Formelsammlung zur Klausur Physik I-II

Prof. Dr. H.-Ch. Mertins, FH-Münster, Physikalische Technik
Formeln zur Physik I-II & Quantenphysik
Formelsammlung zur Klausur
Physik I-II & Quantenphysik
Prof. Dr. Hans-Christoph Mertins
Gesamter Inhalt der Bachelorstudiengänge:
Physikalische Technik: Biomedizinische Technik / Lasertechnik
Technische Orthopädie
Wirtschaftsingenieurwesen Physikalische Technik
Chemieingenieurwesen
27.1.2012
Erlaubt ist allein diese Formelsammlung, die aber individuell von jedem Studenten ergänzt
werden darf durch Text, weitere Formeln oder Umrechnungen.
Verboten ist eine Ergänzung mit Graphiken, Messkurven und Bildern.
Diese Formelsammlung enthält die für alle Studiengänge relevanten Formeln und damit
mehr als für die Studiengänge Chemieingenieurwesen, Technische Orthopädie und
Wirtschaftsingenieurwesen Physikalische Technik nötig.
Quelle: https://www.fh-muenster.de/physiklabor/vorlesung/fb11/formelsmlg_pt.php
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Formeln zur Physik I-II & Quantenphysik
Erstes Semester Mechanik & Thermodynamik
Bewegung
Verschiebung
x  x  x0
Geschwindigkeit
v  lim
Beschleunigung
a  lim
( m)
x dx

t dt
m
 
s
v dv

t  0 t
dt
m
 2
s 
t 0
Für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen gilt:
Geschwindigkeit zur Zeit t
v(t) = v0 + at
v0: Anfangsgeschw. zur Zeit t = 0
Verschiebung nach Zeit t
x  x0  v0 t 
Daraus folgt
v2 = v02 +2a(x –x0)
1 2
at ,
2
x0: Anfangsort zur Zeit t = 0
x – x0 = ½(v0 + v)t
x – x0 = vt - ½ at2
Bewegung im 3-dim. Raum
Ortsvektor:
r(t) = rx(t) ex + ry(t) ey + rz(t) ez
Basis:
ex , ey , ez

 dr
v
dt

 dv
a
dt
Geschwindigkeit:
Beschleunigung:
rechtshändiges Koordinatensystem
komponentenweise berechnen
Vektoren:
.
.
Skalarprodukt
a b = a bcos 
Beträge
IaI = (ax2 + ay2 + az2)½
Winkel
 = arccos[(axbx + ayby + azbz)/ab]
Kreuzprodukt
c = a x b
Es gilt
Projektion von a auf b
c = ab sin  ,  kleinerer Winkel, c senkrecht auf a und b
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Kräfte
Kraft
F = m a
(zweites newtonsches Gesetz)
F = Fx ex + Fy ey + Fz ez ,
Fx = max , Fy = may , Fz = maz
Im Koordinatensystem mit Basis ex , ey , ez
Reibungskraft:
fmax =  N ,
N: Normalkraft
S: Haftreibungskoeffizient, k: Gleitreibungskoeffizient,
Zentripetalkraft
F = mv2/r
Zentripetalbeschleunigung
a = v2/r
Federkraft
F = -k d
(je nur die Beträge)
.
(Hook`sches Gesetz)
k = Federkonstante
Gravitationskraft
F G
m1m2
r2
zwischen Massen m1, m2 im Abstand r
G = 6,67 x 10-11 Nm2/kg2
Gravitation in Erdnähe
F = mg
g = 9,81 m/s2
Energie & Arbeit
Kinetische Energie
EKin = ½ mv2
Arbeit
W = F d
Leistung
P = dW/dt
Potenzielle Energie
P = F v
Epot(y) = mg y
.
.
(Gravitation)
2
Pot. Federenergie
Epot = ½ kx
(x = Dehnung der Feder)
Energieerhaltung
Emech = Ekin + Epot = konstant
Kraft & pot. Energie
F(x) = – d Epot /dx
(Minuszeichen beachten)
Impuls
Gesamtimpuls
p = m v


P   pj
Kraft
F = dp/dt
Impulserhaltung
Pi = Pf = konstant
Impuls
(Zweites Newton`sches Axiom)
3
i: Anfang, f: Endzustand
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Rotation
Winkel
 = s/r
Geschwindigkeit
 = d /dt
Beschleunigung
 = d2 /dt2
s: Bogensegment, für kleine Winkel
Vektorielle Darstellung:
Ort
dr = d  r
Geschw
v =   r
Beschl.
a =  r + 2r
Trägheitsmoment:
I =  miri2
Satz v. Steiner
I = IS + Mh2
(für kleine Winkel d)
(Halliday, Resnick, Walker „Physik“ Viley VCH)
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Rotationsenergie
Ekin = ½ I 2
Drehmoment
T = r  F
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= rF sin
T = Iα
Drehimpuls
l = (r  p)
= rp sin
Drehmoment & Impuls
Tges = dlges / dt
Drehimpuls starrer Körper
L=I
Drehimpulserhaltung
Li = Lf = konstant
Arbeit
W =  T d
Leistung (T konst.)
P = T 
.
.
Fluide:
Dichte
 = m/V
Druck
pF A
Hydrostat. Druck
p = p0 + gh in Tiefe h, p0: Luftdruck auf Flüssigkeitsoberfläche
Archimed. Prinzip
Skalar ohne Richtungsabhängigkeit
mFg = FA (Auftriebskraft)
m Körper
m Fluid

 Körper V
 Fluid  V
Kontinuitätsgleichung
A1 v1 = A2 v2
Bernoulligleichung
p 

 Körper
 Fluid
1
1
 v 2   g y  p0  kons tan t
2
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Thermodynamik
Temperatur: T3 = 273,16 K = 0oC
(Tripelpunkt von Wasser)
1Kelvin = 1 / 273,16-te Teil der Differenz Tripelpunkt - Nullpunkt
Längenausdehnung:
L = L T
Volumenänderung
V = V3 T
Wärme
dQ
(ausgetauschte Energie)
Spezifische Wärme c:
dQ = cm dT
c für eine Materialsorte
Wärmekapazität
C = cm
für einen bestimmten Körper der Masse m
Molare Wärmekapazität
dQ = nCp,V dT
Ideales Gasgesetz:
CV = ½ f R
bei konstantem Volumen für n = 1 Mol
Cp = ( ½ f +1)R
bei konstantem Druck für n = 1 Mol
pV = nRT = NkT
n: Molzahl, N: Teilchenzahl
23
Avogadrozahl
NA = 6,02 x 10
Bolzmannkonstante
k = 1,38 x 10-23 J/K
Gaskonstante
R = k NA = 8,31 J/(mol K)
Innere Energie
Eint 
f
kT ,
2
f = Freiheitsgrad
Vf
Druckarbeit des Gases:
W
 pdV
Vi
1. Hauptsatz
dEint = dQ – dW
Adiabate:
pV  = konstant, TV -1 = konstant,
Schmelzwärme
WS = mS
Verdampfungswärme
WD = mD
Carnot-Prozess:
= W/Q = Arbeit / zugeführte Wärme = Wirkungsgrad
Entropie
dS  dQ T
Zweiter Hauptsatz:
dS > 0
 = Cp / CV
Die Entropie im abgeschlossenen System nimmt
für irreversible Prozesse zu und bleibt für reversible Prozesse konstant.
Wärmestrom
PL = Q/t =  (Th – Tk)A/L
vom heißen in den kalten Bereich durch
einen Leiter der Länge L mit Querschnitt A
 = Wärmeleitfähigkeit [] = W /(m. K)
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Zweites Semester Schwingung & Wellen / Elektrodynamik / Optik
Ungedämpfte harmonische Schwingung
m
2x
 kx  0
t 2
Differenzialgleichung (DGl) mit k: Federkonstante, m: Masse
x(t) = x0 cos(t + ) Lösung der Dgl., Bewegungsform
x(t):
Auslenkung, Ort
ändert sich
t:
Zeit
läuft als Variable
t + :
Phase, : Phasenkonstante
x0
Amplitude, maximale Auslenkung
= 2f
Kreisfrequenz , f : Frequenz
T = 2
Periodendauer, beachte in rad
Allgemein gilt für die harmonische Schwingung:
a(t) = - 2 x(t)
Beschleunigung a(t) ist proportional zur Auslenkung x(t)
Eigenfrequenz
 = (k/m)½
Gesamtenergie
E = ½ k x02
(Federsystem)
Einfaches Pendel
 = (g/L)½
g: Gravitationskonstante, L: Pendellänge
Torsionspendel
 = (/I)½
I: Trägheitsmoment, : Torsionskonstante
Gedämpfte Schwingung
Kräfte ma = -kx – bv
Dgl.
(d2x/dt2) + 2(dx/dt) + (k/m) x = 0
Lsg:
x(t) = x0 . exp{-t}. cos(t + )
mit b: Reibungskonstante
 = (k/m – 2 )½
 = b/2m
1) Schwingfall: 4km > b2 =>  > 0
2) aperiodischer Grenzfall: 4km = b2 =>  = 0
3) Kriechfall: 4km < b2 =>  imaginär
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Erzwungene Schwingung
Dem schwingenden Systeme mit seiner Eigenfrequenz wird durch eine periodisch veränderliche extern Kraft Fa mit Kreisfrequenz a eine cosinusförmige Schwingung aufgezwungen:
m(d2x/dt2) + b(dx/dt) + kx
Kräfte
Kraft für Beschleunigung
Reibungskraft
= Facos(a t)
Rückstellkraft
äußere
Kraft
(d2x/dt2) + 2(dx/dt) + (k/m) x = Fa/m cos(a t)
Dgl.
Nach einer ausreichend langen Einschwingzeit ergibt sich die Lösung:
x(t) = x0 cos(at + )
Ortes des Teilchens für t >> 1/
x0 = Fa/[m2(02 - a2)2 + b2a2]½
Amplitude
0 = (k/m)½
Eigenfrequenz ohne Dämpfung (b = 0)
r = (02 - 2)½
Eigenfrequenz mit Dämpfung
 = arctan{2a /(02 - a2)}
Phasenverschiebung zwischen System und
äußere Kraft
Welle
räumlich und zeitlich periodischer Vorgang
Auslenkung
y(x, t) = y0 sin(kx - ωt)
Amplitude
y0
Phase
kx – ωt Argument der Sinusfunkt.
Wellenlänge λ
gilt
max. Auslenkung aus Gleichgewicht
räumlicher Abstand zwischen zwei Wiederholungen der Wellenformen
y(x, 0) = y(x + λ)
Wellenzahl
k = 2π/λ
Periode
T
Kreisfrequ.
ω = 2π/T
[k] = rad/m
zeitlicher Abstand zwischen zwei Wiederholungen der Wellenfront
[ω] = 1/s
Phasengeschwindigkeit:
c = dx/dt = ω/k = f
Geschw. eines Wellenpunktes
u = y/t
Gemittelte Leistung P (Energie-Transportrate) der Welle
P = ½ c2y02
 = M/L Massendichte des Seils, c: Phasengeschwindigkeit
P ~ y02
y0 = Amplitude ,
: Kreisfrequenz
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Interferenz
zwei identische Wellen y1(x, t) = y2(x, t) laufen in gleiche Richtung, aber mit unterschiedlicher Phasenkonstante .
y1(x, t) = y0 sin (kx - ωt), y2(x, t) = y0 sin (kx – ωt+ )
Interferenz:
y1(x, t) + y2(x, t) = y(x, t) = [2 y0 cos ½] * sin (kx – ωt + ½)
Auslenkung
=
Amplitude
*
Konstruktive Interferenz
Schwingungsterm
y0
 = 0, beide Wellen in Phase
=>
x
y(x, t) = 2 y0 * sin (kx – ωt), doppelte Amplitude
y2(x, t)
Destruktive Interferenz
y0
y1(x, t)
 = 180 beide Wellen außer Phase
=>
y(x, t) = 0 da cos 180 = 0
Amplitude ist immer & überall Null
Gangunterschied  ist die Phasendifferenz  zwei gleicher Wellen, gemessen in der Wellenlänge . Die Welle wiederholt sich exakt bei  = n2 bzw.  = n, n =  1,  2,  3,.....
Stehende Welle
Zwei identische, in entgegen gesetzte Richtung laufende Wellen (Vorzeichen von ω)
y1(x, t) = y0 sin (kx - ωt), y2(x, t) = y0 sin (kx + ωt) überlagern sich zu
y1(x, t) + y2(x, t) = y(x, t) = sin (kx) * 2 y0 cosωt
Auslenkung = Amplitude * Schwingungsterm
Knoten:
sin(kx) = 0
=>
kx = nπ ,
n = 0, 1, 2, 3, …..
Bäuche:
sin(kx) = 1
=>
kx = (n + ½ )π,
n = 0, 1, 2, 3, ……
stehende Wellen bilden sich aus, wenn:
Wellenlänge:
λ = 2L/n,
Frequenz:
f = c/λ = nc/(2L), n = 1, 2, 3, ….
n = 1, 2, 3, …..
n = 1: Grundschwingung (1. Harmonische)
n = 2: erste Oberschwingung (2. Harmonische) usw.
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Schallwellen
Welle
s(x, t) = s0 cos(kx - ωt)
Amplitude
s0
Wellenlänge
λ
Druck-Welle
Δp(x, t) = Δp0 sin(kx - ωt)
(Druckdifferenz zu Normaldruck)
Δp0 = (cρω)s0
c: Schallgeschwindigkeit, ρ: Dichte
Kompressionsmodul: K 
Schallgeschwindigkeit:
max. Auslenkung der Luftmoleküle aus Gleichgewicht
hier s0 << λ
p
V V
Druckänderung pro relativer Volumenänderung
c K 
Massendichte ρ
Lautstärke
ist ein uneinheitlicher, subjektiver Begriff
Schallintensität:
Energie-Übertragungsrate (Leistung P) pro absorbierender Fläche A
IP A

[P] = W/m2
I  PQ 4 r 2
Schallpegel

I = ½ ρcω2s02
Schallintensität einer Punktquelle fällt mit 1/r2
  (10dB) log I I 0
Dezi-Bell
I0 = 10-12 W/m2
untere Wahrnehmungsgrenze
Schwebung
Überlagerung von 2 Schwingungen s1(t) = s0 sin(ω1t), s2(t) = s0 sin(ω2t), mit ω2 ≠ ω1
s(t) = s1(t) + s2(t) = 2s0 cos ω`t *cosωt
Frequenz:
ωSchwebung = 2ω` = ω1- ω2 , 2TSchweb = T`
Doppler-Effekt
Prinzip: Sender und Empfänger bewegen sich relativ zueinander
f ` f
c  vD
c  vS
f: Frequenz des Senders,
f `: Frequenz bei Relativbewegung
c: Schallgeschwindigkeit in Luft, vD: Detektor-Geschwindigkeit relativ zur Luft
vS: Sender-Geschwindigkeit relativ zur Luft,
Vorzeichen so wählen, dass f `> f wenn Detektor & Sender aufeinander zu laufen
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Elektrodynamik
1.1 Coulombsches Gesetz
Zwei Teilchen stehen im Abstand r und tragen die Ladungen q1 und q2. Dann wirkt zwischen
ihnen die abstoßende / anziehende elektrostatische Kraft
F
1 q1 q 2
,
4 0 r 2
ε0 = 8,85 10-12 C2/(Nm2) (Dielektrizitätskonstante)
Kugelschalentheorem
1) Eine homogen über eine Kugelschale verteilte Ladung wirkt auf ein Teilchen außerhalb so,
als sei die gesamte Ladung im Zentrum der Kugel lokalisiert.
2) Die resultierende elektrostatische Kraft auf ein geladenes Teilchen im Zentrum einer
homogen geladenen Kugelschale ist Null (Abschirmung).
Gleichverteilung: Ladungen auf eine elektrisch leitende Fläche verteilt sich homogen.
Elektrisches Feld


F  q0 E
Kraftwirkung auf Probeladung q0 durch Feld E übermittelt
Probeladung
q0 ist so klein, dass sie das E-Feld nicht stört, testet E-Feld aus
Punktladung q
E
Elektron
1 q
4 0 r 2
Ladung
e  1,6  10 19 C
Masse
m  9,1  10 31 kg
kleinste Ladungseinheit
Elektrischer Dipol
q  2d 
qd

E-Feld auf Dipolachse
2 

4 0 z  z  2 0 z 3


p  qd
Dipolmoment, q: Ladung, d: Ladungsabstand
  
Drehmoment im externen E-Feld
T  pE
E=
Ladungsverteilung Punktladung lineare Dichte
Zeichen
q

Einheit
C
C/m
11
Flächendichte


C/m2

Raumdichte

C/m3
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Gaußscher Satz


   E  dA
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elektrischer Fluss durch Fläche A
Die in einer geschlossenen Fläche befindliche gesamte Ladung q ist gleich dem durch die
Fläche tretenden elektrischen Fluss
 
ε 0 Φ =  0  E  dA  q
E-Feld
geschl. Fläche
(für Vakuum, Luft)
q
q eingeschlossen
Elektrisches Potenzial  (x) / Spannung U
Potenzialdifferenz = Spannung zwischen den Punkten x1 und x2 im elektrischen Feld
x2 

U 12   ( x 2 )   ( x1 )    E  d x
[U] = Volt = J/C
x1
Arbeit
W12 = qU12
Potenzielle Energie
Eel = qU1,2
Punktladung
 (r ) 
Nullniveau
bei x = ∞  (x = ∞) = 0
E-Feld
Ex 
Kondensator
Ladungstransport im E-Feld von x1 nach x2
1 q
4 0 r
r = Abstand zur Punktladung
  ( x, y, z )
  ( x, y, z )
  ( x, y, z )
, Ey 
, Ez 
z
x
y
Ein Kondensator besitzt zwei voneinander isolierte Leiter beliebiger Form
Ladung:
q+, q- betragsmäßig gleich, je auf den beiden Platten ,
Spannung:
U zwischen den Platten
Kapazität:
C = q/U
Einheit Farad [C] = F = C/V
Plattenkondensator
C  0 A d
d: Plattenabstand, A: Plattenfläche
Zylinderkondensator C  2 0 L ln b a 
a: Außenradius innerer Zylinder,
b: Innenradius äußere Zylinder, L: Zylinderlänge
Ersatzkondensator C für Schaltung von Kondensatoren mit Kapazität Ci:
n
1
1

C
i Ci
n
a) Parallel
C   Ci
b) Reihe
i 1
1
CU 2
2
Energie
E el 
Energiedichte
1
 el   0 E 2
2
gespeichert im E-Feld des Kondensators
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Dielektrika
C
C vac


 0   E  dA  q
Gaußscher Satz für Dielektrika


D   0 E
D = dielektrische Verschiebung, Polarisation des Dielektrikums

Dielektrizitätskonstante des Materials
Piezo-Effekt: Spannung in Kristallachsenrichtung anlegen und Kristall staucht / dehnt sich
E 
x
, oder U = δΔx ,
x
δ ~ 1010 V/m
piezoelektrischer Koeffizient
Strom
Strom I ist der effektiver Ladungstransport dq in einer Zeit dt
Strom
I  dq dt
[I] = C/s = A
Stromdichte
jI A
Strom durch Querschnittsfläche A
j e
n
Ladungsträ 
gerdichte

(Ampere)
vD

Driftgeschw.
[R] = V/A = Ω (Ohm)
Widerstand
R=U/I
(generelle Definition)
Ohmscher Widerstand:
R ist unabhängig von Strom & Spannung
Spezifischer Widerstand
     m
als Materialeigenschaft
R  l A
A: Leiterquerschnitt, l: Leiterlänge
E j
Temperaturabhängigkeit
   0 (1   T )
Ladungsträgerdichte
n(T )  N exp{
Leitfähigkeit   1 
W: Elektronen-Bindungsenergie, k = 1,38x10-23 J/K


=> j   E
Leistung
P  AV  C
P = UI
W
} als Ursache der Temperaturabh. von ρ
2kT
J
W
s C
Stromkreis-Regeln
Maschenregel Die Summe aller Potenzialänderungen beim Durchlaufen eines geschlossenen
Weges in einem Stromkreis (Masche) ist Null. (Folge der Energieerhaltung)
Widerstandsregel: Durchläuft man einen Widerstand in Stromrichtung, so fällt das Potenzial
um U = - IR, läuft man gegen die Stromrichtung, so wächst es um U = +IR.
Spannungsregel: Läuft man durch eine ideale Spannungsquelle vom neg. zum pos. Pol so
wächst das Potential um UBat .
Verzweigungsregel (Kirchhoffsche Satz): im Verzweigungspunkt eines Stromkreises ist die
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Summe aller eingehenden Ströme gleich der Summe aller ausgehenden Ströme.
Reihenschaltung: (es gibt nur einen Weg für den Strom). Liegt an einer Reihe von Widerständen Ri die Spannung U, so fließt durch jeden Widerstand der gleiche Strom.
Die Potenzialdifferenzen der Einzelwiderstände summieren sich zu U.
R   Ri
Ersatzwiderstand
Parallelschaltung: über allen Widerständen Ri besteht die selbe Potenzialdifferenz. Der
Gesamtstrom ist die Summe der Einzelströme.
n
1
1

R i 1 Ri
Ersatzwiderstand
Ladevorgang am Kondensator
Aufladen
q (t )  CU B 1  e

Entladen
q(t )  q0 e
t
t
RC


mit CUB = q0 , UB = Batteriespannung
RC
Zeitkonstante τ = RC
Magnetischer Fluss & Lorentzkraft
Definition des magnetischen Flusses B: Lorentz-Kraft auf Ladung q der Geschwindigkeit v

 
F  qv  B
Lorentzkraft
F senkrecht zu B und zu v (Rechte-Hand-Regel UVW)
[B] = Tesla,
1 T = N/(A m), 1 T = 104 Gauß
Magnetfeld von Strömen
Magnetische Kraft auf Strom I im geraden Leiter der Länge L im homogenen B-Feld

 
F  IL  B
Biot-Savartsches Gesetz
gegeben:
gesucht:

Leiterelement ds mit Strom I parallel ds

Magnetfeld dB am Punkt P
  I ds  r
dB  0
4
r3
µ0 = 1,26 x10-6 Tm/A
B
0 I
2 R
(Permeabilität für Vakuum)
B-Feld des  langen geraden Leiters im Abstand R mit Strom I
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Amperesches Gesetz
 
B
  ds   0 I
Formeln zur Physik I-II & Quantenphysik
um
 
B  ds entlang einer geschlossenen Schleife, die alle Ströme umschließt, die zu Ium
beitragen
Magnetfeld einer Spule
Das Feld im Inneren einer Spule, mit der Länge L, (L >> als Spulendurchmesser) ist
B  0 I
N
L
N: Windungszahl, L: Spulenlänge, I: Strom
Magnetischer Dipol


Dipolmoment
  
T B
Drehmoment des Dipols im B-Feld
 
Magnetische Energie des Dipols im B-Feld
E Mag ( )     B
Faradaysches Induktionsgesetz


 B   B  dA
Magnetischer Fluss durch Fläche dA
[ΦB] = Tm2 = Wb = Weber
d B
dt
U i  N
induzierte Spannung in Spule mit N Windungen,
durchsetzt mit Fluss ΦB


 E  ds  
d B
dt
Induziertes E-Feld
Lenzsche Regel: Ein induzierter Strom ist so gerichtet, dass das von ihm erzeugte B-Feld der
Änderung des magnetischen Flusses entgegenwirkt, die den Strom hervorruft.
Induktivität
L
N B
I
L   0 n 2 lA
U i  L
dI
dt
[L] = Tm2/A = H = Henry, N: Windungszahl, I: Spulenstrom
Zylinderspule mit Länge l , Windungungsdichte n  N l , Querschnitt A
Selbstinduktion in einer Spule der Induktivität L
15
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Formeln zur Physik I-II & Quantenphysik
RL-Glieder
Verzögerung von An- / Aus-Schaltvorgängen im Stromkreis mit Widerstand R & Spule L
I (t ) 
UB
R
R
 t 

1  e L 




τL = L/R
Aus-Schalten I (t ) 
UB
R
  RL t 
e 




mit I0 = UB/R
An-Schalten
Zeitkonstante
Energie des Magnetfeldes
E mag 
1 2
LI
2
magn. Energie in Spule
 mag 
B2
2 0
Energiedichte
Transformator
Primärspule P läuft mit Wechselstrom, Eisenkern führt den Fluss durch zwei Spulen mit Windungszahlen NP ≠ NS. Die Spannungs- & Stromverhältnisse der Primär- & Sekundärseite der
Spule berechnen sich nach:
US NS

,
UP NP
IS NP

IP NS
Magnetismus der Materie


B   0  H Vakuum µ = 1
  1   
Permeabilitätskonstante (ohne Einheit)
κ≠0
Suszeptibilität (ohne Einheit)



B   0 ( H  M ) externes Feld + Feld der Materie
LCR Schwingkreis
=>
Lsg
L
d 2q
dq 1
R
 q0
2
dt C
dt
q (t )  q 0 e


R
t
2L
DGL der gedämpften Schwingung
cos t   
1  R 
 
LC  2 L 
2
Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung
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Formeln zur Physik I-II & Quantenphysik
Wechselstromkreis:
es werden Effektivwerte für Strom und Spannung verwendet, so dass die Form der entsprechenden Gesetze identisch denen für Gleichstrom sind:
Effektivwerte: I eff 
Leistung
I
2
, U eff 
Pgem  U eff I eff cos 
U
2
,
(Wechselstrom)
cos φ = Leistungsfaktor
Optik
Elektro-Magnetische Welle
E(t) = E0sin(kx – ωt), B(t) = B0sin(kx – ωt)
c = 299 792 452 m/s
Lichtgeschwindigkeit
 1  
S
EB
0
Pointingvektor = Leistung pro Fläche
I  S gem 
1 1 2
E0
0c 2
I = I0cos2
Intensität hinter 2 Polarisatoren unter dem Polarisationswinkel 
Geometrische Optik
Brechungungsindex,
n  c cmat
cmat: Lichtgeschwindigkeit in der Materie
Reflexion
1  1
Einfallswinkel = Ausfallswinkel
Snellius-Gesetz
n1 sin  2

n2 sin 1
Brechung bei Lichtübergang von Medium mit
Brechungsindex n1 (Einfallswinkel θ1) in das Medium mit Brechungsindex n2 (θ2: Brechungswinkel)
Totalreflexion
sin  T 
n2
n1
Grenzwinkel bei Lichtübergang von Medium 1 => 2
Brewsterwinkel
tan  B 
n2
n1
Licht kommt aus Medium 1 & Reflexion an Medium 2
Kugelspiegel
f=½r
1
Linsengleichung
f

1
g
r: Radius des Kugelspiegels, f: Brennweite

1
b
gilt für Linsen und Kugelspiegel
f: Brennweite, g: Gegenstandsweite, b: Bildweite
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Brechkraft
D = 1/f
Formeln zur Physik I-II & Quantenphysik
[D] Dioptrien 1dpt = 1/m
Linsenkombination: D   D j
eng beieinander stehende Linsen mit Brechkraft Dj
Abbildungsmaßstab
m  B G  b g
B: Bildgröße, G: Gegenstandsgröße
Vergrößerung
v   0
Winkel ε bezogen auf menschlichen Sehwinkel ε0
eines Gegenstandes im Augenabstand g = 25 cm

Fernrohr
f
  B1 / f 2

 1

B1 / f1
f2
Winkelvergrößerung am Kepplerfernrohr
Drittes Semester Wellenoptik / Quantenphysik / Festkörper- / Kernphysik
Wellenoptik
Lichtgeschwindigkeit c n   n f n
n 
optische Weglänge

n
im Medium mit Brechungsindex n
Wellenlänge im Medium mit Brechungsindex n
ΔL = nΔLgeo
ΔLgeo: geometrische Weglänge
Doppelspalt
Spaltabstand g, Schirmabstand D >> g
Wegunterschied
L  g sin 
Maxima:
L  m  g sin  , m = 0, 1, 2,..
Minima:
1
L  (m  )  g sin 
2
Beugungsordnung:
m=0
zwischen Wellen von Spalt1, Spalt 2
Wellen von S1, S2 addieren sich
Wellen von S1, S2 löschen sich aus
Hauptmaximum
m = + 1, 2, 3 … Nebenmaxima
konstruktiv
m  g sin 
destruktiv
2m  1
  g sin 
2
m  0,  1,  2,....
Auflösungsvermögen:
Prisma

dn
d
d
d
d: Basisbreite des Prismas, n: Brechungsindex, λ: Wellenlänge
Gitter

 mN
d
m: Beugungsordnung, N: Gitterstriche
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Formeln zur Physik I-II & Quantenphysik
Einzelspalt
  a sin  ,
Minima
θ = Position des 1. Minimums, a : Spaltbreite
 sin  
Intensitätsverteilung: I ( )  I 0 

  
1,22    a sin  ,
Pinhole
2
I0: Intensität des Zentralmaximums
1. Minimum, Faktor 1,22 durch Loch statt Spalt

 1,22 
Auflösungsvermögen  R  arcsin
  1,22
d
 d 
(Rayleigh-Kriterium)
Gitter
w
N
Gitterkonstante:
g
Typisch:
g ~ 100 – 3000 Striche pro mm
Maximum:
g sin   m
Linienbreite
1 / 2 
w: Gitterbreite, N: Zahl der Spalte
m: Beugungsodnung

Ng cos 
beliebiger Linie in Richtung θ
Linienbreite ~ λ, ~ 1/N
 mit
= Nm

Auflösungsvermögen R 
Röntgenbeugung
Maxima
2d sinθ = mλ
Netzebenenabstand
d
Bragg-Winkel θ
gemessen zur Oberfläche, nicht zur Normalen
Bragg-Bedingung für Maxima der Ordnung m
Quantenmechanik
Energie
E = hf
Energie eines Photons der Lichtwelle mit der Frequenz f
-34
h = 6.63 10
Intensität
I  nE A t
Js
Plancksches Wirkungsquantum (neue Naturkonstante)
Leistung pro Fläche
WW-Materie Absorption / Emission ganzer Photonen, d.h. vernichtet / erzeugt Energiepakete
Photoeffekt
E kin  hf  W A
WA: Ablösearbeit, Ekin: Energie der freien Elektr.
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Formeln zur Physik I-II & Quantenphysik
Photonenmasse
m
hf
c2
beachte: es gibt keine Ruhemasse des Photons
Photonenimpuls
p
h

λ: Lichtwellenlänge
h
1  cos  
mc
Comptonverschiebung
 
Comptonwellenlänge
C = h/mc
Materiewellenlänge

Unschärferelation
ΔxΔp > h/2π
Tunnelwahrscheinlichkeit
 : Streuwinkel
h
h
m: Masse, v: Geschwindigkeit, p: Impuls

p mv
T e
2 kL
8 2m(eU 0  E )
, k
h2
E: Energie des Elektrons im Kastenpotenzial U0
m: Elektronenmasse
Schwarzer Strahler
4 h f 3
df
c 3  exph f k T   1
Intensitätsverteilung
  f , T  df 
Wien`sches Verschiebungsgesetz
 max 
Stefan-Boltzmann Gesetz
P    A T 4 Abgestrahlte Leistung eines Körpers
2,898 mm  K
T
mit
  5,67  10 8 W (m 2 K 4 ) Stefan-Boltzmann-Konstante.
A
strahlende Fläche des Körpers

Emissionsgrad, bzw. der Absorptionsgrad mit 0    1 .
Elektron im Kasten-Potenzialtopf
Eindimensional mit:
L: Breite des Topfes, m: Elektronenmasse, U0 unendlich
Energie
 h2  2
n
E n  
2 
 8mL 
Wellenfunktion
ψ(x) = 0
n = 1,2,3,... nicht 0
für x < 0, x > L
n 
 n ( x)  A sin 
x  , n  1,2,3....
 L 
20
für 0 < x <L
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Wahrscheinlichkeitsdichte
Formeln zur Physik I-II & Quantenphysik
n 
 n2 ( x)  A 2 sin 2 
x  , n  1,2,3.... ist messbar
 L 
x2
p ( x1 , x 2 ) 
A
n 
x  dx Nachweis-Wahrscheinlichkeit
sin 2 
 L 
2
x1
für das Elektron im Bereich zwischen x1 und x2
E nx ,n y ,nz 
3-Dim. Potenzialtopf
h2
n x2  n y2  n z2
2
8mL


Lx = Ly = Lz = L
Atomphysik
  2 2
  

 
 E pot (r )  (r )  E (r ) ,
 2m

Schrödinger-Gl.
m  Elektronenmasse ,  
Lösung:
h
,
2
a) Energien En , b) Wellenfunktionen ψn(r), beides gequantelt,
Wasserstoff-Atom:
Energie:
En  
me 4 1
1
 13,6eV 2
2 2
2
8 0 h n
n
Quantenzahl n = 1, 2, 3,…..
En < 0 bedeutet gebundene Elektronen
Grundzustand
n=1
E1 = -13,6 eV, tiefste Energie des e-
Angeregte Zustände: n > 1 instabil, kurze Lebensdauer t ~ 10-9s
Höchster Zustand
E∞ = 0, n = ∞
Ionisiert
E > 0 bedeutet freies Elektron, d.h.
Elektron nicht gefangen im Kernpot.
=>
Übergänge:
kontinuierliche Energieverteilung
i) Lichtabsorption:
hf = Em – En, m > n
ii) Emission
m < n, diskrete Linien, da En gequantelt
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Formeln zur Physik I-II & Quantenphysik
Wellenfunktionen
Randbdg.
Ψ( r = ∞) = 0 Elektron darf nicht ∞ weit weg vom Kern sein, sonst frei
Grundzustand
 (r ) 
Bohrscher Radius
h 2 0
a
 5,29  10 11 m  52,9 pm
2
 me
Interpretation
P(r )dV   2 (r )dV
1
a
3/ 2
e r / a
n=1
Wahrscheinlichkeit das Teilchen im Abstand r
vom Kern im Volumen dV nachzuweisen
=>
Radiale Dichte P(r) ungleich WS-Dichte
=>
P(r ) 
4 2 r / a 2
e
r
a3
 2 (r ) 
Bohrscher Radius
1 2 r / a
e
 a3
Elektronenwolke statt Bahn,
Angeregte Zustände
Das Atom ist ein kugelsymmetrisches Problem, so dass man zu Kugelkoordinaten übergeht


Ortsvektor
r ( x, y , z )  r ( r ,  ,  )

2r
, a = Bohrscher Radius
a
3
Wellenfunktion


 2  (n  l  1)! l  2 2l 1
 n ,l , m ( r )    
 e Ln l (  ) Yl ,m ( ,  )
3

 


 na  2n[(n  l )!] 
Ortsanteil
Kugelwelle nfunktion
Quantenzahlen
Name
Hauptquantenzahl
Bahndrehimpulsqu.
Symbol
n
l
mögliche Werte
Bedeutung
1, 2, 3, ….
Energie En , Abstand vom Kern
K, L, M,…
Name der Hauptschale
0, 1, 2, 3 … (n-1)
Drehimpuls, Orbital
s, p, d, f, g, …
Name des Orbitals
magnet. Quantenzahl
ml
-l, -(l-1),…+(l-1),+l Bahn-Orientierung bzgl. Bextern
Spin
mS
±½
Spin z-Komponente bzgl. Achse
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Magnetisches Bahnmoment:
Elektron auf Kreisbahn um Kern =>
Kreisstrom erzeugt magnetisches Moment

 
L  mr  v
Drehimpuls des Elektrons

e 
L 
L
2m
Bahnmoment des Elektrons
Drehimpuls ist quantisiert, nimmt nur diskrete Werte an

L  L  l (l  1) ,
l = 0, 1, 2, … (n-1)
L 
Beachte:
e
l (l  1) ,
auch das magnetische Moment ist quantisiert
2m
 
L,  L können nicht gemessen werden, nur ihre Ausrichtung zu einer Referenz-
achse, z.B. einem externen B-Feld in z-Richtung
=>  L , z   ml  Bohr
 Bohr 
messbar
eh
J
 9,27  10  24
4 m
T
=> L z  ml 
Bohrsches Magneton
ml = 0, ±1, ±2, … ± l
Bextern
Magnetisches Spin-Moment
s=½
mS = ± ½

e 
S 
S
m
Spinquantenzahl für alle Teilchen Elektron, Proton, Neutron

magnetische Spinquantenzahl, Ausrichtung S bzgl. externer Achse
magnetisches Moment, durch Spin erzeugt

11 
S  S  s ( s  1) 
  1  0,87
22 
Nur die Projektion des Spinmomentes bzgl. einer externen Achse kann gemessen werden
S z  mS 
 S , z  2m S  Bohr
mS = ± ½
Spin up / down
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Formeln zur Physik I-II & Quantenphysik
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Formeln zur Physik I-II & Quantenphysik
Kernspinresonanz
Betrachte nicht Elektronen der Atomhülle, sondern Protonen oder Neutronen im Atomkern
Kernspin
S K  S P  S N Spins der Protonen, Neutronen
Magn. Moment
K
z-Komponente auf B-Feld
2 Einstellung

zum externen B-Feld
Energie
E   K B
im externen B-Feld
Spin-Flip (Umklapp) E  2 K B
hf  2 K B
=>
kostet Energie ΔE
Absorption elektromagnetischer Strahlung
Messung der Spin-Flip Energie ΔE = hf
Kernspinresonanz
Röntgenstrahlung
Grenzwellenlänge
Mosley-Gesetz
 gr 
En
hc
eU
U: Beschleunigungsspannung
2

Z  S
 13,6eV
Z: Kernladungszahl, S: Abschirmfaktor
n2
Festkörperphysik
Kristallgitter
Translation
Ein unendlich großer Kristall geht in sich selbst über, wenn Verschiebung um




T  m1 a  m2 b  m3 c
Gitterebenen definiert durch drei nicht auf einer Gerade liegende Atome (Gitterpunkte), d.h.
  
durch Schnittpunkte Sj zwischen Ebene / Kristallachsen a , b , c



S1 : m1 a , S 2 : m2 b , S 3 :m 3 c
Miller-Indizes: (h, k, l)
Jedes Tripel definiert parallele Netzebenenschar. Berechnung durch Multiplikation der Werte 1/m mit p, so dass teilerfremde, ganze Zahlen entstehen
h
p
p
p
, k
, l
m3
m1
m2
Netzebenenabstand:  a 
Reziprokes Gitter:
a
b
c
, b  , c 
h
k
l
zur Strukturbestimmung von Kristallen aus Röntgenbeugungsexperimenten benötigt man das reziproke Gitter
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
2  
a* 
b c
VE

Formeln zur Physik I-II & Quantenphysik
  
mit V E  a  b  c



2  
b* 
c  a 
VE
Volumen der Einheitszelle


Die Einheit a   m , a *  1 / m

2  
c* 
ab
VE




Realer Gittervektor T  m1 a  m2 b  m3 c




Reziproker Gittervektor
G*  h  a *  k  b * l  c *



siehe 1.4: h = p/m1, …..
Steht senkrecht auf Gitterebene (hkl)

2
G* 
d hkl
1
d hkl 
Bragg-Streuung:
dhkl = Abstand der Gitterebenen (hkl)
2
(h / a )  (k / b) 2  (l / c) 2
m  2d hkl sin 
θ bezieht sich auf Kristallebene, Kristalloberfläche ist nur zu einer
Ebenenschar parallel
Freies Elektronengas
Zustandsdichte
D( E ) 
Fermienergie
EF
( 2m ) 3 2
2 2  3
E
Energie des höchsten besetzten Zustandes
EF
Gesamtenergie
Etotal 
 E  n( E )dE
mit n(E) = 2D(E)
3
N  EF
5
für aller Elektronen
0
Etotal 
Fermi-Funktion
1
f (E) 
e
E  EF
kT
1
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(Spinentartung)
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Formeln zur Physik I-II & Quantenphysik
Halbleiter
Elektronendichte im LB
ne ( E )  n0 e
 ( E L  EF )
kT
 m*kT 
, n0  2 e 2 
 2  
 ( E F  EV )
kT
3
 m *p kT 

, p 0  2
 2  2 


2
3
2
Löcherdichte im VB
n p ( E )  p0 e
Deutung:
p0, n0 = Dichte der Zustände in VB, LB, m * : effektive Masse
Fermienergie
EF 
E L  EV kT  p 0  E L  EV
ln  

2
2  n0 
2
 Eg
  X (T )  e 2 kT ,
Leitfähigkeit
X(T) leicht temperaturabhängig
Dotierter HL
N
Elektronendichte im LB
n  n D 
Fermienergie
EF 
Stromdichte der pn-Diode
 eUkTex

 1 ,
j  j S  e


LED
E g  hf
2e
D
( E F  E D ) kT
1
,
ND = Donatordichte
E D  E L kT  N D 


ln
2
2  n0 
jS: Sperrstromdichte
Energie der emittierten Photonen
Kernphysik
Kernaufbau
Protonenzahl
Z:
Neutronenzahl N
Kernladung Z  e , Ordnungszahl
(neutral)
Massezahl:
A=Z+N
Bezeichnung:
A
Z
X
Element: X, gegeben durch Z
Isotope:
Elemente mit verschiedenem N, A = N + Z (gleiches Z, chemisch gleich)
Radius:
r  r0 A 3 ,
1
Kernmasse
r0 = 1,2 fm = 1,2 x 10-15 m
mp = 1,0073 u
Proton
mn = 1,0087 u
Neutron
1u = 1,66 x 10-27 kg 1/12 der Atommasse von 12 C
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Formeln zur Physik I-II & Quantenphysik
Zusammenhang Masse m und Energie E
Energie:
E  mc 2 , E  mc 2
Bindungsenergie
E B   mc 2  Mc 2
M: Kernmasse, m = u: Nukleonenmasse
E BN 
E B
A
Bindungsenergie pro Nukleon
Zerfallsgesetz
Aktive Atome
N (t )  N 0 e  t
Zerfallskonstante
λ
Zerfallsrate
R
Aktivität:
1 Bequerel = 1Bq = 1 Zerfall pro Sekunde
N0: Teilchenzahl zu Beginn bei t = 0
dN
  N 0 e  t
dt
1 Curie = 1 Ci = 3,7 x 1010 Bq
Halbwertszeit
T1 
2
Lebensdauer

ln 2

1

Zerfallsrate auf 1/2 abgefallen
e  1 R0  R0 e   
auf 1/e abgefallen
Zerfallsprozesse
Alpha-Zerfall
238
  - Zerfall
n  p  e 
  - Zerfall
p  n  e  
Kernspaltung
235
Produkte:
140
54
U
234
Th  4   E (als Bsp.)
U  n 236 U  140Xe  94 Sr  2n
140
140
140
Xe 140
55 Cs  56 Ba  57 La  58 Ce
T½ 14s => 64s =>13d => 40h => stabil
94
38
Sr  94
39Y 
94
40
Zr
T½ 75s =>19min => stabil
28