abbildungen - von Herbert Paukert
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Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert 1 ABBILDUNGEN Schiebung, Drehung, Spiegelung, Streckung Version 2.0 © Herbert Paukert Definition der Abbildungen [ 02 ] Theorie der Abbildungen [ 07 ] Hauptachsen-Transformationen [ 16 ] Hinweis: Das vorliegende Skriptum besteht hauptsächlich aus Kopien aus dem interaktiven Lernprojekt paumath.exe, das von der Homepage des Autors www.paukert.at heruntergeladen werden kann. Deswegen sind Texte und Grafiken teilweise nicht von höchster Qualität. Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert Unter einer Abbildung versteht man die Erzeugung einer Bildfigur aus einer gegebenen Figur (Urfigur) entsprechend einer festgelegten Vorschrift. Die Zuordnung von Bildfigur zur Urfigur muss eindeutig sein. Zwei geometrische Figuren heißen ähnlich (formgleich), wenn sie in ihrer Form übereinstimmen, d.h. die entsprechenden Winkel und die entsprechenden Seitenverhältnisse sind gleich groß. Abbildungen, bei welchen die Bildfigur die gleiche Form hat wie die Urfigur, heißen Ähnlichkeitsabbildungen. Diese werden durch so genannte zentrische Streckungen realisiert. Zwei geometrische Figuren heißen kongruent (deckungsgleich), wenn sie in Form und Fläche übereinstimmen. Dann sind die entsprechenden Winkel gleich groß und die entsprechenden Strecken sind gleich lang. Abbildungen, bei welchen Bildfigur und Urfigur deckungsgleich sind, heißen Kongruenzabbildungen. Diese werden durch Schiebungen und Drehungen und Spiegelungen realisiert. Zum Beginn wollen wir uns eingehender mit Schiebungen befassen. Schiebungen werden ganz einfach durch Pfeile festgelegt. Jeder Pfeil ist durch seine Richtung und durch seine Länge gegeben. Die Menge aller gleich gerichteter und gleich langer Schiebepfeile nennt man einen Vektor. Und ein solcher Schiebepfeil heißt dann ein Vetreter des Vektors. Der Urpunkt bei einer Schiebung heißt auch Fußpunkt und der Bildpunkt heißt Kopfpunkt des entsprechenden Schiebepfeiles. Einen Vektor kann man im Koordinatensystem der Ebene durch jenen Vetreter festlegen, dessen Fußpunkt im Koordinaten-Ursprung liegt. Durch die zwei Koordinaten (x,y) des Kopfpunktes wird die Richtung und die Länge des Vektors bestimmt. Die Schiebungen und Drehungen bilden die Gruppe der Bewegungen. Schiebungen, Drehungen, Spiegelungen sind Kongruenzabbildungen. Streckungen sind Ähnlichkeitsabbildungen. 2 Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert Die Schiebung: Ein gegebener Urpunkt A wird um den Schiebepfeil V auf den Bildpunkt D verschoben. In der Zeichnung wird ein Dreieck ABC verschoben. 3 Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert Die Drehung: Ein gegebener Urpunkt A wird um den Mittelpunkt M um Winkel w auf den Bildpunkt D gedreht. In der Zeichnung wird ein Dreieck ABC gedreht. 4 Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert Die Spiegelung: Ein gegebener Punkt A wird um die Spiegelachse g geklappt, d.h. sein Bildpunkt D liegt auf der anderen Seite der Achse und ist von dieser genau so weit entfernt wie der Urpunkt A (Dg = Ag). In der Zeichnung wird ein Dreieck ABC gespiegelt. 5 Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert Die Streckung: Gegeben ist ein Streckzentrum Z und ein Streckfaktor k. Ein Punkt A und sein Bildpunkt D liegen auf einem Strahl durch das Zentrum. Die Entfernung des Bildpunktes D vom Zentrum Z beträgt das k-fache der Entfernung des Urpunktes A vom Zentrum (DZ = k * AZ). In der Zeichnung wird ein Dreieck ABC auf das Zweifache gestreckt. 6 Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert Theorie der Abbildungen 7 Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert Transformationsgleichung von Drehungen 8 Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert Beispiel einer Drehung 9 Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert Transformationsgleichung von Schiebungen und Bewegungen 10 Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert Beispiel einer Schiebung 11 Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert Transformationsgleichung von Spiegelungen 12 Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert Beispiel einer Spiegelung 13 Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert Transformationsgleichung von Streckungen 14 Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert Beispiel einer Streckung 15 Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert Hauptachsentransformation von Kegelschnitten ----------------------------------------------------------------------------------------------------(1) Bewegungen von Punkten in der Ebene. Bewegungen sind Verkettungen von Drehungen und Schiebungen. ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert 17 Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert -----------------------------------------------------------------------------------------(2) Bewegungen von Kegelschnitten aus der Hauptlage in eine allgemeine Lage in der Ebene und ihre Rückkehr von der allgemeinen Lage in die Hauptlage. ------------------------------------------------------------------------------------------ 18 Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert 19 Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert ----------------------------------------------------------------------(3) Beispiele von Hauptachsen-Transformationen ----------------------------------------------------------------------- 20 Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert 21 Ein PAUMEDIA-Projekt © Herbert Paukert 22
