Mathe mit dem Känguru 3, 2009-2011
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Monika Noack | Alexander Unger | Robert Geretschläger | Hansjürg Stocker Die schönsten Aufgaben von 2009 bis 2011 _ 201 1 23 7 ‰ Band 35 8 ½ 9 7 (3 × 2) ? +9 + 2 × =3 ? >20 4 20 0 9 ¾ = -8 95 7 1! 0 7 5 ¼< ½ 3 ! Inhaltsverzeichnis 1 2 3 Zahlen und Rechnen 1.1 Rechnereien zum Aufwarmen ............................ ¨ Jonglieren mit den Jahreszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bemerkenswerte Bruchrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Aufgepasst! Zum Abzahlen gehort ¨ ¨ Akkuratesse! . . . . . . . . . . 1.3 Kleine Rechengeschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben mit Datum und Uhrzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Primzahlen, Teilbarkeit und mehr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nicht ganz leicht, aber auch fur machbar . . . . . . . . ¨ Jungere ¨ Jetzt wird es komplizierter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abstrakt und zunehmend anspruchsvoll . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teilbarkeit im Text versteckt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 9 9 10 12 14 17 19 21 21 22 23 24 L 104 105 106 108 109 110 112 112 112 114 114 Gleichungen, Ungleichungen und Funktionen 2.1 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Von Hund und Katz und anderen Tieren . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschickt verteilt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bunt gemischt und ziemlich knifflig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Einige nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme . . 2.3 Anordnungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Folgen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 28 30 31 35 36 38 41 118 119 120 121 125 126 128 130 Kombinatorik – mit Zahlen und Figuren 3.1 Wie geht es weiter? – Muster und Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Kombinatorik mit Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strukturieren erleichtert das Zahlen ...................... ¨ Permutieren, Kombinieren, Variieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Kombinatorisches in der Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 43 45 45 50 54 55 133 135 135 141 145 147 8 Inhaltsverzeichnis 8 4 5 Geometrie 4.1 Bestimmung einer Lange ................................. ¨ Zahlen und Vergleichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Mit dem Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jede Aufgabe braucht eine spezielle Losungsidee ......... ¨ 4.2 Berechnung von Winkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Flacheninhalt und Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Zahlen und Vergleichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Flachenberechnung mithilfe rechtwinkliger Dreiecke . . . . . . ¨ ¨ Hier hilft der Nachweis von Ahnlichkeit oder Kongruenz . Einige Kreisaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verdeckte Flachen ....................................... ¨ Volumenbestimmung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Geometrisches Vorstellungsvermogen in Ebene und Raum ¨ Ebene Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symmetrien gesucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Korper im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 59 59 59 60 61 63 66 66 70 71 72 73 74 76 76 79 81 85 L 153 153 154 155 157 160 160 164 165 166 167 168 169 169 172 174 178 Kryptisches, Logisches, Magisches 5.1 Logisches mit und ohne Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logik fuhrt zum Rechenweg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Reihenfolgen und Buchstabenschlangen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Wahre und falsche Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wo findet sich ein Widerspruch? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Luge ¨ mit Logik zu Leibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Magische Figuren und Kryptogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zahlen und Figuren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechteck-Ausfullratsel ................................... ¨ ¨ Kryptogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Puzzelei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 87 88 91 93 93 95 96 96 98 99 101 180 181 183 185 185 186 187 187 190 191 193 !e 4 Geometrie 4.1 Bestimmung einer Länge Und nun die Geometrie! Leider ist von diesem Gebiet nur wenig in der Schulmathematik ubrig geblieben, obwohl es sich wegen der Anschaulichkeit und der ¨ Nahe Platz verdient hatte. Viele ¨ zum Praktischen durchaus einen gebuhrenden ¨ ¨ Losungsideen innerhalb wie außerhalb der Mathematik sind von geometrischen ¨ Vorstellungen und von Begriffen wie Symmetrie, Ausgewogenheit oder Harmonie gepragt, und fassbar machen lassen. ¨ Begriffen, die sich in der Geometrie begrunden ¨ Es kommt hinzu, dass die Geometrie besonders gute Moglichkeiten bietet, das ¨ Definieren und das Formulieren von Aussagen zu uben wie auch das Beweisen – ¨ Techniken und Fertigkeiten also, die ihrerseits Bedeutung weit uber das Unter¨ richtsfach Mathematik hinaus haben. Zählen und Vergleichen In den folgenden Aufgaben sind jeweils Langen zu berechnen. Die dabei zur ¨ Anwendung gelangenden Ideen kommen aus ganz unterschiedlichen Ecken der Schulgeometrie. Die einfachsten Methoden sind das Vergleichen (Messen) und Abzahlen. Ausgehend von der konkreten Gestalt eines geometrischen Objekts wird ¨ nach gleichen oder gleichartigen Teilen gesucht, die berechenbar sind. A 4.1 Von den Platten fur ¨ die Terrasse hat sich Anton zehn genommen und einen Pfad gelegt (siehe Bild). Jede Platte ist 30 cm lang und 20 cm breit. Mit Kreide hat Anton ganz sauber und gerade die Mittelpunkte der Platten verbunden. Wie lang ist diese Zickzacklinie? (A) 230 cm (B) 300 cm (C) 330 cm (D) 400 cm (E) 460 cm A-Eco (6), D/CH-3/4 (4) –09 A 4.2 Die Quadrate in der Zeichnung haben drei verschiedene Großen. Die Seite des kleinsten Quadrats ist 20 cm lang. Wie lang ¨ ist die dick gezeichnete Linie? (A) 400 cm (B) 420 cm (C) 440 cm (D) 640 cm (E) 1680 cm A-Ben (7), D/CH-5/6 (7) –09 + 60 4 A 4.3 gleich a Der Umfang der rechts abgebildeten Figur ist (A) 3a + 4b (D) 6a + 6b (B) 3a + 8b (E) 6a + 8b Geometrie b a 2b a (C) 6a + 4b b A-Kad (5), D/CH-7/8 (5) –10 A 4.4 Der rechts abgebildete Stern besteht aus 12 zueinander kongruenten gleichseitigen Dreiecken. Sein Umfang betragt ¨ 36 cm. Welchen Umfang hat das graue Sechseck? (A) 6 cm (D) 24 cm (B) 12 cm (E) 30 cm (C) 18 cm A-Kad (3), D/CH-7/8 (2) –09 E Mit dem Satz des Pythagoras A 4.5 ABCD ist ein Quadrat mit der Seitenlange 1, BCF ¨ und CED sind gleichseitige Dreiecke. Wie lang ist EF ? √ √ √ √ 3 (E) 2 (C) 5 − 1 (D) (A) 1 (B) 3 2 D C F A B A-Jun (11), D/CH-9/10 (14) –10 A 4.6 Im Winter wird bei uns oft eine quadratische 30 m×30 m große Eisflache gespritzt. Neben Schlittschuhlaufen findet dort ¨ auch Puck-Schießen statt: Von Ecke A muss uber die Bande Ecke ¨ B getroffen werden. Wie lang (in m) ist der gezeichnete PuckWeg? (Achtung: Der Puck wird mit dem Winkel reflektiert, mit dem er auf die Bande trifft.) √ (A) 35 (B) 30 13 (C) 8 √ √ √ (E) 30( 2 + 3) (D) 60 3 A B A-Stu (11), D/CH-11/13 (12) –09 Q 4.1 61 Bestimmung einer Lange ¨ A 4.7 Seitenlange des Quadrats und Radius des großen Kreises ¨ seien gleich 1. Welchen Radius hat der kleine Kreis, der den großen Kreis von außen und das Quadrat von innen beruhrt? ¨ √ √ √ √ 1 2−1 2 2 (A) (B) (C) (D) 1 − (E) 3 − 2 2 2 4 4 2 1 1 M A-Stu (8), D/CH-11/13 (17) –09 A 4.8 Ein gleichseitiges Dreieck und ein Quadrat haben denselben Umfang. Dann verhalt zur Quadratflache wie ¨ sich die Dreiecksflache ¨ ¨ √ √ √ (A) 3 : 4 (B) 1 : 2 (C) 2 : 2 (D) 2 5 : 5 (E) 4 3 : 9 D/CH-11/13 (16) –11 Jede Aufgabe braucht eine spezielle Lösungsidee A 4.9 Addiere ich die Langen von drei der vier Seiten eines Rechtecks, so kann ¨ ich als Ergebnis 20 oder 22 erhalten. Welchen Umfang hat das Rechteck? (A) 24 (B) 25 (C) 26 (D) 28 (E) 32 D/CH-11/13 (7) –11 A 4.10 Ein Geometer will sich einen Turm fur ¨ stille Sommerabende bauen. Nur seine Lieblingsfiguren soll man im Bauwerk finden – Quadrat, Rechteck und gleichseitiges Dreieck, alle mit demselben Umfang. Der Sockel ist in der Ansicht quadratisch, seine Hohe ¨ betragt ¨ 9 m. Wie hoch ist das schraffierte Turmfenster geplant? (A) 4 m (B) 5 m (C) 6 m (D) 7 m ? 9m (E) 8 m A-Ben (14), D/CH-5/6 (14) –09 A 4.11 Ein rechteckiges Mosaik mit einer Gesamtflache von 360 cm2 besteht aus ¨ quadratischen Teilen, die alle dasselbe Maß haben. Das Mosaik ist 12 cm hoch und 5 Quadrat-Teile breit. Welche Seitenlange hat ein einzelnes Quadrat-Teil? ¨ (A) 4 cm (B) 5 cm (C) 6 cm (D) 8 cm (E) 9 cm A-Jun (6), D/CH-9/10 (10) –11 Q 62 4 Geometrie A 4.12 Ich zerlege ein Quadrat in 8 Rechtecke (siehe Bild). Addiere ich die Umfange dieser 8 Rechtecke, erhalte ich 120 cm. ¨ Wie groß ist der Flacheninhalt des Quadrats? ¨ (A) 36 cm2 (B) 64 cm2 (C) 100 cm2 (D) 144 cm2 (E) 256 cm2 A-Kad (16), D/CH-7/8 (21) –11 A 4.13 Von der abgebildeten Figur (linkes Bild) werden zwei Dreiecke abgeschnitten und um die dick markierten Punkte gedreht, sodass ein Dreieck entsteht (rechtes Bild). Wie lang ist die Seite x im linken Bild? 11 13 x (A) 36 (B) 37 (C) 38 (D) 39 (E) 40 A-Kad (29), D/CH-7/8 (23) –11 A 4.14 Eine Kugel mit dem Radius 15 cm wird in ein kegelformiges Loch gekullert und passt genau so in dieses Loch, ¨ wie es im Bild zu sehen ist. Die Seitenansicht des Loches ist ein gleichseitiges Dreieck. Wie tief ist das Loch (in cm)? √ √ (A) 40 (B) 30 2 (C) 25 3 (D) 45 (E) 60 ? A-Jun (15), D/CH-9/10 (12) –11 D C A 4.15 Das Trapez ABCD ist gleichschenklig mit AD = BC, X ist der Mittelpunkt der Seite AD. Wenn AX = 1 und X BXC = 90◦ ist (Abb. nicht maßstabsgerecht ), dann ist der Umfang des Trapezes A √ √ (A) 6 (B) 4 2 (C) 3 5 (D) 7 (E) nicht berechenbar B D/CH-9/10 (25) –10 A 4.16 Die Seiten AB, BC, CD, DE, EF und F A eines 6-Ecks sind sämtlich Tangenten desselben Kreises. Wenn AB = 4, BC = 5, CD = 6, DE = 7 und EF = 8 ist, wie lang ist dann F A? (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12 (E) 13 A-Stu (18), D/CH-11/13 (20) –11 ? 4.2 63 Berechnung von Winkeln ¨ A 4.17 Uber ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlange 3 wird ¨ ein Kreis mit dem Radius 1 gelegt, wobei der Kreismittelpunkt auf den Schwerpunkt des Dreiecks zu liegen kommt. Welchen Umfang hat die neu entstandene Figur? (A) 3 + 2π (B) 6 + π (C) 9 + π 3 (D) 3π (E) 6 + 2π 3 A-Stu (16), D/CH-11/13 (15) –09 A 4.18 Im Rechteck JKLM schneidet die Winkelhalbierende von MJK die Diagonale KM im Punkt N. Die Abstande von N zu ¨ LM und KL seien 1 bzw. 8. Dann ist die Lange von LM gleich ¨ √ √ (A) 8 + 2 2 (B) 11 − 2 (C) 10 √ √ 2 (D) 8 + 3 2 (E) 11 + 2 J K N M L A-Stu (27), D/CH-11/13 (26) –09 4.2 Berechnung von Winkeln R A 4.19 Im Dreieck P QR liegt der Punkt S auf der Seite P Q, und es gilt P RS = 12◦ sowie RP = RS = SQ. Wie groß ist SRQ? (A) 36◦ (B) 42◦ (C) 54◦ (D) 60◦ (E) 84◦ 12◦ P Q S A-Kad (8), D/CH-7/8 (9) –09 B A 4.20 Es sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel bei C. M sei der Mittelpunkt der Hypotenuse AB und CAB = 60◦ . Dann ist BMC gleich M C (A) 105◦ (B) 108◦ (C) 110◦ (D) 112◦ (E) 120◦ A A-Stu (7), D/CH-11/13 (7) –10
