Übungsaufgaben

Stochastische Prozesse WT 2014, Übung 1 (21.1.2011)
Aufgabe 1: Eine Zufallsvariable X besitze die folgende Verteilungsfunktion:

für x < −1

0

 (x+1)
für − 1 ≤ x < 1
FX (x) = 1 4

für 1 ≤ x < 2


2
1 − 4/x3 für x ≥ 2
(a) Ist X diskret oder stetig?
(b) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion.
(c) Bestimmen Sie ggf. die Dichtefunktion bzw. die Wahrscheinlichkeitsfunktion fX .
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse?
(iii) |X| > 12
(iv) X ∈ [1, 3]
(i) X > 0
(ii) X ≤ 23
Aufgabe 2: Eine Zufallsvariable X nehme die Werte −6, −2, 0 und 3 jeweils mit der Wahrscheinlichkeit
1 1 1
1
8 , 8 , 4 und 2 an.
(a) Geben Sie die Verteilungsfunktion FX (x) an und skizzieren Sie sie.
(b) Bestimmen Sie P(X ∈ (−1, 2]), P(X > 0) und P(X ≥ 0)
Aufgabe 3: Zeigen Sie, dass folgende Funktionen stetige Verteilungsfunktionen sind. Geben Sie die
entsprechenden Dichtefunktionen fX an.
(a)
(
0
FX (x) =
1 − e−λ·x
(b)
FX (x) =


0
x−a
 b−a

(c)
1
für x < 0
,
für x ≥ 0
für x < a
für a ≤ x < b ,
für x ≥ b


0 R
x
FX (x) = C 0 uα (1 − u) du


1
Parameter λ > 0.
Parameter a, b ∈
für x < 0
für 0 ≤ x < 1 ,
für x ≥ 1
Parameter α ∈ (−1, ∞).
mit der vom Parameter α abhängigen Konstanten C = (α + 1)(α + 2).
Aufgabe 4: Gebenen Sei eine Zufallsvariable X mit Verteilungsfunktion
(
1 − x−5 für x ≥ 1,
F (x) = P(X ≤ x) =
0
für x < 1.
Bestimmen Sie E(X) und Var(X).
Aufgabe 5: Die diskrete Zufallsvariable N habe folgende Verteilung:
P(N = k) =
Berechnen Sie E(X), E(X(X − 1)) und Var(X).
1
,
e · k!
R, b > a.
k = 1, 2, 3, . . .
Stochastische Prozesse WT 2014, Übung 2 (28.1.2011)
Aufgabe 6: Eine Bäckerei macht einen täglichen Umsatz von durchschnittlich 700 Euro. Die Einkünfte sind allerdings zufällig und besitzen eine Varianz von 16 000 (statistische Schätzung). Es sei J der
Jahresumsatz (Annahme: 250 Tage mit Umsatz).
(a) Berechnen Sie den Erwartungswert von J.
(b) Bei mehr als 172 000 Euro Umsatz im Jahr will die Firma 25000 Euro investieren (z.B. in die Anschaffung neuer Geräte). Anderenfalls verzichtet die Forma auf Investitionen. Berechnen Sie in einer
Näherung die zu erwartenden Investitionen.
Aufgabe 7: Bei einem Münzwurfspiel gewinnen Sie bei jedem Wurf 2 Euro, wenn Kopf geworfen wird und
verlieren einen Euro, wenn Zahl geworfen wird. Die Teilnahme am Spiel kostet Sie 25 Euro. Verwenden
Sie den zentralen Grenzwertsatz um die Wahrscheinlichkeit abzuschätzen, dass ihr Spielkapital nach dem
36. Spiel positiv ist.
Aufgabe 8: Gegeben sei die symmetrische einfache Irrfahrt.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass S10 = 2 ist?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass S10 = 2 ist, wenn S5 = 3 ist?
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass S5 = 3 ist, wenn S10 = 2 ist?
(d) Berechnen Sie E(S32 ).
Aufgabe 9: Wir betrachten statt der symmetrischen einfachen Irrfahrt die einfache Irrfahrt, bei der
P (Xn = 1) = p ist und P (Xn = −1) = 1 − p.
(a) Bestimmen Sie, in Anlehnung an die Herleitung in der Vorlesung, die Verteilung der Irrfahrt, d.h.
die Wahrscheinlichkeiten P(Sn = k) für |k| ≤ n.
(b) Wie groß ist P(S10 = 0) für p = 23 ?
Stochastische Prozesse WT 2014, Übung 3 (3.2.2014)
Aufgabe 10: In einem stark vereinfachten Börsenmodell werde der Kurs einer Aktie am n-ten Tag durch
eine Zufallsvariable Kn beschrieben, die von Tag zu Tag um ∆K zu- oder abnimmt. Dabei schätzt der
Anleger, dass P(∆K = 1) = 0.6 und P(∆K = −1) = 0.4 gilt. Der Anfangskurs sei K0 = 20.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Kurs nach einer Woche unter den Wert 20 gesunken, so dass
bei einem Verkauf ein Verlust entstehen würde?
(b) Ein Aktionär möchte in dem Fall, dass der Wert die Marke 25 übersteigt oder unter 15 fällt, aktiv
werden und die Aktie verkaufen. Wie lange muss er im Mittel warten?
(c) Wie lange dauert es im Mittel, bis der Kurs die Marke 25 erreicht?
Aufgabe 11: Eine Pansion mit drei Gästezimmern soll renoviert werden. Dazu muss abgewartet werden,
bis alle Kunden ausgecheckt haben. Neue Kunden werden nicht aufgenommen. Ist ein Zimmer belegt, so
verlängert sich der Aufenthalt des Gastes mit der Wahrscheinlichkeit 1/3 um einen weiteren Tag.
Es sei Xn die Anzahl der belegten Zimmer am n-ten Tag.
(a) Beschreiben Sie Xn als Markov-Kette mit Übergangsmatrix.
(b) Zu beginn ist die Pension voll belegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 2 Tagen die
Pension bereits leer ist?
(c) Berechnen Sie E(X2 ) in Abhängigkeit von X0 .
Aufgabe 12: Eine Markov-Kette Xn mit Zustandsraum E = {1, 2, 3} besitze die Übergangsmatrix




0 21 12
0 1 1
1
P =  12 0 12  =  1 0 1  .
2
1
1
1 1 0
0
2
2
(a) Es sei X0 = 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Markov-Kette sich nach einem Schritt
im Zustand 3 befindet?
(b) Geben Sie die 2-,4- und 8-Schritt-Übergangsmatrizen an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
X8 = 1 ist, wenn X4 = 1 ist?
(c) Erraten Sie, aufgrund der Resultate in (b), den Grenzwert P ∞ = limn→∞ P n . Wie interpretieren
Sie das Ergebnis?
Stochastische Prozesse WT 2014, Übung 4 (10.2.2014)
Aufgabe 13: Gegeben sei eine Markov-Kette mit Zustandsraum E = {1, 2, 3, 4} und Übergangsdiagramm
(a) Bestimmen Sie die Übergangsmatrix P .
(b) Berechnen Sie
(i) P (X1 = 2|X0 = 1)
(ii) P (X2 = 2|X0 = 1)
(iii) P (X3 = 4|X0 = 3)
(iv) P (X3 = 2|X1 = 4)
(v) P (X3 = 2|X2 = 3)
(c) Bestimmen Sie die Periode der Zustände.
Aufgabe 14: Gegeben sei eine Markov-Kette mit Zustandsraum E = {1, 2, . . . , 13} und folgendem
Übergangsdiagramm (die Pfeile verbinden zwei Zuständen i und j mit pij > 0):
(a) Geben sie die kommunizierenden Klassen an. Ist die Markov-Kette irreduzibel?
(b) Welche Zustände sind rekurrent, welche sind transient?
(c) Bestimmen Sie die Perioden der Zustände. Welche Zustände sind aperiodisch, d.h. besitzen die
Periode eins?
Aufgabe 15: Gegeben sei eine Markov-Kette mit

0
P =  1/3
0
Zustandsraum E = {1, 2, 3} und Übergangsmatrix

1/2 1/2
1/3 1/3  .
2/3 1/3
(a) Zeichnen Sie ein Übergangsdiagramm.
(b) Berechnen Sie P(X2 = 2|X0 = 3), E(X2 |X0 = 1) und E(X2 |X0 ).
(c) Zu Beginn befinde sich die Markov-Kette im Zustand X0 = 1 oder X0 = 3 jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Berechnen sie den Erwartungswert von X2 .
Stochastische Prozesse WT 2014, Übung 5 (17.2.2014)
Aufgabe 16: Es sei eine Markov-Kette mit Zuständen

0.5 0
 0 0.5
P =
 0
0
0.3 0.3
E = {1, 2, 3, 4} gegeben. Die Übergangsmatrix sei

0 0.5
0.2 0.3 
.
0.5 0.5 
0.4 0
(a) Zeichnen Sie ein Übergangsdiagramm.
(b) Ist die Markov-Kette irreduzibel und aperiodisch?
(c) Bestimmen Sie die Grenzverteilung.
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit die Markov-Kette im Zustand 3 zu finden, wenn die Kette sich
im Gleichgewichtszustand befindet?
Aufgabe 17: Ein Reiseveranstalter geht davon aus, dass das Hamburger Wetter durch die vier Zustände
(N)ieselig, (R)egnerisch, (A)ufklarend und (S)onnig charakterisiert werden kann. Folgende Beobachtungen
der Übergangswahrscheinlichkeiten von Tag zu Tag wurden gemacht:
N→N 50%, N→R 30%, N→A 10%, N→S 10%
R→N 30%, R→R 50%, R→A 10%, R→S 10%
A→N 40%, A→R 40%, A→A 10%, A→S 10%
S→N 20%, S→R 60%, S→A 10%, S→S 10%
(a) Angenommen, das Wetter befinde sich in einem Gleichgewichtszustand. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es an einem beliebigen Tag nieselig ist?
(b) Der Reiseveranstalter vergibt wie folgt Punkte für die verschiedenen Wetterlagen:
Punkte
N
1
R
2
A
4
S
8
Bestimmen Sie den durchschnittlichen Score für Hamburg.
Aufg.18 y
Aufgabe 18: Gegeben seien für drei Markovketten jeweils die folgenden simulierten Pfade. Erraten Sie
die jeweiligen Übergangsmatrizen und verwenden Sie dabei nur die Wahrscheinlichkeiten 0, 1/4, 3/4 und 1.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Stochastische Prozesse WT 2014, Übung 6 (24.2.2014)
Aufgabe 19: Busse fahren zwischen 8 und 20 Uhr eine Bushaltestelle mit einer konstanten Rate von 5
Bussen pro Stunde an. Modellieren Sie die Anzahl der Ankünfte mit Hilfe eines Poisson-Prozesses (d.h.
identifizieren Sie den Parameter λ).
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Bus zwischen 14 : 20 Uhr und 14 : 40 Uhr ankommt?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreichen zwischen 9 und 10 Uhr genau 5 Busse die Haltestelle?
(c) Wann kommt im Mittel der 10. Bus an der Haltestelle an?
(d) Wie viele Busse erreichen die Haltestelle im Mittel zwischen 12 und 14 Uhr?
(e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der vierte Bus erst nach 9 Uhr die Bushaltestelle erreicht?
(f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit an der Haltestelle noch weitere 10 Minuten zu warten, wenn man
bereits 15 Minuten wartet?
Aufgabe 20: Es sei N (t) ein Poisson-Prozess mit Intensität λ.
(a) Beweisen Sie, dass E(N (t)) = λt und E(N (t)2 ) = (λt)2 +λt gilt. Verwenden Sie die Poissonverteilung.
(b) Bestimmen Sie Var(N (t)).
(c) Berechnen Sie P(N (t) = N (t + 1)).
(d) Berechnen Sie die Kovarianz E(N (t + s)N (t)) − E(N (t + s))E(N (t)).
Hinweis: es ist N (t + s)N (t) = (N (t + s) − N (t))N (t) + N (t)2 . Verwenden Sie die Eigenschaften
des Poisson-Prozesses.
Stochastische Prozesse WT 2014, Übung 7 (3.3.2014)
Aufgabe 21: Bei einer Versicherung treten Schäden der Höhe Z1 , Z2 , . . . zu zufälligen Zeitpunkten
T1 , T2 , . . . auf. In einem Modell, das der Einschätzung des finanziellen Risikos dienen soll, geht man von
einem Zusammengesetzen Poisson-Prozess N (t) mit konstanter Intensität aus. Die Schadenshöhen besitzen
eine exponentielle Verteilung mit Erwartungswert 800 Euro.
(a) Es treten pro Tag durchschnittlich 8 sogenannte „kleine Schäden” auf, die eine Schadenshöhe < 500
Euro aufweisen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in 4 Wochen weniger als 250 solcher
Schäden auftreten? Geben Sie eine Näherung an.
(b) Zeigen Sie, dass die Verteilungsfunktion der kleinen Schäden gegeben ist durch

0



für x < 0
e−x/800 − e−5/8
F (x) = 1 −

1 − e−5/8


1
für 0 ≤ x ≤ 500
für x > 500,
(c) Zeigen Sie, dass der Erwartungswert der kleinen Schäden 224.13 Euro beträgt.
Hinweis: Sie dürfen die Tatsache verwenden, dass für eine positive
R ∞ Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion
F (x) der Erwartungswert alternativ durch die Formel E(X) = 0 (1 − F (x)) dx berechnet werden kann.
(d) Wie groß ist die Summe der kleinen Schäden in einer Woche im Mittel?
(e) Wie viele Minuten dauert im Mittel die Pausenzeit zwischen zwei großen Schäden?
(f) Wie groß ist der mittlere zu erwartende Gesamtschaden (große und kleine Schäden zusammen) in
einen Zeitraum von 7 Tagen?
(g*) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der erste Schaden ein großer Schaden?
Aufgabe 22: Eine neue Maschine wird in Betrieb genommen. Die Ausfallrate nach t Jahren Betrieb
wird vom Hersteller mit
λ(t) =
1 2
t −t+3
9
angegeben.
(a) In welchem Moment ist die Ausfallrate am kleinsten?
(b) Mit wie vielen Ausfällen muss in 10 Jahren gerechnet werden?
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit im ersten Jahr weniger als drei Ausfälle zu beobachten? Wie
groß ist diese Wahrscheinlichkeit im zweiten Jahr?
(d) Für jeden Ausfall werden zufällige Kosten fállig, die 500 + K Euro betragen. Dabei sei K eine
geometrische Zufallsvariable mit p = 1/1500. Zusätzlich belaufen sich die fixen Betriebskosten auf
1000 Euro im Jahr. Berechnen Sie die zu erwartenden Gesamtkosten in den ersten 10 Jahren.
(e) Geben Sie die Verteilung der Zeit bis zum ersten Ausfall an.
Stochastische Prozesse WT 2014, Übung 8 (10.3.2014)
Aufgabe 23: Es sei B(t) eine Brownsche Bewegung.
(a) Bestimmen Sie P(B(9) ≤ 3).
(b) Berechnen Sie Var(B(t + s) − B(t)) für s ≥ 0 und für s ≤ 0.
Aufgabe 24: Der Kurs einer Aktie werde beschrieben durch einen stochastischen Prozess
C(t) = 20 + 4B(t).
Dabei ist B(t) eine Brownsche Bewegung.
(a) Bestimmen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Verteilung von C(t).
(b) Ein Käufer will die Aktie verkaufen, wenn der Wert entweder die Marke 32 übersteigt oder die Marke
12 unterschreitet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Besitzer das Papier für 32 Euro los
wird?
Aufgabe 25: Ein Aktienkurs werde durch einen stochastischen Prozess K(t) = K0 +d·t+cB(t) modelliert,
wobei B(t) eine Brownsche Bewegung sei und c, d ∈ und K0 > 0 Konstanten. Die gewählte Zeiteinheit
sei Tage.
R
(a) Bestimmen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Verteilung von K(t).
(b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nach 36 Tagen durch einen Verkauf ein Gewinn erzielt
werden kann, wenn c = 2 und d = 0.05 ist.
(c) Ein Aktionär, der die Aktie zum Wert von K0 = 10 kauft, möchte die Aktie verkaufen, sobald der
Kurs unterhalb von d · t liegt. Dabei sei c = 5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Aktionär
die Aktie innerhalb von 7 Tagen verkauft?
Stochastische Prozesse WT 2014, Übung 9 (17.3.2014)
Aufgabe 26: In einem Modell wird das Kapital einer Firma mit Hilfe einer Brownschen Bewegung mit
Drift wie folgt erklärt.
K(t) = K0 + µt + σB(t).
Dabei sei K0 = 250000, µ = 500, σ = 22000. Die zugrunde liegende Zeiteinheit sei (Börsen-)Tage.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Kapital auf 400000 ansteigt, bevor die Firma ruiniert
ist?
(b) Wie groß ist die Ruinwahrscheinlichkeit ?
Aufgabe 27: Ein Aktienkurs werde mit Hilfe einer geometrischen Brownschen Bewegung S(t) modelliert.
Dabei sei µ = 0.1, σ = 0.1 und S(0) = 400. Alle Zeitangaben beziehen sich auf Jahre.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Kurs nach einem halben Jahr unterhalb des Erwartungswertes?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite nach einem Jahr größer als 12% ausfällt? Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite im zweiten Jahr größer als 12% ist?
Aufgabe 28: Es sei S(t) die geometrische Brownsche Bewegung und 2µ = σ 2 . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite im Zeitraum [0, t] zu jedem Zeitpunkt unter dem Wert R liegt? Berechnen Sie
diese Wahrscheinlichkeit für σ = 0.1, R = 1.1 und t = 1.
Stochastische Prozesse WT 2014, Übung 10 (24.3.2014)
Aufgabe 29: Es sei S(t) eine geometrische Brownsche Bewegung, die einen Aktienkurs beschreibt. Es
sei µ = 0.1 und σ = 0.2 (Zeiteinheit: Jahre).
Es werde eine europäische Option mit einer Laufzeit von einem Jahr angeboten, deren Ausübungspreis
10% über dem aktuellen Tageskurses liegt. Der risikofreie Zinssatz betrage 5%.
Bestimmen Sie den Preis der Option, in Abhängigkeit vom aktuellen Kurs.
Aufgabe 30: Eine Versicherung modelliert ihre Reserve im Rahmen des Cramér-Lundberg-Modells mit
exponentiellen Schadenshöhen (Mittelwert 700 Euro/Tag). Es treten im Mittel 6 Schäden pro Tag auf.
(a) Wie hoch muss die Anfangsreserve sein, damit die Ruinwahrscheinlichkeit bei einer Prämienrate von
5 000 Euro pro Tag unterhalb von einem Prozent liegt?
(b) Bestimmen Sie das zu erwartende Defizit zum Zeitpunkt τ des Ruins, d.h. E(−R(τ )).
(c) Die Anfangsreserve U sei nun zufällig, mit einer exponentiellen Verteilung mit Mittelwert b = 20 000.
Wie groß ist die zu erwartende Überlebenswahrscheinlichkeit?
(d) Die Versicherung versucht die Anfangsreserve so zu bestimmen, dass einerseits die Ruinwahrscheinlichkeit klein ist, andererseits nicht zu viel Kredit aufgenommen werden muss. Dazu soll die Anfangsreserve zuzüglich eines im Ruinfall zu zahlenden Betrages von W = 100 000 Euro, also u +
100 000ψ(u), minimiert werden.
(e) Angenommen, die Anfangsreserve betrage 10 00 Euro und es gäbe eine staatliche Rettungsmaßnahme
für die Versicherung, die zum Ruinzeitpunkt die Zahlung des Defizits und eine neue Anfangsreserve
von 10 00 Euro vorsieht. Wie häufig muß so eine Rettung im Mittel in Anspruch genommen werden?
Auf welchen Wert belaufen sich bis dahin die Ausgaben zur Rettung im Mittel?