die ganzen zahlen - von Herbert Paukert
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Ganze Zahlen © Herbert Paukert
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DIE GANZEN ZAHLEN
Version 2.0 © Herbert Paukert
Die
Die
Die
Die
Die
Die
ganzen Zahlen
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
Rechenregeln
[
[
[
[
[
[
02
04
09
10
16
17
]
]
]
]
]
]
Teilbarkeitsregeln
Primzahlen
Primfaktoren
Teilermengen
GGT und KGV
[
[
[
[
[
18
19
20
21
22
]
]
]
]
]
Hinweis:
Das vorliegende Skriptum besteht hauptsächlich
aus Kopien aus dem interaktiven Lernprojekt
paumath.exe, das von der Homepage des Autors
www.paukert.at heruntergeladen werden kann.
Deswegen sind Texte und Grafiken teilweise nicht
von höchster Qualität.
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Die ganzen Zahlen
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Die Addition von ganzen Zahlen
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Beispiele:
8 - 6 = 8 + (-6) = 2
8 - (-6) = 8 + 6 = 14
(-8) - 6 = (-8) + (-6) = -14
(-8) - (-6) = (-8) + 6 = - 2
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Beispiele:
8 : 2 = 4, weil 4 * 2 = 8
8 : (-2) = (-4), weil (-4) * (-2) = 8
(-8) : 2 = (-4), weil (-4) * 2 = (-8)
(-8) : (-2) = 4, weil 4 * (-2) = (-8)
Hinweis:
Als Divisionszeichen wird anstelle des Zeichens : auch oft das Zeichen /
verwendet.
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Einfache Teilbarkeitsregeln
Eine ganze Zahl y ist ein Teiler von einer ganzen Zahl x,
wenn bei der Division x : y kein Rest r bleibt.
Z.B. 4 teilt 20, weil 20 : 4 = 5 mit Rest r = 0.
Z.B. 4 teilt 23 nicht, weil 23 : 4 = 5 mit Rest r = 3.
Es sei die Zahl x = . . . 1000*T + 100*H + 10*Z + E.
Dabei sind E, Z, H, T, ... die Ziffern des 10er-Systems.
Satz A: 2 teilt eine Zahl x, wenn die Einerziffer E gerade (0,2,4,6,8) ist.
Beweis: Weil 2 auch 10, 100, 1000, ... teilt.
Satz B: 5 teilt eine Zahl x, wenn die Einerziffer E entweder 0 oder 5 ist.
Beweis: Weil 5 auch 10, 100, 1000, ... teilt.
Satz C: 3 teilt eine Zahl x, wenn 3 die Quersumme (...T+H+Z+E) teilt.
Beweis: x = ... (3*333+1)*T + (3*33+1)*H + (3*3+1)*Z + E
Umformung x = ... 3*333*T + 3*33*H + 3*3*Z + (...T+H+Z+E)
Herausheben x = ... 3*(333*T + 33*H + 3*Z) + (...T+H+Z+E)
Dividiert man x durch 3, erhält man die Quersumme (...T+H+Z+E) als Rest.
Ist also die Quersumme (...T+H+Z+E) durch 3 teilbar, dann auch die Zahl x.
Beispiele:
2 teilt 14, weil die Einerziffer E = 4 gerade ist.
2 teilt 16, weil die Einerziffer E = 6 gerade ist.
2 teilt 17 nicht, weil die Einerziffer E = 7 ungerade ist.
5 teilt 20, weil die Einerziffer E = 0 ist.
5 teilt 35, weil die Einerziffer E = 5 ist.
5 teilt 49 nicht, weil die Einerziffer nicht 0 oder 5 ist.
3 teilt 18, weil die Ziffernsumme (1+8) = 9 durch 3 teilbar ist.
3 teilt 624, weil die Ziffernsumme (6+2+4) = 12 durch 3 teilbar ist.
3 teilt 71 nicht, weil die Ziffernsumme (7+1) = 8 durch 3 nicht teilbar ist.
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Primzahlen
Primzahlen sind natürliche Zahlen, die keine echten Teiler besitzen.
Sie sind nur durch 1 und sich selbst teilbar.
"Teilen" = "Dividieren OHNE Rest".
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Beispiel:
a = 72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3
72
36
18
9
3
1
|
|
|
|
|
2
2
2
3
3
72 geteilt durch 2 ergibt 36
36 geteilt durch 2 ergibt 18
18 geteilt durch 2 ergibt 9
9 geteilt durch 3 ergibt 3
3 geteilt durch 3 ergibt 1
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Beispiel:
a = 24, Teilermenge = { 2, 2, 3, 4, 6, 8, 12 }
b = 30, Teilermenge = { 2, 3, 5, 6, 10, 15 }
GGT = 6
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Beispiel:
a = 72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3
b = 96 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3
GGT = 2 * 2 * 2 * 3 = 24
KGV = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 = 288
a * b = 72 * 96 = 6912 = 24 * 288 = GGT * KGV
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