3. Schriftliche Wiederholung aus Physik Donnerstag, 27. Februar 1997
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3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik 3 al - schön ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. 2. Montag, 3. April 2017 Gruppe A Name: a) - Berechnen Sie jenen Merkmalswert, der in einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 20 und der Standardabweichung 5 nur mehr mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % übertroffen wird. - Argumentieren Sie mathematisch, dass mit 100 %-iger Sicherheit kein Maximalwert garantiert werden kann. - Interpretieren Sie die Aussage, dass innerhalb des Intervalls [10;30] mehr als 99 % aller Merkmalswerte liegen auf ihren Wahrheitsgehalt. P(x > x0) = 1 – (x0, 20, 5) = 0,05 x = 28,22 Die Normalverteilungsdichte hat keine Nullstellen, d.h. jeder Wert von – bis + ist möglich, allerdings haben Werte, die mehr als 4 Standardabweichungen vom Mittelwert abweichen praktisch die Wahrscheinlichkeit 0 Innerhalb des Intervalls [µ – 2 ;µ + 2 ] liegen ca. 95 % aller Werte. 2 (2) – 1 = 0,9545 b) - Skizzieren Sie die Funktionsgraphen der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit µ = 6 und = 2. Achten Sie auf die korrekte Lage der Wendepunkte und des Maximums. - Schraffieren Sie in der Dichtefunktion die Fläche die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass ein Merkmalswert zwischen 5 und 8 liegt. a) Eine Schipiste zeigt folgendes Profil (Skizze, nicht maßstäblich): Nach einem mittelsteilen Abschnitt A-B folgt eine Steilstück B-C und dann ein Flachstück C-D. Die Angaben in den Klammern geben die Seehöhe der Punkte an. Die Streckenlänge A-B beträgt 500 m, der Steigungswinkel = 40° und das Gefälle von C nach D ist 20 %. - Berechnen Sie die Steigung in Prozent des Pistenabschnitts A-B. - Berechnen Sie die Länge der Strecke B-C - Erklären Sie, warum man bei kleinen Steigungswinkeln die Steigung durch Error!rechnen kann, ohne einen großen Fehler zu erhalten. sin β = Error! ⇒ β = 11,53…° tan β = kAB = 20,4 % sin α = Error! ⇒ x = Error! = 466,7 m für kleine Winkel ist w = x bzw. sin α ≈ tan α A b) Ein Schirennläufer bewegt sich in den ersten 15 Sekunden (s) nach dem Start nach der Gleichung s(t) = –0,1t3 + 3t2 für 0 ≤ t ≤ 15 t … Zeit nach dem Start in Sekunden (s) s … zurückgelegte Strecke in Metern (m) - Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit für das Zeitintervall [0; 10] - Berechnen Sie die Momentangeschwindigkeit des Schifahrers 86,4 m nach dem Start. - Berechnen Sie das Geschwindigkeitsmaximum im Definitionsintervall. vm = Error! = Error! = 20 m/s s(t) = 86,4 t = 6 s v(6) = s‘(6) = 25,2 m/s v‘ = –0,6 t + 6 = 0 t = 10 v(10) = 30 m/s 3. a) Die Angebotsfunktion eines Produktes ist pA (x) = 0,02 x2 + 0,2x + 20. Die Nachfrage ist linear mit einer Sättigungsmenge von 80 Mengeneinheiten (ME). Bei einem Preis von 15 GE/ME können 60 ME verkauft werden. - Ermitteln Sie die Gleichung der Nachfragefunktion p N(x). - Ermitteln Sie den Gleichgewichtspreis. - Ermitteln Sie den Nachfrageüberhang bei einem Preis von 30 GE/ME. pN (x) = 60 – 0,75x 60 – 0,75x = 0,02x2 + 0,2x + 20 x = 26,43 pA(26,43) = pN(26,89) = 39,8 GE/ME. Angebotsmenge 17,47 ME Nachfragemenge 40 ME Nachfrageüberhang = 22,53 4. b) Ein Produkt mit dem Barverkaufspreis von € 2.500 soll durch 36 Monatsraten verkauft werden. Berechnen Sie die Höhe dieser Raten (erstmals ein Monat nach Kauf) bei einer ganzjährigen Verzinsung von 3 %. 2.500 = R Error! R = 72,66 a) Ein Straßenzug zwischen zwei geraden Straßen verläuft gemäß folgender Skizze: - Erstellen Sie einen Polynomansatz, der den Verlauf zwischen den beiden markierten Punkten liefern könnte. - Erstellen Sie ein Gleichungssystem, mit dem man die Gleichung dieses Kurvenstückes berechnen kann. Benutzen Sie dazu die beiden markierten Punkte. f(x) = ax3 + bx2 + cx + d mit y(0) = 0 = d y‘(0) = 0 = c y(10) = 1 = 1000a + 100b + 10c + d y’(10) = –0,5 b) Eine Pflanze wächst beschränkt nach folgender Gleichung: h(t) = a + bekt. h ist dabei die Höhe in cm nach t Tagen. Sie wird nicht höher als 20 cm. Die Anfangshöhe ist 2 cm und nach 20 Tagen hat die Pflanze eine Höhe von 13,38 cm - Berechnen Sie den Wert der Parameter a und b. - Skizzieren Sie ungefähr den Verlauf der Funktion h(t) fachlich richtig. lim; h(t) = 20 = a t→∞ h(0) = 2 = a + b folg 2 = 20 + b folgt b = –18 h(20) = 13,38 = 20 – 18e20k k = – 0,05 also h(t) = 20 – 18e–0,05t 3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik 3 al - schön ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. 2. Montag, 3. April 2017 Gruppe B Name: a) - Berechnen Sie jenen Merkmalswert, der in einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 40 und der Standardabweichung 10 nur mehr mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % übertroffen wird. - Argumentieren Sie mathematisch, dass mit 100 %-iger Sicherheit kein Maximalwert garantiert werden kann. - Interpretieren Sie die Aussage, dass innerhalb des Intervalls [20;60] mehr als 99 % aller Merkmalswerte liegen auf ihren Wahrheitsgehalt. P(x > x0) = 1 – (x0, 40, 10) = 0,05 x = 56,45 Die Normalverteilungsdichte hat keine Nullstellen, d.h. jeder Wert von – bis + ist möglich, allerdings haben Werte, die mehr als 4 Standardabweichungen vom Mittelwert abweichen praktisch die Wahrscheinlichkeit 0 Innerhalb des Intervalls [µ – 2 ;µ + 2 ] liegen ca. 95 % aller Werte. 2 (2) – 1 = 0,9545 b) - Skizzieren Sie die Funktionsgraphen der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit µ = 6 und = 2. Achten Sie auf die korrekte Lage der Wendepunkte und des Maximums. - Schraffieren Sie in der Dichtefunktion die Fläche die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass ein Merkmalswert zwischen 5 und 8 liegt. a) Eine Schipiste zeigt folgendes Profil (Skizze, nicht maßstäblich): Nach einem mittelsteilen Abschnitt A-B folgt eine Steilstück B-C und dann ein Flachstück C-D. Die Angaben in den Klammern geben die Seehöhe der Punkte an. Die Streckenlänge A-B beträgt 500 m, der Steigungswinkel = 40° und das Gefälle von C nach D ist 20 %. - Berechnen Sie die Steigung in Prozent des Pistenabschnitts A-B. - Berechnen Sie die Länge der Strecke B-C - Erklären Sie, warum man bei kleinen Steigungswinkeln die Steigung durch Error!rechnen kann, ohne einen großen Fehler zu erhalten. sin β = Error! ⇒ β = 11,53…° tan β = kAB = 20,4 % sin α = Error! ⇒ x = Error! = 466,7 m für kleine Winkel ist w = x bzw. sin α ≈ tan α B b) Ein Schirennläufer bewegt sich in den ersten 15 Sekunden (s) nach dem Start nach der Gleichung s(t) = –0,1t3 + 3t2 für 0 ≤ t ≤ 15 t … Zeit nach dem Start in Sekunden (s) s … zurückgelegte Strecke in Metern (m) - Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit für das Zeitintervall [0; 5] - Berechnen Sie die Momentangeschwindigkeit des Schifahrers 41,6 m nach dem Start. - Berechnen Sie das Geschwindigkeitsmaximum im Definitionsintervall. vm = Error! = Error! = 12,5 m/s s(t) = 41,6 t = 4 s v(4) = s‘(4) = 19,2 m/s v‘ = –0,6 t + 6 = 0 t = 10 v(10) = 30 m/s 3. a) Die Angebotsfunktion eines Produktes ist pA (x) = 0,02 x2 + 0,2x + 20. Die Nachfrage ist linear mit einer Sättigungsmenge von 80 Mengeneinheiten (ME). Bei einem Preis von 15 GE/ME können 60 ME verkauft werden. - Ermitteln Sie die Gleichung der Nachfragefunktion p N(x). - Ermitteln Sie den Gleichgewichtspreis. - Ermitteln Sie den Nachfrageüberhang bei einem Preis von 30 GE/ME. pN (x) = 60 – 0,75x 60 – 0,75x = 0,02x2 + 0,2x + 20 x = 26,43 pA(26,43) = pN(26,43) = 40,18 GE/ME. Angebotsmenge 17,47 ME Nachfragemenge 40 ME Nachfrageüberhang = 22,53 4. b) Ein Produkt mit dem Barverkaufspreis von € 5.000 soll durch 36 Monatsraten verkauft werden. Berechnen Sie die Höhe dieser Raten (erstmals ein Monat nach Kauf) bei einer ganzjährigen Verzinsung von 3 %. 5.000 = R Error! R = 145,32 a) Ein Straßenzug zwischen zwei geraden Straßen verläuft gemäß folgender Skizze: - Erstellen Sie einen Polynomansatz, der den Verlauf zwischen den beiden markierten Punkten liefern könnte. - Erstellen Sie ein Gleichungssystem, mit dem man die Gleichung dieses Kurvenstückes berechnen kann. Benutzen Sie dazu die beiden markierten Punkte. f(x) = ax3 + bx2 + cx + d mit y(0) = 0 = d y‘(0) = 0 = c y(10) = 1 = 1000a + 100b + 10c + d y’(10) = –0,5 b) Eine Pflanze wächst beschränkt nach folgender Gleichung: h(t) = a + be kt. h ist dabei die Höhe in cm nach t Tagen. Sie wird nicht höher als 20 cm. Die Anfangshöhe ist 2 cm und nach 20 Tagen hat die Pflanze eine Höhe von 13,38 cm - Berechnen Sie den Wert der Parameter a und b. - Skizzieren Sie ungefähr den Verlauf der Funktion h(t) fachlich richtig. lim; h(t) = 20 = a t→∞ h(0) = 2 = a + b folg 2 = 20 + b folgt b = –18 h(20) = 13,38 = 20 – 18e20k k = – 0,05 also h(t) = 20 – 18e–0,05t 3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik 3 al - schön ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. Montag, 3. April 2017 Gruppe A Name: a) - Berechnen Sie jenen Merkmalswert, der in einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 20 und der Standardabweichung 5 nur mehr mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % übertroffen wird. - Argumentieren Sie mathematisch, dass mit 100 %-iger Sicherheit kein Maximalwert garantiert werden kann. - Interpretieren Sie die Aussage, dass innerhalb des Intervalls [10;30] mehr als 99 % aller Merkmalswerte liegen auf ihren Wahrheitsgehalt. b) - Skizzieren Sie die Funktionsgraphen der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit µ = 6 und = 2. Achten Sie auf die korrekte Lage der Wendepunkte und des Maximums. - Schraffieren Sie in der Dichtefunktion die Fläche die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass ein Merkmalswert zwischen 5 und 8 liegt. A 2. a) Eine Schipiste zeigt folgendes Profil (Skizze, nicht maßstäblich): Nach einem mittelsteilen Abschnitt A-B folgt eine Steilstück B-C und dann ein Flachstück C-D. Die Angaben in den Klammern geben die Seehöhe der Punkte an. Die Streckenlänge A-B beträgt 500 m, der Steigungswinkel = 40° und das Gefälle von C nach D ist 20 %. - Berechnen Sie die Steigung in Prozent des Pistenabschnitts A-B. - Berechnen Sie die Länge der Strecke B-C - Erklären Sie, warum man bei kleinen Steigungswinkeln die Steigung durch Error!rechnen kann, ohne einen großen Fehler zu erhalten. b) Ein Schirennläufer bewegt sich in den ersten 15 Sekunden (s) nach dem Start nach der Gleichung s(t) = –0,1t3 + 3t2 für 0 ≤ t ≤ 15 t … Zeit nach dem Start in Sekunden (s) s … zurückgelegte Strecke in Metern (m) - Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit für das Zeitintervall [0; 10] - Berechnen Sie die Momentangeschwindigkeit des Schifahrers 86,4 m nach dem Start. - Berechnen Sie das Geschwindigkeitsmaximum im Definitionsintervall. A 3. a) Die Angebotsfunktion eines Produktes ist pA (x) = 0,02 x2 + 0,2x + 20. Die Nachfrage ist linear mit einer Sättigungsmenge von 80 Mengeneinheiten (ME). Bei einem Preis von 15 GE/ME können 60 ME verkauft werden. - Ermitteln Sie die Gleichung der Nachfragefunktion pN(x). - Ermitteln Sie den Gleichgewichtspreis. - Ermitteln Sie den Nachfrageüberhang bei einem Preis von 30 GE/ME. b) Ein Produkt mit dem Barverkaufspreis von € 2.500 soll durch 36 Monatsraten verkauft werden. - Berechnen Sie die Höhe dieser Raten (erstmals ein Monat nach Kauf) bei einer ganzjährigen Verzinsung von 3 %. A 4. a) Ein Straßenzug zwischen zwei geraden Straßen verläuft gemäß folgender Skizze: - Erstellen Sie einen Polynomansatz, der den Verlauf zwischen den beiden markierten Punkten liefern könnte. - Erstellen Sie ein Gleichungssystem, mit dem man die Gleichung dieses Kurvenstückes berechnen kann. Benutzen Sie dazu die beiden markierten Punkte. b) Eine Pflanze wächst beschränkt nach folgender Gleichung: h(t) = a + be kt. h ist dabei die Höhe in cm nach t Tagen. Sie wird nicht höher als 20 cm. Die Anfangshöhe ist 2 cm und nach 20 Tagen hat die Pflanze eine Höhe von 13,38 cm - Berechnen Sie den Wert der Parameter a und b. - Skizzieren Sie ungefähr den Verlauf der Funktion h(t) fachlich richtig. 3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik 3 al - schön ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. Montag, 3. April 2017 Gruppe B Name: a) - Berechnen Sie jenen Merkmalswert, der in einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 40 und der Standardabweichung 10 nur mehr mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % übertroffen wird. - Argumentieren Sie mathematisch, dass mit 100 %-iger Sicherheit kein Maximalwert garantiert werden kann. - Interpretieren Sie die Aussage, dass innerhalb des Intervalls [20;60] mehr als 99 % aller Merkmalswerte liegen auf ihren Wahrheitsgehalt. b) - Skizzieren Sie die Funktionsgraphen der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit µ = 6 und = 2. Achten Sie auf die korrekte Lage der Wendepunkte und des Maximums. - Schraffieren Sie in der Dichtefunktion die Fläche die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass ein Merkmalswert zwischen 5 und 8 liegt. B 2. a) Eine Schipiste zeigt folgendes Profil (Skizze, nicht maßstäblich): Nach einem mittelsteilen Abschnitt A-B folgt eine Steilstück B-C und dann ein Flachstück C-D. Die Angaben in den Klammern geben die Seehöhe der Punkte an. Die Streckenlänge A-B beträgt 500 m, der Steigungswinkel = 40° und das Gefälle von C nach D ist 20 %. - Berechnen Sie die Steigung in Prozent des Pistenabschnitts A-B. - Berechnen Sie die Länge der Strecke B-C - Erklären Sie, warum man bei kleinen Steigungswinkeln die Steigung durch Error!rechnen kann, ohne einen großen Fehler zu erhalten. b) Ein Schirennläufer bewegt sich in den ersten 15 Sekunden (s) nach dem Start nach der Gleichung s(t) = –0,1t3 + 3t2 für 0 ≤ t ≤ 15 t … Zeit nach dem Start in Sekunden (s) s … zurückgelegte Strecke in Metern (m) - Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit für das Zeitintervall [0; 5] - Berechnen Sie die Momentangeschwindigkeit des Schifahrers 41,6 m nach dem Start. - Berechnen Sie das Geschwindigkeitsmaximum im Definitionsintervall. B 3. a) Die Angebotsfunktion eines Produktes ist pA (x) = 0,02 x2 + 0,2x + 20. Die Nachfrage ist linear mit einer Sättigungsmenge von 80 Mengeneinheiten (ME). Bei einem Preis von 15 GE/ME können 60 ME verkauft werden. - Ermitteln Sie die Gleichung der Nachfragefunktion p N(x). - Ermitteln Sie den Gleichgewichtspreis. - Ermitteln Sie den Nachfrageüberhang bei einem Preis von 30 GE/ME. b) Ein Produkt mit dem Barverkaufspreis von € 5.000 soll durch 36 Monatsraten verkauft werden. Berechnen Sie die Höhe dieser Raten (erstmals ein Monat nach Kauf) bei einer ganzjährigen Verzinsung von 3 %. B 4. a) Ein Straßenzug zwischen zwei geraden Straßen verläuft gemäß folgender Skizze: - Erstellen Sie einen Polynomansatz, der den Verlauf zwischen den beiden markierten Punkten liefern könnte. - Erstellen Sie ein Gleichungssystem, mit dem man die Gleichung dieses Kurvenstückes berechnen kann. Benutzen Sie dazu die beiden markierten Punkte. b) Eine Pflanze wächst beschränkt nach folgender Gleichung: h(t) = a + bekt. h ist dabei die Höhe in cm nach t Tagen. Sie wird nicht höher als 20 cm. Die Anfangshöhe ist 2 cm und nach 20 Tagen hat die Pflanze eine Höhe von 13,38 cm - Berechnen Sie den Wert der Parameter a und b. - Skizzieren Sie ungefähr den Verlauf der Funktion h(t) fachlich richtig.
