicht fur nicht-autonome Systeme
57.
ẋ = −x + y + 2,
ẏ = −x − y − 4 ⇐⇒ ~x˙ =
−1 1
−1 −1
!
~x
Die GGLn sind die Losungen des Gleichungssystems
−x + y + 2 = 0,
−x − y − 4 = 0,
!
−1
dass die eindeutig bestimmte Losung ~a =
hat. Die Stabilitat ergibt sich
−3
den Eigenwerten der Systemmatrix A, λ1/2 = −1 ± i. wegen Re λ1/2 = −1 < 0
ist ~a ein asymptotischer Strudel (bzw. asymptotisch stabile GGL).

Die Ubertragung
des Stabilitatssatzes fur lineare Systeme (Satz 39) auf nichtlineare autonome Systeme gelingt uber die Jacobi-Matrix J~v der rechten Seite ~v . In
einem stationaren Punkt gilt ~v (~a) = ~0, daher lautet die lineare Approximation:
~v (~x) = ~0 + J~v (~a)(~x − ~a) + o(|~x − ~a|).
122
8. AUTONOME SYSTEME
Satz
40. Stabilitätssatz für nichtlineare Systeme. Sei ~a ∈ Rn , A ∈
Rn×n und ~g in einer Umgebung von ~a
|~g (~
x)|
= 0, so gilt f
ur
~g (~a) = ~0 und lim~x→~a |~
x−~a|
ein stetiges Vektorfeld, fur das
die GGL ~a des DGL-Systems
~x˙ = A(~x − ~a) + ~g (~x)
(1) Re λk < 0 fur alle k ⇒ ~a asymtotisch stabil,
(2) Re λk > 0 fur ein k ⇒ ~a instabil.
ohne Beweis.
Rechenschema fur die Stabilitat von ~x˙ = ~v (~x), ~x ∈ Rn .
(1) Alle GGLn ~a als Losungen von ~v (~x) = ~0 bestimmen.
(2) Die Jacobi-Matrix berechnen

∂v1
∂x1
...
∂v1
∂xn
∂vn
∂x1
...
∂vn
∂xn

J~v (~x) =  ...
...

.. 
. .
(3) Fur jedes ~a die Eigenwerte λk von A := J~v (~a) berechnen.
(a) Re λk < 0, fur alle k ⇒ ~a asymptotisch stabil.
(b) Re λk > 0, fur (wenigstens) ein k ⇒ ~a instabil.
(c) (i) ~v (~x) = A~x + ~b (linear): Re λk ≤ 0 fur alle k und zu jedem
Eigenwert λ mit Re = 0 und Vielfachheit l ist der Rang
von (A − λE) gleich n − l ⇒ ~a stabil.
(ii) Fur andere Systeme keine weitere Aussage.
Bemerkung
29. Die zur Stabilitatsuntersuchung notigen Eigenwerte mussen
nicht explizit berechnet werden. Die Frage, ob die Nullstellen eines Polynoms
in der linken komplexen Halbebene liegen, kann nach dem Routh-HurwitzKriterium bestimmt werden. Wir geben hier nur ein paar Spezielfalle an: Ein
Polynom heit stabil, wenn alle seine Nullstellen negativen Realteil besitzen.
(1) n = 2 : a2 λ2 + a1 λ + a0 ist stabil (a2 > 0) ⇐⇒ a0 > 0 und a1 > 0.
(2) n = 3 : a3 λ3 +!a2 λ2 + a1 λ + a0 ist stabil (a3 > 0) ⇐⇒ a0 > 0, a1 > 0 und
det
a1 a0
a3 a2
> 0.

2. STABILITAT
123
(3) n = 4 : a4 λ4 + a3 λ3 + a2 λ2 + a1 λ +a0 ist stabil 
(a4 > 0) ⇐⇒ a0 > 0, a1 >
0, det
a1 a0
a3 a2
!
>0
und
a1 a0 0


det  a3 a2 a1  > 0.
0 a4 a3
(4) Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung ist die folgende.
Haben samtliche Nullstellen der Gleichung
λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 = 0 ak ∈ R
negativen Realteil, dann gilt notwendig ak > 0 fur alle k.
Beispiel
58.
ẋ = x + y + 2, ẏ = y − x2 + 4 ⇐⇒ ~x˙ = ~v (~x) =
x+y+2
y − x2 + 4
!
.
1. GGLn: (−2, 0),
2. J~v (~x) =
(1,!−3).
1
1
.
−2x 1
3. Nach dem Hurwitz-Kriterium sind die GGL instabil, da
1−λ
1
−2x 1 − λ
und folglich a1 = −2 <
Eigenwerte bestatigen.
0
= λ2 − 2λ + 1 + 2x
ist. Man kann das genauso durch Ausrechnen der
8. AUTONOME SYSTEME
124
Stabilitätseigenschaften von linearen und fastlinearen Systemen für n = 2
Knoten
Typ
asymptotisch stabil
instabil
Stabilitat
Sattelpunkt
Knoten
Knoten
Typ
instabil
asymptotisch stabil
instabil
Stabilitat
fastlineares System
λ1 > λ2 > 0
Knoten
instabil
instabil
lineares System
λ1 < λ2 < 0
Sattelpunkt
Knoten oder Strudel
asymptotisch stabil
Eigenwerte
λ2 < 0 < λ1
Knoten oder Gerade von instabil
Ruhelagen
Knoten oder Strudel
instabil
<0
λ1 , λ2 = α ± iβ
λ1
>0
asymptotisch stabil
(stabil)
Strudel
asymptotisch stabil
=
Knoten
(Gerade von Ruhelagen)
instabil
Strudel
unbestimmt
λ2
Strudel
asymptotisch stabil
Zentrum oder Strudel
λ1
α>0
Strudel
stabil
=
α<0
Zentrum
λ2
λ1 = iβ, λ2 = −iβ

2. STABILITAT
125
2.1. Schwingendes Pendel. Es sei ein Masse m am Ende einer starren aber
gewichtslosen Stange der Lange l befestigt. Das andere Endeder Stange ist im Ursprung O befestigt. Das Pendel unterliegt der Schwerkraft und die Auslenkung x
wird entgegen dem Uhrzeigersinn in der Ruhelage beginnend gemessen.
Die Schwer dx kraft mg wirkt nach unten, wahrend die dampfende Kraft c dt , wobei c positiv
ist, immer in die der Bewegung entgegengesetzte Richtung weist.
O
x
l
∣dxdt∣
c
m
l sin  x
mg
Mit Hilfe des Drehimpulserhaltungssatzes leitet man die Bewegungsgleichung fur
das gedampfte Pendel ab:
ẍ +
c
g
ẋ + sin x = 0,
ml
l
dabei sind m, l, g, c positive Konstanten. Die Gleichung fur das ungedampfte Pendel erhalt man fur c = 0.
Wir untersuchen nun das Stabilitatsverhalten des zugehorigen Systems 1. Ordnung
sowohl fur das ungedampfte als auch das gedampfte Pendel.
Ungedampftes Pendel: In diesem Fall lautet das System:
ẋ = y,
ẏ = −
g
sin x.
l
Die stationaren Punkte ergeben sich zu (kπ, 0), k ∈ Z. Zur Klassikation der stationaren Punkte benotigen wir die Jacobi-Matrix des Systems:
J~v =
0
1
g
− l cos x 0
!
.
126
8. AUTONOME SYSTEME
Wegen cos((2k + 1)π) = −1 und cos(2kπ) = 1, haben wir zwei Falle zu untersuchen:
1. Alle stationaren Punkte ((2k + 1)π, 0). In diesem Fall gilt
0 1
g
0
l
J~v =
!
und die charakteristische Gleichung lautet
g
λ − = 0 ⇐⇒ λ1/2 = ±
l
2
r
g
,
l
da g, l > 0. Da einer der Eigenwerte positiv ist, sind diese Gleichgewichtslagen
instabil.
2. Alle stationaren Punkte (2kπ, 0). In diesem Fall gilt
0 1
− gl 0
J~v =
!
und die charakteristische Gleichung lautet
r
g
g
λ + = 0 ⇐⇒ λ1/2 = ±i
,
l
l
2
da g, l > 0. Da die Realteile Null sind, sind die Gleichgewichtslagen unbestimmt.
Zur weiteren Untersuchung kann man die Phasendierentialgleichung heranziehen:
y0 =
g sin x
ẏ
=−
,
ẋ
l y
die eine trennbare Dierentialgleichung mit der Losung
y2 = 2
g
cos x + C
l
ist. Wie man leicht sieht impliziert y 2 , dass 2 gl cos x+C ≥ 0 sein muss. In Abhangigkeit von der Konstanten C ergibt das geschlossene Kurven oder auch nicht geschlossene Kurven wie man dem Phasenportrait entnehmen kann. Daraus wird auch ersichtlich, dass die Gleichgewichtslagen Zentren sind.
Gedampftes Pendel. Die Situation ist ahnlich aber nicht gleich der beim ungedampften Pendel, da ein Zusatzterm auftritt. Das System lautet in diesem Fall:
ẋ = y,
g
c
sin x −
y.
l
ml
Die stationaren Punkte ergeben sich wiederum zu (kπ, 0), k ∈ Z. Zur Klassikation
ẏ = −
der stationaren Punkte benotigen wir die Jacobi-Matrix des Systems:
J~v =
0
1
g
c
− l cos x − ml
!
.

2. STABILITAT
127
Wegen cos((2k + 1)π) = −1 und cos(2kπ) = 1, haben wir auch hier zwei Falle zu
untersuchen:
1. Alle stationaren Punkte ((2k + 1)π, 0). In diesem Fall gilt
J~v =
0
g
l
1
c
− ml
!
und die charakteristische Gleichung lautet
r
c2
c
g
c
g
λ2 +
λ − = 0 ⇐⇒ λ1/2 = −
±
+ ,
2
2
ml
l
2ml
4m l
l
da g, l, c, m > 0. Da einer der Realteile der Eigenwerte positiv ist, sind diese
Gleichgewichtslagen instabil.
2. Alle stationaren Punkte (2kπ, 0). In diesem Fall gilt
J~v =
0
1
g
c
− l − ml
!
und die charakteristische Gleichung lautet
g
c
c
λ + = 0 ⇐⇒ λ1/2 = −
±
λ +
ml
l
2ml
2
r
g
c2
− .
2
2
4m l
l
Falls 4mc 2 l2 − gl ≥ 0 ist, so sind beide Eigenwerte kleiner Null und die Gleichge2
wichtslagen sind asymptotisch stabil. Gilt dagegen 4mc 2 l2 − gl < 0, so ist der Realteil der Eigenwerte kleiner Null und die Gleichgewichtslagen sind ebenfalls asymptotisch stabil. Wie man auch am Phasenportrait erkennen kann. Die Separatrix
trennt Einzugsbereiche\, d.h. bendet sich das Pendel nicht exakt in einer der
"
instabilen Gleichgewichtslagen, so wird es fur t → ∞ in eine asymptotisch stabile
Gleichgewichtslage einmunden. Die Separatrix trennt nun die Bereiche, die in einer
bestimmten asymptotisch stabilen Gleichgewichtslage enden voneinander.
2
128
8. AUTONOME SYSTEME
3. KONKURRIERENDE SPEZIES
129
3. Konkurrierende Spezies
Dieses Modell geht davon aus, dass in einer abgeschlossenen Umgebung zwei
Spezies existieren, die sich um einen begrenzten Vorrat an Futter streiten; dies
konnen zum Beispiel zwei Fischarten in einem Teich sein, die sich nicht gegenseitig fressen, jedoch um vorhandenes Futter kampfen. Ebenso konnte es sich um ein
2-Parteien-System handeln, so dass beide Parteien um Wahlerstimmen kampfen.
Grundregel: Des einen Gewinn ist des anderen Verlust.\
"
Mathematische Annahmen: Die Population der einen Spezies unterliegt in Abwesenheit der anderen der logistischen Gleichung, d.h.
dx
= x(ε1 − σ1 x),
dt
dy
= y(ε2 − σ2 y).
dt
wobei ε1 , ε2 die jeweiligen Wachstumsraten der beiden Populationen und σε11 , σε11 die
jeweiligen Sattigungsniveaus darstellen.
Sind jedoch beide Arten gleichzeitig anwesend, so werden die beiden Spezies den
verfugbaren Futtervorrat der jeweils anderen Spezies reduzieren. Die einfachste
Moglichkeit, diese Reduzierung zu berucksichtigen besteht darin, den Wachstumsfaktor ε1 − σ1 x in der ersten Gleichung durch ε1 − σ1 x − α1 y zu ersetzen, wobei
α1 das Mass f
ur die Groe darstellt, mit der die Spezies y und die Spezies x in
Wechselwirkung stehen. Damit ergibt sich folgendes System:
dx
= x(ε1 − σ1 x − α1 y),
dt
dy
= y(ε2 − σ2 y − α2 x).
dt
Die Werte der positiven Konstanten ε1 , σ1 , α1 , ε2 , σ2 , α2 hangen von der jeweils
betrachteten Spezies ab und werden im allgemeinen aus Beobachtungen bestimmt.
Wir sind nur an nichtnegativen Losungen interessiert, da der minimale Umfang
einer Population Null ist.
Beispiel
59.
dx
= x(1 − x − y),
dt dy
3
1
=y
−y− x
dt
4
2
Bestimmung der stationaren Punkte = GGL :
Losungen des algebraischen Gleichungssystem
y
x(1 − x − y) = 0,
3
1
− y − x = 0,
4
2
dx
dt
=
dy
dt
= 0,
d.h. wir haben die
130
8. AUTONOME SYSTEME
zu bestimmen.
1
Zone IV
x nimmt ab,
1-x-y<0
Zone III
y nimmt ab,
0,75-y-0,5x<0
y nimmt zu,
0,75-y-0,5x>0
Zone I
x nimmt zu,
1-x-y>0
Zone II
1
Wir betrachten eine Gleichung (z.B. die erste) und bestimmen die Nullstellen:
x(1 − x − y) = 0 f
ur x = 0 bzw. x = 1 − y. Fur x = 0 erhalt man aus der zweiten
Gleichung y = 0 oder y = 34 , wir erhalten also als kritische Punkte (0, 0) und
(0, 34 ).
Setzt man x = 1 − y in die zweite Gleichung ein, so ergibt sich y( 41 − 12 y) = 0
und man erhalt y = 0 und y = 21 . Hieraus ergeben sich die beiden weiteren
kritischen Punkte (1, 0) und ( 12 , 12 ).
Wir klassizieren nun die kritischen Punkte. Dazu benotigen wir den JacobiMatrix des Systems:
J~v (~x) =
∂f
∂x
∂g
∂x
∂f
∂y
∂g
∂y
!
1 − y − 2x
− 12 y
=
3
4
−x
− 2y − 12 x
!
.
Der erste kritischen Punkt (0, 0) entspricht dem Zustand, in dem beide Spezies
aussterben. Hier ist
J~v ((0, 0)) =
1 − y − 2x
− 21 y
3
4
−x
− 2y − 12 x
!
=
x=0, y=0
1 0
0 43
!
.
Diese Matrix hat oensichtlich die Eigenwerte λ1 = 1 und λ2 = 34 , deren Realteile beide groer als Null sind. Folglich handelt es sich um eine instabile
GGL.
Der Punkt (0, 34 ) entspricht dem Zustand, wo die Spezies y uberlebt, die Spezies
x aber ausstirbt. In diesem Fall lautet die Jacobi-Matrix:
3
J~v ((0, )) =
4
1 − y − 2x
− 12 y
3
4
−x
− 2y − 12 x
!
=
x=0, y= 43
1
4
− 83
0
− 34
!
3. KONKURRIERENDE SPEZIES
131
und die Eigenwerte sind λ1 = 14 > 0 und λ2 = − 34 . Da der Realteil von λ1
groer als Null ist, ist dies ebenfalls eine instabile Gleichgewichtslage.
Analog entspricht der Punkt (1, 0) dem Zustand, wo die Spezies x uberlebt, die
Spezies x aber ausstirbt. Die Jacobi-Matrix lautet:
J~v ((1, 0)) =
1 − y − 2x
− 21 y
3
4
−x
− 2y − 21 x
!
=
x=1, y=0
−1 −1
1
0
4
!
und besitzt die Eigenwerte λ1 = −1 und λ2 = 14 > 0. Es handelt sich also
ebenfalls um eine instabile GGL.
Betrachten wir nun den Punkt ( 12 , 12 ). Dieser Punkt entspricht dem Zustand
eines gemischten Gleichgewichts bzw. einem Zustand der Koexistenz. Fur die
Jacobi-Matrix gilt
J~v ((1, 0)) =
1 − y − 2x
− 12 y
3
4
−x
− 2y − 12 x
und die Eigenwerte ergeben sich aus
zu λ1/2
GGL.
!
=
x= 12 , y= 21
− 12 − 12
− 41 − 12
!
1
1
1
1
− 12 −2 − λ
= (λ + )2 − = λ2 + λ + = 0
1
1
−4
−2 − λ 2
8
8
q
= − 21 ± 14 − 81 < 0 und es handelt sich um eine asymptotisch
stabile
132
8. AUTONOME SYSTEME

4. RAUBER-BEUTE-MODELLE
133
Fur das allgemeine System
dx
= x(ε1 − σ1 x − α1 y),
dt
dy
= y(ε2 − σ2 y − α2 x).
dt
ergeben sich graphisch die folgenden Falle
 1 /1
2 / 2
 1 /1
2 / 2
1 / 1
2 / 2
2 / 2
1 / 1
2 / 2
1 /1
 1 /1
2 / 2
2 / 2
1 / 1
1 / 1
2 / 2
Eine Koexistenz beider Spezies ist oensichtlich nur in den beiden unteren Fallen
moglich. Damit dieser Zustand aber eintritt, muss der kritische Punkt=Schnittpunkt
beider Geraden ein asymptotisch stabiler, uneigentlicher Knoten sein, dies ist nur
fur σ1 σ2 − α1 α2 > 0 der Fall und entspricht dem rechten unteren Bild. Im anderen
Fall liegt ein Sattelpunkt vor wie man durch nachrechnen ermitteln kann.
4. Räuber-Beute-Modelle
Der Standardfall hier ist, dass die eine Spezies (Rauber) die andere Spezies
(Beute) frisst, wobei die Beute eine andere Nahrungsquelle hat. Interessanterweise
kann man dieses Modell auch auf den sogenannten Schweinezyklus\ anwenden,
"
der die Abhangigkeit der Schweineproduktion vom Verkaufspreis beinhaltet. Hohe
Preise fuhren zu einer hoheren Schweineproduktion, die wiederum die Preise sinken
lasst, das lasst nun wiederum mit Verzogerung die Schweineproduktion sinken bis
ein Mangel an Schweineeisch entsteht, der wiederum zu steigenden Preisen und
als Folge davon zu einer hoheren Schweineproduktion fuhrt und dann fangt alles
wieder von vorn an.
Fur Rauber-Beute-Modelle werden fur die entsprechenden Populationen die folgenden Annahmen gemacht:
(1) Bei Abwesenheit des Raubers wachst die Population der Beute proportional
zur gegenwartigen Population; fur y = 0 gilt somit dx
= ax mit a > 0.
dt
134
8. AUTONOME SYSTEME
(2) In Abwesenheit der Beute stirbt der Rauber aus; d.h. fur x = 0 gilt dy
= −cy
dt
mit c > 0.
(3) Die Anzahl der Begegnungen zwischen Raubtier und Beutetier ist proportional zum Produkt ihrer Populationen. Jedes dieser Zusammentreen bedingt eine Wachstumszunahme des Raubers, wahrend das Wachstum der
Beute abnimmt. D.h. die Wachstumsrate des Raubers nimmt um den Term
γ x y zu, wogegen die Wachstumsrate der Beute um den Term −αß, x y abnimmt, dabei sind γ und α positive Konstanten.
Aus diesen Voraussetzungen ergibt sich das folgende System von gewohnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung:
dx
= ax − αxy = x(a − αy),
dt
dy
= −cy + γxy = y(−c + γx),
dt
dabei sind a, c, α und γ positive Konstanten; a ist die Wachstumsrate der Beute,
c die Sterberate des Raubers und α sowie γ sind Messgroen f
ur die Wechsel-
wirkung zwischen beiden Spezies. Diese Gleichungen werden auch Lotka-VolterraGleichungen genannt.
Beispiel
60. Untersuchen Sie die Gleichgewichtslagen des Systems
dx
1
1
= x 1 − y = x − xy,
dt
2
2
fur nichtnegative
3 1
3
1
dy
= y(− + x) = − y + xy
dt
4 4
4
4
x und y.
x nimmt ab,
1-0,5y<0
x nimmt ab,
1-0,5y<0
Zone IV
y nimmt ab,
-0,75+0,25x<0
Zone III
y nimmt zu,
-0,75+0,25x>0
2
y nimmt ab,
-0,75+0,25x<0
y nimmt zu,
-0,75+0,25x>0
Zone I x nimmt zu,
1-0,5y>0
x nimmt zu,
1-0,5y>0
Zone II
3
Die kritischen Punkte sind der Ursprung
(0, 0)
und
(3, 2).
Zur Untersuchung

4. RAUBER-BEUTE-MODELLE
135
der Gleichgewichtslagen benotigen wir die Jacobi-Matrix des Systems:
1 − 21 y
− 21 x
1
y
− 34 + 14 x
4
J~v =
!
.
Fur den Ursprung erhalt man
J~v ((0, 0)) =
1 − 12 y
− 12 x
1
y
− 34 + 14 x
4
!
=
x=0,y=0
1 0
0 − 43
!
.
Diese Matrix hat die Eigenwerte λ1 = 1 und λ2 = − 34 < 0, was bedeutet, dass
es sich um einen instabilen kritischen Punkt, einen Sattelpunkt handelt. Fur
den anderen kritischen Punkt (3, 2) ergibt sich
J~v ((3, 2)) =
1
y
2
1−
1
y
4
− 12 x
− 34 + 14 x
!
=
x=3,y=2
0
− 32
1
2
0
!
.
In diesem Fall ergeben sich die Eigenwerte aus
−λ − 23
1
2 −λ
3
= λ2 + = 0
4
√
zu λ1/2 = ± i 23 . Da die Eigenwerte rein komplex sind handelt es sich um ein
Zentrum (stabiler kritischer Punkt) oder einen Spiralpunkt (Strudel, instabiler
kritischer Punkt). Um zu entscheiden was wirklich vorliegt, betrachten wir die
Phasendierentialgleichung:
3
1
y
−
+
x
g(x,
y)
ẏ
4
4
⇐⇒ y 0 (x) =
y 0 (x) = =
ẋ
f (x, y)
x 1 − 12 y
− 34 + 41 x
1 − 12 y
⇐⇒
dy =
dx
y
x
mit der impliziten Losung
1
3
1
F (x, y) = ln y − y + ln x + x − C = 0.
2
4
4
Das dies geschlossene Kurven mit dem Zentrum (3, 2) sind ergibt der Plot bzw.
eine Kurvendiskussion. Wir skizzieren die Kurvendiskussion:
1. Wo ist die implizit gegebene Kurve explizit nach y auosbar? Damit F (x, y)
lokal auosbar ist, muss Fy ungleich Null sein. Es gilt
Fy =
∂F
1 1
= − =0
∂y
y 2
fur
y = 2.
Fur y > 2 bzw. y < 2 ist F (x, y) also nach y auosbar.
2. Monotonieverhalten. Durch implizites Dierenzieren bestimmt man die lokalen Extrema von y(x) :
136
8. AUTONOME SYSTEME
Fx
y (x) = −
=
Fy
0
31
− 41
4x
1
− 21
y
=0
fur
x = 3.
3. Art des lokalen Extremums. Dazu bestimmen wir die 2. Ableitung
stationären Stellen x0 :
Fxx
y (x0 ) = −
=
Fy
3 1
4 x20
00
1
y
−
an den
1.
2
Fur y > 2 liegt in x0 = 3 ein lokales/globales Maximum vor und fur y < 2 liegt
in x0 = 3 ein lokales/globales Minimum vor.
Dies wird durch den Plot der Kurven bestatigt:
5. Chaos und seltsame Attraktoren: Lorenz-Gleichungen
Im Prinzip lassen sich die dargestellten Methoden fur autonome Systeme zweiter
Ordnung auch auf Systeme hoherer Ordnung ubertragen. Dabei treten die folgenden Probleme auf:
(1) Wird die Ordnung des Systems groer so nimmt auch die Zahl der voneinander verschiedener Falle zu und die Dimension des Phasenraumes wird
ebenfalls groer.
(2) Es gibt Schwierigkeiten bei der Darstellung der Trajektorien im Phasenraum, wenn dessen Dimension groer als 2 ist.
(3) Es treten neue Phanomene auf, die bei Systemen der Ordnung 2 keinerlei
Rolle spielen. Hierzu geben wir ein Beispiel an.
5. CHAOS UND SELTSAME ATTRAKTOREN: LORENZ-GLEICHUNGEN
Beispiel
137
61. Lorenz-Attraktor. E. N. Lorenz hatte das Ziel mit Hilfe von
Computern Wettermodelle fur die Wettervorhersage zu erstellen. So modellierte er durch trail-and-error ein System von 12 Gleichungen, dass das gleiche Verhalten wie das nach ihm benannte System hat. Es stellte sich namlich
heraus, dass auch sehr kleine Abweichungen in den Ausgangsdaten groe Unterschiede in der Vorhersage erzeugen konnten. Mathematisch spricht man in
so einem Fall von einem "schlecht gestellten\ oder "inkorrekt gestellten\ Problem. Praktisch bedeutet es, dass langfristige Wettervorhersagen unmoglich
sind.
Das was man Lorenz-Gleichungen nennt ist ein System von 3 gekoppelten
nichtlinearen gewohnlichen Dierentialgleichungen:
dx
= σ(−x + y) = f (x, y, z),
dt
dy
= rx − y − xz = g(x, y, z),
dt
dz
= −bz + xy = h(x, y, z).
dt
Die 3 Parameter σ, r und b werden als reell und positiv vorausgesetzt. Wir
werden uns auf einen Spezielfall konzentrieren namlich: σ = 3, b = 1 und r =
1+a2 mit a > 0. Dies entspricht einem einfachen Modell f
ur Turbulenzen in der
Erdatmosphare, wobei x(t) die konvektive Luftbewegung, y(t) die horizontale
und z(t) die vertikale Temperaturanderung beschreibt.
Wir bestimmen zunachst die Gleichgewichtslagen. Das sind die Nullstellen
des nichtlinearen Systems. Aus der Gleichung −x + y = 0 folgt x = y. Dies
in die zweite Geleichung eingesetzt ergibt a2 y − yz = y(a2 − z) = 0 mit den
Losungen y = 0 oder z = a2 . Im ersten Fall ergibt sich fur x = y = 0 aus der
dritten Gleichung z = 0 und der kritische Punkt ist der Ursprung (0, 0, 0)T .
Im anderen Fall erhalt man fur x = y und z = a2 die Gleichung y2 − a2 = 0
und damit y1/2 = ±a mit a > 0. Die kritischen Punkte sind folglich: (a, a a2 )T
und (−a, −a, a2 )T . Die Jacobi-Matrix zum System ist


J~v (~x) = 
∂f
∂x
∂g
∂x
∂h
∂x
∂f
∂y
∂g
∂y
∂h
∂y
∂f
∂z
∂g
∂z
∂h
∂z



−3
3
0
 

 =  1 + a2 − z −1 x  .
y
x −1
Fur die kritischen Punkte ergeben sich nun die folgenden Beziehungen.

−3
3
0


J~v ((0, 0, 0)T ) =  1 + a2 − z −1 x 
y
x −1 

x=y=z=0

−3
3
0


=  1 + a2 −1 0 
0
0 −1
138
8. AUTONOME SYSTEME
mit den Eigenwerten aus
−3 − λ
3
0
2
0
1 + a −1 − λ
0
0
−1 − λ
= −λ3 − 5λ2 − λ(4 − 3a2 ) + 3a2 = 0
bzw. λ3 + 5λ2 + λ(4 − 3a2 ) − 3a2 = 0 und nach dem Hurwitz-Kriterium ist wegen
a0 = −a2 < 0 der Ursprung ein instabiler kritischer Punkt. F
ur die anderen
beiden Gleichgewichtslagen ergibt sich

−3
3
0


T
2
J~v ((0, 0, 0) ) =  1 + a − z −1 x 
y
x −1 
die Eigenwerte aus
−3 − λ
3
0
1
−1 − λ
±a
±a
±a
−1 − λ
bzw.

x=y=±a, z=a2

−3 3
0


=  1 −1 ±a 
±a ±a −1
= −λ3 − 5λ2 − (4 + a2 )λ − 6a2 = 0
λ3 + 5λ2 + (4 + a2 )λ + 6a2 = 0. Oensichtlich sind a0 = 6a2 > 0
a1 = 4 + a2 > 0. F
ur das Hurwitz-Kriterium verbleibt zu untersuchen:
a a 4 + a2 6a2 1 0 =
= 20 + 5a2 − 6a2 = 20 − a2 < 0
a3 a2 1
5 und
fur a2 > 20. Fur a2 > 20 sind folglich auch die anderen kritischen Punkte instabil. In diesem Falle besitzt das DGL-System beschrankte, nicht-geschlossene
Losungsbahnen, die die kritischen Punkte (a, a, a2 )T und (−a, −a, a2 )T "chaotisch\ umkreisen, d.h. die Losungsbahnen springen unaufhorlich und scheinbar zufallig zwischen auslaufenden Spiralbahnen um die kritischen Punkte
(a, a, a2 )T und (−a, −a, a2 )T hin und her und n
ahern sich auch keiner geschlossenen Bahn.
5. CHAOS UND SELTSAME ATTRAKTOREN: LORENZ-GLEICHUNGEN
139
Die folgenden Abbildungen nden Sie unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Lorenz-Attraktor
In diesem Bild ist das Konvektionsmodell mit den zugeordneten Punkten im
Phasenraum dargestellt.
Im 3-dimensionalen Phasenraum hat die Trajektorie die typische Schmetterlingsgestalt.