DER MESSPROZESS

Quantenmechanik, 2. Projekt
Prof. Lang, SoSe 08
DER MESSPROZESS
Gruppe: Einstein
Claudia Fruhmann
Raimund Klingler
Andrea Kraxner
Stefanie Peßenteiner
Clemens Wolf
QM- Projekt2: Gruppe Einstein
Einleitung:
„Wer über die Quantentheorie nicht entsetzt ist, der hat sie nicht verstanden!“
(Niels Bohr; Nobelpreis 1922)
Eines der größten Verständnisprobleme der Quantenmechanik liegt darin begründet, dass beinahe alles, was sie uns lehrt, der Wahrnehmung im alltäglichen Leben widerspricht. Was physikalische Messungen betrifft, so meint man, dass es zum Beispiel egal sein müsste ob man
zuerst die Länge eines Gegenstandes und dann sein Gewicht bestimmt, oder umgekehrt.
In der Quantenmechanik jedoch ist im Allgemeinen nicht zu erwarten, dass zum Beispiel eine
Ortsmessung eine nachfolgende Messung des Impulses unbeeinflusst lässt. Auch widerspricht es unserer alltäglichen Erfahrung dass eine bestimmte Eigenschaft eines zu messenden
Objekts erst durch eben jene Messung festgelegt wird – die Messung also bestimmt, für welchen Zustand sich ein System in gewisser Weise entscheidet. Ebenso gehen wir davon aus,
dass uns ein Messgerät genau einen Wert anzeigt und nicht zum Beispiel der Zeiger eines
Amperemeters auf mehrere Zahlen gleichzeitig weist. Die Quantenmechanik bricht mit dieser
empirischen Logik, in ihr erhält der Messprozess eine probabilitische Komponente.
Seite 2 von 15
QM- Projekt2: Gruppe Einstein
„Derjenige
Teil der Quantenmechanik, der unter den Fachphysikern und vielen
Naturphilosophen bis heute die größten Widerstände hervorruft, ist der Problemkreis der
Messung.“
(Thomas Görnitz, aus „Quanten sind anders“)
Einführendes zum Messprozess anhand des berühmten Gedankenexperimentes von
Erwin Schrödinger (erdacht 1935):
Es soll sich in einer Kiste, von der man mit keiner physikalischen Art den Inhalt analysieren
kann, eine Katze befinden. Außerdem befindet sich darin in einem geigerschen Zählrohr eine
winzige Menge radioaktiver Substanz, so wenig, dass im Lauf einer Stunde die
Wahrscheinlichkeit für einen Zerfall jeweils 50% beträgt. Geschieht ein Zerfall, so spricht
das Zählrohr an und betätigt über ein Relais ein Hämmerchen, das ein Kölbchen mit
Blausäure zertrümmert. Nach einer Stunde beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Katze lebt
50%, ebenso hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Katze tot ist.
In der Sprache der QM befindet sich das System in einer Superposition zweier Zustände.
Durch Beobachtung z.B. des Hammers mit dem der Zustand der Katze verschränkt ist, oder
durch Beobachtung der Katze selbst, wird die Superpostition zerstört.
Vorher ist die Kiste geschlossen und wir wissen nicht in welchem Zustand die Katze sich
befindet (Superposition der Zustände):
Nun wird beobachtet (Messung) und somit die Superposition zerstört → einer der beiden
Zustände (tot, lebendig) tritt ein.
entweder
oder
Seite 3 von 15
QM- Projekt2: Gruppe Einstein
2.4 Messprozess
α        
→ A        
→ a (i )
Zustand
Messung
Eigenzustand
Dirac: Der Messprozess selektiert einen Eigenzustand mit der Wahrscheinlichkeit P i :
P i = α Pa i α = α a (i ) a (i ) α = ci ⋅ ci = ci
2
… mit dem Projektionsoperator Pa i = a ( i ) a (i ) .
Wird für die durch A beschriebene Observable eine Messung durchgeführt, so bedeutet dies
einen Eingriff in das System und somit im Allgemeinen eine Zustandsänderung!
„Das Reduktionsprinzip der Quantenmechanik besagt, dass sich das System nach einer Messung eines Eigenwerts a (i ) in einem Eigenzustand befindet. Demnach muss das System dann
im Zustand Pa i sein, da die Eigenräume eindimensional sind, und der Zustand kann sich bei
nochmaliger Messung nicht mehr ändern.“ (Fischer/Kaul- Mathematik für Physiker)
2
P i = a (i) α
2
= ci
… Wahrscheinlichkeit den Zustand als a (i ) zu messen
Beispiel:
Annahme:
… der Zustand wäre schon Eigenzustand des
α = a (1)
Operators A
(
)
P a (1) = a (1) α
2
2
= a (1) a (1)
… dann wird er also mit der Wahrscheinlichkeit
=1
1 gemessen.
 1
Damit ergibt sich für den Koeffizienten: ci = 
 0
für i = 1
sonst
Beispiel:
α =
(
( )=
Pa
)
1
a (1) − a ( 2 )
2
(1)
a
(1)
(
1
a (1) − a ( 2 )
2
… Zustand als Überlagerung zweier Eigenzustände
)
2
1
=
2
2
=
1
2
Seite 4 von 15
QM- Projekt2: Gruppe Einstein
( )
Pa
( 2)
2
1
1
=
=
2
2
… die Summe der Wahrscheinlichkeiten ergibt also wie erwartet 1.
Beispiel:
(
1
+ + e iδ −
2
α =
)
…Zustand als Überlagerung zweier Eigenzustände mit
komplexer Phase
P(+ ) =
2
(
)
(
2
1
+ + + e iδ −
2
1
P ( −) =
− + + e iδ −
2
)
=
1
2
2
=
1
2
2
e iδ
1
=
=
2
2
Erwartungswert von A im Bezug auf α :
A
α
≡ α Aα
= ∑ α a (i ) a ( i ) A a ( j ) a ( j ) α = ∑ a ( i ) = a (i ) α
1
424
3
i, j
i
1424
3
( j) ( j)
2
a a
14243
Pi
a ( j ) a ( i ) a( j )
144244
3
δ ij
A
α
= ∑ a (i ) P (i )
i
Jeder Erwartungswert lässt sich als Summe über die Eigenwerte und Wahrscheinlichkeiten zu
diesen Eigenwerten darstellen! Für selbstadjungierte Operatoren (Observable ~ selbstadjungierter Operator) sind die Eigenwerte a (i ) reell. Infolge natürlich auch die Erwartungswerte!
Es zeigt sich, dass der Erwartungswert eines Operators im Eigenzustand genau sein Eigenwert
ist.
Beispiel:
Wir greifen wieder auf unseren Stern-Gerlach-Versuch zurück. Der allgemeine Zustand α
war gegeben durch:
α = + = S z ,+
Seite 5 von 15
QM- Projekt2: Gruppe Einstein
Für die Erwartungswerte von S x und S z ergibt sich infolge:
Sx
Sz
α
= +
h
( − + + + − )+ = 0
2
α
= +
h
( + + − − − )+ = h
2
2
Kompatible Operatoren
Die Operatoren A und B sind selbstadjungierte Operatoren. Wenn der Kommutator verschwindet ( [A,B] = 0 ) spricht man dann von kompatiblen Operatoren! Das bedeutet, dass
die beiden Operatoren A und B das gleiche Eigensystem besitzen.
Wenn nun A und B selbstadjungiert sind und A keine entarteten Eigenwerte besitzt, dann ist
der Operator B diagonal im Eigensystem von A und somit sind simultane (gleichzeitige)
Messungen möglich! Von kompatiblen Eigenschaften spricht man ferner, wenn eine Messung
nicht von der Reihenfolge abhängt.
a (i ) [ A, B] a ( j ) = 0
a (i ) ( AB − BA) a ( j ) = a (i ) AB a ( j ) − a ( i ) BA a ( j ) = a (i ) B † A† a ( j ) − a (i ) BA a ( j ) =
= a ( j ) BA a (i ) − a (i ) BA a ( j ) = a ( j ) Ba ( i ) a (i ) − a (i ) Ba ( j ) a ( j ) =
= ( a ( i ) )* ⋅ a ( j ) B † a ( i ) − ( a ( j ) ) ⋅ a ( i ) B a ( j ) = ( a ( i ) ) ⋅ a ( i ) B a ( j ) − ( a ( j ) ) ⋅ a ( i ) B a ( j ) =
= a (i ) B a ( j ) ⋅ (a (i ) − a ( j ) ) = 0
è wenn i ≠ j folgt
B a ( j ) ⊥ a (i )
è B B a ( j ) || a ( j )
Wenn nun der Fall auftritt, dass
a (i )
der Eigenket vom Operator A mit dem Eigenwert a (i )
a (i )
der Eigenket vom Operator B mit dem Eigenwert b (i )
Um darauf hinzuweisen welche Eigenkets zu welchen Operatoren gehören, schreibt man:
A a (i ) , b (i ) = a ( i ) a (i ) , b (i )
B a ( i ) , b (i ) = b (i ) a (i ) , b (i )
Falls die Eigenwerte entartet (Eigenwert der mehr als einmal vorkommt) sind, ist die Beweisführung schwerer aber doch machbar.
Seite 6 von 15
QM- Projekt2: Gruppe Einstein
α
à
A
à
a ( i ) , b (i )
à
B
à a ( i ) , b (i )
à
A
à a ( i ) , b (i )
Da a (i ) und b (i ) das selbe Eigensystem besitzen, ist es dadurch doch möglich eine simultane
Messung durchzuführen.
Beispiel:
Beim Stern-Gerlach-Versuch ist der Spin in z-Richtung nicht kompatibel (Kommutator verschwindet nicht) mit dem Spin in x-Richtung. Aber das Gesamtspin-Quadrat ist kompatibel
mit dem Spin in z-Richtung.
Wir rechnen nun im Eigensystem von Sz:
gegeben:
h
h 0 1

S x = σ 1 = 
2
2  1 0 
h
h 0 − i

S y = σ 2 = 
2
2  i 0 
h
h 1 0 

S z = σ 3 = 
2
2  0 − 1
r
S = (S x , S y , S z )
r
h2
2
2
2
S 2 = Sx + Sy + Sz =
4
 1 0   1 0   1 0  3h 2  1 0 
 + 
 + 
 =



4  0 1 
 0 1   0 1   0 1 
[σ i ,σ j ] = 2iε ijk σ k
[
]
h  h2
h2
h
=
=
σ
,
σ
σ
,
σ
ε ijk σ k = ihε ijk S k
 2 i 2 j  4 i j
2
[
]
h  h2
h2
h2
h
σ i ,σ j = ihε ijk σ k = ihε ijk S k
[S i , S j ] =  σ i , σ j  =
2  4
4
4
2
r
h 3h 2
[S i , S 2 ] = ⋅
2 4
  1 0 
  = 0
σ i , 
  0 1 
Seite 7 von 15
QM- Projekt2: Gruppe Einstein
Eigensystem von Sz:
1 0
  ,  
0 1
Eigenwerte von Sz:
h h
+ ,−
2 2
r
Eigenwerte von (S ) 2 :
+
3h ² 3h ²
,+
4
4
…entarteter Eigenwert
è für den Gesamtspin Operator:
r
(σ )² = σ 1 ² + σ 2 ² + σ 3 ² = 3σ 0
2
r2
3h 2  1 0 
h


S = 3 ⋅   ⋅σ 0 =
4  0 1 
2
à
Somit ergibt sich für die Spinkomponente in z-Richtung und die Gesamtspinkomponente ein
simultanes Eigensystem mit den Eigenzuständen:
h 3h 2
h 3h 2
,
,− ,
2 4
2 4
Somit ergibt sich eine Spineinstellung : ± s
und ein Gesamtspin von: s ⋅ (s + 1)
Bahndrehimpuls
Ähnlich zum obigen Beispiel verhält sich der Bahndrehimpuls. Er besitzt die Spinkomponenten Lx, Ly, Lz und L².
r
L2 : h 2 l (l + 1)
m ∈ {− l ,−l + a, K , l − 1, l }
Lz : hm
m, l , z.B.: m = (+1,0,−1),1
Das Drehimpulsquadrat ist mit den anderen Komponenten kompatibel, zwei verschiedene
Komponenten miteinander sind es allerdings nicht. Das heißt es gilt:
[L , L ] ≠ 0
[L , L ] = 0
i
j
für i ≠ j
2
i
Seite 8 von 15
QM- Projekt2: Gruppe Einstein
Beispiel:
Es werden zwei Messungen betrachtet:
a
a.)
b
A
B
C
a
b.)
c
c
A
C
Man wird sehen, dass es einen Unterschied macht, ob man die erste Variante misst oder die
zweite.
P (c1 ) = ∑ b a
ad a.)
2
⋅ cb
2
b
ad b.)
P (c 2 ) = c a
2
=
∑
=∑ c b b a a b b c
b
2
cb ba
b
= ∑ c b b a a b ' b' c
b
Man kann hier sehen, dass es nicht egal ist, ob B gemessen wird oder nicht. Die einzige Möglichkeit, dass P(c1) = P(c2) gilt ist:
[A,B] = 0
a b' = a b δ bb '
[B,C] = 0
b' c = b c δ cc '
Das heißt nur wenn B mit A und C kompatibel ist, ergibt sich für die zwei Messungen dasselbe Ergebnis. Auch gilt, dass die Eigensysteme simultan sind, wenn das der Fall ist, ist auch
die Reihenfolge der Messung egal.
Inkompatible Observable [A, B ] ≠ 0
Unter inkompatiblen Observablen versteht man zwei Observable, die kein vollständiges gemeinsames Eigensystem haben und eventuell nur auf einen Teil des Raumes oder gar nicht
miteinander kommutieren. Es heißt ebenfalls, dass sie nicht gleichzeitig messbar (nicht simultan) sind oder besser gesagt, dass die Messung der ersten Observable die Messung der zweiten Observable beeinflusst. So können zum Beispiel der Ort und der Impuls nicht voneinander
unabhängig gemessen werden ohne dass die eine Messung die andere stört.
Aus diesem Kapitel schließen wir später auf die Unschärferelation. Um dorthin zu kommen
brauchen wir allerdings noch ein paar Erklärungen aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Erwartungswert eines Operators wird berechnet durch α A α = A α = A . Will man jetzt
den Erwartungswert des Bereiches ∆A berechnen muss man diesen zuerst wie folgt definieren: ∆A = A − A und daraus folgt dann für den Erwartungswert von ∆A : ∆A = A − A = 0
Seite 9 von 15
QM- Projekt2: Gruppe Einstein
Über den quadratischen Erwartungswert ∆A
(∆A) 2 = A 2 − A
die Varianz für A:
2
2
= ( A − A ) 2 = A 2 − 2 A ⋅ A + A ergibt sich
2
r
= ∫ Ψ * (A − A ) Ψdr welche sich als Maß für die
2
Unschärfe von A definiert.
Beispiel:
α = S z ,+ = + mit dem Operator S z =
Es wird der Zustand
Zustand α mit dem Operator S x =
h
⋅( + + − − −
2
) und der
h
⋅ ( + − + − + betrachtet. Wir berechnen die Varianz
2
der beiden Operatoren.
Varianz von Sz:
2
(∆S z )
2
− Sz
2
= S x2 − S x
2
= S
2
z
h2
=
4
2
2

 

 + ( + + − − − )2 +  −  h + ( + + − − − ) +  =  h  −  h  = 0
 1444
424444
3   2 144424443 
 2  2

 

=1
=1
Varianz von Sx:
(∆S x )2
2
h
h
=  −0 = 
 2
2
2
Allgemein ergibt sich für die Observablen A und B die sogenannte Unbestimmtheitsrelation
(Unschärferelation):
(∆A)2
1
2
⋅ [A, B]
4
…Genauigkeit A zu messen.
(∆B )2
…Genauigkeit B zu messen.
(∆A)2
⋅ (∆B )
2
≥
Um die Unschärferelation herzuleiten benötigen wir 3 Grundvoraussetzungen:
1)
Schwarz’sche Ungleichung:
ab
2
≤ a a bb
Diese wiederum wird am leichtesten hergeleitet, indem man sich als Ausgangsgleichung einen allgemeinen Zustand anschaut.
a +λ⋅ b
2
(
)
= a + λ* ⋅ b ⋅ ( a + λ ⋅ b ) ≥ 0
Und schließlich für λ wählt: λ = −
ba
bb
.
Seite 10 von 15
QM- Projekt2: Gruppe Einstein
Durch ausmultiplizieren ergibt sich dann:
aa ⋅ bb − ab
2
≥0
2)
Für hermitische Operatoren gilt: A = A† . Diese haben rein reelle Eigenwerte.
3)
Für antihermitische Operatoren gilt: C = −C † . Diese haben rein imaginäre Eigenwerte.
Mit diesen 3 oben genannten Grundlagen können wir nun die Unschärferelation herleiten,
nämlich folgend:
α = ∆A o
β = ∆A o
(∆A)2
Durch einsetzen Schwarz’schen Ungleichung ergibt sich:
⋅ (∆B ) ≥ ∆A ⋅ ∆B
2
2
Da ∆A, ∆B hermitische Operatoren sind, lässt sich das Produkt der Operatoren schreiben als:
∆A ⋅ ∆B =
1
1
⋅ [∆A, ∆B] + {∆A, ∆B}
2
2
Dabei ist der Kommutator antihermitisch (rein imaginäre Eigenwerte) und der Antikommutator hermitisch (rein reelle Eigenwerte). Somit ergibt sich:
∆A ⋅ ∆B =
1
1
1
1
⋅ [∆A, ∆B ] + ⋅ {∆A, ∆B} = [A, B] + ⋅ {∆A, ∆B}
2
2
2
2
∆A, ∆B =
1
⋅
4
( [A, B]
2
+ {∆A, ∆B}
2
)≥ 14 ⋅ [A, B]
2
⇒ (∆A) ⋅ (∆B ) ≥
2
2
1
⋅ [A, B]
4
2
Beispiel:
Betrachten wir eine Messung eines reinen S z , + Zustandes bezüglich der x-Richtung und der
y-Richtung. Dabei ergibt sich:
∆S x = S x − S x = S x − 0 = S x
∆S y = S y − S y = S y − 0 = S y
(∆S x ) (∆S y )
2
2
2
= S
2
x
S
2
y
2
[
1
h h
=   ⋅  ≥ ⋅ Sx , Sy
4
 2  2
]
2
1
= ⋅ ih ⋅ S z
4
2
h2  h 
= ⋅ 
4 2
2
In diesem Fall erhalten wir tatsächlich bereits die geringst mögliche Ungenauigkeit bei der
Messung.
Seite 11 von 15
QM- Projekt2: Gruppe Einstein
Anmerkung zur Unschärfe:
Werner Heisenberg ist zügig mit seinem Auto unterwegs und wird von der Polizei angehalten,
die Ihn erbost fragt: „Wissen Sie überhaupt wie schnell sie gefahren sind?“ Darauf erwidert
Heisenberg: „Nein, aber dafür weiß ich genau wo ich mich befunden habe.“
Angewandtes Beispiel zum Messprozess:
Wir bezeichnen die Eigenzustände eines Elektrons, gemessen zum Zeitpunkt t mit dem SzOperator als S z ;+, t und S z ;−, t . Ein allgemeiner Zustand eines Elektrons zum Zeitpunkt t
kann als
a, t = c+ S z ;+, t + c− S z ;−, t
mit |c+|²+|c-|²=1 geschrieben werden.
h
präzessiert in einem Magnetfeld in z-Richtung Bz. Die Energie ist
2
proportional zur Spinkomponente sz in die z-Richtung,
Ein Elektron mit Spin
E± = mωsz
mit
ω=
| e | Bz
me c
Ein Eigenzustand des Elektrons mit Spinkomponenten parallel zum Magnetfeld hat die Zeitentwicklung
S z ;±, t = e
E± t
i h
⋅ S z ;±, t = 0
Gefragt ist:
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron bei t = 0 im Zustand S z ;− befindet, zur Zeit t als S z ;+ oder als S z ;− gemessen wird?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit ein Elektron bei t=0 im Zustand S x ;+ befindet,
zur Zeit t als S x ;+ oder als S z ;+ gemessen wird?
Definition:
...
… Anfangsbedingung
...
…Endbedingung
... ... …Wahrscheinlichkeitsamplitude Φ
2
P= Φ …Wahrscheinlichkeit
†
... ⇒ ... …Ket transponiert und komplex konjugiert ergibt den Bra
Seite 12 von 15
QM- Projekt2: Gruppe Einstein
Zu a):
Für den - Zustand:
S z ;− , t = e i
E −t
h
−i
à S z ;−, t = e
⋅ S z ;− , t = 0
E−t
h
⋅ S z ;− , t = 0
E−t
−i h
Φ − = S z ;−, t S z ;−, t = 0 = S z ;−, t = 0 e
P- = | Φ − | ² =
S z ;−, t = 0 = e
E−t
−i h
2
−i E +t
e h
=0
= t→
=1
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit den Zustand zu messen beträgt 100%!
Für den + Zustand:
S z ;+ , t = e
à
−i
E+ t
h
S z ;+ , t = e
−i
⋅ S z ; +, t = 0
E+t
h
⋅ S z ;+ , t = 0
Φ + = S z ;+, t S z ;−, t = 0 = S z ;+, t = 0 e
−i E+t
h
S z ;−, t = 0 = 0
P+ = | Φ + | ² = 0
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit den Zustand zu messen beträgt 0%!
Zu b):
Anfangszustand Sx,+; Endzustand Sx,+:
1
⋅ ( S z ;−, t = 0 + S z ;+, t = 0 )
2
E+t
1
1  −i Eh−t

S x ;+ , t =
⋅ ( S z ;− , t + S z ;+ , t ) =
⋅e
S z ;− , t = 0 + e −i h S z ;+ , t = 0  =
2
2 

S x ;+ , t = 0 =
=
ωt
i
1  −i ω2t
⋅  e
S z ;−, t = 0 + e 2 S z ;+, t = 0
2 




Seite 13 von 15
QM- Projekt2: Gruppe Einstein
ωt
 + i ωt
−i
⋅  e 2 S z ;−, t = 0 + e 2 S z ;+, t = 0

Φ + = S x ;+ , t S x ;+ , t = 0 = S x ;+ , t = 0 S x ;+ , t = 0 =
in Bra -Schreibwei se
⇒ 
  →
1
=
2
1
2
ωt
−i
 +i ω2t

⋅e
S z ;− , t = 0 + e 2 S z ; + , t = 0

−i
1  +i
=  e 2 + e 2
2
ωt
ωt
P( Φ + ) = Φ +
2

 = S x ;+ , t = 0


 1
⋅
 2 ⋅ ( S z ;− , t = 0 + S z ;+ , t = 0 ) =





−i
1  +i
=  e 2 + e 2
2
ωt
ωt
2

ωt
 = cos 2  

 2

 ωt 
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit den Zustand zu messen beträgt cos 2   !
 2 
Für Anfangszustand Sx,+; Endzustand Sz,+:
Φ + = S z ;+ , t S x ;+ , t = 0 = S z ;+ , t = 0 S x ;+ , t = 0 =
 − i ωt
=  e 2 S z ;+, t = 0

1  −i ω2t 
e 
=

2 

 1
⋅
 2 ⋅ ( S z ;− , t = 0 + S z ;+ , t = 0 ) =

2
P( Φ + ) = Φ +
2
1  −i ω2t 
1
t =0
 e  = →
=
=


2
2

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit den Zustand zu messen beträgt 50%.
Seite 14 von 15
QM- Projekt2: Gruppe Einstein
Quellen:
•
•
•
•
•
Vorlesungsmitschrift: Quantenmechanik I, Prof. Lang SoSe08
Vorlesungsmitschrift: Quantenmechanik I, Prof. Lang SoSe04 – Florian Hebenstreit
Modern Quantum Mechanics. J.J. Sakurai
Mathematik für Physiker (Band 2) Helmut Fischer, Helmut Kaul
Quantenmechanik Thorsten Fließbach
Web-Adressen:
•
•
http://www.didaktik.physik.uniessen.de/~backhaus/Quanten/RM%C3%BCller/Schr%C3%B6dingers%20Katze.pdf
(Schrödinger Katze)
http://theorie.physik.uni-wuerzburg.de/~hinrichsen/Vorlesungen/QM/qm.pdf
CD Rom:
•
Lexikon der Physik. Spektrum Akademischer Verlag
Nettes Video zum Doppelspaltexperiment:
•
http://de.youtube.com/watch?v=1pO5dZZUJVM&feature=related
Seite 15 von 15