Vorbereitung

Bsp. Nr. 4: Interferometer - Kohärenz
Karl-Franzens Universität Graz
Interferometer - Kohärenz
Aufgabenstellung
1. Demonstration und Erklärung des Einflusses der Größe einer Lichtquelle auf das Interferenzmuster eines Doppelspaltes.
2. Demonstration und Erklärung des Einflusses der spektralen Breite des Lichtes einer räumlich kohärenten Lichtquelle auf das Interferenzmuster eines Doppelspaltes.
3. Bestimmung der Dicke einer Kunststoffschicht mit dem Doppelspalt-Interferenzmuster.
4. (Option) Bestimmung der Größe der Lichtquelle, bei der für Doppelspalten mit unterschiedlichem Spaltabstand das Licht noch räumlich kohärent ist.
Andreas Hohenau
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1
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Versuchsanleitung
Zu 1.Demonstration und Erklärung des Einflusses der Größe einer Lichtquelle auf
das Interferenzmuster eines Doppelspaltes.
Messen Sie die Sichtbarkeit (Kontrast) des Beugungsmusters des Doppelspaltes mit 0.3 mm
Spaltabstand als Funktion der Größe der Lichtquelle (Breite der Spaltblende) und vergleichen Sie
das Ergebnis mit der theoretischen Vorhersage.
•
Verwenden Sie monochromatisches Licht: drehen Sie am Filterrad den 632nm Bandpassfilter in den Strahlengang (Nummer 3 befindet sich dann oben) und schieben Sie den mittleren
Doppelspalt (jener mit dem Spaltabstand von 0.3 mm) in den Strahlengang.
•
Nehmen sie für unterschiedliche Größen der Lichtquelle (Breite der Spaltblende 0.1, 0.6,
0.85, 1.0 und 2.0 mm) jeweils ein Foto des Beugungsmusters auf. ACHTUNG: Achten Sie
darauf die Belichtungszeit so anzupassen, dass das Bild des Beugungsmuster nirgends sättigt. Die Intensität in jedem Pixel muss kleiner als 255 sein. Überprüfen Sie das mit dem Histogramm. EINSTELLEN DER GRÖßE DER LICHTQUELLE: Die Glühwendel einer Halogenlampe wird über die Linsen L1 und L2 (Abb. 1) auf eine Spaltblende abgebildet. Das
durch die Spaltblende durchtretende Bild der Glühwendel dient hier als Lichtquelle, deren
Größe über die Breite der Spaltblende an der µm-Schraube eingestellt werden kann. Ein
Skalenteil an der Drehtrommel entspricht 10 µm, 100 µm sind mit „10“ beschriftet. Eine
Umdrehung entspricht 0.5 mm. Ein Skalenteil am feststehenden Zylinder entspricht 0.5 mm.
•
Extrahieren Sie aus den Bildern jeweils einen Querschnitt (z.B. mit imageJ) und stellen Sie
die auf die Maximalintensität normierten Querschnitte in einem Diagramm (Intensität vs. Pixelnummer) dar. Berechnen Sie für jede Kurve den Kontrast des Beugungsmusters beim 0.
Maximum. Verwenden Sie die Intensität im nullten Maximum als Maximalintensität, die Intensität im ersten Mimum als Mininalintensität. Tragen Sie den Kontrast in einem Diagramm gegen die Spaltbreite auf. Zeichnen Sie in das gleiche Diagramm den theoretischen
Verlauf des Kontrastes aus Gl. 14 ein (die Abstände der Punkte der gerechneten Kurve sollten etwa 0.05mm sein, 2w sollte den Bereich 0 bis 2mm haben).
Zu 2. Demonstation und Erklärung des Einflusses der spektralen Breite des Lichtes
einer räumlich kohärenten Lichtquelle auf das Interfernzmuster eines Doppelspaltes.
•
Stellen Sie den Spalt so ein, dass er für den vordersten Doppelspalt (jener mit dem größten
Spaltabstand von 0.5mm) räumlich gut kohärentes Licht liefert. Nehmen Sie je ein Beugungsbild mit dem 632 nm Bandpassfilter, mit dem „Graufilter“ und ohne Filter auf. ACHTUNG: Achten Sie darauf die Belichtungszeit so anzupassen, dass das Bild des Beugungsmuster nirgends sättigt. Die Intensität in jedem Pixel muss kleiner als 255 sein. Überprüfen
Sie das mit dem Histogramm.
•
Stellen Sie die Bilder gegenüber und erklären Sie die beobachtbaren Unterschiede und die
möglichen Schlussfolgerungen.
Andreas Hohenau
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Zu 3. Bestimmung der Dicke einer Kunststoffschicht mit dem Doppelspalt-Interferenzmuster.
•
Verwenden Sie den vordersten Doppelspalt (0.5mm Spaltabstand) und drehen Sie alle Filter
aus dem Strahlengang.
•
Klappen Sie die bis zur Hälfte mit einer Polyacrylat-Schicht überzogene Probe in den Strahlengang. Beobachten Sie das Beugungsbild und verschieben Sie die Probe mit dem Verschiebeschlitten. Wenn die Probe so liegt, das die Polyacrylat-Schicht nur einen der beiden
Spalte abdeckt (wie in Abb. 1 skizziert), muss sich gemäß Gl.16 das Beugungsmuster verschieben.
•
Nehmen Sie ein Bild des verschobenen und ein Bild des nicht verschobenen Beugungsmusters auf. Stellen Sie in einem Diagramm beide Querschnitte aus den Bildern dar (Intensität
vs. Pixelnummer) und bestimmen Sie die durch die Polyacrylat-Stufe hervorgerufene Verschiebung.
•
Bestimmen sie aus dem Querschnitt des Beugungsbildes mit dem 632nm Bandpassfilter den
Proportionalitätsfaktor zwischen Pixelnummer und optischem Weglängenunterschied zwischen den beiden Teilstrahlen (wieviel nm pro Pixel?).
Rechnen Sie aus dieser Verschiebung und dem oben bestimmten Proportionalitätsfaktor die
durch die Polyacrylat-Schicht hervorgerufene optische Weglängendifferenz bzw. die Dicke
der Schicht aus. Die Brechzahl von Polyacrylat beträgt 1.492 bei 632nm.
•
Abbildung 1: Optischer Aufbau des Doppelspaltexperimentes. Linsen: L1: f1=300mm; L2:
f2=150mm; L3: f3=40mm; L4: f4=30mm. S: Einstellbare Spaltblende. Das durch die Öffnung der
Spaltblende durchtretende Bild der Lampe dient als Lichtquelle zur Beleuchtung des Doppelspaltes. DS: Doppelspalt. O: Substrat (blau) mit Polyacrylat-Schicht (rot), ein- ausschwenkbar und
verschiebbar (Pfeil). F: 632nm Bandpassfilter oder Graufilter in Filterrad oder freier Durchgang.
Unsicherheit der Linsenpositionen: 5mm
Zu 4. (Option) Bestimmung der Größe der Lichtquelle, bei denen für Doppelspalte
mit unterschiedlichem Spaltabstand das Licht noch räumlich kohärent ist.
•
Verwenden Sie monochromatisches Licht (632nm Bandpass). Bestimmen Sie für jeden der
drei Doppelspalte (Spaltabstände: 0.5, 0.3 und 0.2 mm) aus der Beobachtung des Beugungsbildes jene minimale Spaltbreite, bei der der Kontrast des Beugungsmusters das erste Minimum hat.
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•
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Tragen sie die Messpunkte in ein Diagramm der jeweiligen Spaltbreite vs. Doppelspaltabstand d ein. Ergänzen Sie das Diagramm durch die mit Gl.15 berechnete theoretische Kurve
für 2w (Die Abstände der Punkte der gerechneten Kurve sollten etwa 0.01mm sein, d sollte
den Bereich 0.1 bis 1mm haben).
Andreas Hohenau
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Kohärenz/Interferenz
Siehe Demtröder, Experimentalphysik 2, Kapitel 10.1., S307 (5. Aufl.)
Kohärente / inkohärente Überlagerung von Lichtwellen
Überlagern sich zwei Lichtwellen, so lässt sich die elektrische Feldstärke in einem beliebigen Punkt
im Raum aus der Summe der Feldstärken der beiden Lichtwellen berechnen (zur einfacheren Darstellung wird hier angenommen, dass beide Lichtwellen ebene Wellen sind, die gleiche Polarisation
haben. Auf die vektorielle Darstellung wird deshalb verzichtet. Dies ist im Allgemeinen nicht zulässig!)
[1]
E=E 1 cos (ω1 t+ϕ1 )+ E 2 cos(ω 2 t+ϕ 2)
Weiters wird hier vorausgesetzt, dass zumindest die Amplituden E j
zeitunabhängig sind.
Für Lichtwellen kann wegen der hohen Frequenz die elektrische Feldstärke nicht direkt gemessen
werden. Die Intensität als experimentell beobachtbare Größe ist in transparenten Medien zum Zeitmittelwert des Quadrates der Feldstärke porportional:
I =2 κ⟨ E 2 ⟩ t
wobei κ eine Konstante ist und ⟨... ⟩t die zeiltiche Mittelung symbolisiert.
Für die Teilwellen ergibt das jeweils (ohne Überlagerung)
1 2
2
2
2
I j=2 κ ⟨ E j cos (ω j t +ϕ j )⟩ t=2 κ ⟨ E j {1+ cos(2[ ω j t + ϕ j ])}⟩ =κ E j
2
t
[2]
Das Argument des cos ist zeitabhängig und mittelt sich über die Zeit zu 0.
Für die Überlagerung der beiden Teilwellen ergibt sich
2
[3]
I =2 κ⟨ E ⟩=
2
2
2
2
=2 κ⟨ E 1 cos (a 1)+ E 2 cos (a 2 )+ 2 E 1 E 2 cos (a 1 )cos (a 2 )⟩=
=I 1 + I 2 +2 κ E 1 E 2 ⟨cos ( Σa )+ cos(Δ a)⟩=
=I 1 + I 2 +2 √ I 1 I 2 γ 12
Dabei ist a j=ω j t+ ϕ j , Σa=a1 + a 2 , Δ a=a 2−a 1 . Der dritte Term (Interferenzterm) gibt nur dann
im Zeitmittel ein von 0 verschiedenes Ergebnis, wenn Δ a zeitunabhängig ist. γ12 nennt man
Kohärenzgrad. Für γ12=1 spricht man von kohärentem Licht, für γ12=0 von inkohärentem
Licht. Andere Fälle werden als teilkohärent bezeichnet.
Beispiele:
•
•
ω1=ω2 , ϕ1=const. , ϕ 2=const. : Dann ist Δ a zeitunabhängig und der Interferenzterm
liefert einen positiven oder negativen Beitrag zur Gesamtintensität. Es tritt also Interfernz
auf bzw. die Teilwellen überlagern sich kohärent.
ω1≠ω2 oder ϕ1 oder ϕ2 sind zeitabhängig: Dann ist Δ a zeitabhängig. Der Interferenzterm mittelt sich über die Zeit zu 0 und I =I 1 + I 2 . Es lässt sich keine Interferenz
Andreas Hohenau
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beobachten bzw. die Teilwellen überlagern sich inkohärent.
Zusammenfassend:
•
Bei kohärenter (oder teilkohärenter) Überlagerung muss der Interferenzterm berücksichtigt
werden. Die Gesamtintensität berechnet sich aus dem Quadrat der Gesamtfeldstärke.
•
Bei inkohärenter Überlagerung liefert der Interferenzterm keinen Beitrag. Die Gesamtintensität ist einfach die Summe der Einzelintensitäten.
Kohärenz
Mit der Ausnahme von Lasern sind die von Lichtquellen (Thermische Lichtquellen [Glühlampen],
Gasentladungslampen, LED's) ausgesandten „Lichtwellenzüge“ (Photonen) sowohl zeitlich als auch
räumlich unabhängig. Die Phasenlage der von einem Punkt der Lichtquelle zu unterschiedlichen
Zeiten ausgesandten Lichtwellenzüge und die Phasenlage der von unterschiedlichen Punkten der
Lichtquelle ausgesandten Lichtwellenzüge ist zufällig. Der Emmissionszeitpunkt eines Photons ist
rein statistisch und unabhängig von der Emission anderer Photonen.
Zeitliche Kohärenz: Michelson Interferometer
Die zeitlichen Kohärenz lässt sich anhand des Michelson-Interferometers veranschaulichen (siehe
Demtröder, Experiementalphysik 2, Kapitel 10.3.4. S 313, 5. Auflage bzw. S 305, 4.Auflage; im
Gegensatz zu Demtröder wird hier der Zeitmittelwert der Intensität nicht mit ̄I sondern mit I
bezeichnet).
Abbildung 2: Skizze eines Michelson-Interferometers: S1, S2: Spiegel; S2 ist verschiebbar. ST:
Strahlteiler. D: Detektor. I1: Intensität der einfallenden Welle. IT: Intensität am Detektor.
Für eine einfallende, rein monochromatische, ebene Lichtwelle ( E 1=E 1,0 cos (ω1 t −k 1 z +ϕ1) ,
Ausbreitung in Richtung +z, Intensität I 1 =κ E 21,0 und k 1=2 π/λ 1=ω 1 /c ; experimentell lässt
sich das in guter Näherung mit einem Laserstrahl realisiern) ergibt sich am Detektor die Intensität
mit
I T ,1 =0.5 I 1 [ 1+ cos( k 1 Δ s )] ,
[4]
wobei Δ s die optische Weglängendifferenz der beiden Teilstrahlen im Interferometer ist (Abbildung 6(a)).
Überlagert sich dieser Welle eine weitere mit einer anderen Frequenz, addieren sich die Intensitäten
der beiden Teilwellen am Detektor (inkohärente Überlagerung, da ja die Frequenzen unterschiedlich
sind):
I T = I T ,1 + I T ,2 =0.5 I 1 [1+cos (k 1 Δ s)]+0.5 I 2 [1+cos (k 2 Δ s)] .
Andreas Hohenau
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[5]
6
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bzw. im einfachsten Fall mit gleicher Intensität der Teilwellen
I T = I 1 [1+cos( ̄k Δ s) cos(Δ k Δ s)] ,
k =(k 1 +k 2 )/2 und Δ k =( k 2−k 1 )/2 .
wobei ̄
I 1 =I 2 erhält man
[6]
Die Summation über die beiden Cosinusfunktionen unterschiedlicher k führt, je nach Position, zur
Verstärkung oder Auslöschung des Kontrastes1. Die Überlagerung sieht aus wie das Interfernzmuster einer monochromatischen Welle, dessen Amplitude allerdings periodisch zu- und abnimmt (experimentell lässt sich dieses Verhalten am Natrium D-Linienpaar beobachten). Man findet Wegdifferenzen Δ s=m2 π/Δ k bei denen der Kontrast des Interferenzmusters gegen Null geht (Abbildung 6(b')).
Abbildung 3: (a) bis (d): Die im Text besprochenen Spektren. (a') bis (d'): Die zugehörigen
Interferenzmuster (Intensität am Detektor als Funktion der Weglängendifferenz Δs) des Michelson
Interferometers. Die summierten Interferenzmuster sind zur besseren Darstellung vertikal
verschoben.
Je mehr Teilwellen mit unterschiedlicher Freuquenz sich überlagern, desto mehr ist das Interferenzmuster um das nullte Maximum lokalisiert (z.B. 5 diskrete Linien im Spektrum, Abbildung 3(c) und
(c')). Im Vergleich zu Abb. 3(b') ist bei Abb. 3(c') der Kontrast des Interferenzmusters am Rand geringer. Nur beim nullten Maximum haben alle Interferenzmuster der Teilwellen gleichzeitig ein Maximum. Aufgrund der endlichen Anzahl an Frequenzen bleibt das Interferenzmuster aber immer
noch periodisch, es wiederholt sich bei größer werdendem Δs immer wieder.
Für eine kontinuierliche spektrale Zusammensetzung des einfallenden Lichtes ergibt sich die Intensität am Detektor als Integral über die Beiträge beider Teilstrahlen2:
I T =∫ I t (ω) d ω=∫ 0.5 I (ω)[1+cos(k ( ω) Δ s)] d ω
[7]
Ein mathematisch einfaches Beispiel eines kontinuierlichen Spektrums ist das Gauß'sche Spektrum
(Abb. 3(d)). Für
1
2
Als Kontrast oder Sichtbarkeit bezeichnet man das Verhältnis K=(Imax-Imin)/(Imax+Imin) der maximalen und minimalen
Intesität in einem Bereich des Interferenzmusters.
Das Interferenzmuster IT(Δs) des Michelson-Interferometers kann im Allgemeinen durch eine Fourier-CosinusTransformation aus dem Spektrum berechnet werden und vice versa. Dies macht man sich bei der FTIR (FourierTransformation Infrarot) Spektroskopie zu Nutze.
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ω−ω 0
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2
−[
Δω ]
I (ω)= Δ π
ω I0e
ergibt sich das Interfernzmuster am Detektor mit (Abbildung 5(d'))
√
I T / ̄I T
[
=1+cos (ω Δ s /c) e
−
0
Δ sΔω
c
2
[8]
[9]
].
Das Interferzmuster wiederholt sich jetzt nicht mehr periodisch sondern ist nur noch im Bereich des
nullten Maximums vorhanden. Der Kontrast wird mit zumehmenden Abstand immer geringer.
Als Kohärenzlänge bezeichnet man nun die größte Länge Δ s bei der noch Interferenzen erkennbar sind. Man sieht an den obigen Beispielen, dass der Kontrast nicht abrupt von 1 auf 0 geht und
für diskrete Spektren (z.B: Natrium D-Linie) sich immer wieder wiederholt. Als Kohärenzlänge definiert man jene Länge, bei der der Phasenunterschied zwischen den einzelnen Teilwellen kleiner als
2 π ist (vgl. Demtröder, Abschnitt 10.1). Bei diskreten Spektren entspricht das dem ersten Minimum des Konstrastes im Interferenzmuster. Bei kontinuierlichen Spektren ähnlich dem Gaußschen
Spektrum werden für dieses Kriterium jene Frequenzen bzw. Wellenlängen gewählt, bei denen die
Intensität im Spektrum 1/e der Maximalintensität ist. Im Interferenzmuster entspricht die so bestimmte Kohärenzlänge dann der Länge, bei der der Kontrast des Interfernzmusters auf 1/e abgesunken ist. Für das Gauß'sche Spektrum gilt in Analogie zur Unschärferelation in der Quantenmechanik:
Δ s Δ ω=c
Die Kohärenzzeit ist mit der Kohärenzlänge über die Ausbreitungsgeschwindigkeit verknüpft:
Δ τ=Δ s /c
[10]
Räumliche Kohärenz: Beugung am Doppelspalt
Zur Veranschaulichung der räumlichen Kohärenz geht man zunächst von einer monochromatischen
(zeitliche Kohärenz), aber räumlich ausgedehnten Lichtquelle aus und betrachtet die Beugung an einem Young'schen Doppelspalt (Siehe Demtröder, Kapitel 10.3.2. S 311 (5.Auflage) bzw. S 303
(4.Auflage)). Zur Vereinfachung wird im Folgenden angenommen, dass der Doppelspalt mit ebenen Wellen beleuchtet wird und das Beugungsmuster wird nur im Fraunhofer'schen Limit (sozusagen im Unendlichen) betrachtet. Experimentell lässt sich dies durch zwei Linsen vor bzw. nach dem
Doppelspalt realisieren (Abbildung 5).
Betrachten wir zunächst das Interferenzmuster des Doppelspaltes, wenn dieser von nur einem Punkt
der Lichtquelle beleuchtet wird, der auf der optischen Achse liegt. Die von dem Punkt (dem Sender)
ausgehende Kugelwelle ist per Annahme monochromatisch und somit völlig kohärent (die Amplitude und Phase der Kugelwelle ist in jedem Punkt des Raumes und zu jedem Zeitpunkt eindeutig definiert und zwischen jeden zwei beliebigen Punkten besteht eine zeitlich konstante, bekannte Phasenverschiebung). Durch L1 werden die Wellenfronten der Kugelwellen zu ebenen Wellenfronten, die
dann den Doppelspalt beleuchten. Aus der kohärenten Überlagerung der von den beiden Spalten
ausgehenden Elementarwellen ergibt sich (siehe Demtröder, Experimentalphysik 2, Kapitel 10.5.1,
10.5.2. und 10.5.3.)
sin2 [π (b/ λ)sin θ ] sin2 [2 π(d /λ)sin θ]
=
[π (b/ λ )sin θ ]2
sin2 [π (d / λ)sin θ ]
=I s sinc2 [π(b/ λ)sin θ] 4 cos2 [ π(d /λ)sin θ ]
I (sin(θ))=I s
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[11]
8
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Der erste Term3 entspricht der Beugung am Einzelspalt der Breite b, der zweite Term der Beugung
an einem Doppelspalt mit isotrop emittierenden, ideal linienförmigen Spalten mit Interferenzmaxima bei Δ s=d sin θ=m λ . Dieses Beugungsmuster wird in der Brennebene von L2 abgebildet,
wobei x= f 2 sin θ (Abbe'sche Sinusbedingung!) gilt.
Abbildung 4: (a) 0te (durchgezogene Linen) und 1te (strichlierte Linien) Beugungsordnung bei
Beleuchtung des Doppelspaltes mit einer ebenen Welle bei 0° Einfallswinkel. Das Licht geht von
einem Punkt auf der optischen Achse aus und wird mit der Linse L 1 (Brennweite f1) in eine eben
Welle transformiert. Parallele Teilstrahlen nach dem Doppelspalt werden durch die Linse L 2
(Brennweite f2) in deren Brennebene phasenrichtig zur Interferenz gebracht. Entlang x entsteht ein
Bild des Fraunhofer'schen Beugungsmusters des Doppelspaltes. (b) Beleuchtung von einem Punkt
der Lichtquelle abseits der optischen Achse. Die ebenen Wellen nach L1 haben nun einen
Einfallswinkel von sin θi =w / f 1 . Für die nullte Ordnung ( Δ s−Δ s i=0 ) müssen die türkisen
Teilstücke gleich lang sein. Die nullte Ordnugn geht sozusagen gerade durch, das Beugungsmuster
verschiebt sich entlang x.
Befindet sich der Punkt der Lichtquelle im Abstand w von der optischen Achse (Abbildung 4(b)),
so ist in Gl. 11 sin θ durch (sin θ−sin θi ) zu ersetzen, wobei sin θi =w / f 1 der Einfallswinkel
der ebenen Lichtwelle auf den Doppelspalt ist. Dementsprechend verschiebt sich das Interferenzmuster entlang x. Zur Vereinfachung sei im Folgenden sinc2 [π( b/λ )( sin θ−sin θ i)]≈1 angenommen, was für geringe Spaltbreiten beim Doppelspalt ( b≪d ) und geringem Abstand des Lichtquellenpunktes von der optischen Achse im Bereich niedriger Beugungsordnungen ( θi , θ≪1 )
gut erfüllt ist:
I ( x)=I s 4 cos 2 [ π(d /λ)( x / f 2−c / f 1)]=2 I s (1+cos [2 π( d /λ)( x / f 2−c / f 1)])
[12]
Wird der Doppelspalt gleichzeitig von zwei Punkten beleuchtet (P1 und P2 in Abb. 4), so überlagern sich die Interfernzmuster inkohärent (die Intensitäten addieren sich), da ja die von unterschiedlichen Punkten der Lichtquelle ausgesandten Wellenzügen unabhängig von einander sind und keine
zeitlich konstante Phasenlage zueinander haben. Ist der Abstand von P2 von der optischen Achse
entsprechend groß, kommt ein Minimum des Interferenzmusters von P1 über einem Maximum des
Interferenzmusters von P2 zu liegen. In Summe ist keine Interferenz mehr sichtbar (Abb. 5 (a)). Bei
geringeren Abstande zwischen P1 und P2 führt die geringere Verschiebung der Interferenzmuster
bei der Überlagerung zu einem Interferenzmuster mit verringertem Kontrast (Abb. 5 (b)).
Betrachtet man nun eine ausgedehnte Lichtquelle, z.B. von -w bis +w mit konstanter Intensität in
diesem Bereich, so ergibt die inkohärente Überlagerung der Interferenzmuster
3
sinc(x)=sin(x)/x: „Sinus cardinalis“
Andreas Hohenau
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w
I ( x)=2∫−w Ĩs (1+cos [2 π (d / λ)(x / f 2−w ' / f 1)])dw '=
{
[13]
}
d x
d w
=2 Ĩs w 1−cos (2 π λ
)sinc(2 π λ
)
f2
f1
Bei entsprechender Breite der Lichtquelle 2w gibt es für jeden Punkt der Lichtquelle einen zweiten
im Abstand w sodass sich analog zum obigen Fall mit nur zwei Punkten der Lichtquelle die Inteferenzmuster paarweise aufheben. Der Kontrast ist dann null, das Licht ist nicht mehr räumlich kohärent, obwohl das Licht per Annahme zeitlich völlig kohärent ist.
Abbildung 5(c) zeigt das unter Berücksichtigung der Beugung am Einzelspalt berechnete Beugungsmuster eines Doppelspaltes, der mit Lichquellen unterschiedlicher Breite beleuchtet wird. Mit
zunehmender Breite sinkt zunächst der Kontrast, verschwindet dann und wird schließlich wieder
stärker: Ist die Lichquelle breiter als 2w=λ f2/d findet ja keine völlige Auslöschung der Interferenzmuster zweier Lichtquellenpunkte im Abstand w mehr statt.
Abbildung 5: (a),(b) Beugungsmuster eines Doppelspaltes für Beleuchtung mit einer
punktförmigen Lichtquelle auf der optischen Achse (blaue Kurve) und abseits der optischen Achse
(grüne Kurve) sowie deren Überlagerung (rote Kurve, zur besseren Darstellung vertikal
verschoben). Bei (a) hebt sich das Inteferenzmuster in Summe völlig, bei (b) nur teilweise weg. (c)
Interfernzmuster eines Doppelspaltes unter Berücksichtigung der Beugung an den Einzelspalten
bei verschiedenen Größen der Lichtquelle: (w d ) /(λ f 2 )=0.1, 0.3, 0.5, 0.75 (von unten nach
oben, die Kurven sind zur besseren Darstellung vertikal verschoben). (d) Kontrast des
Beugungmusters in (c) im Bereich des 0ten Maximums als Funktion der Lichtquellengröße 2w.
Der Kontrast (auch Sichtbarkeit) des Beugungsmusters ergibt sich aus Gl. 13 mit
K=
I max −I min
d w
= sinc( 2 π λ
)
I max + I min
f1
Andreas Hohenau
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[14]
∣
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10
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Das erste Minimum der sinc Funktion tritt auf, wenn das Argument π ist (Abb. 5(d)). Obwohl es
auch hier wie bei der zeitlichen Kohärenz keine scharfe Grenze gibt, bezeichnet man Lichtquellen
mit Breiten 2w bezüglich des Spaltabstandes d als räumlich kohärent wenn
2π
d w
≤π bzw. 2 w/ f 1≤λ/ d
λ f1
[15]
erfüllt ist.
Im aufgebauten Experiment lässt sich die Größe der Lichtquelle einstellen, indem die Glühwendel
einer Halogenlampe ist auf eine Spaltblende mit einstellbarer Breite abgebildet wird. Das durch die
Öffnung der Blende hindurchtretende Bild der Glühwendel dient als Lichtquelle mit einstellbarer
Breite für die Beleuchtung des Doppelspaltes.
Beugung am Doppelspalt mit zusätzlicher Phasenverschiebung
Betrachtet man einen mit einer ebenen Welle beleuchteten Doppelspalt, hinter dem sich ein transparentes Objekt befindet (Abbildung 6), so ergibt sich die optische Weglängendifferenz zwischen zwei
parallelen von den beiden Spalten ausgehenden Teilstrahlen für kleine Beugungswinkel ( θ≪1 )
mit
Δ s o=Δ s +t 2 n2 −t 1 n1 =d sin θ+t 2 n 2−t 1 n 1
[16]
wobei t i die physikalische Dicke des Objektes und n i der Brechungsdinex des Objektes vor
dem einen oder anderen Spalt ist. Beugungsmaxima treten bei Δ s o=mλ auf, wobei m die Nummer der Ordnung ist. Ist t 1 n 1=t 2 n2 ändert sich nichts gegenüber dem Fall ohne Objekt. Ist
t 1 n 1≠t 2 n2 verschiebt sich jedoch das Beugungsmuster gegenüber dem Fall ohne Objekt. Die
nullte Ordnung Δ s o=0 befindet sich nun bei d sin θ=t 1 n 1−t 2 n2 .
Abbildung 6: Skizze der Beugung am Doppelspalt mit transparenten Schichten unterschiedlicher
Dicke und Brechzahl hinter den Spalten des Doppelspaltes. Die Nullte Ordnung tritt bei einem
Winkel auf, bei dem Δs der optischen Weglängendifferenz der Teilstrahlen in den Schichten
entspricht, bzw. sich die gesamte optische Weglängendifferenz zu 0 addiert.
Aus dieser Beziehung lässt sich die optische Weglängendifferenz experimentell bestimmen, indem
man die Verschiebung der Lage des 0ten Maximums mit und ohne Objekt bestimmt. Dazu verwendet
man wegen seiner kurzen Kohärenzlänge Weißlicht: Mit zunehmender Ordnung nimmt beim Beugungsmuster des Doppelspaltes ja auch die optische Weglängendifferenz zwischen den Teilstrahlen
zu. Da die Kohärenzlänge von Weißlicht aber nur sehr kurz ist, sind nur niedrige Ordnungen beobachtbar. Die 0te Ordnung ist leicht identifizierbar.
Um festzustellen welcher Winkeländerung die Verschiebung des Beugungsmusters entspricht verwendet man einigermaßen monochromatisches Licht bekannter Wellenlänge. Die Beugungsmaxima
treten ja bei d sin θ=m λ auf, die Änderung des optische Weglängenunterschiedes der TeilstrahAndreas Hohenau
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11
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len über die Distanz zwischen zwei benachbarten Maxima im Beugungmuster ist λ . Eine Verschiebung des Weißlicht-Beugungsmusters um diese Distanz würde also einer zusätzlichen optischen Weglängendifferenz von λ entsprechen, womit sich die tatsächlich gemessene Verschiebung in die vorhandene optische Weglängendifferenz umrechnen lässt.
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Kontrollfragen zur Vorbereitung
•
Was ist Interferenz?
•
Was ist Kohärenz?
•
Was ist räumliche Kohärenz: Erklärung anhand des Doppelspaltes; Einfluss der Größe der
Lichtquelle. Erklären Sie Abb. 5 dieser Unterlagen.
•
Was ist zeitliche Kohärenz: Erklärung anhand des Michelson Interferometers: Einfluss der
spektralen Breite der Lichtquelle. Erklären Sie Abb. 3 dieser Unterlagen.
•
Was ist die Koheränzlänge, wovon hängt sie ab?
•
Erklären Sie die Interferenz am Doppelspalt. Bei welchen Winkeln treten im Fraunhoferschen Fall Beugungsmaxima auf?
•
Wie viele Beugungsordnungen sind hinter einem Doppelspalt mit 100µm Spaltabstand zu
erwarten, wenn das Licht einer räumlich kohärente Lichtquelle mit etwa 500nm Wellenlänge
und 5µm Kohärenzlänge den Doppelspalt beleuchtet?
Kontrollfragen zur Versuchsdurchführung
•
Zeichnen und Erklären Sie den Strahlengang zu Abb. 1
•
Bis zu welcher Größe der Lichtquelle erwarten Sie, dass Interferenzmuster am gegebenen
Aufbau für den Doppelspalt mit 0.5mm Spaltabstand sichtbar sind (quantitativ)?
•
Wie macht sich eine endliche Kohärenzlänge des verwendeten Lichtes im Beugungsmuster
des Doppelspaltes bemerkbar?
•
Wie lässt sich mit dem Doppelspalt-Experiment die Dicke einer Schicht bestimmen?
•
Wozu ist die Spaltblende „S“ in Abblidung 1 bei diesem Experiment gut?
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13
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Hinweise zur Erstellung des Laborberichtes
1. Aufgabenstellung:
2. Voraussetzungen und Grundlagen: Kurze Beschreibung der Beugung am Doppelspalt bei
Beleuchtung mit einer monochromatischen Punktquelle; kurze Beschreibung des Effektes
ausgedehnter Lichtquellen auf die Beugungsmsuter; kurze Beschreibung des Effektes von
Lichtquellen endlicher zeitlicher Kohärenz auf das Beugungsmuster. Kurze Beschreibung
des Messprinzips zur Schichtdickenbestimmung: Wie erfolgt die Messung / Kalibrierung.
Fassen Sie sich kurz (insgesamt maximal 2 Seiten)!
3. Beschreibung der Versuchsanordnung: Maßstabgetreue Skizze des Aufbaues, ergänzt um den
Strahlengang sowie dessen Beschreibung: Wo befinden sich die Bilder der Lampe bzw. des
Spaltes, wo wird das Fraunhofer'sche Beugungsmuster abgebildet?
4. Geräteliste
5. Versuchsdurchführung/Messergebnisse: Beschreiben Sie jeweils vor den Messwerttabellen,
was Sie wie eingestellt haben und welche Parameter wie während der Messung geändert
wurden (z.B: Spaltbreite, Spaltabstand, Filter). Verweisen Sie auf die Skizzen für die Benennung und Position der verwendeten Bedienelemente.
•
Zu 1. Dokumentieren Sie ein repräsentatives Bild des Beugungsmusters und alle
Querschnitte.
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Zu 2. Dokumentieren Sie nur die Bilder der Beugungsmuster.
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Zu 3. Dokumentieren Sie nur die Querschnitte aus den Beugungsmustern.
•
Zu 4. (Option) Dokumentieren Sie für einen Doppelspalt das Bild des Beugungsmusters mit sehr kleiner Breite des Spaltes S und jenes bei dem ersten minimum des Konstrastes des Beugungsmusters.
6. Auswertung: Erstellen und Erklären Sie alle in der Versuchsanleitung beschriebenen Diagramme mit deutlicher Kennzeichnung der Messpunkte und deren Unsicherheiten; Berechnen Sie die Dicke der Polyacrylat-Schicht.
7. Diskussion: Geben Sie für jede Messgröße deren Unsicherheit quantitativ mit einer kurzen
Begründung an (z.B: Unsicherheit der Spaltbreite: 5µm....Ursache:Ableseunsicherheit der
Schraubenskala). Berechen Sie die Unsicherheit der abgeleiteten Größen (z.B. Schichtdicke).
8. Zusammenfassung
9. Literatur
Literatur
•
Experimentalphysik 2 , W. Demtröder , Springer Verlag, 4. oder 5. Auflage, Kapitel 10
•
Optik, E. Hecht, Oldenbourg, 4. Auflage, Kaptiel 12: „Grundlagen der Kohärenztheorie“
Andreas Hohenau
[email protected]
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Bsp. Nr. 4: Interferometer - Kohärenz
Karl-Franzens Universität Graz
Hinweise zur Erstellung der Querschnitte aus den Bildern der
Beugungsmuster
Die Bildquerschnitte können z.B. mit der frei verfügbaren Bildbearbeitungssoftware imageJ erstellt
werden (http://imagej.nih.gov/ij/):
1. Öffnen Sie die Bilddatei: Menü File, Open
2. Markieren Sie eine rechteckige Auswahl über das Beugungsmuster wie im Bild unten.
Achten Sie darauf, dass die Auswahl immer vom linken bis zum rechten Rand des Bildes
geht. Damit wird sichergestellt, dass die Pixelnummer zwischen den Bildern vergleichbar
ist.
3. Wählen Sie im Menü Anlayze den Punkt Plot Profile.
4. Im Fenster des Profil-Plots wählen Sie Save.... und speichern Sie das Profil als .txt Datei.
Diese Datei enthält zwei durch Tabulator getrennte Spalten die nun z.B: in Excel oder
QtiPlot importiert werden können. In der ersten Spalte befindet sich die Pixel-Nummer, in
der zweiten der Grauwert (Intensität) des Profiles.
Bsp.:
0 1.6618
1 1.5147
2 1.4853
3 1.4265
4 1.8824
5 1.8235
6 2.5000 ...
Andreas Hohenau
[email protected]
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Bsp. Nr. 4: Interferometer - Kohärenz
Karl-Franzens Universität Graz
Hinweise zur Verwendung der Kamera
Die Kamera wird mit der Software “IC Capture” gesteuert.
•
Wählen Sie als Bildformat 1280x720 (Auswahl „3“ in Abb. 7(a))
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Im Fenster Eigenschaften, das im Menu Gerät aufgerufen werden kann, werden die
Belichtungsparameter eingestellt. Wählen Sie manuell eine Verstärkung von 100 und passen
Sie die Belichtungszeit so an, dass das Bild gerade nicht sättigt. Das ist am Besten im
Histogramm (Abb. 7(b) aufzurufen mit dem Symbol „2“ in Abb. 7(a)) ersichtlich.
•
Um ein Bild aufzunehmen, klicken Sie auf das Icon mit der Diskette, (Abb. 7(a) „1“) bzw.
im Menü „Datei“ auf „Bild abspeichern“.
Abbildung 7: (a) Menü von IC-Capture. (b) Histogramm. Dargestellt ist die Anzahl der Pixel
(Ordinate) über deren Intensität (Abszisse). Intensitätsbereiche die im Bild nicht auftreten sind
gelb markiert. Die Belichtungsparameter sind dann richtig eingestellt, wenn der gelbe Bereich
gerade etwas unterhalb von 255 beginnt.
Version
Skriptum:
19.11.2014: Ergänzung der Kontrollfragen, einige kleine Korrekturen.
13.10.2014: Einige Korrekturen nach dankenswerten Kommentaren von L. Sproß.
09.09.2014: Einige Korrekturen nach dankenswerter Durchsicht von J. Reynvaan und P. Geistlinger.
21.08.2014: Einige Korrekturen und inhaltliche Verbesserungen nach dankenswerter Durchsicht von H. Ditlbacher
13.08.2014: Erste Version.
Aufbau:
Aug. 2014: Neubau unter Verwendung kommerzieller optischer und optomechanischer Komponenten. Sondergefertigte
Teile wurden unter der Leitung von Robert Holzapfel in der feinmechanischen Werkstätte des Institutes für Physik,
Karl-Franzens Universität Graz konstruiert und hergestellt. Dank für die Unterstützung!
Andreas Hohenau
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