Beiträge zur Ermittlung der Felder statischen - ETH E

Prom. Nr. 3374
Ermittlung der Felder
in stromdurchflossenen Halbleiterplatten
unter dem Einfluß eines transversalen,
statischen Magnetfeldes
Beiträge
zur
Von der
EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN
HOCHSCHULE IN ZÜRICH
zur
Erlangung
der Würde eines Doktors der technischen Wissenschaften
genehmigte
PROMOTIONSARBEIT
vorgelegt
von
CHRISTOPH BENEDIKT BURCKHARDT
dipl.EL-Ing.
von
E.T.H.
Basel
Referent:
Herr Prof. Dr. M. Strutt
Korreferent:
Herr Prof. Dr. F.
Juris-Verlag,
1963
Zürich
Borgnis
Leer
-
Vide
-
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Meinen Eltern in Dankbarkeit
Leer
-
Vide
-
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5
-
-
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
7
Verzeichnis der wichtigsten Symbole
8
Definitionen
11
Massystem
12
1.
Einleitung
13
2.
Das Feld bei Gleichstrom und seine
Bestimmung mittels eines
15
Widerstandsnetzwerke s
Grundgleichungen des
2.2.
Herleitung
der Analogie
19
2.3.
Ermittlung
des Stromes in der Halbleiterplatte
23
2.4.
Stabilität und Konvergenz
2.5.
3.
15
Feldes
2.1.
Genauigkeit
Messungen
am
26
27
der Methode
Netzwerk und Vergleich mit Messungen
an
29
Halble ite rplatten
3.1.
Netzwerk und Messaufbau
3.2.
Ermittlung
3.3.
Quadratische
3.4.
Vergleich
4.
mit
Halbleiterplatten
34
34
3.4.2.
Messanordnung für die Proben
36
3.4.3.
Quadratischer Gyrator
36
3.4.4.
Hallelement mit verbreiterten Elektroden
41
Schlussbemerkungen
zu
dieser Methode
43
44
Das Feld bei Wechselstrom
4.1.
29
30
Platte
Herstellung der Proben
3.4.1.
3.5.
29
Widerstandsparametern
von
Ausgangspunkt und qualitative Erklärung der
44
beobachteten Effekte
4.2.
Messanordnung
4.3.
Definition der
4.4.
Berechnung
[lO]
45
46
Impedanz
der
Vereinfachung
von
Impedanz
div E
=
0
der Corbinoscheibe mit der
48
-
4. 5.
-
Berechnung der Impedanz der Corbinoscheibe
unter
5.
6
Rauschen
von
57
Berücksichtigung der Raumladung
Hall-Vierpolen
64
5.1.
Rauschen im stromlosen Zustand
64
5.2.
Stromrauschen
67
Anhang: Auswertung
Schrifttum
der
Integralgleichung (66)
76
80
7
-
-
Vorwort
Die
vorliegende Arbeit entstand in den Jahren 1961
1963
...
am
Institut für
Höhere Elektrotechnik der Eidgenössischen Technischen Hochschule.
Meinem hochverehrten
Anregung
die
M.J.O.
Herrn Prof. Dr.
Lehrer,
dazu stammt und unter dessen
Leitung
ich an dieser Stelle meinen ganz besonderen Dank
sie
Strutt,
von
durchgeführt wurde,
dem
möchte
aussprechen. Sein stetes Interesse,
seine positive Kritik und viele wertvolle Ratschläge haben das gute
Gelingen
dieser
Arbeit erst ermöglicht.
Herrn Prof. Dr.
F.
Borgnis
danke ich für das
Uebernahme des Korreferates dieser Arbeit
Das
H.
benötigte
Weiss
am
der die
Halbleiterproben
dipl. Math. J.
von
Die
zur
nungen, Herrn K.
am
Umformung
Institut für
Herrn
der
Thü-
Mathematik
ver¬
Integralgleichung des Abschnittes
die ERMETH wurde ebenfalls
Sorgfalt durchgeführt.
W int seh
dipl. Ing.
Phys. M. Sanchez,
für die Uebernahme der
Kollegen
am
Photokopierarbeiten.
Institut trugen wesentliches
H.
an
die wertvollen Hinwei¬
Melchior, Herrn Dr. F.K. Reinhart, Herrn dipl.
Herrn
dipl. Ing.
W.
Thommen
und Herrn
derlin.
Zürich,
zur
herstellte.
angewandte
Klärung offener Fragen. Besonders gern denke ich
zur
Herrn Dr.
Erlangen
Ing. H. Matter danke ich für die sorgfältige Ausführung der Zeich¬
Zahlreiche Diskussionen mit meinen
se von
Sorgfalt
mit grossem Können und
Programmierung dieser Integralgleichung für
ihm mit grosser
Herrn stud.
bei
von
in
gedankt.
Waldvogel
danke ich wertvolle Beitrage
4.5.
durch die
gilt mein Dank der Werkstatt des Institutes, insbesonders Herrn A.
Ebenso
Herrn
Halbleitermaterial wurde in grosszügiger Weise
ihm sei hier bestens
er
hat.
Forschungslaboratorium der Siemens-Schuckert AG
Verfügung gestellt;
ring,
das
Interesse,
entgegengebracht
im Januar 1963
C.B. Burckhardt
dipl. Ing.
W.
Wun-
-
Verzeichnis
der
8
-
wichtigsten Symbole
a
Elektrodenlänge des quadratischen Gyrators
B
Statische
B
z-Komponente des Wechselstromanteils der magnetischen Flussdichte
b
Seitenlänge des quadratischen Gyrators
c
Korrelationskoeffizient zwischen zwei Rauschquellen
c«, c«i c«,
c.
magnetische Flussdichte
Konstanten
d
Dicke der
dM
Dicke eines kontinuierlichen Modells
E
Elektrische Feldstärke
E„
Elektrische Feldstärke im kontinuierlichen Modell
E
(k)
e
Fj, F,,
Halbleiterplatte
Vollständiges elliptisches Integral
Ladung
F„, F.
zweiter Art des Moduls k
des Elektrons
Diskretisierungsfehler
f
Frequenz
g
Uebertragungsverlust des Gyrators
H(r/o)
Kern der
Integralgig. (66):
H
(r/9)
bei
beidseitiger Anpassung
r/o
/
=
u4>(u)du
u=o
h
Maschenweite
I
Einspeisestrom
(x)
I
Strom in der Ebene
x
einer
Koaxialleitung
L.
Strom,
I
Gesamter radialer Strom in der Corbinoscheibe
r
I
«
der
Gesamter
aus
einer im Netzwerk
nachgebildeten
tangentialer Strom in der Corbinoscheibe
I
Gesamter Strom in der
Halbleiterplatte
I
Gleichstrom durch eine
Halbleiterprobe
T
Td
o
i
Mittleres
Elektrode hinausfliesst
Rauschstromquadrat
9
-
-
Stromdichte
Î
FT
j
Proportionalitätsfaktor
K
zwischen dem
gesamten
Kreisstrom I
„
in der
Corbinoscheibe und dem Fluss
K(k)
Vollständiges elliptisches Integral
k
Modul der
k
Boltzmann'sehe Konstante
k'
Längenmassstabsfaktor
erster Art des Moduls k
vollständigen elliptischen Integrale (Kap. 4)
(Kap. 5)
zwischen
Halbleiterplatte
und kontinuierlichem
Modell
Ermittlung der Hallspannung
k-.
Konstante für die
k„
Proportionalitätsfaktor
£1
zwischen dem Potential in der
Halbleiterplatte und
im Netzwerk
m
Positive ganze Zahl
N
Mittlere
Ladungsträgerzahl
in einer
N1
Mittlere
Ladungsträgerzahl
herrührend
von
stark ionisierten Stör stellen
N,
Mittlere
Ladungsträgerzahl
herrührend
von
schwach ionisierten Störstellen
n
Normalenrichtung (Kap.
q
1
(Kap. 5)
Trägerzahl
Q
Ladung
q
Raum ladungsdichte
R'
Randwiderstand im Netzwerk
R*
Widerstand,
cm
welcher
vor
den rauschenden
R
(0)
Widerstand einer Platte ohne
R
(B )
Widerstand einer Platte im
R
Widerstand einer
Rll' R12* R21' R22
Rc (0)
4)
...
n
pro
Halbleiterprobe
Hall-Vierpol geschaltet
Magnetfeld
Magnetfeld
quadratischen
Vierpolparameter
der Flussdichte B
Platte ohne
Magnetfeld
in der Widerstandsmatrix
Gleichstromwiderstand der Corbinoscheibe ohne Magnetfeld
wird
10
-
R„
(B )
Gleichstromwiderstand der Corbinoscheibe im Magnetfeld der Fluss¬
dichte B
R„
N
o
Netzwerkwiderstand im Innern
R„
Zweipolwiderstand
R„
Aequivalenter Rauschwiderstand
Rh
Hall-Konstante
r-
Innenradius der Corbinoscheibe
r„
Aussenradius der Corbinoscheibe
s
Tangentialrichtung (Kap.
s
Unabhängige
T
absolute Temperatur
TT
1/TT
t
Zeit
(x)
U
Utt
-
=
Variable
1/T1
+
3)
...
(Kap. 4)
1/T2
in der Ebene
Spannung
1
einer
x
Koaxialleitung
Hall Spannung
—k
Mittleres
xi
Rauschspannungsquadrat
r
V
Potential in der Halbleiterplatte
v
Mittlere
Z
Wechselstromimpedanz
Z
(x)
J
Geschwindigkeit
Impedanz
in der Ebene
eines Ladungsträgers
der Corbinoscheibe
x
einer
Koaxialleitung
Wechselstromimpedanz der Corbinoscheibe bezogen auf den Gleich¬
stromwiderstand
et
(Î
J
Af
1}
6 d
-
Cj tg
8
Gewichtsfaktor
Bandbreite
co
u
oc/41T
zur
Berechnung
der
Einspeiseströme
-
£
11
-
Dielektrizitätskonstante des leeren Raumes
o
6
Hallwinkel
A
Wellenlänge
ji
Beweglichkeit
u
Permeabilität des leeren Raumes
MD
eines
Ladungsträgers
Kreisdurchmesser
TT
Verhältnis
o
Radius eines Kreisstromes
6
Spezifische Leitfähigkeit der Halbleiterplatte
6
von
Kreisumfang
Spezifische Leitfähigkeit
M
zu
eines kontinuierlichen Modells
Trägers durch die Halbleiterprobe
T
Mittlere Laufzeit eines
T-
Mittlere
Trägerlebensdauer
im leitenden Zustand
T,
Mittlere
Trägerlebensdauer
im
T«
Mittlere Lebensdauer eines
Ô
,
<L... Potentiale
$
im Netzwerk
Induktionsfluss
(r/o )
H1
CO
getrappten Zustand
Trägers
mit
langer
Haftdauer
(Kap. 2, 3)
(Kap. 4)
Funktion definiert nach Gl.
(61)
Kreisfrequenz
Definitionen
Hall-Vierpol
:
Halbleiterplatte mit vier Anschlüssen, welche Halleffekt zeigt.
Gyrator
:
Hall-Vierpol nach Abb. 15.
Hallelement
:
Hall-Vierpol nach Abb. 22.
Probe
:
Praktisch
Corbinoscheibe
:
Halbleiterplatte nach Abb. 26.
hergestellte Halbleiterplatte
mit Anschlüssen.
-
12
-
Massystem
Sämtliche
Gleichungen
sind im rationalisierten
Giorgi-System angegeben.
Sämtliche Grössen sind ebenfalls im rationalisierten Giorgi-System
mit Ausnahme
einiger Fälle,
cheren Zahlen führte
gilt
104
G
=
1
z.
Wb/m2.
B.
wo
die Verwendung anderer Einheiten
Zentimeter statt Meter und Gauss statt
zu
angegeben
übersichtli-
Wb/m
,
wobei
13
-
1. EINLEITUNG
Befindet sich eine leitende ober halbleitende Platte in einem transversalen
Magnetfeld,
wirkt auf die bewegten Träger die Lorentzkraft,
so
Magnetfeld und
zum
Geschwindigkeit
zur
klein und fand kaum
praktische Anwendungen.
solchen mit extrem hoher
erheblich
grösser
und fand schon eine Reihe
Da nämlich die Lorentzkraft der
für die mittlere
Geschwindigkeit
u
die
v
eines
zur
ursprünglich angelegten
diese wird
auf.
Strombahnen,
vergrössert.
Der
Betrag
im
a., ist
E die elektrische Feldstärke
allgemeinen
Zwischen zwei
befinden,
Hallspannung genannt.
netfeldes die
u.
er
[1,2,3].
und
E,
u
=
Trägerbeweglichkeit
Infolge des Hall-Effektes tritt
feld auf demselben Potential
InSb, InAs, GaAs
praktischen Anwendungen
Trägers gilt
Beweglichkeit des Trägers und
Halbleitermaterialien mit hoher
Halbleitermaterialien, speziell
wie
von
E.H.
Geschwindigkeit des Trägers proportional ist,
v
wobei
Bei
Trägerbeweglichkeit
von
Bei Metallen ist dieser Effekt
entdeckt und wird nach ihm Hall-Effekt benannt.
Hall
welche senkrecht
Dieser Effekt wurde 1879
steht.
sind, sind
günstigsten.
am
eine elektrische Feldstärke quer
Elektroden,
tritt daher im
welche sich ohne Magnet¬
eine
allgemeinen
Spannung auf,
allgemeinen infolge des Mag¬
Ferner ändern sich im
und der Widerstand zwischen zwei Elektroden wird dadurch
dieser
magnetischen Flussdichte und
Widerstandsänderung hängt
dabei
von
der Grösse der
der Geometrie der Platte ab. Man spricht
von
vom
geo¬
metrieabhängigen Anteil der magnetischen Widerstandsänderung. Im Unterschied dazu
zeigt auch der spezifische Widerstand
Grösse der
eine
magnetischen Flussdichte und
kurz
von
ders
vermerkt,
Erhöhung
vom
nur
nun
der
geometrieabhängige
interessant und für die
verteilung in Halbleiterplatten
im
[5,6]
und J.
mittels konformer
Magnetfeld
Haeusler
Abbildung,
Anteil
wobei
[7]
zu
kennen.
Bereich
gültig sind. VonR.M.
stattet,
den Hallkoeffizienten aus der
ermitteln. In der
ist,
falls nicht
Folgende Autoren
[4],
Broudy
wird
an
an¬
H.J.
die Feld¬
behandeln
Lippmann und F.
Integrale numerisch ausgewertet
181 stammt
Messung
vorliegenden Arbeit
der
Potentialproblem der Rechteckplatte
einzelne
Näherungen entwickelt werden müssen, die
werden,
so
von
folgenden
gemeint.
Wick
lösen das
jedoch
oder
welche
Wenn im
praktischen Anwendungen nützlich,
das Potentialproblem bei Gleichstrom: R. F.
zu
abhängt.
magnetischer Widerstandsänderung gesprochen wird,
Es ist
Kuhrt
Magnetfeld,
im
Material
ein
nur
für einen beschränkten
Analogieverfahren,
einer Probe
gezeigt,
beliebiger
das ge¬
Geometrie
wie das Potentialfeld bei
Gleichstrom mit einem Widerstandsnetzwerk und Stromeinspeisung ermittelt werden
kann.
-
14
-
magnetischen Widerstandsänderung
Bei Wechselstrom kann eine Abnahme der
beobachtet werden
durch das
Eigerfeld
[9,10].
Es wird im 4.
verursacht wird. Die
Frequenzen wird berechnet und
Das letzte
Kapitel gezeigt,
Impedanz
mit Messungen
dass diese
verglichen.
Kapitel behandelt das Rauschen
von
Erscheinung
einer Corbinoscheibe bei hohen
Hall-Vierpolen.
15
-
-
2. DAS FELD BEI GLEICHSTROM UND SEINE BESTIMMUNG MITTELS
EINES WIDERSTANDSNETZWERKES
2.1.
Wir betrachten eine
Grundgleichungen
ebene,
aus
der Flussdichte B
Feldes
stromdurchflossene Halbleiterplatte
Dicke d über den Bereich der Platte konstant
Magnetfeld
des
(x, y)
zu
(Abb. 1),
deren
der senkrecht ein statisches
Einzelne Bereiche des Randes sind dabei
stehe.
Material mit grosser elektrischer
sei, und
Leitfähigkeit ausgeführt,
sie seien im
folgen¬
den als Elektroden bezeichnet, der übrige Rand als freier Rand.
Abb.
Im Fall eines
1
Halbleiterplatte
und
physikalische
Grössen.
isotropen Halbleitermaterials gilt für die Stromdichte j folgende
Gleichung [5]:
j
=
crl*
+
0-Rh(j
x
B0),
wobei
ff
die elektrische
1*
die elektrische Feldstärke
Leitfähigkeit,
,
die
Hallkonstante,
die
magnetische Flussdichte
bedeuten.
(1)
16
-
Das
aussen
Eigenmagnetfeld des
-
Stromes in der Platte wird dabei
angelegten B (x,y) vernachlässigt.
gegenüber
Dies ist in den meisten
dem
praktischen
von
Fällen
zulässig.
Magnetfeldes gilt
Im Fall eines zeitlich konstanten
rot E
=
(2)
0.
Da im Innern der Platte keine
divt
Multipliziert
oder
(1)
man
Tx
=
Quellen und Senken vorhanden sind, gilt
(3)
0-
vektoriell mit
E
tfRh(fx
=
E,
BQ)
so
x
erhält
man
E
betragsmässig
171 IË*I
sin 6
CRh
=
ITIIbJIIsI
cos
e
und
tg 9
=
CTRh
Der Winkel zwischen E und
und die
|bq|.
(4)
j, der Hallwinkel 8, ist also durch das Magnetfeld
Materialeigenschaften eindeutig bestimmt.
Bilden wir die Rotation
rot
7
(1),
von
Ë*
Orot
=
erhalten wir
so
ÖRh rot(j*x BQ)
+
(2),
Der erste Term verschwindet wegen
0TRh rotQ*x B0)
7 div B0
+
[(B0
<JRh
=
-
B0
div
71
.
der zweite ergibt
grad)
7
-
(7 grad) BQ
•
Die letzten beiden Terme in der Klammer verschwinden wegen div B
(3).
Der erste Term
(Bo
ergibt [11]
grad) ,
=
(Bo
mit
3Q
J> \ it
i
-ft (Jx>j
=
(0, 0,
n\
0)
-
=
BQ) und7
i-a
(BQ
=
x
-^
,
(j ,j
BQ
,
-rf.
=
0 und
0)
,
0)
=
0,
17
-
da
-
] über die Dicke konstant ist. Der zweite Term in der Klammer ergibt
(f
grad)
B0
=
(jx
-^
jy
+
aB„
-^-)
(0, 0,
B0)
3B„
Also haben wir
rott=
Bilden wir div E,
div
so
ÏT
dB
ORh
-
(0, 0, j x TT-2
dx
-i
=
Nach
div
Jy
3B
-TT-9-)
'
oy
(5)
erhalten wir
div
T
Rh
-
Der erste Term verschwindet wegen
Rh
J
+
(fx B0)
(3),
BQ).
x
der zweite
(B"o
Rh
=
Ö*
div
rot
T
-
ergibt
Î rot
B^
(5) ergibt
3B_
B0 rotT=
"
ÖRh (0,
0,
Bo)
3B_
=
*R„
-
(j.
h VJx
B,~o Sx~
(0, 0, Jx
3B.
-^
+
°)
j
3B_
+
T
j
Jy
B
o
2).
-3y
Der zweite Term in der Klammer ergibt
3B
SB
-TrotB0 =-üx, jy, OK-g^, -^J>3^'°>
3B
Jx
fly
dB
Jy
dx
Also ergibt
3B„
,
—
div E
=
CTR2
3B„
(jx B0^J>+ LB,-^ST
3B„
3B„
Rh(jx
3B„
'x
3B
3B
+
«y
—2-
'y
y
3B„
'y
öx
,
°).
°)
(6)
-
Das
Strömungsfeld
ein wirbelfreies
18
-
quellenfreies Wirbelfeld,
ist also ein
das elektrische Feld
Quellenfeld.
Im Falle B
=
folgt
const, über den Bereich der Platte
rot
j
aus
(5)
und
(6)
=
0
(7)
=
0
(8)
und
div E
In diesem Fall sind also sowohl das
quellenfreie Potentialfelder.
B
const,
=
gen
(8) gilt
Strömungsfeld,
Wir beschränken uns im
und auf das Potential
V*(x, y)
im Innern der Platte die
ô2V/3x2
wie das elektrische
Feld,
folgenden auf diesen Fall
der elektrischen Feldstärke
E(x, y).
We¬
Laplace'sche Differentialgleichung
32v/ay2
(9)
0.
Es
gelten folgende Randbedingungen:
1.
An den Elektroden ist das Potential konstant und kann als Randwert vorgege¬
ben sein. Hat die Platte mehr als zwei
Elektroden,
so
ist
es
auch
möglich,
dass an
einzelnen Elektroden der Wert des Potentials nicht vorgegeben ist und sich
Potentialverteilung ergibt.
2.
An den freien Rändern verläuft die Stromdichte
trische Feldstärke
muss
aus
der
Solche Elektroden seien als freie Elektroden bezeichnet.
entlang
also mit dem Rand den Winkel 6 bilden
des
Randes,
(Abb. 2).
die elek¬
Im
allge¬
meinen tritt also zwischen Elektrode und freiem
Rand eine
Unstetigkeit
in der
Richtung
der elektri¬
schen Feldstärke auf.
Ferner sei noch eine
Beziehung abgeleitet,
später verwendet wird. Multipliziert
skalar mit
T- T=
j,
so
OË*.
erhält
j
Der zweite Term
hält für den
Ifl
Abb.
2
Richtung der elektrischen
Feldstärke
am
Rand.
=
Ö
IeI
(fxB0)
verschwindet,
Betrag
cos
von
6
.
(1)
man
ÖRh
+
man
die
•
T.
und man
er¬
j
(10)
19
-
Im
folgenden Abschnitt
bedingungen
soll gezeigt
Es ist
gelöst
gelöst
(9)
mit den
zugehörigen
Widerstandsnetzwerkes,
werden kann.
Um dies
jedem
kann dann in
<V1
V
"
zeigen, greift
zu
approximiert werden (Abb.
-
man aus
(Maschenweite)
v0)
3a).
+
(v3
zu
$0)/RN
"
($2
+
heraus und beschränkt sich
darauf,
Differentialgleichung
Differenzengleichung
-
v0)
(v4
+
-
v0)
Stellt man andererseits die
"
haben,
dem Potentialfeld ein Netz
berechnen. Die
für einen Punkt in einem Widerstandsnetzwerk auf
($!
ebenen Fall mit¬
in dem alle Widerstände denselben Wert
Punkt durch die
<v2
+
Rand¬
werden kann.
bekannt, dass die Gleichung (9) im zweidimensionalen,
den Wert V des Potentials in diesen Punkten
(9)
wie
Herleitung der Analogie
Punkten mit dem Abstand h
von
werden,
auf einem Widerstandsnetzwerk
2.2.
tels eines
-
$o>/RN
+
<$3
"
Knotenpunktsgleichung
(Abb. 3b),
$o)/RN
(11)
0
=
+
so
erhält
<*4
"
man
*o)/RN
=
°
oder
($!
$0)
"
($2
+
"
$o>
+
($3
"
$o>
+
($4
®
©
ft
h
..
"
$t)
•
1*
N
,
ÄO
Ausschnitt
RN
*1
N
\
3a
°
R,
RN
Abb.
=
aus
dem Potentialfeld der
Halbleiterplatte
und Diskretisierung in einzelne Maschenpunkte.
Abb.
3b
Ausschnitt
aus
dem Widerstandsnetzwerk.
<12)
20
-
Die
Gleichungen (11)
Potentialproblem
und
(12)
sind
-
identisch,
wenn man
kann also auf dem Widerstandsnetzwerk
setzt
kN
V
=
$.
Ein
gelöst werden, indem auf
dem Rand die wirklichen Randwerte multipliziert mit dem Proportionalitätsfaktor
eingestellt
werden.
(Für
eine ausführliche
ein ausführliches Schrifttum
zu
finden ist.
Darstellung
Arbeiten,
mittels eines Widerstandsnetzwerkes
dern die Ableitung in der Normalenrichtung
zeigt,
kann
wie die
[13].
3 V/ 3n
£
Er betrachtet dazu ein Stück
tentialen V
Dann
Randbedingung
welche die
behandeln,
3V/9n
=
0. G.
0 auf dem Netzwerk
am
Rand mit 4
Lösung
ist
an
gilt im Punkte P
wenn
,
für die
wo
von
Poten¬
Liebmann
hat ge¬
nachgebildet werden
Maschenpunkten
mit den Po-
(Abb. 4a).
Bezeichnung der Punkte und der zugehörigen
Potentiale dieselben Indizes verwendet werden:
(
8V/3n)p
(Vj
=
-
V,)/2h
+
Gliederhöh.
Daraus berechnet sich das fiktive Potential
Vj
wenn
=
(3V/3n)p
die Glieder höherer
•
2h
+
V3
Ordnung.
V,
,
Ordnung vernachlässigt
werden.
®
Xrv/
i
h
z
/
.,
/
V,
/
3
/
/
kN
auch
den freien Rän¬
V. und einem fiktiven Punkt mit dem Potential V..
V,
,
[12,17],
z.B.
)
Bei den meisten bisher erschienenen
tialproblemen
sh.
v>
u
/
/
Abb.
4a
Ausschnitt
aus
dem Rand der
Abb.
4b
Ausschnitt
aus
dem Rand des Widerstandsnetzwerkes.
Halbleiterplatte.
21
(11)
lautet dann in P
[(9V/9n)p
2h +
•
Vg
-
0
ergibt
Geordnet
(V2
V
_
Für diesen
($2
(13)
=
2RJJI,
und
2
RN
$o)
-
(14)
3 V/
+
(V4
"
V
Netzwerkpunkt
mit
+
($3
+
$o)/RN
-
($4
+
gewählt wird, erhält
($3
2
=
$o)
-
(hkN/RN)(9V/9n)
+
($4
-
-
$o)
geht hervor,
werden müssen
+
Ov/3n)p
Vj
(V4
+
2h
•
Stromeinspeisung
$o)/R«
+
kN
2
+
.
R^
V
-
=
unserem
=
und daraus
0
an
VQ)
=
0.
am
(13)
0.
Rand
1
(Abb.
0.
=
=
=
$
(14)
0.
und
kN( 3 V/ 3n)p
und,
-2h
°
(15)
.
falls
9
V/
9
n
am
Rand
^ 0,
an
doppelt
den
so
gross wie im In¬
Randpunkten
ein Strom
muss.
Fall,
wo
Ë*
mit dem Rand den Winkel 6
iterativ vorgegangen werden. Man löst zuerst das
n
-
o
dass die Widerstände
Daraus
3
(Vg
+
man:
sind identisch falls wiederum
eingespiesen werden
muss
V
"
einen
nun
gewählt
In
Vo)
-
also
I
nern
(V3
2
$o)/R'
=
($2
(V2
+
gilt:
-
Falls R'
V0]
dies
+
Wir betrachten
4b).
-
bildet, also (Abb. 2)
Randwertproblem
mit
den freien Rändern. Dann werden die Potentialdifferenzen gemessen
approximiert (Abb. 4a)
(3V/3s)p
*
(V2
Daher erhält man für den
-
V4)/2h.
Einspeisestrom:
(17)
-
(hkN/R,s)(av/3n)p
hkN
(hkN/RN)(3V/3s)p
=
tg
2h
Die so bestimmten Ströme werden
"
(
3
V/3 s)
nahe
den
an
Elektroden,
nicht nach
auch
solche,
3V/ 3
einem
bei grossen Werten von 9 den
(17),
genügt,
einer Elektrode
punkten, welche unmittelbar neben
Natürlich erhält man sowohl
es
(18)
darauf wieder die Potentialdif¬
vorteilhaft,
ximieren. Die Messungen haben gezeigt, dass
tg e
tg e
2RN
eingespiesen,
ferenzen gemessen etc. Es erweist sich als
Wert für
*2"*4
9
V2-V4
=
-
9
=
22
sondern
grafisch
liegen, durchgeführt
Einspeiseströme,
die aus dem Netzwerk herausgerichtet
zu
appro¬
dies in den Maschen¬
wenn
wird.
die ins Netzwerk hinein-, wie
sind, je
nach der
Richtung
von
Interessant ist ferner folgendes. Die ganze Halbleiterplatte befindet sich in
n.
Magnetfeld,
im Netzwerk werden aber
spiesen. Anschaulich kann
infolge
welche sich
Gleichung
des
man
nur
an
den freien Rändern Ströme
sagen, dass diese Ströme die
Magnetfeldes
an
einge¬
Raumladung nachbilden,
den freien Rändern bildet.
kann bekanntlich mit einem Widerstandsnetzwerk mit
Die Poisson'sche
Stromeinspeisung
ge¬
[14,17].
löst werden
Ferner sei noch eine
Ueberlegung angeführt, die
der Genauig¬
Erhöhung
einer
zu
keit führen wird. Dazu betrachten wir ein Stück des Randes zwischen zwei Elektroden
C und D
(Abb. 5)
und nehmen an,
dieses Stück sei mit einer kleinen Maschenweite
h' und damit einer grossen Zahl von
Maschenpunkten
auf einem Netzwerk
det. Nun werde eine m-mal grössere Maschenweite h gewählt
bei wird die Zahl der
Einspeiseströme
Einspeisestrom
m-mal
ten wir Abb.
wo m
i
wobei I der
5,
=
i-
grösser,
=
+
5,
r2
so
+
da
($„
ebenfalls m-mal
-
$4)
in
(18)
kleiner,
m-mal
können wir sagen, dass der
v3
+
n
+
=
5).
Da¬
dafür der einzelne
grösser
neue
nachgebil¬
Abb. 5:m
wird. Betrach¬
Einspeisestrom I
i-,
Einspeisestrom für die Maschenweite h und I!
für die Maschenweite h\
(in
...
Ii die
Einspeiseströme
-
23
-
I
*
.
,s|«&S[*
c
5
»
Einfluss einer Vergrösserung der Maschenweite auf die
Nun ist aber
anliegenden
en
aus
Abb. 5 ersichtlich, dass dann
Ströme nicht
berücksichtigt werden,
z.
wenn nur
in
Elektroden
übrigen
eingespiesen werden,
Ermittlung
Für viele
leiterplatte
zu
Elektrode D
Maschenpunkte des
werden,
wenn
frei¬
in die
muss
natürlich
auf denen also kein Randwert
nur
in die frei¬
vorgegeben ist.
Bei
Elektroden ist der herausfliessende Strom durch den Randwert bestimmt.
2.3.
Strom
an
jeweils noch der halbe Einspeisestrom des anliegenden Maschenpunktes
eingespiesen wird. Dieser zusätzliche Einspeisestrom
den
Einspeiseströme.
B. die beiden
Randes eingespiesen wird. Daher kann die Genauigkeit erhöht
Elektroden
en
^-
h
4
Abb.
V
im
Probleme,
z.
Magnetfeld,
kennen,
des
B.
ist
die
es
in
Stromes
Ermittlung
notwendig,
der
der
Halbleiterplatte
Widerstandsänderung
ausser
einer Halb¬
der Potentialverteilung auch den
der in der Platte fliesst. Das Stromlinienfeld im Netzwerk
entspricht
natürlich nicht dem Stromlinienfeld der Platte. In der Platte stehen Stromdichtevektor
und Feldstärkevektor im Winkel 8
Richtung haben. Es
muss
aufeinander,
daher ein Verfahren
Strom aus dem Potentialfeld
zu
ermitteln.
währenddem sie im Netzwerk dieselbe
gefunden werden,
das gestattet, den
24
-
Dazu bestimmen wir den
austritt
(Abb. 6a).
Ifl
=
Nach
tf
(10)
IeI
-
der aus einer Elektrode der
Strom,
Halbleiterplatte
ist
e.
cos
Um den austretenden Strom I
zu
erhalten,
müssen wir über die Normalkom¬
ponente integrieren und mit der Dicke d multiplizieren, also
L„
=
w
dtf
cos2
f 11*1
9
ds.
A
Abb.
6a
Elektrode der
Abb.
6b
Elektrode im kontinuierlichen Modell.
Nun ermitteln wir den
Strom, der
Halbleiterplatte.
aus
einer
nachgebildeten Elektrode
im Netz¬
werk austritt. Dazu denken wir uns das Netzwerk als kontinuierliche Widerstands¬
schicht der Leitfähigkeit ff
entspricht,
dem Netzwerk
-,
und der Dicke
muss
Damit diese Widerstandsschicht
K
""^ÄT
N
dj..
gelten
Dann erhalten wir für den Strom
!„, der
aus
der Modellelektrode austritt
(Abb. 6b)
B'
B'
:M
=
dMffM
(1/RN)
i,
]
EM
ds'
=
kNlflds.
kjflds'
MR*» i -iV-
B
=
<k*/RN>{
kM|Ë*lds
-V-
25
-
ist dabei wieder der
kN
Halbleiterplatte
vielmal
-
Proportionalitätsfaktor
und dem Potential im
Netzwerk,
grösser das kontinuierliche Modell
zwischen dem Potential in der
k* ist ein
ausgeführt
Faktor,
ist als die
der
angibt,
wie¬
Halbleiterplatte.
Dieser Faktor fällt aber heraus. Also erhalten wir
^
Die
(RNÖdAN) Ij^ cos2
=
(19)
9
Messungen zeigten jedoch, dass die Bestimmung des Stromes nach (19) bei
grösseren Werten des Magnetfeldes
die in Abschnitt 3.3. näher
mit ziemlich grossen Fehlern behaftet
ist, auf
eingegangen wird.
Es soll daher eine wesentlich genauere Methode beschrieben werden. Dazu wird
ein Schnitt A-A' durch die Platte
gelegt (Abb. 7), und entlang dieses Schnittes die
senkrecht dazu stehende Komponente E
nente E
j
sowie die
der elektrischen Feldstärke bestimmt.
senkrecht
zu
diesem Schnitt nach
j
=
tf
E
cos
(10)
9
dazu verlaufende
Kompo¬
ergibt sich die Stromdichte
zu
0"
E
+
cos
s
n
n
parallel
Dann
9 sin 8
A'
beträgt
A'E
Der totale durch den Schnitt A-A' fliessende Strom I
(20)
,
^
=
A'
"
9
f
/
A
"1
(rd(cos22
n
i
ds
+
sin 8
cos
8
{
A
E
s
ds)
.
(21)
M
A'
Abb.
7
Schnitt A-A' durch die Platte
E_ und E_ werden im
n
s
Netzwerk
aus
zur
Ermittlung
den Potentialdifferenzen zwischen zwei be-
nachbarten Maschenpunkten berechnet. Die Integrale in
durch Planimetrieren bestimmt.
des Stromes.
(21)
wurden in den Messungen
26
-
2.4.
Die Stabilität bei der
a2v/3x2
wurde
von
Fisher
M.E.
Stabilität heisst
Fisher
analog
fahren,
er
[15j.
'
weniger ändern.
=
plausible Vermutung,
entsprechende
ren
sich mit wachsender Zahl
dass die
Untersuchungen
Einspeiseströme
wie M.E.
Fisher
am
Nachbildung
zusammen
am
Einspeisestromes
werden,
Diese Aussa¬
eindimensionalen Fall auf Ver¬
durch automatische Recheneinhei¬
wie dem
unsrigen,
Einspeiseströme
bei dem alle Po¬
berechnet werden
eindimensionalen Fall zeigt, Instabilitäten
obwohl das "wirkliche" Problem diese nicht aufweist.
kann aber "stabilisiert"
auf dem Netzwerk
"wirkliche" Potentialproblem.
eingestellt werden. Bei iterativen Verfahren,
etc., können,
Lösungen
Für den eindimensionalen Fall
av/ax)
f(v,
tentialdifferenzen gemessen werden, daraus alle
auftreten,
f(v, av/ax, av/ay)
dass die gewonnenen
auf Grund seiner
bei denen alle
=
einige exakte Stabilitätskriterien ab. Für den zweidimensiona¬
die
wie das
stabil sei,
ge beschränkt
ten
er
a2v/ay2
+
a2v/ax2
len Fall äussert
Konvergenz
der Gleichung
untersucht
dabei,
der Iterationsschritte immer
leitet M.E.
und
Stabilität
Lösung
-
Ein solches Verfah¬
indem statt dem neu berechneten Wert eines
ein gewogenes Mittel aus dem
vorherigen und dem
neu
berechneten
Wert verwendet wird, also
w,
K^rL"°"»
=
Die Indizes bezeichnen dabei den
Probleme
nach
y
(22)
eingegangen,
zu
es
stabilisieren. Je
gewählt werden,
Die
da
Konvergenz,
grösser tg 6,
Stabilität
um
Näherungsschritt.
sich in den Messungen als
zu
das heisst die
der
Lösung
eine direkte
wegen der Linearität der
Rande
(1)
{(13)
mit
(16)
und
Folge
Es wurde hier auf diese
nötig erwies,
das Verfahren
desto kleiner musste der Gewichtsfaktor
erreichen.
Tatsache,
dass die gewonnenen
"exakte" Lösung immer besser approximieren, ist in
tigkeit
0*>
TTT
unserem
der Stabilität. Die
Differenzengleichung
Näherungen
die
Fall wegen der Eindeu¬
Eindeutigkeit der Lösung
sowohl im Innern
(11),
ist
wie auch auf dem
(17)}, gewährleistet [23]..
ausgedrückt: Es muss in jedem Punkt gelten | Vm
V(m_j\ | *- £ für m ge¬
nügend gross, m bezeichnet dabei den Iterationsschritt und E, eine vorgegebene,
beliebig kleine Grösse.
Genau
-
27
-
2.5.
Der
in
-
Genauigkeit der Methode
Fehler, welcher durch die endliche Maschenweite im Innern entsteht, wird
[12, 17]
diskutiert. Es wird in
Approximation
der
[12] gezeigt,
dass der Fehler
F-, welcher
bei der
Laplace-Gleichung durch die Differenzengleichung (11) entsteht,
beträgt
Fj
=
(-h4/12)(34V/3x4
Hierzu kommen die
Fehler,
ja die Differenzengleichung (13).
welche
=
V,
ä
+
am
+
Glied,
2h(3V/3n)_
+
po
Gliederhöh.
Ordnung.
(23)
Rand entstehen. Am Rand erhielten wir
Berücksichtigen
Potentials V- noch das nächsthöhere
V,
1
a4V/3y4)
+
so
wir in der
Berechnung des fiktiven
erhalten wir
(h3/3)( 3 3V/3 n3)
+
Gliederhöh.
Ordnung.
Also haben wir für den Fehler F«
F2
=
(h3/3)( 33V/3n3)
Der Fehler F,,
durch
=
-
nach
grössten
der ersten Tangentialableitung
(h2/6)(33V/3 s3)
+
Gliederhöh.
Gewicht,
da
Bestimmung
die ganze Breite
33V/3 n3
und
werden,
[16] verdoppelt
wird
(Abb. 8).
des Stromes nach
(21).
Er wirkt sich hier aber
integriert wird.
(24b)
Ordnung.
Werte annehmen. Sie können verringert
Maschenzahl nach
die
Approximation
(24a)
[12]
Diese beiden Fehler fallen ins
ihre
Glieder höh. Ordnung.
welcher bei der
(17) entsteht, beträgt
F3
+
Der Fehler
33V/ 3 s3
indem
am
(24b) geht
weniger
am
Rand
Rand die
auch ein in
aus, da über
28
-
8
Abb.
Verdoppelung
Der
Fehler, welcher beim Aufzeichnen und Planimetrieren entsteht, liegt
inner¬
0,5%.
Der
in
am Rand. Unschraffierte Widerstände:
Schraffierte Widerstände: 2 R„.
der Maschenzahl
RN.
halb
-
[16]
Fehler,
welcher durch Widerstandstoleranzen im Netzwerk
diskutiert. Er ist für
unsere
entsteht,
wird
Widerstandstoleranzen gegenüber den übrigen
Fehlern vernachlässigbar.
Als externe Fehler treten auf:
1.
Der Messfehler bei der
Diese werden mit einem
soluten
2.
Genauigkeit
0,2 % t
1
der Potentiale und Potentialdifferenzen.
Voltmeter
digit
(Hewlett-Packard 405-AR)
mit einer ab¬
gemessen.
Der Messfehler bei der Messung der Einspeiseströme. Dazu wird der Span¬
nungsabfall
über einem Widerstand der Toleranz
t 0,2 % gemessen.
Fehler etwa t
Der
grösstmögliche
Fehler
t 0,5 % mit
beträgt
also
einer
Genauigkeit
t 0,7 %,
von
der mittlere
0,5 %.
Da die Fehler
3.3.
von
Messung
digitalen
(24a)
und
(24b) schwierig
des nächsten Kapitels die Messung
exakt gerechnet werden kann.
am
abzuschätzen
sind,
wird in Abschnitt
Netzwerk mit einem Fall
verglichen,
der
29
-
-
3. MESSUNGEN AM NETZWERK UND VERGLEICH MIT MESSUNGEN
AN HALBLEITERPLATTEN
Für die
beschrieben sind. Der Netzwerkwiderstand R„ beträgt
Einspeiseströme werden
0,
eingestellt.
5 Mil
an
zwei in Reihe
Für die
geschalteten Potentiometern
Messungen wurde
50 Maschen umfasst, ein Streifen
von
digitalen
nem
Netzwerk,
diesem
3,5 kQ,
von
die
5 Mil und
welches 50 mal
beidseitig
mit dem
Sämtliche Spannungen wurden mit ei¬
Voltmeter Hewlett-Packard 405-AR gemessen. Sämtliche Gleichspan¬
(Steinlein
nungen wurden einem Hochkonstant-Netzgerät
Erhöhung
aus
20 Maschen abgetrennt und
doppelten Netzwerkwiderstand abgeschlossen.
nem
Messaufbau
Messungen wurde das Netzwerk und die Einspeiseanlage verwendet,
[17]
welche in
und
Netzwerk
3.1.
der Stabilität wird die
HK
101)
entnommen.
Netzspannung für Voltmeter und Netzgerät
Zur
von
ei¬
magnetischen Regler (Sorensen 500-2S) konstant gehalten. Der hohe Eingangs¬
widerstand
11 Mildes
von
gen Punkten des
Netzwerkes,
3.2.
Voltmeters erlaubt Messungen zwischen beliebi¬
ohne dass eine
Ermittlung
Eigenschaften
Die
auf Grund ihrer
digitalen
von
Störung
Widerstandsparametern
der Hall-Zweipole und
Widerstandsparameter
des Feldes entsteht.
-Vierpole werden
im
folgenden
stets
diskutiert. Bei Zweipolen ist der Widerstand
RZ
Rz
wobei U die
U/I,
=
Spannung über dem Zweipol und I der Strom.
Bei den
wurden U und I gemessen und daraus R„ bestimmt. Bei der
wenn
k„
=
1 gewählt
nachgebildeten
wird,
Elektroden
die
Spannung unmittelbar gleich der zwischen den beiden
angelegten.
Der Strom wird nach Abschnitt 2.3. bestimmt.
Aus diesen beiden Grössen kann der Zweipolwiderstand
Bei
Halbleiterproben
Netzwerkmessung ist,
Vierpolen lauten die Vierpolgleichungen mit
Netzwerk bestimmt werden.
am
den
Widerstandsparametern
ge¬
schrieben
'l
=
l2
=
Rllil
+
R12i2
'
R21il
+
R22*2
'
(25)
30
-
9
Abb.
Spannungs-
-
Stromrichtungen
und
beim
Vierpol.
Spannungs- und Stromrichtungen nach Abb. 9 gewählt werden. Die einzelnen
wobei die
Vierpolparameter werden je
einer
aus
einzigen Spannungs- Strommessung bestimmt,
nämlich
Rll
R
12
R
=
=
=
21
R22
Die
Spannungen
=
"l^l
bei
h
ux/i2
bei
ij
Ug/ij
bei
i2
"A beiil
und Ströme
2-2' kein Strom messen darf
Die
Widerstandsänderung
gerechnet
werden
[5]
quadratische
nachgebildet. Abb.
bestimmt,
so
Hallwinkel 6
'
=
0,
=
0,
"
°-
Halbleiterproben
wobei
und
einer
folgende
zwischen 1-1' oder
quadratischen
Platte
Platte
(Abb. 10)
im
Magnetfeld
kann
beträgt
i/cos
(26)
e,
Platte wurde auf dem Netzwerk mit 20 Maschen pro Seitenlänge
10 zeigt das Potentialfeld für 6
erhält
und bei der Netzwerkmessung
jeweils entweder
Quadratische
R(Bo)/R(0)
Die
den
°
(Abb. 9).
3.3.
exakt
an
bestimmt,
werden wie bei den Zweipolen
=
man
bei der
Fehler:
=
45°.
Wird der Strom nach
Netzwerkmessung gegenüber (26)
(19)
für verschiedene
-
Abb.
10
Potentialfeld der
tg 0
31
-
quadratischen
6
tg 8
26,6°
3
1
45°
6
2
63,5°
1.
%
40
Diese relativ grossen Fehler haben
%
%.
folgende Ursache. (19) wurde auf Grund
(h-»0) abgeleitet.
Bei hohen Werten von 6 tritt ein
grosser Teil des Stromes auf einem sehr kurzen Stück der Elektrode
aus
=
Fehler
0,5
eines kontinuierlichen Modells
Platte für
(nahe
der
Ecke)
und fliesst daher durch einige wenige Maschenwiderstände. Er ist dabei der Poten¬
tialdifferenz zwischen zwei Maschenpunkten
proportional.
Die erste
Ableitung
des Po¬
tentials in der Normalenrichtung, welche gleich -E-. ist, wird also im diskreten Mo¬
dell durch eine Differenz ersetzt, und
"zentralen" Differenz
differenz",
von
(17),
zwar
handelt
welche den Fehler
für welche der Fehler F, beträgt
F.
=
-
(h/2)(a2V/3n2)
+
es
sich hier im Unterschied
(24b) ergibt,
um
[12]
Gliederhöh.
zur
eine "Vorwärts¬
Ordnung.
32
-
Im
-
allgemeinen ist F. wesentlich grösser als F„, d.h. der Fehler, der bei der
Bestimmung des Stromes nach (19) entsteht, ist grösser als der Fehler bei der Er¬
mittlung
der Potentialwerte.
Um diese
schen,
Aussage
in denen die
(Abb. 11).
Dann
auch
grösste
ergeben
experimentell
Stromdichte
sich
folgende
zu
auftritt,
11
Fehler
0,5
26,6Ü
1
45°
2
63,5°
0,6 %
0,7%
20
%.
Unterteilung der Eckmasche in vier Maschen. Unschraffiert: Rjji
schräg schraffiert: 2 RN, horizontal schraffiert: 4 R«.
Der Fehler wird merklich
für
wurden die beiden Eckma¬
je in vier Maschen unterteilt
Fehler:
tg e
Abb.
bestätigen,
praktische Anwendungen
Elektrodenkonfiguration
herabgesetzt,
immer noch
Widerstände
zu
ist aber bei hohen Werten
gross,
umgelötet
abgesehen davon,
werden müssen.
von
dass für
tg 6
jede
-
Daher wurde der Strom in den
33
-
folgenden Messungen
nur
noch nach
(21)
bestimmt.
Dies hat den Vorteil, dass der Schnitt A-A' in ein Gebiet gelegt werden kann, wo die
höheren
Ableitungen des Potentials
kleinere Werte aufweisen als bei den Elektroden.
Ausserdem kann mit der zentralen Differenz gearbeitet werden. Man erhält damit
quadratische Platte folgende Fehler
für die
tg 9
8
Fehler
45u
<0,5
63,5C
was
tg
8
1,3
als günstig bezeichnet werden kann. Abb.
=
1 längs eines Schnittes nach Abb.
7,
12
zeigt die Feldstärkeverteilung bei
woraus
durch Planimetrieren der Strom
in der Platte bestimmt wurde.
Abb.
12
Verlauf der
Es
zur
Bei diesen
zum
Schnitt normalen
Bestimmung
Messungen zeigte sich das in Abschnitt 2.4. erwähnte Phänomen der
Instabilität. Abb. 13 zeigt einige
lung
am
Feldstärkekomponente En und tangentialen
(Quadratische Platte, tg 8 '= 1).
des Stromes in der Platte.
Rand bei
tg 8
=
1,
wenn
aufeinanderfolgende Näherungen der
stellt wird. Das Verfahren kann aber sehr gut stabilisiert
speiseströme
für tg 8
=
1
nach
zu
(22)
berechnet. Der Gewichtsfaktor
1 und für tg 8
experimentelle Bestätigung
=
der
Potentialvertei¬
jeweils der nach (18) ermittelte Einspeisestrom einge¬
2
zu
0,4 gewählt.
Aussagen
von
M.E.
J
Diese
werden,
wurde für
indem man die Ein-
tg
8
=
0,5
zu
0,
Messungen stellen damit eine
Fisher
[15] dar.
34
-
Abb.
Aufeinanderfolgende Näherungen (0, I,
DI) der Potentialverteilung
quadratischen Platte, wenn das Verfahren instabil ist (tg 6
13
...
Rand der
Für
tg
8
=
0,5
drei Iterationsschritte
waren
tg 8
=
2 ebenfalls
sechs,
6
=
1 als erste
Näherung
tg
3.4.
wobei
Als
=
Vergleich
Ausgangsmaterial
1,67
für die
.
104Jl -1m_1
wurde
mit
Herstellung
BM
AlgOg
London)
305") verwendet.
Rfl
=
0,12
von ca.
0,5
mm
und auf die
der Korngrösse
und darauf der
[18],
wie
es
Mit einer
Dicke abgeschnitten und ein¬
Polylite
8039
endgültige
Dicke geschliffen. Als
0,007
0,011
...
Korngrösse0,003
...
mm
("Emery
0,006
mm
BM
("Emery
Als Schmiermittel diente Glyzerin.
An die Kontakte wird wegen der
Niederohmigkeit
des Materials die
gestellt, dass sie ohmisch sind und einen Uebergangswiderstand
0,05St
verwendet mit
10"3 m3/As,
•
der Siemens-Halske verwendet wird
geschliffene Glasplatte geklebt
Ltd.
der Proben
Dann wurde das Plättchen mit dieser Seite mittels
Schleifmittel wurde zuerst
304", Fleming
1 sechs und für
=
das Potentialfeld bei
polykristallines, n-leitendes InAs
Diamanttrennscheibe wurde ein Plättchen
auf eine
tg 0
Halbleiterplatten
und einer Hallkonstante
Hallgenerator-Fertigung
seitig plangeschliffen.
für
Messung
1).
benützt wurde.
3.4.1.
rf
nötig,
für die letzte
jedoch
am
=
aufweisen. Sie wurden galvanisch auf
folgende
Weise
von
Anforderung
weniger als
hergestellt.
35
-
-
1.
Reinigen des Plättchens mit Trichloräthylen.
2.
Elektrolytische Reinigung
in einem
(Probe
der Probe
7,5 g/1
NaCN
20
g/1
NaOH
10
g/1
Na2C03
Stromdichte j«a 2
A/dm
3.
Aetzen in einer 1
4.
Abspülen
5.
Verzinnung
Probe
an
W40°C,
Anode
Kohle)
aus
1
:
»10 min.
Dauer
,
Mischung
von
HCl
HNO, [19].
:
mit destilliertem Wasser.
folgender Zusammensetzung [20]:
in einem Zinnbad
120
g/1
Natriumstannat
Na2Sn(OH)6
15
g/1
Aetznatron
NaOH
Kathode,
ca.
Stromdichte
«
2
Abspülen
7.
Abdecken der Flächen,
A/dm
o
Anode reines Zinn,
,
welche nicht
galvanisiert werden sollen mit Pycein.
Verkupfern
9.
Ablösen des Pyceins mit Trichloräthylen.
in einem sauren
Abätzen des nicht
von
Kupferbad
vor
nach
[10],
Kupfer überdeckten Zinns
%
dem
durch etwas
1 h.
ca.
in einer
destilliertem Wasser. Das
darunterliegende
Das Pycein wird erst
Zinnbad, begünstigt
von
Punkt 3 und 70
als Schutzschicht für das
muss
Temperatur
mit destilliertem Wasser und Trocknen.
8.
des Aetzmittels
3-proz.
H„02
1 h.
6.
schicht
Kathode,
o
einige Tropfen pro Liter
10.
an
cyanidischen Bad folgender Zusammensetzung:
Mischung
Kupfer
30
%
Zinn.
Verkupfern aufgetragen,
da
es
Wasserstoffentwicklung, abgelöst
aufgetragen werden,
von
dient dabei
da sonst das Zinn beim
sonst im warmen
wird. Die
nachfolgenden
Kupfer¬
Löten weg¬
legiert wird.
Nachher wurden die Kontakte mit Wood-Metall bei einer
100°C gelötet,
wobei verdünnte Salzsäure als Flussmittel
nungscharakteristik
zulässigen Strömen,
von
der Linearität bis
an
einer
zu
von
Typ
den höchsten ther¬
welche bei den Kontakten eine Stromdichte bis
ergaben, festgestellt werden. Aus dem Vergleich
rechnung
von ca.
der Kontakte wurde mit einem Tektronix Kennlinienschreiber
575 geprüft. Es konnte keine Abweichung
misch
Temperatur
diente. Die Strom- Span¬
zu
Widerstandsmessung
0,5 A/mm'
und -be-
Rechteckplatte genau bekannter Dimensionen wurde geschlossen,
dass der Widerstand pro Kontakt kleiner ist als
0,05ft.
-
3.4.2.
[10] ausgemessen,
-
Messanordnung
Magnetfeld
Die Proben wurden im
ten von
36
des
wobei die dort
für die Proben
gleichstromgespiesenen Elektromagne¬
angegebene
Eichkurve für die
magnetische
Flussdichte als Funktion des Stromes verwendet wurde. Sie wurde nochmals mit Hilfe
eines ballistischen Galvanometers kontrolliert. Sämtliche
Gleichstrom
ausgeführt.
Die
Messungen wurden mit
Gleichspannungen und -ströme wurden mit Instrumen¬
ten Siemens Multizet gemessen. Die
Widerstandsparameter
wurden aus einer
Span¬
nungs-Strommessung ermittelt nach Abschnitt 3.2. Die Schaltung zeigt Abb. 14.
H»
y Hall-Vierpol
",0
Abb.
14
Schaltung
für die Messung der
3.4.3.
Der
quadratische Gyrator
der Seite ein Kontakt
ker
Vierpol.
Für die
9).
ist eine
quadratische Platte,
Vierpolgleichungen (25) und
R,.,
Widerstandsparameter.
Quadratischer Gyrator
angebracht ist (Abb. 15) [2],
gleichen Elektrodenlängen gilt
Abb.
HS
-
bei der in der Mitte
Er ist ein
unseren
R-o (Spannungs-
quadratischen Gyrator
und
je¬
passiver, nichtrezipro¬
Stromrichtungen
mit
nach
37
-
B0©
-02
o
-o?
Ô
?
1
Abb.
15
gilt für symmetrische Platten
Ferner
R21<Bo>falls
R21(0)
=
(27) folgt
welche
diesen
von
R12(0)
=
J.
Meixner
g
Wick
tragungsverlust
=
bei
20
Beziehung
[21]
-7,66
trodenlänge
der
tragungsverlust
abhängt.
gestellt,
wenn
des
|fl
+
[4],
dass bei 8
(Dezibel).
(R12/Rn)^
=
90
der minimal
mögliche
ermittelt. Abb.
quadratischen
er
Dazu wurden R-. und
hat.
Platte beim
ist in Abb.
Ueber¬
Ausgang 2-2'
16
zeigt
von
a/b
nur
sehr
Gyrators
nicht belastet ist.
Mittelpunktes, wurde
Rjj
Magnetfeld
und
R12
tg 8
R-2
=
1 die Elek¬
am
Netzwerk
bezogen auf den
Null. Daraus wurde der Ueber¬
17 dargestellt. Man sieht, dass der Ueber¬
18 ist das Potentialfeld des
der
+
welchen Einfluss bei konstantem
in einem grossen Bereich
In Abb.
bezüglich
Rn
Rn
Uebertragungsverlust
tragungsverlust berechnet,
g für
db erreicht wird.
a/b (Abb. 15)
als Funktion von
Widerstand R
Uebertragungsverlust
"12
log
Als erstes wurde untersucht,
auf den
R21(-B0)undR21(+B0)=-R12(-Bo),
R_j (B )
bewiesen wurde. Der
beidseitiger Anpassung
hat gezeigt
von
(27)
R12<Bo>»
+
0.
dann aus der
Gyrator beträgt
R. F.
Quadratischer Gyrator.
eine Hälfte
(Da
wenig
von
bei tg 8
=
das Feld
gezeichnet. )
der
Elektrodenlänge
1 und
a/b
=
0,2
dar¬
punktsymmetrisch
ist
-
f si
38
-
i
Ro
LU
1.2
ZU
1.0
1.6-
12-
08-
0.4-
0
-
Uo
-
-
-
Rii
/Ro
0.6-
-
0.4-
-
>^Rl2
Ro
0.2-
-
—
0
—>
-
0.1
0
Abb.
0.2
0.4
0.3
0.5
0j6
07
Magnetfeld)
18
-2.
b
Vierpolparameter Ru, Rl2 (bezogen auf R0 der quadratischen Platte ohne
des Gyrators nach Abb. 15 in Abhängigkeit von a/b bei tg 6
1.
16
m
08
=
i
-
i
lb
;
j
,
•
^^
—<
14
12-
—»>
0.1
Abb.
17
02
03
Uebertragungsverlust g
gigkeit von a/b bei tg 8
des
=
1,
Q4
05
06
aus
08 A
b
nach Abb. 15 in Abhänden Parametern der Abb. 16.
quadratischen Gyrators
berechnet
Q7
-
Abb.
18
39
-
Potentialverteilung im quadratischen Gyrator der Abb. 15 bei a/b
1.
und tg 8
=
0,2
=
Als zweites wurde ein
aus
quadratischer Gyrator
mit den
InAs gebaut. Die Vierpolparameter dieses Gyrators in
feld wurden gemessen und sind in Abb. 20
dargestellt,
Abmessungen
Abhängigkeit
von
vom
Abb. 19a
Magnet¬
der daraus berechnete Ueber-
tragungsverlust in Abb. 21. Darauf wurde die Nachbildung Abb. 19b auf dem Netzwerk
ausgemessen, die entsprechenden Kurven sind ebenfalls in Abb.
gen. Hierbei wurde die
Aenderung
von
tf durch das
Magnetfeld berücksichtigt [22].
'
s
*w
20 und 21 eingetra¬
Z
,d-0.11
^
/
/
\
£%
s
/
.
46
h.
I
Abb.
19a
Gyrator
aus
Indiumar-
senid. Masse in Milli¬
metern.
Abb.
19b
Nachbildung des Gyrators der
Abb. 19a auf dem Widerstands¬
netzwerk.
-
40
12
Abb.
20
Vierpolparameter gemessen am Gyrator der Abb. 19a und ermittelt
Netzwerk (Abb. 19b) in Abhängigkeit des Magnetfeldes.
12
Abb.
21
Uebertragungsverlust des Gyrators der Abb.
in Abhängigkeit des Magnetfeldes, berechnet
19a und der
aus
Bo[KG]
aus
dem
aJko]
Nachbildung Abb. 19b
den Parametern der Abb. 20.
41
-
3.4.4.
Hallelement mit verbreiterten Elektroden
Ein Hallelement hat die Form
stromanschlüsse,
u. a.
zur
Abb. 22. Die Anschlüsse 1-1* werden Steuer¬
von
die Anschlüsse 2-2' Hallelektroden
genannt. Das Hallelement wird
Messung magnetischer Flussdichten verwendet. Die
Hallspannung
bei
-
als Funktion der
magnetischen
punktförmigen Hallelektroden)
Kennlinie,
Flussdichte zeigt, weist stets
gewisse Nichtlinearität auf, welche
eine
endlichen Länge herrührt. Diese Nichtlinearität wird vergrössert,
[18].
elektroden endliche Dimensionen haben
©B
welche die
Für die
Messung
wenn
einer
(also
von
auch
der
die Hall¬
derartigen
Kenn¬
linie wurde ein Hallelement mit absichtlich
2
—
r=;
breiten Hallelektroden
24
Unsymmetrie
aufgezeichnet. Infolge
welche durch
Nullspannung auf,
Umpolen
des Stromes und Mittelung der
beiden Werte der
Hallspannung eliminiert
wurde.
Y
22
der
der Hallelektroden tritt eine
ohmsche
91
*•
Abb.
seine Ab¬
messungen" zeigt Abb. 23. Seine Kennlinie
ist in Abb.
1
gebaut,
Hallelement.
d-0.12
d-a09
y
j }
>t)
>
>
>
>
>
>>>>)}>>,>
>)>>>>>>>>>>
>
i
>>>>
i
>>>>>>
>
46
Abb.
23
Hallelement
aus
Indiumarsenid mit verbreiterten Elektroden. Masse in
Millimetern.
42
lfc[irife
1234567891011
Abb.
einem Steuer¬
100 mA gemessen am Hallelement von Abb. 23 und ermittelt an
der Nachbildung Abb. 25. Quadratische Approximation der Kennlinie. Ver¬
gleichskennlinie für punktförmige Elektroden.
Die
von
Nachbildung
als Funktion des
erstrom
von
auf dem Netzwerk zeigt Abb.
Magnetfeldes
25. Für diese
Nachbildung
100 mA berechnet. Sie ist ebenfalls in Abb. 24 eingetragen. Beim Aetzen
der andern. Seine Dicke beträgt daher auf der einen Seite
mm.
Die
de
Es wurde daher mit einer mittleren Dicke
am
gebauten
quadratische
B
ist in
falls in Abb.
24
0,105
mm
mm
abgetragen
als auf
auf der andern
gerechnet.
=
approximiert werden
2,46 Bn
+
0,174 B"
Kilogauss einzusetzen, U„ wird
gegenüber
von
0,09
Hallelement gemessene Kennlinie kann empirisch durch folgen¬
Funktion
JH
Fehler
wurde
ermittelt, und daraus die Kennlinie bei einem Steu¬
wurde bei diesem Element auf der einen Seite etwas mehr Material
0,12
E^[k6]
Hallspannung als Funktion der magnetischen Flussdichte bei
24
strom
Rj2
12
der gemessenen Kurve
eingetragen.
in Millivolt erhalten. Der maximale
beträgt
4
%.
Diese
Approximation
ist eben¬
43
:5:
Abb.
Nachbildung
25
3.5.
Die
des Hallelementes
Schlussbemerkungen
Messungen
mung zwischen den
zu
Abb. 23 auf dem Netzwerk.
dieser
Methode
Abschnitt 3.4.3. und 3.4.4. zeigen eine gute Uebereinstim-
von
am
von
Netzwerk und den
Halbleiterproben ermittelten Parametern.
an
Ausser den in 2.5. und 3. 3. diskutierten Netzwerkfehlern kommen noch
lerquellen
in Betracht: Toleranz
von
ff und
R,,
folgende
Messung
sowie Fehler bei der
Feh¬
der Ab¬
messungen, insbesonders der Dicke der Proben.
Als weitere
rung
von
Anwendungsmöglichkeiten
sogenannten "skew gyrators"
Ermittlung der Hallkonstanten
folgendes hingewiesen:
geschieht meist
aufnahme
Die
aus
[2] (unsymmetrische Gyratoren
Proben
beliebiger
Geometrie etc.
Ermittlung der zulässigen Erwärmung
unter Annahme einer
[18]. Abb.
der Methode seien erwähnt: Dimensionie¬
10 und Abb.
gleichmässig
mit
R12
=
0),
Ferner sei auf
Hall-Vierpolen
von
über die Platte verteilten
18 zeigen aber, dass schon für tg 0
Leistungs¬
1 die Strom¬
=
verteilung sehr inhomogen sein kann, und nahe den Elektroden sehr grosse Stromdich¬
ten
auftreten,
portional j ).
dort also eine wesentlich grössere Erwärmung auftreten dürfte
Die
der zulässigen
teilungen
mit
Belastung
von
Gültigkeit
sowie mit einer
werden
muss.
also auch für die
(pro-
Festlegung
Nutzen. Die mit dem Netzwerk ermittelten Potentialver¬
und Parameter haben
Skineffekt,
gerechnet
Ermittlung der Potentialverteilung ist
Diese
bis
zu
denjenigen Frequenzen,
Frequenzabhängigkeit
Frequenzabhängigkeit
soll im nächsten Kapitel behandelt werden.
der
der
von
denen
galvanomagnetischen
galvanomagnetischen
an
Effekte
Effekte
44
-
4.
4.1.
DAS FELD BEI WECHSELSTROM
Ausgangspunkt
der
Den
Ausgangspunkt
[9, 10, 43],
war
Wechselfeldes,
von
qualitative Erklärung
beobachteten
Effekte
bilden verschiedene
nachfolgender Rechnung
Rechteckplatten
und Corbinoscheiben
dabei stets wesentlich kleiner als die
Messungen
aufzeigen.
Eindringtiefe
Die Dicke der
des elektrischen
sodass die Erscheinung nicht mit dem bekannten Skineffekt
Zusammenhang gebracht
sungen wurde nicht
qualitativ
zu
und
welche bei hohen Frequenzen eine Abnahme der geometrischen Wider¬
standsänderung
Präparate
-
mit den
werden kann. Eine theoretische
gegeben [9]
Messungen
Corbinoscheibe bei hohen
zu
[10, 43, 44],
Im
folgenden
soll die
in
es
sich bei der beobachteten
welcher anschaulich
folgendermassen
nur
Impedanz
Frequenzen berechnet werden und mit Messungen
handelt,
[24]
diesen Mes¬
oder stimmte wegen der grossen Vereinfachungen
überein
verglichen werden. Es zeigt sich, dass
einen Eigenfeldeffekt
Begründung
von
der
[10, 43)
Erscheinung
um
erklärt werden
kann.
Die Corbinoscheibe
und einer äusseren
(Abb. 26)
ist eine
kreisringförmige
Platte mit einer inneren
Ringelektrode.
r
Abb.
26
Corbinoscheibe und
Polarkoordinatensystem.
45
-
Bei Gleichstrom
beträgt
-
ihr Widerstand
Rc(0)
c
Die
in Abb.
infolge des
26 in eine
cos^e
°
statischen
Magnetfeldes spiralförmig
Radialkomponente j
und in eine
Tangentialkomponente verursacht einen
Die
Nach dem
verknüpft,
Induktionsgesetz
$,
ist dieser Fluss mit einer
welcher die Scheibe umschliesst.
tangentialen Feldstärke E,» (r)
wobei gilt
2TIr
E,p
(r)
=
-
3$(r)/3t
Aus Abb. 26 geht anschaulich hervor,
nente
Fluss
fliessende Stromdichte ist
Tangentialkomponente j„ zerlegt.
entgegengesetzt gerichtet
verkleinert daher die
ist
zur
(29)
•
dass diese
tangentiale Feldstärkekompo-
Tangentialkomponente
der Stromdichte.
Sie
und dies bewirkt eine Abnahme des
tangentiale Stromdichte,
Widerstandes.
4.2.
Da die
chen
folgenden
werden,
Messanordnung
theoretischen
soll eine kurze
Ergebnisse
Beschreibung
der
von
mit den
[10]
Messungen
Messanordnung
von
von
[10] vergli¬
[10] gegeben
wer¬
den.
Bei den
einer
Präparaten
handelte
Mikrowellenleitung
es
sich
um
Corbinoscheiben,
deren
nach einer modifizierten Reflexionsmethode
Impedanzen
[25]
in
gemessen
wurden. Das Präparat wurde dabei im Innenleiter nach Abb. 27 angebracht. Hinter
das Präparat wurde ein Kurzschlussschieber
geschaltet
sich die Probe in einem Feldstärkeminimum
befand. Der Realteil der Impedanz wurde
aus
dem
Stehwellenverhältnis,
bestimmt. Die
am
Störungen,
Ort der Probe
der
Imaginärteil
aus der
welche sich wegen der
und dieser
Für weitere Details
sh.
eingestellt, dass
Länge der Kurzschlussleitung
Anordnung
der Probe nach Abb. 27
ergeben und einen induktiven Impedanzanteil
vernachlässigt werden,
so
verursachen,
können
da sich die Probe in einem Feldstärkeminimum befindet.
[10].
-
Abb.
27
Anordnung
1.
2.
3.
4.
5.
Impedanz
Z
(x)
Z(x)
wobei U
und I
(x)
(x)
die
Präparat
Polyester
Kontaktstellen
Innenleiter
Glasunterlage
x
einer
Impedanz
Koaxialleitung
anwendbar,
tangentialen Feldstärkekomponente
gemessenen
[26] :
Spannung zwischen Innen- und Aussenleiter gemessen in der Ebene
der an dieser Stelle fliessende Strom ist.
nun
wird definiert als
U(x)/I(x),
tion nicht mehr ohne weiteres
besteht
der Corbinoscheibe im Innenleiter.
in einer Ebene
=
-
Definition der
4.3.
Die
46
darin,
die
entspricht
Impedanz
so zu
oder anders
da die
nicht mehr
Für
unseren
Spannung
wegen des Auftretens einer
eindeutig definiert ist.
definieren, dass
ausgedrückt:
x
Fall ist diese Defini¬
Das Problem
sie der nach Abschnitt 4. 2.
Wir kennen die Feldstärke- und
47
-
Stromdichteverteilung
in der Corbinoscheibe. Wie berechnen wir daraus die
welche nach Abschnitt 4. 2.
Die
lung
-
Mikrowellenmessung beruht darauf, dass die Spannungs-
des TEM-Modus mit radialer elektrischer und
stärke in der
Leitung periodisch
sind mit der
4.4.)
Koaxialleitung
und können im Abstand X
sung die
nicht
und Stromvertei¬
tangentialer magnetischer
fortpflanzungsfähig [27],
Frequenzen (sh. Abschnitt
also auch nicht
periodisch
vernachlässigt werden. Also wird bei der Mikrowellenmes¬
Impedanz
Z«
"ix Im Vi
=
<3°>
gemessen. Da aber der TEM-Modus mit radialer elektrischer Feldstärke
ist,
Feld¬
Wellenlänge X. Andere Feldkonfigu¬
rationen heissen höhere Modi und sind bei den verwendeten
in der
Impedanz,
gemessen wird?
muss
periodisch
gelten
U(x
mX/2)
-
/z
=
E
(x) dr
.
r=rx
Für den Strom
I(x) gilt
I(x)
Also
messen
=
wir eine
kann als
I(x
mA/2).
-
Impedanz
der
Corbinoscheibe,
welche berechnet werden
r,
Vx)
V
Z(x)
=
dr
-i
(31)
.
IM
Die höheren Modi haben
ein
zur
Folge, dass bei
imaginärer Anteil erscheint [27], welcher
sich in einem Feldstärkeminimum
befindet,
in
wird
der Messung der
(31)
er
Impedanz
noch
nicht enthalten ist. Da die Probe
vernachlässigt.
48
-
4.4.
der
Berechnung
-
Impedanz
der
Die
Bestimmung
lung j,„ (r)
des
Corbinoscheibe
Ê*
div
Vereinfachung
magnetischen Wechselfeldes
problem mit der Randbedingung B
leiter. Da sich das Problem in dieser Art als
aus
der Stromdichtevertei¬
Innen- und Aussen-
zylindrischen
0 auf dem
=
umfangreich
zu
erweist
sichtigt werden muss, dass ja die Stromdichteverteilung j„ (r) nicht
bekannt
ist),
wird in der
magnetische Wechselfeld
Luft
umgeben wäre. Das
äussern
Kontaktring
folgenden Rechnung
berechnet
so
Magnetfeld,
verursacht
wird,
gung
Ew,
=
0 erfüllt wird.
Randbedingung
=0
Randbedingung E,.
Randwertaufgabe
nur
E»
wird,
ein,
=
an
0 nicht mehr. Es kann
äquivalent
ist
nicht berücksichtigt
1*
dass
Falls diese Kreisströme
eine der beiden
div
wenn
wird also nicht
zur
berücksichtigt.
vernachlässigt werden, gilt also
gezeigt werden [28], dass die
Randbedingung
rung des
0 und
zur
Lösung
einer
dass eventuelle
(32)
berechtigt ist,
Feldstärkekomponente
Eigenmagnetfeldes
=
also
wird
vernachlässigt. (Der Eigenfeldeffekt,
wird durch die
B
muss.
Vereinfachung gemacht,
werden,
Diese Kreis¬
den Elektroden die Randbedin¬
am
Schluss dieses Abschnittes
tersucht. Wie im Gleichstromfall wird der Einfluss des
Hallwinkel
nur von
0.
=
Wie weit diese Annahme
wurde,
dass das
die Corbinoscheibe
vorgegeben werden
Ferner wird in diesem Abschnitt die
Raumladungen
wie
berück¬
vornherein
welches durch die Kreisströme im innern und
ströme in den Elektroden stellen sich so
auch die
(wobei
von
Vereinfachung gemacht,
die
der
nach Abb. 27 ist ein Randwert¬
Anordnung
einer Corbinoscheibe in der
mit
0
=
herrührt.
)
E
Eigenmagnetfeldes
welcher in 4.1.
v
verursacht,
un¬
auf den
qualitativ erklärt
welche von der Aende-
Für die verwendeten Stromdichten ist dies
zulässig.
Im
Polarkoordinatensystem
div E
3Er/3
=
r
+
von
Er/r
Der dritte Term verschwindet
keine
z-Komponente
von
3E
r
E auftritt.
/3r
+
Abb. 26 lautet
E
+
(l/r)(3
infolge
der
Also lautet
/r
r
=
0,
'
E^,
(32)
/
3
<f> )
+
3
Ez/d
Rotationssymmetrie,
(33)
z
=
der
0
.
vierte,
(33)
da
49
-
woraus
folgt
Ef
c3/r
=
(34)
,
wobei Co eine Konstante ist.
Infolge der Stromkontinuität und (32) gilt
divT
also mit derselben
Begründung
jr
wobei ci
1
Dann
=
von
ir
i,p
=
jrd
JT= 3>fd
,
'
,
T=Td.
Cj/r
mit
(37)
und
.'•
E,p
(37)
.
kann dann unter
Berücksichtigung
von
(4)
im Polar¬
Abb. 26 geschrieben werden
ffd
=
(S d
=
cos2
cos2
6
(Er
+
tg 6
Eip),
(38)
6
(E^-
tg 6
Er
).
(39)
(34) ergibt
Cj/r
1)
1)
sei noch definiert
Transportgleichung (1)
koordinatensystem
c.
(36)
gilt wegen (36)
ir
wobei
(34)
c'j/r,
=
folgende Ableitung
ir
(38)
wie für
wiederum eine Konstante ist.
Für die
Die
(35)
0,
=
=
=
ffd
cos2
c4/r,
6
(c3/r
+
tg 6
E^).
(40)
wieder eine Konstante ist.
gegenüber der Eindringtiefe des elektrischen Wech¬
gerechtfertigt, dass E und j*keine Abhängigkeit von z
Da die Dicke d klein sein soll
selfeldes,
aufweisen.
ist die Annahme
50
-
(39)
(40)
mit
(34) ergibt
und
iy
nenten
=
=
cos2
Cd
=
.\if
Aus div E
der
folgenden
Frequenz
Daraus
0 und div
j
Ef(r), i(r)
co
Dies heisst
wird daher
(39)
(c3/r)),
0
=
dass die Tangential- und
folgt also,
(29) ergibt
2TTc4
=
und
$(r)
als
(const, /r)
Radialkompo¬
verlaufen.
sich
=
9
-
Zeiger
$ (r)/ô
von
t
=
-
ito$ (r),
sinusförmig
variierenden Grös¬
aufgefasst werden.
folgt
c4
er
.
(41)
2HrEf(r)
sen
tg 9
-
und i nach einem Gesetz der Form
von E
im
(c4/r
6
c2/r.
Aus dem Induktionsgesetz
wenn
-
mit
=
noch
$
(42)
.
$(r)
dass der Fluss
aber,
nur
jco$(r)/2TT
-
zwischen
r.
und
r»
konstant sein muss,
geschrieben.
(42) ergibt
i9
Der Fluss
$
tfd
=
ist dem
l\f
cos2
e
(-
^p $
-
tg e
-1).
(43)
gesamten Kreisstrom I tf proportional. Dieser beträgt
J
~
i^
rl
dr
=
c2
In
(^/rj)
.
Daher können wir schreiben
$
wobei die
und
=
K
c2
(44)
,
Proportionalitätskonstante
K vorerst noch nicht bekannt ist.
(44)
(41) ergibt
$
=
Kc2
=
Ki
r
=
K 0" d
cos2
6
(-
jto$/2Tt
-
Cg tg 9),
mit
(43)
51
-
=
.
1 +
Aus
(38), (42)
und
Ir
t
I,
d
££-
(45) folgt
=
2TTr.
=
2,ir
ÏÏ
r
Er
(«)
a—8
.
ff d
K
cos2
gesamten Radialstrom
für den
itj
„«„z
a
cos
.
odc.
8
3
Impedanz
it
(1
Jw
Jfc--
.
+
K
Cd
_2
sin
o
v
irr
•
2T
1+^KÎd
)
cos2
•
0
(31)
Z nach
f2
dr
(c,/r)dr
rl
rl
Z
8 sin 8
cos
„
__
ir,
Daraus berechnet sich die
J2
Cd
-Kc,
&
-
1
x
=
I
,,
r
2TI
_H
öd
2
„
c,3
cos
Für den Gleichstromwiderstand R_
Rr(B)
Daher
„
(1
(1/r)
i
=
Cd c„
211
]u
,
+
4»
"
K
tfd
(1
+
sinz
8
*
t—
(B ) ergibt sich,
J2
c3
„
8
^g-
K
da dann E
(Td
^
cos2 8)
=
0
dr
j
cos
6
ergibt sich für die auf den Gleichstromwiderstand R_(B ) bezogene Im¬
pedanz J
2ÏÏ
CTd
cos2
8
(1
2TT
j
+
jui
K
1
Cd
+
sin12
+
i" K_?J_sln_8
*"
Öd
1
cos
8
(ju/2Tl)
K
0*d
cos2
8
+
(Jco/2Tt)
8
K
0*d
cos"
)
8
52
-
2TC
+
jco
K
ffd
cos2
6
211
+
jco
K
cTd
cos2
6
21t
+
jU)
K
ffd
cos2
6
2TT
+
jco K Od
4TC
2
+
-
jco
+
sin2
CTd
K
to2 K2 CT2 d2 cos2 6 21T jco
4ÏÏ2
co2 K2 a2 d2
+
6
K
(cos2
ffd
6-1)
+
Schreiben wir dies als Real- und
Bo
Re
,,
(î
,
'
ImImi.»
4TT2
_
2TT
.
co
K
+
IT
CO**
1.
B
,._.
(47)
9
,.„.
*
F~2
(48)
d^
cT
Bevor wir den Verlauf dieser Ausdrücke
wollen wir
erhalten wir
so
'
Cd sin
2~~2
2
4 71^
,
6
2~~2
2
2
\
von
co2 K2 CT2 d2 cos2
-f
?
{V
Imaginärteil
einem konkreten
an
Beispiel untersuchen,
einige Grenzfälle diskutieren.
=
0
,
d.h.
6
=
0.
Dann wird
)
Re(j
=
1,
Im(j)
=
0
,
d.h. wir haben
den Gleichstromwiderstand.
2.
co -*co
,
dann haben wir
Re(* )
2
=
cos
6.
Da
Rr(0)
Rc(B°)=^'
cos
ö
ist
=RC(0),
Re(Z)
d. h.
der Realteil der
Impedanz
bei
beliebigem Magnetfeld geht für sehr hohe Fre¬
quenzen in den Gleichstromwiderstand bei B
netische
Widerstandsänderung.
Im(Z)
=
Der
0.
(49)
=
0
Imaginärteil
über,
von
d.h.
wir haben keine mag¬
Z verschwindet
(50)
53
-
(49)
und
(50)
für den unendlich
wurden
von
D. A.
langen Zylinder
-
und A.L.
Kleinman
erhalten. Im
den Messungen an der Corbinoscheibe
©
von
folgenden
Schawlow
wollen wir
[10] vergleichen.
(47)
[39]
und
Sie hat
auch
(48)
mit
folgende Ab¬
messungen:
r*
Der Verlauf
von
1,025
=
mm,
r„
=
2,50
9 und ff als Funktion des
mm,
d
Magnetfeldes
=
0,013
mm
ist in Abb.
.
28 darge¬
stellt.
e[°UB[ßem]"1h
90
-
-
180
80-
70
60-
50-
to-
30
70-
»-
i2
Abb.
28
ly«]
Spezifische Leitfähigkeit 6 und Hallwinkel 6 als Funktion der magnetischen
Flussdichte für InSb der Corbinoscheibe.
Dazu müssen wir die
Fluss
bestimmen,
dichte B
welche
Proportionalitätskonstante
von
eines Kreisstromes
29), beträgt
der Geometrie
I,
welcher im Radius
in der Ebene des Stromes
Bz(r)
abhängt.
o
K zwischen Kreisstrom und
Die axiale
vom
magnetische Fluss¬
Mittelpunkt fliesst (Abb.
[29]:
(51)
54
-
Abb.
wobei K
(k)
und E
(k)
die
-
Kreisstrom mit dem Radius
29
9.
vollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Art
des Moduls k sind und
4
(?
(51)
ist tabelliert in
p
r
r)
+
7'
[30]. (Jene
Werte müssen durch 4 T[
Werte im rationalisierten Giorgi-System
zu
erhalten.
)
Zur
dividiert werden,
Bestimmung
von
um
K wurde
der Kreisstrom der Corbinoscheibe in acht diskrete Ströme unterteilt und willkürlich
-2
2
10
A. Dann wurde für eine Reihe von Punkten B„ herrührend von
gewählt c,
=
•
ù
jedem
Z
einzelnen Strom nach
des Flusses wurde B
2
•
10
[301
Bestimmung
numerisch über die Fläche integriert. Man erhält für c,
A den Fluss in der Fläche ïï r?
und
$
=
4,51
.\K
=
$/c2
(48) wurden
=
von
30 und Abb.
10"11
=
zu
Wb.
2,26
für diesen Wert
ausgewertet und sind in Abb. 30
<T
Zur
2
-?
(47)
8 und
ermittelt und alle Werte addiert.
und Abb.
10"a Vs/A,
von
31
K und drei verschiedene
dargestellt.
Abb. 28 verwendet. Die Messergebnisse
31
eingetragen.
von
Frequenzen
Dabei wurden die Werte für
[10]
sind ebenfalls in Abb.
55
Ret/)*
rrzrq t=d h=—<
>
"•
9_
^3'
-1050 MHz
-1500MHz
1950 MHz
*
[tl]
«
Messung
«
Rechnung mit divlf-O
7
Abb.
30
Verlauf des Realteils der
bezogenen Impedanz
mit div E
Abb.
31
Verlauf des
Imaginärteils
der
=
0.
8
»
*
,
bezogenen Impedanz
mit div E
=
0.
9
Messung
)
a
,
10
B0[kG]
und Rechnung
Messung und Rechnung
56
-
Wir wollen
Daraus
nun
folgte ja
Fluss zwischen
2-10"
A wie
noch die
(42),
nach
t^
und
zuvor.
anfänglich getroffene Annahme
dass
$
=
r2 aufgetragen
Man
sieht,
const,
gerechnet werden
Rechnung,
muss.
zwischen
r1
für einen Verlauf
dass der Fluss
variiert und daher mit der Annahme div E
macht wird. Wir sehen also
-
=
von
r„.
0 diskutieren.
=
In Abb. 32 ist der
i«, nach (41) und
zwischen r, und r0
0 eine grosse
nachträglich, dass
Dafür erlaubte die
$ (r)
div E
und
Vernachlässigung
mit dem Auftreten
Vereinfachung
div E
=
von
c„
=
stark
ge¬
Raumladungen
0 eine einfache
und wir erhielten für die bezogene
druck. Im nächsten Abschnitt soll
Impedanz j einen geschlossenen Aus¬
die Rechnung ohne diese Vereinfachung div E
0
=
durchgeführt werden.
§[Wb]|
!
8-icr11
7
-
6
S"2 •10"2A
5
4
3
2
1
-
-
-
-
"
r2
F1
0c
Abt).
10
32
\Verlauf
12
cles
U
Flus ses
16
$(r
18
zwisch en
20
r1
un d
22
r, für
C9
2A
=
2
•
2J6
10"2
r
A.
-
Berechnung
4.5.
der
57
-
Impedanz der Corbinoscheibe unter
Berücksichtigung der
Falls
Raumladungen auftreten,
lautet die
Raumladung
Kontinuitätsgleichung für die Strom¬
dichte
divf
wobei q die
=
9q/3t
-
Raumladungsdichte
Seite vernachlässigt werden
divE
ist. Um
kann,
(52)
,
zu
zeigen,
machen wir
dass der Term auf der rechten
folgende Abschätzung:
q/£,0,
=
(53)
oder in einem eindimensionalen Modell
ÔE/ax=q/E0.
(54)
Nun nehmen wir an, das Feld ändere sich auf einen Zentimeter
3E/Ô
x
q
OE/3x) tQ
=
=
104
Unsere Corbinoscheibe hat ein Volumen
Raumladungsdichte
paratwiderstand
•
—Ifi
10"
s
Ladung Q
eine
von
fliessen,
von
Q
«
10
-
8,85
10
von ca.
-7
10"12
•
.10
-9
-9
5 iL und unseren Dimensionen
0,
von ca.
entspricht einem Feld
0,5
gilt praktisch
1
um
V/cm
ein Strom von ca.
die oben berechnete
3
m
=10
,
Daher
gilt
wieder
ir
Etwas einfacher
=
T
entspricht obiger
also
-16
As. Bei einem Prä¬
(sh. vorheriger Abschnitt)
2 A. Dieser Strom
Ladung Q
zu
muss
während
erzeugen. Diese Zeit liegt
von
0,5
•
10
_g
s.
Also
exakt
divT
rot H
V, also
10"7 As/m3.
»
aber weit unter dem reziproken Wert der höchsten Frequenzen
1)
1
um
104 V/m2.
=
+
0.1*
=
(37)
=
Cj/r.
gelangt
Ergebnis
unter
Berücksichtigung,
dass
man zu
60(3 E/a t)
und
diesem
Verwendung
von
£0(3 E/3 t)«j*
verwendete Material bei Frequenzen zwischen 1 GHz und 2 GHz.
für das
58
(38)
lautet damit
i
Cj/r
=
cl
.\E„
=
r
Nach
cos2
ff d
=
r-
r..
Z
c.
î
|2(
dr
Cd
r
Z
tg 9 E
,
21t
"l
Ir
cl
Cf d
cos2
dr
rCl/r
"Ï
r
er
21t
)
8
cos
=
=
(55)
Impedanz
r„
r_
J2 Er
,
T
erhalten wir für die
(31)
tg 8 E f )
+
tg9E..
5
OTd cos^ 0
r
(Er
6
T
6
rj
rj
(B )
Da der Gleichstromwiderstand R_
lntr-A-,)
c
°
Cd
21
cos^
0
beträgt, erhalten wir für ^
ffd sin 9
J
1
=
Wir müssen
nen
wir
aus
dem
2TCr
und
-
Cj
nun
}2
9
cos
,
y
y
Ev
dr
(57)
•
.
ln(r2/rj)
das Integral über E
„
im zweiten Term berechnen.
E,.
berech¬
Induktionsgesetz (29)
E^fr)
=
jiu$(r)
-
berücksichtigen, dass
r
$(r)
=
f
s=0
21t
s
B„(s) ds,
z
(58)
59
-
-
also
r
Ey
(51)
Nach
(r)
f
jto
erhalten wir für
>)=f
It
n
Bz(s)
„2
^AiL
2TC
(59)
B_(s) ds
s
*
(O
+
K(k)
s)
?
+
(?
?=ri
Mit der
2
-s
E(k)
s)2
-
(60)
Abkürzung
o2
2fL
K(k)
?
+
~
(?
=2
E(k)
%
s)2
-
(61)
erhalten wir
2
Po
Bz(s)
Die Funktion
s/o
hat bei
=
(s/o )
4"
ist in
gilt.
41
[30]
(s/o )
d
(62)
o.
tabelliert und ist in Abb.
1 einen Pol. Dieser rührt davon her, dass
strom mit unendlich dünnem
für
V?>
•?
dargestellt.
33
(s/o )
Querschnitt und damit unendlich
Für einen Kreisstrom mit endlicher Stromdichte ist
s/o
41
Sie
für einen Kreis¬
grosser Stromdichte
(s/o )
und
3f/3s
auch
=1 endlich.
Aus (39) und (55) erhalten wir
c,
Cd
6
cos
i
_
Cj
(E,
Cd
'*p
in der Variablen
2
Bz(s)= [
9-T!
r
„
I2-T
r
=
tg 6
(E,
tg 6
(Td
ff d
cos
~^~
tg
6
eV
)•
und
p geschrieben
crdU|52.
+
4>(s/o)
TXS"T'
(63)
in
[
(62) eingesetzt ergibt
r*-*-
c,
?
tg e
d?
(64)
60
0
025
Abb.
(64) eingesetzt
r
E
v(r)
=
-jw
05
33
in
f
J^
10
15
175
H>
2fl
(s/o )
nach
225
25
V9
f30].
(59) ergibt
r.2
«dp
J
s
o
-^f—ü^s/o)
J
s
s=0
te.
Lv?>
cx tg
e
o(fd
=rj
folgende Integralgleichung
w.-la.
+
125
Verlauf der Funktion
s=0
Wir erhalten also
075
{
s=0
J
2
9 =rj
s
<TdPo
4Ttp
für E
v
(r)
•*«»/?) B^(?)dÇ
/2i^L^i,(s/ç)d9ds.
/=ri 4ÏÏ?2
ds
61
Wir können mit
(r)
-
(65)
-
noch
folgende Umformungen
liü. ^°
f
s=0
wobei
oc
=
Od
und
(3
=
&
Ho
y =rj
£]-?.
tg 9.
c.
-
?v?>
ds
s
vornehmen
f |T(s/ç) ^
[« $e
(?) +P]
d9
s=0
Mit der
Variablen
neuen
u
=
H(r/ç)
s/o
=
und der
J
Bezeichnung
u«V(u)
du
u=0
erhalten wir
?=rl
oder
arE^(r)+
J
p=-jTj
H(r/o )
[0&9 E^ ( 9)
+
ß J
d
9
+
?=rl
mit
(ouooc
TIÎ
Wählen wir als
G(r)
so
=
erhalten wir für
neue
otr
Funktion G
E^ (r)
+
(r)
p,
G(r) folgende Integralgleichung
des Fredholm'schen
Typs
[41]:
ß
62
-
(r)
=
J2
3J
-
H(r/?) G(?) d?
f=rl
+
(66)
ß.
Wir betrachten wieder zuerst die Grenzfälle des letzten Abschnittes.
1.
6
=
0
.-.
dann haben wir die
ß
=
0,
homogene Gleichung, welche
E^tr)
EyÜ")
«
r
=
zu
die
Lösung
G
(r)
=
0 hat.
0,
=0,
-1'
%
wie
nur
erwarten war.
2.
co —»od
•*.
—»co
tj
.
Wir teilen zuerst durch "o und lassen
J2
H
-»co
yf
(r/9) G(<7) dÇ
=
gehen.
Dann erhalten wir
0,
also
G(r)
OC
r
o,
=
Ey
(r)
+
ß
=
,W---êrr2
I
o,
Cj
r
9
Cj tg
Kf
(r)
(57)
erhalten wir
dr
tg e
Cîd
=
r=rl
Durch Einsetzen in
%
.Z
=
1
-
sin
=RC(0).
2
n
6
=
cos
2
e,
(67)
-
also dasselbe
Resultat,
63
-
wie unter der vereinfachenden Annahme div E
=
0 des letz¬
ten Abschnittes.
Die numerische
Anhang.
Auswertung
von
(66)
für die
übrigen Fälle findet
sich in einem
64
-
-
5. RAUSCHEN VON HALL-VIERPOLEN
5.1.
Rauschen
In diesem Abschnitt wird
den meisten übrigen
unkorreliert
sind,
stromlosen
im
gezeigt,
dass beim Hall-Vierpol,
die beiden
Vierpolen,
Zustand
Rauschquellen
falls bei verschwindendem
Magnetfeld
Es
von
Vierpolgleichungen
gilt [21 ]
ul
=
u2
=
Rll
h
+
R12 *2
'
R21
*1
+
R22 *2
•
fi.,(+B0)
R12(+Bo)
R12(0)
Im
=
R21(0)
folgenden
=
geschrieben
können
"R21 ^~Bo^
=
die
Transferimpedanz
sind,
Null
Eigenfeld¬
dass
werden
(25)
für die strom" und
Spannungsrichtungen
(27)
Abb. 9. Insbesondere gilt
falls
zu
Kapitel behandelt wurden, vernachlässigt werden können.
wie sie im letzten
Die
Gegensatz
des thermischen Rauschens
ist. Diese Rechnung bezieht sich auf Frequenzen, die tief genug
effekte,
im
=
+
R21(+Bo),
0 und die Platte
symmetrisch ist (sh. Abschnitt 3.4.3.).
betrachten wir einen Hall-Vierpol für den
ist z.B. beim Hallelement nach Abb.
22 der
(27)
erfüllt ist.
(Dies
Fall.)
Wir ersetzen den rauschenden Vierpol durch einen rauschfreien mit den Rausch-
quellen
"TT
u
..
am
Eingang
einen rauschenden
Da das
ves
und
Vierpol
"TT
u
am
«
wurde
Magnetfeld keine Energie
Element im
an
H.
die
Rothe
und W.
Träger abgibt,
thermodynamischen Gleichgewicht,
quellen berechnet sich
nach der John son-Formel
url
4 k T Rll
"
rl
"
"T
wobei k die Boltzmann'sche
(Der
Wert
Af
Konstante,
von
4 k T
=
1,65
•
für
begründet [31J.
ist das Hallelement ein
passi¬
und die Grösse der beiden Rausch¬
[32]
'
(68)
T die absolute
beträgt
bei
Temperatur und Af die Band
Zimmertemperatur 1,65
also
u*
Dahlke
4kT|R22|*f'
=
ur2
breiibreite bedeuten.
Ausgang (Abb. 34). Dieses Ersatzschaltbild
von
10"20[VAs]
R
Af
).
•
10
-20
VAs,
65
-
Abb.
-
Vierpols durch einen rauschfreien und zwei Rausch¬
quellen. Zuschalten eines Widerstandes R* zur Bestimmung des Korrela¬
Ersatz des rauschenden
34
tionskoeffizienten.
(68)
experimentellen Ergebnissen
stimmt mit
Die Korrelation zwischen den beiden
experiment
von
G.
[34]
Kraus
[33].
überein
wird nach einem Gedanken¬
Rauschquellen
bestimmt. Dazu schalten wir einen Widerstand R*
(Abb. 34).
zwischen die Eingangsklemmen 1-1'
Dann fliesst im
Eingangskreis ein
Strom
R
Va
'rl
+
4 k T
xrb
(R*
Der erste Term rührt von der
ihr
korreliert,
R*
erzeugt und ist
von u
UL
Die totale
wobei
sehen
c
u
und
u
,
+
Af
„2
2
ur2zb
[40]
vollständig
mit
des Widerstandes
Rll
Ry
(R*
+
=
ur2
+
ur2za
+
ist,
denn zwischen
(R*
Rnf
+
den Klemmen 2-2'
ur2zb
g
R*
(
Rnf
u
.2
Jrl
R21
-
+
.
2
c
2
u
,
beträgt demnach
2
W"
r2za
und
und den
u
2
„
und damit
derjenige
zwi-
Rauschquellen im Hallelement
besteht keine Korrelation. Der Korrelationskoeffizient
definiert als
her und ist
-
Rauschspannungsquelle
der Korrelationskoeffizient zwischen
.
u
At,
RU)-
+
unabhängig. Dieser Strom erzeugt zwischen den Klemmen
Rauschspannung zwischen
r2 tot.
(R<
Rauschspannung:
ur2za
=
4 k T
=
-
Rn)
T
Rauschspannung
der zweite wird durch die
2-2' eine zusätzliche
R*
11
+
c
zwischen
u
-
und
u
,
ist
66
-
-
_r2
rl
•iff
Also gilt für
uf2
=
ur2
tot.
tot
4 k T
lR22l
Af
+
2
R21 Rll
+
(R*
=
tot.
4 k T
|R22|
Af
(R*
Rnr
Ru)
+
2"
+
R21 Rn |R22|
c
(r*
ur2
+
R21R*
+
^
+
+
Rur
21
R*
+
2
+
Rn
R21 Rll lR22l
c
(R*
+
Rn)^
(69)
Da das Hallelement ein
die
passiver Vierpol im thermodynamischen Gleichgewicht
Rauschspannung
ist,
muss
von
einem Widerstand
zwischen 2-2' ist. Der
gleich derjenigen sein,
zwischen den Klemmen 2-2*
die
erzeugt wird, der gleich dem Ausgangswiderstand gemessen
Ausgangswiderstand beträgt
r
Ka
-R
-
~
R21 R12
|
+
n22
R*
+
R
11
also
u
4 k T R
r2 tot.
4 k T
Da
R19
=
Falls die
lR22l
+
R21
ist und
Beziehung (27)
+-R^^-
a
Af
*f <
(69)
|R22|
und
+
fe^->-
(70) gleich
nicht erfüllt
ist,
sein
also
|R22l
+R^7
ist
müssen,
RJ2
é
„2
=
(70)
+2C
R21
,
c
=
0.
gilt
R21 Rll lR22l
|(R*
+
Rn)
67
-
R12
2
Diese
Beziehung gilt für
=
-
R,«
R21
~
(71)
VRH |R22l'
passiven, linearen Vierpole mit reellen Parame¬
gilt für passive Vierpole, bei denen der Reziprozitätssatz
tern. Insbesondere
Rj,
alle
-
erfüllt ist:
R
12
(72)
"||RlllR22Ï
Diese letzten
Ergebnisse finden sich
5.2.
in etwas anderer Form ebenfalls in
[34]
Stromrauschen
Wir wollen das Stromrauschen anhand des Rauschmodells
von
[35]
diskutieren.
Dazu nehmen wir an, dass sich zwischen zwei Elektroden im Abstand AI ein Elektron
mit der
I
,
Geschwindigkeit
herrührend
von
v
in einem Halbleiter
bewege (Abb. 35).
Dann ist der Strom
diesem Elektron
el.
e
*el.
wobei
e
die
mittleren
Ladung
v
AI
des Elektrons ist. Bewegen sich im Mittel N Elektronen mit der
Geschwindigkeit
v,
so
beträgt der mittlere abgenommene Gleichstrom I
N
e
v
"ST
(73)
e
Ok
A
Abb.
35
Elektron,
welches sich in einem Halbleiter zwischen zwei Elektroden
bewegt.
68
-
Der
an
den Klemmen auftretende
A I
(e/A 1) (N
=
Schwankungsstrom AI wird
Av
+
wobei Av die
Geschwindigkeitsschwankung
bedeuten. Bei
v
[35].
Bei
v
^
=
-
(74)
und AN die
(Stromlosigkeit) ergibt
0
AN),
v
Schwankung
der Trägerzahl
der erste Term das Johnson-Rauschen
0 ergibt der erste Term noch ein Zusatzglied, das aber in Leitern
gegenüber dem Johnson-Rauschen vernachlässigt werden kann [35]
und Halbleitern
Das Stromrauschen entsteht daher
praktisch
AN,
durch
nur
.
die Trägerzahlschwan¬
kungen.
Für die weitere Diskussion wollen wir zuerst die Laufzeit eines
die
Hallprobe berechnen. Wir
n
=
6
nehmen dazu als
•
1016 Träger/cm3
Probendimensionen: 5
Probenvolumen
und
Trägerzahl
:
•
,
5-0,1
0,25
•
Trägers durch
typische Werte
10
3
mm
-2
,
also
3
cm
in der Probe
N
und Proben ström I
=
=
o
1,5
•
1014
Träger
1 A.
Dann berechnen wir die mittlere Laufzeit
T
eines
Trägers durch die Probe
als
T„
0
Da für
sen
des
Fall
[36],
Grenze
=
1,5
•
1014
•
1,6-
IQ'19
^2>5
.10-5s_
-o
IH-V-Verbindungen
worden ist
lässigen
-4i
eine
Trägerlebensdauer
und der oben angenommene Strom
von
an
10
-8
...
10
fi
s
gemes¬
der oberen thermisch
zu¬
liegt, können wir sagen, dass praktisch in allen Fällen die Laufzeit
Trägers durch die Probe viel grösser ist als die Trägerlebensdauer. In diesem
gilt unter Berücksichtigung einfacher Annahmen [35] für das Rauschstromqua¬
drat r
r
—
r
4
I2 T2
n
T
(r1+T2)2
1
+
co2t£
69
-
-
wobei
*o
der Probenstrom
N
die mittlere Trägerzahl in der Probe
ri
die mittlere
Trägerlebensdauer
im
beweglichen Zustand
T2
die mittlere
Trägerlebensdauer
im
getrappten Zustand
1/TT
=
1/Tj
+
,
Kreisfrequenz
:
die
Af
:
die Bandbreite bedeuten.
gigkeit,
,
,
bei tiefen
Rauschstromquadrat zeigt
Frequenzen
keine
Frequenzen proportional
praktisch
zu
1/f
wobei f die Frequenz ist.
ab,
T..
alle Donoren ionisiert d. h.
r
=
Frequenzabhän¬
und nimmt bei hohen
wir wollen es daher "weisses" Stromrauschen nennen,
Sind
,
1/T2,
co
Dieses
,
»
1
-^- -A
,,
T
„,
wird
so
(75)
zu
(76)
Af.
»
"2
Sind
dagegen
die Donoren
4
5
i*
Der Grossteil der
ll
ionisiert,
so
wird
(75)
1
i-2-2- Af.
(77)
1+ü2TJ
Träger ist bei Zimmertemperatur stark ionisiert und
Abhängigkeit proportional
typisch ist,
erhält man,
wenn
zu
1/f
man
ger zusammensetzt aus einer Anzahl N.
von
zu
es
gilt
bei tiefen
Frequenzen,
getrappten Zustand T
schwach ionisierten
2
herrührend
beschrieben werden
Störstellen,
Störstelle verschieden
von
stark ionisierten
kann,
=
N^
+
N^
.
Störstellen,
und die Lebensdauer
und einer Anzahl
deren mittlere Lebensdauer
ist, also
N
wie sie für Halb¬
annimmt, dass sich die Anzahl ÏJ der Trä¬
deren Verhalten durch die Lebensdauer im leitenden Zustand T~
im
zu
(76).
Eine
leiter
schwach
-=2_ Tt
!
N
=
r
daher
nur
T,
Ni herrührend
von
Störstelle
70
-
Wenn
N,
«
N,
,
ist N.
-
abgeleiteten
N und die oben
»
Zusätzlich tritt aber ein Rauschen herrührend
Gültigkeit.
Formeln behalten ihre
von
der
Trägerzahl Ni
auf. Die Verteilung der Lebensdauer T„ soll durch die Verteilungsfunktion
[37],
beschrieben werden
Grenze X
welche zwischen der unteren Grenze T
Gültigkeit haben möge. gCT«) möge
n
gelten
in diesem Bereich die Form haben
o
g(r3)
wobei
g( f»)
und der oberen
i^LS.,
=
(78)
muss
T
/"
g(r3) dT3
2
=
TT
C
ln(Tn/Tm)
=
1
(79)
.
m
Träger befördert wird
Der mittlere Strom, welcher durch diese
~7
erhält man für i nach (77)
Tn
I'2
°
Tn
Af
w2
J
£^-
+l
3
(2Ttf T,r
(2TtfT/
dT,
C
ä
c
^ [arc
Frequenzabhängigkeit
tg (2ÎT f
Tn)
arc
-
tg (21T
dieses Ausdruckes ist in
fTJ].
[37]diskutiert,
(80)
man
für
(C/f)
=
[arc tg(2ïï
2 * C
(
Tn
-
f
Tn)
Tm)
=
(C/f)(U/2)
=
(C/f2)(l/2lT Tm)
für
Dann
V
(21Tf(2¥fT)T„r
Tm
4Il2Af
Die
2TT
f
J
+1
4
°
T3
3
f
+1
IL2
^
r
+l
4
-
sei I*.
-
arc
für
tg(21T
f «
f
Tm)]
^rc ^
(weisses Rauschen)
n
1/2ÏÏ
für
Tn
Äf «
1/2U
T
1/2TC
«f
Tm
(1/f-Spektrum)
(l/f2-Spektrum).
erhält
71
-
-
Man erhält also
für
1/f-Abhängigkeit,
also ein Gesetz mit
rauschen
wurden
[38],
welche
Messungen,
nennen.
zeigen eine starke
dauer
[38]
vor
abhängig
allem
an
proportional
ist
zu
typischen
einen
2
ist. Da bekannt
.
Das
Wir wollen
ist,
nun
noch
(76),
P. O.
T
(81)
,
durchgeführt
Lau ritzen
von
erscheint dies durchaus
welches
an
an
der Beschaf¬
oder C vom Ober-
dass die Störstellen mit
welches
4
zu
1/21T
des Funkelrauschens
Rauschen,
Rauschen,
Fall proportional
«f «,
(80) bedeuten, dass ÎÏ7
der Oberfläche liegen,
I
von
Abhängigkeit
wird ebenfalls gezeigt, dass das
Tn
wir wollen dieses Rauschen daher Funkel¬
u. a.
fenheit der Oberfläche. Dies würde nach
flächenzustand
1/2TT
langer
der Oberfläche
entsteht,
den Kontakten
Haft¬
plausibel.
In
entsteht,
ist für
[38].-
I
also das weisse
Stromrauschen,
für einen
typischen
Fall berechnen. Dazu wählen wir
lo
n
=
1A>
=
6
•
1016
Probenvolumen:
also N
=
1,5
1014
•
T,
T„
und erhalten für
Vergleichen
und das weisse
•
10"2 cm^
,
Träger,
=
=
uT,
i
Träger/cm3,
0,25
10"6
8
10"7
s
,
«1
*
•
1
•
=
1,5
•
JO'"
1014
wir für einen
Stromrauschen,
•
10"6
Af
=
2,66
•
lO"22
typischen Präparatwiderstand
so
Af
lfl das Johnson-
erhalten wir
:
u2
Weisses Stromrauschen:
u2
Johnson-Rauschen
von
[A2 s]
=
=
1,65
•
2,66
•
s]
Af
[v2 s]
Af
10"20 [v2
10"22
,
.
-
72
-
In diesem Fall ist also das weisse Stromrauschen
gegenüber
schen vernachlässigbar. Da die Parameter eher ungünstig gewählt
dem Johnson-Rau¬
sind,
können wir
sagen, dass in den meisten Fällen bei InAs und InSb das weisse Stromrauschen ge¬
dem Johnson-Rauschen vernachlässigt werden kann. Messungen
genüber
46], bestätigten,
ist bei InAs und InSb
nur
mit Funkelrauschen und mit Johnson-Rauschen
Das Funkelrauschen entzieht sich bis heute einer
die Störstellen mit
Die
Frage,
langen Lebensdauern noch
welche wir
zu
zu
quantitativen Behandlung,
wenig
[45,
InSb
an
dass kein weisses Stromrauschen beobachtet werden kann.
Also
rechnen.
da über
bekannt ist.
jetzt noch diskutieren wollen, ist die folgende: Zwischen
den Steuerstromelektroden eines Hallelementes nach Abb.
22 tritt ein bestimmtes
Funkelrauschen auf. Wie gross ist dann das Funkelrauschen zwischen den Hallelektro¬
den? Wir unterscheiden dazu
folgende
Magnetische Flussdichte
1.
a)
Die Hallelektroden sind
B
Fälle
=
0
punktförmig
Dann kann nach dem Rauschmodell
von
Abb.
und absolut
symmetrisch angebracht.
35 auch kein Rauschen zwischen ihnen
induziert werden.
b)
punktförmig,
Die Hallelektroden sind
aber mit einer
angebracht. Sie wirken daher für die Rauschspannung wie
es
ein
gewissen Unsymmetrie
Spannungsteiler,
und
gilt
ur
2-2'
?77.
wobei
und
u£
,_2'
""^
1-1' sind. U
U
o
2-2'
o
1-1'
Spannung
Die Hallelektroden sind
U
.,,
36.
aber nicht
punktförmig ausgeführt,
In diesem Fall wird durch die
das
Bewegung der
auch in den Hallelektroden Funkelrauschen induziert.
Damit also bei
nes
angelegt wird.
symmetrisch
Hallelement habe die Form von Abb.
Träger
(82)
ur 1-1' ^ie Rauscnspannungsquadrate zwischen den Klemmen 2-2*
is' ^e Gleichspannung zwischen den Klemmen 2-2', wenn an
5_2'
die Klemmen 1-1' die
c)
U
Funkelrauschen
angebracht werden.
Magnetfeld
auftritt,
Null zwischen den Hallelektroden ein
müssen diese
möglichst symmetrisch
möglichst klei¬
und
punktförmig
73
-
-
"TW
v
e
e
Abb.
2.
Mit
Die
I
Hallelement mit verbreiterten Elektroden.
Magnetfeld der Flussdichte
Spannung
und dem
36
U2_o»
Magnetfeld
Für das
.
Rauschspannungsquadrat gilt
das
,,
Faktor c* tritt
Rauschstromquadrat
auf,
dagegen
unkorreliert
da i
sind,
von
.,,
den
und
von
seinen
wenn
Abb.
nes
die
zwischen den Steuerstromelektroden ist. Der
Schwankungen
von
der
muss man
daher die beiden mittleren
Hall-Vierpol
Ausgangswiderstand,
Schaltung noch
37 und Abb.
das
so
von
tung zeigt Abb. 39. Es
zur
Einstellung
tromagnet wurde
das Johnson-
Träger und die beiden
ist das
aus
Ausgangsklemmen
Johnson-Rauschen,
kleinstmögliche Rauschen, das
her
das diesem
auftreten
kann,
aktive Elemente enthält.
38 zeigen
muss
Für
Rauschspannungsquadrate
seinen
Rauschmessungen
zwischen den Hallelektroden ei¬
Hallelementes. Dazu wurde die Rauschmessanlage nach
cher
k„ korreliert ist.
Trägerzahlschwankungen herrührt,
Geschwindigkeitsschwankungen
Ausgangswiderstand entspricht,
auch
den
<83>
Boc*>
teilweise mit
Betrachten wir daher den
messen
daher
sind auch Johnson-Rauschen und Stromrauschen unkorreliert.
das gesamte Rauschen
addieren.
4irTl«
=
Da das Stromrauschen
Rauschen
.
kHBoV
=
T^'
i
B
zwischen den Hallelektroden ist dem Produkt des Stromes
proportional:
B
U2-2'
wenn
*
darauf geachtet
des Steuerstromes
einer Batterie
werden,
dient,
gespiesen,
[42] benutzt,
dass der Widerstand
kein Stromrauschen
damit
des vermieden wurden. Der Kondensator C blockt die
zeigt.
die Schal¬
R,
wel¬
Der Elek¬
Schwankungen des Magnetfel¬
Hall-Gleichspannung
ab. Die
74
-
-
RäqMf
0.1
02
Abb.
0.1
Abb.
38
37
02
K
07
I
710
4
2
20
40
Rauschen eines Hallelementes beim
04
07
1
7
4
2
10
20
Rauschen eines Hallelementes bei einem
B
=6,1
o
'
kG.
70100«
Magnetfeld
40
70
100
Magnetfeld
[kHz]
Null.
f
[kHz]
der Flussdichte
75
-
R
-
Elektromagnet
~
Rausch
-
mess-
n
Hallelement
39
Abb.
ganze
aus
zur
Abschirmung
von
•
Messanordnung für die Rauschmessung
Apparatur befand sich
senschrank
anlage
von
an
Hallelementen.
äusseren Störfeldern in einem Kas-
Stahlblech.
In Abb. 37 und Abb.
38 ist der Wert eines
äquivalenten Rauschwiderstandes
R„
angegeben, dessen Rauschen sich nach der Johnson-Formel berechnen würde. Die Hall¬
kontakte sind hier als Spitzenkontakte ausgeführt, daher betrug der Widerstand zwi¬
0 4SI und
schen ihnen bei B_
6,1 kG,
die
welche
einige Tage später erfolgte,
Abmessungen 6,1
•
das Rauschen durch die
wo es
nach
(83)
nirgends
4,6
•
0,15
3
mm
wird,
Man
übergeht,
Messung mit B
aus
bemerkt, dass sowohl bei
das Funkelrauschen mit
l/f-Abhängigkeit
entspricht
unseren
=
InAs und hat
B
=
wie auch bei B
ein "weisses" Stromrauschen oder eine
bemerkt werden kann. Dies
weisse Stromrauschen.
.
zur
auf 6X1. Das Element ist
Unsymmetrie der Hallkontakte entsteht,
induziert
Johnson-Rauschen
also
vergrösserte sich zudem bis
0,
wo
=
6, lkG,
direkt in das
1/f -Abhängigkeit
Abschätzungen für das
76
-
Auswertung der Integralgleichung (66)
Anhang:
Die
ETH
-
Integralgleichung (66) wurde auf der elektronischen Rechenmaschine der
(ERMETH)
numerisch
ausgewertet.
Zuerst wurde der Kern H
(r/o )
von
(66)
berechnet nach der seinerzeit eingeführten Definition
r/o
H (r/o)
r
=
T
und der Definition
den mit
von
u4>(u)
*V
(s/o )
1
r=ev
(66)
=
u
gesetzt wurde). Dann
wur¬
lautet
H(r/o)G(o)do
+
ß,
(66)
?=rl
in 4.5. definiert sind.
Symbole
wobei sämtliche
vorgenommen.
f2
X
=
s/ç
(61) (wobei
nach
(66) einige Umformungen
G(r)
du
u=0
,
o=e»,
Nun machen wir die Substitutionen
do
e'
=
d^.
Damit wird
G(o)
G(ef)
=
H(r/o)
H(ev/eh
=
Damit erhalten wir für
g(v)
In
v-|.
(84)
von
g(v )
=41
ist der Kern der
Der Kern
(66),
H
g(f),
=
{
die
H(e^)
=
h(v-|)g(()el
d^.
(84)
rl
Integralgleichung, h(v- I),
(r/o ),
h(v-^).
Integralgleichung
Y2
=ln
=
die Funktion der Differenz
ist die Funktion eines Verhältnisses. Die Darstel¬
lung als Funktion einer Differenz hat den Vorteil, dass der Wert des Kernes immer
an
denselben Stützstellen genommen
werden kann und nicht interpoliert werden
muss.
77
-
Die
Abkürzung
2
f
und die
-
Aufspaltung
h(v-l) g(f )
S(\)
liefern die
g( I )
von
in Real- und
B1(\)
=
e?
* H
+
Dies ergibt für Real- und
gj
=
c,
\
=
'
y (h
*
g2)
+
[bi
*
h
Imaginärteil
Näherung
1 A gesetzt
zu
c,
die Berechnung
|î
die
62!
i
+
P
+
•
Gleichungen
,
ist.
(es
Da
ist
c.
(3
für
=
J2
E
r=r«
(r)
dr
in
(57)
g- und
g1 begonnen,
c.
tg 6). Man
-
im zweiten Glied von
\ willkürlich
von
nun
g2
iterativ berechnet. Es
daraus g, berechnet etc. Dabei
ersieht
(57)
aus
(65),
im Nenner
dass
auftritt,
wur¬
E,.(r)
kann
pro¬
c, für
gewählt werden.
Daraus kann dann mittels numerischer
berechnet
g
Imaginärteil
Mittels numerischer Integration wurden
wurde mit einer 1.
portional
*
--^(h *gl).
g2
=
h
Gleichung
gl
de
=
g2(p
j
+
df
Integration
das Integral
(85)
'
werden, welches
zur
Berechnung
der
bezogenen Impedanz
%
benötigt
wird.
Der Wert des
Integrales
tische Flussdichten und
ist in den
nachfolgenden
Frequenzen aufgeführt.
Tabellen für verschiedene magne¬
Die Werte sind
ungefähr
auf 1
%
genau.
78
-
1050
1500
1950
0,986
1,42
1,73
[kG]\^
B
1
2
1,85
2,71
3,33
4
3,08
4,85
6,12
6
3,53
5,74
7,59
8
3,62
6,16
8,51
10
3,50
6,16
8,80
Realteil des Integrals
(85)
in Volt für
"^-^flMHz]
1
als die erste
des
1500
1950
1,11
1,22
1,23
2,42
2,49
2,34
4-
4,68
5,08
4,98
6
6,21
7,07
7,30
8
7,44
8,85
9,39
10
8,33
10,28
11,31
des
Integrals (85)
in Volt für
zusammen
zu
mit den
welche
Vereinfachung mindestens
von
[10].
40 und
Die Werte stimmen
Messungen überein,
am
E
=
0.
Anfang
von
von
Abschnitt 4.4. begründet
Abb. 30 mit 40 und Abb. 31 mit 41 zeigt,
ebenso grosse Fehler
verursacht,
wie die Ver¬
In bestimmten Bereichen scheinen sich die beiden Fehler teil¬
kompensieren.
nach
(33)
diese für die
der
Messungen
* sind in Abb.
Näherung nach Abb. 30 und 31. Es soll daher nochmals auf die Verein¬
Aus dem Verlauf
raus
1 A.
=
teilweise aber auch schlechter mit den
besser,
Randwertproblemes,
einfachung div
weise
c.
bezogenen Impedanz
wurde, hingewiesen werden. Ein Vergleich
dass diese
1 A.
2
41 aufgetragen, wieder
fachung
=
1050
Die daraus berechneten Werte der
teilweise etwas
c.
[kGlN^
B
Imaginärteil
-
div E.
von
Berechnung
Raumladungsdichte
E^ (r)
könnte nach
Daraus könnte die
der
Impedanz
verzichtet.
(55)
E
(r)
berechnet werden und da¬
Raumladungsdichte
nicht
benötigt wird,
ermittelt werden.
wurde auf die
Da
Ermittlung
79
-
»1050 MHz
]*-~-"'"°=-" ^J|.
CU
?
[10]
o
o
Messung
*
k
Rechnung mit Raumladung
-B
"
8
9
^5=-ßO0
MHz
J^^-1950
MHz
—
0.2
7
Abb.
40
BbfcG]
Impedanz J
Messung und Rechnung
Berücksichtigung der Raumladung.
Verlauf des Realteils der bezogenen
unter
W
,
7
9
8
10
BqM
1050 MHz
1500 MHz
1950 MHz
Abb.
41
Verlauf des
Messung
Imaginärteils der bezogenen Impedanz 1
Berücksichtigung der Raumladung.
nung unter
,
und Rech¬
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Lebenslauf
Ich wurde
am
25. April 1935 in Zürich geboren. Nach dem Besuch der Primar¬
schule in Zürich trat ich 1948 ins kantonale
ich im Herbst 1954 mit der Maturität des
te ich mich
an
der
Abteilung
Realgymnasium
Typus
für Elektrotechnik der
Hochschule und begann meine Studien im Herbst
Vorstudienpraxis
Im Herbst 1959
bei Sécheron in Genf und nach
diplomierte
ich
der
an
in Zürich
B abschloss.
Eidgenössischen
1955,
ein,
welches
Darauf immatrikulier¬
Technischen
nach einer neunmonatigen
Absolvierung der Rekrutenschule.
Abteilung für Elektrotechnik
in der
Richtung
Schwachstrom.
Seit
Anfang 1960
bin ich
schen Technischen Hochschule
am
Institut für Höhere Elektrotechnik der
(Vorsteher:
stent und wissenschaftlicher Mitarbeiter
Herr Prof. Dr. M.J.O.
tätig. Anfänglich
Eidgenössi¬
Strutt)
als Assi¬
befasste ich mich mit Pro¬
blemendes Farbensehens. Seit zwei Jahren arbeite ich auf dem Gebiet der Theorie
und
Anwendung der galvanomagnetischen Effekte.
mir
von
Herrn Prof.
auszuführen.
Dr. M.J.O.
Strutt
Im Rahmen dieser
Tätigkeit wurde
Gelegenheit gegeben, die vorliegende Arbeit